Chuyên đề dùng phương pháp tọa độ giải phương trình

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ, VECTƠ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 2012

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ, VECTƠ
ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Ngô Hoàng Toàn Lớp YD-K38 Đại Học Y Dược Cần Thơ
Email:

Khi giải một bài toán, điều quan trọng không phải là ta chỉ tìm ra kết quả mà là tìm ra cách
giải hay,phù hợp với đặc thù của từng bài. Như nhà toán học Euler đã từng nói trong lá thư
gởi nhà toán học Gôn-Bach về việc tìm nghiệm tự nhiên của phương trình
4xy - x - y  z 2 ;4 xy  x  1  z 2 như sau :” Thú thật là tôi không ngờ rằng ông lại có một
cách chứng minh dễ dàng và đẹp mắt như vậy. Từ đó, tôi tin rằng phần lớn định lý của
Fermat cũng có thể chứng minh bằng cách tương tự như vậy và vì thế tôi cảm ơn ông đã
cho tôi biết cách chứng minh đẹp đẽ này.” Chính vì vậy chúng tôi đã viết chuyên đề này
với mục đích tìm ra cách giải đẹp cho các loại phương trình đại số nhất là phương trình vô
tỷ.
Phương pháp tọa độ, vectơ là một cách thức vận dụng hình học giải tích trong mặt
phẳng với hai đối tượng thường dùng là tọa độ điểm và vectơ sau đó dùng những công
thức và phương pháp tính toán đã biết để giải. Sau đây là một kiến thức vận dụng :


Tích vô hướng: Cho a  ( x1 ; y1 ) , b  ( x2 ; y2 )


ab  x1 x2  y1 y2

a  x12  y12

Khi giải phương trình f ( x)  g ( x) . Ta biến đổi f ( x) thành vế trái, g ( x)
thành vế phải ứng với:

  
ab  a b
   
a  b  ab
   
a  b  ab

Hoặc biến đổi một vế, giả sử f ( x) về dạng BĐT rồi xét dấu “=”

  
ab  a b
   
a  b  ab
   
a  b  ab





 dấu “=” xảy ra khi a  kb (k  0)


 
 
dấu “=” xảy ra khi b  0 hoặc a , b ngược

hướng
Nếu dùng hình học giải tích thì ta chú ý các kiến thức về đường tròn, đường
thẳng… (tham khảo thêm SGK Hình học 10 nâng cao )

Sau đây là một số ví dụ :
1) Giải phương trình:

9 x3  18 x 2  36 x 2  9 x 3  9  x 2

Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện của bản thân

Page 1


PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ, VECTƠ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 2012
ĐK: 2  x  4
Phân tích: bài này ta chưa thể xác định được tọa điểm nhưng ta hãy chú ý đến
  
ab  a b nếu ta xét 1 trong 2 vectơ có tọa độ (1;1) . Trở lại bài toán.
Gọi VT  f ( x) , VP  g ( x)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ta chọn các vectơ:


a  1;1 , b  9 x3  18 x 2 ; 36 x 2  9 x3


Ta có:
a  2 , b  3 2x
 
 a b  6x

ab  9 x3  18 x 2  36 x 2  9 x 3
  
mà f ( x)  ab  a b  6 x





g ( x)  9  x 2  2 9 x 2  6 x

Suy ra f ( x)  6 x  g ( x)
 
Dấu “=” xảy ra khi a, b cùng phương và 9  x 2
 9 x3  18 x 2
36 x 2  9 x3



1
1
 x2  9

 9( x  3)  0
 x  0 (l )

 x  3 ( n)
Vậy S  3



Nhận xét: Thật ra phương pháp xét vectơ a  (1;1) là một cách lợi dụng tính ưu
việt của BĐT B-C-S như sau:
ĐK: 2  x  4

Ta có:
9  x 2  1(9 x3  18 x 2 )  1(36 x 2  9 x3 )  (1  1)(9 x3  18 x 2  36 x 2  9 x 3 )  6 x
9 x3  18 x 2  36 x 2  9 x 3
 x  0 (l )

 x  3 ( n)

Dấu “=” xảy ra khi

Ta cũng có thể giải bài toán này bằng nhiều cách khác.
2) Giải phương trình:
1
2

ĐK:   x 

1  2x  1  2 x 

1 2x
1 2x

1  2x
1  2x

1
2

Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện của bản thân

Page 2

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ, VECTƠ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 2012
Phân tích: Lần này bài toán thấy khó giải quyết khi VP không ở dạng tọa độ


A  x; y  hay a  ( x; y) nhưng ta có thể thấy:

Ta có : VP  2 ( do BĐT Cauchy) (1)
Xét VT : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn


u  (1;1)  u  2


v  1  2 x ; 1  2x  v  2





  
VT  1  2 x  1  2 x  uv  u v  2

(2)

Từ (1), (2)  VT  2  VP
Dấu “=” xảy ra khi x  0
Vậy S  0
Ta cũng có thể tổng quát bài toán trong không gian Oxyz. Ta xét ví dụ sau:

3) Giải phương trình:

sin x  2  sin 2 x  sin x 2  sin 2 x  3

Trong không gian Oxyz chọn


u  sin x;1; 2  sin 2 x  u  3



v  1;

2  sin 2



x ;sin x   v 

3

  
VT  sin x  2  sin 2 x  sin x 2  sin 2 x  uv  u v  3  VP
Dấu “=” xảu ra khi
sin x
1
2  sin 2 x


1

sin x
2  sin 2 x
sin 2 x  1


 sin x  1  x   k 2 ( k  Z )
2
sin x  0


Vậy S    k 2 k  Z 
2


4) Giải

phương

trình:

1 2
1 2 16
32
1 2
1 2 4
8
x 2
x  x

x  4 x  10 

x  x   4  2 2 (1)
2
2
5
5
2
2
5
5

(Cải biên đề thi Olympic toán khu vực miền Trung và Tây Nguyên)
Phân tích: Bài toán khó nếu đặt ẩn phụ hay đánh giá, nhưng ta phát hiện giá trị
1 2
1
x . Nếu ta đưa
ra khỏi căn thì ta được các cụm tổng bình phương.
2
2

Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện của bản thân

Page 3


PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ, VECTƠ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 2012
1 2
16
8
 x  2 2   x      
2

5  5


2

(1) 

2

 x  4

2

2
2
4 8 

 22   x        4  2 2
5 5 



Trong mặt phẳng Oxy chọn:

a   x; 2 
 
16 8 
bx
; 
5 5



c   4  x; 2 
  4
8
d    x; 
5
5
Ta có:

 
ac  4 2
 
bd  4

Ta có:
   
a  c  ac
   
b  d  bd
       
 a  b  c  d  a c  b d  4 4 2

1
4  4 2  4  2 2  VP
2
Dấu “=” xảy ra khi x  2
Vậy S  2
 VT 





Nhận xét: Nếu bài toán có nhiều hơn một ẩn ta cũng có thể giải theo hướng
như trên. Ta xét ví dụ:
phương

5) Giải
2b2  6b  9  2b 2 

10
13
13 2
ab  a 2 
a  4a  4  13
3
9
9
2

trình:
(1)
2

2
2
2
2
 b  a    b  a    a  2    a   13

3 

3 
Trong mặt phẳng Oxy chọn
 
2
 2 

M  a; a  ; N  b; b   MN   a  b; a  b 
3
 3 



 
2  
A  0;3 ; B  2;0   NA   b; b  3 , MB   2  a;  a  , AB   2; 3 
3 

2

2
(1)  b   b  3 

Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện của bản thân

Page 4


PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ, VECTƠ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 2012

Ta có:

   
VT  AN  NM  MB  AB  13  VP


Dấu “=” xảy ra khi AB cp AN cp NM
18
6
 a , b
13
5
 18 6  
; 
 13 5  

Vậy S  

Kết Luận:
Qua chuyên đề chúng ta có được nhiều hiểu biết hơn về công cụ vectơ không chỉ
dùng trong hình học mà còn cả trong đại số.Chính vì thế mong nhận được những ý
kiến của các bạn về chuyên đề này và các phương pháp khác mà chúng tôi chưa đề
cập.
Tài liệu tham khảo:
[1] Chuyên đề nâng cao Đại số và Giải Tích THPT-Phạm Quốc Phong-NXB Đại
học Sư Phạm -2005
[2] Dùng hình học giải tích để giải phương trình ,bất phương trình,hệ phương
trình,bất đẳng thức-Trần Đình Thì-NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội-2008.

Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện của bản thân

Page 5