Một số bài toán tìm tập hợp điểm

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
********

NGUYỄN THỊ THIẾT

MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM
TẬP HỢP ĐIỂM

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
ThS. ĐINH THỊ KIM THUÝ

HÀ NỘI - 2015


LỜI CẢM ƠN
Bản khóa luận tốt nghiệp này là bước đầu tiên để em làm quen với việc
nghiên cứu khoa học. Khi thực hiện đề tài này em chỉ mong góp thêm một
tiếng nói, một sự khơi gợi rất khiêm tốn để học sinh thêm hứng thú khi học
toán nói chung và giải các bài toán tìm tập hợp điểm nói riêng. Trước sự bỡ
ngỡ và gặp khó khăn khi mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học em
đã nhận được sự giúp đỡ động viên của các thầy cô giáo và của các bạn sinh
viên trong khoa.
Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn đến cô giáo Đinh Thị Kim Thúy đã
giúp đỡ và hướng dẫn tận tình để em hoàn thành khóa luận. Em cũng xin chân
thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho em có cơ hội để
tập dượt với việc nghiên cứu.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày tháng năm 2015
Sinh viên thực hiện

Nguyễn Thị Thiết


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này là kết quả của bản thân em qua quá trình học tập và
nghiên cứu. Trong khi nghiên cứu hoàn thành khóa luận này em có tham khảo
một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Em xin cam đoan rằng khóa luận này là do em viết và những kiến thức
trích dẫn trong khóa luận là trung thực.
Hà Nội, ngày tháng năm 2015
Sinh viên thực hiện

Nguyễn Thị Thiết


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................ 1
1. Lí do chọn đề tài .......................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................... 1
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu .................................................................. 1
4. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................. 2
5. Phương pháp nghiên cứu............................................................................. 2
6. Cấu trúc khoá luận ...................................................................................... 2
CHƢƠNG 1. KIẾN THỨC LIÊN QUAN ................................................... 3
1.1. Những vấn đề cơ bản về bài toán tìm tập hợp điểm ................................ 3
1.1.1. Định nghĩa tập hợp điểm ....................................................................... 3
1.1.2. Các yếu tố đặc trưng của bài toán tìm tập hợp điểm............................. 3

1.2. Một số phương pháp tìm tập hợp điểm .................................................... 3
1.2.1. Phương pháp vectơ ................................................................................ 3
1.2.2. Phương pháp toạ độ............................................................................... 5
1.3. Các dạng tập hợp điểm cơ bản ................................................................. 7
1.3.1. Tập hợp điểm là đường thẳng ............................................................... 7
1.3.2. Tập hợp điểm là đường tròn .................................................................. 7
1.3.3. Tập hợp điểm là Elip ............................................................................. 7
1.3.4. Tập hợp điểm là Hypebol ...................................................................... 8
1.3.5. Tập hợp điểm là Parabol ....................................................................... 8
CHƢƠNG 2. MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM TRONG HÌNH
HỌC PHẲNG ................................................................................................. 9
2.1. Một số bài toán tìm tập hợp điểm bằng phương pháp vectơ ................... 9
2.1.1. Lớp bài toán tìm tập hợp điểm M thoả mãn một đẳng thức vectơ........ 9


2.1.2. Lớp bài toán tìm tập hợp điểm M thoả mãn đẳng thức về tích vô hướng
......................................................................................................................... 14
2.1.3. Lớp bài toán tìm tập hợp điểm M thoả mãn đẳng thức về độ dài ......... 19
2.2. Một số bài toán tìm tập hợp điểm bằng phương pháp toạ độ .................. 25
2.2.1. Phương pháp chung ............................................................................... 25
2.2.2. Các dạng tập hợp điểm cơ bản giải được bằng phương pháp toạ độ .... 26
2.2.2.1. Tập hợp điểm dạng đường thẳng ....................................................... 26
2.2.2.2. Tập hợp điểm dạng đường tròn .......................................................... 30
2.2.2.3. Tập hợp điểm dạng Elip ..................................................................... 34
2.2.2.4. Tập hợp điểm dạng Hypebol .............................................................. 38
2.2.2.5. Tập hợp điểm dạng Parabol ............................................................... 43
2.2.2.6. Bài tập đề nghị ................................................................................... 46
CHƢƠNG 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM TRONG
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ........................................................................ 47
3.1. Một số bài toán tìm tập hợp điểm bằng phương pháp vectơ ................... 47

3.2. Một số bài toán tìm tập hợp điểm bằng phương pháp toạ độ .................. 50
3.3. Một số bài toán tìm tập hợp điểm bằng phương pháp khác ..................... 54
KẾT LUẬN .................................................................................................... 58
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................... 48


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Bài toán “Tìm tập hợp điểm” hay “Bài toán quỹ tích” là bài toán rất hay
gặp trong các đề thi học sinh giỏi, đề thi tuyển sinh vào các trường chuyên,
Đại học, Cao đẳng… một đề tài đã làm say mê bao người, góp phần không
nhỏ làm cho người học yêu thích môn hình học hơn.
Không thể nào phủ nhận được ý nghĩa và tác dụng của bài toán tìm tập
hợp điểm trong việc rèn luyện tư duy toán học nói riêng và đối với rèn luyện
tư duy linh hoạt nói chung. Đây là một phần kiến thức rất khó đối với học
sinh trong việc tiếp nhận các kiến thức và phương pháp, càng khó hơn trong
việc vận dụng các kiến thức và phương pháp ấy trong giải bài tập.
Có rất nhiều phương pháp để giải một bài toán tìm tập hợp điểm trong đó
phương pháp vectơ và phương pháp tọa độ là một phương pháp hiệu quả. Nó
cho ta lời giải một cách chính xác tránh được những yếu tố trực quan, các suy
diễn phức tạp của phương pháp tổng hợp và là phương tiện hiệu quả để giải
các bài toán tìm tập hợp điểm.
Xuất phát từ sự say mê của mình và được sự giúp đỡ tận tình của cô giáo
Đinh Thị Kim Thúy em chọn đề tài:
“Một số bài toán tìm tập hợp điểm”
2. Mục đích nghiên cứu
• Hệ thống hoá các vấn đề liên quan tới bài toán tìm tập hợp điểm.
• Xây dựng hệ thống bài tập vận dụng, từ đó thấy được tầm quan trọng
và tính thiết thực của lí thuyết phương pháp vectơ, toạ độ đối với các dạng bài
toán tìm tập hợp điểm.

3. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu: Một số bài toán sử dụng phương pháp vectơ,
toạ độ để giải bài toán tìm tập hợp điểm.

1


• Phạm vi nghiên cứu: Bài toán tìm tập hợp điểm.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu những tài liệu, giáo trình liên quan đến phương pháp vectơ,
toạ độ để rút ra một số dạng toán và phương pháp giải các bài toán tìm tập
hợp điểm.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc các giáo trình tài liệu liên quan
đến các bài toán tìm tập hợp điểm giải bằng phương pháp vectơ, toạ độ.
Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Từ kinh nghiệm bản thân tổng hợp
và hệ thống hoá các kiến thức về vấn đề nghiên cứu đầy đủ và khoa học.
Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giáo viên trực tiếp
hướng dẫn và các giáo viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung cũng như
hình thức của khoá luận.
6. Cấu trúc khoá luận
Khoá luận gồm 2 phần:
Phần 1: Mở đầu
Phần 2: Nội dung
Chương 1: Kiến thức liên quan.
Chương 2: Một số bài toán tìm tập hợp điểm trong hình học phẳng.
Chương 3: Một số bài toán tìm tập hợp điểm trong hình học không
gian.

2

CHƢƠNG 1
KIẾN THỨC LIÊN QUAN
1.1. Những vấn đề cơ bản về bài toán tìm tập hợp điểm
1.1.1. Định nghĩa tập hợp điểm
• Một tập hợp khác rỗng gồm những điểm gọi là tập hợp điểm hay hình.
• Định nghĩa quỹ tích: Quỹ tích là tập hợp những điểm, đường thẳng,
mặt phẳng thoả mãn điều kiện nhất định nào đó.
1.1.2. Các yếu tố đặc trƣng của bài toán tìm tập hợp điểm
Trong một bài toán quỹ tích thường có 3 loại yếu tố đặc trưng:
• Loại yếu tố cố định: thường là các điểm.
• Loại yếu tố không đổi: như độ dài đoạn thẳng, độ lớn của góc, diện
tích hình v.v...
Các yếu tố cố định hoặc không đổi thường được cho đi kèm theo các
nhóm từ “cố định”, “cho trước”, “không đổi”.
• Loại yếu tố thay đổi: thường là các điểm mà ta cần tìm quỹ tích hoặc
các đoạn thẳng, các hình mà trên đó có điểm mà ta cần tìm quỹ tích.
Các yếu tố thay đổi thường cho kèm theo nhóm từ: “di động”, “di
chuyển”, “chạy”, “thay đổi” v.v...
1.2. Một số phƣơng pháp tìm tập hợp điểm
1.2.1. Phƣơng pháp vectơ
1.2.1.1. Khái niệm
Vectơ là một đoạn thẳng có:
• Một đầu được xác định là gốc còn đầu kia là ngọn.
• Hướng từ gốc đến ngọn là hướng của vectơ.
• Độ dài của đoạn thẳng là độ dài của vectơ.
Kí hiệu: AB : Gốc là A và ngọn là B. Hướng từ A và B.
Độ dài của vectơ AB kí hiệu AB chính là AB.
3

1.2.1.2. Phép cộng vectơ
Cho hai vectơ a và b . Lấy một điểm A nào đó rồi xác định các điểm B và
C sao cho AB  a, BC  b . Khi đó vectơ AC được gọi là tổng của hai vectơ
a và b . Kí hiệu: AC  a  b.

Phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ.
1.2.1.3. Hiệu hai vectơ
Hiệu của hai vectơ a và b , ký hiệu a  b , là tổng của vectơ a và vectơ
đối của vectơ b , tức là: a  b  a  b .

 

Phép lấy hiệu cuả 2 vectơ gọi là phép trừ vectơ.
Qui tắc ba điểm: Nếu MN là một vectơ đã cho thì với mỗi điểm O bất kì,
ta luôn có: MN  ON  OM .
1.2.1.4. Tích của một vectơ với một số
Tích của vectơ a với số thực k là một vectơ, kí hiệu là k a , được xác định
như sau:
• Nếu k  0 thì vectơ k a cùng hướng với vectơ a.
• Nếu k  0 thì vectơ k a ngược hướng với vectơ a.
• Độ dài vectơ k a bằng k . a .
Phép lấy tích của một vectơ với một số gọi là phép nhân vectơ với số.
1.2.1.5. Tích vô hƣớng của hai vectơ
Tích vô hướng của hai vectơ a và b là một số, kí hiệu là a.b , được xác
định bởi: a.b  a . b cos a, b .

 

4


1.2.1.6. Giải bài toán bằng phƣơng pháp vectơ
Giải bài toán bằng phương pháp vectơ là ta sẽ phiên dịch bài toán ngôn ngữ
hình học sang ngôn ngữ vectơ. Sau khi giải xong ta lại phiên dịch ngược lại từ
ngôn ngữ vectơ sang ngôn ngữ hình học để phù hợp với yêu cầu của bài toán.
1.2.2. Phƣơng pháp toạ độ
1.2.2.1. Định nghĩa hệ toạ độ



Trong không gian Ơclit n chiều En gọi e  e1 , e2 ,..., en

 là một cơ sở trực

chuẩn của E n tức là ei .e j  ij , trong đó ij  1 khi i = j, ij  0 khi i ≠ j thì tập



hợp O, e hay O, e1 , e2 ,..., en

 gọi là hệ toạ độ trực chuẩn hay là hệ toạ độ

Đêcac vuông góc.
1.2.2.2. Toạ độ của điểm
Trong không gian Ơclit n chiều En cho toạ độ trực chuẩn O, e . Với mỗi
điểm M  En ta có OM  E n và do đó có duy nhất n phần tử x1 , x2 ,..., xn  R
sao cho OM  x1 e1  x2 e2  ...  xn en .
Bộ n phần tử  x1 , x2 ,..., xn  được gọi là toạ độ của điểm M đối với các hệ toạ

độ đã cho.
1.2.2.3. Toạ độ của vectơ
Trong không gian Ơclit n chiều En. Nếu X   x1 , x2 ,..., xn   E ,
n

Y   y1 , y2 ,..., yn   E n thì

XY  OY  OX   y1  x1  e1   y2  x2  e2  ...   yn  xn  en .

Khi đó XY có toạ độ  y1  x1 , y2  x2 ,..., yn  xn  .
1.2.2.4. Một vài tính chất trong E2 và E3
+) Trong E2
Trong hệ toạ độ Đecac vuông góc Oxy cho u  x1 , y1  ; v  x2 , y2  ; k  R.

5


• u  v   x1  x2 , y1  y2 
• u  v   x1  x2 , y1  y2 
• k.u   kx1 , ky1 
• u.v  x1 x2  y1 y2
2
2
2
2
2
• u  x1  y1 do đó u  x1  y1

• u  v  u.v  0  x1 x2  y1 y2  0.
+) Trong E3

Trong hệ toạ độ Oxyz cho u  x1 , y1 z1 ,  ; v  x2 , y2 , z 2  ; k  R.
• u  v   x1  x2 , y1  y2 , z1  z2 
• u  v   x1  x2 , y1  y2 , z1  z2 
• k.u   kx1 , ky1 , kz1 
• u.v  x1 x2  y1 y2  z1 z2
• u 2  x12  y12  z12
2
2
2
do đó u  x1  y1  z1

• u  v  u.v  0  x1 x2  y1 y2  z1 z2  0.
1.2.2.5. Giải bài toán bằng phƣơng pháp toạ độ
Các bước giải bằng phương pháp toạ độ:
Bước 1: Chọn hệ toạ độ thích hợp
Bước 2: Chuyển ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ toạ độ
Bước 3: Giải các bài toán bẳng kiến thức toạ độ
Bước 4: Phiên dịch các kết quả từ ngôn ngữ toạ độ sang ngôn ngữ hình
học.

6


1.3. Các dạng tập hợp điểm cơ bản
1.3.1. Tập hợp điểm là đƣờng thẳng
 Tập hợp những điểm cách đều hai đầu của một đoạn thẳng là đường
trung trực của đoạn thẳng đó.
 Tập hợp các điểm cách đều hai cạnh của một góc là tia phân giác của
góc đó.
 Tập hợp những điểm cách đều một đường thẳng cố định cho trước một

khoảng cho trước là hai đường thẳng song song với đường thẳng đã cho
và cách đường thẳng đó một khoảng cho trước.
 Tập hợp những điểm cách đều hai đường thẳng song song cho trước là
một đường thẳng song song và nằm cách đều hai đường thẳng đã cho.
1.3.2. Tập hợp điểm là đƣờng tròn
 Tập hợp những điểm cách đều một điểm cố định cho trước một khoảng
cho trước là đường tròn tâm O bán kính R.
 Tập hợp những điểm luôn nhìn hai đầu của một đoạn thẳng cố định
cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB.
1.3.3. Tập hợp điểm là Elip
 Cho hai điểm cố định F1, F2. Đường elip là tập hợp các điểm M(x,y)
sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai điểm F1 và F2 là một số không
đổi 2a.
(E): MF1 + MF2 = 2a và F1F2 = 2c, (a > c).

Hai điểm F1, F2 gọi là hai tiêu điểm của elip.
Khoảng cách F1F2 = 2c gọi là tiêu cự của elip.
x2 y 2
 Phương trình chính tắc của Elip: 2  2  1 , (a > b > 0).
a
b

7


1.3.4. Tập hợp điểm là Hypebol
 Cho hai điểm cố định F1, F2 có khoảng cách F1F2 = 2c (c > 0). Đường
hypebol (còn gọi là hypebol) là tập hợp các điểm M sao cho
MF1  MF2  2a, trong đó a là số dương cho trước nhỏ hơn c.

Hai điểm F1 và F2 gọi là các tiêu điểm của hypebol.
Khoảng cách F1F2 = 2c gọi là tiêu cự của hypebol.
x2 y 2
 Phương trình chính tắc của Hypebol: 2  2  1 với a > 0, b > 0.
a b

1.3.5. Tập hợp điểm là Parabol
 Cho một điểm F cố định và một đường thắng (Δ) cố định không đi qua
F. Đường Parabol là tập hợp những điểm M cách đều F và (Δ).
Điểm F gọi là tiêu điểm của parabol.
Đường thẳng Δ được gọi là đường chuẩn của parabol.
Khoảng cách từ F đến Δ được gọi là tham số tiêu của parabol.
 Phương trình chính tắc của parabol: y2 = 2px, p > 0.

8


CHƢƠNG 2
MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM
TRONG HÌNH HỌC PHẲNG
2.1. Một số bài toán tìm tập hợp điểm bằng phƣơng pháp vectơ
2.1.1. Lớp bài toán tìm tập hợp điểm M thoả mãn một đẳng thức vectơ
2.1.1.1. Phƣơng pháp chung
Để tìm tập hợp điểm thoả mãn một đẳng thức vectơ ta biến đổi đẳng
thức vectơ đó để đưa về các tập hợp điểm cơ bản:
Một số tập hợp điểm cơ bản:
+) Nếu MA  MB với A, B cho trước thì tập hợp điểm M là đường
trung trực của đoạn thẳng AB.
+) Nếu MC  k AB với A, B, C cho trước thì tập hợp điểm M là
đường tròn tâm C bán kính k . AB (k ≠ 0).

+) Nếu MA  k BC với A, B, C cho trước
 k > 0 thì điểm M thuộc nửa đường thẳng qua A và song song với BC
cùng hướng với BC .
 k < 0 thì điểm M thuộc nửa đường thẳng qua A và song song với BC
ngược hướng với BC .
 k bất kì thì điểm M thuộc đường thẳng qua A và song song với BC.
2.1.1.2. Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1
Cho ABC. Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn:
a. MA  kMB  kMC

(1)

b. 1  k  MA  MB  k MC  0

(2)
9


Lời giải:
a. Ta có (1)  MA  kMB  kMC  0





 MA  k MB  MC  0

 MA  kCB
 MA  k BC hay MA cùng phương với BC .

 M thuộc đường thẳng qua A và song song với BC.

Vậy tập hợp M là đường thẳng qua A và song song với BC.
b. Ta có (2)  MA  kMA  MB  kMC  0





 MA  MB  k MA  MC  0 (3)
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC ta được:





(3)  ME  EA  ME  EB  k MF  FA  MF  FC  0
 2ME  2kMF  0

 ME  k MF  M thuộc đường trung bình EF của ABC.
Vậy tập hợp M là đường trung bình EF của ABC.
Ví dụ 2
Trong mặt phẳng cho ABC. Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn:
a. MA  MB  MC 

3
MB  MC
2

b. 4MA  MB  MC  2MA  MB  MC

(1)
(2)

Lời giải:
a. Gọi G là trọng tâm của ABC
Ta có: MA  MB  MC  3MG
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC, ta có: MB  MC  2MI .

10


Vậy (1)  3MG 

3
2MI
2

 MG  MI .
 M thuộc đường trung trực của đoạn GI.

Vậy tập hợp điểm M nằm trên đường trung trực của đoạn GI.
b. Gọi J là điểm thoả mãn hệ thức:

4 JA  JB  JC  0  tồn tại duy nhất điểm J.
Ta được: 4MA  MB  MC  6MJ

(*)

Mặt khác: 2MA  MB  MC  MA  MB  MA  MC  BA  CA  2 AI (**)

Từ (*) và (**) suy ra (2)  6MJ  2 IA
1
 MJ  IA  const.
3
1
3

Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm J, bán kính R  IA .
Ví dụ 3
Cho tam giác ABC, hai điểm M, N di động trên các tia AB và AC sao cho
AM CN
. Dựng hình bình hành MNCP. Tìm tập hợp những điểm P.

AB CA

Lời giải:

11


Đặt AM  k AB , k > 0  NC  k AC.
Gọi D là đỉnh của hình bình hành ABCD. Khi đó ta có:

AD  AB  AC

(1)

AP  AM  MP
 AM  NC (do MNCP là hình bình hành)
 k AB  k AC



 AB  AC



(2)

Từ (1) và (2)  AP  k AD , k > 0  P thuộc tia AD.
Ngược lại, với mọi P0 thuộc tia AD ta có:

AP0  k0 AD , k0 > 0



 CP0  CA  k0 AB  AC



 CP0  k0 AB  1  k0  AC

(3)

Trên tia AB, AC lấy điểm M0, N0 sao cho AM  k0 AB, N0C  k0 AC.
Ta có N0 M 0  AM 0  AN0

 k0 AB  1  k0  AC

(4)

Từ (3) và (4)  N0 M 0  CP0 tứ giác M0N0C0P0 là hình bình hành.
Vậy tập hợp điểm P chính là tia AD.
Ví dụ 4
Trên hai tia Ox, Oy của góc xOy lấy hai điểm M, N sao cho OM + ON = a
(a là độ dài cho trước). Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn MN.
Lời giải:
Lấy 2 điểm M0, N0 thuộc Ox, Oy sao cho OM0 = ON0 =

12

a
.
2


Giả sử OM  k  ON  a  k , với 0  k  a.
Khi đó OM 

2 a  k 
2k
OM 0 , ON 
ON0 .
a
a

Vì I là trung điểm của MN ta được:

OI 

2  a  k  ON 0 
1
1  2k
OM  ON   OM 0 

2
2  a
a






k
ak
 OM 0  M 0 I  OM 0 
ON 0
a
a

ak
k 
 M 0 I    1 OM 0 
ON 0
a
a 



 aM 0 I   a  k  ON0  OM 0
 M0I 



ak
M0N 0
a

 I  M 0 N0 .
Vậy tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng MN là đoạn thẳng M 0 N0 trong đó
M0, N0 là 2 điểm thoả mãn OM0 = ON0 =
2.1.1.3. Bài tập đề nghị

13

a
.
2


Bài tập 1: Cho ABC. Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn:
a. MA  1  k  MB  k MC  0 , k R
b. v  MA  MB  2MC cùng phương với BC .
Bài tập 2: Cho ABC. Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn:
2MA  3MB  3MB  2MC

a.

b. 3MA  2MB  MC  MB  MA

Bài tập 3: Cho ABC, các điểm M, N, P di động trên các cạnh BC, CA, AB
sao cho

MB PA NC
. Dựng hình bình hành MNPQ. Tìm tập hợp những


MC PB NA

điểm Q.
2.1.2. Lớp bài toán tìm tập hợp điểm M thoả mãn đẳng thức về tích vô
hƣớng
2.1.2.1. Phƣơng pháp chung
Ta biến đổi biểu thức ban đầu về một trong các dạng sau:
• MA  k  0 thì M thuộc đường tròn tâm A, bán kính R  k .
2

• MAMB  k với A, B cố định và k không đổi. Gọi I là trung điểm của đoạn
thẳng AB, ta được:




  MI  IB  MI  IB   MI  IB

k  MA.MB  MI  IA MI  IB
2

AB 2
 MI  k  IB  k 

.
4
2

2

AB 2
. Khi đó:
Đặt m  k 
4
+) Nếu m < 0 thì tập hợp M là tập rỗng.

14

2


+) Nếu m = 0 thì tập hợp M chỉ gồm một điểm I.
+) Nếu m > 0 thì tập hợp M thuộc đường tròn tâm I, bán kính R  m .
Đặc biệt nếu k = 0 thì tập hợp M là đường tròn đường kính AB.
• MA.BC  k với A, B, C cố định. Khi đó:
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, M lên BC.
Áp dụng định lí hình chiếu ta có

MA.BC  KH .BC  k  KH 

k
(giá trị không đổi).
BC

Mà H cố định nên K cố định.
Suy ra tập hợp điểm M là đường thẳng qua A và vuông góc với BC tại K.
Đặc biệt khi k = 0 thì M thuộc đường thẳng qua A và vuông góc với BC.
2.1.2.2. Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1
Cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng. Tìm tập hợp những điểm M sao
cho MA.MB  MA.MC  MC2  MB2  BC2 .

(1)

Lời giải:

Gọi G là trọng tâm của ABC.
Khi đó với mỗi điểm M bất kỳ ta có: MA  MB  MC  3MG.
2
2
2
Ta biến đổi (1) về dạng: MA.MB  MA.MC  MB  MC  BC



 





 MA. MB  MC  MB  MC MB  MC  BC 2
15







 MB  MC MA  MB  MC  BC 2
 CB.MG  BC 2 .
Gọi G’, H lần lượt là hình chiếu vuông góc của G, M lên BC.

BC
.
3

2
Ta được: 3GH .BC  BC  G ' H 

Do G’ cố định,

BC
không đổi nên H cố định.
3

Vậy tập hợp điểm M là một đường thẳng vuông góc với BC tại H.
Ví dụ 2
Cho ABC đều cạnh a. Tìm tập hợp những điểm M sao cho

5a 2
MA.MB  MB.MC  MC.MA 

.
2

(1)

Lời giải:
Gọi G là trọng tâm của ABC, với mỗi điểm M bất kì ta có:

MA  MB  MC  3MG



 MA  MB  MC



2

 9MG 2





 MA2  MB 2  MC 2  2 MA.MB  MB.MC  MC.MA  9MG 2 (2)
Lại có

MA2  MB2  MC 2  MA2  MB2  MC 2



 

 

2

2

 MG  GA  MG  GB  MG  GC





2

 3MG 2  GA2  GB2  GC 2  2MG GA  GB  GC

 3MG 2  GA2  GB 2  GC 2

 3MG 2  a 2 .

16




 MA2  MB 2  MC 2  3MG2  a2 .
Thay (3) vào (2) ta được:





2 MA.MB  MB.MC  MC.MA  9MG 2  3MG 2  a 2
a2
 MA.MB  MB.MC  MC.MA  3MG  .
2
2

a 2 5a 2
 MG 2  3a 2  MG  a 3.
Vậy (1)  3MG  
2
2
2

Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm G, bán kính R  a 3 .
Ví dụ 3
Cho ABC. Tìm tập hợp những điểm thoả mãn:
a) AM . AB  AC. AB

(1)

2
2
b) 2MB  MB.MC  a , a  BC

(2)

Lời giải:





a) (1)  AM  AC . AB  0

 MC. AB  0

 MC  AB
 M thuộc đường thẳng qua C vuông góc AB.
Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng qua C và vuông góc với AB.
b) (2)  a 2  2MB 2  MB.MC



 a 2  MB 2MB  MC



(3)

Xét điểm cố định K thoả mãn: 2 KB  KC  0



 



thì 2MB  MC  2 2MB  MK  MC  MK  0

 2MB  MC  3MK

17

(3)


a2
Do đó (3)  MB.MK  .
3
Gọi  là trung điểm của BK, ta được:





 



a 2  3MB.MK  3 MI  IK MI  IB  3 MI  IB MI  IB



 a 2  3 MI 2  IB 2





a2
a 2 BK 2
2
 MI   IB  
.
3
3
4
2

Từ 2 KB  KC  0  KB 

a
13a 2
a 13
2
 MI 
.
nên (3)  MI 
3
36
6

Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm O, bán kính R 

a 13

.
6

Ví dụ 4
Cho n điểm A1, A2, A3,…, An và n số k1, k2,…, kn với k1+ k2+…+ kn = k
(k ≠ 0). Tìm tập hợp những điểm M sao cho: k1MA12  k2 MA22  ...  kn MAn2  m ,
với m là một số không đổi.
Lời giải:
Với mọi điểm M, ta có

k1MA12  k2 MA22  ...  kn MAn2  m
2

2

2

 k1 MA1  k2 MA2  ...  kn MAn  m



 k1 GA1  GM



2



 k2 GA2  GM



2



 ...  kn GAn  GM





2

m



 k1GA12  k2GA22  ...  knGAn2  kGM 2  2GM k1 GA1  k2 GA2  ...  kn GAn  m .
2
2
2
Đặt k1GA1  k2GA2  ...  knGAn  s thì đẳng thức trên tương đương với

s  kGM 2  m hay GM 2 

ms
. Từ đó suy ra:
k

18


ms
 0 thì tập hợp các điểm M là đường tròn tâm G, bán kính
k

• Nếu
r

ms
.
k

• Nếu m  s  0 thì tập hợp các điểm M là một điểm G.
• Nếu

ms
 0 thì tập hợp các điểm M là tập rỗng.
k

2.1.2.3. Bài tập đề nghị
Bài tập 1: Cho ABC. Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn:







a. MA  MB 2MB  MC  0
2
b. 2MA  MA.MB  MA.MC

Bài tập 2: Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn: MA2  MB2  MC 2  MD2  k ,
k > 0 với A, B, C, D là bốn điểm cố định cho trước.
Bài tập 3: Cho ABC, biện luận theo tập hợp những điểm M thoả mãn:

MA.MB  MB.MA  MC.MA  k .
2.1.3. Lớp bài toán tìm tập hợp điểm M thoả mãn đẳng thức về độ dài
2.1.3.1. Phƣơng pháp chung
2

2
Ở dạng toán này chúng ta sử dụng kết quả: a  a.a  a .

2.1.3.2. Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1
Cho ABC có góc A nhọn và trung tuyến AI. Tìm tập hợp những điểm M
2
di động trong góc BAC sao cho AB. AK  AC.AH  AI trong đó K, H là

hình chiếu của M lên AB và AC.
Lời giải:

19


Từ giả thiết ta có



AB. AK  AB . AK .c os  AB, AK   AB.AK .c os0

AB. AM  AB . AM .cos AB, AM  AB.AM .cosBAM
0

 AB. AM  AB. AK  AB. AK.
Tương tự ta có: AC. AM  AC. AH  AC. AH .
2
Kết hợp với giả thiết ta có: AI  AB. AM  AC. AM





 AM AB  AC  2 AM . AI .
Gọi M0 là hình chiếu vuông góc của M lên AI thì tương tự như trên ta có:

AM . AI  AM 0 . AI  AM 0 . AI .
2
Khi đó ta có: AI  2 AI . AM 0  AM 0 

AI
 M0 là trung điểm của AI.
2

Vậy tập hợp điểm M là đoạn trung trực của AI nằm trong  BAC.
Ví dụ 2

Cho 2 điểm cố định A, B. Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn

 MA2   MB2  k (1) (k là số không đổi cho trước) trong 2 trường hợp:
a.     0
b.     0
Lời giải:
20