Khoá luận tốt nghiệp ứng dụng của nhóm gián đoạn vào vật lý neutrino

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1020.54 KB, 47 trang )

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LY
= = = £ o C ũ lo 3 = = =

Lưu THỊ HIÈN PHƯƠNG

ỨNG DỤNG CỦA NHÓM GIÁN ĐOẠN
VÀO VẬT LÝ NEUTRINO

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý Toán

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học
TS. PHÙNG VĂN ĐÒNG

HÀ NỘI - 2015

LỜI CẢM ƠN

Đe tài thực tập này được hoàn thành tại Viện vật lý dưới sự hướng dẫn
của TS. Phùng Văn Đồng. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc
tới TS.Phùng Văn Đồng - người đã tận tình truyền dạy, định hướng nghiên
cứu học tập cho tôi hoàn thành đề tài này.Đó chính là cơ sở, nền tảng để giúp
tôi hoàn thành luận văn này. Đồng thời tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới các
thầy Hoàng Ngọc Long, cô Đỗ Thị Hương đã giúp đỡ tôi trong quá trình học
hỏi dưới viện vật lý. Tôi cũng xin cảm ơn các anh, chị đang học cao học dưới
viện vật lý đã cùng tôi học hỏi và trao đối những tình cảm trong cuộc sống.

MỤC LỤC
MỞ Đ Ầ U ................................................................................................................................ 1

CHƯƠNG 1: NHÓM GIÁN Đ O Ạ N ...................................................................... 4
1.1. Cơ sở của lý thuyết n h ó m .............................................................................4
1.2. Nhóm s 3 ....................................................................................................................5

1.2.1. Cấu tạo và phép biến đổi của nhóm s 3............................................... 5
1.2.2.Các lớp liên hợp....................................................................................... 7
1.2.3.

Biễu diễn bất khả quy....................................................................... 7

1.2.4. Bảng đặc biểu của nhóm s 3................................................................. 10
1.2.5. Quy tắc nhân biểu diễn......................................................................... 11
1.3. Nhóm A 4 ........................................................................................................ 15
1.3.1 Cấu tạo và phép biến đổi của nhóm A 4 ...............................................15
1 .3.2.Các lớp liên h ợ p .....................................................................................18

1.3.3 Bảng đặc biểu.........................................................................................18
1.3.4. Biểu diễn bất khả quy...........................................................................19
1.3.5.Quy tắc nhân biểu diễn......................................................................... 20
CHƯƠNG 2 : MÔ HÌNH CHUẨN CỬA

s3VÀO VẬT LÝ NEƯTRINO.... 30

2.1. Mô hình chuẩn..............................................................................................30
2.2. Mô hình s 3............................................................................................................. 30

2.2.1. Phần lepton mang điện.........................................................................30

2.2.2 Khối lượng neutrino.............................................................................. 33
CHƯƠNG 3: MÔ HÌNH CHUẨN CỦA A 4 VÀO VẬT LÝ NEUTRINO.... 36
3.1. Phần lepton mang điện................................................................................ 36
3.2 Phần neutrino................................................................................................ 39
KẾT LUẬN.............................................................................................................. 44
TÀT LTỆU THAM K H Ả O .............................................................................................. 45

M Ở ĐÀU

Vật chất vận động là do 4 lực cơ bản: hấp dẫn, điện từ, yếu, mạnh. Các
hiện tượng điện và hiện tượng từ được con người biết đến từ rất sớm từ cách
đây hàng ngàn năm, nhưng chúng vẫn được xem là độc lập cho đến khi các
công trình thực nghiệm của Oersted và sau đó Faraday chứng minh mối liên
hệ giữa điện và từ. Trên cơ sở đó, năm 1865 Maxwell đưa ra lý thuyết thống
nhất tương tác đầu tiên trong lịch sử (cũng có người cho là thứ 2 sau lý thuyết
hấp dẫn của Newton), thống nhất tương tác điện và tương tác từ thành tương
tác điện từ (quang học là một hệ quả).
Không như tương tác điện từ vốn được con người biết đến rất sớm,
tương tác yếu được biết rất muộn. Năm 1896, Becquerel là người đầu tiên
phát hiện sự phân rã của /3. Sau đó, năm 1911 Meitner và Hahn đã chỉ ra rằng
phổ năng lượng của electron trong tia p là liên tục, và vì vậy vi phạm bảo
toàn năng lượng ( sau đó người ta cũng nghi nhận sự vi phạm bảo toàn góc và
spin). Mãi đến năm 1930, Pauli đề xuất bằng giải quyết vấn đề này bằng sự
góp mặt của hạt neutrino. Năm 1933-1934, Enrico Fermi đưa ra lý thuyết
tương tac yếu vạn năng V-A cho mọi hiện tượng rã Ị5 nhưng gặp nhiều khó
khăn do nó không tái chuẩn hóa được,

về

sau, Glashow ( năm 1961) dùng lý

thuyết trường chuấn của Yang và Mills đế giải quyết khó khăn về tính tái
chuấn hóa, theo đó dạng V-A của tương tác yếu đòi hỏi phải được mô tả với
sự có mặt của tương tác điện từ và hai loại tương tác cơ sở này được thống
nhất trong một lý thuyết đơn, gọi là tương tác điện yếu, dựa trên nhóm đối
xứng chuẩn SU(2)l ®U(\)y.
Tương tác mạnh mà ngày nay con người được biết đến phải kể đến
những khám phá đầu tiên của Ernest Rutherford, Hans Geiger và Ernest
Marsden về cấu trúc nguyên tử (1909). Người ta biết rằng hạt nhân cấu thành

1

từ các nucleon và chúng được liên kết với nhau bởi lực hạt nhân ( không có
lực này, hạt nhân sẽ tan rã do lực đẩy điện từ giữa các proton). Trái với tương
tác yếu Fecmi, ta có thể dễ dàng xây dựng được một lý thuyết tái chuẩn hóa
cho lực hạt nhân giữa các nucleon, ví dụ như lý thuyết Yukawa. Tuv nhiên,
những lý thuyết này gặp một vấn đề khác, vì lực hạt nhân là lực mạnh lý
thuyết sẽ càng sai khi khai triển nhiễu loạn bậc cao hơn. Sự phát triển có ý
nghĩa nhất với lý thuyết tương tác mạnh nói chung và lực hạt nhân nói riêng
chính là việc đưa ra ý tưởng về hạt quark do Gell-Mann, Nishijima, N e’eman
và Zweig. Vào năm 1965, người ta nhận thấy rằng các quark phải có thêm
một tích mới ( sau này gọi là mầu tích) và không có hàm ý nào khác chính là
một biểu diễn cơ sở của nhóm đối xứng chuấn mới SƯ(3)o
Mô hình chuẩn với hai phần cơ sở là lý thuyết điện yếu EW hay GWS và
sắc

động

lực

lượng

tử

QCD

dựa

trên

nhóm

đối

xứng

chuẩn

SU(3)c ®SU(2)L®U(2)y là nền tảng của vật lý hạt cơ bản ngày nay. Các
fecmion trong mô hình chuẩn được sắp xếp theo các thế hệ: thế hệ 1 gồm
ue,e,u,d, thế hệ 2 gồm v ^ụ ,c,s và thế hệ thứ 3 gồm

v T, T , t , b .

Mỗi fecmion

được tách thành hai thành phần y/L ( phân cực trái) và y/R ( phân cực phải).
Trong mô hình chuan, neutrino chỉ có phân cực trái vì không có thành phần

phân cực phải trong thực nghiệm. Các thành phần trái phải là cấu thành cơ sở
của mô hình chuẩn: hạt trái được xếp vào lưỡng tuyến của SU(2)L, trong khi
hạt phải biến đối như đơn tuyến của nhóm này. Các quark nằm trong biểu
diễn tam tuyến của nhóm mầu, trong khi lepton là đơn tuyến mầu. Siêu tích
yếu được xác định như sau Y = Q - T3, ở đây T 3 toán tử spin yếu và Q là toán
tử điện tích. Phá vỡ đối xứng điện yếu và sinh khối lượng cho các hạt được
sắp

xếp

bằng

cách

đưa

vào

một

lưỡng

tuyến

ộ = (ệ+,ộữ) = (G^ , V + H +ỈGz) . Đối xứng chuẩn bị phá vỡ như sau:

2

vô

hướng

SU(3)C®SU(2)l 0U(2)y ->sơ(3)c ®U0)Q. Các boson chuẩn truyền tương tác
yếu w ±,z,quark và lepton mang điện nhận khối lượng tỉ lệ với

V.

Photon

truyền tương tác điện từ gắn với U ( 1)q và các gluon truyền tương tác mạnh
gắn với S U ( 3)c có khối lượng bằng không. Trong thành phần lưỡng tuyến vô
hướng, Gị và Gz là ba trường Glodstone boson có khối lượng bằng không và
bị ăn bởi các boson chuẩn khối lượng w* và

z

( chúng không phải là hạt vật

lý).
Tất cả các fecmion nói chung đều có khối lượng và giữa chúng có sự trộn
lẫn. Ví dụ như khi một neutrino muon đi được quãng đường đủ lớn sẽ chuyển
hóa thành neutrino tau. Sự dao động của neutrino đã được quan sát từ thực
nghiệm và chỉ được giải thích khi neutrino có khối lượng và được trộn lẫn. Ta
cũng thấy các quá trình chuyển hóa giữa các hardon trung hòa như:
K° _K°;B° _B°;D°

Những quá trình này chỉ được giải thích khi các

quark được trộn lẫn.

Bằng thực nghiệm, người ta đã xác định được rằng các quark trộn nhỏ
(ma trận trộn bằng ma trận đơn v ị ), trong khi các góc trộn của neutrino lại lớn
và được xác định theo dạng tri-bimaximal ( ba góc thì có 2 góc trộn lớn). Tuy
nhiên về mặt lý thuyết, ma trận trộn trên là bất kì. Có một hướng nghiên cứu
rất mạnh đế giải thích các dạng ma trận trộn quan sát thấy trong tự nhiên và
đưa vào đối xứng gián đoạn những mô hình được xây dựng gọi là các lý
thuyết đối xứng vị.
Vì vậy, nó thúc đẩy tôi đi tìm hiểu về lĩnh vực này với đề tài của luận văn
là: “ỨNG DỤNG CỦA NHÓM GIÁN ĐOẠN VÀO VẬT LÝ NEUTRINO”.

3

CHƯƠNG 1
NHÓM GIÁN ĐOẠN

1.1. Co’ sở của lý thuyết nhóm
Tập hợp các phần tử A,B,C,D.. là 1 nhóm nếu thỏa mãn 4 tính chất của
nhóm, tức là phải tồn tại yếu tố đơn vị, thỏa mãn tính chất giao hoán, tồn tại
phần tử nghịch đảo và cuối cùng là thỏa mãn tính chất kết họp. Có thể phân
loại một nhóm dựa trên cấc phần tử của nó là gián đoạn hay liên tục. Neu các
phần tử của nhóm là gián đoạn ta có nhóm gián đoạn và ngược lại ta có nhóm
liên tục. Neu luật nhân nhóm là giao hoán, nghĩa là với mọi gl,gĩ eG thì
grg2 = g2.gị thì nhóm được gọi là nhóm Abel hay nhóm giao hoán, ngược lại
là nhóm non-Abel hay nhóm không giao hoán.
Neu ckeG được gọi là liên hợp với b eG thì yếu tố liên hợp c e G sao cho
c"'.a.c = b hoặc c.b.c "1 = a. Quan hệ liên hợp là quan hệ tương đương, tức là
nếu a liên họp với b thì b liên hợp với a. Khi đó, mọi yếu tố của nhóm G liên
hợp với cùng 1 yếu tố a thuộc G thì tạo thành lóp các yếu tố liên hợp của a.
Các biếu diễn của cùng một lớp được xem như nhau, nên cần nêu lên các đặc

trưng nội tại cho toàn lóp biểu diễn, nghĩa là tìm các đại lượng liên quan đến
biểu diễn, nhưng bất biến đối với các biến đổi ( khả nghịch) cơ sở của không
gian biểu diễn. Một trong những đặc trưng nêu lên ở trên chính là vết:
”
'
■'
’
’
TrD(g) = 2 _,£>.(#). Như vậy vêt của biêu diên gọi là đặc biêu của biêu diên và
(=1

kí hiệu là ỵ{g ) = TrD(g) .

4

1.2. Nhóm s3
1 .2 . 1

. Cấu tạo và phép biến đổi của nhóm S 3 .

S3 là nhóm non- abel ( không giao hoán) nhỏ nhất có bậcbằng 6. số bậc
của nhóm chính là số phần tử của nhóm. Nó là nhóm hoán vị của 3 số 1,2,3
gồm 6 phần tử, được kí hiệu là (e, aì? a2, a3, a4, a5)

1 2 3}
1 2

3

= (1,2,3) = (1,2,3)

V
ũị — 2

2

3"

3

1

= (2,3,1) s (123)

/
ị\
ũ2 = 3

2

3"

1 2 = (3,1,2) = (321)

V

/

ị\

ữ-ị = 2

2

1 3

\

= (2,1,3) - (12)
/

ị\
(Xị

3"

2

1 3

3"

= (1,3,2) = (23)

2

V

)

(1

2

3'

a5 — 3

2

1

V

= (3,2,1) = (31)

/

Trong biểu thức trên, số hạng thứ nhất là kí hiệu đầy đủ của phép hoán vị,
số hạng thứ 2 là kết quả của phép hoán v ị , số hạng thứ 3 là cách viết theo chu
trình.
Ví dụ : ai là phép biến đổi l-> 2 ^ > 3 -> l, a 3 là phép biến đổi l-> 2,2-> l,3
không đổi.
S3 chính là phép biến đổi của một tam giác đều thành chính nó, bao gồm :

5

+ Phép biến đổi đồng nhất ( phép biến đổi phần tử đơn v ị )
+ Phép phản xạ quanh trục (11 ’) , (22’) và (33’)

+ Phép quay quanh các góc 2^/3 ,4 ^/3 theo chiều ngược chiều kim đồng
hồ.
Ví dụ : sự phản xạ quanh trục (3,3’) dẫn tới sự thay đổi trục 1 và 2 và cứ
như vậy. Do đó chúng ta sẽ có 3 phép biến đổi trục tương ứng là (12), (23),
và (31). Quay ngược chiều kim đồng hồ bởi góc (2^/3), (4^/3) sẽ hoán vị
vòng cả 3 kí hiệu này. Nó tương ứng với phép biến đổi (123) và (321).
2

Từ đây, chúng ta sẽ hình thành được bảng nhân nhóm S3.

e
e

e

ai

ai

ai

^2

a3

a4

a5

ai

^2

a3

a4

^5

e

a3

a4

e

ai

a4

a5

a3

ai

a2

e

ai

a3

a3

a4

a5

e

a4

a4

a5

»3

a2

a5

a5

a3

a4

ai

6

3.2

e

1 .2 .2

.Các lớp liên hợp.

s là lớp liên hợp của G nếu :
S.g = g.S\/gGG
S[,!={*■' J.« ,« e G } s[ĩ]
( định nghĩa để xây dựng các lóp liên hợp) ( 1)
Từ định nghĩa để xây dựng các lớp liên hợp, ta có số liên họp của s 3 là:
[e] = {e}~c,
[dị ] = a~l,a{.a2 = a~' £ = a{
j — ữ-ỳ .ữy.ũ^ -- ũ,^
[ ứ | j — ữ Ặ 1.ứ| .$4 — ữ Ặ 1
[ữ ,] —

Vậy

.ữị.ũ 5 —

-- ũ^.ũ^ -- ữry

— ữ^.ũ^ — $2
.$4 — ữ^.ũ^ — #2

[ữ,] = {ữ, ,tf2}~ C2

Chứng minh tương tự : [a3 ] = [a4 ] = [tf5] ~ C3
Vậy S3 có 3 lớp liên hợp là {e},{an a 2 },{a3 ,a4,a 5}
Bảng liên hợp của nhóm S3.

c,

(1,2,3) = e

c2

(123) = a i; (312) 3 a 2

c3

(12) 3 a3; (23) 3 a4 ; (31) 3 a 5

1.2.3. Biếu diễn bất khả quy

Áp dụng định ly Burn side:
nf +nị+...n 2m=N( 2 )
N: bậc của G
m: số lớp liên hợp.

7

ni! chiều của biểu diễn bất khả quy thứ i.
Ta có : nf +nị + /I3 =6
Suy ra ni = 1 ; n 2 = 1 và n 3 = 2
Vậy S3 có 2 biểu diễn 1 chiều và 1 biểu diễn 2 chiều.
Mặt khác, S3 có 2 nhóm con bất biến là

z3và z2nên

:

Biểu diễn 1 chiều của S3 là :
Ị : D (e) = D (a,) = D (a2) = 1
D ( a 3) =D (a4) = D (a5) = 1
r : D (e) = D (aO = D (a2) = 1
D (a 3) = D (a 4) = D ( a 5) = - 1
Biểu diễn 2 chiều của S3 dựa trên phép biến đối đối xứng của 1 tam giác
đều có dạng:

D (e) =

8

X

D(a.) =

(x
vz

tj

.A = C;

,C = B;

,B = A

Giải 4 phương trình 4 ẩn ta tìm được
/2

Ma trận biểu diễn D(ai) =
ý

X,

y, z, t

■ */ Á
-y

Tương tự ta cũng tính được các ma trận biểu diễn

9

Biểu diễn cơ sở 2 chiều của nhóm S3 trong không gian thực có dạng :

(2 )

Các biểu diễn (2) chính là biểu diễn tối giản unita 2 chiều của S3. Điều đặc
biệt ở đây là biểu diễn tối giản unita có số chiều lớn hơn 1. Đối với nhóm
không giao hoán, phải tồn tại ma trận mà không phải là số, vì chỉ có ma
trận mới biểu diễn được quy tắc nhân không giao hoán.
1.2.4. Bảng đặc biếu của nhóm S 3

Dựa vào hệ thức trực giao cho đặc biểu :
z

(gJ-XÁga ) = Ỗ„i (3)

8

Với X : hàm số của lớp liên hợp ( vết của đặc biểu);
N: số phần tử của nhóm
Ka : số phần tử của lớp liên hợp a
a : chỉ số vectơ ( chiều của không gian)

Bảng đặc biểu của nhóm S3:
Xx

Xv

X2

Cì

1

1

2

c2

1

1

-1

c3

1

-1

0

1.2.5. Quy tắc nhân biếu diễn.

SỐ lần biểu diễn bất khả quy a xuất hiện trong một biểu diễn D là mD
( với D là biểu diễn tích tenxơ)
m«° = 'E ^ f - Z a’ (ga)-ZD(ga) = Y,\j-X c’ ,(g)-XD(g)
ư IV
8
V ới D = D ,®D 2 \x D(g) = ỵ IẠ g ).ỵ JẠ g )

Đối với nhóm gián đoạn

s3 gồm

có 2 biếu diễn 1 chiều và 1 biếu diễn 2

chiều.
= -.(1 .1 .22 + 2.1.(-1)2 + 3.1 .o2) = 1
6
mĩ = -.(1 .1 .22 + 2.1 .(-l)2 + 3.(-l).02) = 1
6
mị = -.(1 .2.22 + 2 .(-l).(-l)2 + 3.0.02) = 1
6
V ậy D = 2® 2 = !© r@ 2

Đẻ xác định các hệ số Clebsch-Gordan tương ứng với từng biểu diễn ta sử
dụng toán tử chiếu: Pa =
SN
Với D là biểu diễn bất kì tác dụng trong không gian vecto V, D a là biểu
diễn bất khả quy tác dụng trong không gian vecto v a, na là chiều của biểu

11

diễn bất khả quy Da, N là số phần tử của nhóm. Khi đó Pa là toán tử chiếu
trong không gian vecto

V lên không gian con v a.

Yeu tố ma trận của biếu diễn D = Da ®Dh được xác định như sau:
[°» ® D4 * = [ Đ« U D4

Xác định vecto trong không gian biểu diễn 2 ® 2 không gian 4 chiều
■2 ~ a { 11) + a 2 12)

2 ~ b x\\) + b2 \2)
2 <g> 2 ~ ( f l , 11 ) + a 2 12 ) ) (X) (/?, 11 ) + b 2 12 ) ~

11 1 ) + a j ? 2 11 2 ) + a 2ì?, 12 1 ) + a 2b 2 12 2 )

í a„ {bx
u ^

aj?2
a 2b\

yữ2b^J

Toán tử chiếu 2 ® 2 về

10
0

0 0

1 0

0

0 0

10

0

0

0

2

’^ 2®2 (^1 ) —

y,

SẨ

S/ 4

s /
/4

1/
/4
-3 /
/4

-3 /
/4
1/
/4

1

n/3

/

>

12

X
^2®2(^2 ) —

-* /<
1/
/4

-3 /
/4

ÿ

-3 /
/4

1/
/4

V

{ /4

*À

* /<

1/
/4

S /

& /

/4

/4

> /з /

- 1/

/4

3/

/4

-7 з /

< /з/

-3 /

- 1/

3/

-л /з /

-л /з /

XÁ

/4

/4

. /4

/4

/4

0
Pv

N g

-

1/
/4 J

S

/4

/4

00

0

1/

00

л/з

0

0 - 1 0

0

00

1

.

0

0

0

0"

_ 1 0

1

-1

0

~~2 0 -1

1

0

0

0

0,

,0

/
о

о

V
V
/2 /2

о

3/
3/
/2 /2

3

о

/

- 1/

/

"0

-j/,

о

1

0
1
~2 0 1
о
и
v-1 0

ои _ 1 0
3/

13

V3

3/

0 - 1 0 0

\

3/

%/

/4

/4

3/

/4 /4 А

/4

ОО ол

/1

-Л /

/4

ч

V

f

-

- 1/

3/

о
Pa 4 Ẹ * ;< * ) .D ( * ) = §

/

/34

ý

0

0

/4

’^ 2 ® 2 («3 )

3 - 3 0
6 0 - 3 3 0

= ^ĩ ĩ,xl{g)-Đ{g)=^-

S

1/
/4

-л /
- * /<

/4

/4

f

'ì

3/

/4

0 -n
1 0
1 0
0 1,

/4

SẮ

/

}

r\

о

о

1л

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1;

p .= -

1 0

ịXn)

' аД N

' afa +аф2'

ap 2 _ 1
Pi = афх ~ 2 '

0

axbx+ аф2

0

S

у0 .^ 2 у

a{b{ + аф2

0

'

0
v/V 2y

И - ^ Ф ' Н 22))
( 1 . 1)

=>1 ~ ( a fix + t t A )

p ,= -.

0

0

0

0

0

1

-1

0

0

-1

1

0

0

0

0

0

0
0

4 V

ар2

p,.

ciịb2 —ữ^bị

1

_ a j ?2 - ciẠjx

а ф { ~ 2 ' -ciịb2 + a 2bị
\ а2^\ у

,

0

Ì

"

=

,

jf~

Xã
~Xã
о у
| 2')

( 1.2)

Vậy Ị_' ~ {арг ~ aJ?\)

14

(1
p2 = -

2

2

0

0

-0

0

1 1 0

0

1 1 0

-10

0

1

^ à,/?, - a2/?2 ^
1 ữ|Z?2 + ữ-,/?|
ữj?2
—
a2bx ~~ 2 ứjồ2 + ứ,/?,
v2
—£7|/?| +ữ0/?2y
2^

r

r ũịbịN

+ ữ9/?,).

r 0 ^

0 ì

Xã
Xã
0 ,

I3'}

+{a.h - a 0b2).

Xã
Xã
0 ,

|4')

(1.3)

Vậy 2 Tóm lại:
1.

tắc nhân không tầm thường của S 3 là:

2(1, 2 )® 2 (1, 2 ) = 1(11 + 22) © r (12 - 21) + 2

(12 + 21^

vl l - 22 y

(1.4)

2. Ta có thê chứng minh được:
ị® ! > r ( ii)
102 = 2

rin
|,12j
f 11 ì

v - 12y
1.3. Nhóm A 4
1.3.1 Cẩu tạo và phép biếìt đối của nhóm A 4

A4 là đối xúng của tứ diện đều (tập họp các phép biến đổi biến tứ diện
đều thành chính nó). Nó là nhóm hoán vị chẵn của 4 số 1,2,3,4 gồm 12
phần tò, dược kí hiệu là: e, ai, a2, a3, a4, a5, a6, a 7, a8, a9, a10, an.

15

2 3 4"
(1 2 3
= e\a.
7 l=
,3 1 2
,1 2 3 4,
2 3 4^1
fl
= (124); «3 =
Cl~, —

2
1 3

e=

(\

2 3

aA=

2

1 3

= (134);ữs =

íì 2 3

4,

- (123);

2 3 4^
- (132);
3 14

í 1 2 3 4)
2 4 3
12

1

- (142);

3 4

4Ì = (143);a7 —
- (234);
2 4 K
vl 4 2 3
f \ 2 3 4^1
'1 2 3
4Ì - (243);a9 =
= (12)04);
2 1 4 3
3 4 2,
ri 2 3 4"
'1 2 3

cis —

(X\ n

4'

V3

4

1

41 - (13)(24);ếzu =
2,
,4

3 2

- (14)(23);

K

Trong biểu thức trên, số hạng thứ nhất là kí hiệu đầy đủ của phép hoán vị, số
hạng thứ 2 là kết quả của phép hoán vị theo chu trình
Ví dụ: ã] là phép biến đối 1

2 -^3 -> 1, 4 giữ nguyên (không đổi), a9 là phép

hoán vị của

16

Từ đây chúng ta sẽ hình thành được bảng nhân nhóm cho A 4

e

ai

a 2

a 3

a4

^5

a 6

a7

a 8

a 9

a io

a n

e

e

ai

^2

a3

a4

a5

a 6

a7

a 8

a 9

& 10

&11

ai

ai

a 3

& 10

e

a7

aỏ

a n

a 9

a 2

a4

a 8

a5

ã2

a 2

a n

a 5

a 4

a io

e

a 8

ai

clọ

a 6

a 3

a 7

^3

a 3

e

^8

ai

a 9

a n

a4

& 10

a7

ã2

aỏ

a4

a 4

^2

a 9

&11

a 6

a 7

e

& 10

a3

ai

a5

a8

a5

^5

a7

e

a io

a3

a2

a 9

a n

a 6

a 8

a4

ai

a 6

a 6

a 9

ai

a 8

e

& 10

a 4

a 5

a n

^2

a 7

a 3

ã7

ã7

& 10

ã4

a n

a 9

ai

e

^3

aỏ

a 8

a 8

a 6

^11

a 9

ã2

a 3

^10

e

a 7

a 5

ai

a 4

a 9

a 9

a 8

a7

a 6

a 5

a4

a 3

ã2

ai

e

a n

a io

&10

& 10

a 5

ai

ã2

a 3

a 4

&11

e

a 9

^11

&11

a4

a 8

a 7

a6

a5

& 10

a 9

e

a7

a 3

&2

ai

17

1.3. 2 .Cấc lớp liên hợp

Từ định nghĩa xây dựng các lớp liên hợp (1 ), ta có số liên hợp của A 4 là:
= w ~c,
a, = .a .a2= a2 ■a\0 = a4
4

ếỉ|

a 5

II
ồ
^1

ếỉ|

Cl^ .a .a3= Cl3 .e = dị
II
ồI

a,

Л .Cl^

•Cl~Ị —

a5

Л •a5 —a5 •ab = a%

ếỉ| —a6 Л •ab

1

•a\0 —a8
ữị —a~ .a .a7= a7 .a9= a5
Qso

II
00

II
a1

ữị = a- .a .as
.a ■a9

a,

.a2= a4
.Cl 4 — Cl5

= CL

= an .a
Vậy [ứ,] = {ữ, ,a4,a5,aH} ~ c,
^ [a2] = {a2,a6,a7,a3} ~ c 3
Chứng minh tương tự :
^
1^9J 1^9 ’«10’^11/ ^4
Vậy A4 có 4 lớp liên hợp là

ị e y , ị a ỵ,a 4,a 5,a s y , ị a 2 , a ố, a 1, a ĩ y , ị a 9 , a ịữ, a u y,

Bảng liên hợp của nhóm A4:

c,
c2

c3
c4

e

âba4> ^5, ag
^2,

a7, аз

aọ, aio, ац

1.3.3 Bảng đặc biểu

Dựa vào hệ thức trực giao cho đặc biểu (3) ta có bảng đặc biểu cho nhóm
A4

18

Xi

Xv

1

1

1

c,
c2
c3
c4
т тг •

|'2/г/

V ớ i W =
Xr

Жз

1

3

w

w2

0

1

w2

w

0

1

1

1

-1

»

, 1+ w

+ W= О

1.3.4. Bieu dien bất khả quy

Áp dụng định ly Bum side (2) ta có :
/2|2 + n\ + ìíị + n\ = 12
=> /г, —/22 = пъ —1; n4 —3

Vậy D 4 CÓ : 3 biểu diễn 1 chiều: !;Í;L;
1

biểu diễn 2 chiều : 3

Dựa vào các lớp liên hợp và bảng đặc biểu của A 4 ta có thể xây dựng các
biểu diễn 1 chiều của A4:
Biểu diễn 1 chiều :

ì

D

(e ) =

D

( a ,) =

D

( a 4)

= D ( a 5) = D

( a 8) =

1

D (a2) = D (a6) = D (a7) =D (a3) = 1
D (ag) = D (aio) = D (an) = 1
i D (e) = D ( a9) = D (a10) = D(an ) = 1
D (a,) = D (a4) = D (a5) = D(a8) =

w

D ( a2) = D (a6) = D (a7) = D (a3) = w 2
LD (e) = D (a9) = D (a10) = D (an) = 1
D (aO = D (a4) = D (a5) = D(a8) =

w2

D (a2) = D (a6) = D (a7) = D(a3) =

w

19

Các biểu diễn 3 chiều của A 4 trong không gian Oxyz biến tứ diện đều thành
chính nó.
fl
Lóp C]

1 0

0

0

c3:

Lớp Ca

1

1 0N ' 0

0

0

1

,1

0

0,

ro

Lớp

0^

0

'0

Lớp Q

0

0

0

0

n

'0

0

0

0

1

0

0

-1

0,

-1

0,

-1

0 '0

-1

0' ' 0

1

0" ' 0

1 9 0

0

0 , v-1

0

-1 9 0
0
0 , ,-11 0

-fỊ ' 0

0

-r

-1

0

0

1

0,

-1

1

0

0

0

1

0

ịì

0

0 " r -1

0

0 Ní-l

0

0"

0

-1

0 9 0

1

0

0

-1

0

vO 0

- l ,0

0

-K , 0

0

l

0^1
0

1.3.5.Quy tắc nhân biếu diễn

Xét tích không tầm thường D = 3 0 3 , các biếu diễn thành phần của tích
tensor:
1

= — .(1.1.32 + 4.1 .o2 + 4.1 .o2 + 3 . 1 . ( - 1)2) = 1

12

m ? = — .ạ . \ .32 + 4 w . 0 2 + 4 . w 2.02 + 3.1 . ( - l ) 2) = 1

ì

12

mỡ = — .(1.1 -32 + 4 .w 2.02 + 4 .w .0 2 + 3.1 . ( - l ) 2) = 1
£
12
m ị = — .(1 .3.32 + 4 .0 .0 2 + 4 .0 .0 2 +

3 .(-l).(-l)2) = 2

V ậy D = 3®3 = 1© L © L © 3© 3

20

Đe xác định các hệ số clebsch-Gordan tương ứng với từng biểu diễn ta sử
dụng toán tử chiếu: Pa = Ỵ!ị:-X*a(g)-D{g)
Với D là biểu diễn bất kì tác dụng trong không gian vecto V, Da là biểu
diễn bất khả quy tác dụng trong không gian vecto

va, na là chiều của biểu

diễn bất khả quy Da, N là số phần tử của nhóm. Khi đó pa là toán tử chiếu
trong không gian vecto V lên không gian con

va.

Yeu tố ma trận của biểu diễn D = D ®Db được xác định như sau:

3-

= ^ 3 - / ? , | l ) + / ? 2 |2} + fe3|3)

3<g>3~(a, I]}+a212) +o3|3))<s>(/?, I])+/?212)+ 13)>
~ axbị 111) + ap 2 112) + axb3113) + ứự?, 12 1) + a0b2 122) + a2b3123)
+a3bị 13 1) + a3b2 132) + a3b3 133))

Trong

C ơ SỞ :

|11),|12),|13),|21),|22),|23),|31),|32),|33)
dị bị

a{b2

Ta có thể viết 3 0 3 = a2b2
a2/?3

aA
a3 b2
Vch ^3 J

Các ma trận 303 cho các yếu tố của nhóm A 4 trong cơ sở trên là:

21

1 0

Lóp

0
0
0
0
1
0
0
0
0

0