Bài 5 trang 83 sgk toán 11

Bài 5. Chứng minh rằng
Bài 5. Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là
Hướng dẫn giải:Ta chứng minh khẳng định đúng với mọi n ε N* , n ≥ 4.
Với n = 4, ta có tứ giác nên nó có hai đường chéo.

Mặt khác thay n = 4 vào công thức, ta có số đường chéo của tứ giác theo công thức là:

=2

Vậy khẳng định là đúng với n= 4.
Giả sử khẳng định là đúng với n = k ≥ 4, tức là đa giác lồi k cạnh có

số đường chéo là
Ta phải chứng minh khẳng định đúng với n = k + 1. Nghĩa là phải chứng minh đa giác lồi k + 1cạnh có
số đường chéo là
Xét đa giác lồi k + 1 cạnh
Nối A1 và Ak, ta được đa giác k cạnh A1A2…Ak có
đường chéo (giả thiết quy nạp).
Nối Ak+1 với các đỉnh A2, A3, …, Ak-1, ta được thêm k -2 đường chéo, ngoài ra A1Ak cũng là một đường
chéo.
Vậy số đường chéo của đa giác k + 1 cạnh là

+k-2+1=
Như vậy, khẳng định cũng đúng với đa giác k + 1 cạnh
Vậy bài toán đã được chứng minh.