Bài 2 trang 82 sgk toán 11

Bài 2. Chứng minh rằng
Bài 2. Chứng minh rằng với n ε N* ta luôn có:
a) n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3;
b) 4n + 15n - 1 chia hết cho 9;
c) n3 + 11n chia hết cho 6.
Hướng dẫn giải:
a) Đặt Sn = n3 + 3n2 + 5n
Với n = 1 thì S1 = 9 chia hết cho 3
Giả sử với n = k ≥ 1, ta có Sk = (k3 + 3k2 + 5k)

Ta phải chứng minh rằng Sk+1

3

3

Thật vậy Sk+1 = (k + 1)3 + 3(k + 1)2 + 5(k + 1)
= k3 + 3k2 + 3k + 1 + 3k2 + 6k + 3 + 5k + 5
= k3 + 3k2 + 5k + 3k2 + 9k + 9
hay Sk+1 = Sk + 3(k2 + 3k + 3)
3, mặt khác 3(k2 + 3k + 3)

Theo giả thiết quy nạp thì Sk
3.
Vậy (n3 + 3n2 + 5n)

3 với mọi n ε N*

.

b) Đặt Sn = 4n + 15n - 1

Với n = 1, S1 = 41 + 15.1 – 1 = 18 nên S1

9

3 nên Sk+1


Giả sử với n = k ≥ 1 thì Sk= 4k + 15k - 1 chia hết cho 9.

Ta phải chứng minh Sk+1

9.

Thật vậy, ta có: Sk+1 = 4k + 1 + 15(k + 1) – 1
= 4(4k + 15k – 1) – 45k + 18 = 4Sk – 9(5k – 2)

Theo giả thiết quy nạp thì Sk
nên Sk+1

9 nên 4S1

9, mặt khác 9(5k - 2)

9,

9

Vậy (4n + 15n - 1)

9 với mọi n ε N*

c) Đặt Sn = n3 + 11n
Với n = 1, ta có S1 = 13 + 11n = 12 nên S1

6

Giả sử với n = k ≥ 1 ,ta có Sk = k3 + 11k

Ta phải chứng minh Sk+1

6

6

Thật vậy, ta có Sk+1 = (k + 1)3 + 11(k + 1) = k3 + 3k + 3k + 1 + 11k + 11
= ( k3 + 11k) + 3(k2 + k + 4) = Sk + 3(k2 + k + 4)

THeo giả thiết quy nạp thì Sk
4)

6, do đó Sk+1

6, mặt khác k2 + k + 4 = k(k + 1) + 1 là số chẵn nên 3(k2 + k +
6

Vậy n3 + 11n chia hết cho 6 với mọi n ε N* .