Bài 6 trang 169 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11

6. Chứng minh rằng các hàm số sau
6. Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc x:
a) sin6x + cos6x + 3sin2x.cos2x;
b) cos2

+ cos2

+ cos2

+ cos2

-2sin2x.

Lời giải:
a) Cách 1: Ta có:
y' = 6sin5x.cosx - 6cos5x.sinx + 6sinx.cos3x - 6sin3x.cosx = 6sin3x.cosx(sin2x - 1) + 6sinx.cos3x(1
- cos2x) = - 6sin3x.cos3x + 6sin3x.cos3x = 0.
Vậy y' = 0 với mọi x, tức là y' không phụ thuộc vào x.
Cách 2:
y = sin6x + cos6x + 3sin2x.cos2x(sin2x + cos2x) = sin6x + 3sin4x.cos2x + 3sin2x.cos4x + cos6x = (sin2x
+ cos2x)3 = 1
Do đó, y' = 0.
b) Cách 1:
Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm số hợp
(cos2u)' = 2cosu(-sinu).u' = -u'.sin2u
Ta được

y' =[sin
2x) + 2cos

vì cos

- sin

] + [sin

- sin

.sin(-2x) - 2sin2x = sin2x + sin2x - 2sin2x = 0,

= cos

=

.

Vậy y' = 0 với mọi x, do đó y' không phụ thuộc vào x.
Cách 2: vì côsin của hai cung bù nhau thì đối nhau cho nên

] - 2sin2x = 2cos

.sin(-


cos2

= cos2

'

cos2

= cos2

.

Do đó
y = 2 cos2

+ 2cos2

= 1 +cos

+ cos
cos2x + cos2x = 1.

Do đó y' = 0.

- 2sin2x = 1 +cos
+ cos2x = 1 + 2cos

+ 1 +cos

- (1 - cos2x)

.cos(-2x) + cos2x = 1 + 2