Một số nhóm cơ bản và ứng dụng

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

TRẦN THỊ TUYẾT

MỘT SỐ NHÓM CƠ BẢN VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
TS. HÀ THANH HÙNG

HÀ NỘI, 2015


LỜI CẢM ƠN
Trong suốt thời gian từ khi bắt đầu học tập ở giảng đƣờng đại học đến
nay, em đã nhận đƣợc rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ của quý thầy cô, gia đình
và bạn bè. Với lòng biết ơn sâu sắc nhất em xin gửi đến quý thầy cô ở Khoa Vật
Lý Trƣờng Đại Học Sƣ Phạm Hà Nội 2 đã cùng với tri thức và tâm huyết của
mình để truyền đạt vốn kiến thức quý báu cho chúng em trong suốt thời gian học
tập tại trƣờng.
Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến Giảng viên TS. Hà Thanh
Hùng, ngƣời đã trực tiếp hƣớng dẫn và nhiệt tình giúp đỡ em để hoàn thành tốt
khóa luận này.
Trong quá trình làm khóa luận với kiến thức, trình độ và thời gian có hạn
nên khó tránh khỏi sai sót, rất mong các thầy cô bỏ qua. Đồng thời do trình độ lí
luận cũng nhƣ kinh nghiệm thực tiễn còn hạn chế nên khóa luận không thể tránh
khỏi những thiếu sót, em rất mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp của thầy cô để

em học thêm đƣợc nhiều kinh nghiệm giúp em hoàn thành khóa luận đƣợc tốt
hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2015
Sinh viên thực hiện

Trần Thị Tuyết


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận của em đƣợc hoàn thành dƣới sự hƣớng dẫn của giảng viên TS.
Hà Thanh Hùng cùng với sự cố gắng của bản thân em. Trong quá trình nghiên
cứu và thực hiện khóa luận, em có tham khảo tài liệu của một số tác giả (đã nêu
trong mục tài liệu tham khảo).
Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận là kết quả nghiên cứu
của bản thân, không trùng với kết quả của các tác giả khác.
Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 05 năm 2015
Sinh viên thực hiện

Trần Thị Tuyết


MỤC LỤC
M Đ U ........................................................................................................... 1
. Lý do chọn đề tài ............................................................................................ 1
2. Mục đ ch nghiên cứu ...................................................................................... 1
3. Đối tƣợng nghiên cứu ..................................................................................... 1
4. Nhiệm vụ nghiên cứu ..................................................................................... 2
5. Phƣơng ph p nghiên cứu ................................................................................ 2

6. Cấu trúc khóa luận.......................................................................................... 2
NỘI DUNG ........................................................................................................ 3
CHƢƠNG : CÁC ĐỊNH NGHĨA CỦA NHÓM ............................................... 3
. . Định nghĩa về nhóm .................................................................................... 3
1.2. Các ví dụ về nhóm ....................................................................................... 5
CHƢƠNG 2: MỘT SỐ NHÓM CƠ BẢN ........................................................ 10
2.1. Nhóm hữu hạn ........................................................................................... 10
2.2.Nhóm không Abel ...................................................................................... 11
2.3. Nhóm hoán vị ............................................................................................ 13
2.4. Nhóm thƣơng ............................................................................................ 16
CHƢƠNG 3: ỨNG DỤNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP...................................... 21
KẾT LUẬN ...................................................................................................... 31
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 32


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn

tài

Khi nghiên cứu c c đối tƣợng vật lý, chúng ta gặp phải một tính chất rất
đặc biệt – tính chất đối xứng. Cụ thể, đó là:
- Tính chất đối xứng của không gian và thời gian trong các hệ quy chiếu
quán tính, dẫn đến những định luật bảo toàn quen thuộc (định luật bảo toàn năng
lƣợng, xung lƣợng, momen xung lƣợng,…).
- Tính chất đối xứng của các cấu trúc vật chất nhƣ tinh thể, phân tử, các
hạt cơ bản dẫn đến phƣơng ph p phân loại các mức (mức năng lƣợng, mức
“khối lƣợng”), hay một số đại lƣợng khác.
Tính chất đối xứng của c c đối tƣợng tự nhiên có thể “t nh to n” bằng
một bộ môn toán học trừu tƣợng gọi là lý thuyết nhóm. Đặc biệt, lý thuyết nhóm

đã cung cấp cho vật lý học một phƣơng ph p gọn, chính xác, bổ sung cho các
phƣơng ph p kh c. Trong một số bài to n đặc biệt, có thể nói rằng một số mặt
của vấn đề chỉ có thể giải quyết bằng công cụ lý thuyết nhóm.
Do đó, với sự phát triển hiện nay của vật lý học, phƣơng ph p lý thuyết
nhóm dần dần trở thành một phƣơng ph p kh thông dụng, nói chung không thể
thiếu đƣợc.
Vì vậy em đã chọn đề tài “Một số nhóm cơ bản và ứng dụng” làm đề tài
khóa luận tốt nghiệp của mình.
Em hi vọng đề tài này có thể là tài liệu tham khảo cho những bạn bƣớc
đầu làm quen với bộ môn lý thuyết nhóm.
2 Mục

ch nghiên cứu

- Tìm hiểu về lý thuyết nhóm và một số nhóm cơ bản.
- Giải một số bài tập về c c nhóm đó.
3 Đối tƣ ng nghiên cứu
- Một số nhóm cơ bản.
- Một số bài tập về c c nhóm đó.

1


4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Đƣa ra cơ sở lý thuyết của một số nhóm cơ bản.
- Giới thiệu một số bài tập về các nhóm cùng cách giải các bài tập đó.
5 Phƣơng ph p nghiên cứu
- Đọc, tra cứu tài liệu
- Phƣơng ph p vật lý lý thuyết và vật lý toán
6. Cấu trúc khóa luận

Chƣơng 1: C c ịnh nghĩa của nhóm
1.1. Định nghĩa về nhóm
1.2. Các ví dụ về nhóm
Chƣơng 2: Một số nhóm cơ bản
2.1 Nhóm hữu hạn
2.2 Nhóm không Abelian
2.3 Nhóm hoán vị
2.4 Nhóm thƣơng
Chƣơng 3: Ứng dụng giải một số bài tập

2


NỘI DUNG
CHƢƠNG 1: CÁC ĐỊNH NGHĨA CỦA NHÓM
1.1. Định nghĩa v nhóm
 Định nghĩa nhóm
Một tập hợp G  a, b, c đƣợc gọi là một nhóm nếu có một toán tử, đƣợc
gọi là phép nhân nhóm, mà toán tử này cùng với các phần tử của nhóm G thỏa
mãn các tính chất sau:
(i)

Tính kín: Nếu a, b  G thì a.b  G .

(ii)

Tính kết hợp: Với mọi a, b, c  G thì  a.b  .c  a.  b.c  .

(iii)

Tồn tại phần tử đơn vị trong số các phần tử của G, có một phần tử

đơn vị e sao cho: a.e  a với a  G .
(iv)

Tồn tại phần tử nghịch đảo: Với mỗi a  G có một phần tử nghịch

đảo a 1  G sao cho: a.a 1  e .
Từ c c tiên đề trong định nghĩa nhóm, ta có thể rút ra đƣợc các hệ quả
sau:
e 1  e, a 1 .a  e, e.a  a với a  G .

Ta xét một ví dụ đơn giản, các nhóm của tất cả các số nguyên dƣới phép
cộng, phép nhân nhóm đƣợc thực hiện nhƣ phép cộng thông thƣờng. Trong
nhóm này, phần tử đơn vị I đƣợc thay thế bằng số 0, và nghịch đảo của một số
nguyên a là a . Khi đó điều kiện (i) và (ii) đƣợc thỏa mãn bởi các số nguyên
dƣới phép cộng là hiển nhiên. Một nhóm đơn giản thứ hai, với phép nhân thông
thƣờng, đƣợc hình thành bởi 1 và - ; trong nhóm này, t nh k n đƣợc thỏa mãn, 1
là phần tử đơn vị và mỗi phần tử là nghịch đảo của chính nó.
 C c ịnh nghĩa kh c
Nhóm Abel: Một số nhóm G đƣợc gọi là nhóm Abel nếu phép nhân
nhóm là giao hoán: a.b  b.a với a, b  G

3


Nhóm tuần hoàn: Là một nhóm có thể sinh ra từ một tập hợp sinh chỉ
gồm một phần tử a . Nếu nhóm đƣợc viết theo lối nhân thì mỗi phần tử của
nhóm là một lũy thừa của a , và khi nhóm đƣợc viết theo lối cộng thì mỗi phần
tử của nhóm là một bội số của a .

Hạng của nhóm (hay còn gọi là cấp của nhóm): là số phần tử của nhóm
(nếu nhóm hữu hạn)
Bảng nhân nhóm: Là một bảng thể hiện luật nhân nhóm của các phần tử
trong nhóm

e

a

b

…

e

e

a

b

…

a

a

aa

ab

…

b

b

ba

bb

…

…

…

…

…

…

Nhóm con: Một tập con H của nhóm G cùng với luật nhân của G hình
thành một nhóm con của G.
Nhóm con bất biến: Nhóm con H của G đƣợc gọi là nhóm con bất biến
nếu H đồng nhất với tất cả các nhóm con liên hợp của nó.

aHa 1  H với a  G
Đẳng thức trên có thể viết dƣới dạng sau:

aH  Ha
tức là các lớp kề trái và phải theo một nhóm con bất biến là nhƣ nhau.
Theo định nghĩa, ta thấy ngay rằng nhóm con bất biến khi đã chứa phần tử
nào đó, sẽ chứa mọi phần tử liên hợp với phần tử đó hay nói c ch kh c, nếu đã
chứa một phần tử của lớp  a  thì phải chứa toàn thể lớp  a  .
Nhóm con bất biến tầm thƣờng: e và bản thân G.

4


Tất cả nhóm con của nhóm giao ho n đều bất biến.
Tính bất biến của nhóm con không phải là một tính bắc cầu: nhóm con bất
biến T của một nhóm con bất biến H của G không nhất thiết là một nhóm con
bất biến của G.
Các phần tử liên h p: Một phần tử b  G đƣợc gọi là liên hợp với
a  G nếu tồn tại một phần tử khác p  G sao cho b  pap 1 . Ta sẽ biểu thị

mối quan hệ này bằng kí hiệu “~”.
Tính chất:
(i)

Mỗi phần tử liên hợp với chính nó a ~ a (quan hệ phản xạ).

(ii) Nếu a ~ b thì b ~ a (quan hệ đối xứng).
(iii) Nếu a ~ b và b ~ c thì a ~ c (quan hệ bắc cầu).
Lớp liên h p: Các phần tử của một nhóm liên hợp với nhau thì hình
thành một lớp.
Mỗi phần tử của một nhóm chỉ thuộc một lớp. Phần tử đơn vị hình thành
một lớp với chính nó.

Tích trực tiếp: Gọi H1 và H2 là các nhóm con của G với các tính chất
sau:
(i)

Mọi phần tử của H1 giao hoán với mọi phần tử của H2, tức là:

h1h2  h2 h1 , h1  H1 , h2  H 2
(ii) Mọi phần tử g  G có thể viết đƣợc duy nhất dƣới dạng g  h1h2 , ở
đây h1  H1 , h2  H 2 .
Trong trƣờng hợp này, G đƣợc gọi là tích trực tiếp của H1 và H2, kí hiệu là
G  H1  H 2 .

1.2. Các ví dụ v nhóm
Ví dụ 1: Nhóm đơn giản nhất chỉ gồm một phần tử, phần tử đơn vị e .
Phần tử nghịch đảo của e chính là e và quy tắc nhân nhóm là e.e  e . Dễ thấy

5


tất cả những điều kiện là một nhóm đều thỏa mãn. Số 1 với phép nhân thông
thƣờng tạo thành một nhóm mà ta biểu thị bằng C1 .
Ví dụ 2: Nhóm đơn giản tiếp theo có hai phần tử, trong đó có một phần tử
đơn vị. Ta biểu thị nhóm này bởi e, a . Tùy theo tính chất của e , ta phải có

e.e  e và e.a  a.e  a . Vậy chỉ còn a.a cần đƣợc x c định. Hoặc aa  e
hoặc aa  a . Khả năng thứ hai là khả năng không thể vì nếu nhân cả hai vế với
a 1 thì dẫn tới a  e .
Luật nhân nhóm đƣợc tóm tắt ngắn gọn qua bảng . . Nhóm này đƣợc kí
hiệu là C 2 . Rõ ràng các số  1(e) và  1(a) hình thành nhóm này cùng với phép
nhân thông thƣờng

e

a

e

e

a

a

a

e

Bảng 1.1: Bảng nhân nhóm của C 2 .
Ví dụ 3: Có một và chỉ một nhóm ba phần tử gọi là C 3 . Bảng nhân đƣợc
1
1
đƣa ra ở bảng 1.2. Vì a  b , ta có thể kí hiệu ba phần tử bởi e,a,a  với
3
điệu kiện a  e . Ví dụ:

(i)

Các số 1, e i 2 / 3 , e i 2 / 3  với quy tắc nhân thông thƣờng.

(ii) Toán tử đối xứng cho tam gi c đều  trong mặt phẳng quay những
góc 0,2 / 3,4 / 3 .

e

a

b

e

e

a

b

a

a

b

e

b

b

e

a

Bảng 1.2: Bảng nhân của nhóm C 3 .

6


Ví dụ 4: Nhóm không tuần hoàn đơn giản nhất là hạng 4. Nó thƣờng đƣợc
gọi là nhóm 4 hay nhóm nhị diện và đƣợc kí hiệu bởi D2 . Nếu ta biểu thị bốn
phần tử này là {e, a, b, c} , bảng nhân đƣợc đƣa ra ở bảng 1.3. Bốn phần tử này
tƣơng ứng với các phép biến đổi đối xứng trong hình 1.1:
(i)

Giữ hình không đổi

(ii) Phép chiếu lên trục thẳng đứng (1,3)
(iii) Phép chiếu lên trục nằm ngang (2,4)
(iv) Phép quay quanh tâm một góc  trong mặt phẳng.

e

a

b

c

e

e

a

b

c

a

a

e

c

b

b

b

c

e

a

c

c

b

a

e

Bảng 1.3: Bảng nhân nhóm của D2 .
1

4

2

3

Hình 1.1: Dạng đối xứng D2 .
Ví dụ 5: Nhóm không Abel nhỏ nhất là hạng 6. Nó đƣợc tạo ra từ các
phép biến đổi đối xứng dạng hình học nhƣ hình .2

7


1

3’

2’

2

3

1’

Hình 1.2: Dạng đối xứng D3 .
Đây là nhóm nhị diện D3 bao gồm:
(i)

Phép biến đổi đơn vị

(ii) Phép chiếu xuống các trục ( , ’), (2,2’), (3,3’)
(iii) Phép quay các tâm với các góc 2 / 3 và 4 / 3
Các phép chiếu làm đổi chỗ hai điểm, chiếu thêm lần lƣợt ta sẽ trở lại
hình ban đầu. Do đó ta biểu thị ba toán tử này là (12), (23), (31). Các phép quay
(theo chiều kim đồng hồ) với góc 2 / 3 và 4 / 3 dẫn tới hoán vị tuần hoàn của
cả ba điểm, sẽ đƣợc biểu thị lần lƣợt là (321) và (123)
Ta nhận thấy rằng có một và chỉ một sự tƣơng ứng giữa các phép biến đổi
đối xứng và các hoán vị của ba điểm này hình thành nhóm hoán vị S 3 . Có thể dễ
dàng kiểm tra rằng nếu thực hiện các phép biến đổi (12) và (123) liên tiếp thì tùy
thuộc vào thứ tự áp dụng sẽ cho kết quả là (31) hoặc (23). Điều đó chứng tỏ đây
là nhóm không Abel.

8


e

(12)

(23)

(31)

(123)

(321)

e

e

(12)

(23)

(31)

(123)

(321)

(12)

(12)

e

(123)

(321)

(23)

(31)

(23)

(23)

(321)

e

(123)

(31)

(12)

(31)

(31)

(123)

(321)

e

(12)

(23)

(123)

(123)

(31)

(12)

(23)

(321)

e

(321)

(321)

(23)

(31)

(12)

e

(123)

Bảng 1.4: Bảng nhân của nhóm D3 (hay S 3 ) .

Ví dụ 6: Nhóm D2 có ba nhóm con riêng biệt bao gồm các phần tử

e, a, e, b và e, c. Bình phƣơng của a trong hai trƣờng hợp này bằng e . Do
đó e, a trùng với nhóm C 2 và hai tập còn lại cũng vậy.
Ví dụ 7: Tập hợp các ma trận khả nghịch n  n bất kì bao gồm ma trận
đơn vị và những ma trận có t nh k n dƣới phép nhân ma trận, hình thành một
nhóm ma trận. Một số nhóm quan trọng thƣờng dùng sau:
(i) Nhóm tuyến tính phổ biến GLn bao gồm tất cả những ma trận n  n
khả nghịch.
(ii) Nhóm Unita U n  bao gồm tất cả các ma trận Unita, tức là các ma
trận Unita n  n thỏa mãn: U .U   1 .
(iii)

Nhóm Unita đặc biệt SU n bao gồm các ma trận Unita với định

thức đơn vị.
(iv) Nhóm trực giao On  bao gồm các ma trận trực giao hoặc các ma trận

n  n thỏa mãn: O.OT  1 ( O T là ma trận trực giao của ma trận O). Rõ ràng
SU n và On  là các nhóm con của U n  ; và U n  lại là nhóm con của GLn  .

9


CHƢƠNG 2: MỘT SỐ NHÓM CƠ BẢN
2.1. Nhóm hữu hạn
Ta xét một tập hợp S gồm bốn phần tử:
S  1,3,5, 7 với phép nhân nhóm (phép đồng dƣ của 8)

Để tìm t ch (phép đồng dƣ của 8) của hai phần tử trong S, ta nhân chúng

với nhau theo c ch thông thƣờng, rồi lấy kết quả phép nhân đó chia cho 8 ta
đƣợc phần dƣ, phần dƣ này ch nh là t ch mà ta cần tìm. Ví dụ, 5  7  35 , 35
chia 8 ta đƣợc phần dƣ là 3. Rõ ràng còn thỏa mãn tính giao hoán a  b  b  a ,
ta có:
11  1,
3  3  1,
5  5  1,
7  7  1.

1 3  3,
3  5  7,
5  7  3,

1 5  5,
3  7  5,

1 7  7

Ta thấy rằng, tập hợp S thỏa mãn tính kín. 1 chính là phần tử đơn vị, tức
là 1 a  a với a  S . Hơn nữa, đối với phần tử a  S có một phần tử b (trong
trƣờng hợp này b  a ) thì a  b  1 , tức là mỗi một phần tử đều có một phần tử
nghịch đảo. Nhƣ vậy tập hợp S là một nhóm Abel bậc 4.
Ta có bảng nhân nhóm nhƣ sau:

1

3

5

7

1

1

3

5

7

3

3

1

7

5

5

5

7

1

3

7

7

5

3

1

Từ ví dụ trên, ta đƣa ra đƣợc các tính chất nhƣ sau:
(i) Mỗi một phần tử xuất hiện một và chỉ một lần trong mỗi hàng hoặc
mỗi cột của bảng nhân nhóm.

10


(ii)

Phần tử nghịch đảo của phần tử a có thể x c định bằng cách tìm dọc

theo hàng, trong đó a xuất hiện trong cột bên trái (hàng thứ a) và khi đó phần
tử b tƣơng ứng sẽ xuất hiện ở đầu cột (cột thứ b), trong đó phần tử đơn vị nằm
trên đƣờng chéo chính.
Ta rút ra đƣợc hệ quả: Khi phần tử đơn vị xuất hiện trên đƣờng chéo
chính thì các phần tử tƣơng ứng là bậc 2.
(iii)

Đối với nhóm Abel thì bảng nhân nhóm là đối xứng qua đƣờng

chéo chính.
Tổng quát: Xét một tập hợp S gồm bốn phần tử:
S  I , A, B, C với phép nhân nhóm (phép đồng dƣ của N).

ta luôn lập đƣợc bảng nhân nhóm nhƣ sau:

I

A

B

C

I

I

A

B

C

A

A

I

C

B

B

B

C

I

A

C

C

B

A

I

Vậy nhóm hữu hạn là một nhóm nếu số các phần tử của nhóm đó là hữu
hạn. Số lƣợng các phần tử của nhóm gọi là bậc của nhóm.
2.2.Nhóm không Abel
Ta xét các phần tử của một nhóm biến đổi qua một tam gi c đều thông

qua phép quay hai chiều. Có sáu phép quay: toán tử rỗng, hai phép xoay (là
2 / 3 và 4 / 3 , quay qua một trục vuông góc với mặt phẳng của tam giác), và

ba phép quay phản xạ trong mặt phẳng trung trực vuông góc của ba cạnh. Ta
biểu thị các phép quay này bằng các kí hiệu sau:
(i) I là toán tử rỗng.

11


(ii) R và R’ là phép xoay 2 / 3 và 4 / 3 (theo chiều ngƣợc chiều kim
đồng hồ).
(iii) K, L, M là các phép quay phản xạ
Một số phép nhân của a.b có thể dễ dàng t nh to n đƣợc:
R.R  R ', R'.R'  R, R .R'  I  R'.R
K.K  L.L  M.M  I

Biểu diễn các tích còn lại thông qua c c phép quay trong tam gi c đều ta
đƣợc:
K .M  R ', M .K  R, R.L  K

Ta thu đƣợc bảng nhân nhóm nhƣ sau:

I

R

R’

K

L

M

I

I

R

R’

K

L

M

R

R

R’

I

M

K

L

R’

R’

I

R

L

M

K

K

K

L

M

I

R

R’

L

L

M

K

R’

I

R

M

M

K

L

R

R’

I

Từ bảng nhân nhóm trên, ta nhận thấy:

(i) Các phần tử không đối xứng qua đƣờng chéo chính, một số kết cặp của
các phần tử trong nhóm không giao hoán.
(ii) Có một số nhóm đối xứng có cấu trúc 3  3 tạo thành một bảng nhân
nhóm gồm bốn khối là hình vuông. Điều này xảy ra bởi vì chúng ta đã đƣa vào
các toán tử tƣơng tự với tổ hợp các toán tử kh c khi t c động lên các phần tử của
nhóm. Ví dụ, để biến đổi phần tử ở hàng thành cột liền kề, ta có hai cách sau:
cách thứ nhất, dùng hai phép quay (hoặc ba nếu nhƣ nó đƣợc xem nhƣ là một
phép quay góc 0 / 3 ); cách thứ hai, dùng ba phép phản xạ.

12


Nhƣ vậy nhóm không Abel là một nhóm nếu nhóm đó không có t nh giao
hoán.
2.3. Nhóm hoán vị
Sự tồn tại thành phần nghịch đảo của mỗi phần tử là tính chất đặc trƣng
của nhóm. Hệ quả trực tiếp của tính chất này là bổ đề sắp xếp.
Bổ

sắp xếp: Nếu có p, b, c  G và pb  pc thì b  c .

Chứng minh:
1
Nhân trái cả hai vế với p thì ta có:

p 1 pb  p 1 pc

Mà p 1 p  e do đó eb  ec hay b  c (đpcm)
Kết quả này có nghĩa là: Nếu b và c là những phần tử khác nhau của G
thì pb và pc cũng kh c nhau. Bởi vậy nếu tất cả các phần tử của G đƣợc sắp

xếp theo một trật tự và đều nhân trái với cùng một phần tử p thì kết quả cũng
đúng với thứ tự sắp xếp ban đầu. Tất nhiên kết quả cũng giống nhƣ vậy nếu ta áp
dụng phép nhân phải.
Xét trƣờng hợp với nhóm hữu hạn hạng n . Ta biểu thị các phần tử của
nhóm là g1 , g 2 ,..., g n . Nhân mỗi phần tử này với một phần tử không đổi h thì





kết quả là {hg1 , hg 2 ,..., hg n }  g h1 , g h2 ,..., g hn ở đây h1 , h2 ,..., hn  là một hoán vị
của các số ( ,2,…,n) đƣợc x c định bởi h . Từ đó ta tìm đƣợc bản chất mối quan
hệ giữa phần tử h  G và một hoán vị đƣợc đặc trƣng bởi h1 , h2 ,..., hn  .
Một hoán vị tùy ý của n đối tƣợng sẽ đƣợc biểu thị bởi

2
1
p  
 p1 p2

13

3  n 

p3  pn 


ở đây mỗi phần tử trong hàng đầu tiên đƣợc thay thế bởi một phần tử tƣơng ứng
ở hàng thứ hai. Tập hợp n! hoán vị của n đối tƣợng hình thành một nhóm S n ,
gọi là nhóm hoán vị hay nhóm đối xứng.

Không khó để nhận thấy rằng kết quả thứ hai của sự đổi chỗ sẽ dẫn tới
một hoán vị. Điều này định nghĩa phép nhân nhóm. Phần tử đơn vị tƣơng ứng
việc không có sự đổi chỗ, tức là:

1 2  n 

e  
1 2  n 
Lấy nghịch đảo từ p ta đƣợc:

 p p2  pn
p 1   1
1 2  n





Một kí hiệu thích hợp và ngắn gọn hơn cho phép ho n vị là cơ sở trong
cấu trúc tuần hoàn có thể đƣợc giải thích rõ ràng nhất trong ví dụ sau: Xét hoán
vị của s u đối tƣợng

1 2 3 4 5 6 

p  
3
5
4
1
2

6


Vì

đƣợc thay thế bởi 3, 3 đƣợc thay thế bởi 4, 4 đƣợc thay thế bởi 1 nên

ba đối tƣợng này hình thành một chu kì-3 và đƣợc kí hiệu là ( 34). Tƣơng tự, 2
và 5 hình thành một chu kì-2, đƣợc kí hiệu là (25). Số 6 không bị xáo trộn, nó có
dạng chu kì- , đƣợc kí hiệu là (6). Các kí hiệu tuần hoàn ( 34)(25)(6) đã x c
định rõ phép hoán vị.
Với kí hiệu này phần tử bao gồm n chu kì-1 và nghịch đảo của

 p1 , p2 ,, pm 

là những số giống nhƣ vậy trong cấp nghịch đảo, tức là

( pm , pm1 ,, p1 ) . Rõ ràng rằng vị trí tuyệt đối của một số trong chu kì là không
quan trọng, chỉ cần kể đến bậc tuần hoàn.

14


Phép ẳng cấu: Hai nhóm G và G’ đƣợc gọi là đẳng cấu nếu tồn tại một
và chỉ một sự tƣơng ứng giữa các phần tử của chúng. Các phần tử này đều tuân
theo luật nhân nhóm. Nói cách khác, nếu g i  G  g i ' G' và g1 g 2  g 3 trong
G thì g1 ' g 2 '  g 3 ' trong G’ và ngƣợc lại.
Ví dụ:
(i) Nhóm A bao gồm các số  1,i cùng với phép nhân thông thƣờng
đẳng cấu với nhóm tuần hoàn hạng 4, C4  1, e 2i / 4 , e 4i / 4 , e 6i / 4  kí hiệu A C4 .

(ii) Nhóm nhị diện D3 đẳng cấu với nhóm đối xứng S 3 , D3

S3 .

Định lí Cayley: Mọi nhóm G hạng n đẳng cấu với một nhóm con của

Sn .
Chứng minh:
Bổ đề sắp xếp đã đƣa ra một sự tƣơng ứng từ G tới S n :

1 2  n 
  S n
a  G  pa  
a
a

a
n
 1 2

(2.3.1)

ở đây chỉ số ai  đƣợc x c định từ việc định nghĩa đơn vị.

g ai  ag i , i  1,2,, n

(2.3.2)

Đặt ab  c trong G. Ta có sự tƣơng ứng:

1 2  n  1 2
 
p a pb  
a
a

a
n   b1 b2
 1 2
 b1 b2  bn  1 2
 
 
 b b
a
a

a
b
b
b
2
n  1
 1 2
1 2  n 

 

a
a


a
b
b
b
n 
 1 2

 n

 bn 
 n

 bn 

Nhƣng theo (2.3.2) thì

g ab  ag bi  abg i   abg i  cg i  g ci
i

15


Ta kết luận rằng vế phải của phƣơng trình trên là đúng

1 2  n 

pc  
c
c


c
n
 1 2
Vậy ab  c trong G dẫn tới pa pb  pc trong S n , nói cách khác ánh xạ
a  G  pa  S n tuân theo phép nhân nhóm. Nó chỉ ra rằng các hoán vị

1 2  n 

p a  
a
a

a
n
 1 2
với mọi a  G hình thành một nhóm con của S n mà nhóm con này đẳng cấu
với G.
Ví dụ: Nhóm nhị diện {D2 : e, a, , c} đẳng cấu với nhóm con của S 4 bao
gồm các phần tử e, 12   34  , 13  24  , 14   23 .
Hơn nữa, các kí hiệu tuần hoàn xuất hiện trong một hoán vị bất kì kết hợp
với một phần tử cho trƣớc của nhóm phải có cùng k ch thƣớc. Điều này rõ ràng
đúng trong v dụ trên. Kết quả này đƣa ra một hệ quả đó là: Nếu hạng n của
nhóm là một số nguyên tố thì nhóm con tƣơng ứng của S n chỉ gồm các chu kìn.
Định lí: Nếu hạng n của nhóm là một số nguyên tố thì nhóm đó phải
đẳng cấu với C n .
2.4. Nhóm thƣơng
Lớp k : Nếu gọi H  h1 , h2 , là một nhóm con của G và p là một
phần tử của G p  H  thì tập hợp các phần tử pH  ph1 , ph2 , đƣợc gọi là lớp
kề trái của H. Tƣơng tự nhƣ vậy, Hp  h1 p, h2 p, đƣợc gọi là lớp kề phải của
H.

16


Các lớp kề của H không phải là các nhóm con vì chúng không chứa phần
tử đơn vị. Số các phần tử của mỗi lớp kề chính là hạng của nhóm con H. Điều
này nhƣ một hệ quả của bổ đề sắp xếp.
Bổ

: Hai lớp kề trái của một nhóm con H hoặc là trùng nhau hoàn

toàn, hoặc là không có phần tử nào chung.
Chứng minh:
Gọi pH và qH là hai lớp kề. Giả sử phi  qh j với một số hi , h j  H thì
q 1 p  h j hi

1

là một phần tử của H. Điều này chỉ ra rằng, q 1 pH phải trùng với

H, tức là q 1 pH  H . Suy ra pH  qH . Tuy nhiên, nếu không tồn tại hi , h j
thỏa mãn phi  qh j thì pH và qH phải đƣợc định nghĩa kh c nhau.
Với một nhóm con H cho trƣớc hạng n H , các lớp kề trái riêng biệt của H
chia các phần tử của nhóm lớn G thành tập hợp các nhóm con hạng n H .
Định lí Lagrange: Hạng của một nhóm hữu hạn phải bằng một số
nguyên lần hạng của nhóm con bất kì của nó.
Ví dụ: Xét nhóm hoán vị S 3 :
(i)

Nhóm con H1 : e, 123, 321 có một lớp kề M : 12, 23, 31 thu

đƣợc bằng cách nhân trái (12) hoặc (23) hoặc (31) với các phần tử của H.
(ii)

Nhóm con H 2 : e, 12 có hai lớp kề trái M 1 : 23, 321 thu đƣợc

bằng cách nhân (23) hoặc (321) với các phần tử của H 2 và M 2 : 31, 123 thu
đƣợc bằng cách nhân (31) hoặc (123) với các phần tử của H 2 . Nhƣ vậy ta đã
minh họa việc phân chia các phần tử của S 3 theo các lớp kề và lớp trong hình
1.3.

17


H1
(123)

M1

(321)

(31) e

M2
(123)

(23)

(31)

(321)
e

(23)

(12)

(12)

M

H2

a)

3
(123)

b)

(321)

(31) e (23)
(12)

2
c)

Hình 1.3: a) Các lớp kề trái của H 1
b) Các lớp kề trái của H 2

c) Các lớp của S 3 với  1  e ,  2  12, 23, 31,

 3  123, 321
Xét các lớp kề của một nhóm con bất biến H nhƣ c c phần tử của nhóm
mới. Phép nhân của hai lớp kề pH và qH đƣợc định nghĩa là một lớp kề có
1
chứa tất cả các tích phi qh j   pq  hk ở đây hk   q hi q  h j  H với hi , h j  H và

p, q  G . Từ pH  qH   pq  H , rõ ràng rằng:

(i) H  eH đóng vai trò của phần tử đơn vị.
(ii) p 1H là phần tử nghịch đảo của pH .
(iii) pH   qH  rH    pH  qH   rH   pqr  H

18


Định nghĩa nhóm thƣơng: Nếu H là một nhóm con bất biến của G, tập
các lớp kề với luật nhân pH  qH   pq   H tạo thành một nhóm, gọi là nhóm
thƣơng của G. Nhóm thƣơng đƣợc kí hiệu bởi G/H, nó có cấp bằng nG / n H .
Ví dụ: Xét nhóm con bất biến H  e, a 2  của nhóm tuần hoàn C 4 . H và
lớp kề M  a, a 3  hình thành nhóm thƣơng C4 / H đều hạng 2 và đẳng cấu với
C2 .

Định nghĩa (phép ồng cấu):
Một đồng cấu từ nhóm G đến nhóm G’ là một ánh xạ (không nhất thiết là
một-một), mà phép nhân nhóm đƣợc bảo toàn.
Nói cách khái, nếu gi  G , gi '  G ' và g1 g2  g3 thì g1 ' g2 '  g3 ' .
Đẳng cấu là trƣờng hợp đặc biệt của đồng cấu. Toàn bộ lý thuyết biểu
diễn nhóm đƣợc xây dựng theo đồng cấu từ nhóm trừu tƣợng (thƣờng là nhóm

đối xứng trong vật lý) tới nhóm toán tử hoặc ma trận tuyến tính trên không gian
vector (không gian của các trạng thái vật lý).
Ví dụ: Ánh xạ từ S3 tới C2 mô tả trong hình vẽ dƣới đây là một đồng cấu.

H

(123)

(321)
e

e
(31)

a

(23)
(12)

M

C2
S3

Điều này xuất phát từ thực tế rằng tích của hai phần tử bất kì từ H hoặc từ
M đƣợc kết quả là một phần tử trong H, trong khi tích của một phần tử H với
một phần tử từ M cho kết quả là một phần tử trong M.

19

Từ đó rút ra nhận xét quan trọng: nếu G có một nhóm con bất biến H, thì
có tồn tại một đồng cấu từ G tới nhóm thƣơng G/H. Phép nhân nhóm đƣợc bảo
toàn theo định nghĩa.
Định lí: Cho f là một đồng cấu từ G đến G’. Kí hiệu K là tập tất cả các
phần tử của G mà được ánh xạ tới phần tử đơn vị của G’, tức là
f


K  a  G, a  e '  G ' . Thì K tạo thành một nhóm con bất biến của G. Hơn nữa,



nhóm thương G/K cũng đẳng cấu với G’.
Chứng minh:
f

(i) Nếu a, b  K , thì ab  e ' e '  e ' . Do đó ab  K . Đối với một đồng cấu
f

f

f

ta phải có e  G  e '  G ' và g 1  g '1 (nếu g  g ' ). Do đó e  K và nếu
f

1
1
a  K thì a   e '  e ' , hàm ý rằng a  K . Do đó K là một nhóm con.

1

(ii) Cho a  K và g là một phần tử bất kì thuộc G. Ta có:
f

 

gag  g ' e ' g 1 '  g ' e '  g '  e '
1

1

Do đó gag 1  K , g  G . Điều này nghĩa là K là một nhóm con bất biến.
(iii) Các phần tử của nhóm thƣơng G / K là các lớp liền kề pK .


Xét ánh xạ

pK  p '  G '

(trong đó



p p'

vì

p  K ). Nếu

  pK     qK  thì   q1K  pK     q 1K    pK    1  qK    pK   e ' , ngụ
ý rằng q 1 pK  K hay qK  pK . Vì ánh xạ là một-một. Phép nhân nhóm đƣợc
bảo toàn bởi  , vì   pK    qK   p ' q '   pq  '    pqK  . Do đó
đẳng cấu.

20



là một


CHƢƠNG 3: ỨNG DỤNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP

Trong quá trình học vật lý, việc giải bài tập có vai trò rất quan trọng, hoạt
động này giúp ngƣời đọc hiểu sâu kiến thức, biết phân tích và vận dụng chúng
một cách linh hoạt. Đồng thời giải bài tập là một hình thức củng cố, ôn tập, hệ
thống hóa kiến thức và biến kiến thức đó thành vốn riêng của ngƣời học.
Lý thuyết nhóm cung cấp ngôn ngữ khoa học tự nhiên để trình bày các
nguyên l đối xứng một c ch rõ ràng, ch nh x c và để thấy đƣợc tầm quan trọng
của nó trong toán học vật lý. Trong một số bài to n đặc biệt, có thể nói rằng một
số mặt của vấn đề chỉ có thể giải quyết bằng công cụ lý thuyết nhóm.
Trong chƣơng này, em xét một số dạng bài tập thƣờng gặp và áp dụng các
định lí, bổ đề, tính chất của c c nhóm để giải cụ thể bài tập đó.
Bài tập 1: Cho H  e, 123, 321, chứng tỏ rằng S 3 / H là một nhóm
thƣơng.
Giải:
Ta có H  e, 123, 321 là nhóm con bất biến của nhóm

S3 .

Gọi M  12, 23, 31.
Nhóm thƣơng S3 / H  aH : a  S3 
Cụ thể:
eH  e e, 123 ,  321  e, 123 ,  321  H

12  H  12  e, 123 ,  321  12  ,  23 ,  31  M
 23 H   23 e, 123 ,  321   23 ,  31 , 12   M
 31 H   31 e, 123 ,  321   31 , 12  ,  23  M
123 H  123 e, 123 ,  321  123 ,  321 , e  H
 321 H   321 e, 123 ,  321   321 , e, 123  H
Vậy S3 / H  H , M , nhóm thƣơng này hạng 2, đúng bằng nS3 / nH .

21