Nghiên cứu mô hình khí lý tưởng trong vật lý thống kê

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

PHẠM THỊ BÍCH PHƢƠNG

NGHIÊN CỨU MÔ HÌNH KHÍ LÝ TƢỞNG
TRONG VẬT LÝ THỐNG KÊ
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
PGS.TS LƢU THỊ KIM THANH

HÀ NỘI - 2015


LỜI CẢM ƠN
Trƣớc hết em xin chân thành cảm ơn sự chỉ bảo, hƣớng dẫn tận tình của cô
PGS.TS Lƣu Thị Kim Thanh. Đồng thời em xin cảm ơn sự giúp đỡ quan tâm
của thầy cô trong tổ vật lí lý thuyết và các thầy cô trong khoa Vật Lý trƣờng Đại
học Sƣ phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt khóa luận của
mình.Cuối cùng em xin tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè những ngƣời đã luôn
giúp đỡ, động viên em trong suốt thời gian làm khóa luận tốt nghiệp.
Với khả năng và trình độ còn hạn chế của một sinh viên và là lần đầu tiên
đƣợc làm quen với nghiên cứu khoa học, nên trong quá trính thực hiện khóa luận
này không thể tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận đƣợc ý kiến đóng
góp của thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em đƣợc hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2015
Sinh viên thực hiện

Phạm Thị Bích Phƣơng


LỜI CAM ĐOAN
Đây là công trình khoa học của riêng em dƣới sự hƣớng dẫn của cô PGS.TS
Lƣu Thị Kim Thanh. Đề tài “ Nghiên cứu mô hìnhtrong vật lý thống kê khí lý
tƣởng” đƣợc hoàn thành trên cơ sở nghiên cứu các giáo trình tài liệu về nhiệt
động lực học, vật lý thống kê, vật lý chất rắn.
Hà Nội, tháng 5 năm 2015
Sinh viên thực hiện

Phạm Thị Bích Phƣơng


MỤC LỤC
A. PHẦN MỞ ĐẦU .............................................................................................. 1
1.Lí do chọn đề tài ...................................................................................... 1
2. Mục đích, nhiệm vụ của đề tài ................................................................ 1
3. Đối tƣợng nghiên cứu ............................................................................. 2
4. Phạm vi nghiên cứu ................................................................................ 2
5. Phƣơng pháp nghiên cứu ........................................................................ 2
B.NỘI DUNG........................................................................................................ 3
CHƢƠNG 1: KHÍ LÝ TƢỞNG THEO QUAN ĐIỂM CỔ ĐIỂN ....................... 3
1.1 Mô hình về khí lý tƣởng ....................................................................... 3
1.1.1 Khái niệm khí lý tƣởng .................................................................. 3
1.1.2 Phƣơng trình trạng thái của khí lý tƣởng ....................................... 4
1.1.3. Mối liên hệ giữa khí lý tƣởng với khí thực. .................................. 7
1.2 Các hàm phân bố Gipxo theo quan điểm cổ điển. ................................ 8
1.3. Khảo sát hệ khí lý tƣởng bằng phân bố Gibbs cổ điển. ..................... 17

1.3.1. Năng lƣợng tự do ........................................................................ 22
1.3.2. Phƣơng trình trạng thái của khí lý tƣởng. ................................... 22
1.3.3. Biểu thức entropi của khí lý tƣởng. ............................................ 23
1.3.4. Biểu thức nội năng và nhiệt dung CV của khí lý tƣởng đơn
nguyên tử ............................................................................................... 23
Kết luận chƣơng 1 ............................................................................................... 24
CHƢƠNG 2: KHÍ LÝ TƢỞNG LƢỢNG TỬ .................................................... 25
2.1. Khí Boltzmann ................................................................................... 25
2.1.1. Phân bốBoltzmann ...................................................................... 25
2.1.2 Năng lƣợng và nhiệt dung của khí lý tƣởng Boltzmann lƣỡng
nguyên tử ............................................................................................... 25
2.2 Khí lý tƣởng Fermi và Bose................................................................ 33


2.2.1.Khí lý tƣởng Fermi....................................................................... 33
2.2.2. Khí lý tƣởng Bose ....................................................................... 33
2.2.3. Phƣơng trình trạng thái của khí lý tƣởng Fermi và Bose ........... 34
2.3 Khí electron tự do trong kimloại......................................................... 37
2.4. Photon: Những bức xạ cân bằng ........................................................ 42
Kết luận chƣơng 2 ............................................................................................... 44
CHƢƠNG 3: MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ KHÍ LÝ TƢỞNG ................................... 45
3.1 Bài tập về khí lý tƣởng cổ điển ........................................................... 45
3.2 Bài tập về khí lý tƣởng lƣợng tử ......................................................... 48
Kết luận chƣơng 3 ............................................................................................... 54
C. KẾT LUẬN .................................................................................................... 55
D.TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 56


A. PHẦN MỞ ĐẦU
1.Lí do chọn đề tài

Vật lý lý thuyết là bộ môn chuyên đi sâu vào vấn đề xây dựng các thuyết vật
lý. Dựa trên nền tảng mô hình vật lý các nhà khoa học xây dựng các thuyết vật
lý. Thuyết vật lý là sự hiểu biết tổng quát nhất của con ngƣời trong một lĩnh vực,
một phạm vi vật lý nhất định. Dựa trên một mô hình vật lý tƣởng tƣợng , các
nhà vật lý lý thuyết bằng phƣơng pháp suy diễn, phƣơng pháp suy luận toán học
đã đề ra một hệ thống các quy tắc, các định luật, các nguyên lý vật lý dùng làm
cơ sở để giải thích các hiện tƣợng, các sự kiện vật lý và để tạo ra các khả năng
tìm hiểu, khám phá, tác động hiệu quả vào đời sống thực tiễn. Để biết đƣợc cấu
tạo của các phân tử tạo nên vật chất qua đó giải thích đƣợc nhƣng tính chất vĩ
mô của chúng liên quan đến sự chuyển động của các phân tử, chúng ta phải
nghiên cứu các trạng thái khác nhau ( khí, rắn, lỏng ) của vật chất. Muốn nghiên
cứu đƣợc chúng thì ta phải xuất phát từ việc nghiên cứu các trạng thái có tính
chất đơn giản nhất sau đó mới đi đến các trạng thái phức tạp hơn. Các trạng thái
rắn, lỏng, khí có tính chất khác nhau. Trong đó trạng thái khí của vật chất là đơn
giản hơn cả, nhƣng để đơn giản hơn ngƣời ta đã đƣa ra mô hình khí lý tƣởng.
Dựa vào nghiên cứu mô hình này có thể mở rộng thêm cho các khí loãng, khí
thực, chất lỏng, chất rắn.
Vật lý thống kê là một ngành trong vật lý học giúp chúng ta có cái nhìn tổng
quát và sâu sắc hơn các vấn đề từ vi mô đến vĩ mô và áp dụng phƣơng pháp
thống kê ta có thể giải quyết các bài toán liên quan một cách chính xác. Nhƣ vậy
việc tìm hiểu về khí lý tƣởng trong vật lý thống kê là rất cần thiết. Vì vậy em
chọn đề tài “ Nghiên cứu mô hình khí lý tƣởng trong vật lý thống kê ”.
2. Mục đích, nhiệm vụ của đề tài
- Nắm đƣợc các khái niệm về khí lý tƣởng.

1


- Đƣa ra đƣợc các phân bố thống kê cổ điển về khí lý tƣởng,đƣa ra đƣợc
các hàm phân bố từ đó tính đƣợc năng lƣợng và một số đại lƣợng nhiệt động của

khí lý tƣởng.
- Đƣa ra đƣợc các phân bố thống kê về khí lý tƣởng: Khí Fermi, khí Bose,
từ đó đƣợc năng lƣợng và nhiệt dung của các khối khí đó.
- Vận dụng giải một số bài tập về khí lý tƣởng.
3. Đối tƣợng nghiên cứu
Các hàm phân bố thống kê.
4. Phạm vi nghiên cứu
Các hàm phân bố thống kê cho khí lý tƣởng.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phƣơng pháp nghiên cứu vật lí lý thuyết.Đọc và tra cứu tài liệu.
- Sử dụng thống kê cổ điển, lƣợng tử và phƣơng pháp toán trong vật lý.

2


B.NỘI DUNG
CHƢƠNG 1: KHÍ LÝ TƢỞNG THEO QUAN ĐIỂM CỔ ĐIỂN
1.1 Mô hình về khí lý tƣởng
1.1.1 Khái niệm khí lý tưởng
Để vận dụng thuyết động học phân tử vào việc nghiên cứu các tính chất của
chất khí. Trƣớc hết cần phải hiểu rõ cấu tạo phân tử của chất khí, bỏ qua những
yếu tố thứ yếu không ảnh hƣởng rõ rệt đến tính chất của chất khí. Xuất phát từ
quan niệm này đã xây dựng một mẫu khí bao gồm những đặc điểm cơ bản của
chất khí gọi là mẫu khí lý tƣởng. [5]
- Trong một thể tích vĩ mô của khí lý tƣởng có chứa một số rất lớn phân tử,
có kích thƣớc rất nhỏ so với khoảng cách trung bình giữa các phân tử, các phân
tử chuyển động hỗn loạn không ngừng .
- Lực tƣơng tác giữa các phân tử chỉ xuất hiện khi va chạm vì vậy giữa hai
va chạm liên tiếp mỗi phân tử chuyển động tự do nghĩa là chuyển động thẳng
đều.Sự va chạm giữa các phân tử với nhau và với thành bình xảy ra theo quy

luật va chạm đàn hồi.
Ở đây chúng ta chỉ xét khí lý tƣởng ở trạng thái cân bằng nhiệt nghĩa là coi
nhiệt độ và áp suất ở mọi chỗ trong chất khí đều bằng nhau và không đổi, do đó
tron g chất khí không xuất hiện những dòng khí gây đối lƣu hoặc chênh lệch do
áp suất.
Nhờ mẫu khí lý tƣởng này bằng việc đơn giản hóa sự chuyển động của các
phân tử trong chất khí rất thuận tiện trong việc tính toán định lƣợng giữa các đại
lƣợng đặc trƣng cho tính chất của chất khí nhƣ: Áp suất, nhiệt độ, phƣơng trình
trạng thái, các hiện tƣợng truyền, hệ số khuếch tán, hệ số dẫn nhiệt, độ ma
sát,…nhƣng nhờ những kết quả thu đƣợc dựa trên sự đơn giản hóa này chỉ gần
đúng và chỉ phản ánh đƣợc những nét cơ bản nhất của chất khí. Khi ở nhiệt độ

3


thấp và áp suất cao mẫu khí lý tƣởng không dùng đƣợc cho việc tính toán trên vì
lúc này phải xét đến lực tƣơng tác giữa các hạt trong khí ( các phân tử hay
nguyên tử ) có ảnh hƣởng đáng kể trong các tính chất của khí.
1.1.2 Phương trình trạng thái của khí lý tưởng
Thông số trạng thái: Áp suất, nhiệt độ, thể tích đƣợc gọi là các thông số
trạng thái của chất khí, chúng không hoàn toàn độc lập với nhau. Theo tiên đề 3
của nhiệt động lực học ( thông số nội là hàm của các thông số ngoại và nhiệt độ)
. Phƣơng trình nêu lên mối liên hệ giữa 3 thông số: áp suất, nhiệt độ và thể tích
của một khối khí xác định gọi là phƣơng trình trạng thái có dạng tổng quát sau:
p = f (V, T) [5]
Đối với khí lý tƣởng phƣơng trình trạng thái của một khối khí chứa N phân
tử trong thể tích V sẽ là p = nkT
Với n 

N

=> PV = NkT
V

(*)

Với k là hằng số Boltzman
Số phân tử khí N của khối khí đƣợc xác định N 

M



N0

Với M là khối lƣợng của chất khí



là khối lƣợng của 1 mol khối khí

N 0 là số Avogradro N 0 = 6,02.10

26

kmol-1

=> Phƣơng trình trạng thái của khí lý tƣởng
pV 

M



N 0 kT 

M



RT

(1.1)

Đây là phƣơng trình Clapâyrôn – Menđelêep
Trong đó R = Nok = 6,02.1026.1,38.10-23 = 8,31.103 J/ kmol.độ là hằng số
khí
* Đối với 1kmol khí thì phƣơng trình trạng thái có dạng
pVo = RT

4


Trong đó Vo là thể tích của 1 kmol khí
Từ phƣơng trình trạng thái của khí lý tƣởng ta có thể dễ dàng suy ra các định
luật quy định tính chất của các khí gọi là các định luật của khí lý tƣởng. Sau khi
so sánh các kết quả lý thuyết với các kết quả thu đƣợc do thực nghiệm ta thấy
hai kết quả này trùng nhau
- Định luật Bôilơ – Mariốt ( định luật về tính chất đẳng nhiệt của khí lý
tƣởng ) nêu lên mối tƣơng quan giữa áp suất p và thể tích V của một khối khí
xác định. Khi nhiệt độ T không đổi ta có pV = const đƣợc gọi là phƣơng trình

đẳng nhiệt
+ Định luật Bôilơ – Mariốt có tính chất gần đúng nó chỉ khá chính xác với
đa số chất khí ở nhiệt độ gần với nhiệt độ thƣờng trong phòng và chịu áp suất
không khác xa với áp suất khí quyển lắm. Ở áp suất cao của chất khí ít chịu nén
hơn so với định luật Bôilơ – Mariốt. Khi áp suất tăng các kết quả thu đƣợc từ
thực nghiệm của tích pV không còn là hằng số nữa mà có những sai lệch.
Nguyên nhân của những sai lệch là vì định luật Bôilơ – Mariốt đƣợc thành lập
trên cơ sở tính toán định lƣợng theo thuyết động học phân tử của khí lý tƣởng,
nghĩa là không xét đến sự tƣơng tác giữa các phân tử , nhƣng ở áp suất cao thì
không thể không chú ý đến ảnh hƣởng của sự tƣơng tác này.
- Định luật Sáclơ
Định luật xét đến trƣờng hợp của thể tích của một khối lƣợng khí xác định
đƣợc giữ không đổi và nêu lên mối tƣơng quan giữa áp suất và nhiệt độ.
Từ phƣơng trình trạng thái của khí lý tƣởng
pV 

M



RT

Khi V= const

=>

p
M R

 const đƣợc gọi là phƣơng trình đẳng

T
 V

tích và biểu thị định luật Sác lơ

5


Gọi Po là áp suất của 1 khối khí xác định ở nhiệt độ to=0oC ( T=273oK ). Khi
biến đổi đẳng tích tới áp suất p và nhiệt độ T
Ta có

p
p
 o
T
To

po
p (t  273)
T  o
To
273

=> p 

=> p  po (1   p t )
Trong đó  p 

1

gọi là hệ số nhiệt biến đổi áp suất đẳng tích của khí
237

- Định luật Gay – Luytxac xét trƣờng hợp áp suất của một khối lƣợng khí
cho trƣớc đƣợc giữ không đổi và nêu lên mối tƣơng quan giữa thể tích và nhiệt
độ.
Từ phƣơng trình trạng thái
Khi p = const =>

pV 

M



RT

V
M R

 const
T
 p

=> V  Vo (1   V t )
Trong đó  V 

1
gọi là hệ số giãn đẳng áp của khí
273

Định luật Sác lơ và định luật Gay – Luytxac cũng chỉ mang tính gần đúng
nhƣ định luật Bôi lơ – Mariốt
- Định luật Đantôn : Xét áp suất của một hỗn hợp khí
Giả sử trong một bình thể tích V có chứa một hỗn hợp gồm N1, N2, N3,…là
số phân tử của các khí thành phần tƣơng ứng của hỗn hợp
Phƣơng trình trạng thái : pV = ( N1+N2+N3+….)kT
Trong đó N1+N2+N3+….= N là tổng số phân tử khí trong bình
=> Áp suất của hỗn hợp khí là
p

N
N1
N
kT  2 kT  3 kT  ....
V
V
V

P = p1 + p2 + p3 +…

6


Với p1 , p2 , p3 ,…là những áp suất riêng phần của các khí thành phần của
hỗn hợp
Nội dung của định luật Đantôn là áp suất của một hỗn hợp khí bằng tổng các
áp suất riêng phần của các khí thành phần tạo nên hỗn hợp.
Vì định luật này đƣợc thiết lập dựa vào phƣơng trình trạng thái của khí lý
tƣởng nên cũng có tính chất gần đúng đối với các hỗn hợp khí thực. Trong khí lý

tƣởng giữa các phân tử không còn tƣơng tác, các phân tử “không biết” đến sự
tồn tại của các phân tử khác.
Nhƣ vậy dựa vào thuyết động học phân tử của khí lý tƣởng để thành lập các
định luật quy định tính chất của khí . Từ việc so sánh giữa kết quả lý thuyết và
thực nghiệm dẫn ta đến định nghĩa khí lý tƣởng là chất khí tuân theo chính xác
các định luật Bôilơ – Mariốt
1.1.3. Mối liên hệ giữa khí lý tưởng với khí thực.
Phƣơng trình trạng thái khí lý tƣởng có dạng:
p

v2
3



2
đ
3

Trong đó  đ là mật độ động năng trung bình
Việc so sánh phƣơng trình trạng thái Clapâyrôn - Menđêlêép đã cho phép
đƣa vào đối với khí lý tƣởng khái niệm về nhiệt độ tuyệt đối( nhiệt độ tuyệt đối
là thƣớc đo động năng trung bình của hạt )
mv 2 3
 kT
2
2

Sau khi đƣa vào khí lý tƣởng khái niệm nhiệt độ ta tìm đƣợc phƣơng trình
trạng thái cho khí lý tƣởng dƣới dạng Clapâyrôn - Menđêlêép [3]

pV = kTN đối với N hạt trong thể tích V
Vậy khí thực nào tuân theo phƣơng trình trạng thái Clapâyrôn - Menđêlêép
có thể coi nhƣ là khí lý tƣởng

7


Các khí thực càng có tính chất gần giống với khí lý tƣởng khi chúng càng
loãng. Ở những nhiệt độ và áp suất nhất định tất cả các khí thực có thể xem nhƣ
khí lý tƣởng. Muốn vậy khí thực cần phải loãng đến mức xác suất va chạm đồng
thời của ba phân tử phải nhỏ hơn rất nhiều so với xác suất va chạm của hai phân
tử
Các phân tử khí thực khác về căn bản các hạt của khí lý tƣởng, các phân tử
thực không phải luôn luôn là tuyệt đối đàn hồi chúng tƣơng tác với nhau không
chỉ là do va chạm trực tiếp , thế tƣơng tác của chúng có dạng rất phức tạp
Ở trƣờng hợp riêng biệt, sự khác nhau giữa các phân tử thực với các hạt của
khí lý tƣởng không phải là căn bản.Ví dụ nhƣ: ở nhiệt độ không quá ca ova
chạm giữa các phân tử với thành bình sẽ đàn hồi, trong các chất khí quá đặc
khoảng cách giữa các phân tử lớn hơn bán kính tác dụng của lực phân tử gấp
nhiều lần, vì vậy tƣơng tác giữa các phân tử là nhỏ không đáng kể. Trong trƣờng
hợp đó khí thực có tính chất nhƣ khí lý tƣởng
Khi mật độ và áp suất tăng lên và khi nhiệt độ giảm đi các tính chat scuar
khí thực sẽ khác với các tính chất của khí lý tƣởng mà ta khảo sát. Các khí thực
sẽ không còn tuân theo phƣơng trình Clapâyrôn - Menđêlêép nữa mà tuân theo
các phƣơng trình trạng thái khác.
1.2 Các hàm phân bố Gipxo theo quan điểm cổ điển.
Các hàm phân bố trong vật lý thống kê thƣờng đƣợc giới hạn xét các hệ hạt
có số hạt rất lớn và bỏ qua tƣơng tác giữa các hạt với nhau, xem chúng nhƣ các
hạt tự do. Nhƣ vậy chúng ta có thể coi hệ các hạt trong vật lý thống kê là các
“khí lý tƣởng” và trong hệ nhiều hạt có thể biểu hiện quy luật tính thống kê. Để

tìm trị trung bình của một thông số vĩ mô bất kỳ của hệ hạt đó ( là hàm của
thông số vĩ mô ) Gibbs đã đề xuất ra phƣơng pháp nổi tiếng gọi là phƣơng pháp
Gipxơ. Cơ sở của phƣơng pháp này là thay việc khảo sát sự biến đổi của hệ đã
cho với thời gian bằng việc khảo sát một tập hợp nhiều hệ tƣơng ứng với các hệ
đã cho.

8


Dựa vào phân bố Gipxơ chúng ta sẽ tìm lại đƣợc các phƣơng trình trạng thái và
các đại lƣợng nhiệt động học nhƣ: Entropy, nhiệt dung đẳng tích ,… của khí lý
tƣởng.
Xét hệ đẳng nhiệt tức là một hệ nằm cân bằng với hệ điều nhiệt (tecmoxta).
Theo quan điểm vi mô hệ điều nhiệt này là một hệ cơ học nhƣng có số bậc tự do
rất lớn, lớn hơn số bậc tự do của hệ mà ta muốn khảo sát rất nhiều. [3]
Giả sử hệ mà ta muốn khảo sát là C1 và hệ điều nhiệt là C2 có các số hạt
tƣơng ứng là X1 và X2, đồng thời N1>>N2
Ta có thể coi hệ bao gồm 2 hệ đó là một hệ cô lập đoạn nhiệt vì vậy đối với
hệ chung đó ta có phân bố chính tắc

( X 1 , X 2 ) 

1
 E  H ( X 1 , X 2 )
( E )

Trong đó H(X1,X2) = H(X1) + H(X2) + U12(X1,X2)

(1.2)
(1.3)

U12(X1,X2) là năng lƣợng tƣơng tác giữa các hạt của hai hệ mà ta có thể
bỏ qua
Hàm phân bố của hệ mà ta xét C1 đƣợc tính theo công thức

( X1 )  

( X2 )

 ( X 1 , X 2 )dX 2

(1.4)

Để tìm  ( X 1 ) trong trƣờng hợp tổng quát ta dựa vào giả thiết sau:
Ta coi rằng H1(X1) << E
Tức là ta chỉ xét những trạng thái của hệ mà ở đó năng lƣợng của hệ là rất
nhỏ so với năng lƣợng toàn phần của hệ điều nhiệt
Để tìm  ( X 1 ) ta tiến hành nhƣ sau. Ta chia hệ mà ta muốn khảo sát C1 ra làm
hai phần C’1 và C’’1. Các hàm phân bố  ( X 1' ) và  ( X 1'' ) đối với hai hệ con đó sẽ
phụ thuộc vào năng lƣợng toàn phần của từng hệ con


)  f ( H


))

 ( X 1' )  f ( H1' ( X 1' ))

( X 1''

''
1

( X1

''

9


Năng lƣợng toàn phần của hệ đẳng nhiệt mà ta khỏa sát bằng tổng các năng
lƣợng toàn phần của cả hai hệ con và năng lƣợng tƣơng tác giữa chúng
H1 ( X 1 )  H1 ( X 1 )  H1 ( X 1 )  U12
'

'

''

''

'

Nếu các hệ con C1’ và C1’’ là đủ lớn thì ta có thể coi năng lƣợng tƣơng tác
U12’ giữa hai hệ con là rất nhỏ so với năng lƣợng toàn phần của các hệ con H1’
và H1’’ nghĩa là
H1 ( X 1 )  H1 ( X 1 )  H1 ( X 1 )
'

'

''

''

Do đó ta có thể coi hai hệ con đó độc lập với nhau và có thể vận dụng định lí
nhân xác suất
Ta có f H1'  H ''1 dX 1' dX 1''  f ( H1' )dX 1' ( H1'' )dX ''1





f H1  H ''1  f ( H '1 ) f ( H ''1 )

Hay

'

- Lấy logarit 2 vế ta có





ln f H1  H1  ln dX 1  ln dX 1  ln f ( H1 )  ln dX 1
'

''



'



''

'

''

=> ln f H1  H1  ln f ( H1 )  ln f ( H1 )
'

''

'

''

- Lấy vi phân 2 vế ta có



d ln f H1  H1

ln f (H

'
1



'' '

 d ln f (H )  d ln f (H
'

''

1

'





'

1

)





'

 H1 ) (dH '1  dH1 )  ln f ( H1 ) dH1  ln f ( H1 ) dH1
''

''

'

'

''

''

Coi rằng dH1’, dH1’’ có thể tiến đến 0 một cách độc lập



 
'

 
'



'

Ta tìm đƣợc ln f ( H1  H1 )  ln f ( H1 )  ln f ( H1 )  

'

''

'

''

(1.5)

Trong đó β là một hằng số nào đó vì các đạo hàm của một hàm số với các
đối số khác nhau chỉ có thể bằng nhau khi chúng là hằng số
Ta đặt dấu “ - ” trƣớc β để cho thuận tiện khi xét điều kiện chuẩn hóa của
hàm phân bố
Lấy tích phân đẳng thức (1.5) ta có
f ( H )  D exp  H 

10


Từ điều kiện vật lý khi chuẩn hóa, β là số dƣơng
Đặt  

 
, D  exp   với θ>0

 

Ta có

  H 
f ( H )  exp 

  

Do đó

  H 
 ( X 1 )  exp 

  

1

(1.6)

(1.7)

Với θ,  là hằng số
Bởi vì sau này ta không cần xét sự điều nhiệt C2 và ta chỉ cần nghiên cứu hệ
C1 mà ta phải khảo sát nên ta không cần viết chỉ số 1
Khi đó (1.7) có dạng

 ( , a)  H ( X , a) 
 ( X )  exp 





(1.8)

(1.8) đƣợc gọi là phân bố chính tắc Gipxơ
Thông số đƣợc gọi là môđun của phân bố chính tắc
 đƣợc xác định từ điều kiện chuẩn hóa hàm phân bố

 ( .a)  H ( X , a) 
dX  1



 ( X )d ( X )   exp 

(X )

(X )

 ( , a) 
  H ( X , a) 
  exp 
dX  1
=> exp 

  ( X )


  ( , a) 
  H ( X , a) 
   exp 
dX

=> exp 



 (X )



Lấy logarit 2 vế ta có
  ( , a)



  H ( X , a) 
 ln  exp 
dX



  H ( X , a) 
dX




=> ( , a)   ln  exp 

11

(1.9)

 ( X )   ln Z ( , a)
Đại lƣợng

  H ( X , a) 
Z ( , a)   exp 
dX




(1.10)

(1.10) đƣợc gọi là tích phân trạng thái (hay tích phân thống kê)
Tích phân trạng thái phản ánh trạng thái nội tại của một hệ, vì phép tích phân
đƣợc thực hiện theo tất cả các trạng thái vi mô của hệ. Nói cách khác, Z là hàm
trạng thái và phụ thuộc vào a và θ
Nếu hệ gồm N hạt đồng nhất nhƣ nhau thì các phép chuyển vị khác nhau của
các hạt đó sẽ không đƣa đến một trạng thái vi mô mới nào đó, mặc dù chúng sẽ
đƣợc biểu diễn bằng các điểm khác nhau của một không gian pha. Vì vậy đối
với các hệ gồm các hạt đồng nhất nhƣ nhau ta cần phải loại trừ tất cả các điểm
của không gian pha tƣơng ứng với các phép chuyển vị khác nhau của các hạt.
Bởi vì, với N hạt có thể thực hiện N! phép chuyển vị, cho nên không gian
pha của một hệ gồm N hạt đồng nhất nhƣ nhau phải giảm đi N! lần. Khi đó phân
bố chính tắc đƣợc viết dƣới dạng

( X ) 

1

 ( , a)  H ( X , a) 
exp 

N!




(1.11)

Thiết lập phƣơng trình cơ bản của hệ nhiệt động lực học dựa vào phân bố
chính tắc
Từ điều kiện chuẩn hóa.
 ( , a)  H ( X .a) 
dX  1



  ( X )d ( X )   exp 

(X )

(X )

Lấy vi phân hai vế theo ak

ak

 ( , a)  H ( X , a) 
exp 

dX  1



(X )



=>


 ( , a)  H ( X , a) 
exp
dX  0
 ak 


(X )

12


=>


1
H
 ( , a)  H ( X , a) 
  H 
exp 

exp 
dX  
0
 ( X ) a k

 ( X ) a k


  
1



Theo định nghĩa của trị trung bình ta có
 H
H
  H 
exp 
dX  
a k
  
(X )
 a k



 
Từ đó => 
 a k

 H

  

  a k











Đạo hàm cơ năng của hệ theo thông số ngoại chính là lực suy rộng với
dấu( - )
 H

 a k


   Ak


(1.12)

Từ điều kiện chuẩn hóa

  ( X )d ( X )  
(X )

exp

(X )

 H
dX  1


Lấy đạo hàm theo θ có:



  H 
exp 
dX  0



(X )

=>





(X )

=> 
(X )


  H 
exp 
dX  0

 



  (  H )
  H 

exp 
dX  0
2

 


Bởi vì θ và  không phụ thuộc vào X nên
  
   H
   a



Ta đi tính biểu thức dH   Ak da k
k

13

(1.13)
(1.14)


Thay (1.12) và (1.13) vào (1.14)



Ta có: dH   Ak dak  d   
k




=> dH   Ak dak  d  d 
k



 


 
k ak

 

dak

 
k ak




   
d  
  .d 
d  
da k


   
k a k
k a k

  
  
  .d 
   .d  

  
  

Nhƣ vậy




 .d  

 
  dH   Ak dak
 
k

(1.15)

So sánh với phƣơng trình cơ bản của nhiệt động lực học
TdS  dU   Ai dai
i

Ta nhận thấy rằng vế phải của hai phƣơng trình hoàn toàn tƣơng tự với nhau,
vì trong vế phải của hai phƣơng trình đều có độ biến thiên năng lƣợng của hệ và
tổng các công nguyên tố đã đƣợc thực hiện. Tuy nhiên trong vật lý thống kê khái
niệm năng lƣợng đƣợc hiểu chính xác hơn, bởi vì thay thế cho hàm năng lƣợng
E ta dùng trị trung bình H của năng lƣợng của hệ, mặc dù đối với hệ vĩ mô hai
giá trị trên thực tế là trùng nhau. Hơn nữa các lực suy rộng Ak trong nhiệt động
lực học cũng đƣợc thay thế bằng trị trung bình Ak của các lực. Sự giống nhau
của vế phải của hai phƣơng trình cho phép ta xét sự tƣơng tự của vế trái của
chúng. Thay cho nhiệt độ tuyệt đối T trong phƣơng trình thống kê (1.15) ta có
nhiệt độ thống kê θ. Ta sẽ có sự hoàn toàn tƣơng tự nhau của hai phƣơng trình
 
 là đại lƣợng tƣơng tự của vi
  

đó nếu nhƣ ta công nhận rằng vi phân d  
phân dS của entropi nhiệt động lực học

14


Từ đó ta nói rằng đại lƣợng     chính là entropi của thống kê S


S 

 


H 




(1.16)

=>  H   .S

(1.17)

So sánh các phƣơng trình (1.12), (1.13), (1.16), (1.17) với các phƣơng trình
của nhiệt động lực học:
U  TS  F
 F 

S  

 T V
 F 
P  

 V T

Ta thấy rằng thông số  có ý nghĩa của năng lƣợng tự do F và phƣơng trình
(1.13) phƣơng trình Gipxơ – Hemhônxơ. Từ đây ta suy ra hệ thức giữa entropi
nhiệt động lực học S. Với θ = kT
  
  S  kS
 T V

Ta có: S  
Hay S 

s
k

Những kết quả trên đây là hết sức quan trọng.Thực vậy, dựa vào quan niệm
cấu trúc hạt của hệ vĩ mô và áp dụng phƣơng pháp thống kê, ta đã suy ra đƣợc
phƣơng trình cơ bản của nhiệt động lực học. Không những nhƣ vậy mà còn tìm
ra đƣợc đại lƣợng tƣơng tự thống kê của hàm nhiệt quan trọng là entropi, nội
năng và năng lƣợng tự do của hệ.
Ta đã nghiên cứu phân bố chính tắc đối với hệ nằm tiếp xúc và có thể trao
đổi năng lƣợng với điều nhiệt.Nhƣng ta đã biết trong vật lý còn có những hệ
trong đó không những năng lƣợng biến đổi mà ngay cả số hạt trong hệ có thể
thay đổi, đó là hệ có số hạt thay đổi. Đối với hệ có số hạt thay đổi, trong nhiệt

động lực học ngƣời ta đƣa vào thế hóa học µ biểu thị qua năng lƣợng tự do  :

15


  

 N V ,T

 

(1.18)

Lấy tích phân không định hạn N ta suy ra

  N   ,V , T 

(1.19)

Trong đó Ω là thế nhiệt động mới
Ở một thời điểm nào đó, hệ có số hạt thay đổi chứa nột số hạt nhất định.
Nhƣng tại thời điểm này tiếp sau số hạt này trong hệ sẽ thay đổi.
Ta biết rằng một hệ có số hạt nhất định N các hạt đồng nhất nhƣ nhau sẽ
nghiệm đúng phân bố chính tắc, cụ thể là sự phân bố của hệ có dạng

dW ( X ) 



1

  H 
exp 
dX
N!
 kT 

1
   N  H 
exp 
dX
N!
kT



(1.20)

Đối với hệ có số hạt thay đổi
   N ,  H 
1
dW ( X ) 
exp 
dX
N!
kT


,

,

Hàm :  ( N , X ) 

1
   N  H 
exp 

N! 
kT


(1.21)

Xác định phân bố ta phải tìm đối với hệ có số hạt thay đổi. Phân bố đó đƣợc
gọi là phân bố chính tắc Gipxơ, Ω( µ,V,T) là thế nhiệt động lớn.
Điều kiện chuẩn hóa ta lấy tích phân trên theo các biến số vi mô X (còn gọi
là biến số pha) của tập hợp chính tắc và lấy tổng theo toàn bộ các tập chính tắc
tạo thành tập hợp chính tắc lớn hơn nghĩa là


1

   N  H 
dX  1
kT


 N!  exp 

N 0

(X )

(1.22)

16


* Đối với hệ có số hạt thay đổi trị trung bình của một đại lƣợng bất kỳ
F(N,X) đƣợc xác định theo công thức
1
   N  H 
F
(
N
,
X
)
exp

dX

kT


N 0 N !( X )


F

(1.23)

Bởi vì thế nhiệt động lớn Ω không phụ thuộc vào các biến số pha X và số hạt
N, cho nên đẳng thức (1.21) có thể viết dƣới dạng
 
 N  1
 H
exp    exp 
exp 

dX  1

 kT N 0
 kT  N! ( X )
 kT 

 N  1
 H
  kT ln  exp 
exp


dX

Do đó:
kT
N
!
kT





N 0
(X )

(1.24)

(1.25)

Lấy đạo hàm riêng của thế nhiệt động Ω có





1
1
  
    N  H    U 


T
 T V , M T

  

  S
 T V

  
  
  
  P
 T  T ,M  V  T

  
    N
  V ,T

Đối với phân bố chính tắc lớn ta có

 N  1
 H
Z   exp 
exp 

dX

 kT  N! ( X )
 kT 
N 0

sẽ đóng vai trò tích phân trạng thái
1.3. Khảo sát hệ khí lý tƣởng bằng phân bố Gibbs cổ điển.
a.Tích phân trạng thái và các hàm nhiệt động
Biểu thức liên hệ giữa năng lƣợng tự do của hệ với tích phân trạng thái Z:

17

  kT ln Z

(1.26)

Từ đó chúng ta có thể biểu diễn các thông số nhiệt động và hàm nhiệt động
bất kỳ của hệ theo tích phân trạng thái Z, điều đó cho phép ta xác định nhiều
tính chất của hệ nhiệt động. Việc tìm lại các hệ thức nhiệt động và tính các hàm
nhiệt động lực học thống kê
Đầu tiên ta hãy tìm áp suất p đƣợc xác định qua năng lƣợng tự do Ψ theo
công thức:
  
p  

 V  T

(1.27)

Áp dụng công thức (1.26) ta thu đƣợc:
  ln Z 
p  kT 

 V T

(1.28)

Đó là phƣơng trình trạng thái của hệ.Vì vế phải của (1.28) phụ thuộc vào V
và T.Ta có thể viết lại phƣơng trình trạng thái của (1.28) dƣới dạng sau
Nhân 2 vế của đẳng thức với V ta đƣợc:




 ln Z 
  ln Z 

PV  kTV 
  kT
 V 
 V T


 V T
  ln Z 
PV  kT 

  ln V  T

(1.29)

Từ phƣơng trình Gipxơ – Hemhônxơ:

  H  S
Ta tìm đƣợc nội năng U:
  
2   ln Z 
U   T 
  kT ln Z  k  ln Z  T  kT 

 T V
 T V

  ln Z 
 kT 2 

 T V

18

(1.30)


Tƣơng tự ta có thể tính các hàm nhiệt động khác:
* Thế nhiệt động Gipxơ

    pV
Với   kT ln Z
 ln Z
  
P  
  kT
V
 V  T

   kT ln Z  kTV

 ln Z
V

  ln Z

   kT 

 ln Z 
  ln V

Với z là tích phân trạng thái

Z

  H ( X , a) 
dX



 exp 

(X )

* Biểu thức của Entropi theo tích phân trạng thái
Theo phân bố chính tắc thì tích phân trạng thái có dạng:
Z

  H  X , a 
dX



 exp 

(X )

  

Ta có S    T 

V

   ln( , a)
 S 



kT ln Z ( , a)
 ln Z ( , a) 
T
T

 S  k ln Z  kT

 ln Z
T

* Tìm biểu thức Entanpi theo tích phân trạng thái
Ta có Entanpi
H    TS

 ln Z 
  ln Z


 kT 
 ln Z   kT  ln Z  T


T 
  ln V



19


 ln Z 
  ln Z
 H  kT 
T

 ln T 
  ln V
  ln Z 
  ln Z  
 H  kT 
 
 
  ln V T   ln T V 

Nhƣ vậy tất cả các hàm nhiệt động có thể biểu thị theo tích phân trạng thái
Z. Nhƣng thực tế dù có biết đƣợc hàm phân bố trong không gian pha thì việc
tính tích phân trạng thái cũng tƣơng đối khó vì Z đƣợc xác định bằng một biểu
thức phức tạp [3]


 H (q1 , q2 ....q3 N , p1 , p2 ,... p3 N , a 
Z    ... exp 

dq1dq2 ...dq3 N dp1 ...dp3 N





Vì vậy trong trƣờng hợp tổng quát việc tính tích phân trạng thái là rất phức
tạp
b.Tích phân trạng thái và các hàm nhiệt động của khí lý tưởng
Áp dụng hàm phân bố chính tắc
 ( , a)  H ( X , a) 
 ( X )  exp 





Chúng ta hãy đi tính một số hàm nhiệt động của khí lý tƣởng.
Để tính tích phân trạng thái Z ta cần biết hàm Hamintơn H.Đối với khí lý
tƣởng hàm Hamintơn bằng tổng của các năng lƣợng của các hạt riêng lẻ nghĩa
là:

N
 P2

H    k  U k ( x) 
k 1  2m


(1.31)

Trong đó Uk(X) biểu thị thế năng của hạt thứ k mà chúng ta đƣa vào xuất
phát từ lập luận sau đây: Các hạt của khí lý tƣởng có thể chuyển động hoàn toàn
tùy ý bên trong bình có thể tích V nhƣng chúng không thể ra khỏi giới hạn của
bình. Điều đó tƣơng đƣơng với giả thuyết là ở bên trong bình các hạt có thế
năng vô cùng lớn.

20