Khoá luận tốt nghiệp một số nhóm cơ bản và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

TRẦN THỊ TUYÉT

MỘT SỐ NHÓM C ơ BẢN VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học
TS. HÀ THANH HÙNG

HÀ NỘI, 2015


LỜI CẢM ƠN
Trong suốt thời gian từ khi bắt đầu học tập ở giảng đường đại học đến
nay, em đã nhận được rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ của quý thầy cô, gia đình
và bạn bè. Với lòng biết ơn sâu sắc nhất em xin gửi đến quý thầy cô ở Khoa Vật
Lý Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã cùng với tri thức và tâm huyết của
mình để truyền đạt vốn kiến thức quý báu cho chúng em trong suốt thời gian học
tập tại trường.
Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến Giảng viên TS. Hà Thanh
Hùng, người đã trực tiếp hướng dẫn và nhiệt tình giúp đỡ em để hoàn thành tốt
khóa luận này.
Trong quá trình làm khóa luận với kiến thức, trình độ và thời gian có hạn
nên khó tránh khỏi sai sót, rất mong các thầy cô bỏ qua. Đồng thời do trình độ lí
luận cũng như kinh nghiệm thực tiễn còn hạn chế nên khóa luận không thế tránh
khỏi những thiếu sót, em rất mong nhận được ý kiến đóng góp của thầy cô đế

em học thêm được nhiều kinh nghiệm giúp em hoàn thành khóa luận được tốt
hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2015
Sinh viên thực hiện

Trần Thị Tuyết


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của giảng viên TS.
Hà Thanh Hùng cùng với sự cố gắng của bản thân em. Trong quá trình nghiên
cứu và thực hiện khóa luận, em có tham khảo tài liệu của một số tác giả (đã nêu
trong mục tài liệu tham khảo).
Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận là kết quả nghiên cứu
của bản thân, không trùng với kết quả của các tác giả khác.
Neu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 05 năm 2015
Sinh viên thực hiện

Trần Thị Tuyết


MỤC LỤC
MỞ Đ Ầ U .................................................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tà i...............................................................................................................1
2. Mục đích nghiên c ứ u ........................................................................................................1
3. Đối tượng nghiên c ứ u .......................................................................................................1
4. Nhiệm vụ nghiên c ứ u ......................................................................................................2
5. Phương pháp nghiên c ứ u ................................................................................................2

6. Cấu trúc khóa luận........................................................................................................... 2
NỘI D U N G ............................................................................................................................ 3
CHƯƠNG 1: CÁC ĐỊNH N GHĨA CỦA N H Ó M .........................................................3
1.1. Định nghĩa về n h ó m .....................................................................................................3
1.2. Các ví dụ về nhóm ........................................................................................................ 5
CHƯƠNG 2: MỘT SỐ NHÓM c ơ

B Ả N .................................................................. 10

2.1. Nhóm hữu h ạ n ............................................................................................................. 10
2.2.Nhóm không A b e l........................................................................................................11
2.3.

Nhóm hoán v ị .....................................................................................................13

2.4. Nhóm th ư ơ n g .............................................................................................................. 16
CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG GIẢI M ỘT SỐ BÀI T Ậ P .............................................. 21
KẾT L U Ậ N .......................................................................................................................... 31
TÀI LIỆU THAM K H Ả O ................................................................................................32


MỎ ĐÀU
1. Lý do chọn đề tài
Khi nghiên cứu các đối tượng vật lý, chúng ta gặp phải một tính chất rất
đặc biệt - tính chất đối xứng. Cụ thể, đó là:
- Tính chất đối xứng của không gian và thời gian trong các hệ quy chiếu
quán tính, dẫn đến những định luật bảo toàn quen thuộc (định luật bảo toàn năng
lượng, xung lượng, momen xung lượng,...).
- Tính chất đối xứng của các cấu trúc vật chất như tinh thể, phân tử, các
hạt cơ bản dẫn đến phương pháp phân loại các mức (mức năng lượng, mức

“khối lượng”), hay một số đại lượng khác.
Tính chất đối xứng của các đối tượng tự nhiên có thể “tính toán” bằng
một

bộ môn toán học trừu tượng gọi là lý thuyết nhóm. Đặc biệt, lýthuyết nhóm

đã cung cấp cho vật lý học một phương pháp gọn,

chính xác, bổ sung cho các

phương pháp khác. Trong một số bài toán đặc biệt, có thế nói rằng một số mặt
của vấn đề chỉ có thế giải quyết bằng công cụ lý thuyết nhóm.
Do đó, với sự phát triển hiện nay của vật lý học, phương pháp lý thuyết
nhóm dần dần trở thành một phương pháp khá thông dụng, nói chung không thế
thiếu được.
Vì vậy em đã chọn đề tài “Một số nhóm cơ bản và ứng dụng” làm đề tài
khóa luận tốt nghiệp của mình.
Em hi vọng đề tài này có thể là tài liệu tham khảo cho những bạn bước
đầu làm quen với bộ môn lý thuyết nhóm.
2. Mục đích nghiên cứu
- Tìm hiểu về lý thuyết nhóm và một số nhóm cơ bản.
- Giải

một số bài tập về các nhóm đó.

3. Đối tượng nghiên cứu
- Một số nhóm cơ bản.
- Một số bài tập về các nhóm đó.

1

4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Đưa ra cơ sở lý thuyết của một số nhóm cơ bản.
- Giới thiệu một số bài tập về các nhóm cùng cách giải các bài tập đó.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Đọc, tra cứu tài liệu
- Phương pháp vật lý lý thuyết và vật lý toán
6. Cấu trúc khóa luận
Chương 1: Các định nghĩa của nhóm
1. 1. Định nghĩa về nhóm
1.2. Các ví dụ về nhóm
Chương 2: Một số nhóm cơ bản
2.1

Nhóm hữu hạn

2.2 Nhóm không Abelian
2.3 Nhóm hoán vị
2.4 Nhóm thương
Chương 3: ứ n g dụng giải một số bài tập

2


N Ộ I DUNG
C H Ư Ơ N G 1: CÁC Đ ỊN H N G H ĨA CỦA N H Ó M
1.1. Định nghĩa về nhóm
♦> Định nghĩa nhóm
Một tập hợp G = {a,b,c} được gọi là một nhóm nếu có một toán tử, được

gọi là phép nhân nhóm, mà toán tử này cùng với các phần tử của nhóm G thỏa
mãn các tính chất sau:
(i)

Tính kín: Nếu Vứ,Z?eG thì a b ^ G .

(ii)

Tính kết hợp: Với mọi \/a,b,c g G thì

(iii)

Tồn tại phần tử đơn vị trong số các phần tử của G, có một phần tử

.

đơn vị e sao cho: a.e = a với V ứ ẽ G .
(iv)

Tồn tại phần tử nghịch đảo: Với mỗi a & G có một phần tử nghịch

đảo a~x e ơ s a o cho: a.a~x = e.
Từ các tiên đề trong định nghĩa nhóm, ta có thể rút ra được các hệ quả
sau:
e~] = e, a~' .a = e, e.a = a với Va e G .
Ta xét một ví dụ đơn giản, các nhóm của tất cả các số nguyên dưới phép
cộng, phép nhân nhóm được thực hiện như phép cộng thông thường. Trong
nhóm này, phần tử đơn vị I được thay thế bằng số 0 , và nghịch đảo của một số
nguyên a là —ã . Khi đó điều kiện (i) và (ii) được thỏa mãn bởi các số nguyên
dưới phép cộng là hiển nhiên. Một nhóm đơn giản thứ hai, với phép nhân thông

thường, được hình thành bởi 1 và - 1; trong nhóm này, tính kín được thỏa mãn, 1
là phần tử đơn vị và mỗi phần tử là nghịch đảo của chính nó.
❖ Các định nghĩa khác.
Nhóm Abel: Một số nhóm G được gọi là nhóm Abel nếu phép nhân
nhóm là giao hoán: a.b = b.a với V ữ ,b e G

3


Nhóm tuần hoàn: Là một nhóm có thế sinh ra từ một tập hợp sinh chỉ
gồm một phần tử ũ . Neu nhóm được viết theo lối nhân thì mỗi phần tử của
nhóm là một lũy thừa của ũ , và khi nhóm được viết theo lối cộng thì mỗi phần
tử của nhóm là một bội số của a .
Hạng của nhóm (hay còn gọi là cấp của nhóm): là số phần tử của nhóm
(nếu nhóm hữu hạn)
Bảng nhân nhóm: Là một bảng thể hiện luật nhân nhóm của các phần tử
trong nhóm

e

a

b

e

e

a

b

a

a

aa

ab

b

b

ba

bb

Nhóm con: Một tập con H của nhóm G cùng với luật nhân của G hình
thành một nhóm con của G.
Nhóm con bất biến: Nhóm con H của G được gọi là nhóm con bất biến
nếu H đồng nhất với tất cả các nhóm con liên hợp của nó.
aHa~x = H với V ữ e G
Đẳng thức trên có thể viết dưới dạng sau:
ciH = Ha
tức là các lớp kề trái và phải theo một nhóm con bất biến là như nhau.
Theo định nghĩa, ta thấy ngay rằng nhóm con bất biến khi đã chứa phần tử
nào đó, sẽ chứa mọi phần tử liên hợp với phần tử đó hay nói cách khác, nếu đã
chứa một phần tử của lớp [ß] thì phải chứa toàn thể lớp [ ß ] .
Nhóm con bất biến tầm thường: e và bản thân G.

4


Tất cả nhóm con của nhóm giao hoán đều bất biến.
Tính bất biến của nhóm con không phải là một tính bắc cầu: nhóm con bất
biến T của một nhóm con bất biến H của G không nhất thiết là một nhóm con
bất biến của G.
Các p h ầ n tử liên h ọ p : Một phần tử b G G

được gọi là liên

hợp với

f l e G nếu tồn tại một phần tử khác p e G sao cho b = pap ~x.Ta sẽ biểu

thị

mối quan hệ này bằng kí hiệu
Tính chất:
(i)

Mỗi phần tử liên hợp với chính nó ũ ~ a (quan hệ phản xạ).

(ii) Neu a ~ b thì b ~ a (quan hệ đối xứng).
(iii) Neu a ~ b và b ~ с thì а ~ с (quan hệ bắc cầu).
LÓ’P liên hợp: Các phần tử của một nhóm liên hợp với nhau thì hình
thành một lớp.
Mỗi phần tử của một nhóm chỉ thuộc một lớp. Phần tử đơn vị hình thành
một lớp với chính nó.

Tích trự c tiếp: Gọi Hi và H2 là các nhóm con của G với các tính chất
sau:
(i)

Mọi phần tử của H] giao hoán với mọi phần tử của H2, tức là:
/z,/^ = /^/Z], V/г, е Я , , / ^ G H 2

(ii)

Mọi phần tử g & G có thể viết được duy nhất dưới dạng g =h\h2, ở

đây hị е Я р /ỉ, G H 2 .
Trong trường hợp này, G được gọi là tích trực tiếp của Hị và H2, kí hiệu là
G = H x® H 2.
1.2. Các ví dụ về nhóm
Ví dụ 1 : Nhóm đơn giản nhất chỉ gồm một phần tử, phần tử đơn vị e .
Phần tử nghịch đảo của e chính là e và quy tắc nhân nhóm là e.e = e . Dễ thấy

5


tất cả những điều kiện là một nhóm đều thỏa mãn. s ố 1 với phép nhân thông
thường tạo thành một nhóm mà ta biếu thị bằng C ị.
Ví dụ 2: Nhóm đơn giản tiếp theo có hai phần tử, trong đó có một phần tử
Tùy theo tính chất của e , ta phải có

đơn vị. Ta biểu thị nhóm này bởi

e.e = e và e.a = a.e = a . Vậy chỉ còn a. a cần được xác định. Hoặc a a = e
hoặc a a = a . Khả năng thứ hai là khả năng không thể vì nếu nhân cả hai vế với

a 1thì dẫn tới ữ = e .
Luật nhân nhóm được tóm tắt ngắn gọn qua bảng 1.1. Nhóm này được kí
hiệu là C 2 . Rõ ràng các số + K e) và —l(ữ)hình thành nhóm này cùng với phép
nhân thông thường
e

a

e

e

a

a

a

e

Bảng 1.1: Bảng nhân nhóm của C2.
Ví dụ 3: Có một và chỉ một nhóm ba phần tử gọi là C3. Bảng nhân được
đưa ra ở bảng 1.2. Vì a 1 = b , ta có thể kí hiệu ba phần tử bởi ịe,a,a 'I với
điệu kiện a

3

= £ .V T d ụ :

(i)

Các số ị l , e i27r/3 , e ~i2ĩr/3) với quy tắc nhân thông thường.

(ii)

Toán tử đối xứng cho tam giác đều A trong mặt phang quay những

góc 0 ,2 ;r/3 ,4 /r/3 .
e

a

b

e

e

a

b

a

a

b

e

b

b

e

a

Bảng 1.2: Bảng nhân của nhóm C3.

6


Ví dụ 4: Nhóm không tuần hoàn đơn giản nhất là hạng 4. Nó thường được
gọi là nhóm 4 hay nhóm nhị diện và được kí hiệu bởi D 2 . Neu ta biểu thị bốn
phần tử này là { e , a , b , c } , bảng nhân được đưa ra ở bảng 1.3. Bốn phần tử này
tương ứng với các phép biến đổi đối xứng trong hình 1. 1:
(i)

Giữ hình không đối

(ii)

Phép chiếu lên trục thắng đứng (1,3)

(iii) Phép chiếu lên trục nằm ngang (2,4)
(iv) Phép quay quanh tâm một góc 7t trong mặt phang.

e

a

b

c

e

e

a

b

c

a

a

e

c

b

b

b

c

e

a

c

c

b

a

e

Bảng 1.3: Bảng nhân nhóm của D 2
1

Hình 1.1: Dạng đối xứng D2.
Ví dụ 5: Nhóm không Abel nhỏ nhất là hạng 6 . Nó được tạo ra từ các
phép biến đối đối xứng dạng hình học như hình 1.2

7


1

Hình 1.2: Dạng đối xứng D3.
Đây là nhóm nhị diện D3 bao gồm:

(i)

Phép biến đổi đơn vị

(ii)

Phép chiếu xuống các trục (1,1 ’), (2,2’), (3,3’)

(iii) Phép quay các tâm với các góc 7.71 / 3 và 47Г/3
Các phép chiếu làm đối chỗ hai điếm, chiếu thêm lần lượt ta sẽ trở lại
hình ban đầu. Do đó ta biểu thị ba toán tử này là (12), (23), (31). Các phép quay
(theo chiều kim đồng hồ) với góc 2я73 và 4 ;r /3 dẫn tới hoán vị tuần hoàn của
cả ba điểm, sẽ được biểu thị lần lượt là (321) và (123)
Ta nhận thấy 1'ằng có một và chỉ một sự tương ứng giữa các phép biến đổi
đối xứng và các hoán vị của ba điểm này hình thành nhóm hoán vị s 3. Có thể dễ
dàng kiếm tra rằng nếu thực hiện các phép biến đối (12) và (123) liên tiếp thì tùy
thuộc vào thứ tự áp dụng sẽ cho kết quả là (31) hoặc (23). Điều đó chứng tỏ đây
là nhóm không Abel.

8


e

( 12)

(23)

(31)

(123)

(321)

e

e

( 12)

(23)

(31)

(123)

(321)

( 12)

( 12)

e

(123)

(321)

(23)

(31)

(23)

(23)

(321)

e

(123)

(31)

( 12)

(31)

(31)

(123)

(321)

e

( 12)

(23)

(123)

(123)

(31)

( 12)

(23)

(321)

e

(321)

(321)

(23)

(31)

( 12)

e

(123)

Bảng 1.4: Bảng nhân của nhóm D3(haỵ s 3).
Ví dụ 6: Nhóm D 2 có ba nhóm con riêng biệt bao gồm các phần tử

\e,a\, { e, b\v à\ e,c \. Bình phương của a trong hai trường hợp này bằng e . Do
đó {e,a\ trùng với nhóm C2 và hai tập còn lại cũng vậy.
Ví dụ 7: Tập hợp các ma trận khả nghịch n x n bất kì bao gồm ma trận
đơn vị và những ma trận có tính kín dưới phép nhân ma trận, hình thành một
nhóm ma trận. Một số nhóm quan trọng thường dùng sau:
(i) Nhóm tuyến tính phổ biến GLịn) bao gồm tất cả những ma trận n x n
khả nghịch.
(ii) Nhóm Unita u ị ỉ ì ) bao gồm tất cả các ma trận Unita, tức là các ma
trận Unita n x n thỏa mãn:
(iii)

u.u+= 1.

Nhóm Unita đặc biệt su{rì) bao gồm các ma trận Unita với định

thức đơn vị.
(iv)Nhóm trực giao o ị n )b a o gồm các ma trận trực giao hoặc các ma trận
nxn

thỏa mãn: 0 . 0 T =1 ( 0 T là ma trận trực giao của ma trận O). Rõ ràng

su(n) và 0 ( n ) là các nhóm con của u(n); và u ( n ) lại là nhóm con của G l ị n ) .

9


CHƯƠNG 2: M ỘT SỐ NHÓM c ơ BẢN
2.1. Nhóm hữu hạn
Ta xét một tập hợp s gồm bốn phần tử:

s - {1,3,5,7}

với phép nhân nhóm (phép đồng dư của 8)

Đe tìm tích (phép đồng dư của 8) của hai phần tử trong s, ta nhân chúng
với nhau theo cách thông thường, rồi lấy kết quả phép nhân đó chia cho 8 ta
được phần dư, phần dư này chính là tích mà ta cần tìm. Ví dụ, 5 x 7 = 3 5 , 35
chia 8 ta được phần dư là 3. Rõ ràng còn thỏa mãn tính giao hoán a x b = b x a ,
ta có:
1x1 = 1,

1x3 = 3,

1x5 = 5,

1x7 = 7

3 x3 = 1,

3x5 = 7,

3 x 7 = 5,

5 x 5 = 1,

5 x 7 = 3,

7 x 7 = 1.
Ta thấy 1'ằng, tập hợp s thỏa mãn tính kín. 1 chính là phần tử đơn vị, tức
là 1Xa = a với

Va e s . Hơn nữa, đối với phần tử a G s có một phần tử b (trong

trường hợp này

b

= a ) thì a x b = \, tức là

mỗi một phần tử đều cómột phần tử

nghịch đảo. Như vậy tập hợp s là một nhóm Abel bậc 4.
Ta có bảng nhân nhóm như sau:

1

3

5

7

1

1

3

5

7

3

3

1

7

5

5

5

7

1

3

7

7

5

3

1

Từ ví dụ trên, ta đưa ra được các tính chất như sau:
(i)

Mỗi một phần tử xuất hiện một và chỉ một lần trong mỗi hàng hoặc

mỗi cột của bảng nhân nhóm.

10


(ii)

Phần tử nghịch đảo của phần tử a có thế xác định bằng cách tìm dọc

theo hàng, trong đó ữ xuất hiện trong cột bên trái (hàng thứ a) và khi đó phần
tử b tương ứng sẽ xuất hiện ở đầu cột (cột thứ b), trong đó phần tử đơn vị nằm
trên đường chéo chính.
Ta rút ra được hệ quả: Khi phần tử đơn vị xuất hiện trên đường chéo
chính thì các phần tử tương ứng là bậc 2 .
(iii)

Đối với nhóm Abel thì bảng nhân nhóm là đối xứng qua đường

chéo chính.
Tống quát: Xét một tập hợp s gồm bốn phần tử:
s = ụ , A , B , C } v ở i phép nhân nhóm (phép đồng dư của N).
ta luôn lập được bảng nhân nhóm như sau:

I

A

B

c

I

I

A

B

c

A

A

I

c

B

B

B

c

I

A

c

c

B

A

I

Vậy nhóm hữu hạn là một nhóm nếu số các phần tử của nhóm đó là hữu
hạn. Số lượng các phần tử của nhóm gọi là bậc của nhóm.
2.2.Nhóm không Abel
Ta xét các phần tử của một nhóm biến đổi qua một tam giác đều thông
qua phép quay hai chiều. Có sáu phép quay: toán tử rỗng, hai phép xoay (là
2 ; r / 3 và 47ĩ / 3 , quay qua một trục vuông góc với mặt phang của tam giác), và
ba phép quay phản xạ trong mặt phang trung trực vuông góc của ba cạnh. Ta
biểu thị các phép quay này bằng các kí hiệu sau:
(i) I là toán tử rỗng.

11

(ii) R và R ’ là phép xoay 2 / r / 3 v à 4 ^ / 3 (theo chiều ngược chiều kim
đồng hồ).
(iii) K, L, M là các phép quay phản xạ
Một số phép nhân của a b có thể dễ dàng tính toán được:
R.R = R \

R'.R' = R,

R.R' = I = R'.R

K.K = L.L = M.M = I
Biểu diễn các tích còn lại thông qua các phép quay trong tam giác đều ta
được:
K.M = R \

M. K = R,

R.L = K

Ta thu được bảng nhân nhóm như sau:

I

R

R’

K

L

M

I

I

R

R’

K

L

M

R

R

R’

I

M

K

L

R’

R’

I

R

L

M

K

K

K

L

M

I

R

R’

L

L

M

K

R’

I

R

M

M

K

L

R

R’

I

Từ bảng nhân nhóm trên, ta nhận thấy:
(i) Các phần tử không đối xứng qua đường chéo chính, một số kết cặp của

các phần tử trong nhóm không giao hoán.
(ii) Có một số nhóm đối xứng có cấu trúc 3 x 3 tạo thành một bảng nhân
nhóm gồm bốn khối là hình vuông. Điều này xảy ra bởi vì chúng ta đã đưa vào
các toán tử tương tự với tổ hợp các toán tử khác khi tác động lên các phần tử của
nhóm. Ví dụ, để biến đổi phần tử ở hàng thành cột liền kề, ta có hai cách sau:
cách thứ nhất, dùng hai phép quay (hoặc ba nếu như nó được xem như là một
phép quay góc 0 ; r / 3 ); cách thứ hai, dùng ba phép phản xạ.

12


Như vậy nhóm không Abel là một nhóm nếu nhóm đó không có tính giao
hoán.
2.3. Nhóm hoán vị
Sự tồn tại thành phần nghịch đảo của mỗi phần tử là tính chất đặc trưng
của nhóm. Hệ quả trực tiếp của tính chất này là bố đề sắp xếp.
Bổ đề sắp xếp: Nếu có p , b , c G G và p b = p c thì b = c .
Chứng minh:
Nhân trái cả hai vế với p 1 thì ta có:
p~]pb = p~xpc
Mà p~xp = e do đó eb = ec hay b = c ( đ pcm)
Ket quả này có nghĩa là: Neu b và с là những phần tử khác nhau của G
thì pb và p c cũng khác nhau. Bởi vậy nếu tất cả các phần tử của G được sắp
xếp theo một trật tự và đều nhân trái với cùng một phần tử p thì kết quả cũng
đúng với thứ tự sắp xếp ban đầu. Tất nhiên kết quả cũng giống như vậy nếu ta áp
dụng phép nhân phải.
Xét trường hợp với nhóm hữu hạn hạng n . Ta biểu thị các phần tử của
nhóm là { g i,g 2’•••’£«}• Nhân mỗi phần tử này với một phần tử không đổi h thì
kết quả là {hgl,hg2,...,hgn} = {gki, g hỉ,...,ghJ ở đây {h\,h2,...,hn) là một hoán vị
của các số (l,2 ,...,n ) được xác định bởi h . Từ đó ta tìm được bản chất mối quan

hệ giữa phần tử h e G và một hoán vị được đặc trưng bởi (hị,h2,...,hn).
Một hoán vị tùy ý của ĩĩ đối tượng sẽ được biểu thị bởi

(\
p=

[p

2

I

Pi

13

3
Рг

••• n л

•••

Pn


ở đây mỗi phần tử trong hàng đầu tiên được thay thế bởi một phần tử tương ứng
ở hàng thứ hai. Tập hợp n\ hoán vị của n đối tượng hình thành một nhóm S n ,
gọi là nhóm hoán vị hay nhóm đối xứng.
Không khó để nhận thấy rằng kết quả thứ hai của sự đổi chỗ sẽ dẫn tới

một hoán vị. Điều này định nghĩa phép nhân nhóm. Phần tử đơn vị tương ứng
việc không có sự đổi chỗ, tức là:
e —

r\

2 •••

n'

V1

2 •••

ri;

Lấy nghịch đảo từ p ta được:

Một kí hiệu thích hợp và ngắn gọn hơn cho phép hoán vị là cơ sở trong
cấu trúc tuần hoàn có thể được giải thích rõ ràng nhất trong ví dụ sau: Xét hoán
vị của sáu đối tượng

_ íl

p ={3

2 3 4 5 6'
5 4 1 2 6,

Vì 1 được thay thế bởi 3, 3 được thay thế bởi 4, 4 được thay thế bởi 1 nên

ba đối tượng này hình thành một chu kì-3 và được kí hiệu là (134). Tương tự, 2
và 5 hình thành một chu kì-2, được kí hiệu là (25). s ố 6 không bị xáo trộn, nó có
dạng chu k ì-1, được kí hiệu là (6 ). Các kí hiệu tuần hoàn (134)(25)(6) đã xác
định rõ phép hoán vị.
Với kí hiệu này phần tử bao gồm n chu
{P\-> p P m )

k ì-1và nghịch đảo của

là những số giống như vậy trong cấp nghịch đảo,

tức là

( p m, p m- 1, ” ’, p I). Rõ ràng rằng vị trí tuyệt đối của một số trong chu kì là không
quan trọng, chỉ cần kể đến bậc tuần hoàn.

14


Phép đ ắ n g cấu: Hai nhóm G và G ’ được gọi là đắng cấu nếu tồn tại một
và chỉ một sự tương ứng giữa các phần tử của chúng. Các phần tử này đều tuân
theo luật nhân nhóm. Nói cách khác, nếu gị e G <-> gị'G G' và gịg? = g 3 trong
G thì g }' g 2 = ễ s ' trong G ’ và ngược lại.
Ví dụ:
(i) Nhóm A bao gồm các số {±1,+/} cùng với phép nhân thông thường
đẳng cấu với nhóm tuần hoàn hạng 4, C 4 = ^ , e 27dlA, e Aĩà14, e b7dlA } kí hiệu A - C4.
(ii) Nhóm nhị diện D 3 đẳng cấu với nhóm đối xứng s 3, D3 - S3.
Định lí Cayley: Mọi nhóm G hạng ỉĩ đắng cấu với một nhóm con của

s„ ■

Chứng minh:
Bố đề sắp xếp đã đưa ra một sự tương ứng từ G tới S n :
(\

2

•••

n)

anG ^>pa=

eS,
a 2 •••

(2.3.1)

aJ

ở đây chỉ số {a,} được xác định từ việc định nghĩa đơn vị.
g a, = a g i > i = \,2,■■■,«.

(2.3.2)

Đặt a b = c trong G. Ta có sự tương ứng:
ị\

2

« 'Ị 1

a n /,

b 2 •• • b„ 'ì
a.
V b\ a b2 •
r\

2

•••

= Ka b, a i,2

••

2

/A
bn ,

CM

\a\ a2 •

2

•

J>\ b 2 ■■’

bn,

n '
a i>„;

Nhưng theo (2.3.2) thì

s%= aSb,

= a { b g i ) = (a b ) g i = c g i = g Ci

15


Ta kết luận rằng vế phải của phương trình trên là đúng
1 2
Pc =
V C1 c 2

n
'nj

Vậy ab = c trong G dẫn tới p ap b = p c trong S n , nói cách khác ánh xạ
a e G —» p a e S n tuân theo phép nhân nhóm. Nó chỉ ra rằng các hoán vị
1
Pa =

2

n

anj

với mọi a g G hình thành một nhóm con của S n mà nhóm con này đẳng cấu
với G.
Ví dụ: Nhóm nhị diện {D2 :e,a,,c} đẳng cấu với nhóm con của s 4 bao
gồm các phần tử ị e , (1 2 ) ( 3 4 ) , (1 3 ) ( 2 4 ) , (1 4 ) ( 2 3 ) j .
Hơn nữa, các kí hiệu tuần hoàn xuất hiện trong một hoán vị bất kì kết hợp
với một phần tử cho trước của nhóm phải có cùng kích thước. Điều này rõ ràng
đúng trong ví dụ trên. Ket quả này đưa ra một hệ quả đó là: Neu hạng n của
nhóm là một số nguyên tố thì nhóm con tương ứng của S n chỉ gồm các chu kìn.
Định lí: Neu hạng n của nhóm là một sổ nguyên to thì nhóm đó phải
đang cấu với C n .
2.4. Nhóm thương
L ó p kề: Nếu gọi H - {hị,h2, ’"} là một nhóm con của G và p là một
phần tử của G (p <£ H ) thì tập hợp các phần tử pH = {phị,ph2,-"} được gọi là lớp
kề trái của H. Tương tự như vậy, Hp = [hịP,h2p , ' • •} được gọi là lớp kề phải của
H.

16


Các lớp kề của H không phải là các nhóm con vì chúng không chứa phần
tử đơn vị. Số các phần tử của mỗi lớp kề chính là hạng của nhóm con H. Điều
này như một hệ quả của bổ đề sắp xếp.
Bố đề: Hai lớp kề trái của một nhỏm con H hoặc là trùng nhau hoàn
toàn, hoặc là không có phần tử nào chung.
Chứng minh:
Gọi p H và cịH là hai lớp kề. Giả sử phị = qhj với một số hn hj G H thì
q~]p =

1 là một phần tử của H. Điều này chỉ ra rằng, q~]p H phải trùng với

H, tức là q _1p H = H . Suy ra p H = qH . Tuy nhiên, nếu không tồn tại h ^ h ị
thỏa mãn phị = qhj thì p H và qH phải được định nghĩa khác nhau.
Với một nhóm con H cho trước hạng n H , các lớp kề trái riêng biệt của H
chia các phần tử của nhóm lớn G thành tập hợp các nhóm con hạng n H .
Định lí Lagrange: Hạng của một nhóm hữu hạn phải băng một sổ
nguyên lần hạng của nhóm con bat kì của nó.
Ví dụ: Xét nhóm hoán vị ^3 :
(i)

Nhóm con {//ị : e, (123), (321)} có một lớp kề {M : (12), (23), (31)} thu

được bằng cách nhân trái (12) hoặc (23) hoặc (31) với các phần tử của H.
(ii)

Nhóm con { ỉ ỉ 2 :e,{\2)) có hai lớp kề trái {Mị :(23),(321)} thu được

bằng cách nhân (23) hoặc (321) với các phần tử của H 2 và {M2 : (31),(123)} thu
được bằng cách nhân (31) hoặc (123) với các phần tử của H 2. Như vậy ta đã
minh họa việc phân chia các phần tử của S 3 theo các lớp kề và lớp trong hình
I.3.

17


Í2
с)
Hình 1.3: a) Các lớp kề trái của H !
b) Các lớp kề trái của H 2

c) Các lớp của S 3V Ở = e , ç 2 = {02),(23),(31)},
f t ={(123)1(321)}
Xét các lớp kề của một nhóm con bất biến H như các phần tử của nhóm
mới. Phép nhân của hai lớp kề p H và q H được định nghĩa là một lớp kề có
chứa tất cả các tích phflhj =ị^pq)hk ở đây hk = {q
p , q e G . T ừ pH -qH = { p q } H , rõ ràng rằng:
(i) H = e H đóng vai trò của phần tử đơn vị.
(ii) P~]H là phần tử nghịch đảo của p H .
(iii) pH \ q H r H) = ( p H - q H Ỵ r H = ( p q r ) H

18

Gя

với hị,hj G я và


Định nghĩa nhóm thương: Neu H là một nhóm con bất biến của G, tập
các lớp kề với luật nhân pH -qtì =(/?thương của G. Nhóm thương được kí hiệu bởi G/H, nó có cấp bằng nG / n H .

Định nghĩa (phép đồng cấu):
Một đồng cấu từ nhóm G đến nhóm G ’ là một ánh xạ (không nhất thiết là
một-một), mà phép nhân nhóm được bảo toàn.
Nói cách khái, nếu gị e G , gị ' e G ' và gịg2 = g3 thì g , 'g 2' = g3 ’.
Đẳng cấu là trường hợp đặc biệt của đồng cấu. Toàn bộ lý thuyết biểu
diễn nhóm được xây dựng theo đồng cấu từ nhóm trừu tượng (thường là nhóm
đối xứng trong vật lý) tới nhóm toán tử hoặc ma trận tuyến tính trên không gian
vector (không gian của các trạng thái vật lý).
Ví dụ: Ánh xạ từ S3 tới C2 mô tả trong hình vẽ dưới đây là một đồng cấu.

H

M

Điều này xuất phát từ thực tế rằng tích của hai phần tử bất kì từ H hoặc từ
M được kết quả là một phần tử trong H, trong khi tích của một phần tử H với
một phần tử từ M cho kết quả là một phần tử trong M.

19


Từ đó rút ra nhận xét quan trọng: nếu G có một nhóm con bất biến H, thì
có tồn tại một đồng cấu từ G tới nhóm thương G/H. Phép nhân nhóm được bảo
toàn theo định nghĩa.
Định lí: Cho f là một đồng cấu từ G đen G

K í hiệu к là tập tat cả các

phần tử của G mà được ánh xạ tới phần tử đơn vị của G
К = |ö

E

G , a —>e' G ơ ' | . Thì

к tạo thành một nhóm

tức là

con bất biển của G. Hon nữa,

nhóm thương G/ к cũng đãng cẩu với G
Chứng minh:
./■
,
a b ^ e ' e ' = e ' . Do đó ab e к . Đôi với một đông câu

(i) Nêu a,b e к , thì
f
ta phải có а e К thì ứ 1—>(V)
(ii) Cho a G К

e G ' và g

f
'
f
~
—>g ’ (nếu g —> g ’). Do đó e e K

= e ' , hàm ý rằng ã 1 e

к . Do đó к

và nếu

là một nhóm

con.

và g là một phần tử bất kì thuộc G. Ta có:
v ( g ' ) " 1= e '

Do đó gag~x e K, g G G . Điều này nghĩa là к là một nhóm con bất biến.
(iii) Các phần tử của nhóm thương G / к là các lớp liền kề p K .
p

Xét

ánh

xạ

p K ^ p 'g G '

p

(trong

đó

vì

pEiK).

Nếu

p ( p K ) = p ( q K ) thì p { q - ' K - p K ) = p { q - ' K ) p ( p K ) = p - ' ( q K ) p ( p K ) = e \ ngụ

ý rằng q~]p K = К hay q K = p K . Vì ánh xạ là một-một. Phép nhân nhóm được
bảo toàn bởi p , vì p ( p K ) p ( q K ) = p ' q ' = (pq)' = p ( p q K ) . Do đó p
đẳng cấu.

20

là một


C H Ư Ơ N G 3: Ứ NG DỤ N G G IẢ I M Ộ T SỐ BÀI T Ậ P

Trong quá trình học vật lý, việc giải bài tập có vai trò rất quan trọng, hoạt
động này giúp người đọc hiếu sâu kiến thức, biết phân tích và vận dụng chúng
một cách linh hoạt. Đồng thời giải bài tập là một hình thức củng cố, ôn tập, hệ
thống hóa kiến thức và biến kiến thức đó thành vốn riêng của người học.
Lý thuyết nhóm cung cấp ngôn ngữ khoa học tự nhiên để trình bày các
nguyên lí đối xứng một cách rõ ràng, chính xác và để thấy được tầm quan trọng
của nó trong toán học vật lý. Trong một số bài toán đặc biệt, có thể nói rằng một
số mặt của vấn đề chỉ có thể giải quyết bằng công cụ lý thuyết nhóm.
Trong chương này, em xét một số dạng bài tập thường gặp và áp dụng các
định lí, bổ đề, tính chất của các nhóm để giải cụ thể bài tập đó.
Bài tập 1: Cho H = {e,(123),(321)}, chứng tỏ rằng S 3 / H

là một nhóm

thương.
Giải:
Ta có H = ịe,(123),(321)} là nhóm con bất biến của nhóm £ 3 .
Gọi M = {(12),(23), (31)}.
Nhóm thương S3/ H = {aH : f l € S j ị

Cụ thể:
e H = e { e , ( 123),(321)} = ịe, ( 123), (321)} = H
( l2 ) f f = ( l2 ) { e ,( l 2 3 ) ,( 3 2 l) } = {(l2),(23),(31)} = M
(2 3 )ff =(23){e,(l23),(321)} = {(23),(31),(l2)} = M
( 3 l) //= ( 3 l) { e ,( l2 3 ) ,( 3 2 l) } = {(3l),(l2),(23)} = M
(I2 3 )ff = (l2 3 ){e,(l2 3 ),(3 2 l)} = {(l23),(32l),e} = H
( 3 2 l ) í f = (3 2 l){ e ,(l2 3 ),(3 2 l)} = {(32l),e,(l23)} = ff
Vậy S } / H = { H ,M } , nhóm thương này hạng 2, đúng bằng n s / n H .

21