tài liệu tự ôn thi thpt quốc gia môn toán theo chủ đề

Tài liệu hướng dẫn tự ôn thi

THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN
THEO CHỦ ĐỀ
(tổng hợp lý thuyết, ví dụ minh họa, bài tập có đáp án)

Thành phố Hồ Chí Minh

1


Mục lục:
Khảo sát hàm số .................................................................................................8
Nguyên hàm, tích phân, ứng dụng tích phân.....................................................47
Phương trình lượng giác....................................................................................61
Phương trình, bất phương trình mũ và logarit ..................................................77
Số phức .............................................................................................................93
Tổ hợp và xác suất ...........................................................................................100
Hình học không gian ........................................................................................122
Phương pháp tọa độ trong không gian .............................................................172
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ...............................................................199
Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình .............................................241
Bài toán tổng hợp về GTLN-GTNN .................................................................290

2


Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM-TỔ TOÁN

Chủ đề 1
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
Nội dung 1: Tính đơn điệu của hàm số
A. Tóm tắt lí thuyết
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1) Định lý 1: Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm trên K.
a) Nếu hàm số f (x) đồng biến trên K thì f '(x)  0 với mọi x  K
b) Nếu hàm số f (x) nghịch biến trên K thì f '(x)  0 với mọi x  K


[ f(x) đồng biến trên K]

 [ f '(x)  0 với mọi x  K ]




[ f(x) nghịch biến trên K]
[ f '(x)  0 với mọi x  K ]

 [ f '(x)  0 với mọi x  K ]
 [ f(x) không đổi trên K]

2) Định lý 2: Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm trên K.
a) Nếu f '  x   0 với mọi x  K thì hàm số f (x) đồng biến trên K
b) Nếu f '  x   0 với mọi x  K thì hàm số f (x) nghịch biến trên K
c) Nếu f '  x   0 với mọi x  K thì hàm số f (x) không đổi trên K


[ f '(x)  0 với mọi x  K ]

 [ f(x) đồng biến trên K]



[ f '(x)  0 với mọi x  K ]

 [ f(x) nghịch biến trên K]

3) Định lý 3: (Định lý mở rộng) Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm trên K.
a) Nếu f '  x   0 với mọi x  K và f '  x   0 chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc K
thì hàm số f (x) đồng biến trên K.
b) Nếu f '  x   0 với mọi x  K và f '  x   0 chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc K
thì hàm số f (x) nghịch biến trên K.
4) Định lý 4: Cho hàm số bậc ba y  f  x   ax 3  bx 2  cx  d
a) Hàm số y  f  x   ax 3  bx 2  cx  d
b) Hàm số y  f  x   ax 3  bx 2  cx  d

 a  0  , ta có f '  x   3ax 2  2bx  c .
 a  0  đồng biến trên   f '  x   3ax 2  2bx  c  0 x  
 a  0  nghịch biến trên   f '  x   3ax 2  2bx  c  0 x  

NHẮC LẠI
Định lý: Cho tam thức bậc hai f ( x)  ax 2  bx  c ( a  0) ta có:
  0
 f ( x)  0 x    
a  0
  0
 f ( x)  0 x    
a  0

8


Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM-TỔ TOÁN

B. Phương pháp giải toán
Dạng : Định giá trị tham số để hàm số đơn điệu trên tập hợp X cho trước.
1. PHƯƠNG PHÁP
B1. Tập xác định: D  ?
B2. Tính y '  ?
B3. Lập luận:
 y đồng biến trên X

 y '  0, x  X

 y nghịch biến trên X  y '  0, x  X

Chú ý quan trọng: Trong điều kiện trên dấu bằng xảy ra khi phương trình y '  0 có hữu hạn
nghiệm, nếu phương trình y '  0 có vô hạn nghiệm thì trong điều kiện sẽ không có dấu bằng.
2. CÁC VÍ DỤ

1
Ví dụ 1. Cho hàm số y  (m2  m) x 3  2mx 2  3 x  1 . Tìm m để hàm số luôn đồng biến trên  .
3
Bài giải:
♦ Tập xác định: D  
♦ Đạo hàm: y '  (m 2  m) x 2  4mx  3
♣ Hàm số luôn đồng biến trên   y '  0 x  

m  0
♥ Trường hợp 1: Xét m 2  m  0  
m  1
+ Với m  0 , ta có y '  3  0, x   , suy ra m  0 thỏa.
3
+ Với m  1 , ta có y '  4 x  3  0  x   , suy ra m  1 không thỏa.
4

m  0
♥ Trường hợp 2: Xét m 2  m  0  
, khi đó:
m  1
2
 3  m  0
  '  m  3m  0
♣ y '  0 x     2
 
 3  m  0
 m  m  0
m  0  m  1

♦ Từ hai trường hợp trên, ta có giá trị m cần tìm là 3  m  0 .
Ví dụ 2. Cho hàm số y  x 3  3mx 2  3(m 2  1) x  2m  3 . Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng 1;2  .
Bài giải
♦ Tập xác định: D  
♦ Đạo hàm: y '  3x 2  6mx  3(m 2  1)
♣ Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; 2   y '  0 x  1; 2 
9

Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM-TỔ TOÁN

Ta có  '  9m 2  9(m 2  1)  9  0, m
Suy ra y ' luôn có hai nghiệm phân biệt x1  m  1; x2  m  1 ( x1  x2 )
x  1
m 1  1
Do đó: y '  0 x  1; 2   x1  1  2  x2   1
 
 1 m  2
m  1  2
 x2  2

♦ Vậy giá trị m cần tìm là 1  m  2 .
Bài tập tương tự
Cho hàm số y  2 x 3  3  2m  1 x 2  6m  m  1 x  1. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng

 2;   .

Đáp số: m  1 .
Ví dụ 3. Cho hàm số y  x 3  3 x 2  mx  2 . Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng

 0;   .

Bài giải
♦ Tập xác định: D  
♦ Đạo hàm: y '  3 x 2  6 x  m
♣ Hàm số đồng biến trên khoảng

 0;  

 y '  0 , x   0;  

(có dấu bằng)

 3 x 2  6 x  m  0 , x   0;  
 3 x 2  6 x  m , x   0;  

(*)

♣ Xét hàm số f ( x )  3 x 2  6 x , x   0;   , ta có:

f '( x)  6 x  6 ; f '( x)  0  x  1
Bảng biến thiên:

x

0


f '( x)
f ( x)



1
0





0
3

♣ Từ BBT ta suy ra: (*)  m  3
♦ Vậy giá trị m cần tìm là m  3 .
Bài tập tương tự
Cho hàm số y   x 3  3 x 2  3mx  1 . Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng

 0;   .

Đáp số: m  1 .
Ví dụ 4. Cho hàm số y 

mx  7m  8
. Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
x m

10


Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM-TỔ TOÁN

Bài giải
♦ Tập xác định: D   \ m
♦ Đạo hàm: y ' 

m 2  7m  8

 x  m

2

. Dấu của y ' là dấu của biểu thức m 2  7m  8 .

♣ Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định  y '  0 , x  D

(không có dấu bằng)

 m 2  7m  8  0
 8  m  1
♦ Vậy giá trị m cần tìm là 8  m  1 .
Ví dụ 5. Cho hàm số y 

mx  7m  8
. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng 3; .
x m

Bài giải
♦ Tập xác định: D   \ m
♦ Đạo hàm: y ' 

m 2  7m  8

 x  m

2

. Dấu của y ' là dấu của biểu thức m 2  7m  8 .

♣ Hàm số đồng biến trên khoảng 3;  y '  0 , x   3;  

(không có dấu bằng)

m2  7m  8  0
 
m  3

8  m  1
 
m  3
 8  m  3
♦ Vậy giá trị m cần tìm là 8  m  3 .

C. Bài tập
1
Bài 1: Cho hàm số y  (1  m) x 3  2(2  m) x 2  2(2  m) x  5 . Tìm m để hàm số luôn nghịch biến trên 
3
Đáp số: 2  m  3 .

1
Bài 2: Cho hàm số y  (m 2  4) x 3  (m  2) x 2  2 x  3 . Tìm m để hàm số luôn đồng biến trên 
3
Đáp số: m 2 hoặc m  6 .
Bài 3: Cho hàm số y  2 x 3  3mx 2  3(m  1) x  1 . Tìm m để hàm số luôn đồng biến trên 1;
Đáp số: m  1 .
Bài 4: Cho hàm số y 

mx  2
. Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
x  m 3
11


Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM-TỔ TOÁN

Đáp số: m  1 hoặc m  2 .
Bài 5: Cho hàm số y 

mx  9
. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng
x m

 ;2

Đáp số: 2  m  3 .
Bài 6: Cho hàm số y 

mx  2
. Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng 1;  
x  m 1

Đáp số: m  2 .

Nội dung 2: Cực trị của hàm số

A. Tóm tắt lí thuyết
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1) Định lý 1: (điều kiện cần để hàm số có cực trị)
Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 . Khi đó nếu f có đạo hàm tại x0 thì f '( x0 )  0
2) Định lý 2: (điều kiện đủ thứ I để hàm số có cực trị). Quy tắc 1
Giả sử hàm số y  f ( x) liên tục trên khoảng  a; b  chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng  a; x 0  và

 x0 ; b . Khi đó
a) Nếu f '( x)  0 với mọi x   a; x0  và f '( x)  0 với mọi x   x 0 ; b 
thì hàm số f ( x ) đạt cực tiểu tại điểm x0 .
b) Nếu f '( x)  0 với mọi x   a; x0  và f '( x)  0 với mọi x   x 0 ; b 
thì hàm số f ( x ) đạt cực đại tại điểm x0 .
3) Định lý 3: (điều kiện đủ thứ II để hàm số có cực trị). Quy tắc 2
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng  a; b  chứa điểm x0 , f '( x0 )  0 và f có đạo hàm cấp hai khác
không tại điểm x0 . Khi đó
a) Nếu f ''( x0 )  0 thì hàm số f ( x ) đạt cực đại tại điểm x0
b) Nếu f ''( x0 )  0 thì hàm số f ( x ) đạt cực tiểu tại điểm x0
4) Định lý 4:
a) Hàm số y  f  x   ax 3  bx 2  cx  d  a  0  có hai điểm cực trị
 f '  x   3ax 2  2bx  c  0 có hai nghiệm phân biệt.
b) Hàm số y  f  x   ax 4  bx 2  c  a  0  có ba điểm cực trị
 f '  x   4ax 3  2bx  0 có ba nghiệm phân biệt.

12


Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM-TỔ TOÁN

B. Phương pháp giải toán
Dạng 1: Định giá trị tham số để hàm số bậc ba (trùng phương) có 2 cực trị (có 3 cực trị).
1. PHƯƠNG PHÁP
B1. Tập xác định: D  ?
B2. Tính y '  ?
B3. Lập luận:
Lưu ý:
a) Hàm số y  f  x   ax 3  bx 2  cx  d  a  0  có hai điểm cực trị
 f '  x   3ax 2  2bx  c  0 có hai nghiệm phân biệt.
b) Hàm số y  f  x   ax 4  bx 2  c  a  0  có ba điểm cực trị
 f '  x   4ax 3  2bx  0 có ba nghiệm phân biệt.
2. CÁC VÍ DỤ

1
Ví dụ 1. Cho hàm số y  (m 2  1) x 3  (m  1) x 2  3 x  5 . Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị.
3
Bài giải
♦ Tập xác định: D  
♦ Đạo hàm: y '  (m 2  1) x 2  2(m  1) x  3

y '  0  ( m 2  1) x 2  2( m  1) x  3  0
♣ Hàm số có hai điểm cực trị  y '  0 có hai nghiệm phân biệt

m2 1  0
 

 '  (m  1)2  3(m 2 1)  0

m  1
 

2m2  2m  4  0
m  1
m  1
 
 
1  m  2 1  m  2
m  1
♦ Vậy giá trị m cần tìm là 
.
1  m  2
Bài tập tương tự
Cho hàm số y  x 3  3 x 2  mx  m  2 . Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị.
Đáp số: m  3

13


Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM-TỔ TOÁN

Ví dụ 2. Cho hàm số y  mx 4  (m 2  9) x 2  10 . Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị.
Bài giải
♦ Tập xác định: D  
♦ Đạo hàm: y '  4mx3  2( m 2  9) x  2 x.(2mx 2  m 2  9)

x  0
y' 0  
 2 mx 2  m2  9  0


(1)

♣ Hàm số có ba điểm cực trị  y '  0 có ba nghiệm phân biệt
 (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0

m  0

2
 
 '  2 m(m  9)  0

m 2  9  0
m  0

  m  3
 m  3
 
 
 0  m  3
  0  m  3

m  3

 m  3
♦ Vậy giá trị m cần tìm là 
.
 0  m  3
Bài tập tương tự
Cho hàm số y  x 4  (m  1) x 2  2m  1 . Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị.

Đáp số: m  1 .
Dạng 2: Định giá trị tham số để hàm số đạt cực trị tại điểm x 0.
1. PHƯƠNG PHÁP
B1. Tập xác định: D  ?
B2. Tính y '  ?
B3. Lập luận:
a) Điều kiện cần: Hàm số có cực trị tại x0  y '( x0 )  0  Giá trị của tham số m.
b) Điều kiện đủ: Thay giá trị tham số vào y ' thử lại. Khi thử lại có thể dùng quy tắc 1 hoặc
quy tắc 2.

2. VÍ DỤ
Ví dụ . Cho hàm số y 

1 3
x  m 2  m  2 x 2  (3m 2  1) x  m  5 .
3





Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x  2 .
14


Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM-TỔ TOÁN

Bài giải

♦ Tập xác định: D  
♦ Đạo hàm: y '  x 2  2  m 2  m  2  x  3m2  1
a) Điều kiện cần:
Hàm số đạt cực tiểu tại x  2  y '(2)  0
m  1
 m 2  4m  3  0  
 m  3
b) Điều kiện đủ:
♣ Với m  1 , ta có: y '  x 2  4 x  4 , y '  0  x  2
Bảng biến thiên

x



2


y'




0

y

Từ BBT ta suy ra m  1 không thỏa.
 x  14
♣ Với m  3 , ta có: y '  x 2 16 x  28 , y '  0  

 x  2
Bảng biến thiên

x
y'



14


y

0

2


0




CĐ
CT

Từ BBT ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x  2 .
♦ Vậy giá trị m cần tìm là m  3 .
Bài tập tương tự
Cho hàm số y  x 3  mx 2  3 x  2 . Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x  2 .

Đáp số: m 

15
4

Dạng 3: Định giá trị tham số để hàm số đạt cực trị thỏa điều kiện cho trước.
1. PHƯƠNG PHÁP
B1. Tập xác định: D  ?
B2. Tính y '  ?
B3. Lập luận

15


Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM-TỔ TOÁN

2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho hàm số y  x 3  (2m  1) x 2  (2  m ) x  2 .
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ dương.
Bài giải
♦ Tập xác định: D  
♦ Đạo hàm: y '  3x 2  2(2m  1) x  2  m

y '  0  3 x 2  2(2 m  1) x  2  m  0
♦ Hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ dương
 y '  0 có hai nghiệm dương phân biệt



2
 '  (2m 1)  3(2  m)  0

2m
  P 
0

3

 S  2(2 m 1)  0

3

5
m  1  m 
4m 2  m  5  0

4

5


 2  m  0
 m  2
 m2


4
2m 1  0

1

m 
2

♦ Vậy giá trị m cần tìm là
Ví dụ 2. Cho hàm số y 

5
 m  2 .
4

2 3
2
x  mx 2  2(3m 2  1) x  .
3
3

Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 và x2 sao cho x1 x2  2( x1  x2 )  1 .
Bài giải
♦ Tập xác định: D  
♦ Đạo hàm: y '  2 x 2  2mx  2(3m 2  1)

y '  0  2 x 2  2mx  2(3m 2  1)  0
♦ Hàm số có hai điểm cực trị x1 và x2

(1)

 y '  0 có hai nghiệm phân biệt
  '  m2  4(3m 2 1)  0

 13m 2  4  0  m  

2 13
2 13
m
13
13

(*)

16


Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM-TỔ TOÁN

 x1  x2  m
Vì x1 và x2 là nghiệm của (1) nên theo định lý Viet ta có: 

 x1 x2  1 3m 2

m  0

Do đó: x1 x2  2( x1  x2 )  1  1 3m  2m  1  3m  2 m  
2
m 
3

2

2

(**)

2
♦ Từ (*) và (**) ta suy ra giá trị m cần tìm là m  .
3

1
1
Ví dụ 3. Cho hàm số y  mx 3  (m  1) x 2  3(m  2) x  . Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 và x2
3
3
sao cho x1  2 x2  1 .
Bài giải
♦ Tập xác định: D  
♦ Đạo hàm: y '  mx 2  2( m  1) x  3(m  2)

y '  0  mx 2  2( m  1) x  3(m  2)  0

(1)

 y '  0 có hai nghiệm phân biệt

♦ Hàm số có hai điểm cực trị x1 và x2

m  0
 
 '  2m 2  4m  1  0

m  0

 2 6
2 6

m
 2
2

(*)


2(m 1)
 x1  x2 
m
Vì x1 và x2 là nghiệm của (1) nên theo định lý Viet ta có: 

3(m  2)
 x1 x2 
m


Theo đề bài : x1  2 x2  1

(2)
(3)

(4)



 x1  3m  4
m
Từ (2) và (4) suy ra 
(5). Thay (5) và (3) ta được:


m  2
 x2 
m


2
 3m  4 
 2  m   3(m  2)  6m 2 16 m  8  0   m  3

 m 
 m 

m
 m  2
♦ Từ (*) và (**) ta suy ra giá trị m cần tìm là m 

(**)

2
và m  2 .
3
17

Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM-TỔ TOÁN

Ví dụ 4. Cho hàm số y  x3  3mx  1 (1), với m là tham số thực. Cho điểm A(2;3) . Tìm m để đồ thị hàm
số (1) có hai cực trị B và C sao cho tam giác ABC cân tại A .
Bài giải
♦ Tập xác định: D  
♦ Đạo hàm: y '  3 x 2  3m

y '  0  3 x 2  3m  0

(1)

♦ Đồ thị hàm số (1) có hai cực trị B và C  y '  0 có hai nghiệm phân biệt
 m0

(*)

Khi đó y '  0 có hai nghiệm phân biệt là x   m
♣ Với x  m  y  2 m3  1
♣ Với x   m  y  2 m3  1



 

Tọa độ các điểm cực trị B và C là B  m ; 2 m3 1 , C



m ; 2 m 3  1

♦ Tam giác ABC cân tại A  AB  AC
 AB 2  AC 2



 
2

 2  m  2  2 m3

   2  m   2  2
2

2

m3

m  0

 4 m  8 m  0  
1
m 

2
3



2

(**)

1
♦ Từ (*) và (**) ta suy ra giá trị m cần tìm là m  .
2

Ví dụ 5. Cho hàm số y  x 4  2mx 2  2m  m 4 (1), với m là tham số thực. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có
ba điểm cực trị A, B, C đồng thời các điểm A, B, C tạo thành một tam giác vuông.
Bài giải
♦ Tập xác định: D  
♦ Đạo hàm: y '  4 x 3  4mx  4 x ( x 2  m)
x  0
y' 0   2
x  m

(1)

♦ Đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C  y '  0 có ba nghiệm phân biệt
 m0

(*)

Khi đó y '  0 có ba nghiệm phân biệt là x  0 , x   m
18


Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM-TỔ TOÁN

♣ Với x  0  y  2m  m 4
♣ Với x   m  y  m4  m 2  2m
Tọa độ các điểm cực trị A, B, C là



 

A0; 2m  m4  ; B  m ; m4  m 2  2m ; C


Suy ra: AB   m ; m 2 ; AC 







m ; m 2

m ; m 4  m 2  2m





♦ Tam giác ABC vuông  Tam giác ABC vuông tại A
 
 AB. AC  0
m  0
 m  m 4  0  
 m  1

(**)

♦ Từ (*) và (**) ta suy ra giá trị m cần tìm là m  1 .

C. Bài tập
1
Bài 1: Cho hàm số y  (m 2  1) x 3  (m  1) x 2  3 x  5 . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
3

Đáp số: 1  m  2 và m  1 .
Bài 2: Cho hàm số y 

2 3
x  (m  1) x 2  (m 2  4m  3) x  1 . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các
3

điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ dương.
Đáp số: 5  m  3 .
Bài 3: Cho hàm số y  x 3  (m  1) x 2  (3m  4) x  5 . Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x  1
Đáp số: m  3 .
Bài 4: Cho hàm số y  x3  (m  1) x 2  (2m  1) x  2m . Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 và x2 sao
cho x12  x22  x1 x2  1 .
Đáp số:

Bài 5: Cho hàm số y  mx 3  (m  2) x 2  (m  1) x  4 . Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 và x2 sao
cho

1
1
1
 2  16  2 2 .
2
x1 x2
x1 x2

Đáp số:
Bài 6: Cho hàm số y  2 x 3  3(m  1) x 2  6  m  2  x  1 . Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 và x2 sao
cho x1  x2  2 .
Đáp số: m  1 .
19


Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM-TỔ TOÁN

Bài 7: Cho hàm số y   x 3  3x 2  3(m 2  1) x  3m 2  1 . Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và các điểm
cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ O .

1
Đáp số: m   .
2
Bài 8: Cho hàm số y  x 4  2 mx 2  m 2  2 . Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị và các điểm cực trị của đồ
thị hàm số là ba đỉnh của một tam giác vuông .

Đáp số: m  1 .
Bài 9: Cho hàm số y   x3  3x 2  4 . Tìm m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tiếp
xúc với đường tròn  C  : ( x  m) 2  ( y  m  1) 2  5
Đáp số:
Bài 10: Cho hàm số y  2 x3  9 mx 2  12m 2 x  1 . Tìm m để hàm số đạt cực đại tại xCĐ, đạt cực tiểu tại xCT
thỏa mãn x2CĐ = xCT.
Đáp số: m  2 .
Bài 11: Cho hàm số y  x 3  3x 2  m . Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho

AOB  1200 ( O là gốc tọa độ)

Đáp số: m 

12  2 3
.
3

Nội dung 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
A. Tóm tắt lí thuyết & phương pháp giải toán
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1) ĐỊNH NGHĨA: Giả sử hàm số y  f  x  xác định trên tập hợp D.


Số M được gọi là GTLN của hàm số y  f  x  trên tập D nếu các điều sau được thỏa mãn
i) f  x   M x  D
ii) x  D : f x  M
 0
0

Ký hiệu: M  Max f  x 

xD



Số m được gọi là GTNN của hàm số y  f  x  trên tập D nếu các điều sau được thỏa mãn
i) f  x   m x  D
ii) x  D : f x  m
 0
0

Ký hiệu: m  min f  x 
xD




Quy ước: Ta quy ước rằng khi nói GTLN hay GTNN của hàm số f mà không nói "trên tập D" thì ta
hiểu đó là GTLN hay GTNN trên TẬP XÁC ĐỊNH của nó.
Đối với GTLN và GTNN đối với hàm nhiều biến cũng có định nghĩa tương tự.

20


Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM-TỔ TOÁN

2) CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ TÌM GTLN & GTNN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN
a) Phương pháp 1 : Sử dụng bất đẳng thức
(hay phương pháp dùng định nghĩa).

Một số kiến thức thường dùng:
b

a) f ( x )  ax 2  bx  c  a( x  )2 
2a
4a
b) Bất đẳng thức Cô-si:
ab
 Với hai số a, b không âm  a, b  0  ta luôn có:
 ab  a  b  2 ab
2
Dấu "=" xảy ra khi a  b
a bc 3
 Với ba số a, b, c không âm  a, b, c  0  ta luôn có:
 abc  a  b  c  3 3 abc
3
Dấu "=" xảy ra khi a  b  c
c) Một số bất đẳng thức cơ bản thường dùng
a 2  b2
1) a 2  b 2  2ab  ab 
2
( a  b) 2
2) (a  b)2  4ab  ab 
4
( a  b) 2
3) (a  b) 2  2(a 2  b 2 )  a 2  b 2 
2
CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Tìm GTLN của hàm số f  x   2x 2  8x  1 .
Bài giải

♥ Tập xác định: D  
♥ Ta có
2
 f  x   2x 2  8x  1  9  2  x  2   9, x  D
 Dấu “=” xảy ra khi x  2  D
♥ Vậy max f ( x )  9 .
x D

Ví dụ 2: Tìm GTNN của hàm số f  x   2x 2  4x  12 .
Bài giải
♥ Tập xác định: D  
♥ Ta có
2

 f  x   2x 2  4x  12 = 2  x  1  10  10 ,x  D
 Dấu “=” xảy ra khi x  1  D

♥ Vậy min f ( x )  10 .
x D
Ví dụ 3: Tìm GTNN của các hàm số f  x   x 

2
với x  1;   .
x 1

Bài giải
♥ D  1; 
♥ Theo bất đẳng thức Cô-si ta có:

21

Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM-TỔ TOÁN

2
2
2
 x 1
 1  2  x  1 .
 1  2 2  1, x  1;  
x 1
x 1
x 1
2
2
 Dấu “=” xảy ra khi x 1 
  x 1  2  x  1  2  D
x 1

 f x  x 

♥ Vậy min f ( x )  2 2  1 .
x D
Bài tập tương tự

7
x 3
b) Phương pháp 2 : Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình

(hay phương pháp miền giá trị).
Cơ sở lý thuyết của phương pháp: Cho hàm số xác định bởi biểu thức dạng y  f  x 
Tìm GTNN của hàm số f (x)  x  3 



Tập xác định của hàm số được định nghĩa là :
D  { x   | f(x) có nghĩa}
 Tập giá trị của hàm số được định nghĩa là :
T = { y   | Phương trình f(x) = y có nghiệm x  D }
Do đó nếu ta tìm được tập giá trị T của hàm số thì ta có thể tìm đựơc GTLN và GTNN của
hàm số đó.
Một số kiến thức thường dùng:
a) Phương trình ax 2  bx  c  0  a  0  có nghiệm    0
b) Phương trình a cos x  b sin x  c  a, b  0  có nghiệm  a 2  b 2  c 2
CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1 : Tìm GTLN và GTNN của hàm số y 

x2  x  2
.
x2  x  2

Bài giải
♥ Tập xác định: D  
♥ Xem (1) là phương trình theo ẩn x ta có:
x2  x  2
y 2
 yx 2  yx  2y  x 2  x  2
x x2
  y 1 x 2   y  1 x  2 y  2  0

(1)

(2) (Dạng ax 2  bx  c  0 )

+ Trường hợp 1: Với y  1 thì (2) có nghiệm x  0
+ Trường hợp 2: Với y  1 thì (2) có nghiệm    0
 7 y 2  18y  7  0 

94 2 9  4 2 
.
Suy ra tập giá trị của hàm số là T  
;

7
7


9 4 2
94 2
♥ Vậy min y 
; max y 
.
x D
xD
7
7
Ví dụ 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số y 

1  sin x

.
2  cos x

94 2
94 2
y
7
7

(1)

Bài giải
♥ Tập xác định: D  
♥ Xem (1) là phương trình theo ẩn x ta có:
22


Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM-TỔ TOÁN

1  2y  y cos x  1  sin x  y cos x  sin x  1 2 y

(2)

(dạng a cos x  b sin x  c )

(2) có nghiệm  a2  b2  c 2  y 2  1  1 2 y   3y 2  4 y  0  0  y 
2

2

3
4

 3
Suy ra tập giá trị của hàm số là T   0;  .
 4


3
♥ Vậy min
y  0; max y  .
x D
x D
4
c) Phương pháp 3 : Sử dụng đạo hàm (hay phương pháp giải tích).
 Điều kiện tồn tại GTLN và GTNN:
Định lý: Hàm số liên tục trên một đoạn  a; b  thì đạt được GTLN và GTNN trên đoạn đó.




Phương pháp chung: Muốn tìm GTLN và GTNN của hàm số y  f  x  trên miền D, ta lập
BẢNG BIẾN THIÊN của hàm số trên D rồi dựa vào BBT suy ra kết quả.
Phương pháp riêng:
Trong nhiều trường hợp, có thể tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn mà không cần
lập bảng biến thiên của nó. Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn  a; b  và có đạo hàm trên
khoảng  a; b  , có thể trừ một số hữu hạn điểm . Nếu f '( x)  0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc

 a; b  thì ta có quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm

f trên đoạn  a; b  như sau:

Quy tắc
1) Tìm các điểm x1 , x2 ,..., xm thuộc  a; b  mà tại đó hàm số f có đạo hàm bằng 0 hoặc không có
đạo hàm.
2) Tính f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xm ), f (a), f (b) .
3) So sánh các giá trị tìm được.
 Số lớn nhất trong các giá trị đó là GTLN của f trên đoạn  a; b  .


Số nhỏ nhất trong các giá trị đó là GTNN của f trên đoạn  a; b  .

CÁC VÍ DỤ
i. XÉT HÀM TRỰC TIẾP
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  2 x 3  3x 2 12 x  2 trên đoạn 1; 2 .
Bài giải
♥ D  1;2
♥ Ta có: y '  6 x 2  6 x 12
 x  2  D
y' 0  
x 1 D

Do y 1  15; y 2  6; y 1  5  min y  5; max y  15
x D
xD

♥ Vậy min y  5; max y  15 .
x D

xD

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  e x  x 2  x 1 trên đoạn  0;2 .
Bài giải
♥ D   0;2
♥ Ta có: y '  e x  x 2  x  2
23


Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM-TỔ TOÁN

 x  2  D
y' 0  
x 1 D

Do y 0  1; y 2  e2 ; y 1  e  min y  e; max y  e2
x D

x D

♥ Vậy min y  e; max y  e2 .
x D
x D

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x  4  x 2 .
Bài giải
♥ D  2;2

♥ Ta có: y ' 

4  x2  x
4  x2

y' 0  x  2  D





Do y 2  2; y 2  2; y  2  2 2  min y  2 2; max y  2
x D
xD

♥ Vậy min y  2 2; max y  2 .
x D
xD

ii. ĐỔI BIẾN (ĐẶT ẨN PHỤ)
Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  2 sin 2 x  cos x  1 .
Bài giải
♥ Tập xác định: D  
♥ Đặt t  cos x với t  1;1 , hàm số trở thành: y  2t 2  t  3

1
; y '  0  t    1;1
4
 1  25
25

Do y 1  2; y 1  0; y   
 min
y

0;
max
y

x D
x D
 4  8
8
Ta có: y '  4t 1

♥ Vậy min y  2 2; max y  2 .
x D
xD

BÀI TẬP
Bài 1: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:
 1
1) y  16 x 2  2 x  12 trên đoạn 0; 
 4
3) y  x3  3x 2  9x  35 trên đoạn  4, 4
x2
trên đoạn  0; 2
x2
2 x 2  3x  3
7) y 
trên đoạn  0; 2

x 1
Bài 2: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:
  
1) y  sin2x  x trên đoạn   ; 
 2 2

5) y 

3) y  x  e2 x trên đoạn  1; 0

2) y  x 2 

9
x trên đoạn
4

 4
1; 3 

x3
 2 x 2  3 x  4 trên đoạn  4, 0 
3
x3
6) y 
trên đoạn  1; 2 
x2
2 x2  5x  4
8) y 
trên đoạn  1;1
x2

4) y 

2) y  6  3 x trên đoạn  1;1
4) y 

ln 2 x
trên đoạn 1; e3 
x
24


Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM-TỔ TOÁN

Bài 3: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:
1) y  x 2 ln x trên đoạn 1;e

x 1

2) y 

3) y  x 2  3  x ln x trên đoạn 1; 2
Bài 4: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:

x2  1

trên đoạn  1; 2 

4) y  x 2  ln(1  2x) trên đoạn  2;0 

1) y  4 x  x 2

2) y   x 2  2 x  8

3) y  2  x  4  x

4) y  x  4  x 2

5) y   x  1 1  x 2

6) y  1  x 2  1  x 2

7) y  x  4  x 2

8) y 

1 2
x  x  4x  x2
4

9) y   x 2  4 x  21   x 2  3x  10 (Khối D-2010)
Bài 5: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:
4
1) y  2sin x  sin 3 x trên đoạn  0; 
3
3

3) y  x 6  4 1  x 2  trên đoạn  1;1

2) y  cos 4 x  6cos 2 x  5
4) y  sin 4 x  cos 4 x  2

Nội dung 4: Sự tương giao của hai đồ thị
A. Tóm tắt lí thuyết
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
Bài toán tổng quát

(C ) : y  f(x)
Trong mp(Oxy) . Hãy xét sự tương giao của đồ thị hai hàm số :  1
(C2 ) : y  g(x)
y
y
y
(C1 )
(C1 )
M1 y2
M2
(C2 )
M0
y1
x
x
x1 O
x2
O
O

x

(C 2 )

(C 2 )

(C1) và (C2) không có điểm chung

(C1 )

(C1) và (C2) cắt nhau

(C1) và (C2) tiếp xúc nhau

Phương pháp chung:
* Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số đã cho:
f(x) = g(x)
(1)
* Tùy theo số nghiệm của phương trình (1) mà ta kết luận về số điểm chung
của hai đồ thị (C1) và (C2) .
Lưu ý:
Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị (C1) và (C2).
Ghi nhớ:
Số nghiệm của pt (1) = số giao điểm của hai đồ thị (C1) và (C2).
25


Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM-TỔ TOÁN

Chú ý 1 :

* (1) vô nghiệm
 (C1) và (C2) không có điểm điểm chung
* (1) có n nghiệm
 (C1) và (C2) có n điểm chung
Chú ý 2 :
* Nghiệm x0 của phương trình (1) chính là hoành độ điểm chung của (C1) và (C2).
Khi đó tung độ điểm chung là y0 = f(x0) hoặc y0 = g(x0).
y

y0
x0

x

O

B. Phương pháp giải toán
(C ) : y  f ( x)
Dạng 1: Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị  1
.
(C2 ) : y  g ( x)

1. PHƯƠNG PHÁP
B1. Lập phương trình hoành độ giao điểm: f ( x)  g ( x ) (1)
B2. Giải phương trình (1) tìm x  y
B3. Kết luận
2. VÍ DỤ
Ví dụ . Tìm tọa độ giao điểm của đường cong (C): y 

2x  1

và đường thẳng y  x  2 .
2x  1

Bài giải
♦ Phương trình hoành độ giao điểm:
Điều kiện: x 

2x 1
 x2
2 x 1

(1)

1
2

♦ Khi đó: (1)  2 x 1  (2 x 1)( x  2)

 2 x2  x  3  0
x 1

 
3
x  

2
3
1
♣ Với x    y 
2

2

♣ Với x  1  y  3

 3 1
♦ Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là  ;  và 1;3 .
 2 2 
26


Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM-TỔ TOÁN

(C ) : y  f ( x)
Dạng 2: Tìm tham số để hai đồ thị  1
cắt nhau tại 2( 3, 4) điểm phân biệt.
(C2 ) : y  g ( x)
1. PHƯƠNG PHÁP
B1. Lập phương trình hoành độ giao điểm: f ( x)  g ( x ) (1)
B2. Lập luận
Lưu ý:
Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị.
2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho hàm số y 

2x  1
có đồ thị là (C). Tìm m để đường thẳng (d): y  x  m cắt đồ thị (C) tại
x 1

hai điểm phân biệt.
Bài giải
♦ Phương trình hoành độ giao điểm:

2 x 1
 x  m
x 1

(1)

Điều kiện: x  1
♦ Khi đó: (1)  2 x 1  (x  m)( x 1)
 x 2  ( m 1) x  m 1  0

(2)

♦ (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt  (1) có hai nghiệm phân biệt
 (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1





   m  1  4 m 1  0
1  m  1.1  m 1  0

2

 m 2  6m  5  0
 m  1 m  5

♦ Vậy giá trị m cần tìm là m  1 m  5 .
Ví dụ 2. Cho hàm số y  mx 3  x 2  2 x  8m có đồ thị là Cm  . Tìm m đồ thị Cm  cắt trục hoành tại 3 điểm
phân biệt.
Bài giải
♦ Phương trình hoành độ giao điểm: mx3  x 2  2 x  8m  0

(1)

  x  2  mx 2  (2m  1) x  4m  0

27


Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM-TỔ TOÁN

 x  2
  2
 mx  (2m 1) x  4 m  0


(2)

♦ Cm  cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt  (1) có ba nghiệm phân biệt
 (2) có hai nghiệm phân biệt khác 2
m  0

   12 m2  4m  1  0


12 m  2  0



m  0
m  0
 1
1

   m 
  1
  m  1
 6
2

 6
2
m   1

6

m  0
♦ Vậy giá trị m cần tìm là  1
.
  m  1
 6
2
Ví dụ 3. Cho hàm số y  x 4  (3m  4) x 2  m 2 có đồ thị là Cm  . Tìm m đồ thị Cm  cắt trục hoành tại bốn
điểm phân biệt.

Bài giải
♦ Phương trình hoành độ giao điểm: x 4  (3m  4) x 2  m 2  0

(1)

Đặt t  x 2 t  0 , phương trình (1) trở thành:

t 2  (3m  4)t  m 2  0

(2)

♦ Cm  cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt  (1) có bốn nghiệm phân biệt
 (2) có hai nghiệm dương phân biệt
  5m2  24m  16  0

  P  m2  0

 S  3m  4  0



m  4  m   4

4

5
m  

 m  0


5


4

m  0
m  
3


28


Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM-TỔ TOÁN


4
m  
♦ Vậy giá trị m cần tìm là 
5 .

m  0
(C ) : y  f ( x)
Dạng 3: Tìm tham số để hai đồ thị  1
cắt nhau tại 2( 3, 4) điểm phân biệt thỏa điều kiện
(C2 ) : y  g ( x)
cho trước.
1. PHƯƠNG PHÁP

B1. Lập phương trình hoành độ giao điểm: f ( x)  g ( x ) (1)
B2. Lập luận
Lưu ý:
 Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị.
 Nghiệm x0 của phương trình (1) chính là hoành độ điểm chung của (C1) và (C2).
Khi đó tung độ điểm chung là y0 = f(x0) hoặc y0 = g(x0).
2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho hàm số y 

mx 1
có đồ thị là Cm  . Tìm m để đường thẳng (d): y  2 x 1 cắt đồ thị Cm 
x2

tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB  10 .
Bài giải
♦ Phương trình hoành độ giao điểm:

mx 1
 2 x 1
x2

(1)

Điều kiện: x  2
♦ Khi đó: (1)  mx 1  (2 x 1)( x  2)
 2 x 2  (m  3) x 1  0

(2)

♦ (d) cắt Cm  tại hai điểm phân biệt A, B  (1) có hai nghiệm phân biệt

 (2) có hai nghiệm phân biệt khác  2



 
  m  3  8  0
2

8  2m  6 1  0

 m 

1
2

(*)

Đặt A  x1; 2 x1 1; B  x2 ; 2 x2 1 với x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình (2).

Theo định lý Viet ta có:

m3

 x1  x2  2


1
 x1 x2  
2


29


Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

Khi đó:

HĐBM-TỔ TOÁN

2
2
2
AB   x1  x2   4  x1  x2   10  5  x1  x2   4 x1 x2   10



 m  3 
2 2
 
 2 
2

 m  3 [thỏa mãn (*)]
♦ Vậy giá trị m cần tìm là m  3 .
Ví dụ 2. Cho hàm số y  x3  3x 2  (m 1) x 1 có đồ thị là Cm  . Tìm m để đồ thị Cm  cắt đường thẳng

(d ) : y  x 1 tại ba điểm A0;1 , B, C sao cho BC  10 .
Bài giải
♦ Phương trình hoành độ giao điểm: x 3  3x 2  (m 1) x  1  x 1

(1)

 x  x 2  3x  m  2  0
x  0
  2
 x  3x  m  2  0


(2)

♦ Cm  cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt  (1) có ba nghiệm phân biệt
 (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0


m  17
  9  4( m  2)  0
 
 
4
m  2  0

m  2

(*)

Đặt B  x1; x1  1;C  x2 ; x2  1 với x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình (2).
Theo định lý Viet ta có:
Khi đó:

 x1  x2  3


 x1 x2  m  2

BC   x1  x2    x1  x2   10
2

2

2
 2  x1  x2   4 x1 x2   10



 9  4  m  2  5
 m3

[thỏa mãn (*)]

♦ Vậy giá trị m cần tìm là m  3 .
Ví dụ 3. Cho hàm số y  x 4  (3m  4) x 2  m2 có đồ thị là Cm  . Tìm m để đồ thị Cm  cắt trục hoành tại
bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.
Bài giải
♦ Phương trình hoành độ giao điểm: x 4  (3m  4) x 2  m 2  0

(1)

Đặt t  x 2 t  0 , phương trình (1) trở thành:
30