Tài liệu hướng dẫn ôn thi thpt quốc gia môn toán 2015 ngắn gọn và cơ bản nhất
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.78 MB, 72 trang )
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
1
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA - MÔN TOÁN
NĂM 2014-2015
****************************
A.CẤU TRÚC ĐỀ THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2014 (Tham khảo)
Câu I (2 điểm):
- Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
- Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: chiều biến thiên của
hàm số; cực trị; giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số; tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang)
của đồ thị hàm số; tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho trước, tương giao giữa hai đồ thị
(một trong hai đồ thị là đường thẳng)
Câu II (1 điểm):
Biến đổi lượng giác, phương trình lượng giác.
Câu III (1 điểm):
Phương trình, bất phương trình; hệ phương trình đại số.
Câu IV (1 điểm):
- Tìm giới hạn.
- Tìm nguyên hàm, tính tích phân.
- Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay.
Câu V (1 điểm):
Hình học không gian (tổng hợp): quan hệ song song, quan hệ vuông góc của đường thẳng, mặt
phẳng; diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; thể tích khối lăng trụ,
khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.
Các bài toán về khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng, khoảng cách gữa 2 đường thẳng
chéo nhau.
Câu VI (1 điểm):
Bài toán tổng hợp.(Bất đẳng thức; cực trị của biểu thức đại số)
Câu VII (1 điểm):Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng .
- Xác định tọa độ của điểm, vectơ.
- Đường tròn, đường thẳng, elip.
Câu VIII (1 điểm):Phương pháp tọa độ trong không gian:
- Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu. Tìm điểm thoả điều kiện cho trước.
- Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng; vị trí tương đối của đường thẳng, mặt
phẳng và mặt cầu.
Câu IX (1 điểm):Số phức - Tổ hợp, xác suất.
B.CÁCH LÀM BÀI THI:
Khi làm bài thi chú ý không cần theo thứ tự của đề thi mà theo khả năng giải được câu nào
trước thì làm trước. Khi nhận được đề thi, cần đọc thật kỹ để phân định đâu là các câu hỏi quen
thuộc và dễ thực hiện ưu tiên giải trước, các câu hỏi khó nên giải quyết sau. Có thể ta đánh giá
một câu hỏi nào đó là dễ và làm vào giấy thi nhưng khi làm mới thấy là khó thì nên dứt khoát
chuyển qua câu khác, sau đó còn thì giờ hãy quay trở lại giải tiếp. Khi gặp đề thi không khó thì
nên làm rất cẩn thận, đừng chủ quan để xảy ra các sai sót do cẩu thả; còn với đề thi có câu khó
thì đừng nên nản lòng sớm mà cần kiên trì suy nghĩ. Phải biết tận dụng thời gian trong buổi thi
để kiểm tra các sai sót (nếu có) và tập trung suy nghĩ để giải các câu khó còn lại (nếu gặp phải).
Khi làm bài thi bằng nhiều cách khác nhau mà đắn đo không biết cách nào đúng sai thì không
nên gạch bỏ phần nào hết để giám khảo tự tìm chỗ đúng để cho điểm.
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
2
C. MỘT SỐ CHỦ ĐỀ ƠN TẬP
PHẦN I: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN OXYZ
TĨM TẮT LÝ THUYẾT
I.HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
1.Toạ độ điểm toạ độ véc tơ:
1 2 3 1 2 3
1 1 2 2 3 3
1 2 3
11
22
33
1 1 2 2 3 3
222
1 2 3
Cho a (a ;a ;a ),b (b ;b ;b )
1. a b a b ,a b ,a b
2. k.a ka ,ka ,ka
ab
3. a b a b
ab
4. a.b a .b a .b a .b
5. a a a a
a.b
6. cos(a;b)
a.b
7. a cùng phương
1 1 2 2 3 3
2 3 3 1 1 2
2 3 3 1 1 2
a a a
1 2 3
b a k.b a b 0
b b b
1 2 3
8. a b a.b 0 a .b a .b a .b 0
a a a a a a
9. a b a;b , ,
b b b b b b
B A B A B A
10. AB (x x ,y y ,z z )
11.
2 2 2
B A B A B A
AB AB (x x ) (y y ) (z z )
12.
a,b,c
đồng phẳng
.0a b c
13. a,b,c
khơng đồng phẳng
.0a b c
14.M là trung điểmcủa AB thì
2
,
2
,
2
BABABA
zzyyxx
M
15. G là trọng tâm tam giác ABC
,
3
,
3
,
3
CBACBACBA
zzzyyyxxx
G
16. Véctơ đơn vị:
1 2 3
(1,0,0); (0,1,0); (0,0,1)e e e
17.
OzzKOyyNOxxM ),0,0(;)0,,0(;)0,0,(
18.
OxzzxKOyzzyNOxyyxM ),0,(;),,0(;)0,,(
19.
222
ABC 1 2 3
11
S AB AC a a a
22
20.
ABCD
1
V (AB AC).AD
6
21.
/
.
).(
////
AAADABV
DCBAABCD
2/ Mặt cầu :
2.1.Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c), bán kính r
2
r
2 2 2
x a y b z c
(1)
Phương trình
D
2 2 2
x y z +2Ax+2By+2Cz 0
(2) (
A B C D
2 2 2
với 0
) là phương trình
mặt cầu Tâm I(-A ; -B ; -C) và
2 2 2
r A B C D
2 2 Vò trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Cho
2
r
2 2 2
(S): x a y b z c
và mp(): Ax + By + Cz + D = 0
Gọi d = d(I,()) là khỏang cách từ tâm mc(S) đến mp( ):
d > r : (S) () =
d = r : () tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm, : tiếp diện)
d < r : () cắt (S) theo đường tròn có phương trình
2
( )
r
2 2 2
(S): x a y b z c
: Ax By Cz D 0
3
II. MẶT PHẲNG
1. Vectơ pháp tuyến của mp
:
n
0
là véctơ pháp tuyến của mp()
Giá của
n
mp()
2.P.trình tổng qt của mp(
): Ax + By + Cz + D = 0(1). Mp(1) có 1VTPT
n
= (A; B; C)
3.Một số trường hợp đặcbiệt của phương trình mặt phẳng
*Phương trình mặt phẳng song song hoặc chứa ox: By+Cz+D=0 ( D0 song song, D=0 chứa)
*Phương trình mặt phẳng song song hoặc chứa oy: Ax+Cz+D=0 ( D0 song song, D=0 chứa)
*Phương trình mặt phẳng song song hoặc chứa oz: Ax+By+D=0 ( D0 song song, D=0 chứa)
*Phương trình mặt phẳng đi qua A(a,0,0) ; B(0,b,0); C(0,0,c):
1
c
z
b
y
a
x
với a.b.c≠0
*Phương trình các mặt phẳng tọa độ: (Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0
4. Vị trí tương đối của hai mp (
):A
1
x+B
1
y+C
1
z+D
1
= 0 và (
) :A
2
x+B
2
y+C
2
z +D
2
= 0
°
1 1 1 2 2 2
αβ( )cắt( ) A :B :C A :B :C
°
1 1 1 1
2 2 2 2
αβ
A B C D
( )/ /( )
A B C D
°
1 1 1 1
2 2 2 2
αβ
A B C D
( ) ( )
A B C D
Đặc biệt
1 2 1 2 1 2
( ) ( ) A A BB C C 0
5.KC từ M(x
0
,y
0
,z
0
) đến (
) : Ax + By + Cz + D = 0
o o o
222
Ax By Cz D
A B C
d(M,( ))
6.Góc giữa hai mặt phẳng :
12
12
n .n
αβ
n . n
cos( , )
với
12
n ; n
là VTPT của 2 mặt phẳng
III. ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN
1.Phương trình tham số của đường thẳng (d) qua M(x
o
;y
o
;z
o
) có vtcp
a
= (a
1
;a
2
;a
3
)
Rt;
tazz
tayy
taxx
(d)
3o
2o
1o
:
2.Phương trình chính tắc của (d)
32
a
z-z
a
yy
a
xx
(d)
o
1
o 0
:
3.Vò trí tương đối của 2 đường thẳng :
Cho 2 đường thẳng d
1
: có véctơ chỉ phương
a
và đi qua M
1
, d
2
: có véctơ chỉ phương
b
và
đi qua M
2
* d
1
// d
2
1
2
a^b 0
a^M M 0
*d
1
d
2
1
2
a^b 0
a^M M 0
* d
1
cắt d
2
1
2
a^ b 0
a^ b .M M 0
*d
1
chéo d
2
1
2
a^ b .M M 0
* Đặc biệt d
1
d
2
.0ab
4.Góc giữa 2 đường thẳng :
12
a.b
cos(d ;d )
ab
( với a
1
.a
2.
a
3
≠0)
4
5. Khoảng cách giữa từ M đến đường d
1
:
1
1
;
;
M M a
d M d
a
6. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song: d(d
1
;d
2
)=d(M
1
;d
2
).
7. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau:
12
;.
;
;
a b M M
ab
d d d
12
MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP:
I/ MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ MẶT CẦU:
Dạng toán 1: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình:
D
2 2 2
x y z +2Ax+2By+2Cz 0
Phương pháp giải:
Tìm tâm: hoành độ lấy hệ số của x chia (-2), tung độ lấy hệ số của y chia (-2), cao độ lấy hệ số
của z chia (-2) Tâm mặt cầu là I(-A ;-B ;-C).
Tím bán kính
2 2 2
A +B +C -Dr
Ví dụ: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau:
a)
x y z x y
2 2 2
8 2 1 0
Giải:
a/Tâm mặt cầu là I(4;1;0), bán kính của mặt cầu là:
b x y z x y z x y z x y z
2 2 2 2 2 2
8
/ 3 3 3 6 8 15 3 0 2 5 1 0
3
Tâm mặt cầu là I(1; -4/3; -5/2), bán kính của mặt cầu là:
Dạng toán 2:
Tìm tâm H và bán kính r của đường tròn giao tuyến giữa mặt cầu S(I ;R) và
mp():
Phương pháp giải:
+ Tìm tâm H
B1: Viết phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc mp()
B2: Tâm H là giao điểm của d và mp().
+ Bán kính
),(
22
IdRr
Ví dụ: Cho mặt cầu (S) :
2 2 2
( 3) ( 2) ( 1) 100x y z
và mặt phẳng
( ): 2 2 9 0x y z
.
Chứng minh rằng (S) và () cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn (T). Tìm tâm và bán kính
đường tròn (T)
Giải:
Mặt cầu (S) có tâm I(3;-2;1) và bán kính R = 10. Ta có :
2.3 2( 2) 1 9
( ,( )) 6
4 4 1
dI
<10=R mc(S) cắt () theo giao tuyến là đường tròn (T).
Mp
()
có 1 VTPT là
(2; 2; 1)n
Đường thẳng d qua I vuông góc với mp
()
có một VTCP là
(2; 2; 1)n
phương trình
tham số là:
32
22
1
xt
yt
zt
. Gọi H= d
()
Hd H(3+2t;-2-2t;1-t). Mặt khác Hmp
()
ta có: 2(3+2t)-2(-2-2t)-(1-t)+9=09t=18 t=2 H(7;-6;-1).Tâm của đường tròn (T) chính là
H(7;-6;-1)
2 2 2 2 2 2
A +B +C -D ( 4) +(-1) +0 -1 4r
22
2 2 2 2
4 5 19
A +B +C -D ( 1) + + +1
3 2 6
r
5
Bán kính đường tròn giao tuyến là :
2 2 2 2
r ( ;( )) 10 6 8R d I
Dạng toán 3: Lập phương trình mặt cầu
Chú ý: Khi lập phương trình mặt cầu cần tìm:
Cách 1: Tâm I(a;b;c), bán kính r của mặt cầu phương trình là:
2
r
2 2 2
x a y b z c
Cách 2: Các hệ số A, B, C, D trong phương trình:
D
2 2 2
x y z +2Ax+2By+2Cz 0
ptr mặt
cầu
Bài toán 1: Lập phương trình mặt cầu tâm I đi qua A
Phương pháp giải:
Tìm bán kính mặt cầu là :
2 2 2
( ) ( ) ( )
A I A I A I
r IA x x y y z z
Lập phương trình mặt cầu tâm I bán kính r.
Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu đi qua điểm A(5; –2; 1) và có tâm I(3; –3; 1).
Giải:
B¸n kÝnh mÆt cÇu là:
2 2 2
2 1 0 5r IA
Vậy phương trình của mặt cầu là : (x-3)
2
+ (y+3)
2
+ (z-1)
2
= 5
Bài toán 2: Lập phương trình mặt cầu đường kính AB
Phương pháp giải:
Tìm trung điểm I của đoạn AB với
( ; ; )
2 2 2
A B A B A B
x x y y z z
I
, tính
đoạn
2 2 2
AB ( ) ( ) ( )
B A B A B A
x x y y z z
Lập phương trình mặt cầu tâm I bán kính
2
AB
r
Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu có đường kính AB với A(4; –3; 7), B(2; 1; 3).
Giải:
Trung điểm của đoạn thẳng AB là I(3;-1 ;5),
2 2 2
AB= ( 2) 4 ( 4) 6
Mặt cầu đường kính AB có tâm I(3;-1 ;5), bán kính
AB
3
2
r
phương trình của mặt cầu là :
Bài toán 3: Lập phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc mp()
Phương pháp giải:
Tìm bán kính mặt cầu là :
B.y C.z D
I I I
2 2 2
A B C
A.x
r d(I,( ))
Lập phương trình mặt cầu tâm I bán kính r.
Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu tâm I(1 ; 2 ; 4) tiếp xúc với mặt phẳng (
): 2x+2y+z-1=0
Giải:
Bán kính mặt cầu là :
r d(I,( ))
2.1 2.2 4 1
1
2 2 2
2 2 1
Phương trình mặt cầu là :
2 2 2
( 1) ( 2) ( 4) 1x y z
Bài toán 4: Lập phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D
Phương pháp giải:
Ptr mc có dạng
D
2 2 2
x y z +2Ax+2By+2Cz 0
(1). A,B,C,D mc(S)
thế tọa độ các điểm
A,B,C,D vào (1).
Giải hệ pt, tìm A, B, C, D.
Ví dụ:
Lập phương trình mặt cầu (S) ñi qua boán ñieåm A(6 ;-2 ; 3 ), B(0;1;6), C(2 ; 0 ;-1 ); D( 4 ; 1 ;
0 ).
Giải:
Phương mặt cầu (S) có dạng:
D
2 2 2
x y z +2Ax+2By+2Cz 0
, ta có :
2 2 2
( 3) ( 1) ( 5) 9x y z
6
(6; 2;3) ( ) 49 12 4 6 0(1)
(0;1;6) ( ) 37 2 12 0(2)
(2;0; 1) ( ) 5 4 2 0(3)
(4;1;0) ( ) 17 8 2 0(4)
A S A B C D
B S B C D
C S A C D
D S A B D
.Lấy (1)-(2); (2)-(3); (3)-(4) ta được hệ:
12 6 6 12 2
4 2 14 32 1 3
4 2 2 12 3
A B C A
A B C B D
A B C C
Vậy phương trình măt cầu là: x
2
+y
2
+z
2
-4x+2y-6z-3=0
Bài toán 5: Lập phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C có tâm nằm trên mp(P)
Phương pháp giải:
Mc(S) có ptr:
D
2 2 2
x y z +2Ax+2By+2Cz 0
(2)
A,B,C mc(S): thế tọa độ các điểm A,B,C vào (2). Thế toạ độ tâm m/c I(-A, -B, -C) vào ptr
mp(P)
Giải hệ phương trình trên tìm A, B, C, D phương trình mặt cầu.
Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A(6 ;-2 ; 3 ), B(0;1;6), C(2 ; 0 ;-1 ) có tâm
I thuộc mp(P) : x+2y+2z-3=0
Giải:
Phương mặt cầu (S) có dạng:
D
2 2 2
x y z +2Ax+2By+2Cz 0
, ta có :
(6; 2;3) ( ) 12 4 6 49(1)
(0;1;6) ( ) 2 12 37(2)
(2;0; 1) ( ) 4 2 5 (3)
( ; ; ) ( ) 2 2 3 (4)
A S A B C D
B S B C D
C S A C D
I A B C P A B C
.Lấy (1)-(2); (2)-(3); kết hợp(4) ta được hệ:
7
5
12 6 6 12
11 27
4 2 14 32
55
2 2 3
3
A
A B C
A B C B D
A B C
C
Vậy phương trình mặt cầu là: x
2
+y
2
+z
2
-
14
5
x +
22
5
y - 6z
27
5
=0
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau:
a)
2 2 2
6 2 4 5 0 x y z x y z
x y z x y z
2 2 2
b) 2 2 2 12 8 16 8 0
c) (x-2)
2
+(y+3)
2
+(z-1)
2
= 9 d) (x+2)
2
+(y+5)
2
+ z
2
= 8
Bài 2: Lập phương trình mặt cầu (S)
a)Đi qua điểm A(3; 2; 4) và có tâm I(2; –1; 1) b)Đi qua điểm A(1; 2; -3) và có tâm I(2; –1;
1).
Bài 3: Lập phương trình mặt cầu có đường kính AB
a) Với A(4; 5; 7), B(2; 1; 3). b) Với A(4; 2; 1), B(0; 4; 7).
Bài 4: Lập phương trình mặt cầu tâm I(1; 2; 4) tiếp xúc với mặt phẳng (P): 2x-2y + z - 4=0
Bài 5: Lập phương trình mặt cầu (S) ñi qua boán ñieåm A(5 ;2 ; 3 ), B(0;1;4), C(2;0;-1); D(4; 1;
0).
Bài 6: Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A(3;-2 ;0), B(0;1;2), C(2; 0;-1 ) có tâm I
thuộc mp(P) : x-2y+2z-5=0
Bài 7: Cho mặt cầu (S): (x-1)
2
+ y
2
+ (z+2)
2
= 9 và mp(P): x +2y +2z-3=0. Chứng minh
mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S). Tìm tâm bán kính của đường tròn giao tuyến.
7
II/ MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG:
Chuù yù :
- Muốn viết phương trình mặt phẳng thường tìm: 1 điểm đi qua và 1 véctơ pháp tuyến
-Mặt phẳng qua 1 điểm M(x
0
;y
0;
z
0
) và có 1 véctơ pháp tuyến
n
= (A; B; C)
phương trình là: A(x-x
0
) + B(y-y
0
) + C(z-z
0
)= 0.
-Nếu không tìm được ngay véctơ pháp tuyến của mp() ta đi tìm 2 véctơ
,ab
không
cùng phương có giá song song hoặc nằm trong mp() khi đó
[ ; ]n a b
là một véctơ
pháp tuyến của mặt phẳng().
Dạng 1: Viết phương trình mp
()
điểm đi qua M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) và 1 véctơ pháp tuyến
( ; ; )n A B C
.
Phương pháp giải:
B1: Nêu rõ mặt phẳng đi qua M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) và có 1 véctơ pháp tuyến
( ; ; )n A B C
.
B2: Viết phương trình mp(
) theo công thức: A(x-x
0
)+B(y-y
0
)+C(z-z
0
)=0
B3: Rút gọn đưa về dạng: Ax+By+Cz+D=0.
Ví dụ:
Viết phương trình mặt phẳng (
) đi qua A(2;3;1) và có một VTPT là
n (2;3;1)
Giải:
Mặt phẳng (
) đi qua A(2;-1;1) và có 1 véctơ VTPT
n (2; 3;5)
phương trình là:
2(x-2)-3.(y+1)+5(z-1) = 0 2x-3y+5z-12 =0
Dạng 2: Viết phương trình mp
()
đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C.
Phương pháp giải:
B1: Tìm toạ độ
AB, AC
B2: Tìm
n AB;AC
B3: Viết phương trình mp(P) đi qua điểm A và nhận
n
làm VTPT.
Ví dụ: Viết phương trình mp(P) qua A(0;1;2), B(2;3;1), C(2;2;-1)
Giải:
Ta có:
AB (2;2; 1), AC (2;1; 3)
n AB;AC ( 5;4; 2)
Mặt phẳng (P) đi qua A và có 1 véctơ VTPT
n ( 5;4; 2)
phương trình là:
-5(x-0)+4(y-1)-2(z-2)=0 -5x+4y-2z =0 5x-4y+2z=0.
Dạng 3: Viết phương trình mp() đi qua điểm M(x
0
;y
0
;z
0
) và song song với mp(
):
Ax+By+Cz+D=0 .
Phương pháp giải:
B1:Do mp
()
//mp(
): Ax+By+Cz+D=0 phương trình mp
()
có
dạng:Ax+By+Cz+m=0
(mD)
B2: mp
()
đi qua điểm M
0
ta có Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ m=0 m thoả điều kiện mD
phương trình mp
()
Ví dụ:
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(1;3;-2) và song song với mặt phẳng (Q):2x-y+3z+4=0
Giải:
Mặt phẳng (P)//mp(Q): 2x-y+3z+4=0 nên phương trình của mp(P) có dạng 2x-y+3z+D=0
(D≠4). Mặt khác mp(P) đi qua điểm M(1;3;-2) nên ta có: 2.1-3+3(-2)+D=0 D=7 (nhận). Vậy
phương trình mp cần tìm là: 2x-y+3z+7=0
--> 
