Khóa luận tốt nghiệp: Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông thông qua giải một số bài tập Đại số Giải tích bằng nhiều cách

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
-------------------------

PHẠM THỊ TƢƠI

RÈN LUYỆN TƢ DUY SÁNG TẠO
CHO HỌC SINH THPT THÔNG QUA
GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH
BẰNG NHIỀU CÁCH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phƣơng pháp lý luận dạy học
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
Th.S DƢƠNG THỊ HÀ

HÀ NỘI, 2014


LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn sự đóng góp ý kiến của các thầy, cô
giáo trong tổ phương pháp giảng dạy, cùng sự đóng góp ý kiến của các
bạn sinh viên đã giúp đỡ em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp.
Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo
Dƣơng Thị Hà, người đã trực tiếp hướng dẫn và chỉ bảo tận tình giúp e
hoàn thành đề tài luận văn này. Trong quá trình thực hiện đề tài không
tránh khỏi những thiếu sót, rất mong các thầy, cô cùng toàn thể các bạn
sinh viên đóng góp ý kiến, sửa chữa đề tài để đề tài ngày càng hoàn thiện
và mang giá trị thực tiễn cao hơn.

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan kết quả nghiên cứu đề tài là kết quả nghiên cứu,
tìm tòi của bản thân. Đề tài và nội dung khóa luận là chân thực được viết
trên cơ sở khoa học là các sách, các tài liệu không trùng với đề tài của
các tác giả khác. Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 5 năm 2014
Sinh viên
Phạm Thị Tƣơi


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
LỜI CAM ĐOAN
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ................................................................................................ 1
NỘI DUNG ............................................................................................ 3
Chƣơng 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .................................. 3
1.Tư duy .................................................................................................. 3
1.1.Khái niệm tư duy ......................................................................... 3
1.2.Đặc điểm của tư duy .................................................................... 4
1.3. Các thao tác tư duy ..................................................................... 4
2. Tư duy sáng tạo ................................................................................... 4
2.1. Khái niệm sáng tạo .................................................................... 4
2.2. Quá trình sáng tạo ....................................................................... 5
2.3. Tư duy sáng tạo .......................................................................... 6
2.3.1. Định nghĩa tư duy sáng tạo ................................................ 6
2.3.2. Cấu trúc của tư duy sáng tạo .............................................. 6
2.4. Phương hướng bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh
thông qua dạy học ............................................................................. 7
3. Bài tập ................................................................................................. 8

3.1. Khái niệm bài tập ....................................................................... 8
3.2. Tác dụng của bài tập ................................................................... 8
3.3. Bài tập có nhiều cách giải ........................................................... 9


4. Thực trạng sử dụng bài tập Đại số - Giải tích có nhiều cách giải
trong trường THPT .................................................................................. 9
4.1. Mục đích điều tra ........................................................................ 9
4.2. Phương pháp đối tượng điều tra .................................................. 9
4.3. Tiến hành điều tra ....................................................................... 9
4.4. Kết quả điều tra ........................................................................ 10
Kết luận chương I .................................................................................. 10
Chƣơng 2. RÈN LUYỆN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC
SINH THÔNG QUA MỘT SỐ BÀI TẬP ĐẠI SỐ - GIẢI
TÍCH CÓ NHIỀU CÁCH GIẢI KHÁC NHAU ............................... 11
1. Chủ đề phương trình, hệ phương trình, bất phương trình ................... 11
2. Chủ đề chứng minh bất đẳng thức, bất phương trình ......................... 24
3. Chủ đề nguyên hàm, tích phân........................................................... 35
4. Chủ đề lượng giác ............................................................................. 42
Kết luận chương 2 ................................................................................. 48
KẾT LUẬN .......................................................................................... 49
TÀI LIỆU THAM KHẢO......................................................................


A. phẦn mỞ ĐẦu
1. Lí do chọn đề tài
Xu hướng dạy học hiện nay là chuyển trọng tâm của người dạy sang
người học. Người học có thể tự làm chủ kiến thức của mình,bằng việc tự
tìm tòi,khám phá những tri thức của nhân loại. Vì vậy dạy học hiện nay
ngoài việc cung cấp kiến thức thì việc nâng cao khả năng tư duy cho học

sinh là một vấn đề quan trọng. Tư duy phát triển thì người học mới có
khả năng tự học, tự chiếm lĩnh kiến thức cho riêng mình. Bài tập toán
học có thể xem là phương tiện tốt để rèn luyện tư duy. Và điều cần thiết
là rèn luyện được tư duy sáng tạo, tư duy sáng tạo có vai trò hết sức quan
trọng trong việc nhìn nhận, đánh giá và mở rộng lối suy nghĩ tích cực
của người học. Trong quá trình giảng dạy môn toán chúng ta nâng cao
chất lượng dạy học và phát triển tư duy cho học sinh bằng nhiều cách
khác nhau.Mỗi biện pháp có ưu nhược điểm riêng đòi hỏi giáo viên phải
biết lựa chọn, phối hợp các phương pháp một cách thích hợp nhằm phát
huy tối đa năng lực tư duy sáng tạo của học sinh. Một trong những biện
pháp hiệu quả, đó là đưa ra nhiều cách giải cho 1 bài toán, điều này sẽ
giúp phát huy được tư duy sáng tạo và trí thông minh của học sinh qua
đó góp phần nâng cao chất lượng dạy và học ở trường THPT. Vì các lí
do trên nên tôi chọn đề tài “Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh
THPT thông qua giải một số bài tập Đại số - Giải tích bằng nhiều
cách”.
2. Đối tƣợng nghiên cứu
- Các bài tập Đại số - Giải tích có nhiều cách giải trong chương
trình THPT.

1


3. Mục đích
- Đưa ra nhiều cách giải cho bài tập Đại số - Giải tích nhằm phát triển
tư duy sáng tạo cho học sinh, từ đó nâng cao chất lượng học tập.
4. Nhiệm vụ
- Nghiên cứu lí luận về bài toán nhiều cách giải và sự phát triển tư
duy sáng tạo của học sinh.
- Tổng hợp một số bài tập Đại số - Giải tích THPT nhiều cách giải.

5. Phạm vi nghiên cứu
- Chương trình Đại số - Giải tích ở trường THPT.
6. Giả thiết khoa học
- Giải được một số bài tập Đại số - Giải tích bằng nhiều cách và sử
dụng hợp lí sẽ phát triển được tư duy sáng tạo của học sinh.
7. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứ lí luận.
- Phương pháp điều tra, quan sát.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.

2


B. PHẦn NỘI DUNG
Chƣơng 1:CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN
1. Tƣ duy
1.1. Khái niệm tƣ duy
Tư duy là phạm trù triết học dùng để chỉ những hoạt động của tinh
thần, đem những cảm giác của người ta sửa đổi và cải tạo thế giới thông
qua hoạt động vật chất, làm cho người ta có nhận thức đúng đắn về sự
vật và ứng xử tích cực với nó.
Theo Từ điển Bách khoa toàn thư Việt Nam, tập 4 (NXB Từ điển
bách khoa. Hà Nội. 2005): “Tư duy là sản phẩm cao nhất của vật chất
được tổ chức một cách đặc biệt : Bộ não người, tư duy phản ánh tích
cực hiện thực khách quan dưới dạng các khái niệm, sự phán đoán, lý
luận.v.v...”
Theo triết học duy tâm khách quan, tư duy là sản phẩm của “ý niệm
tuyệt đối” với tư cách là bản năng siêu tự nhiên, độc lập, không phụ
thuộc vào vật chất. Theo George Wilhemer Fridrick Heghen: “Ý niệm
tuyệt đối là bản nguyên của hoạt động và nó chỉ có thể biểu hiện trong tư

duy, trong nhân thức tư biện mà thôi”.. Karl Marx nhận xét: “Đối với
Heghen, vận động của tư duy được ông nhân cách hóa duới tên gọi ý
niệm là chúa sáng tạo ra hiện thực; hiện thực chỉ là hình thức bề ngoài
của ý niệm”.
Theo triết học duy vật biện chứng, tư duy là một trong các đặc tính
của vật chất phát triển đến trình độ tổ chức cao. Về lý thuyết, Karl Marx
cho rằng: “Vận động kiểu tư duy chỉ là sự vận động của hiện thực khách
quan được di chuyển vào và được cải tạo hay tái tạo trong đầu óc con

3


người duới dạng một sự phản ánh”. Những luận cứ này còn dựa trên
những nghiên cứu thực nghiệm của Ivan Petrovich Pavlov, nhà sinh lý
học, nhà tư tưởng người Nga. Bằng các thí nghiệm tâm-sinh lý áp dụng
trên động vật và con người, ông đi đến kết luận: “Hoạt động tâm lý là kết
quả của hoạt động sinh lý của một bộ phận nhất định của bộ”.
1.2. Đặc điểm của tƣ duy
Với tư cách là một mức độ của hoạt động nhận thức, tư duy có
những đặc điểm sau:
+ Tính “có vấn đề” của tư duy.
+ Tính gián tiếp của tư duy.
+ Tính trừu tượng và khái quát của tư duy.
+ Tư duy quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ.
+ Tính chất lí tính của tư duy.
1.3. Các thao tác tƣ duy
Quá trình tư duy được diễn ra bằng cách chủ thể tiến hành các thao
tác trí tuệ.Các thao tác cơ bản:
+ Phân tích - tổng hợp.
+ So sánh - tương tự.

+ Khái quát hoá, đặc biệt hoá, trừu tượng hoá.
2. Tƣ duy sáng tạo
2.1. Khái niệm về sáng tạo
Erich Fromm định nghĩa quan điểm sáng tạo như là sự tự nguyện để
bị làm bối rối (làm quen chính mình với một cái gì đó chưa được biết
đến với sự khó chịu), khả năng tập trung, khả năng trải qua kinh nghiệm
như là người tạo nguồn cho các hành động, sự tự nguyện chấp nhận mâu
thuẫn và sự căng thẳng do sự thiếu kiên nhẫn gây ra cho các ý tưởng
sáng tạo. Theo bách khoa toàn thư: “Sáng tạo là hoạt động của con người

4


trên cơ sở các quy luật khách quan của thực tiễn, nhằm biến đổi thế giới
tự nhiên, xã hội phù hợp với mục đích và nhu cầu của con người. Sáng
tạo là hoạt động có tính đặc trưng không lặp lại, tính độc đáo và duy
nhất”. Theo từ điển tiếng việt: “Sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải
quyết mới, không bị gò bó phụ thuộc vào cái đã có”[10, tr.1130]. Tác giả
Nguyễn Cảnh Toàn cho rằng: “Sáng tạo là sự vận động của tư duy từ
những hiểu biết đã có đến những hiểu biết mới” [17, tr.7]. Các công trình
nghiên cứu này chỉ rằng ít có sự nhất trí về định nghĩa tính sáng tạo trừ
việc cho rằng nó là một phẩm chất của trí tuệ và có quan hệ với tính thông
minh. Sáng tạo là quá trình vừa hữu thức vừa vô thức và vừa có thể quan
sát được vừa không thể quan sát được. Bởi vì các quá trình vô thức và
không thể quan sát được khó xử lý trong lớp học, cho nên thường có sự
hiểu nhầm giữa giáo viên và những học sinh sáng tạo. Qua các khái niệm
trên có thể nói: “Sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết mới không bị
gò bó phụ thuộc vào những cái đã có”.
2.2. Quá trình sáng tạo
Quá trình sáng tạo gồm 4 giai đoạn:

+ Giai đoạn chuẩn bị: Là giai đoạn chủ thể thử giải quyết vấn đề
bằng các cách khác nhau, huy động thông tin, suy luận.
+ Giai đoạn ấp ủ: Giai đoạn này bắt đầu khi công việc giải quyết
vấn đề bị ngừng lại, còn lại các hoạt động tiềm thức, các hoạt động bổ
xung cho vấn đề được quan tâm.
+ Giai đoạn bừng sáng: Giai đoạn ấp ủ kéo dài cho đến khi sự
“bừng sáng” trực giác, một bước nhảy vọt về chất trong tiến trình nhận
thức, xuất hiện đột ngột và kéo theo là sự sáng tạo. Đây là giai đoạn
quyết định trong quá trình tìm kiếm lời giải.

5


+ Giai đoạn kiểm chứng: Là giai đoạn chủ thể kiểm tra trực giác,
triển khai các luận chứng lôgíc để có thể chứng tỏ tính đúng đắn của
cách thức giải quyết vấn đề, khi đó sự sáng tạo mới được khẳng định.
2.3. Tƣ duy sáng tạo
2.3.1. Định nghĩa tƣ duy sáng tạo
Trong tâm lý học định nghĩa: “Tư duy sáng tạo là tư duy vượt ra
ngoài vi giới hạn của hiện thực, của vốn tri thức và kinh nghiệm đã có,
giúp quá trình giải quyết nhiệm vụ của tư duy được linh hoạt và hiệu
quả”. Một số tác giả cho rằng: “Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc
lập tạo ra ý tưởng mới độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao. Ý
tưởng mới thể hiện ở chỗ phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo
ra kết quả mới. Tính độc đáo của ý tưởng thể hiện ở giải pháp lạ, hiếm,
không quen thuộc hoặc duy nhất ” [9, tr.72]. Nhà tâm lý học người Đức
Mehlhow cho rằng: “Tư duy sáng tạo là hạt nhân của sự sáng tạo cá
nhân, đồng thời mục tiêu cơ bản của giáo dục”. Theo Nguyễn Bá Kim:
“Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là những điều kiện cần
thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác nhau

của tư duy sáng tạo. Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng
tạo ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả
mới. Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ” (Nguyễn Bá
Kim – Phương pháp dạy học môn Toán).
2.3.2. Cấu trúc của tƣ duy sáng tạo
Các nghiên cứu của nhiều nhà tâm lý học, giáo dục học…đã đưa ra
năm thành phần cơ bản của cấu trúc tư duy sáng tạo: Tính mềm dẻo, tính
nhuần nhuyễn, tính độc đáo, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề.
+ Tính mềm dẻo (Flexibility):Tính mềm dẻo của tư duy là năng lực
dễ dàng, nhanh chóng trật tự của hệ thống tri thức, chuyển từ góc độ

6


quan niệm này sang góc độ quan niệm khác, có khả năng định nghĩa lại
sự vật, hiện tượng, xây dựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới
trong những mối liên hệ mới hoặc chuyển đổi quan hệ và nhận ra bản
chất của sự vật và điều phán đoán. Tính mềm dẻo của tư duy còn làm
thay đổi một cách dễ dàng các thái độ đã cố hữu trong hoạt động trí tuệ
của con người.
+ Tính nhuần nhuyễn (Fluency): Tính nhuần nhuyễn của tư duy thể
hiện ở năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp giữa các yếu tố
riêng lẻ của các tình huống, hoàn cảnh, đưa ra giả thuyết mới. Các nhà
tâm lý học rất coi trọng yếu tố chất lượng của ý tưởng sinh ra, lấy đó làm
tiêu chí để đánh giá sáng tạo.
+ Tính độc đáo (Originality): Tính độc đáo là khả năng tìm và quyết
định phương thức mới.
+ Tính hoàn thiện (Elabolation): Tính hoàn thiện là khả năng lập kế
hoạch, phối hợp các ý nghĩ và hành động, phát triển ý tưởng, kiểm tra và
chứng minh ý tưởng.

+ Tính nhạy cảm vấn đề (Problem’s Censibitity): Tính nhạy cảm
vấn đề là năng lực nhanh chóng phát hiện ra vấn đề, sự mâu thuẫn, sai
lầm, thiếu loogic, chưa tối ưu... và từ đó đề xuất hướng giải quyết, tạo ra
cái mới.
2.4. Phƣơng hƣớng bồi dƣỡng tƣ duy sáng tạo cho học sinh thông
qua dạy học
Các tác giả Nguyễn Bá Kim, Vương Dương Minh, Tôn Thân trong
tác phẩm “Khuyến khích một số các hoạt động trí tuệ của học sinh qua
môn toán ở trường trung học cơ sở” đã đưa ra những biện pháp sau đây
để bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh. Bồi dưỡng tư duy sáng tạo
cho học sinh cần kết hợp với các hoạt động trí tuệ khác . Bồi dưỡng tư

7


duy sáng tạo cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc rèn luyện khả năng
phát hiện vấn đề mới, khơi dậy những ý tưởng mới Chú trọng bồi dưỡng
từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo . Bồi dưỡng tư duy sáng tạo là
một quá trình lâu dài cần tiến hành trong tất cả các khâu của quá trình
dạy học môn Toán.
3. Bài tập
3.1. Khái niệm bài tập
Bài tập là nhiệm vụ mà giáo viên đặt ra cho người học, buộc người
học phải vận dụng các kiến thức đã học sử dụng hành động trí tuệ để giải
quyết các nhiệm vụ đó nhằm chiếm lĩnh tri thức, kỹ năng một cách tích
cực, chủ động, sáng tạo
3.2. Tác dụng của bài tập
+ Bài tập có tác dụng phát huy tính tích cực, sáng tạo của học sinh.
+ Bài tập giúp học sinh hiểu rõ và khắc sâu kiến thức.
+ Thông qua bài tập hệ thống hóa các kiến thức đã học: một số lớn

các bài tập toán học đòi hỏi học sinh phải vận dụng kiến thức của nhiều
nội dung trong bài, trong chương. Dạng bài tổng hợp đòi hỏi học sinh
phải vận động vốn hiểu biết trong nhiều chương, nhiều bộ môn.
+ Cung cấp thêm kiến thức mới, mở rộng hiểu biết của học sinh về
các vấn đề thực tiễn cuộc sống .
+ Rèn luyện một số kỹ năng, kỹ xảo cho học sinh như: Phát triển tư
duy: học sinh được rèn luyện các thao tác tư duy như: phân tích, so sánh,
quy nạp, diễn dịch, tổng hợp, suy luận tương tự…
+ Bài tập cũng giúp giáo viên đánh giá được kiến thức và kỹ năng
của học sinh. Học sinh cũng tự kiểm tra biết được những lỗ hổng kiến
thức để kịp thời bổ sung.

8


+ Giải bài tập rèn cho học sinh tính kiên trì, chịu khó, tính cẩn thận,
chính xác khoa học…Làm cho các em yêu thích bộ môn, say mê với
khoa học (những bài tập gây hứng thú nhận thức).
3.3. Bài tập có nhiều cách giải
Bài toán mà có thể giải được bằng nhiều cách với những phương
pháp giải khác nhau thì bài toán đó được gọi là bài toán có nhiều cách
giải. Bài toán được giải với các cách giải khác nhau nhưng vẫn có cùng
kết quả thì bài toán nhiều cách giải mang đến tính hứng thú cho học sinh
lẫn giáo viên hướng dẫn học sinh giải. Khi được giáo viên yêu cầu làm
bài tập với nhiều cách giải khác nhau thì học sinh có cơ hội vận dụng tất
cả các phương pháp giải toán đã được giáo viên giảng dạy, tư duy của
học sinh cũng phát triển. Với những bài toán mà việc chọn cách giải phù
hợp sẽ làm tiết kiệm thời gian giải bài điều này rất tốt với cách giải bài
toán trắc nghiệm như hiện nay.
4.Thực trạng sử dụng bài tập Đại số - Giải tích có nhiều cách giải

trong trƣờng THPT
4.1. Mục đích điều tra
- Nắm được tình hình sử dụng bài tập nhiều cách giải nhằm phát
triển tư duy cho học sinh và nâng cao chất lượng học tập hiện nay.
- Nắm được mức độ cấp thiết và tính thực tế của đề tài.
4.2. Phƣơng pháp đối tƣợng điều tra
- Phương pháp điều tra: dùng phiếu điều tra, phỏng vấn.
- Đối tượng điều tra: Giáo viên toán trường THPT A Hải Hậu.
4.3. Tiến hành điều tra
Phỏng vấn 14 giáo viên dạy môn toán.
4.4. Kết quả điều tra

9


Sử dụng
Hình thức bài tập toán

Không

không

thầy (cô) sử dụng

sử dụng

thường
xuyên

Sử dụng

Rất

thường

thường

xuyên

xuyên

Bài toán (1 cách giải) rèn
luyện nhiều kĩ năng tính

0

2

8

4

0

2

7

5

0

1

10

3

toán.
Bài toán (1 cách giải) có
nét độc đáo, không thiên
về tính toán
Bài toán nhiều cách giả

Kết luận chƣơng 1
Trong chương này, tôi đã trình bày cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn
của đề tài, bao gồm các nội dung chính như sau:
1. Tư duy: khái niệm tư duy, đặc điểm tư duy, các thao tác tư duy, tư duy
sángtạo.
2. Bài tập: khái niệm bài tập, tác dụng của bài tập, bài tập có nhiều cách.
3. Thực trạng sử dụng bài tập Đại số - Giải tích có nhiều cách giải trong
trường THPT.
Tất cả các vấn đề trên là nền tảng cơ sở cho phép tôi nêu lên sự cần
thiết phải thực hiện đề tài nghiên cứu nhằm phục vụ tốt cho thực tế giảng
dạy và nâng việc phát triển tư duy lên một bước cao hơn.

10


Chƣơng 2:RÈN LUYỆN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH

THÔNG QUA MỘT SỐ BÀI TẬP ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH CÓ
NHIỀU CÁCH GIẢI KHÁC NHAU
1. Chủ đề phƣơng trình, hệ phƣơng trình, bất phƣơng trình
Một trong những yêu cầu đối với học sinh khi giải bài tập toán là
tìm tòi nhiều lời giải khác nhau cho một bài tập. Điều đó cũng đồng thời
kích thích sự hứng thú trong việc học toán của học sinh. Nhiều bài tập cơ
bản thuộc chương trình toán THPT có nhiều lời giải khác nhau như thế.
Nếu giáo viên và học sinh cùng tìm hiểu, khai thác thì sẽ giúp cho việc
dạy học toán được tốt hơn.
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình x2  2mx  m  2  0 có hai nghiệm
x1 , x2 thỏa mãn 1  x1  x2

Cách 1: Phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 1  x1  x2
 parabol y  x 2  2mx  m  2 cắt trục hoành tại hai điểm phân

biệt có hoành độ lớn hơn 1

b

 y (  2a )  0
m2  m  2  0

 b

 
1
  m  1
 3  m   2
2
a


m  3  0

y
(1)

0



Cách 2: Đặt t  x  1. Bài toán trở thành: Tìm m để phương trình

t 2  2(m  1)t  m  3  0 có hai nghiệm dương phân biệt. Điều đó tương
 '  0 m2  m  2  0


đương với:  P  0  m  3  0
 3  m  2
S  0
m  1  0



11


Cách 3: Viết lại phương trình: ( x  m)2  m2  m  2 . Yêu cầu của bài
toán tương đương với:

  m  2

m2  m  2  0

 m  1

2
m  m  m  2  1 
2
m  1  m  m  2
  m  2

m  1

 m  1  0  3  m  2
m  3


Ví dụ 2: Giải phương trình: 1 

2
x  x2  x  1  x
3

(1)

Điều kiện: 0  x  1
2

 2

Cách 1: (1)  1 

x  x2  
 3




x  1 x



2

 4( x  x 2 )  6 x  x 2  0





 x  x2 4 x  x2  6  0
 x  x2  0
x  0


3
 x  x2 
x 1

2
Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x  1, x  0
Cách 2: Đặt t  x  1  x , 1  t  2

t2 1
 xx 
2
2

t  1
t2 1
t  
Phương trình trở thành: 1 
3
t  2

12


x 1
 x  1 x 1 
x  0
Cách 3: Đặt a  x ; b  1  x ; a  0, b  0

 2
3  2ab  3(a  b)
1  ab  a  b
Ta có:  3

2
(a  b)  2ab  1
a 2  b 2  1


 a  b  1

 ab  0
  a  b  2 (không tồn tại a, b)

 ab  3
 
2

 a  0

x  0
b  1


 a  1  x  1

 b  0
Cách 4: Đặt x  sin  ,

0  


2

2
Phương trình trở thành: 1  sin  1  sin 2   sin   1  sin 2 
3

 (sin   cos ) 2  3(sin   cos )  2  0

  0
sin   cos  1
x  0




x 1
 
sin   cos  2


2
Qua ví dụ trên ta có nhiều cách để giải phương trình vô tỉ
Ví dụ 3 :( Câu II.2-A2010) Giải bất phương trình

x x
1  2( x 2  x  1)

1

13

(1)


Cách 1: Phương pháp biến đổi tương đương
Nhận xét: 2  x 2  x  1 





2

x  1  x 2 (do  x  x  1  0, x  (0;1)

1
3
3
1  2( x 2  x  1)  1  2( x  ) 2   1 
 0 x
2
2
2
Do đó có điều kiện  x  0 hay 0  x  1

(2)

Từ đó (1)  x  x  1  2( x 2  x  1)
 2( x 2  x  1)   x  x  1
  x 2  x  1 





2

x  1  x 2 (do  x  x  1  0, x  (0;1)

 x2  2 x x  x  2 x  1  0





2

 x  x 1  0

 x  x 1  0
x



x

Nhận xét

1  5
3 5
x
2
2

3 5
thỏa mãn điều kiện (2) nên đây là nghiệm duy
2

nhất của (1)
Cách 2: Phương pháp đặt ẩn phụ

x  t để giải bây giờ ta xét 1 cách

Trong lời giải cách 1 ta có thể đặt

đặt ẩn phụ khác. Tương tự như cách 1 ta có
(1) 

2( x 2  x  1)   x  x  1

Chia 2 vế của bất phương trình cho 𝑥 có
(1) 

1
1
2( x  1  )  1 
 x
x
x

14


Đặt y  x 

1
1
, có x   y 2  2

x
x

Ta có bất phương trình

2( y 2  1)  y  1

y 1 0
 2
2
2( y  1)  y  2 y  1
 y  1

 y 1
2
(
y

1)

0

Với y  1 từ đó giải ra được x 

3 5
2

Cách 3: Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
Ta có điều kiện x  (0;1) và (1)  2( x 2  x  1)   x  x  1
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky có

2
1 x  1.(1  x)   12  12  




 

2

x

2
 1  x  


Hay 2( x 2  x  1)   x  x  1
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

x

x 1 x

hay  x  x  1  0 hay
1
1

3 5
2

Cáh 4: Sử dụng đại lượng liên hợp
Lập luận được x   0;1

(1)  1  2( x 2  x  1)  x  x






2  x 2  x  1  2 x  x  x  1  0

 x  x 1

2( x 2  3x  1)
2  x 2  x  1  2 x

15

0








Nhận xét: x 2  3x  1  ( x  1)2  x  x  x  1 x  3  1 do đó

(1)   x  x  1 (1 

  x  x  1



2  x 2  x  1  2 x

2  x 2  x  1  (2  2 x)

  x  x  1
  x  x  1



2 x  x 1

2  x  x  1  2 x
2

)0

0

2( x 2  3x  1)
0
 2  x 2  x  1  2 x   2  x 2  x  1  2  2 x 








2 x  x  1

2

 2  x 2  x  1  2 x   2  x 2  x  1  2  2 x 








0

Nhận thấy các nhân tử dưới mẫu và 2  x  x  1 luôn dương với mọi

x   0;1 nên ta có (1) ( x  x  1)2  0 x  x  1  0
x 

3 5
2

Bài tập:
1.

x ( x  1  x2 )
x x  1  x 2  x3

1

5 1
2

Đáp số : x 

2. x 2  3 x 4  x 2  2 x  1
Đáp số : x =

1 5
2

3. x  x  1  3  2( x 2  5 x  8)
Đáp số: x = 5

16


Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau:


 x9  7 y 4


 y9  7 x 4

(1)
(2)

 9  x  7
Giải:Điều kiện: 
9  y  7
Cách 1:
Từ hệ phương trình đã cho, ta suy ra:

x9  7 y  y9  7 x
x 9  7  y  y 9  7  x
Xét hàm số:
f (t )  t  9  7  t ( 9  t  7 )
1
1
f ' (t ) 

 0 , t  (9;7)
2 t 9 2 7t
Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên  9; 7 

Từ (*) ta có f  x   f  y   x  y
Thế vào (1) ta thu được phương trình:

x9  7 x 4
 x  9  7  x  2 x  9 7  x  16
 x7 y 7
  x 2  2 x  63  0  
 x  9  y  9

Vậy hệ phương trình có nghiệm:
 x  9  x  7
;

y


9

y  7

17

(*)


Cách 2:
Hệ phương trình

 x  9  7  y  4
( x  9 



 y  9  7  x  4
( y  9 
 x  9  7 

 x  9  7 

7  y ) 2  16
7  x ) 2  16
y  2 x  9 7  y  16
y  2 y  9 7  x  16

 x  y  2 x  9 7  y  0

 x  y  2 y  9 7  x  0

2 x9 7 y 2 y9 7 x
 7 x  xy  63  9 y  7 y  xy  63  9 x
đã cho tương đương với phương trình sau:
16 x  16 y  x  y

Thế vào (1) ta thu được phương trình:

x  9  7  x  4  x  9  7  x  2 x  9 7  x  16
  x 2  2 x  63  0

x  7
y  7
  x 2  2 x  63  0  

 x  9  y  9

Vậy hệ phương trình có nghiệm:
 x  9  x  7
;

 y  9  y  7

Cách 3:
Giải hệ phương trình chúng ta xét trong các trường hợp sau:
TH1: Nếu x>y thì ta có:

x  9  y  9 và
Suy ra:

7 y  7x

x9  7 y  y9  7 x

18



 x9  7 y 4
Mà 
nên 4  4 (vô lý)

 y9  7 x 4
TH2: Nếu x  y thì ta có: x  9  y  9 và

7 y  7x

Suy ra: x  9  7  y  y  9  7  x
Mà


 x9  7 y 4

nên 4  4 (vô lý)

y

9

7

x

4



TH3: Nếu x  y thế vào (1) ta thu được phương trình:

x9  7 x 4

 x  9  7  x  2 x  9 7  x  16
  x 2  2 x  63  0

x  7
y  7
  x 2  2 x  63  0  

 x  9  y  9

Vậy hệ phương trình có nghiệm:
 x  9  x  7
;


 y  9  y  7

Cách 4:
Đặt u  x  9  0, v  7  y  0, z  y  9  0, t  7  x  0

u  v  4
z  t  4

Ta thu được hệ phương trình:  2
2
 u  v  16
2
2

 z  v  16
Từ (1) và (2) suy ra

u v  z t

(1)
(2)
(3)
(4)

(5)

Từ (3) và (4) suy ra

u 2  t 2  z 2  v2  u 2  v2  z 2  t 2

 (u  v)(u  v)  (z t)(z t)

19

(6)


Từ (5) và (6) ta được:

uv  zt


(u  v)(u  v)  ( z  t )( z  t )
 (u  v)(u  v)  ( z  t )(u  v)
 (u  v)  (u  v)  ( z  t )   0
 (u  v)  ( z  t )  0 (vì u  v  4  0 )
u  z  v t

(7)

Mặt khác từ (5)  u  v  z  t  u  z  t  v

(8)

Từ (7) và (8) suy ra u  z  v  t  t  v  v  t và u  z

 x9  y9

x y
7


x

7

y


Thế vào (1) ta thu được phương trình:

x9  7 x  4
 x  9  7  x  2 x  9 7  x  16
  x 2  2 x  63  0

  x 2  2 x  63  0
x  7
y  7


 x  9  y  9
 x  9  x  7
Vậy hệ phương trình có nghiệm: 
;
y


9

y  7

Cáh 5:

 x9  7 y  4

Xét hệ phương trình: 


 y 9  7 x  4

Đặt x  m  y
điều kiện tồn tại căn thức là 7  x  m  0, x  m  9  0
Ta thu được hệ phương trình với ẩn m và x :

20

.