BTL tín hiệu và hệ thống

BÀI TẬP LỚP D12VT
Môn học: Tín hiệu và hệ thống
Bài 1:
Giả thiết rằng v(t) là sóng điện áp được mô tả như sau:
𝑣 𝑡 = 𝑒 𝑡 𝑣ớ𝑖 0 < 𝑡 < 1.
a) Tính giá trị trung bình và rms của v(t)
b) Tín hiệu điện áp này được đặt trên điện trở 600Ω. Tính công suất trung bình trên
tải theo đơn vị W và dBm
Bài 2:
Điện áp trên tải được cho bởi hàm sau: 𝑣 𝑡 = 𝐴0 𝑐𝑜𝑠𝑤0 𝑡 và dòng qua tải được mô
tả bởi hàm xung vuông sau:
𝑖 𝑡 = 𝐼0
với 𝑤0 =

∞
𝑛=−∞
2𝜋
𝑇0

𝑡−𝑛𝑇0
𝑇0 /2

−

𝑡−𝑛𝑇0 −(𝑇0 /2)
𝑇0 /2

, 𝑇0 = 1𝑠, 𝐴0 = 10𝑉, 𝐼0 = 5𝑚𝐴

Tính giá trị công suất tức thời và công suất trung bình

Bài 3:

hàm

Điện áp đặt trên điện trở tải 50Ω là phần dương của sóng hình sin, được mô tả bởi
10𝑐𝑜𝑠𝑤0 𝑡, 𝑣ớ𝑖 𝑡 − 𝑛𝑇0 < 𝑇0 /4
𝑣 𝑡 =
0
𝑣ớ𝑖 𝑡 𝑐ò𝑛 𝑙ạ𝑖
với n là số nguyên bất kì

a) Tính giá trị dc của điện áp và dòng điện
b) Tính giá trị rms của điện áp và dòng điện
c) Tính giá trị công suất trung bình tổng trên tải
Bài 4:


Xác định xem tín hiệu sau là tín hiệu năng lượng hay tín hiệu công suất và xác
định năng lượng hoặc công suất trung bình của các tín hiệu sau:
a) 𝑤 𝑡 =
b) 𝑤 𝑡 =

𝑡/𝑇0
𝑡/𝑇0 𝑐𝑜𝑠𝑤0 𝑡

Bài 5:
Xác định xem tín hiệu sau là tín hiệu năng lượng hay tín hiệu công suất và xác
định năng lượng hoặc công suất trung bình của các tín hiệu sau:
c) 𝑤 𝑡 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑤0 𝑡
d) x(t)=1+sin(2πt)+cos(2πt)

Bài 6:
Chứng minh rằng 𝜑1 𝑡 =
khoảng -0.5
𝑡 𝑣à 𝜑2 𝑡 = 𝑠𝑖𝑛2𝜋𝑡 là các hàm trực giao trong

Bài 7:
Áp dụng định lý Rayleigh để tính năng lượng của tín hiệu v(t)=sinc2Wt

Bài 8:
Xác định tín hiệu 𝑦 𝑡 = 𝑤1 𝑡 ∗ 𝑤2 (𝑡), với:
1,
𝑤1 𝑡 =
0,

𝑡 < 𝑇0
𝑡 𝑒𝑙𝑠𝑒𝑤ℎ𝑒𝑟𝑒

𝑣à

𝑤2 𝑡 =

Bài 9:
Xác định tín hiệu 𝑦 𝑡 = 𝑤1 𝑡 ∗ 𝑤2 (𝑡), với:
𝑤1 𝑡 = Π

𝑡
𝑇

𝑣à

𝑤2 𝑡 = 𝐴𝑠𝑖𝑛𝜔0 𝑡

Bài 10:
Xác định tín hiệu 𝑦 𝑡 = 𝑤1 𝑡 ∗ 𝑤2 (𝑡), với:

1
𝑇
2 0
𝑡 𝑒𝑙𝑠𝑒𝑤ℎ𝑒𝑟𝑒

𝑇0 − 2 𝑡 ,
0,

𝑡 <


a) 𝑤1 𝑡 = 2Π

𝑡−1

b) 𝑤1 𝑡 = 2Π

𝑡−1

2
2

𝑣à
𝑣à

𝐴,
𝑡≥4
0,
𝑡 𝑒𝑙𝑠𝑒𝑤ℎ𝑒𝑟𝑒
−2𝑡
𝑒 ,
𝑡>0
𝑤2 𝑡 =
0, 𝑡 𝑒𝑙𝑠𝑒𝑤ℎ𝑒𝑟𝑒
𝑤2 𝑡 =

Bài 11:
Thực hiện biến đổi Fourier của các tín hiệu sau:
𝑡−5

a) 𝑤 𝑡 =

10

+ 8sin⁡
(6𝜋𝑡)

b) 𝑤 𝑡 = 5 − 5𝑒 −2𝑡 𝑢(𝑡)
Bài 12:
Thực hiện biến đổi Fourier của các tín hiệu sau:
−𝜋

𝑡 2
𝑇

a) 𝑤 𝑡 = 𝑒
𝐴𝑡, 𝑣ớ𝑖 0 < 𝑡 < 𝑇0
b) 𝑤 𝑡 =
0
𝑣ớ𝑖 𝑡 𝑐ò𝑛 𝑙ạ𝑖
Bài 13:
Thực hiện biến đổi Fourier của các tín hiệu sau:
a) 𝑤 𝑡 = 𝑠𝑖𝑛2𝜋𝑓1 𝑡 (𝑐𝑜𝑠2𝜋𝑓2 𝑡)
b) w(t) được mô tả bới

Bài 14:
Thực hiện biến đổi Fourier của các tín hiệu sau:
a) w(t)=2
b) 𝑤 𝑡 =
Bài 15:

𝑡−5
5


Thực hiện biến đổi Fourier của các tín hiệu sau:
a) 𝑥 𝑡 =

sin
0

2𝜋𝑡
512

+ 𝑠𝑖𝑛

70𝜋𝑡

, 𝑣ớ𝑖 5 < 𝑡 < 75

512

𝑣ớ𝑖 𝑡 𝑐ò𝑛 𝑙ạ𝑖

b) w(t) được mô tả bởi

Bài 16:
Thực hiện biến đổi Fourier của các tín hiệu sau:
a) 𝑤 𝑡 = 𝐴 (𝑡/𝑇)𝑠𝑖𝑛𝑤0 𝑡
b) 𝑣 𝑡 = 𝐴𝑠𝑖𝑛𝑐2𝑊𝑡
Bài 17:
Thực hiện biến đổi Fourier ngược của các tín hiệu sau:
a) 𝑋 𝑓 = 2𝛿 𝑓 + 𝛿 𝑓 − 2 + 𝛿 𝑓 + 2
b) 𝑋 𝑓 = 𝑢 𝑓 − 𝑢 𝑓 − 2
Bài 18:
Thực hiện biến đổi Fourier ngược của các tín hiệu sau:
c) 𝑍 𝑓 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜋𝑓/2𝑊)
d) 𝑍 𝑓 = −𝑗𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜋𝑓/2𝑊)

𝑓
2𝑊
𝑓
2𝑊

Bài 19:
Tìm chuỗi Fourier và công suất của dạng sóng sau:
Hàm v(t) cho bởi hình sau:


Bài 20:
Tìm chuỗi Fourier và công suất của dạng sóng sau:
Hàm v(t) được mô tả bởi hình sau

Bài 21:
Tìm chuỗi Fourier và công suất của dạng sóng sau:
Hàm v(t) được mô tả bởi hình sau


Bài 22:
Tìm chuỗi Fourier và PSD/ công suất của dạng sóng sau:
Tín hiệu dạng sóng tuần hoàn sau
∞

𝑠 𝑡 =

𝑝 𝑡 − 𝑛𝑇0 ,

𝑣ớ𝑖

𝑝 𝑡 =

𝑛=−∞

𝐴𝑡, 0 < 𝑡 < 𝑇

0 𝑡 𝑐ò𝑛 𝑙ạ𝑖

Bài 23:
Tìm chuỗi Fourier và PSD/ công suất của dạng sóng sau:
𝑣 𝑡 = 𝐴 − 2𝐴 𝑡 𝑇0 𝑣ớ𝑖 𝑡 <

𝑇0
2

Bài 24:
Tìm chuỗi Fourier và PSD/ công suất của dạng sóng sau:
𝑣 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑡/𝑇0 )𝑣ớ𝑖 𝑡 <

𝑇0
2

Bài 25:
Hãy tính và vẽ đáp ứng biên độ và đáp ứng pha của hàm truyền sau:
𝐻 𝑓 =

𝑗10𝑓
5 + 𝑗𝑓

Bài 26:
Hãy tính và vẽ đáp ứng biên độ và đáp ứng pha của hàm truyền sau:
Cho mạch lọc như hình vẽ (tìm hàm truyền và trên cơ sở đó thực hiện yêu cầu
trên)


Bài 27:

Cho tín hiệu có PSD như sau 𝑃𝑥 𝑓 =

2
(1/4𝜋)2 +𝑓 2

đưa qua mạch được mô tả trong

hình

Xác định PSD và công suất trung bình của y(t)
Bài 28:
Tín hiệu 𝑥 𝑡 = 𝑒 −400𝜋𝑡 𝑢(𝑡) được đưa qua mạch lọc thông thấp có hàm truyền đạt
như sau:
𝐻 𝑓 =

1, 𝑣ớ𝑖 𝑓 ≤ 𝐵
0, 𝑣ớ𝑖 𝑓 > 𝐵

Xác định B để bộ lọc chỉ cho một nửa năng lượng của x(t) đi qua
Bài 29:
Tín hiệu lối ra và lối vào của một hệ thống LTI được mô tả bởi phương trình vi
phân sau. Hãy xác định đáp ứng biên độ và đáp ứng pha của hệ thống
a) dy(t)/dt +16πy(t) = dx(t)/dt + 4πx(t)
b) dy(t)/dt – 4 πy(t) = - dx(t)/dt + 4πx(t)
Bài 30:
Xác định tín hiệu lối ra y(t) của bộ lọc thông cao bậc nhất có hàm truyền đạt
𝐻 𝑓 =
4
25

𝑗𝑓
𝐵+𝑗𝑓

𝑐𝑜𝑠5𝑤0 𝑡

Bài 31:

4

𝑣ớ𝑖 𝐵 = 3𝑓0 khi đưa vào tín hiệu lối vào 𝑥 𝑡 = 4𝑐𝑜𝑠𝑤0 𝑡 + 𝑐𝑜𝑠3𝑤0 𝑡 +
9


4

4

9

25

Tín hiệu lối vào 𝑥 𝑡 = 4𝑐𝑜𝑠𝑤0 𝑡 + 𝑐𝑜𝑠3𝑤0 𝑡 +

𝑐𝑜𝑠5𝑤0 𝑡 được đưa qua bộ lọc

thông thấp bậc 1 với B=3f0. Hãy xác định tín hiệu lối ra y(t)
Bài 32:
Tín hiệu x(t)=2sinc40t được đưa qua một hệ thống có hàm truyền đạt H(f). Tín
hiệu lối ra thu được là y(t)= 20sinc(40t-200). Hãy xác định đáp ứng biên độ và đáp ứng
pha của hệ thống.

Bài 33:
Cho biến ngẫu nhiên X có phân bố đều qua 0  x  2 . Tính v (t ) , Rv t 1 ,t 2  và v 2 (t )
với các quá trình ngẫu nhiên sau:
a. v t   6e Xt .
b. v t   6 cosXt
Bài 34:
Cho X và Y là các biến ngẫu nhiên độc lập. Biết X có phân bố đều qua  1  x  1
và Y  2 , Y 2  6 . Tính v (t ) , Rv t 1 ,t 2  và v 2 (t ) với các quá trình ngẫu nhiên sau:
a. v t   Ye Xt .
b. v t   Y cosXt
Bài 35:
Cho v t   A cos2Ft   , với A là hằng số, F và  là các biến ngẫu nhiên. Nếu
 có phân bố đều qua 2 rad và F có hàm mật độ xác suất pF f  . Chứng minh rằng:

Rv t 1 ,t 2  

A2
2



 cos2 t

1

 t 2  pF  d



Ngoài ra, tính v (t ) và v 2 (t ) .

Bài 36:
Cho X và Y là các biến ngẫu nhiên độc lập, có trung bình không và phương sai  2
. Tìm hàm tương quan chéo của các quá trình ngẫu nhiên sau:
v t   X cos0t Y sin0t
w t   Y cos0t  X sin0t


Bài 37:
Cho một hệ thống tuyến tính, khi tín hiệu đầu vào là 𝛿(𝑡 − 𝜏) thì đáp ứng của hệ
thống là
ℎ𝜏 𝜏 = 𝑢 𝑡 − 𝜏 − 𝑢(𝑡 − 2𝜏)
a) Hệ thống có phải là bất biến tuyến tính theo thời gian?
b) Hệ thống có phải là hệ nhân quả?
c) Xác định đáp ứng của hệ thống khi biết tín hiệu đầu vào là
i)
𝑥 𝑡 = 𝑢 𝑡 − 1 − 2𝑢(𝑡 − 3)
ii)
𝑥 𝑡 = 𝑒 −𝑡 𝑢(𝑡)
Bài 38:
Hệ thống LTI có mối quan hệ giữa tín hiệu đầu ra và tín hiệu đầu vào cho bởi
phương trình
𝑦 𝑡 =

𝑡
−∞

𝑒 −(𝑡−𝜏) 𝑥(𝜏 − 2)𝑑𝜏

Hãy xác định đáp ứng xung h(t) của hệ thống.
Bài 39:

Hệ thống LTI có mối quan hệ giữa tín hiệu đầu ra và tín hiệu đầu vào cho bởi
phương trình
𝑦 𝑡 =

𝑡
−∞

𝑥(𝜏 − 2)𝑑𝜏

(1)

Hãy xác định tín hiệu đầu ra của hệ thống khi biết tín hiệu đầu vào của hệ thống
như sau
x(t)

1

-1

2

t

Hệ thống LTI được kết nối như hình sau, hãy xác định đáp ứng y(t) của hệ thống
khi áp đầu vào tín hiệu x(t) và đáp ứng h(t) tìm được từ biểu thức (1)


h(t)
+

x(t)

𝛿(t-1)

h(t)

Bài 40:
Các nhận định sau là đúng hay sai. Hãy chứng minh điều đó
a)
b)
c)
d)

x[n]*[h[n]g[n]]=[x[n]*h[n]]g[n]
𝑎𝑛 𝑥 𝑛 𝑎 ∗ 𝑎𝑛 ℎ[𝑛] = 𝑎𝑛 [𝑥[𝑛] ∗ ℎ[𝑛]
Nếu y(t)=x(t)*h(t) thì y(2t)=2x(2t)*h(2t)
Nếu x(t) và h(t) là các hàm lẻ thì y(t) = x(t)*h(t) là hàm chẵn

y(t)