TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG c5, PHÂN TÍCH HỆ THỐNG LIÊN TỤC THEO THỜI GIAN DÙNG BIẾN ĐỔI LAPLACE

CHƯƠNG 6: PHÂN TÍCH HỆ THỐNG LIÊN TỤC THEO THỜI
GIAN DÙNG BIẾN ĐỔI LAPLACE

Nội dung

6.1 Biến đổi Laplace
6.2 Đặc tính của biến đổi Laplace
6.3 Tìm nghiệm của phương trình vi phân và phương trình vi-tích phân
6.4 Phân tích mạng điện: sơ đồ toán tử
6.5 Sơ đồ khối
6.6 Thiết lập hệ thống
6.7 Ứng dụng vào phản hồi và điều khiển
6.8 Biến đổi Laplace hai bên
6.9 Phụ chương 6.1: Thực hiện dạng chính tắc thứ hai
6.10 Tóm tắt



Tài liệu tham khảo:
B.P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998


Biến đổi Fourier là công cụ để biểu diễn tín hiệu
)(tf
thành dạng tổng các hàm mủ
dạng
tj
e
w
, với tần số bị giới hạn trên trục ảo của mặt phẳng phức
)(

w
js
=
. Theo các
chương 4 và 5 thì biểu diễn này đã đủ để phân tích và xử lý tín hiệu. Tuy nhiên, điều này
chưa đủ khi phân tích hệ thống vì: (1) Biến đổi Fourier chỉ tồn tại trong một số lớp tín
hiệu, và không dùng được với các ngõ vào tăng theo dạng hàm mủ. (2) Biến đổi Fourier
không phân tích được các hệ thống không ổn định hay ở biên ổn định.

6.1 Biến đổi Laplace

Nguyên nhân cơ bản của các khó khăn vừa nêu là do một số tín hiệu, như
)(tue
t-

)0(
>
a
không có biến đổi Fourier do các sóng sin thông thường hay hàm mủ dạng
tj
e
w

(chỉ quan tâm đến biên độ không đổi) không có khả năng tổng hợp được hàm mủ tăng
theo thời gian. Vấn đề này được giải quyết khi dùng tín hiệu cơ bản (nền) dạng
st
e
(thay
cho hàm
tj

e
w
), khi đó tần số phức s không còn phải nằm trên trục ảo (như trường hợp
biến đổi Fourier).
Điều này thể hiện qua phép biến đổi mở rộng gọi là biến đổi Laplace hai bên,
với biến tần số
w
j
s
=
được tổng quát thành
w
s
j
s
+
=
. Điều này cho phép ta dùng các
hàm mủ tăng theo thời gian để tổng hợp tín hiệu
)(tf
. Trước khi phát triển toán tử của
phép mở rộng, ta cần tìm hiểu trực giác về quá trình tổng quat hóa này.



6.1- 1 Hiểu biết trực giác về biến đổi Laplace
Tín hiệu
)(tf
trong hình 6.1d không có biến đổi Fourier, ta lấy biến đổi Fourier
bằng cách nhân tín hiệu với hàm mủ giảm dạng

t
e
s
-
. Thí dụ, lấy biến đổi Fourier tín hiệu
)(
2
tue
tt
bằng cách nhân với hàm
t
e
s
-
với
2
>
V
. Đặt:

t
etft
s
f
-
= )()(
Như vẽ ở hình 6.1a. Tín hiệu
)(t
f
có được biến đổi Fourier và các thành phần Fourier có

dạng
tj
e
w
với tần số w thay đổi từ
-¥
=
w
đến ¥. Thành phần mủ
tj
e
w
và
tj
e
w
-
thêm vào
phổ tạo sóng sin tần số w. Phổ chứa vô hạn các sóng sin, mỗi sóng có biên độ bé. Rất dễ
lẫn lộn khi vẽ tất cả các dạng sóng này; do đó, hình 6.1b, chỉ vẽ hai thành phần tiêu biễu.
Cộng tất cả các thành phần này (số lượng là vô hạn) cho ta lại
)(t
f
, vẽ ở hình 6.1a.
Thành phần phổ của hàm mủ của
)(t
f
có dạng
tj
e

w
, với tần số phức
w
j
nằm trên trục ảo
từ
-¥
=
w
đến ¥, vẽ ở hình 6.1c.
Hình 6.1a vẽ tín hiệu
t
etft
s
f
-
= )()(
. Hình 6.1b vẽ hai trong số vô hạn các thành
phần phổ, và hình 6.2c vẽ vị trí tần số của mọi thành phần phổ của
)(t
f
trên mặt phẳng
phức. Vậy ta tìm lại tín hiệu mong muốn
)(tf
bằng cách nhân
)(t
f
với
t
e

s
. Điều này
cho phép tổng hợp
)(tf
bằng cách nhân từng thành phần của nhân
)(t
f
với
t
e
s
rồi cộng
tất cả lại. Nhưng khi nhân thành phần phổ của
)(t
f
(sóng sin trong hình 6.1b) với
t
e
s
tạo
hàm sin tăng theo dạng mủ như vẽ ở hình 6,1e. Khi cộng tất cả các thành phần sóng sin
tăng dạng mủ (số lượng là vô hạn) tạo lại
)(tf
trong hình 6.1d. Thành phần phổ của
)(t
f

có dạng
tj
e

w
. Khi nhân các thành phần này với
t
e
s
tạo ra thành phần phổ có dạng
)(
wsws
jjtjt
eee
+
=
. Vậy, các thành phần tần số
w
j
trong phổ
)(t
f
được chuyển sang
thành phần tần số
w
s
j
+
trong phổ của
)(tf
. Vị trí các tần số
w
s
j

+
trong mặt phẳng
phức nằm theo đường dọc, vẽ trong hình 6.1f.
Rõ ràng là tín hiệu
)(tf
có thể được tổng hợp dùng các hàm mũ tăng không dừng
nằm dọc theo
w
s
j
+
, với
-¥
=
w
đến ¥. Giá trị của s rất mềm dẻo. Thí dụ, nếu
)()(
2
tuetf
t
= , thì
t
etft
s
f
-
= )()( có biển đổi Fourier khi chọn s > 2. Từ đó, có vô số
cách chọn
s
.

Điều này tức là phổ của
)(tf
không độc nhất, với vô số khả năng tổng hợp
)(tf
.
Tuy nhiên, s có một số giá trị bé nhất
0
s
cho từng
)(tf
. [ 2
0
=
s
cho trường hợp
)()(
2
tuetf
t
= ]. Vùng trong mặt phẳng phức cho
0
ss
> gọi là vùng hội tụ (hay vùng
tồn tại) cho biến đổi của
)(tf

Các kết luận rút ra từ phương pháp thử và sai sẽ được phân tích một cách giải tích
như sau. Tần số
w
j

trong biến đổi Fourier sẽ được tổng quát thành
w
s
j
s
+
=
.

6.1- 2 Phân tích biến đổi Laplace hai bên
Ta đã nhất quán biến đổi Fourier và biến đổi Laplace, nên cần dùng ý niệm
)(
w
jF

thay cho
)(
w
F
của trường hợp biến đổi Fourier, và được định nghĩa theo:

ò
¥
¥-
-
= dtetfjF
tj
w
w
)()(

(6.1)




Và
ò
¥
¥-
=
ww
w
dejFtf
tj
)()(
(6.2)

Xét biến đổi Fourier của
t
etf
s
-
)(
(s số thực)

ò
¥
¥-

= dteetfetfF

tjtt
wss
)(])([
(6.3)

ò
¥
¥-
+
= dtetfetfF
tjtt )(
)(])([
wss
(6.4)

Theo phương trình (6.1), thì các tích phân trên là
)(
w
s
jF
+
, nên
)(])([
ws
s
jFetfF
t
+=
-
(6.5)

Biến đổi Fourier nghịch

ò
¥
¥-
-
+=
wws
p
ws
dejFetf
tjt
)(
2
1
)( (6.6)
Nhân hai vế với
t
e
s


ò
¥
¥-
+
+=
wws
p

ws
dejFtf
tj )(
)(
2
1
)(
(6.7)
Lượng
)(
w
s
j
+
là tần số phức s. Đổi biến tích phân từ w sang s. Do
w
s
j
s
+
=
,
dsjd )/1(
=
w
. Giới hạn của tích phân từ
-¥
=
w
đến ¥ chuyển từ biến s từ

)(
¥
-
s
đến
)(
¥
+
s
. Tuy nhiên, cần nhắc lại là với hàm cho trước
)(tf
, s cần có giá trị tối thiểu
0
s
,
và ta có thể chọn bất kỳ với
0
ss
>
. Phương trình (6.7) thành

ò
¥+
¥-
=
c
c
st
dsesF
j

tf )(
2
1
)(
p
(6.8a)
Từ phương trình (6.4) và (6.5), ta có

ò
¥
¥
-
= dtetfsF
st
)()( (6.8b)
Cặp phương trình trên gọi là cặp biến đổi Laplace hai bên. Biến đổi Laplace hai
bên được viết thành công thức
F(s) = L[f(t)] và f(t) = L
-1
[F(s)]
Hay đơn giản hơn

)()( sFtf
Û


Đáp ứng của hệ thống LT – TT – BB.
Phương trình (6.8a) biểu diễn
)(tf
thành tổng trọng các hàm mủ dạng

st
e
. Điều
này được thể hiện rõ khi viết tích phân trong phương trình (6.8a) theo dạng tổng

ò
å
¥
¥-
D
¥
-¥=
®D
ú
û
ù
ê
ë
é
DD
==
tsn
n
s
e
j
ssnF
dssF
j
tf

)(
0
2
)(
lim)(
2
1
)(
pp
(6.9)

Rõ ràng, biến đổi Laplace biểu diễn
)(tf
thành tổng các hàm mủ không dừng có
dạng
tsn
e
)( D
đi từ
¥
-
j
c
đến
¥
+
j
c
với
0

s
>c
. Đây là các sóng sin với dạng mủ tăng
(khi
0
>
c
) hay giảm theo dạng mủ (khi
0
<
c
). Ta xác định đáp ứng của hệ thống LT –
TT – BB với ngõ vào
)(tf
qua quan sát hàm truyền hệ thống với hàm mủ (không dừng)
tsn
e
)( D
là
tsn
esnH
)(
)(
D
D
. Từ phương (6.9), có đáp ứng của hệ thống với ngõ vào
)(tf
là:

ò

å
¥+
¥-
D
¥
-¥=
®D
=
ú
û
ù
ê
ë
é
DDD
=
jc
jc
sttsn
n
s
dsesHsF
j
e
j
ssnHsnF
tf
'
'
)(

0
)()(
2
1
2
)()(
lim)(
pp
(6.10)
Hướng lấy tích phân (từ
¥
-
jc'
đến
¥
+
jc'
) trong phương trình (6.10) có thể khác với
phương trình (6.9). Nếu
)()( sFtf
Û
, theo phương trình(6.10) là

)()()( sHsFsY
=
(6.11)
Ta đã biểu diễn ngõ vào
)(tf
là tổng các thành phần hàm mủ dạng
st

e
. Từ đó, tìm được
đáp ứng của hệ thống bằng cách cộng tất cả đáp ứng với các thành phần mủ này. Phương
pháp thực hiện tương tự như trong chương 2 (với ngõ vào được biểu diễn thành tổng
nhiều xung) hay trong chương 4 (với ngõ vào được biểu diễn thành tổng các hàm mủ
dạng
tj
e
w
).
Vậy khi hệ LT – TT – BB có hàm truyền H(s), có ngõ vào là
)(tf
và ngõ ra
)(ty
, nếu
)()( sFtf
Û
, và
)()( sYty
Û
, thì

)()()( sHsFsY
=
(6.12)

Tính tuyến tính của biến đổi Laplace
Biến đổi Laplace là toán tử tuyến tính, và theo nguyên lý xếp chồng, nếu
)()(
11

sFtf Û và )()(
22
sFtf Û , thì
)()()()(
22112211
sFasFatfatfa +Û+ (6.13)
Phần chứng minh đơn giản và lấy từ định nghĩa của biến đổi Laplace. Kết quả này
còn được mở rộng khi có vô hạn các thừa số ngõ vào.

Vùng hội tụ
Phần trước đã thảo luận một cách trực giác về vùng hội tụ (hay vùng tồn tại) của
biến đổi Laplace F(s). Về mặt toán học, vùng hội tụ của F(s) là tập các giá trị của s (vùng
nằm trong mặt phẳng phức), trong đó tích phân từ phương trình (6.8b) định nghĩa trực
tiếp biến đổi Laplace hội tụ. Xét tiếp thí dụ sau:

■ Thí dụ 6.1:
Cho tín hiệu
)()( tuetf
at-
=
, tìm biến đổi Laplace F(s) và vùng hội tụ
Từ định nghĩa
ò
¥
¥-

= dtetuesF
stat
)()(

Do
0)(
=
tu
khi
0
<
t
và
1)(
=
tu
khi
0
³
t


¥
¥
+-+-
¥

òò
+
===
0
0
)()(
0

1
)(
tastasstat
e
as
dtedteesF (6.14)
Chú ý do s là biến phức và khi
¥
®
t
, thừa số
tas
e
)( +-
không nhất thiết phải triệt tiêu, nên
ta dùng lại ý niệm về số phức
b
a
jz
+
=
.

tjttjzt
eeee
baba
+
==
)(

Do
1=
- tj
e
b
với mọi giá trị của
t
b
. Do đó. Khi
¥
®
t
,
0®
-zt
e
nếu và chỉ nếu
khi
0
>
a
, và
¥
®
t
,
¥®
-zt
e

nếu
0
<
a
, do đó

î
í
ì
<¥
>
=
-
¥®
0Re
0Re0
lim
z
z
e
zt
t
(6.15)
Rõ ràng

î
í
ì
<+¥
>+

=
+-
¥®
0)Re(
0)Re(0
lim
)(
as
as
e
tas
t

Dùng kết quả từ phương trình (6.14)

0)Re(
1
)( >+
+
= as
a
s
sF
(6.16a)

0)Re(
1
)( >+
+
= as

a
s
sF
(6.16a)
Hay as
a
s
tue
at
->
+
Û
-
Re
1
)( (6.16b)

Vùng hội tụ của F(s) là Re s > – a, vẽ ở phần diện tích tô bóng trong hình 6.2a. Điều này
tức là tích phân định nghĩa F(s) trong phương trình (6.14) chỉ tồn tại với giá trị của s
trong vùng tô bóng hình 6.2a. Tích phân trong (6.14) không hội tụ với các giá trị khác của
s. Do đó vùng tô bóng này được goi là vùng hội tụ (hay vùng tồn tại) của F(s).
Nhắc lại là biến đổi Fourier của )(tue
at-
không tồn tại với các giá trị âm của a.
Ngược lại, biến đổi Laplace tồn tại với mọi giá trị của a, và vùng hội tụ là phần bên phải
của đường thẳng Re s = -a. ■


Vai trò của vùng hội tụ
Vùng hội tụ rất cần để tìm biến đổi Laplace nghịch

)(tf
như định nghĩa ở
phương trình (6.8a). Khi tìm biến đổi nghịch, cần tính tích phân trong mặt phẳng phức,
nên cần thêm một số định nghĩa. Đường lấy tích phân dọc theo
w
j
c
+
với w thay đổi từ
– ¥ đến ¥. Hơn nữa. đường lấy tích phân phải nằm trong vùng hội tụ (hay tồn tại) của
F(s). Điều này không thực hiện được với tín hiệu )(tue
at-
nếu
a
c
-
>
. Còn một đường
lấy tích phân khác (đường chấm) trong hình 6.2a. Như thế, để có được
)(tf
từ
)(sF
là
phải lấy tích phân theo đường này. Khi lấy tích phân
[
]
st
eas )/(1 +
dọc theo đường này,
cho kết quả

)(tue
at-
. Phương pháp lấy tích phân trong mặt phẳng phức đòi hỏi kiến thức
về hàm biến phức. Điều này có thể tránh được bằng cách dùng bảng biến đổi Laplace
(bảng 6.1), với đầy đủ các cặp biến đổi Laplace của nhiều dạng tín hiệu khác nhau. Thí
dụ, để tìm biến đổi nghịch của biến đổi
)/(1 as
+
, thay vì dùng công thức tính tích phân
phức (6.8a), ta nhìn vào bảng để có biến đổi nghịch là
)(tue
at-
.

Biến đổi Laplace một bên
Để biết nhu cầu của biến đổi Laplace một bên, hảy tìm biến đổi Laplace của tín
hiệu
)(tf
vẽ ở hình 6.2b
)()( tuetf
at
=
-

Biến đổi Laplace của tín hiệu này là

ò
¥
¥-

= dtetuesF
stat
)()(

Do
1)(
=
-
tu
khi 0
<
t và
0)(
=
-
tu
khi 0
>
t


0
0
)()(
0
1
)(
¥-
¥-
+-+-

¥-

òò
+
==-=
tastasstat
e
as
dtedteesF

Phương trình (6.15) cho
0)Re(0lim
)(
<+=
+-
¥®
ase
tas
t
, nên
as
a
s
sF -<
+
= Re
1
)( (6.17)
Tín hiệu
)( tue

at

-
và vùng hội tụ (
as
-
<
Re
) được vẽ trong hỉnh 6.2b. Chú ý là biến
đổi Laplace của hai tín hiệu
)(tue
at-
và
)( tue
at

-
giống nhau trừ với các vùng hội tụ
khác nhau. Như thế, với một
)(sF
, có thể có nhiều biến đổi nghịch, tùy theo vùng hội tụ.
Nói cách khác không có ánh xạ một – một giữa
)(sF
và
)(tf
, trừ khi biết được vùng hội
tụ. Điều này càng làm phức tạp ứng dụng của biến đổi Laplace. Yếu tố phức tạp này là do
mong muốn xử lý tốt được các tín hiệu nhân quả và không nhân quả. Điều này không thể
xảy ra khi ta giới hạn tín hiệu là tín hiệu nhân quả. Như thế, chỉ có một biến đổi nghịch
của

)/(1)( assF
+
=
, tức là )(tue
at-
. Để tìm
)(tf
từ
)(sF
, ta cũng không cần đến vùng
hội tụ. Tóm lại, nếu mọi tín hiệu đều là nhân quả, thì với một
)(sF
, chỉ có một biến đổi
nghịch
)(tf
.
Biến đổi Laplace một bên là trường hợp đặc biệt của biến đổi Laplace hai bên, khi
các tín hiệu đều bị giới hạn là nhân quả, nên cận lấy tích phân có thể thay đổi từ 0 đến ¥.
Do đó, biến đổi Laplace một bên được định nghĩa là

ò
¥
-
º
0
)()( dtetfsF
st
(2.18)
Ta chọn 0
-

(thay vì 0
+
như theo một số tài liệu) làm cận dưới tích phân. Qui ước này
không chỉ bảo đảm chèn được xung tại
0
=
t
, mà còn cho phép ta dùng được điều kiện
đầu tại 0
–
(thay vì tại 0
+
) vào nghiệm của phương trình vi phân qua biến đổi Laplace.
Thực tế, ta thường biết được điều kiện đầu trước khi có tín hiệu vào (tại 0
-
), không phải
sau khi tín hiệu vào (tại 0
+
).
Biến đổi Laplace một bên đơn giản hóa đáng kể việc phân tích hệ thống, nhưng
điều phải trả giá là phân tích không được hệ thống không nhân quả hay dùng với các ngõ
vào không nhân quả. Tuy nhiên, trong hầu hết các bài toán thực tế, thì hậu quả này là rất
ít. Hảy xét biến đổi Laplace một bên và ứng dụng trong phân tích hệ thống (biến đổi
Laplace hai bên sẽ được bàn ở phần 6.8)
Ta thấy là về cơ bản thì không có khác biệt giữa biến đổi Laplace hai bên và một
bên. Biến đổi Laplace là biến đổi hai bên dùng cho lớp con tín hiệu bắt đầu tại
0
=
t
(tín

hiệu nhân quả). Như thế, biểu thức [phương trình (6.8a)] của biến đổi Laplace nghịch vẫn
đúng. Trong thực tế, thường thì biến đổi Laplace được hiểu là biến đổi Laplace một bên.



Tồn tại của biến đổi Laplace
Biến
s
trong biến đổi Laplace thường là biến phức, và được viết thành
w
s
j
s
+
=
. Từ định nghĩa

òò
¥

¥
-

==
00
])([)()( dteetfdtetfsF
tjtst
ws

Do

1=
tj
e
w
, tích phân vế phải hội tụ nếu

ò
¥
-
-
¥<
0
)( dtetf
t
s
(6.19)
Như thế biến đổi Laplace tồn tại nếu tích phân (6.19) là hữu hạn với một số giá trị của s.
Tín hiệu nào tăng chậm hơn tín hiệu mủ
t
Me
0
s
với một số giá trị của M và
0
s
, thì

t
Metf
0

)(
s
£ (6.20)
Ta có thể chọn
0
ss
>
thỏa (6.19). Ngược lại, tín hiệu
2
t
e
có tốc độ tăng nhanh hơn
t
e
0
s
nên
2
t
e
không có biến đổi Laplace. Điều may mắn là các tín hiệu dạng này (không có
biến đổi Laplace) lại ít ảnh hưởng về mặt lý thuyết hay thực tế. Nếu
0
s
là trị bé nhất của
s để tích phân (6.19) hữu hạn, thì
0
s
được gọi là hoành độ hội tụ và vùng hội tụ của
)(sF

là
0
Re
s
>s . Hoành độ hội tụ của
)(tue
at-
là –a (vùng hội tụ là
as
-
>
Re
).

■ Thí dụ 6.2:
Tìm biến đổi Laplace của (a)
)(t
d
(b)
)(tu
(c) )(cos
0
ttu
w
.
(a) L
ò
¥
-
-

=
0
)()]([ dtett
st
dd

Từ đặc tính lấy mẫu [phương trình (1.24a)], ta có
L
1)]([
=
t
d
với mọi s
Tức là
1)(
Û
t
d
với mọi s (6.21)

(b) Để tìm biến đổi Laplace của
)(tu
, nhắc lại là
1)(
=
tu
khi
0
³
t

, nên
L 0Re
11
)()]([
0
00
>=-===
¥
-
¥
-
¥
-
-

òò
s
s
e
s
dtedtetutu
ststst
(6.22)
Ngoài ra, còn có thể tìm kết quả từ phương trình (6.16b) khi cho a = 0.
(c) Do
)(][
2
1
)(cos
00

0
tueettu
tjtj
ww
w
-
+=
(6.23)
L
)]([cos
0
ttu
w
=
2
1
L
)]()([
00
tuetue
tjtj
ww
-
+

Từ phương trình (6.16)
L
ú
û
ù

ê
ë
é
+
+
-
=
00
0
11
2
1
)]([cos
ww
w
jsjs
ttu 0ReRe(
0
>=± sjs
w


0Re
1
2
0
2
>
+
= s

s
w

(6.24) ■
Trong biến đổi Laplace một bên, chỉ có một biến đổi nghịch của
)(sF
; nên không
cần xác định rõ ràng vùng hội tụ. Vì vậy, ta thường bỏ qua ý niệm vùng hội tụ trong biến
đổi Laplace một bên. Nhắc lại là, trong biến đổi Laplace một bên, hiểu ngầm là các tín
hiệu đều là zêrô khi
0
<
t
, và điều thích hợp là nên nhân tín hiệu này với
)(tu
.


D
Bài tập E 6.1
Dùng phương pháp tích phân trực tiếp, tìm biến đổi Laplace
)(sF
và vùng hội tụ
của
)(sF
của tín hiệu trong hình 6.3
Đáp số: (a)
)1(
1
2s

e
s
-
-
với mọi s (b)
ss
ee
s
22
)1(
1

-
với mọi s
Ñ


Quan hệ với biến đổi Fourier
Định nghĩa biến đổi Laplace giống với biến đổi Fourier khi thay
w
j
bằng s. Ta
thấy biến đổi Laplace
)(sF
của tín hiệu
)(tf
, giống như biến đổi
)(
w
F

của
)(tf
khi
thay
w
j
bằng s. Thí dụ, ta thấy biến đổi Fourier của
)(tue
at-
là
)/(1 aj
+
w
. Thay
w
j

bằng s trong biến đổi Fourier cho kết quả là
)/(1 as
+
, là biến đổi Laplace theo phương
trình (6.16b). Điều không may là phương pháp này không đúng với mọi
)(tf
. Chỉ có thể
thực hiện điều này khi vùng hội tụ của
)(sF
bao gồm trục ảo (trục
w
j
). Thí dụ, biến đổi

Fourier của hàm bước đơn vị là
)/1()(
w
w
pd
j
+
. Biến đổi Laplace tương ứng là
s/1
, và
vùng hội tụ là
0Re
>
s
, không bao gồm trục ảo. Trong trường hợp này thì quan hệ giữa
biến đổi Fourier và biến đổi Laplace không đơn giản. Lý do của khó khăn này có liên
quan đến tính hội tụ của tích phân Fourier, theo đó đường lấy tích phân là trục ảo. Do hạn
chế này, tích phân Fourier của hàm bước không hội tụ theo nghĩa thông thường như đã
minh họa trong thí dụ 4.7. Phải dùng hàm tổng quát (xung) cho ý niệm hội tụ. Ngược lại,
tích phân Laplace cho
)(tu
lại hội tụ theo nghĩa thông thường, nhưng chỉ với
0Re
>
s
,
lại là vùng cấm trong biến đổi Fourier. Điều thú vị nữa là dù biến đổi Laplace là tổng
quát hóa của biến đổi Fourier, vẫn còn có tín hiệu (thí dụ tín hiệu điều hòa) không có biến
đổi Laplace, nhưng tồn tại biến đổi Fourier (nhưng không theo nghĩa thông thường).

6.1- 3 Tìm biến đổi Laplace nghịch
Phương pháp dùng định nghĩa (6.8a) để tìm biến đổi Laplace nghịch đòi hỏi lấy
tích phân trong mặt phẳng phức, không được bàn trong tài liệu này. Mục tiêu là dùng
biến đổi nghịch từ bảng 6.1. Điều ta cần là biểu diễn
)(sF
thành tổng nhiều hàm đơn
giản được liệt kê trong bảng.
Hầu hết các biến đổi
)(sF
trong thực tế có dạng hàm hữu tỉ; tức là tỉ số các đa
thức theo s. Hàm dạng này có thể được phân tích thành các hàm đơn giản hơn dùng phép
khai triển đa thức (xem phần B.5). Giá trị s để
0)(
=
sF
được gọi là zêrô của
)(sF
; giá
trị s để
¥
®
)(sF
được gọi là cực của
)(sF
. Khi
)(sF
là hàm hữu tỉ có dạng
)(/)( sQsP
, thì nghiệm của P(s) là zêrô và nghiệm của Q(s) là cực của
)(sF

.

■ Thí dụ 6.3:
Tìm biến đổi Laplace nghịch của:
(a)
6
67
2

-
s
s
s
(b)
2
3
52
2
2
++
+
s
s
s
(c)
)3410(
)34(6
2
++
+

sss
s
(d)
3
)2)(1(
108
++
+
ss
s

Biến đổi nghịch của các hàm không có trong bảng 6.1, cần khai triển thành dạng
đa thức như thảo luận ở phần B.5.
(a)

)3()2()3)(2(
67
)(
21
-
+
+
=
-+
-
=
s
k
s
k

ss
s
sF

Theo phần B.5-2, tính k
1
theo
4
32
614
)3( )(
67
2
1
=


=
-
-
=
-=s
s
s
k
Tương tự
3
23
621
)( )2(

67
3
2
=
+
-
=
+
-
=
=s
s
s
k
Nên
3
3
2
4
)3)(2(
67
)(
-
+
+
=
-+
-
=
ssss

s
sF
(6.25a)

Kiểm tra kết quả
Khi khai triển đa thức, ta có thể bị lỗi, nên có thể kiểm tra bằng cách kiểm lại là
)(sF
và các đa thức phải bằng nhau với từng giá trị của s nếu ta khai triển đúng. Thí dụ,
kiểm tra lại (6.25a) với giá trị, s = 1. Thay s = 1 vào phương trình (6.25a)

6
1
2
3
3
4
6
1
-=-=-

Ta có thể tạm tin được về đáp số của mình. Dùng cặp thứ 5 (bảng 6.1) cho phương trình
(6.25a), ta có:

=
)(tf
L
-1
)()34(
3
3

2
4
32
tuee
ss
tt
+=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
+
+
-
(6.25b)
(b)
)2)(1(
52
23
52
)(
2
2
2
-+
+
=

++
+
=
ss
s
ss
s
sF
Ta thấy
)(sF
có
n
m
=
. Trường hợp này, ta có thể biểu diễn
)(sF
là tổng của hệ số
n
b
(hệ số của bậc lủy thừa cao nhất của tử số) với các khai triển đa thức tương ứng với
các cực của
)(sF
. Trường hợp này,
2=
n
b
, nên

2
1

2)(
21
+
+
+
+=
s
k
s
k
sF

Với 7
21
52
)2( )(
52
1
2
1
=
+-
+
=
+
+
=
=s
s
s

k
13
12
58
)( )1(
52
1
2
1
-=
+-
+
=
+
+
=
=s
s
s
k
Và
2
13
1
7
2)(
+
-
+
+=

s
s
sF

Dùng bảng 6.1, cặp 1 và 5, ta có

)()137()(2)(
2
tueettf
tt
-+=
d
(6.26)

(c)
3535)35)(35(
)34(6
)3410(
)34(6
)(
221
2
js
k
js
k
s
k
jsjss
s

sss
s
s
++
+
-+
+=
++-+
+
=
++
+
=

Chú ý là các hệ số (
2
k và
*
2
k ) của thừa số liên hợp cũng liên hợp
6
34
346
)3410( )(
)34(6
0
2
1
==
++

+
=
=
x
ss
s
k
s



43
53
329
)35( )(
)34(6
35
2
j
j
j
jss
s
k
js
+-=

+
=
++

+
=
+-=
, do đó

43
*
2
jk =

Dùng cặp 10b (bảng 6.1), với
2
k
và
*
2
k
viết theo dạng cực
(
)
)3/4(tan)3/4(tan22
11
54343


=+=+-
jj
eej

Nhận xét

÷
ø
ö
ç
è
æ
-¹
÷
ø
ö
ç
è
æ
-

3
4
tan
3
4
tan
11
. Điều này được minh chứng trong hình 6.4.
Hình 6.4, cho ta

0
9.126
2
543
j

ejk =+-=
, nên

0
9.126*
2
5
j
ek
-
=
, vậy
35
5
35
56
)(
00
9,1269,126
js
e
js
e
s
sF
jj
++
+
-+
+=

-


Bảng 6.1 (cặp 2 và 10b) cho ta
)()]9,1263cos(106[)(
05
tutetf
t
++=
-
(6.27)













Bảng biến đổi Laplace (một bên)

1
)(t
d

1
2
)(tu

s
1

3
)(ttu

2
1
s

4
)(tut
n

1
!
+n
s
n

5
)(tue
t
l

l

-
s
1

6
)(tute
t
l

2
)(
1
l
-s

7
)(tuet
tn
l

1
)(
!
+
-
n
s
n
l

8a
)(cos tbtu

22
b
s
s
+

8b
)(sin tbtu

22
b
s
b
+

9a
)(cos tbtue
at-

22
)( bas
as
++
+

9b
)(sin tbtue

at-

22
)( bas
b
++

10a
)()cos( tubtre
at
q
+
-

)(2
)sincos()cos(
222
baass
brarsr
+++
-
+
q
q
q

10b
)()cos( tubtre
at
q

+
-

jbas
re
jbas
re
jj
++
+
-+
-
qq
5,05,0

10c
)()cos( tubtre
at
q
+
-

c
as
s
BAs
++
+
2
2

10d
)(sincos tubt
b
AaB
btAe
at
ú
û
ù
ê
ë
é
-
+
-

c
as
s
BAs
++
+
2
2



2
2

1
2
22
tan
2
acb
acA
BAa
ac
ABaBcA
r -=
-
-
=
-
-+
=
-
q






Một phương pháp tính thừa số bậc hai
Phương pháp vừa nêu đòi hỏi tính số phức quá nhiều. Theo cặp 10c (bảng 6.1), biến
đổi nghịch thừa số bậc hai (có cực liên hợp) được tìm trực tiếp, không dùng các đa thức
bậc một. biểu diễn
)(sF

thành

3410)3410(
)34(6
)(
2
1
2
++
+
+=
++
+
=
ss
BAs
s
k
sss
s
sF

Đã xác định được 6
1
=k từ phương pháp Heaviside, nên

3410
6
)3410(
)34(6

22
++
+
+=
++
+
ss
BAs
ssss
s

Nhân hai vế của phương trình với
)3410(
2
++ sss


)()3410(6)34(6
2
BAsssss ++++=+


204)60()6(
2
++++= sBssA

Cân bằng hệ số của s
2
và s, ta có

6)6(0
-
=
Þ
+
=
AA


54)60(6
-
=
Þ
+
=
BB
, và

34
10
5466
)(
2
++
-
-
+=
s
s
s

s
sF

Dùng cặp 2 và 10c để tìm biến đổi Laplace nghịch. Tham số dùng cho cặp 10c là
6
-
=
A
,
54
-
=
B
,
,5
=
a

,34
=
c
và
3
2
=-= acb
,
0
2
1
2

22
9,126tan10
2
=
-
-
==
-
-+
=
-
acA
BAa
ac
ABaBcA
r
q
, do đó
)(]9.1263cos(106[)(
05
tutetf
t
++=
-
là phù hợp với hết quả trước đây

Đường tắt
Còn có phương pháp gọn hơn để tính thừa số bậc hai, ta có:

3410

6
)3410(
)34(6
)(
22
++
+
+=
++
+
=
ss
BAs
ssss
s
sF

Ta xác định A bằng cách loại B bên vế phải. Bước này được thực hiện bằng cách nhân
hai vế phương trình với s rồi cho
¥
®
s
, ta có

660
-
=
Þ
+
=

AA
, do đó

3410
66
)3410(
)34(6
22
++
+
-
+=
++
+
ss
Bs
ssss
s

Tỡm B, cho s mt giỏ tr thớch hp, thớ d cho s = 1 vo phng trỡnh, ta cú

45
6
6
45
210
-
+=
B

546270210
-
=
ị
-
+
=
BB
, phự hp vi kt qu ó tớnh
(d)
2)2()2(1)2)(1(
108
)(
2
2
1
3
0
1
3
+
+
+
+
+
+
+
=
++

+
=
s
a
s
a
s
a
s
k
ss
s
sF
, vi
2
)2( )(
108
1
3
1
=
+
+
=
-=s
s
s
k

2

)( )1(
108
2
0
-=
+
+
=
-=s
s
s
a


2
)( )1(
108
2
1
-=
ỳ
ỷ
ự
ờ
ở
ộ
+
+
=
-=s

s
s
ds
d
a



2
)( )1(
108
2
1
2
2
-=
ù
ỵ
ù
ý
ỹ
ù
ợ
ù
ớ
ỡ
ỳ
ỷ
ự
ờ

ở
ộ
+
+
=
-=s
s
s
ds
d
a
, do ú

2
2
)2(
2
)2(
6
1
2
)(
23
+
-
+
-
+
+
+

=
ssss
sF
, v
)(])223(2[)(
2
tuettetf
tt
+= (6.28)

Phng phỏp khỏc: kt hp gia Heaviside v phng phỏp clearing fraction
Trong phng phỏp ny, cỏc h s n gin nh
1
k v
0
a c xỏc nh dựng
phng phỏp Heaviside. xỏc nh cỏc h s cũn li, ta dựng phng phỏp clearing
fraction (xem B.5-3). Dựng cỏc giỏ tr 2
1
=k v 6
0
=a , ta cú

2)2()2(
6
1
2
)2)(1(
108
2

2
1
33
+
+
+
+
+
+
+
=
++
+
s
a
s
a
ssss
s

Nhõn hai v ca phng trỡnh vi
3
)2)(1( ++ ss
, ta cú

2
21
3
)2)(1()2)(1()1(6)2(2108 +++++++++=+ ssassasss

)4222()8330()512()2(
2121
2
21
3
2
aasaasaasa +++++++++=

Cõn bng cỏc giỏ tr ca s
3
v s
2
hai v, ta cú

2)2(0
22
-=ị+= aa

225120
1121
-=ị+=++= aaaa
Cõn bng cỏc giỏ tr ca s
1
v s
0
hai v, ta cú

21
83308 aa ++=

21
422210 aa ++=

Tỡm li, cú
2
21
-== aa


Phương pháp khác: kết hợp giữa Heaviside và short-cut
Trong phương pháp này, các hệ số đơn giản như
1
k
và
0
a được xác định từ
phương pháp Heaviside. Để xác định các hệ số còn lại, ta dùng phương pháp short-cut.
Dùng các giá trị
2
1
=k
và 6
0
=a , ta có

2)2()2(
6
1
2

)2)(1(
108
2
2
1
33
+
+
+
+
+
+
+
=
++
+
s
a
s
a
ssss
s

Có hai ẩn, a
1
và a
2
. Nếu nhân hai vế với s rồi cho
¥
®

s
, ta loại a
1
.
220
22
-=Þ+= aa , do đó:

2
2
)2()2(
6
1
2
)2)(1(
108
2
1
33
+
+
+
+
+
+
+
=
++
+
ss

a
ssss
s

Chỉ còn một ẩn
1
a . Giá trị này có thể được xác định bằng cách s một giá trị thích hợp, thí
dụ
0
=
s


21
4
4
3
2
8
10
1
1
-=Þ-++= a
a
■

¤ Bài tập dùng máy tính C6.1
Tìm biến đổi Laplace nghịch của các hàm sau dùng phương pháp khai triển đa thức:
(a)
2

3
52
2
2
++
+
s
s
s
(b)
2
2
)2)(1(
472
++
++
ss
ss
(c)
)7)(2(
19218
2
2
+++
++
sss
ss

(a)
num=[2 0 5]; den=[1 3 2];

[r,p,k]=residue(num,den)
r = -13, 7
p = -2, -1
k = -2, -1
Do đó

1
7
2
13
)(
+
+
+
-
=
s
s
sF và )(2)()713()(
2
ttueetf
tt
d
++-=


(b)
num=[2 7 4]; den=[con(con([1 1],[1 2]),[1 2])];
[r, p, k] = residue(num.den);
r = 3, 2, -1

p = -2, -2, -1
k= [ ]
Do đó

1
1
)2(
2
2
3
)(
2
+
-
+
+
+
=
sss
sF
và
)()23()(
22
tueteetf
ttt
-+=

(c)
num=[8 21 19]; den=[con([0 1 2],[1 1 7])];
[r, p, k]=residue(num, den)

[angle, mag]=cart2pol(real(r), imag(r))


r = 3.5 – 0.4811i, 3.5 + 0.4811i, 1.00
p= - 0.5 + 2.5981i, - 0.5 - 2.5981i, - 2.00
k = [ ]
angle = -0.1366, 0.1366. 1.00
mag = 3.5329, 3.5329, 1.00

Do đó

5981.25.0
5329.3
5981.25.0
5329.3
2
1
)(
1366.01366.0
js
e
js
e
s
sF
jj
++
+
-+
+

+
=
-
và
)()]1366/05981.2cos(766.1[)(
5.02
tuteetf
tt
-+=

¤


¤ Bài tập dùng máy tính C6.2
Tìm (a) biến đổi Laplace trực tiếp của
btat cossin
+
(b) biến đổi Laplace nghịch
của
)/()(
222
bsas +

Ta dùng Symbolic Math Toolbox, là tập các hàm Matlab dùng để xử lý và giải các
biểu thức symbolic.
(a) f=sym(‘sin(a*t)+cos(b*t)’);
F=laplace(f)
F=(a*s^2+b^2*a+s^3+s*a^2)/(s^2+a^2)/(s^2+b^2)

Vậy:

))((
)(
2222
2222
bsas
absaass
sF
++
+++
=

(b)
F= sym(‘a*s^2)/(s^2+b^2);
f=invlaplace(F)
F=a*dirac(t)-a*b*sin(b*t)
Vậy:

)()sin()()( tubtabtatf
+
=
d
¤
D
Bài tập E 6.2
(i) Chứng tõ là biến đổi Laplace )13.534cos(10
03
+
-
te

t
là
25
6
146
2
++
-
s
s
s
dùng cặp
10a trong bảng 6.1. (ii) Tìm biến đổi Laplace nghịch của (a)
5
4
17
2
-+
+
s
s
s

(b)
)52)(1(
53
2
+++
-
sss

s
(c)
2
)3)(2(
4316
+-
+
ss
s

Đáp số:
(a) )()23(
5
tuee
tt -
- (b) )()]87.362cos(
2
5
2[
0
tutee
tt
-+-

(c) )(])3(3[
32
tuete
tt -
-+ .
Ñ

6.2 Một số đặc tính của biến đổi Laplace
Khi xem biến đổi Laplace là dạng tổng quát của biến đổi Fourier, ta hy vọng biến đổi
Laplace có các đặc tính tương tự như biến đổi Fourier. Tuy nhiên, phần này chỉ bàn chủ
yếu một số đặc tính của biến đổi Laplace một bên, có khác so với biến đổi Fourier (là
dạng biến đổi hai bên).
Đặc tính của biến đổi Laplace không chỉ quan trọng để tìm biến đổi Laplace của các
hàm mà còn giúp tìm nghiệm của phương trình vi tích phân. Các phương trình (6.8a) và
(6.8b) cho thấy là giống trường hợp biến Fourier, có một số đặc tính đối xứng khi chuyển
từ
)(tf
sang
)(sF
và ngược lại. Tính đối xứng hay đối ngẫu còn tồn tại trong nhiều đặc
tính của biến đổi.
1. Tính dời theo thời gian
Nếu
)()( sFtf
Û

Thì với
0
³
t

0
)()(

0
st
esFttf
-
Û-
(6.29)
Ta thấy
)(tf
bằt đầu tại
0
=
t
, do đó )(
0
ttf - bắt đầu tại
0
tt = ,
Nếu
)()()( sftutf
Û

Thì
0
)()()(
00
st
esFttuttf
-
Û

0
³
t
(6.29b)

Chứng minh:
L
ò
¥
-
=
0
)(()(])(()([
0000
dtettuttfttuttf
st

Cho xtt ==
0
, ta có:
L
ò
¥
+-
=
0
)(
0
00
)(()(])(()([ dxexuxfttuttf

ttxs

Do
0)(
=
xu
khi
0
<
x
và
1)(
=
xu
khi
0
³
x
, cận lấy tích phần là từ 0 đến ¥. Do đó:

L
000
00
)()()(()(])(()([
00
)( st
sx
stttxs
exFdxexfedxexuxfttuttf
-

¥
-
-
¥
+-
===
òò

Chú ý là )()(
00
ttuttf là tín hiệu
)(tf
được dời đi
0
t giây. Theo đặc tính dời theo
thời gian cho rằng khi dời tín hiệu một lượng
0
t tương đượng với việc nhân biến đổi với
0
st
e
-
.
Đặc tính này của biến đổi Laplace một bên chỉ đúng khi
0
t
dương, do khi
0
t
âm,

thì tín hiệu
)()(
00
ttuttf
không phải là nhân quả. Bài tập E 6.1chứng minh đặc tính
này. Nếu tính hiệu trong hình 6.3a là
)()( tutf
thì tín hiệu trong hình 6.3b là
)2()2(
-
-
tutf
. Biến đổi Laplace của xung trong hình 6.3a là
)1(
1
2s
e
s
-
-
. Như thế, biến
đổi Laplace của xung hình 6.3b là
ss
ee
s
22
)1(
1

-

.
Đặc tính dời theo thời gian rất thích hợp để tìm biến đổi Laplace của hàm với
nhiều mô tả trong các khoản thời gian khác nhau, như được xét trong thí dụ sau.



■ Thí dụ 6.4:
Tìm biến đổi Laplace của hàm
)(tf
vẽ ở hình 6.5a
Phần 1.4 đã cho mô tả toán học của
)(tf
, và được viết thành tổng hai thành
phần, vẽ ở hình 6.5b. Phương trình của thành phần thứ nhất là
1
-
t
trong khoảng
21
£
£
t
, nên có dạng
)]2()1()[1(
-
-
-
-
tutut
. Thành phần thứ hai là

)]4()2([
-
-
-
tutu
, vậy:

)]4()2([)]2()1([)1()(
-
-
-
+
-
-
-
-
=
tututututtf


)4()2()2()1()1()1(
-
-
-
+
-
-
-
-
-

=
tutututtut
(6.30a)
Thừa số thứ nhất bên vế phải là tín hiệu
)(tu
làm trễ 1 giây. Các thừa số thứ ba và thứ tư,
không thể biểu diễn thành các thành phần dời theo thời gian của các tín hiệu trong bảng
6.1, viết lại:

)2()2()2()2()12()2()1(
-
+
-
-
=
-
+
-
=
-
-
tututtuttut

Viết thừa số thứ hai theo dạng
)(ttu
làm trễ 2 giây và tín hiệu
)(tu
được làm trễ 2 giây.
Phương trình (6.30a) viết lại thành

)4()2()2()1()1()(
-
-
-
-
-
-
-
=
tututttuttf
(6.30b)
Dùng đặc tính dời theo thờigian của
2
/1)( sttu Û , ta có

s
e
s
tut
-
Û
2
1
)1()1(
và
s
e
s
tut
2

2
1
)2()2(
-
Û

Đồng thời
s
tu
1
)( Û và
s
e
s
tu
4
1
)4(
-
Û- (6.31)
Do đó:

sss
e
s
e
s
e
s
sF

42
22
111
)(

= (6.32) ■



■ Thí dụ 6.5:
Tìm biến đổi Laplace nghịch của
)2)(1(
53
)(
2
++
++
=
-
ss
es
sF
s

Nhận thấy thừa số mủ
s
e
2-
trong tử số của
)(sF

cho thấy có yếu tố dời theo thời gian.
Trường hợp này ta nên chia
)(sF
thành các thừa số có và không có thừa số trễ, tức là

)2)(1(
5
)2)(1(
3
)(
2
++
+
++
+
=
-
ss
e
ss
s
sF
s
=
s
esFsF
2
21
)()(
-

+
Với
)2(
1
)1(
2
)2)(1(
3
)(
1
+
-
+
=
++
+
=
ssss
s
sF
)2(
5
)1(
5
)2)(1(
5
)(
+
-
+

=
++
=
ssss
sF

Nên
)()2()(
2
1
tueetf
tt
-=


)()(5)(
2
2
tueetf
tt
-=
, và do

s
esFsFsF
2
21
)()()(
-
+=

)2(][5)()2()2()()(
)2(2)2(2
21
+-=-+=

tueetueetftftf
tttt
■

D
Bài tập E 6.3
Tìm biến đổi Laplace của tín hiệu vẽ trong hình 6.6.
Đáp số:
)231(
1
32
2
ss
ee
s

+-
.
Ñ


D
Bài tập E 6.4

Tìm biến đổi Laplace nghịch của

)2)(1(
3
)(
2
+-
=
-
ss
e
sF
s
.
Đáp số:
)(][
)2(22
tuee
tt
-
.
Ñ


2. Đặc tính dời theo tần số.
Nếu
)()( sFtf
Û

Thì

)()(
0
0
ssFetf
ts
-Û
(6.33)

Nhận xét về tính đối xứng (hay đối ngẫu) giữa đặc tính này và đặc tính dờ itheo
thời gian (6.29a)
Chứng minh:
L
)()()(])([
0
0
)(
0
000
ssFtetfdteetfetf
tss
st
tsts
-===
òò
¥

¥
-

■ Thí dụ 6.6:
Dùng cặp 8a và đặc tính dời theo tần số để tìm cặp 9a trong bảng 6.1
Cặp 8a là

22
)(cos
b
s
s
tbtu
+
Û
Dùng đặc tính dời theo tần số [phương trình (6.33)], thay
as -=
0


22
)(
)(cos
bas
as
tbtue
at
++
+
Û
-
■

D
Bài tập E 6.5
Chứng tõ là có thể tìm cặp 6 trong bảng 6.1 từ cặp 3 và đặc tính dời theo tần số.
Ñ


Ta tiếp tục xem xét hai đặc tính quan trọng nhất của biế đổi Laplace: đặc tính vi phân
theo thời gian và đặc tính tích phân theo thời gian.

3. Đặc tính vi phân theo tần số.
Nếu
)()( sFtf
Û

Thì
)0()(
-
-Û fssF
dt
df
(6.34a)
Và

)0()0()(
2
2
2

Û fsfsFs
dt

fd
&
(6.34b)


)0()0()0()(
)1(21
Û
nnnn
n
n
ffsfssFs
dt
fd
L
&
(6.34c)
Trong đó
)0(
)( -r
f
là
rr
dtfd /
tại
-
= 0t
.
Chứng minh:
L

ò
¥
-
=
ú
û
ù
ê
ë
é
0
dte
dt
df
dt
df
st

Lấy tích phân từng phần
L
ò
¥
-
¥
-
+=
ú
û
ù
ê

ë
é
-
0
0
)()( dtetfsetf
dt
df
stst

Để tích phân Laplace hội tụ (tức là để
)(sF
tồn tại), cần có 0)( ®
-st
etf khi
¥
®
t
với
giá trị của s trong vùng hội tụ của
)(sF
. Tức là
L
)()0( ssFf
dt
df
+-=
ú
û
ù

ê
ë
é
-


■ Thí dụ 6.7:
Tìm biến đổi Laplace của tín hiệu
)(tf
trong hình 6.7a dùng bảng 6.1 và các đặc
tính vi phân theo thời gian và dời theo thời gian của biến đổi Laplace.
Hình 6.7b và 6.7c cho thấy hai đạo hàm của
)(tf
. Nhắc lại là đạo hàm tại các
điểm không liên túc là xung có cường độ bằng với lượng bước nhảy.

)3(2)2(3)(
2
2
-+ = ttt
dt
fd
ddd






Biến đổi Laplace của phương trình này là

L =
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
2
2
dt
fd
L
)]3(2)2(3)([
-
+
-
-
-
ttt
d
d
d

Dùng đặc tính vi phân theo thời gian (6.34b), đặc tính dời theo thời gian (6.29a) và điều
kiện
0)0()0( ==

ff

&
, và
1)(
Û
t
d
, ta có

ss
eesFs
322
23100)(

+-=
, do đó

)231(
1
)(
32
2
ss
e
s
sF

+-=
như đã khẳng định ở bài tập E 6.3 ■

4. Đặc tính tích phân theo tần số.

Nếu
)()( sFtf
Û

Thì
s
sF
df
t
)(
)(
0
Û
ò
-
tt
(6.35)
Và

s
df
s
sF
df
t
tt
tt
ò
ò
-

¥-
¥-
+Û
0
)(
)(
)(
(6.36)

Chứng minh: Định nghĩa cho

ò
-
º
t
dftg
0
)()(
tt

Để
)()( tftg
dt
d
=
và 0)0( =
-
g
Nếu
)()( sGtg

Û
thì
s
sF
sG
)(
)( =
hay
s
sF
df
t
)(
)(
0
Û
ò
-
tt

Để chứng minh (6.36), nhận thấy

òòò
-
-
+=
¥-¥-
tt
dfdfdf
0

0
)()()(
tttttt

Chú ý là thừa số thứ nhất của vế phải là hằng số. Lấy biến đổi Laplace của phương trình
trên và dùng phương trình (6.35), ta có

s
sF
s
df
df
t
)(
)(
)(
0
+Û
ò
ò
-
¥-
¥-
tt
tt

Tính tỉ lệ
Nếu
)()( sFtf
Û

Thì
)(
1
)(
a
s
F
a
atf Û
(6.37)
Chứng minh tương tự như trường hợp đặc tính tỉ lệ của biến đổi Fourier trong chương 4
[phương trình (4.34)]. Chú ý là a bị giới hạn là một giá trị dương nếu không, khi
)(tf
là
nhân quả, thì
)(atf
là phản nhân quả (chỉ tồn tại với t < 0) khi a có giá trị âm, và tín
hiệu phản nhân quả không dùng được trong biến đổi Laplace (một bên).

Nhắc lại nếu
)(atf
là tín hiệu
)(tf
được nén theo thời gian với thừa số a và
)(
s
a
F
là

)(sF
được giãn theo dọc theo s với tỉ lệ a (xem phần 1.3-2). Đặc tính tỉ lệ cho
rằng khi nén tín hiệu theo thời gian với tỉ lệ a, thì làm giãn tín hiệu trong s với cùng tỉ lệ.
Tương tự, kho giãn theo thời gian, sẽ tạo sự nén trong
)(sF
với cùng tỉ lệ.

5. Tích phân chập theo thời gian và tích phân chập theo tần số.
Nếu
)()(
11
sFtf Û
và
)()(
22
sFtf Û

Thì (đặc tính tích phân chập theo thời gian)
)(.)()()(
2111
sFsFtftf Û*

(6.38)
Và (đặc tính tích phân chập theo tần số

)]()([
2
1
)()(
2111

sFsF
j
tftf *Û
p
(6.39)





Bảng 6.2
Các đặc tính của biến đổi Laplace
Phép tính f(t) F(s)
Phép cộng
)()(
21
tftf + )()(
21
sFsF +
Nhân vô hướng
)(tkf

)(skF

Vi phân theo thời gian
dt
df

)0()(
-

- fssF

2
2
dt
fd

)0()0()(
2
fsfsFs
&


3
3
dt
fd

)0()0()0()(
23
ffsfssFs
&
&
&

Tích phân theo thởi gian
ò
-
t
df

0
)(
tt

)(
1
sF
s


ò
¥
t
df
tt
)(

ò
-
¥-
+
0
)(
1
)(
1
dttf
s
sF
s

Dời theothởi gian
)()(
00
ttuttf
0)(
0
³
-
tesF
st

Dời theo tần số
ts
etf
0
)(
)(
0
ssF -
Vi phân theo tần số
)(ttf
-

)(sF
ds
d

Tích phân theo tần số
t

tf )(

ò
¥
s
dzzF )(

Tỉ lệ
0)( ³aatf

)(
1
a
s
F
a

Tích chập theo thời gian
)()(
21
tftf
*

)()(
21
sFsF

Tích chập theo tần số
)()(
21

tftf

)()(
2
1
21
sFsF
j
*
p

Giá trị đầu
)0(
+
f

)()(lim mnssF
s
>
¥®

Giá trị cuối
)(
¥
f

LHPpolesssF
s
Î
®

)(lim
0



Quan sát tính đối xứng (hay đối ngẫu) giữa hai đặc tính. Chứng minh tương tự
như trong chương 4 của biến đổi Fourier.
Phương trình (2.48) cho thấy H(s) là hàm truyền của hệ LT – TT – BB, và là biến
đổi Laplace của đáp ứng xung
)(th
, tức là

)()( sHth
Û
(6.40)
Ta có thể dùng đặc tính về tích chập theo thời gian chp quan hệ vào ra
)()()( thtfty
*
=
của hệ LT – TT – BB để có:

)()()( sHsFsY
=
(6.41)
Kết quả này giống với trường hợp phương trình (6.11)

■ Thí dụ 6.8:
Dùng tích chập theo thời gian của biến đổi Laplace, tìm )()()( tuetuetc
btat
*= .

Phương trình (6.38) cho:

ú
û
ù
ê
ë
é
-
-

=

=
bsasbabsas
sC
111
))((
1
)(

Lấy biến đổi nghịch

(
)
)(
1
)( tuee
b
a

tc
btat
-
-
=
■
6.3 Tìm nghiệm của phương trình vi phân và phương trình vi tích phân.
Đặc tính vi phân theo thời gian của biến đổi Laplace cho phép giải các phương
trình vi phân (hay vi – tích phân) tuyến tính có hệ số hằng. Do
)(/ sYsdtyd
kkk
Û
, nên
có thể chuyển phương trình vi phân sang dạng đại số để có
)(sY
. Tiếp đến dùng phép
biến đổi nghịch để tìm
)(ty
. Xem thì dụ sau

■ Thí dụ 6.9:
Giải phương trình vi phân tuyến tính bậc hai
)()1()()65(
2
tfDtyDD +=++ (6.42a)
Nếu điều kiện đầu 1)0(2)0( ==

yy
&
và ngõ vào )()(

4
tuetf
t-
=
Phương trình là

)()(65
2
2
ff
dt
df
ty
dt
dy
dt
yd
+=++
(6.42b)
Đặt
)()( sYty
Û
, thì theo phương trình (6. 34)
2)()0()()0()( -=-=-Û

ssYyssYyssY
dt
dy

12)()0()0()(
22
2
2
= Û

ssYsysysYs
dt
yd
&

Do )()(
4
tuetf
t-
=
4
1
)(
+
=
s
sF
, và
4
0
4
)0()(
+
=-

+
=-Û
-
s
s
s
s
fssF
dt
df

Lấy biến đổi Laplace phương trình (6.42b)

4
1
4
)(6]2)([5]12)([
2
+
+
+
=+-+
s
s
s
sYssYssYs
(6.43a)

(
)

4
1
)112()(65
2
+
+
=+-++
s
s
ssYss (6.43b)

)4)(3)(2(
45202
)4)(65(
45202
)(
2
2
2
+++
++
=
+++
++
=
sss
ss
sss
ss
sY

Phân tích
4
2/3
3
3
2
2/13
)(
+
-
+
-
+
=
s
s
s
sY
, hay

(
)
)()2/3(3)2/13()(
432
tueeety
ttt
=
(6.44) ■
Thí dụ trên trình bày phương pháp giải phương trình vi phân tuyến tính, hệ số

hằng dùng phương pháp biến đổi Laplace. Phương pháp này còn có thể dùng giải các
phương trình vi phân hệ số hằng có bậc cao hơn.

Đáp ứng ngõ vào –zêrô và trạng thái – zêro.
Phương pháp dùng biến đổi Laplace cho đáp ứng chung, bao gồm đáp ứng ngõ
vào – zêrô và đáp ứng trạng thái – zêrô. Nếu muốn, ta có thể tách ra hai thành phần. Thừa
số điều kiện đầu trong đáp ứng cho thấy đáp ứng ngõ vào – zêrô. Thí dụ, trong thí dụ 6.9,
thừa số do điều kiện đầu 2)0( =
-
y và 1)0( =
-
y
&
trong phương trình (6.43a) tạo đáp ứng
ngõ vào –zêrô. Các điều kiện đầu này là thừa số
)112(
+
-
s
trong phương trình (6.43b).
Thừa số bên phải hoàn toàn do ngõ vào tạo ra. Phương trình (6.43b) được viết lại thành:


)65)(4(
1
65
112
)(
22
+++

+
+
++
+
=
sss
s
ss
s
sY


= thành phần ngõ vào – zêrô + thảnh phần trạng thái – zêrô

ú
û
ù
ê
ë
é
+
-
+
+
+
-
+
ú
û
ù

ê
ë
é
+
-
+
=
4
)2/3(
3
2
2
)2/1(
3
5
2
7
sssss


Lấy biến đổi Laplace nghịch

)()
2
3
2
2
1
()()57()(
43232

tueeetueety
ttttt
-+-+-=

= đáp ứng ngõ vào –zêrô + đáp ứng trạng thái - zêrô

Nhận xét về điều kiện đầu tại 0
-
và 0
+
.
Các điều kiện đầu trong thí dụ 6.9 là 2)0( =
-
y và 1)0( =
-
y
&
. Khi ta thế
0
=
t

vào đáp ứng chung trong phương trình (6.44), ta có
2)0(
=
y
và
2)0(
=
y

&
, là kỳ lạ với
điều kiện đầu. Tại sao? Lý do là điều kiện đầu cho tại
-
= 0t
(trước khi có ngõ vào). Đáp
ứng trạng thái –zêrô là kết quả của ngõ vào
)(tf
tại
0
=
t
. Như thế, thành phần này chưa
tồn tại ở
-
= 0t
. Vậy, điều kiện đầu tại
-
= 0t
chỉ dùng cho đáp ứng ngõ vào –zêrô , chứ
không dùng cho đáp ứng chung. Thông thường thì đáp ứng chung có điều kiện đầu tại
+
= 0t
, khác với điều kiện đầu tại
-
= 0t
.

Ngoài ra còm có phiên bản L
+

của biến đổi Laplace, dùng điều kiện đầu tại
+
= 0t

thay vì
-
0
(như đang thảo luận L
-
tại đây). Dạng L
+
, thịnh hành trong nhửng năm sáu
mươi của thế kỹ trước, giống phiên bản L
-
trừ cận lấy tích phân là từ 0
+
đến ¥. Do đó, từ
định nghĩa thì, gốc
0
=
t
bị loại khỏi vùng làm việc. Phiên bản này, tuy còn dùng trong
một số tài liệu toán học, nhưng gặp rất nhiều khó khăn. Thí dụ, trường hợp này sẽ cho
biến đổi Laplace của
)(t
d
là zêrô do
0)(
=
t

d
tại
0
³
t
. Hơn nữa, xu hướng này cũng
không dùng được cho nghiên cứu lý thuyết về hệ thống tuyến tính do phương pháp không
cho phép chia đáp ứng chung thành hai thành phần đáp ứng ngõ vào – zêro và đáp ứng
trạng thái – zêrô. Như đã biết, thì thành phần đáp ứng trạng thái – zêrô biểu diễn đáp ứng
của hệ thống theo ngõ vào, tuy chưa biết dạng của ngõ vào, nhưng có thể biết về ảnh