TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG - LẤY MẨU TÍN HIỆU

CHƯƠNG 7: LẤY MẨU TÍN HIỆU

Nội dung
5.1 Định lý lấy mẩu
5.2 Tính biến đổi Fourier: Biến đổi Fourier rời rạc (DFT)
5.3 Biến đổi Fourier nhanh (FFT)
5.4 Phụ chương 5.1
5.5 Tóm tắt

Tài liệu tham khảo:
B.P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998

Lấy mẩu
Tín hiệu liên tục có thể được xử lý bằng cách xử lý các mẩu của tín hiệu qua hệ
thống rời rạc. Điều cần thiết là phải duy trì tốc độ lấy mẩu tín hiệu đủ lớn để khôi phục
tốt tín hiệu (không có sai số hay sai số với độ dung sai chấp nhận được). Điều này có thể
thực hiện được dùng định lý lấy mẩu.

5.1 Định lý lấy mẫu
Ta sẽ chứng minh là tín hiệu thực có phổ băng thông giới hạn B Hz [F(
w
)= 0 với
B
pw
2> ] có thể được khôi phục chính xác (không có sai số nào) từ các tốc độ lấy mẩu
đồng đều với tốc độ F
s
> 2B mẩu/giây. Nói cách khác, tốc dộ lấy mẩu tối thiểu là F
s
= 2B
Hz.

Để chứng minh định lý lấy mẩu, xét tín hiệu f(t) (hình 5.1a) có phổ giới hạn B Hz
(hình 5.1b). Để thuận tiện, ta vẽ phổ là hàm theo w cũng như theo F (Hz). Lấy mẩu f(t)
với tốc độ F
s
Hz (F
s
mẩu/giây) có thể thực hiện bằng cách nhân f(t) với chuỗi xung
d
T
(t)
(hình 5.1c), gồm các xung đơn vị lặp lại theo chu kỳ T giây, với T =1/F
s
. Kết quả là tín
hiệu được lấy mẫu )(tf vẽ trong hình 5.1d, là tín hiệu gồm các xung cách nhau từng T
giây (thời gian lấy mẫu). Xung thứ n, nằm tại t = nT, có cường độ f(nT), là giá trị của f(t)
tại t = nT.

å
-==
n
T
nTtnTfttftf )()()()()(
dd
(5.1)
Để tìm )(
w
F , biến đổi Fourier của )(tf , ta lấy biến đổi Fourier của vế phải phương trình
(5.3) từng thừa số một. Biến đổi của thừa số thứ nhất trong ngoặc là F(

w
). Biến đổi của
thừa số thứ hai ttf
s
w
cos)(2 là F(
w
–
w
s
) + F(
w
+
w
s
) (xem phương trình (4.41), cho
thấy phổ F(
w
) dời
w
s
và –
w
s
. Tương tự, biến đổi Fourier của thừa số thứ ba
ttf
s
w
2cos)(2 là F(
w

–2
w
s
) + F(
w
+2
w
s
), cho thấy phổ F(
w
) dời 2
w
s
và –2
w
s
, và tiếp
tục cho tới vô hạn. Điều này tức là phổ
)(
w
F
gồm F(
w
) lặp lại theo chu kỳ ws = 2p/T
rad/s, hay F
s
= 1/T Hz, như vẽ trong hình 5.1e. Ngoài ra còn có thêm hằng số nhân 1/T
trong phương trình (5.3). Do đó

å

¥
-¥=
-=
n
s
nF
T
F )(
1
)(
www
(5.4)
Nếu muốn khôi phục f(t) từ )(tf , ta phải khôi phục được F(
w
) từ )(
w
F . Có thể
khôi phục được nếu không có trùng lắp giữa các chu kỳ liên tiếp của )(
w
F . Hình 5.1e
cho thấy cần có
F
s
> 2B (5.5)
Đồng thời, thời gian lấy mẩu T =1/F
s
. Do đó

B
T

2
1
£
(5.6)
¢ Thí dụ 5.1
Trong thí dụ này, ta xét ảnh hưởng của tín hiệu khi lấy mẩu theo tốc độ Nyquist,
thấp hơn tốc độ Nyquist (lấy mẩu thiếu), cao hơn tốc độ Nyquist (lấy mẩu lố). Xét tín
hiệu
)5(sin)(
2
tctf
p
=
(hình 5.2a) có phổ
(
)
p
w
w
20
2,0)( D=F
(hình 5.2b). Băng thông của
tín hiệu là 5 Hz (10p rad/s). Như thế, tốc độ Nyquist là 10Hz; tức là, ta phải lấy mẩu tín
hiệu với tốc độ không nhỏ hơn 10 mẩu/s. Khoảng Nyquist là T = 1/2B = 0,1 giây.
Nhắc lại là phổ của tín hiệu đã lấy mẩu gồm
(
)
(
)
p

w
w
20
2
)(/1 D=
T
FT lặp lại theo chu
kỳ bằng với tần số lấy mẩu F
s
Hz. Ta trình bày thông tin này trong bảng sau với tốc độ
lấy mẩu F
s
= 5Hz (lấy mẩu thiếu). 10Hz (tốc độ Nyquist) và 20Hz (lấy mẩu lố).

Tần số lấy mẩu F
s

Thời gian lấy mẩu T
(1/T)F(
w
)
Nhận xét
5 Hz 0,2
(
)
p
w
20
D

Lấy mẩu thiếu
10 Hz 0,1
(
)
p
w
20
2D

Tốc độ Nyquist
20 Hz 0,05
(
)
p
w
20
4D
Lấy mẩu lố

Trong trường hợp đầu (lấy mẩu thiếu), tốc độ lấy mẩu là 5Hz (5 mẩu/giây) , và phổ
)(
1
w
F
T
lặp lại sau mỗi 5Hz (10p rad/s). Các phổ liên tiếp trùng lắp, như vẽ trong hình
5.2d, và phổ F(
w
) không thể được khôi phục từ )(
w

F ; tức là f(t) không thể được khôi
phục




từ các mẩu
)(tf
trong hình 5.2c. Trường hợp thứ hai, khi dùng tốc độ lấy mẫu Nyquist
10Hz (hình 5.2e). Phổ
)(
w
F
gồm các thành phần phổ
)(
1
w
F
T
không trùng lắp lặp lại
từng 10 Hz. Do đó, phổ F(
w
) có thể được khôi phục từ
)(
w
F
dùng mạch lọc thông thấp
lý tưởng có băng thông 5 Hz (hình 5.2f). Sau cùng, trường hợp cuối là lấy mẩu lố (tốc độ
lấy mẩu 20Hz); phổ F(
w

) gồm các gồm các thành phần phổ
)(
1
w
F
T
không trùng lắp (lặp
lại từng 20 Hz) với các băng tần trống giữa các chu kỳ liên tiếp. Do đó, phổ F(
w
) có thể
được khôi phục từ )(
w
F dùng mạch lọc thông thấp lý tưởng hay mạch lọc thực tế cũng
được (tín hiệu vẽ chấm trong hình 5.2h). ¢
r Bài tập E5.1
Tìm tốc độ Nyquist là khoảng Nyquist cho tín hiệu:
(a) sinc(100pt) và sinc(100pt) + sinc(50pt) .
Đáp số: khoảng Nyquist là 0,01 giây và tốc độ Nyquist là 100Hz cho cả hai tín hiệu. s



5.1-1 Khôi phục tín hiệu: Công thức nội suy
Quá trình khôi phục tín hiệu liên tục f(t) từ các mẩu còn được gọi là phép nội suy.
Trong phần 5.1, ta thấy tín hiệu f(t) có băng thông giới hạn B Hz có thể được khôi phục
(nội suy) chính xác từ các mẩu của mình. Quá trình khôi phục bằng cách cho tín hiệu đã
lấy mẩu qua mạch lọc thông thấp lý tưởng có băng thông B Hz. Từ phương trình (5.3), tín
hiệu đã lấy mẩu chứa các thành phần (1/T)f(t) và để khôi phục được f(t) (hay F(w)), thì
tín hiệu đã lấy mẩu phải qua mạch lọc lý tưởng có băng thông B Hz và độ lợi T. Do đó,
hàm truyền của bộ lọc khôi phục (hay nội suy) là:

÷
ø
ö
ç
è
æ
=
B
TrectH
p
w
w
4
)(
(5.7)
Quá trình nội suy được biểu diễn trong miền tần số như là tác động lọc. Ta xem xét tiếp
quá trình này từ quan điểm khác, tức là trong miền thời gian.
Để bắt đầu, ta hảy xét mạch lọc cực kỳ đơn giản có đáp ứng xung là
(
)
T
t
rect
, vẽ
trong hình 5.3a. Đây là xung cổng (gate pulse) có tâm tại gốc, có chiều cao đơn vị, và độ
rộng T (thời gian lấy mẩu). Ta tìm ngõ ra của bộ lọc khi ngõ vào là tín hiệu đã lấy mẩu
)(tf
, Từng mẩu của
)(tf
, đã được biến thành xung, tạo ngõ ra là xung cổng với chiều

cao bằng với cường độ của mẩu. Thí dụ, mẩu thứ k là xung có cường độ f(kT) nằm tại
kTt
-
và có thể viết thành
)()( kTtkTf
-
d
. Khi xung qua bộ lọc, tạo ra ngõ ra là xung
cổng có cao độ f(kT), tâm tại t = kT (phần nét gián đoạn trong hình 5.3b). Từng mẩu
trong )(tf sẽ tạo ra xung cổng tương ứng tại ngõ ra bộ lọc dạng xấp xỉ hình bậc thang
của f(t), vẽ trong phần chấm trong hình 5.3b. Bộ lọc cho ta dạng thô của phép nội suy.
Hàm truyền H(w) của bộ lọc là biến đổi Fourier của đáp ứng xung
(
)
T
t
rect . Giả
sử, ta dùng tốc độ Nyquist; tức là T = 1/2B.

)2()( Btrect
T
t
rectth =
÷
ø
ö
ç
è
æ
=

Và

÷
ø
ö
ç
è
æ
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
BB
T
cTH
42
1
2
sin)(
ww
w
(5.8)
Đáp ứng biên độ )(
w
H của bộ lọc này, như vẽ trong hình 5.3c, giải thích lý do về tính

thô của phép nội suy. Bộ lọc này, còn được gọi là mạch lọc giữ bậc zêrô (zero hold filter),
dạng xấu nhất của mạch lọc thông thấp lý tưởng (phần tô bóng trong hình 5.3c) cần có
cho phép nội suy chính xác.

Ta có thể cải thiện dạng mạch lọc bậc zêrô bằng cách dùng mạch lọc giử bậc một
(first order hold filter), cho ta phép nội suy tuyến tính thay vì dạng nội suy theo bậc
thang. Bộ nội suy tuyến tính này, với đáp ứng xung là xung tam giác
(
)
T
t
2
D , cho phép xấp
xỉ với đỉnh các mẩu được nối nhau bằng đường thẳng (xem bài tập 5.1-5).
Hàm truyền bộ lọc nội suy lý tưởng lấy từ phương trình (5.7) và vẽ trong hình 5.4a.
Đáp ứng xung của bộ lọa này là biến đổi Fourier nghịch của H(w) là

)2(sin2)( BTcBTth
p
=
(5.9a)

Giả sử lấy mẩu với tốc độ lấy mẩu Nyquist; tức là 2BT =1, thì

)2(sin)( BTcth
p
=
(5.9b)

å

-=
k
kTthkTftf )()()(


å
-=
k
kTtBckTftf )](2[sin)()(
p
(5.10a)

å
-=
k
kBtckTftf )2(sin)()(
pp
(5.10b)
Phương trình (5.10) là công thức nội suy, tìm các giá trị của f(t) giữa các mẩu là phép
cộng dồn (weighted sum) mọi giá trị mẩu.

¢ Thí dụ 5.2
Tìm tín hiệu f(t) với băng thông giới hạn B Hz, và có các mẩu là
f(0) = 1 và f(±T) = f(±2T) = f(±3T) = . . . = 0
trong đó khoảng lấy mẩu là khoảng Nyquist của f(t); tức là T = 1/2B.
Dùng công thức nội suy (5.10b) để khôi phục f(t) từ các mẩu. Do tất cả các mẩu Nyquist
đều là zêrô, trừ một mẩu (tương ứng với k = 0) trong tổng bên vế phải của phương trình
(5.10b). Do đó
f(t) = sinc (2pBt)
Tín hiệu này được vẽ trong 5.4b. Quan sát thấy là chỉ tín hiệu có băng thông B Hz và giá

trị mẩu là f(0) = 1 và f(nT) = 0 (n ¹ 0). Các tín hiệu khác không thỏa được các điều kiện
này. ¢

5.1-2 Khó khăn thực tế khi khôi phục tín hiệu


Nếu tín hiệu được lấy mẩu với tốc độ Nyquist F
s
= 2B Hz, phổ )(
w
F bao gồm
F(
w
) được lặp lại nhiều lần mà không có khoảng hở giữa các chu kỳ kế tiếp, như vẽ trong
hình 5.5a. Như đã thấy trong phần 4.5, thì mạch lọc này là dạng không thực hiện được;
mà chỉ có thể xấp xỉ gần đúng dùng vô số các khâu trễ trong đáp ứng. Nói cách khác, ta
có thể khôi phục lại tín hiệu f(t) từ các mẩu dùng dùng vô số các khâu trễ. Một giải pháp
thực tế là lấy mẩu tín hiệu với tốc độ cao hơn tốc độ Nyquist (F
s
> 2B hay
)4 B
s
pw
>
.
Kết quả là
)(
w
F
, bao gồm F(

w
) được lặp lại nhiều lần với một số hữu hạn các khoảng
hở giữa các chu kỳ kế tiếp, như vẽ trong hình 5.5b. Có thể khôi phục F(
w
) từ
)(
w
F

dùng mạch lọc thông thấp có đặc tính ngắt chậm (từ từ), vẽ đường chấm trong hình 5.5b.
Nhưng ngay cả trong trường hợp này, độ lợi mạch lọc phải là zêrô sau chu kỳ thức nhất
của F(
w
) (xem hình 5.5b). Theo tiêu chuẩn Paley-Wiener, thì không thể thực hiện được
mạch lọc này. Ưu điểm duy nhất trong trường hợp này là ta có thể xấp xỉ mạch lọc cần có
dùng số khâu trễ ít nhất. Điều này cho thấy là trong thực tế không thể khôi phục chính
xác được tín hiệu f(t) có băng thông giới hạn từ các mẩu của tín hiệu, ngay cả khi tốc độ
lấy mẩu có cao hơn tốc độ Nyquist đi nữa. Tuy nhiên, khi tốc độ lấy mẩu càng tăng thì tín
hiệu khôi phục càng gần với tín hiệu mong muốn.

Sự bội bạc của trùm phổ (The treachery of aliasing)
Trong thực tế, khi khôi phục tín hiệu từ các mẩu còn một khó khăn cơ bản khác.
Định lý lấy mẩu vừa chứng minh đã dựa trên giả thiết là tín hiệu có băng thông giới hạn.
Các tín hiệu thực tế đều có thời gian giới hạn; tức là có độ rộng xung hữu hạn. Ta có thể
chứng minh (xem bài tập 5.1-10) là tín hiệu không thể đồng thời vừa có thời gian giới
hạn và băng thông giới hạn. Nếu tín hiệu có thời gian giới hạn, thì không thể có băng
thông giới hạn và ngược lại (nhưng tín hiệu có thể có thời gian không giới hạn và băng
thông không giới hạn). Rõ ràng, mọi tín hiệu thực tế, cần có thời gian giới hạn, thì băng
thông không hạn chế; chúng có băng thông vô hạn, và phổ )(
w

F gồm các chu kỳ chồng
lắp của F(
w
) lặp lại mỗi F
s
Hz (tần số lấy mẩu) như vẽ trong hình 5.6. Do có băng thông
vô hạn trong trường hợp này, nên chồng lắp phổ là đặc trưng không thay đổi, bất chấp tốc
độ lấy mẩu. Do có phần đuôi chồng lắp, nên )(
w
F không còn đủ thông tin về F(
w
), và
không còn khả năng, ngay cả trong lý thuyết, để khôi phục f(t) từ các tín hiệu đã lấy mẩu
)(tf
. Nếu tín hiệu lấy mẩu đi qua mạch lọc thông thấp lý tưởng, thì ngõ ra không phải là
F(
w
) mà là một phiên bản F(
w
) bị méo dạng do hai nguyên nhân riêng biệt sau:
1. Phần đuôi của F(
w
) bị mất khi |F| > F
s
/2 Hz;
2. Phần đuôi này tái xuất hiện với dạng gấp lại trong phổ. Chú ý là phổ ngang qua F
s
/2
= 1/2T Hz. Tần số này được gọi là tần số gấp lại. Do đó, phổ tự gấp lại tại tần số gấp
lại. Thí dụ, thành phần tần số F

s
/2+ F
x
+ F
x
lộ diện để “đóng vai” thành phần tần số
thấp hơn (F
s
/2) – F
x
trong tín hiệu khôi phục được. Do đó, thành phần tần số cao
hơn (F
s
/2) lại tái xuất hiện như là thành phần tần số thấp hơn (F
s
/2). Yếu tố đảo
phần đuôi được gọi là gấp phổ (spectral folding) hay trùm phổ (aliasing), vẽ phần
tô bóng trong hình 5.6. Trong qua trình trùm phổ này, ta không chỉ mất mọi thành
phần tần số cao hơn (F
s
/2) Hz, nhưng các thành phần này lại tái hiện (trùm phổ) như
thành phần tần số thấp. Sự xuất hiện lại này còn phá hủy tính toàn vẹn của các thành
phần tần số thấp, như vẽ trong hình 5.6.

Giải pháp: Bộ lọc chống trùm phổ
Thực hiện như sau, ta biết nguy cơ tiềm tàng nằm ở các thành phần tần số lớn hơn
(F
s
/2) = (1/2T) Hz. Ta cần loại bớt (triệt) các thành phần này khỏi f(t) trước khi lấy mẩu
f(t). Theo phương pháp này, ta chỉ mất các thành phần lớn hơn tần số gấp (F

s
/2)Hz; do đó
các thành phần này không thể tái hiện để làm hỏng các thành phần có tần số thấp hơn tần
số gấp. Các thành phần tần số cao được lọc nhờ mạch lọc thông thấp lý tưởng có băng
thông là (F
s
/2)Hz. Bộ lọc này được gọi là bộ lọc trùm phổ. Chú ý là phải thực hiện việc
chống trùm phổ trước khi lấy mẩu tín hiệu.
Bộ lọc chống trùm phổ là mạch lọc lý tưởng nên không thực hiện được. Trong thực
tế, ta dùng mạch lọc có tần số cắt dạng dốc đứng, nhằm làm suy giảm sắc nét các phổ
còn sót lại của tần số gấp (F
s
/2).


Lấy mẩu thực tế
Khi chứng minh định lý lấy mẩu, ta giả sử các mẩu lý tưởng có được bằng cách nhân
tín hiệu f(t) với chuỗi xung có độ rộng hữu hạn, vẽ trong hình 5.7b. Tín hiệu lấy mẩu
được vẽ trong hình 5.7c. Điều kinh ngạc là ta có thể khôi phục hay tái tạo tín hiệu f(t) từ
tín hiệu lấy mẩu
)(tf
trong hình 5.7c. Đáng ngạc nghiên hơn là tốc độ lấy mầu lại không
thấp hơn tốc độ Nyquist. Tín hiệu f(t) có thể khôi phục bằng các cho
)(tf
qua lọc thông
thấp dù nó đã được lấy mẩu dùng chuỗi xung.
Kết quả này có vẽ đáng tin cậy khi ta xét thực tế là việc khôi phục f(t) đòi hỏi kiến
thức về giá trị của mẩu Nyquist. Thông tin này có sẳn hay nằm trong tín hiệu lấy mẩu
)(tf
trong hình 5.7c do cường độ của mẩu thứ k là f(kT). Để chứng minh điều này một

cách giải tích, ta thấy là chuỗi xung lấy mẩu p
T
(t) vẽ trong hình 5.7b, là tín hiệu tuần
hoàn, có thể biểu diễn thành chuỗi Fourier

å
¥
=
++=
1
0
)cos()(
n
nsnT
tnCCtp
qw

T
s
p
w
2
=

Và

ú
û
ù
ê

ë
é
++==
å
¥
=1
0
)cos()()()()(
n
nsnT
tnCCtftptftf
qw


å
¥
=
++=
1
0
)cos()()(
n
nsn
tntfCtfC
qw
(5.11)
Tín hiệu đã lấy mẩu
)(tf
gồm có
)(

0
tfC
,
),cos()(
11
qw
+ttfC
s

),2cos()(
22
qw
+ttfC
s

…. Chú ý là thừa số thứ nhất
)(
0
tfC
là tín hiệu mong muốn và tất cả các thừa số khác
đều là tín hiệu điều chế với phổ có tâm tại ±w
s
, ±2w
s
, ±3w
s
, . . . , như vẽ trong hình 5.7e.
Rõ ràng tín hiệu f(t) có thể được khôi phục bằng cách cho )(tf qua mạch lọc thông thấp,
để có w
s

> 4pB ( hay F
s
> 2B).




¢ Thí dụ 5.3
Để minh họa việc lấy mẩu thực tế, xét tín hiệu
)5(sin)(
2
tctf
p
=
được lấy mẩu dùng
chuỗi xung vuông
)(tp
T
vẽ ở hình 5.8c. Chu kỳ của
)(tp
T
là 0,1 giây, để có tần số cơ
bản là 10Hz. Do đó
pw
20=
s
. Chuỗi Fourier của
)(tp
T
có thể biểu diễn thành

å
¥
=
+=
1
0
cos)(
n
snT
tnCCtp
w

Dùng phương trình (3.66) ta có
4
1
0
=C và
(
)
4
2
sin
p
p
n
n
n
C = ; tức là
,

4
1
0
=C

,
2
1
p
=C

,
1
2
p
=C

,
3
2
3
p
=C
,0
4
=C
K,
5
2
5

p
-=C


Do đó

L++++== ttfttfttftftptftf
T
p
p
p
p
p
p
60cos)(
3
2
40cos)(
1
20cos)(
2
)(
4
1
)()()(

Và
)]40()04([
2
1

)]20()20([
2
1
)(
4
1
)(
pwpw
p
pwpw
p
ww
++-+++-+= FFFFFF

L+++-+ )]60()06([
23
1
pwpw
p
FF
Trong trường hợp này
(
)
p
w
w
20
2,0)( D=F . Phổ )(
w
F vẽ trong hình 5.8e. Quan sát thấy

phổ gồm
)(
w
F
được lặp lại theo chu kỳ 20p rad/s (10Hz). Do đó, không có trùng lắp
giữa các chu kỳ, và
)(
w
F
có thể được khôi phục dùng bộ lọc thông thấp lý tưởng với
băng thông 5 Hz. Bộ lọc thông thấp lý tưởng có độ lợi đơn vị (và băng thông 5 Hz) sẽ
cho phép thừa số thứ nhất bên vế phải của phương trình trên đi qua đầy đủ và triệt mọi
thừa số khác. Do đó, ngõ ra y(t) là
)(
4
1
)( tfty = ¢



5.3-1 Một số ứng dụng của định lý lấy mẩu
Định lý lấy mẩu rất quan trọng trong phân tích, xử lý và truyền dẫn tín hiệu do cho
phép ta thay thế tín hiệu liên tục theo thời gian bằng chuỗi rời rạc các số. Do đó, việc xử
lý tín hiệu liên tục tương đương với việc xử lý chuỗi rời rạc các số. Phép xử lý này đưa
ta đến lĩnh vực lọc số. Trong lĩnh vực thông tin, việc truyền các bản tin liên tục theo thời
gian rút lại thành việc truyền các chuỗi số dùng chuỗi xung. Tín hiệu liên tục theo thời
gian f(t) được lấy mẩu và các giá trị mẩu được dùng thay đổi một số tham số của chuỗi
xung tuần hoàn. Ta có thể thay đổi biên độ (hình 5.9b), độ rộng (hình 5.9c), vị trí (hình
5.9d) của xung tỉ lệ với các giá trị mẩu của tín hiệu f(t). Từ đó, ta có phương pháp điều
chế biên độ xung (PAM: pulse-amplitude modulation), điều chế độ rộng xung (PWM:

pulse-width modulation), hay điều chế vị trí xung (PPM: pulse-position modulation).
Dạng điều chế xung quan trọng nhất hiện nay là điều chế xung mã (PCM: pulse-code
modulation). Trong mọi trường hợp, thay vì truyền tín hiệu f(t), ta truyền tín hiệu điều
chế xung tương ứng. Tại máy thu, ta độc thông tin từ tín hiệu hiệu điều chế xung và khôi
phục tín hiệu analog f(t).


Một ưu điểm của điều chế xung là cho phép truyền đồng thời nhiều tín hiệu trên cơ sở
chia sẻ thời gian (ghép kênh bằng cách phân chia theo thời gian TDM: time-division
multiplexing). Do tín hiệu điều chế xung chỉ chiếm một phần thời gian của kênh truyền,
nên ta có thể truyền nhiều tín hiệu điều chế xung trên cùng một kênh bằng cách chuyển vị
(inter-weaving) chúng. Hình 5.10 vẽ phương pháp ghép kênh hai tín hiệu PAM dùng
phương pháp TDM. Dùng phương pháp này, ta có thể ghép kênh nhiều tín hiệu trên cùng
một kênh truyền bằng cách giảm độ rộng xung.
Một phương pháp khác để truyền đồng thời nhiều tín hiệu analog (baseband) là
phương pháp ghép kênh bằng cách phân chia theo tần số (FDM: frequency - division
multiplexing), thảo luận trong phần 4.8-4. Trong phương pháp FDM, nhiều tín hiệu được
truyền đồng thời dùng phương pháp chia sẻ khổ sóng của kênh truyền. Phổ của từng bản
tin được dời đến dải tần đặc thù, chưa bị các tín hiệu khác chiếm. Thông tin của nhiều tín
hiệu được đặt trong các dải tần số không trùng lắp của kênh (hình 4.45). Có thể xem
TDM và FDM là dạng đối ngẫu của nhau.

Điều chế xung mã (PCM: Pulse Code Modulation)
PCM rất hữu ích và được dùng rộng rãi nhất trong các phương thức điều chế xung
vừa nêu. Về cơ bản PCM là phương pháp chuyển đổi tín hiệu analog thành tín hiệu số
(chuyển đổi A/D). Một tín hiệu analog có đặc trưng là biên độ có thể có giá trị bất kỳ
trong một tầm liên tục. Do đó, tín hiệu analog có thể có vô hạn các giá trị. Ngược lại,
biên độ tín hiệu số chỉ có thể có số hữu hạn các giá trị. Một tín hiệu analog có thể được
chuyển đổi thành tín hiệu số bằng cách lấy mẩu và lượng tử hóa (làm tròn). Nếu chỉ lấy
mẩu tín hiệu analog không, thì cũng chưa có tín hiệu số do tín hiệu đã lấy mẩu vẩn còn có

nhiều giá trị bất kỳ trong một tầm liên tục. Để số hóa tín hiệu này thì cần có quá trình
lượng tử hóa, để biên độ này nằm trong khoảng lượng tử như vẽ trong hình 5.11a.





Các biên độ của tín hiệu analog f(t) nằm trong tầm (– V, V). Tầm này là được chia thành
L khoảng con, có biên độ là rv = 2V/L. Tiếp đến, mỗi mẩu biên độ được xấp xỉ dùng giá
trị trung điểm của khoảng con của mẩu đang giảm (xem hình 5.11a với L = 16). Rõ ràng
là mỗi mẩu được xấp xỉ với một trong L giá trị. Như thế, tín hiệu được số hóa với các
mẩu lượng tử là một trong L giá trị. Các tín hiệu này là tín hiệu số L – phân (L – ary ).
Theo quan điểm thực tế, tín hiệu nhị phân (là tín hiệu chỉ có hai giá trị) là tín hiệu rất
hấp dẫn do tính đơn giản, kinh tế và dễ sử dụng trong kỹ thuật. Ta có thể chuyển đổi tín
hiệu L – phân thành tín hiệu nhị phân dùng phương pháp mã hóa xung. Hình 5.11b vẽ mã
trong trường hợp L = 16. Mã này, dùng biểu diễn nhị phân của hệ octal từ 0 đến 15, được
gọi là mã nhị phân tự nhiên (NBC: natural binary code). Còn có nhiều phương pháp
khác để mã hóa nhị phân. Mỗi mức trong 16 mức được truyền đi với một mã nhị phân 4
bit. Để truyền dữ liệu nhị phân này, ta cần định nghĩa các dạng xung riêng biệt để chỉ thị
các trạng thái nhị phân. Một khả năng là dùng dạng xung âm cho bit 0 và xung dương
cho bit 1 để các mẩu có thể được truyền đi thành nhóm 4 bit nhị phân, như vẽ trong hình
5.11b. Tín hiệu có được là tín hiệu PCM. Tín hiệu analog f(t) được chuyển đỗi thành tín
hiệu số (nhị phân). Tín hiệu nhị phân được gọi là bit, hiện đang là dạng viết tắt trong
chuẩn công nghiệp.

Băng thông của tín hiệu âm thanh vào khoảng 15kHz, nhưng nhiều thử nghiệm cho
thấy tín hiệu phát âm rõ (nghe được rõ) không bị ảnh hưởng nếu các thành phần tần số
cao hơn 3400Hz bị loại bỏ. Do mục tiêu của thông tin điện thoại là nghe được rõ chứ
không trung thực (hi-fi), nên các thành phần có tần số cao hơn 3400Hz được lọc bỏ
dùng bộ lọc thông thấp. Tín hiệu sau đó được lấy mẩu với tốc độ 800 mẩu trong một giây

(8 kHz). Tốc độ này cố tình cao hơn tốc độ Nyquist là 6,8 kHz để tránh phải có các mạch
lọc không thực hiện được khi khôi phục tín hiệu. Sau cùng mỗi mẩu được lượng tử thành
256 mức (L = 256), cần có nhóm 8 xung nhị phân để mã hóa các mẩu (2
8
=256). Do đó,
tín hiệu điện thoai số hóa gồm 8 x 8000 = 64000 hay 64 kbits/s dữ liệu, cần có 64.000
xung nhị phân trong một giây khi truyền.
Đĩa CD là ứng dụng của PCM. Đây là tình huống dùng cho tín hiệu âm thanh hi-fi
có băng thông 15 kHz. Dù tốc độ lấy mẩu Nyquist chỉ là 30 kHz, hiện người ta dùng tốc
độ lây mẩu 44,1 kHz như lý do đã trình bày trước đây. Tín hiệu được lượng tử với số
lượng lớn các mẩu (L = 65.536) nhằm giảm sai số do lượng tử. Các mẩu được mã hóa nhị
phân rồi ghi vào CD.

Ưu điểm của tín hiệu số
Một số ưu điển của tín hiệu số so với tín hiệu analog được liệt kê dưới đây:
1. Truyền tín hiệu số ưu việt hơn so với tín hiệu analog do tín hiệu số có tính chống
nhiễu kênh truyền và méo tốt hơn nhiều (khi nhiễu và méo nằm trong giới hạn). Bản
tin tín hiệu số (nhị phân) trong hình 5.12a bị méo dao kênh truyền, như vẽ trong hình
5.12b. Nếu méo nằm trong giới hạn, ta có thể khôi phục dữ liệu mà không bị lỗi do
chỉ cần có quyết định nhị phân khi nhận được xung dương hay xung âm. Hình 5.12c
vẽ cùng dữ liệu với méo do kênh truyền và nhiễu. Trường hợp này dữ liệu có thể
được khôi phục chính xác bao lâu mà méo và nhiễu kênh truyền cón nằm trong giới
hạn. Điều này khác với trường hợp tín hiệu analog, khi với nhiễu hay méo dạng bất
kỳ, sẽ làm sái dạng tín hiệu thu được.



2. Tuy nhiên, ưu điểm lớn nhất của truyền dẫn tín hiệu số so với truyền dẫn analog là
khả năng tái tạo lại tín hiệu. Khi truyền dẫn analog, một tín hiệu bản tin khi truyền
qua kênh (đường truyền), tín hiệu ngày càng yếu đi, trong khi nhiễu kênh truyền và

méo dạng tín hiệu, ngày càng tích lủy và tăng mạnh dần. Tín hiệu sau cùng bị áp đảo
do nhiễu và méo dạng càng bị tổn thất lớn. Khuếch đại chỉ giúp rất ít do đồng thời
tăng cường tín hiệu và nhiễu theo cùng tỉ lệ. Do đó, cự ly truyền bản tin analog bị giới
hạn bởi công suất truyền. Khi truyền đủ dài, méo kênh truyền và nhiễu tích lủy đủ để
áp đảo tín hiệu kể cả tín hiệu số. Có thể khắc phục bằng cách thiết lập các trạm lặp
(repeater) dọc theo đường truyền với cự ly đủ ngắn để có thể phát hiện xung tín hiệu
trước khi nhiễu và méo dạng có thể tích lủy đủ lớn. Mỗi trạm xung phát hiện xung là,
sạch xung và truyền tiếp đến trạm lặp kế tiếp, để thực hiện lại các bước vừa nêu. Nếu
nhiễu và méo vẫn còn nằm trong giới hạn (điều này thực hiện được do các trạm được
đặc tương đối gần nhau), xung sẽ được phát hiện chính xác. Theo phương cách này,
bản tin tín hiệu số có thể được truyền trên cự ly dài với độ tin cậy cao. Ngược lại, bản
tin analog không thể làm sạch tín hiệu một cách tuần hoàn, nên truyền dẫn có độ tin
cậy thấp hơn. Trong PCM thì sai số có ý nghĩa nhất là sai số lượng tử. Sai số này có
thể được giảm thiểu bằng cách gia tăng mức lượng tử, với giá phải trả là làm băng
thông lớn hơn trong môi trường truyền dẫn (kênh truyền).
3. Thiết lập phần cứng số rât mềm dẽo và cho phép dùng vi xử lý, các máy tính mini,
chuyển mạch số, và mạch tích hợp cở lớn LSI.
4. Tín hiệu số có thể được mã hóa để có mức sai số thấp nhất và độ trung thực cao, cũng
như tinh bảo mật cao. Đồng thời ta cũng có thể dùng những thuật toán tinh vi để xử lý
tín hiệu số.
5. Phương pháp ghép kênh (multiplex) nhiều tín hiệu số thường dễ dàng và hiệu quả.
6. Phương thức lưu trữ tín hiệu số thường tương đối dễ và ít tốn kém. Ngoài ra còn có
khả năng tìm kiếm và chọn lọc thông tín từ xa.
7. Việc tái tạo bản tin số thường có độ tin cậy cực lớn mà không bị xấu đi. Bản tin
analog như bản photocopy hay phim, suy giảm chất lượng sau mỗi bước của nhiều
bước khôi phục, và quá trình di chuyển từ nơi nay đến nơi khác thường tốn kém.
8. Giá các phần cứng số giảm nửa sau hai hay ba năm, trong khi tính năng và dung
lượng tăng đôi với cùng thời gian này. Hiện nay các bước phát triển của công nghệ số
ngày càng nhanh và càng tinh vi. Trong những năm gần đây, ta đã thấy đĩa CD, là
thiết bị số đã làm cáo chung kỹ thuật ghi âm analog; báo chí truyền hình ảnh được

scan theo dạng số; và ngày nay đã làm nước Mỷ phải hướng về các tiêu chuẩn mới
cho truyền hình độ nét cao đối chọi lại với các chuẩn truyền hình analog từ Nhật và
Châu Âu (?!!). Ngược lại thì công nghệ analog như giấy in, viđêo, âm thanh, và phim
vẫn chưa có bước giảm giá nhanh. Dù gì đi nữa thì hiện nay công nghệ số đã và đang
thống trị các lĩnh vực như công nghệ thông tin và công nghệ lưu trữ.

Như đã nói trên, tín hiệu số có thể được tạo ra từ nhiều nguồn khác nhau. Một số
nguồn tín hiệu như máy tính đã là số. Một số nguồn là analog, nhưng đã được chuyển đổi
thành dạng số theo nhiều kỹ thuật khác nhau thí dụ như PCM.

r Bài tập E5.2
Mã ASCII (American Standard Code for Information Interchange) có 128 ký tự dạng
nhị phân. Một máy tính tạo ra 100.000 ký tự/giây. Chứng tõ là
(a) Cần có 7 bit đễ mã hóa từng ký tự
(b) Cần có 700.000 bit/giây để truyền ngõ ra của máy tính. s

5.1-3 Đối ngẫu của phép lấy mẩu theo thời gian: Định lý lấy mẩu phổ
Tương tự như các trường hợp khác, định lý lấy mẩu cũng có phần đối ngẫu. Trong
phần 5.1, ta đã thảo luận về định lý lấy mẩu theo thời gian, và đã chứng tõ được là tín
hiệu với băng thông giới hạn B Hz có thể được khôi phục từ tín hiệu được lấy mẩu với
tốc độ F
s
> 2B mẩu/giây. Chú ý là phổ tín hiệu tồn tại trong tầm tần số từ – B đến B Hz.
Do đó, 2B là độ rộng phổ (không phải là băng thông, là B) của tín hiệu. Điều này có
nghĩa là tín hiệu f(t) có thể được khôi phục từ các mẩu được lấy với tốc độ F
s
lớn hơn độ
rộng phổ (tính bằng Hz) của tín hiệu.
Đối ngẫu của định lý lấy mẩu theo thời gian là định lý lấy mẩu theo tần số. Định lý
này áp dụng cho các tín hiệu có thời gian giới hạn, là đối ngẫu của tín hiệu có băng thông

giới hạn. Ta tiếp tục chứng tõ là phổ F(
w
) của tín hiệu có thời gian giới hạn là t giây có
thể được khôi phục từ mẩu của F(
w
) được lấy với tốc độ R > t (độ rộng của tín hiệu)
mẩu/Hz.

Hình 5.13a vẽ tín hiệu f(t) có thời gian giới hạn t giây cùng biến đổi Fourier F(
w
)
của nó. Mặc dù F(
w
) thường có dạng phức, nhưng ta chỉ chứng minh cho trường hợp
F(
w
) là hàm thực là đủ.

ũũ
-
Ơ
Ơ-
-
==
t
ww
w
0
)()()( dtetfdtetfF
tjtj

(5.12)
To f
To
(t) l tớn hiu tun hon to ra bng cỏch lp li f(t) mi T
0
giõy (T
0
> t), nh
trong hỡnh 5.13b. Tớn hiu tun hon ny cú th c biu din theo chui Fourier m

ồ
Ơ
-Ơ=
=
n
tjn
nT
eDtf
0
0
)(
w

0
0
2
T
p
w
=

Trong ú (gi s t < T
0
)

ũ ũ

==
0
00
0 0
00
)(
1
)(
1
T
tjntjn
n
dtetf
T
dtetf
T
D
t
ww

Phng trỡnh (5.12) cho

)(

1
0
0
w
nF
T
D
n
=

Kt qu ny cho thy l cỏc h s ca chui Fourier ca f
To
(t) l (1/T
0
) ln cỏc giỏ tr mu
ca ph F(w) ly ti cỏc khong w
0
. iu ny tc l ph ca tớn hiu tun hon f
To
(t) l
ph F(w) c ly mu, nh v trong hỡnh 5.13b. Bao lõu m t cũn < T
0
, chu k k tip
ca f(t) xut hin trong f
To
(t) khụng b trựng lp, nờn cú th khụi phc f(t) t f
To
(t). Khụi
phc ny giỏn tip hm ý l F(w) cú th c khụi phc t cỏc mu ca mỡnh. Cỏc mu
ny phõn cỏch vi tn s c bn F

0
=1/T
0
Hz ca tớn hiu tun hon f
To
(t). iu kin
khụi phc l T
0
t; tc l
F
0
Ê (1/t) Hz
Do ú, cú th khụi phc ph F(w) t cỏc mu ca F(w), thỡ cỏc mu cn c ly
vi khong tn s khụng ln hn F
0
= (1/t) Hz. Nu R l tc ly mu (mu/Hz) thỡ
R = (1/F
0
) t mu/Hz (5.13)

Ni suy ph
Ph F(w) ca tớn hiu f(t) gii hn theo thi gian t giõy cú th c khụi phc t cỏc
mu ca F(w), Trong trng hp ny, dựng tớnh i ngu ca cụng thc ni suy tớn hiu
trong phng trỡnh (5.10). ta cú cụng thc ni suy ph

ồ
ữ
ứ
ử
ỗ

ố
ổ
-=
n
ncnFF
p
wt
ww
2
sin)()(
0

t
p
w
2
0
=
(5.14)
 Thớ d 5.4
Ph F(w) ca tớn hiu cú rng n v f(t) c ly mu ti cỏc khong 1 Hz hay 2p
rad/s (tc Nyquist). Cỏc mu l:
F(0) = 1 v F(2pn) = 0 (n = 1, 2, 3, . . . )
Dựng cụng thc ni suy (5.14) xõy dng F(w) t cỏc mu ca mỡnh. Do tt c tr
mt mu Nyquist u l zờrụ, ch cũn mt tha s (tng ng vi n = 0) trong tng bờn
v phi ca phng trỡnh (5.14). Do ú, vi F(0) = 1 v t = 1, ta cú

ữ
ứ
ử

ỗ
ố
ổ
=
2
sin)(
w
w
cF
(5.15)
Vi tớn hiu cú rng n v thỡ ch cú mt ph vi giỏ tr mu l F(0) = 1 v
F(2pn) = 0 (n ạ 0 ). Cỏc ph khỏc khụng tha cỏc iu kin ny. Â


5.2 Tìm biến đổi Fourier bằng phương pháp số - Biến đổi Fourier rời rạc DFT
Tính toán số biến đổi Fourier của f(t) cần giá trị các mẩu của f(t) do máy tính số chỉ
có thể xử lý các dữ liệu dạng rời rạc (chuỗi các số hạng). Do đó, máy tính chỉ có thể tính
F(w) tại các giá trị rời rạc của w [mẩu của F(w)]. Do đó cần có các mẩu của F(w) để lấy
mẩu f(t). Công việc này được thực hiện dùng kết quả của hai định lý đã phát triển trong
phần 5.1.
Bắt đầu với tín hiệu hữu hạn theo thời gian f(t) (hình 5.14a) và các phổ F(w) (hình
5.14b). Do f(t) bị giới hạn theo thời gian, nên F(w) không có giới hạn về băng thông. Để
thuận tiện, ta cho các phổ đều là hàm của biến tần số F (tính theo Hz) thay vì theo w.
Theo định lý lấy mẩu, thì phổ )(
w
F của tín hiệu đã lấy mẩu )(tf gồm có F(w) được lặp
lại theo F
s
(Hz) với F
s

= 1/T. Điều này được vẽ trong hình 5.14c và 5.14d. Bước tiếp
theo, tín hiệu đã lấy mẩu trong hình 5.14c được lặp lại tuần hoàn mỗi T
0
giây, như vẽ
trong hình 5.14e. Định lý lấy mẩu phổ đòi hỏi phải lấy mẩu phổ với tốc độ T
0
mẩu/Hz.
Tốc độ này tức là các mẩu cách nhau F
0
= 1/T
0
Hz , như vẽ trong hình 5.14f.
Phần thảo luận trên cho thấy là khi tín hiệu f(t) được lấy mẩu và lặp lại theo chu kỳ
thì phổ tương ứng cũng được lấy mẫu và lặp lại theo chu kỳ. Ta cần tìm quan hệ giữa tốc
độ lấy mẩu của f(t) với tốc độ lấy mẩu của F(w).

Số lượng mẩu
Hình 5.14e và 5.14f cho thấy điều thú vị là số mẩu N
0
của tín hiệu trong một chu kỳ
T
0
tại hình 5.14e giống hệt số mẩu
/
0
N của phổ trong một chu kỳ F
s
tại hình 5.14f. Lý do
là:
N

0
= (T
0
/T) và
/
0
N = (F
s
/ F
0
) (5.16a)
Nhưng, do
F
s
= 1/T và F
0
= 1/T
0
(5.16b)
N
0
= (T
0
/T) = (F
s
/ F
0
) =
/
0

N
(5.16c)

Trùm phổ và rò phổ khi tính toán số
Hình 5.14f cho thấy sự hiện diện của trùm phổ trong các mẩu của phổ F(w). Sai số
trùm phổ có thể giảm thiểu được bằng cách tăng tần số lấy mẩu F
s
(giảm khoảng lấy mẩu
T = 1/ F
s
). Tuy nhiên, không thể loại trừ hoàn toàn trùm phổ của tín hiệu có thời gian giới
hạn f(t), do có phổ F(w) không giới hạn băng thông. Nếu ta đã bắt đầu với tín hiệu có phổ
bị giới hạn về băng thông F(w), thì chúng không bị trùm phổ trong phổ ở hình 5.14f.
Điều không may là tín hiệu không bị giới hạn về thời gian và các phần lặp lại (trong hình
5.14e) sẽ làm tín hiệu bị chồng khớp (trùm phổ trong miền thời gian). Trong trường hợp
này, ta sẽ đấu tranh với sai số khi lấy mẩu tín hiệu. Nói cách khác, khi tính toán biến đổi
Fourier trực tiếp hay biến đổi nghịch bằng phương pháp số, ta có thể giảm sai số tủy ý,
nhưng không bao giờ có thể loại trừ được sai số. Đây là điều thực tế khi tính toán số biến
đồi Fourier thuận và nghịch, bất chấp phương pháp nào được dùng. Thí dụ, nếu xác định
biến đổi Fourier bằng cách lấy trực tiếp tích phân bằng phương pháp số, dùng phương
trình (4.8), thì sai số do khoảng lấy tích phân rt không bao giờ có thể là zêrô. Chú ý
tương tự cho trường hợp tìm biến đổi nghịch với phương pháp số. Do đó, ta cần luôn nhớ
về bản chất của sai số này trong kết quả của mình. Trong phần thảo luận (hình 5.14) của
mình, ta đã giả sử f(t) là tín hiệu có giới hạn về thời gian. Nếu f(t) không bị giới hạn về
thời gian, ta cần phải giới hạn thời gian do tính toán số chỉ hoạt động được với dữ liệu
hữu hạn mà thôi. Hơn nữa, việc cắt cụt dữ liệu tạo sai số do việc trãi phổ (nhòe phổ) và rò
phổ, như trình bày trong phần 4.9. Rò phổ cũng tạo ra trùm phổ. Có thể giảm thiểu rò phổ
bằng cách cắt cụt tín hiệu bằng cửa sổ hình nón. Nhưng lựa chọn này làm tăng yếu tố trãi
phổ hay nhòe phổ. Trãi phổ có thể được giảm thiểu bằng cách tăng độ rộng cửa sổ (tức là
cho nhiều dữ liệu hơn), điều này làm tăng T

0
, và làm giảm F
0
(tăng độ phân giải tần số
hay phổ).


Ảnh hưởng hàng rào (picket fence effect)
Phương pháp tính toán số chỉ cho các giá trị mẩu đồng đều của F(w) [hay f(t)]. Dùng
phương pháp này giống như việc nhìn tín hiệu các phổ của nó qua một ‘hàng rào”. Các
đỉnh chủ yếu có thể nằm giữa hai mẩu và vẫn có thể không xuất hiện, tình hình này tạo
một hình ảnh sai về thực tế. Các kết quả sai lệch này có thể tránh được khi dùng số lượng
mầu N
0
đủ lớn, làm tăng độ phân giải. Ta còn có thể dùng công thức nội suy phổ (phương
trình 5.14) để xác định giá trị của F(w) giữa hai mẫu.

Tìm biến đổi Fourier rời rạc (DFT: Discrete Fourier Transform)
Nếu f(kT) và F(r
w
0
) lần lượt là các mẩu thứ k và thứ r, ta định nghĩa các biến mới f
k

và F
r
như sau
)()(
0
0

kTf
N
T
kTTff
k
== (5.17a)
Và )(
0
w
rFF
r
= (5.17b)
Trong đó
w
0
= 2pF
0
= (2p/T
0
) (5.17c)
Ta sẽ chứng minh f
k
và F
r
quan hệ với nhau theo các phương trình sau:


å
-
=

W-
=
1
0
0
0
N
k
kjr
kr
efF
(5.18a)

å
-
=
W
=
1
0
0
0
0
1
N
k
kjr
rk
eF
N

f

0
00
2
N
T
p
w
==W
(5.18b)
Các phương trình này định nghĩa biến đổi Fourier rời rạc thuận và nghịch (DFT), với
F
r
là biến đổi Fourier rời rạc trực tiếp (DFT) của f
k
, và f
k
là biến đổi Fourier rời rac
nghịch (IDFT: Inverse Fourier Transform) của F
r
. Ý niệm
f
k
Û F
r
còn được dùng để cho thấy f
k
và F
r

là cặp DFT. Xin nhớ rằng f
k
là (T
0
/N
0
) nhân với mẩu
thứ k của F
r
là mẩu thứ r của F(w). Biết giá trị mẩu của f(t), ta có thể tính được giá trị
mẩu của F(w) – và ngược lại – dùng DFT. Tuy nhiên, chú ý là f
k
là hàm của k (k = 0, 1,
2, . . . , N
0
– 1) chứ không phải của t và F
r
là hàm của r (r = 0, 1, 2, . . . , N
0
– 1) thay vì
w. Hơn nữa, cả f
k
và F
r
là chuỗi tuần hoàn với chu kỳ N
0
(Các hình 4.14e và 5.14f). Các
chuỗi này được gọi là chuỗi tuần hoàn N
0
. Việc chứng minh quan hệ DFT trong

phương trình (5.18) lấy trực tiếp từ kết quả của định lý lấy mẩu. Tín hiệu được lấy mẩu
)(tf (hình 5.14c) có thể viết thành

å
-
=
-=
1
0
0
)()()(
N
k
kTtkTftf
d
(5.19)
Do d(t – kT) ó e
– jk
w
T
, biến đổi Fourier của phương trình (5.19) cho

å
-
=
-
=
1
0
0

)()(
N
k
Tjk
ekTfF
w
w
(5.20)
Nhưng từ hình 5.1e (hay phương trình 5.4), rõ ràng là trong khoảng
2
s
w
w
£ , với )(
w
F là
biến đổi Fourier cỉa
)(tf
là
T
F )(
w
, giả sử trùm phổ có thể bỏ qua, thì

å
-
=
-
==
1

0
0
)()()(
N
k
Tjk
ekTfTFTF
w
ww

2
s
w
w
£

Và

å
-
=
-
==
1
0
0
0
0
)()(
N

k
Tjkr
r
ekTfTrFF
w
w
(5.21)
Nếu ta đặt
00
W=T
w
, thì từ phương trình (5.16a) và (5.16b)

==W T
00
w
2pF
0
T = (2p/N
0
) (5.22)
Đồng thời, từ phương trình (5.17a),
Tf(kT) = f
r
Do đó, phương trình (5.21) trở thành

å
-
=
W-

=
1
0
0
0
N
k
kjr
rr
efF

0
0
2
N
p
=W
(5.23)
Quan hệ của biến đổi nghịch (5.18b) có thể được tìm dùng phương pháp tương tự
với vai trò của t và w được đảo ngược lại, nhưng ở đây là dùng cách chứng minh trực tiếp
hơn. Để chứng minh quan hệ nghịch trong phương trình (5.18b), ta nhân hai vế của
phương trình (5.23) với e
jmW0r
, rồi lấy tổng trong khoảng r theo

å åå
-
=
W
-

=
W-
-
=
W
ú
û
ù
ê
ë
é
=
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
N
r
rjm
N
k
kjr

r
N
r
rjm
r
eefeF
Bằng cách thay đổi thứ tự lấy tổng bên vế phải

å åå
-
=
-
=
W-
-
=
W
ú
û
ù
ê
ë
é
=
1
0
1
0
)(
1

0
0 0
0
0
0
N
r
N
k
krmj
rk
N
r
rjm
r
effeF
Phụ chương 5.1 cho thấy tổng bên trong của vế phải là zêrô với k ¹ n và tổng là N
0

khi k = m. Do đó, tổng bên ngoài sẽ chỉ có một thừa số khác zerô khi k = m, và là
mk
fNfN
00
= . Do đó thường ta xác định F
r
trong tầm (0, N
0
– 1) hơn là trong tầm
( 1,
22

00

NN
).

Chọn T, T
0
và N
0
.
Khi tính DFT, đầu tiên cần chọn giá trị thích hợp cho T, T
0
và N
0
. Nhằm mục đích
này, đầu tiên phải tìm băng thông cơ bản B (Hz) của tín hiệu. Tần số lấy mẩu F
s
ít nhất
phải bằng 2B; tức là,
(F
s
/2) ³ B (5.25a)
Hơn nữa, khoảng lấy mẩu T = 1/ F
s
, (phương trình 5.16b), và
T £ 1/2B (5.25b)
Khi đã chọn xong B, ta có thể chọn T từ phương trình (5.25b). Đồng thời
F
0
=1/T

0
(5.26)
Với F
0
là độ phân giải tần số [mức phân biệt giữa các mẩu của F(w)]. Do đó, nếu đã có
F
0
, ta có thể chọn T
0
theo phương trình (5.26). Biết được T
0
và T, ta xác định N
0
từ:
N
0
= T
0
/T (5.27)

Các điểm gián đoạn (discontinuity)
Nếu f(t) có bước nhảy gián đoạn tại điểm lấy mẩu, thì nên lấy giá trị mẩu là trung
bình các giá trị hai bên của điểm gián đoạn do biểu diễn Fourier tại điểm gián đoạn hội tụ
tại trị trung bình.

Đệm zêrô (Zero padding)
Nhắc lại khi quan sát F
r
thì giống như quan sát phổ F(w) qua “ hàng rào”. Nếu
khoảng tần số lấy mẩu F

0
không đủ nhỏ, ta có thể bị mất một số chi tiết quan trọng và có
được hình ảnh bị nhòe. Để có số mẩu cao hơn, ta cần giảm F
0
. Do F
0
= 1/T
0
, là số mẩu
cao nhất cần có để tăng giá trị của T
0
, chu kỳ lặp lại của f(t). Chọn lựa này làm tăng N
0
,
số mẩu của f(t), bằng cách thêm một số mẩu đệm có giá trị zêrô. Việc thêm các mẩu đệm
này được gọi là đệm zêrô. Do đó, các zêrô đệm này làm tăng số mẩu và có thể trợ giúp để
có thêm ý tưởng tốt hơn về phổ F(w) từ các mẩu F
r
.

Các zêrô đệm không cải thiện tính chính xác hay độ phân giải.
Có một điểm cần được hiểu rõ là đệm zêrô thường chỉ cho ta thêm mẩu mà không
cải thiện được tính chính xác của các giá trị mẩu này. Đệm zêrô sẽ chỉ hữu ích hơn nếu
thời khoảng lấy mẩu đủ nhỏ để có thể bỏ qua sai số trùm phổ. Đệm zêrô không bao giờ
có thể cải thiện tính chính xác hay độ phân giải tần số theo nghĩa thực. Chỉ có thể tăng
tính chính xác bằng cách giảm trùm phổ (aliasing), điều này đòi hỏi giảm khoảng lấy mẩu
tín hiệu T (T < 1/2B, với B là băng thông hiệu quả của tín hiệu).

¢ Thí dụ 5.5
Tín hiệu f(t) có độ rộng 2 ms và băng thông cơ bản là 10 kHz. Mong muốn có độ

phân giải tần số là 100 Hz khi dùng DFT (F
0
= 100). Tìm N
0
.
Độ rộng hiệu quả của tín hiệu T
0
là
T
0
= (1/ F
0
) = 1/100 = 10ms
Do độ rộng tín hiệu chỉ có 2ms, ta cần đệm zêrô trong khoảng 8 ms. Đồng thời, với
B = 10.000, nên F
s
= 2B = 20.000 và T = 1/ F
s
= 50ms. Vậy:
N0 = F
s
/ F
0
= 20.000/100 = 200

Thuật toán biến đổi Fourier nhanh (FFT: Fast Fourier Transform) (thảo luận trong phần
5.3), đã chứng minh là sẽ tiện (dù không phải là cần thiết) để chọn N
0
là số mủ lủy thừa 2;
tức là N

0
= 2
n
(n: số nguyên). Ta hảy chọn N
0
=256. Tăng N
0
từ 200 đến 256 có thể được
dùng làm giảm sai số trùm phổ (do giảm T), để cải thiện độ phân giải tần số (bằng cách
giảm T
0
), hay kết hơp cả hai.
(i) Giảm sai số trùm phổ: Ta duy trì cùng T
0
để F
0
= 100, do đó
F
s
= N
0
F
0
= 256 x 100 =25 600 và T = 1/ F
s
=39ms
Do đó, tăng N
0
từ 200 đến 256 cho phép ta giảm khoảng lấy mẩu T từ 50ms đến 39ms
mà vẫn duy trì cùng độ phân giải tần số (F

0
= 100).

(ii) Cải thiện độ phân giải: Ở đây, ta duy trì cùng T = 50ms, làm
T
0
= N
0
T = 256(50 x 10
– 6
) = 12,8 ms và F
0
= 1/T
0
= 78,125Hz
Do đó, tăng N
0
từ 200 đến 256 có thể cải thiện độ phân giải tần số từ 100 đến
78,125Hz mà vẫn duy trì cùng sai số trùm phổ (T = 50ms).

(iii) Kết hơp hai lựa chọn
Ta có thể chọn T = 45ms và T
0
= 11, 5ms để có F
0
= 86,96 Hz. ¢

¢ Thí dụ 5.6
Dùng DFT để tính biến đổi Fourier của e
–2t

u(t). Vẽ phổ Fourier tương ứng.
Đầu tiên ta xác định T và T
0
. Biến đổi Fourier của e
–2t
u(t) là 1/(j
w
+2). Mạch lọc
thông thấp này không có băng thông giới hạn. Trong phần 4.6, ta dùng tiêu chuẩn năng
lượng để tính băng thông cơ bản của tín hiệu. Ở đây, ta giới thiệu một tiêu chuẩn năng
lượng khác, đơn giản nhưng dễ thực hiện hơn. Băng thông cơ bản của tín hiệu sẽ được
lấy tại tần số mà )(
w
F giảm còn 1% giá trị đỉnh của mình. Trong trường hợp này, trị
đỉnh xuất hiện tại w = 0, với )0(F = 0,5. Quan sát thấy

w
w
w
1
4
1
)(
2
»
+
=F

2
>>

w

Đồng thời 1% của trị đỉnh là 0,01 x 0,5 = 0,005. Do đó, băng thông cơ bản B là tại
w =2pB, trong đó

HzB
B
F
pp
w
100
005,0
2
1
)( =Þ=»

Và từ phương trình (5.25b),

015708,0
200
2
1
==£
p
B
T

Ta đã dùng 1% tiêu chuẩn năng lượng để xác định băng thông cơ bản, theo phương pháp
đã dùng trong thí dụ 4.16, ta có B = 20,26, hơi bé hơn giá trị vừa tìm được bằng 1% tiêu
chuẩn biên độ.

Điểu thứ hai là xác định T
0
. Do tín hiệu không có thời gian giới hạn, ta phải cắt gọn
tín hiệu tại T
0
sao cho f(T
0
) << 1. Một lựa chọn phù hợp là T
0
=4 do f(4) = e
–8
=
0,000335 << 1. Kết quả là N
0
= T
0
/T =254,6 không phải là lủy thừa của 2. Do đó, ta
chọn T
0
= 4 và T =0,015625 = 1/64, và có kết quả N
0
=256, là lủy thừa của 2.
Chú ý là có sự mềm dẽo lớn khi chọn T và T
0
, tùy theo độ chính xác mong muốn và
khả năng tính toán sẵn có. Ta vừa đã chọn T = 0,03125 và có N
0
= 128, cho dù chọn lựa
này cho sai số trùm phổ hơi cao.
Do tín hiệu có bước nhảy gián đoạn tại t = 0, nên mẩu thứ nhất (tại t = 0) có giá trị là

0,5, là trung bình các giá trị hai bên của gián đoạn, Ta tính F
r
(DFT) từ các mẩu của
)(
2
tue
t-
từ phương trình (5.18a). Chú ý là F
r
là mẩu thứ r của F(w), và các mẩu này được
cách quảng tại F
0
= 1/T
0
=0,25 Hz (w
0
= p/2 rad/s).
Do F
r
là tuần hoàn N
0
, F
r
= F
(r+256)
sao cho F
256
= F
0
. Do đó, ta cần vẽ F

r
trong tầm
r = 0 đến 255 (không phải 256). Hơn nữa, do tính chu kỳ này, nên F
-r
= F
(-r+256)
và các
giá trị của F
r
trong tầm r = – 127 đến – 1 giống hệt với các giá trị trong tầm từ r = 129
đến 255. Do đó, F
127
= F
129
, F
-129
= F
130
. . . F
-1
= F
255
. Hơn nữa, do tính đối xứng liên
hợp của biến đổi Fourier, F
–r
= F
r
*, nên F
–1
= F

1
*, F
–2
= F
2
*, . . . , F
–128
= F*
128
. Do đó,
ta chỉ cần F
r
trong tầm r =0 đến N
0
/2 (trường hợp này là 128).


Hình 5.15 vẽ đồ thị của ½F
r
½ và ÐF
r
và phổ biên độ và pha chính xác (vẽ bằng
đường liên tục) để so sánh. Chú ý là hầu như có thỏa thuận hoàn hảo giữa hai tập phổ. Ta
đã vẽ hai đồ thị chỏ với 28 điểm thay vì 128 điểm để hình ảnh rõ ràng. Các điểm này nằm
tại các khoảng 1/T
0
=1/4 Hz hay w
0
=1,5708 rad/s. Do đó 28 mẩu này, biểu diễn đồ thị
trong tầm w = 0 đến w = 28(1,5708) » 44 rad/s hay 7 Hz.

Trong thí dụ này, ta biết trước F(w) nên có thể có lựa chọn thông minh về B (hay
tần số lấy mẩu F
s
). Trong thực tế, ta thường chưa biết trước được F(w). Thực ra, đây là
vấn đề ta phải cố xác định. Trong trường hợp này, cần dự đoán một cách thông minh về B
hay F
s
từ các bằng chứng chi tiết. Bắt đầu giảm giá trị của T và tính toán lại phép biến đổi
cho đến khi có kết quả ổn định trong vòng số hạng cần có. Chương trình MATLAB, có
các thiết lập DFT dùng thuật toán FFT, được trình bày trong thí dụ C5.1. ¢

• Thí dụ dùng máy tính C5.1
Dùng DFT (được thiết lập dùng FFT, thuật toán biến đổi Fourier nhanh) để tính biến
đổi Fourier của e
–2
tu(t).

T = 0.015625; T0 = 4; N0 = T0/T;
t = 0:T:T*(N0 – 1); t = t’;
f = T*exp( - 2*t);
f(1) = T*0.5;
F = fft(f);
[Fp, Fm] =cart2pol(real(F), imag(F));
k = 0:N0 – 1; k = k’;
w =2*pi*k/T0;
subplot(211), plot (w(1:128),Fm(1:128))
subplot(212), plot (w(1:128),Fp(1:128)) •

¢ Thí dụ 5.7
Dùng DFT đẻ tìm biến đổi Fourier của 8rect (t).

Hàm cổng này và biến đổi Fourier được vẽ trong hình 5.16a và b. Để xác định giá trị
thời khoảng lấy mẩu T, trước hết ta cần quyết định băng thông cơ bản B. Trong hình
5.16b, ta thấy F(w) giảm hơi chậm theo w. Do đó, băng thông cơ bản hơi lớn hơn. Thí dụ,
tại B = 15,5 Hz (97,39 rad/s), F(w) = - 0,1643, vào khoảng 2% giá trị đỉnh tại F(0). Do
đó, băng thông cơ bản hơi cao hơn 16 Hz nếu ta dùng tiêu chuẩn 1% để tính toán băng
thông cơ bàn. Tuy nhiên, ta cố tình chọn B = 4 vì hai lý do: (1) để thấy ảnh hưởng của
trùm phổ và (2) dùng B > 4 sẽ cho số mẩu khổng lồ, không hiển thị được trên kích cở
giấy của sách mà không bị mất các thông tin cơ bản. Do đó, ta chấp nhận yếu tố xấp xỉ để
làm rõ ý niệm DFT trên đồ thị.

Việc lựa chọn B = 4 đưa đến thời gian lấy mẩu là T = 1/2B = 1/8. Nhìn lại lần nữa
phổ trong hình 5.16b, ta thấy việc lựa chọn độ phân giải tần số F
0
= ¼ Hz là hợp lý.
Chọn lựa này cho ta bốn mẩu trong mổi búp của F(w). Trường hợp này T
0
=1/ F
0
= 4 giây
và N
0
=T
0
/4 = 32. Độ rộng của f(t) chỉ có 1 giây. Ta phải làm lại mỗi 4 giây (T
0
= 4), như
vẽ trong hình 5.16c, và lấy mẩu trong mỗi 1/8 giây. Chọn lựa này cho 32 mẩu (N
0
=32).
Đồng thời,

)(
8
1
)( kTfkTTff
k
==

Do f(t) =8 rect(t), các giá trị của f
k
là 1, 0 hay 0,5 (tại các điểm gián đoạn) như vẽ
trong hình 5.16c. Trong hình, f
k
được vẽ minh họa là hàm theo t cũng như k, cho thích
hợp.
Khi tìm DFT, ta giả sừ f(t) bắt đầu tại t = 0 (hình 5.14a), và lấy N
0
mẩu trong
khoảng (0, T
0
). Tuy nhiên, trong trường hợp này thì f(t) lại bắt đầu tại t = -1/2. Khó khăn
này được giải quyết dễ dàng khi ta thực hiện DFT theo phương pháp này thực ra là DFT
của f
k
được lặp lại tuần hoàn mổi T
0
giây. Hình 5.16c rõ ràng cho thấy việc lặp lại tuần
hoàn các đoạn trong khoảng từ - 2 đến 2 giây thì giống hệt việc lặp lại các đoạn của f
k

trong khoảng từ 0 đến 4 giây. Do đó, bất chấp điểm xuất phát của f(t), ta luôn có thể các
mẩu của f(t) và phần mở rộng tuần hoàn trong khoảng từ 0 đến T
0
. Trong thí dụ này, các
giá trị 32 mẩu là

ï
î
ï
í
ì
=
££
££££
=
28,45,0
2750
3129301
k
k
kandk
f
k




Quan sát thấy mẩu cuối nằm tại t = 31/8, chứ không phải tại 4, do tín hiệu lặp lại bắt
đầu từ t = 4, và mẩu tại t = 4 giống với mẩu tại t = 0. Lúc này, N0 = 32 và W
0

= 2p/32 =
p/16. Do đó [xem phương trình (5.18)]

å
=
-
=
31
0
)16/(
k
kjr
kr
efF
p

Giá trị của F
r
được tính từ phương trình trên và vẽ trong hình 5.16d.
Các mẩu F
r
cách nhau bởi F
0
= (1/10) Hz. Trong trường hợp T
0
= 4, nên độ phân
giải tần số F
0
là (¼) Hz, như mong muốn. Tần số gấp F
s

/2 = B = 4Hz tương ứng với
r = N
0
/2 =16. Do F
r
là tuần hoàn N
0
(N
0
= 32), các giá trị của F
r
khi r = - 16 đến n = - 1
thì giống như khi r = 16 đến n = 31. Thí dụ, F
17
= F
-15
, F
18
= F
-14
, và tiếp tục. DFT cho
ta các mẩu của phổ F(w).
Để so sánh, hình 5.16d còn vẽ đường tô bóng của đặc tuyến 8sinc(w/2), chính là
biến đổi Fourier của 8rect(t). Các giá trị của F
r
được tính từ phương trình DFT cho thấy
có sai số trùm phổ, thấy rõ khi ta so sánh hai đồ thị vẽ chồng nhau. Sai số của F
2
vào
khoảng 1,3%. Tuy nhiên, sai số trùm phổ tăng nhanh theo r. Thí dụ, sai số của F

6
vào
khoảng 12% và sai số của F
10
vào khoảng 33%. Sai số của F
14
lên đến 72%. Sai số phẩn
trăm tăng nhanh gần tần số gấp (r =16) do f(t) có bước nhảy gián đoạn, làm F(w) giảm
chậm theo 1/w. Do đó, ở gần tần số gấp, đuôi của phần nghịch (do trùm phổ) tự thân đã
rất gần F(w). Hơn nữa, giá trị cuối cùng là sai biệt giữa giá trị chính xác và giá trị gấp lại
(rất gần với trị chính xác). Do đó, sai số phần trăm gần tần số gấp (trường hợp này là r
=16) là rất cao, cho dù sai số tuyệt đối thì rất bé. Rõ ràng, với tín hiệu có bước nhảy gián
đoạn, sai số trùm phổ gần tần số gấp sẽ luôn luôn cao (theo nghĩa phần trăm), bất chấp
cách lựa chọn N
0
. Để đảm bảo bỏ qua được sai số trùm phổ tại trị r bất kỳ, ta phải chắc
chắn là N
0
>> r. Điều này luôn có giá trị với mọi tín hiệu có bước nhảy gián đoạn. ¢

• Thí dụ dùng máy tính C5.2
Dùng DFT (được thiết lập dùng thuật toán FFT) tính biến đổi Fourier của 8rect(t). Vẽ
phổ Fourier.
Chương trình MATLAB để thiết lập phương trình DFT dùng thuật toán FFT sẽ được
trình bày ở phần dưới. Đầu tiên ta viết chương trình MATLAB để tại 32 mẩu của f
k
, rồi
tiếp đến tính DFT.
% (c52.m)
N0 = 32; k =0:N0 – 1;

f = [ones(1,4) 0.5 zeros(1,23) 0.5 ones(1,3)];
Fr =fft(f);
subplot(2,1,1), stem(k,f)
xlabel(‘k’); ylabel(‘fk’);
subplot(2,1,2), stem(k,Fr)
xlabel(‘r’); ylabel(‘Fr’); •

5.2-1 Một số đặc tính của DFT
Biến đổi Fourier rời rạc về cơ bản là biến đổi Fourier của tín hiệu đã lấy mẩu được
lặp lại tuần hoàn. Do đó, các đặc tính của biến đổi Fourier cũng dùng được cho DFT.

1. Tính tuyến tính
Nếu
rk
Ff Û và
rk
Gg Û , thì

rrkk
GaFagafa
2121
+Û+
(5.28)
Phần chứng minh dễ dàng