CHUYÊN đề ĐỊNH lý KOENIG TRONG các bài TOÁN cơ học DẠNG vật rắn

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

LỜI NÓI ĐẦU
Trong hành trình phát triển của nền giáo dục Việt Nam, hệ thống các trường
THPT chuyên ngày càng khẳng định được vị thế quan trọng của mình trong việc phát
hiện, tuyển chọn và bồi dưỡng nhân tài, chắp cánh những ước mơ bay cao, bay xa tới
chân trời của tri thức và thành công. Đối với các trường THPT chuyên, công tác học
sinh giỏi luôn được đặt lên hàng đầu, là nhiệm vụ trọng tâm của mỗi năm học. Hội
thảo khoa học các trường THPT chuyên Khu vực Duyên Hải và Đồng bằng Bắc Bộ là
một hoạt động bổ ích diễn ra vào tháng 11 thường niên. Đây là dịp gặp gỡ, giao lưu,
học hỏi, trao đổi kinh nghiệm giảng dạy, phát hiện, tuyển chọn và bồi dưỡng đội tuyển
học sinh giỏi Quốc gia, Quốc tế giữa các trường THPT chuyên trong khu vực. Năm
năm qua, các hội thảo khoa học đều nhận được sự hưởng ứng nhiệt tình của các
trường, bước đầu đã đem đến những hiệu ứng tốt, tác động không nhỏ đến công tác
bồi dưỡng học sinh giỏi và chất lượng đội tuyển học sinh giỏi quốc gia của các trường
Chuyên.
Năm 2013 là năm thứ 6, hội thảo khoa học của Hội các trường THPT chuyên
Khu vực Duyên hải và Đồng bằng Bắc Bộ được tổ chức tại Thái Bình - mảnh đất quê
lúa, mang trong mình truyền thống yêu nước và truyền thống hiếu học. Tại hội thảo
lần này, chúng tôi chủ trương tập trung vào những vấn đề mới mẻ, thiết thực và có ý
nghĩa đối với việc bồi dưỡng học sinh giỏi, để quý thầy cô đã, đang và sẽ đảm nhiệm
công tác này tiếp tục trao đổi, học tập, nâng cao hơn nữa năng lực chuyên môn của
mình.
Tập tài liệu của Hội thảo lần thứ VI bao gồm những chuyên đề khoa học đạt
giải của quý thầy cô trong Hội các trường THPT chuyên Khu vực Duyên hải và Đồng
bằng Bắc bộ. Các bài viết đều tập trung vào những vấn đề trọng tâm đã được hội đồng
khoa học trường THPT chuyên Thái Bình thống nhất trong nội dung hội thảo. Nhiều
chuyên đề thực sự là những công trình khoa học tâm huyết, say mê của quý thầy cô,
tạo điểm nhấn quan trọng cho diễn đàn, có thể coi là những tư liệu quý cho các trường
trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi.

Xin chân thành cảm ơn sự cộng tác của quý thầy cô đến từ các trường THPT
chuyên Khu vực Duyên hải và Đồng bằng Bắc Bộ cùng các trường THPT chuyên với
vai trò quan sát viên. Chúng tôi hy vọng, sẽ tiếp tục nhận được nhiều hơn nữa sự phản
hồi, đóng góp, trao đổi của quý thầy cô để các chuyên đề khoa học hoàn thiện hơn.
Thái Bình, tháng 11 năm 2013
TRƯỜNG THPT CHUYÊN THÁI BÌNH

Trường THPT Chuyên Thái Bình

1


HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Chuyên đề xếp loại xuất sắc

ĐỊNH LÝ KOENIG TRONG CÁC BÀI TOÁN CƠ HỌC VẬT RẮN
Biên soạn: Nguyễn Chí Trung
Đơn vị công tác: THPT Chuyên Bắc Ninh
LỜI NÓI ĐẦU
Trong chương trình vật lý THPT dành cho học sinh chuyên Lý cũng như
chương trình vật lý đại cương, tôi thấy phần các bài tập cơ học vật rắn là phần
kiến thức khó và đặc biệt là phần Định lý Koenig để xác định mô men động
lượng và mô men lực đối với một trục quay hay một điểm thì càng khó hơn vì
đây là phần kiến thức đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng toán học tốt về phần giải
tích vec tơ. Đây là phần kiến thức khó nhưng cũng rất cơ bản giúp chúng ta có
thể giải quyết các bài toán cơ học vật rắn tốt hơn, nhanh gọn hơn. Chính vì vậy
tôi biên soạn chuyên đề “ĐỊNH LÝ KOENIG TRONG CÁC BÀI TOÁN CƠ
HỌC VẬT RẮN” nhằm góp phần cung cấp kiến thức cơ bản, rèn luyện kĩ năng

vận dụng các định lý này trong việc giải các bài toán cơ học vật rắn cho học
sinh chuẩn bị thi học sinh giỏi các cấp và đặc biệt là học sinh đội tuyển dự thi
học sinh giỏi quốc gia và thi chọn đội tuyển dự thi Olympic Châu Á Thái Bình
Dương cũng như Olympic quốc tế.
Sau đây là nội dung của chuyên đề:
- Cơ sở lý thuyết.
- Các ví dụ đơn giản áp dụng công thức.
- Các bài tập tổng hợp có lời giải chi tiết.
- Các bài tập tự luyện tập với đáp số.

Trường THPT Chuyên Thái Bình

2


HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Khối tâm
a) Đối với hệ chất điểm S là trọng tâm của các điểm Mi có khối lượng mi,
gọi O là một điểm tùy ý, ta có
OG = rG =

∑m r = ∑m r
M
∑m
i i

i i

(1) với r i = OM i

i

Nếu ta chọn O ở G thì rG = 0
b) Đối với vật rắn:
rG =

∫ rdm = ∫ rdm
∫ dm M

(2)

2. Động lượng
a) Định nghĩa:
Các điểm MI cấu tạo nên hệ S chuyển động với vận tốc v i trong hệ quy
chiếu R. Tổng động lượng p của S trong R bằng tổng cộng động lượng của các
chất điểm cấu tạo nên hệ S:
p = ∑ mi vi = ∑ mi

(

)

d ri d
d
= ( ∑ mi vi ) =
m.OG = mvG
dt dt

dt

(3)

Ta có nhận xét quan trọng: Tổng động lượng của một hệ chất điểm trong
hệ quy chiếu (HQC) R bằng động lượng trong R của một chất điểm giả định ở
tại khối tâm G có khối lượng bằng khối lượng tổng cộng của hệ S.
p = mvG

b) Tổng động lượng trong HQC trọng tâm R*
*

Theo định nghĩa, điểm G là điểm cố định trong R*, v G và tổng động lượng
*

p của hệ S trong R

*
*

bằng không: p = 0 (4)
3. Mối liên hệ giữa động lượng và lực. Định luật II Newton
+ Lực:

∑F

ext

=

dp
= MaG
dt

Trường THPT Chuyên Thái Bình

(5)

3


HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Trong đó

∑F

ext

là tổng các ngoại lực tác dụng lên hệ.

+ Xung của lực: X = ∫ Fex dt = Fextb ∆t = ∆P
0

4. Động năng của hệ, định lý Koenig đối với động năng
Chọn điểm cố định O làm gốc tọa độ, G là khối tâm của hệ, ta có:
K (0) =

Vì

1
1
1
2
mi vi2 = ∑ mi viG
+ mvG2 (6)
∑
2
2
2

1
∑ miviG2 là động năng toàn phần của hệ hạt đối với khối tâm G, nên ta có:
2
1
2

Định lý Koenig đối với động năng: K = mv 2 (G ) + K * (G )

(7)

5. Mô men động lượng. Định lý Koenig đối với mô men động lượng
a) Mô men động lượng của hệ đối với điểm cố định O chọn làm gốc (của hệ S
trong HQC R) bằng tổng mô men động lượng của tất cả các điểm tạo nên hệ S.
L0 = ∑ ri ∧ mi vi (8)

b) Mô men động lượng của hệ đối với khối tâm G của S trong R*, theo
định nghĩa là:
L*G = ∑ GM i ∧ mi vi* = ∑ riG ∧ mi vi* (9)

c) Định lý Koenig đối với mô men động lượng
Mô men động lượng đối với O của hệ chất điểm S trong HQC R bằng
tổng của:
+ Mô men động lượng đối với O của một chất điểm giả định đặt ở G có
khối lượng bằng khối lượng tổng cộng của hệ trong R
+ Mô men động lượng đối với G của hệ S trong HQC trọng tâm của nó
(nghĩa là trong chuyển động của nó quanh G)
L0 = L*G + OG ∧ mvG

(10)

d) Mô men động lượng trọng tâm
Nếu A là một điểm bất kỳ nào đó, ta có thể viết trong R*:

(

)

L A = ∑ AM i ∧ mi vi = ∑ AG + GM i ∧ mi vi*
*

= AG ∧ ∑ mi vi* + ∑ GM i ∧ mi vi*

Trường THPT Chuyên Thái Bình

4


HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Biết rằng p = ∑ mi vi* = 0 , chúng ta nhận thấy mô men động lượng của hệ
*

trong HQC trọng tâm là độc lập với điểm mà tại đó ta tính. Chúng ta có thể viết
*

mô men này mà không cần nói rõ chỉ số của điểm đó: L A = LG = L
*

*

*

Dùng định lý Koenig ta có: LG = LG = L
e) Mô men động lượng tại một điểm của trục
Giả sử vật rắn S là một cánh cửa như hình vẽ. HQC RS (O,xS, yS, zS) gắn
với vật rắn, quay với vận tốc góc Ω = Ωez = ' ez trong HQC R.
Ta viết biểu thức của mô men động lượng L A của vật rắn này tại một
điểm A cố định của trục Oz (A cũng là một điểm cố định trong HQC gắn với
vật rắn) trong R:
L A = ∫∫∫ AM ∧ v( M )dm
S

z

Với v( M ) = v(a) + Ω ∧ AM = Ωez ∧ AM

H

Từ đó rút ra:

M

L A = ∫∫∫ AM ∧ v( M )dm = Ω ∫∫∫ AM ∧ (ez ∧ AM )dm
S

S

2

(

θ

O

Vậy L A = Ω ∫∫∫S ( AM ez − ( AM .ez ) AM )dm
Ta đưa vào điểm H là hình chiếu của M trên
trục quay:

yS
y

θ
xS

x
Ω = ' ez

)

AM = AH + HM = AM .ez ez + HM

Vậy ta được:
L A = Ω ∫∫∫ HM 2 dm − Ω ∫∫∫ ( AM .ez ) HM )dm (Vì HM 2 = AM 2 − AH 2 )
S

S

Như vậy ta phân biệt trong biểu thức của L A hai thành phần:
+ Một thành phần cùng phương với vec tơ quay, đó là: L A = Ω ∫∫∫S HM 2 dm
+

Một

thành

phần

vuông

góc

với

vec

tơ

L A⊥ = −Ω ∫∫∫ ( AM .ez ) HM )dm
S

f) Mô men động lượng đối với trục ∆ - Mô men quán tính:

Trường THPT Chuyên Thái Bình

5

quay,

đó

là:


HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Thành phần L∆ trên trục quay L A của mô men động lượng được gọi là mô
men động lượng của vật rắn đối với trục ∆.
∆

L∆ = L A .ez = L A .ez = ez Ω ∫∫∫ HM 2 dm = Ω ∫∫∫ HM 2 dm
S

S

Theo định nghĩa, L∆ không phụ thuộc vào vị trí

của điểm A trên trục ∆.
+ Khoảng cách HM = r của điểm M đến trục quay

H
r

M

là không đổi khi vật rắn quay và ta cũng định nghĩa mô men quán tính J ∆ của vật
rắn đối với trục quay ∆ như sau: J ∆ = ∫∫∫S r 2 dm
Mô men quán tính của vật rắn đối với một trục quay đặc trưng cho
mức quán tính của chuyển động quay của vật rắn quanh trục đó (bất biến
theo thời gian), chỉ phụ thuộc vào cách phân bố khối lượng trong vật rắn.
6. Mô men lực, định lý Koenig đối với mô men lực
+ Mô men lực M O tại điểm O của hệ S trong R có biểu thức là:
M O = ∑ OM i ∧ mi ai

+ Mô men lực tại G trong R* (R* là tịnh tiến đối với R)
M G = ∑ GM i ∧ mi a i = ∑ riG ∧ mi a i
*

*

*

Từ công thức cộng gia tốc ta có: ai = ae ( M i ) + aC ( M ) + ai* = aG + ai*
Gia tốc Coriolis bằng không còn gia tốc kéo theo không phụ thuộc vào
chỉ số i và bằng gia tốc aG của điểm G.

(

)

Ta rút ra: M O = ∑ ( OG ∧ GM i ) ∧ mi aG + ai* = OG ∧ maG + ∑ GM i ∧ mi ai*
Vì

∑ m GM
i

i

= 0 và

∑m a
i

*
i

= F * = 0 nên ta suy ra định lý Koenig đối với

mô men lực:
+ Xung của mô men lực: M Ox = ∫ M g dt = ∆L0
0

Định lý Koenig đối với mô men lực: Mô men lực đối với O của hệ chất
điểm S trong HQC R bằng tổng của:
+ Mô men lực đối với O của một chất điểm giả định đặt ở G có khối
lượng bằng khối lượng tổng cộng của hệ trong R

Trường THPT Chuyên Thái Bình

6


HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

+ Mô men lực đối với G của hệ S trong HQC trọng tâm của nó (nghĩa là
trong chuyển động của nó quanh G)
*

M 0 = M G + OG ∧ maG

(10)

7. Mô men lực trọng tâm:
Cũng như đối với mô men động lượng, mô men lực của S trong HQC
trọng tâm R* không phụ thuộc vào điểm mà ta tính. Chúng ta có thể viết mô
*

men này mà không cần nói rõ chỉ số của điểm đó: M A = M G = M
*

Dùng định lý Koenig ta có: M G = M G = M

*

*

8. Mối liên hệ giữa mô men động lượng và mô men lực
Ta xét trường hợp tổng quát, điểm được chọn để tính mô men là điểm bất
ký P, điểm này có thể đứng yên hoặc chuyển động đối với điểm cố định O chọn
làm gốc tọa độ (hình vẽ)
y
1

r1

O

r1 − rP

rP P r2 − rP
2
r2

x

Theo định nghĩa mô men động lượng toàn phần của hệ đối với điểm P là:
LP = ∑ (ri − rP ) ∧ mi (vi − vP )

Lấy đạo hàm theo thời gian, ta được
dLP
= ∑ (vi − vP ) ∧ mi (vi − vP ) + (ri − rP ) ∧ mi (ai − aP )
dt

= 0 + ∑ (ri − rP ) ∧ (mi .ai − mi aP )

Thay mi ai = Fi ex + Fi in là tổng hợp các ngoại lực và nội lực tác dụng lên hạt

I, ta được:
dLP
= ∑ ( ri − rP ) ∧ Fi ext − ∑ mi ( ri − rP ) ∧ aP
dt

Thay tiếp

∑ m .r = mr
i i

G

, ta được

Trường THPT Chuyên Thái Bình

7


HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

dLP
= ∑ ( ri − rP ) ∧ Fi ex − m ( rG − rP ) aP
dt

Vì

∑(r − r ) ∧ F
i

P

i

ex

theo định nghía là mô men của ngoại lực đối với P,

nên cuối cùng ta được công thức tổng quát:
dLP
= ∑ M Pex − ( rG − rP ) ∧ maP
dt

(6)

Công thức (6) cho thấy mối liên hệ giữa mô men lực và mô men động
lượng không đơn giản như mối liên hệ giữa lực và động lượng. Có dự khác biệt
này là do mô men động lượng và mô men lực còn tùy thuộc vào điểm để tính
mô men.
Bây giờ ta bàn tiếp số hạng thứ hai trong công thức (6). Số hạng này chỉ
triệt tiêu nếu một trong ba điều kiên sau đây được thỏa mãn:
a) aP = 0 . Điểm P đứng yên (hay chuyển động thẳng đều)
dLP
= ∑ M P (P cố định) (7)
dt

b) rG = rP hay P ≡ G . Khi ấy ta có:
dLG
= ∑ M Gex

dt

c) Gia tốc aP / / ( rG − rP ) hay aG / / PG . Khi ấy ta có:

{

}

dLP
= ∑ M Pex aP / / PG
dt

(9)

9. Các chú ý về toán học:
Cho hai vec tơ: A = (ax , a y , az ) , B = (bx , by , bz )
+ Tích vô hướng của hai vec tơ: A.B = (axbx + a y by + az bz )
+ Tích có hướng của hai vec tơ: A ∧ B = i (a y bz − az by ) + j (az bx − axbz ) + k (axby − a y bx )
Với i, j , k là các vec tơ đơn vị của các trục Ox, Oy, Oz

Trường THPT Chuyên Thái Bình

8


HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

II. BÀI TẬP VÍ DỤ
Ví dụ 1.

Hai chất điểm A và B giống hệt nhau, có
khối lượng m liên kết với nhau bằng một thanh
chiều dài là b, khối lượng không đáng kể. A dịch
chuyển trên vòng tròn tâm O bán kính b và thanh
AB có thể dao động quanh một trục đi qua A và
vuông góc mặt phẳng như hình vẽ. Tính tổng động
lượng và mô men động lượng đối với O của hệ AB

O
α

A
β

B

theo các góc α, β và đạo hàm của chúng theo thời
gian.
Giải
Cách 1:
Ta có: p = mv( A) + mv( B)
LO = OA ∧ mv( A) + OB ∧ mv( B )

Với OA = (b cos , b sin , 0)
suy ra v( A) = OA ' = (−b 'sin , b ' cos , 0)
và OB = (b(cos + cos ), b(sin + sin ), 0)
v( B ) = OB ' = (−b( 'sin

+

'sin ), b( ' cos + ' cos ), 0)

Suy ra p = mv( A) + mv( B) = m(−b(2 'sin + 'sin ), b(2 ' cos + ' cos ), 0)
Và LO = OA ∧ mv( A) + OB ∧ mv( B) = mb 2 (2 '+ '+ 2 ' cos( − ))ez
Với ez là vec tơ đơn vị của trục Oz vuông góc, đi ra ngoài mặt phẳng hình vẽ
Cách 2:
Chúng ta có thể dùng định lý Koenig bằng cách đưa vào khối tâm G
(trung điểm của AB) của hệ.
1
2

1
2

Ta có OG = (b(cos + cos ), b(sin + sin ), 0)

Trường THPT Chuyên Thái Bình

9


HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Và vận tốc khối tâm G là:
vG = OG ' = (−b( 'sin

+

1

2

'sin ), b( 'cos +

1
2

' cos ), 0)

Mô men động lượng của hệ đối với khối tâm G:
L*G = GA ∧ mv ( A)* + GB ∧ mv ( B )* = 2GB ∧ mv ( B)* vì GA = −GB và v ( A)* = −v ( B )*
1
1
GB = ( bcos , b sin , 0)
2
2
v ( B )* = ( −

1
2

O
y

1
'sin , b ' cos , 0)
2

α

A

Rõ ràng là ta tìm được
p = 2mv (G ) = m( −b(2 'sin

+

G
'sin ), b(2 ' cos +

y’

β

' cos ), 0)

B

Và tổng mô men động lượng của hệ:
LO = L*G + OG ∧ 2mv (G ) = mb 2 (2 '+

'+ 2 ' cos( − ))ez

x’

x

Ví dụ 2
Một thanh AB đồng nhất, có tâm G, khối
lượng m được treo trên hai dây nhẹ giống nhau AA’

và BB’ có chiều dài b. Thanh dao động trong mặt
phẳng thẳng đứng, hai dây AA’ và BB’ luôn song
song với nhau.

A’

B’
α

α
G
A

a) Tính động năng của thanh theo đạo hàm '
của góc nghiêng của các dây ở một thời điểm cho
trước.
b) Tìm chu kỳ dao động nhỏ của thanh.
Giải
a) Định lý Koenig đối với động năng cho ta:
K=

1 2
mv (G ) + K * (G )
2

Trong HQC R* (G,x,y,z) thanh đứng yên và K * (G ) = 0 nên:
K=

1 2
1

mv (G ) = mb 2 '2 (1)
2
2

b) Chọn mốc thế năng tại vị trí thấp nhất của thanh trong quá trình dao động

Trường THPT Chuyên Thái Bình

10

B


HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

+ Thế năng của thanh là: U = mgb(1 − cos ) (2)
+ Cơ năng của hệ là:
E = K +U =

1 2 2
mb ' + mgb(1 − cos ) = mgb(1 − cos
2

0

) = const (3)

Đạo hàm theo thời gian hai vế của (3) ta được: " b + g sin = 0 (4)
< 10o → sin

Với

≈ (rad )

thì phương trình (4) trở thành:

"+

2

= 0 với

Vậy chu kỳ dao động nhỏ của thanh là: T =

2

2

=

=2

g
b
b
g

Ví dụ 3
Một vòng tròn đồng nhất có tâm O, khối lượng

ω

m, bán kính a quay với tốc độ ω không đổi quanh trục

ez

cố định của nó. Tính mô men động lượng của vòng tròn
ở O và động năng của vòng tròn đó.
Giải
Điểm M của vòng tròn được xác định bởi các tọa độ cực: OM = aer
Vận tốc của M là: v( M ) = a e
Từ đây suy ra:
+ Mô men động lượng đối với O:
LO =

∫

OM ∧ v( M )dm = ma 2 ez

vòng

e

O

+ Mô men lực đối với O:
MO =

+

d
d
d
LO =
OM ∧ v( M )dm = (ma 2 )ez = 0
∫
dt
dt vòng
dt

1
2

+ Động năng K = J ∆

2

=

1
ma 2
2

2

Ví dụ 4
Chứng minh định lý Huygens bằng cách:
a) Dùng định lý Koenig đối với mô men động lượng.
b) Dùng chứng minh hình học.

Trường THPT Chuyên Thái Bình

11

M
er


HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Giải
a) Gọi A là điểm cố định của trục ∆.
+ Trong R: L∆ = J ∆G Ω
+ Theo định lý Koenig: L∆ = LA .ez = ( AG ∧ mv(G ) ) ez + L*G .ez
Với v(G) = Ωez ∧ AG
Từ đó: ( AG ∧ mv(G ) ) ez = m ( AG 2 − AH G2 ) Ω = ma 2Ω
Trong R*: L*∆ = L*G .ez = J ∆G Ω
Từ đó: J ∆ = ma 2 + J ∆G
b) H và HG là hình chiếu của một điểm M của vật rắn tương ứng trên ∆ và
∆G, ta có:
J ∆ = ∫∫∫ HM 2 dm và J ∆G = ∫∫∫ H G M 2 dm
S

S

Nhưng HM = ( HH G + H G M ) = HH G2 + H G M 2 + 2 HH G .H G M
2

2

Với HH G = a là khoảng cách giữa hai trục ∆ và ∆G và
HH G .H G M = HH G .GM vì HH G .H G G = 0

S
G
H

M

HG

∆
∆G
Để ý rằng vec tơ HH G là độc lập với điểm M, từ đó lấy tổng cho cả vật rắn S ta
suy ra: J ∆ = ma 2 + J ∆G + 2 HH G ∫∫∫S GM dm
Số hạng cuối cùng của biểu thức này bằng không theo định nghĩa của
khối tâm G nên: J ∆ = ma 2 + J ∆G
Ví dụ 5
Xét một con lắc treo ở điểm O cố định gồm
thanh OA khối lượng không đáng kể và chiều dài là R,
người ta hàn vào thanh một dây thuần nhất khối lượng m
có dạng là một nửa vòng tròn mà thanh OA là bán kính.
Vị trí của con lắc được xác định theo góc α giữa thanh
OA và đường thẳng đứng hướng xuống. Xác định tổng
động lượng, mô men động lượng đối với O, mô men lực
đối với O và động năng của con lắc phụ thuộc vào α và

Trường THPT Chuyên Thái Bình

12


HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

các đạo hàm của chúng.
Giải
Một điểm M của nửa vòng tròn được xác định
bởi góc

=

+

với β = const (hình vẽ)

Từ đó: OM = Rer và v( M ) = R ' e
Từ đây ta suy ra:
C

2

+ Động lượng: p = ∫ v( M )dm = mR ' ez
B

C

+ Mô men động lượng: LO = ∫ OM ∧ v(M )dm = mR ' ez

B

C

+ Mô men lực: M O =

d LO d
= ( ∫ OM ∧ v(M )dm) = mR '' ez
dt
dt B

1
2

Và động năng: K = mR 2 '2

Ví dụ 6.
Một thanh AB đồng nhất chiều dài 2b
và khối tâm G là trung điểm của AB. Thanh
tựa lên mặt đất nằm ngang và gối lên một bức
tường thẳng đứng. Vị trí của thanh được xác
định theo góc

(

y

G

)

= Ox, OG , góc này thay đổi

khi thanh trượt ở A và B.

+

B

O

1) Xác định các thành phần của vận tốc
v(G ) của điểm G theo α và đạo hàm của α.

2) Tìm vec tơ quay Ω của thanh.
Chú ý: cần chú ý đến dấu của các biểu thức khi tính toán.
Giải.
1. Trong tam giác vuông OAB, trung tuyến OG có chiều dài b, từ đó:

Trường THPT Chuyên Thái Bình

13

x
A


HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

OG = ( b cos , b sin , 0 )

Vận tốc khối tâm: v(G ) =

d
OG = ( −b 'sin , b ' cos , 0 ) (1)
dt

2. Véc tơ quay của thanh hướng theo trục ez , ta đặt Ω = Ωez
Ta cũng có thể viết biểu thức của v(G ) như sau:
v(G ) = v( A) + Ω ∧ AG

Biết rằng OA = 2b cos .ex suy ra v( A) =

d
OA = −2b 'sin .ex
dt

Từ đây suy ra: v(G ) = v( A) + Ω ∧ AG = (−b(Ω + 2 ') sin ; −bΩcos ;0) (2)
Cho (1) bằng (2) ta được Ω = − ' ez
Ví dụ 7.
Một con lắc kép gồm hai thanh OA và AB
giống nhau, đồng chất, có khối lượng m, chiều dài
2b và nối khớp ở A. Hai thanh chuyển động trong
mặt phẳng thẳng đứng Oxy và góc nghiêng của

O
α

A

+
y’

G1
β

chúng được xác định bởi các góc α, β so với
đường thẳng đứng Ox hướng xuống. Tính mô men
động lượng đối với O và động năng của con lắc
kép này.

y

G2

x

B
x’

Giải
Thanh OA quay quanh trục Oz cố định, định lý Huygens cho:
J OZ (OA) = mb 2 +

1
4
m(2b) 2 = mb 2
12
3

Từ đó ta có mô men động lượng của thanh OA đối với điểm O:
LO (OA) = J Oz (OA). ' ez =

4 2
mb ' ez
3

Động năng của thanh OA:
K (OA) =

1
2
J Oz (OA). '2 = mb 2 '2
2
3

Áp dụng định lý Koenig cho phép tính các phần tử động học của thanh AB:

Trường THPT Chuyên Thái Bình

14


HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

LO ( AB ) = OG2 ∧ mv(G2 ) + J G2 z ( AB ). ' ez
K ( AB ) =

1 2
1
mv (G2 ) + J G2 z ( AB ). '2
2
2

2b cos + b cos
Biết rằng: OG2 2b sin + b sin
0

−2b 'sin − b 'sin
d
Và vận tốc của G2 là v(G2 ) = OG2 = 2b ' cos + b ' cos
dt
0

Và J Gz ( AB) =

1
1
m(2b) 2 = mb 2 = J
12
3

1
Ta có: LO ( AB ) =  mb 2 (4 '+ '+ 2( '+ ')cos( − ) + mb 2 '  ez


3



Và động năng: K ( AB ) =  mb 2 (4 '2 + '2 + 4 '. ' cos( − ) + mb 2 '2 
2
6
1

1





Đối với cả hệ con lắc kép:
4
 16
'+
LO = LO (OA) + LO ( AB ) = mb 2 
3
 3

8 2 2
K = K (OA) + K ( AB ) = mb 2 
' +
3
3

'+ 2( '+



')cos( − )  ez



'2 + 2 '. ' cos( − ) 


Ví dụ 8.
Hai vật khác nhau có cùng khối lượng m trượt không ma sát trên mặt bàn
nằm ngang. Thời gian đầu các vật này thực hiện trượt tịnh tiến( không quay) và
các tâm của chúng có cùng vận tốc v dọc theo hai đường thẳng song song.
Khoảng cách giữa các đường thẳng bằng d. Tại một thời điểm nhất định xảy ra
va chạm đàn hồi lý tưởng giữa các vật. Sau va chạm, các vật thực hiện chuyển
động tịnh tiến, quay và tiếp tục trượt trên mặt bàn, vận tốc góc của vật thứ nhất
bằng

1

, của vật thứ hai bằng

2

. Mô men quán tính của chúng tính theo các trụ

thẳng đứng đi qua khối tâm lần lượt là I1 và I2.
a) Hãy chỉ ra rằng mô men xung lượng của vật tính theo điểm xác định bất
kì của mặt bàn bằng tổng mô men xung lượng của vật tính theo khối tâm
của nó.

Trường THPT Chuyên Thái Bình

15


HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

b) Tính khoảng cách d’ giữa các đường thẳng dọc theo khối tâm của hai vật
chuyển động sau va chạm.
c) Thừa nhận rằng, sau va chạm giá trị vận tốc của vật thứ nhất là

v
còn
2

vật thứ hai không quay. Hãy xét sự phụ thuộc của d’ vào d.
Giải:
mi

a)
Ta cần chứng minh:

LO = LG + ( ∑ mi ) rG ∧ vG = LG + M rG ∧ vG

rG + ri
G

Xét phần tử mi trên vật rắn. Ta có:

LO = ∑ mi (rG + ri ) ∧ (vG + vi )

O

rGG

= (∑ mi )rG ∧ vG + (∑ mi ri ) ∧ vG + rG ∧ (∑ mi vi ) + ∑ mi ri ∧ vi

∑ mi ri = 0
Nhận xét: 
∑ mi vi = 0
Do đó

LO = (∑ mi )rG ∧ vG + ∑ mi ri ∧ vi

Mặt khác,

(∑ mi )rG ∧ vG = M rG ∧ vG

∑ mi ri ∧ vi = LG

nên

LO = LG + M rG ∧ vG (ĐPCM)

'
b) Gọi v1 là vận tốc của vật 1 (của G1) sau va chạm.

m

G1

v

v

G2

Trường THPT Chuyên Thái Bình

ri

16


HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Do hệ kín nên động lượng của hệ được bảo toàn dó đó:

mv1' + mv2' = mv − mv = 0 ⇒ v1' = −v2' = −v '
Ta xét mô men động lượng của hệ đối với G2.
Do không có ngoại lực nên mô men động lượng trước và sau va chạm là
bằng nhau.
ban đầu thì LG2 = mvd

Ta có,

sau đó thì L 'G2 = mv ' d '+ I1
Mà

1

;

2

1

+ I2

mvd − I1 1 − I 2
mv '

c) Với v ' =

+ I2

2

có chiều như hình vẽ gọi là chiều dương nên

mvd = mv ' d '+ I1
⇒d'=

1

v
,
2

2

2

2

d'

=0⇒d'= 2 d −

I1 1
mv

2

1

I1
m

<0

1

1

>0

>0
d

Theo định luật bảo toàn năng lượng, ta có:
1 2
1
1
v
mv .2 = m( ) 2 .2 + I1
2
2
2
2
⇒ 2mv 2 = mv 2 + I1
⇒

1

v

=±

2
1

⇒ I1

2
1
2
1

= mv 2

I
m
⇒d'= 2 d ± 1
I1
m

Vậy:
a) LO = LG + M rG ∧ vG

Trường THPT Chuyên Thái Bình

17

I1
m


HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

b) d ' =

mvd − I1 1 − I 2
mv '

c) d ' = 2 d ±

2

I1
m

Ví dụ 9.
Xét một hình bán trụ D đồng nhất, tâm C,
khối tam G, bán kính R và khối lượng m. Hệ quy
chiếu Trái Đất (Oxyz) được xem là quán tính. Tất
cả đều nằm trong mặt phẳng thẳng đứng (Oxy). Ta
kí hiệu I là điểm tiếp xúc giữa mặt đất và D. Ta xác
định vị trí của D theo tọa độ x của tâm C của nó
theo góc

= (CI , CG ) .

Cho CG = b =

4R
. Hãy xác định phương trình chuyển động của D bằng cách:
3

a) Tính mô men lực của đĩa D đối với I.
b) Vận dụng định lý mô men lực đối với I để tìm phương trình vi phân
bậc hai của α.
c) Giả sử α rất nhỏ. Tuyến tính hóa phương trình vi phân có được ở câu
b) để từ đó suy ra chu kỳ T0 của các dao động nhỏ của D quanh vị trí cân bằng.
Giải
a) Tính mô men lực của D ở I
+ Cách 1. Dùng định lý Koenig đối với mô men lực.
M I = IG ∧ ma (G ) + J G " ez

Ta tìm được: M I = ( ( J + m( R 2 − 2bR cos )) "+ mRb '2 sin

)e

z

+ Cách 2. Dùng định lý Koenig đối với mô men động lượng của D đối với I
LI = IG ∧ mv(G ) + J G ' ez = ( J + m( R 2 − 2bR cos ) ) ' ez

Hay là LI = J I ' ez = ( J + m( R 2 − 2bR cos ) ) ' ez

Trường THPT Chuyên Thái Bình

18


HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Và dùng hệ thức M I =

d LI
= ( ( J + m( R 2 − 2bR cos )) "+ mRb '2 sin
dt

)e

z

b) Vận dụng định lý về mô men lực đối với điểm I, phép chiếu lên trục
Oz cho ngay kết quả (chỉ có mô men của trọng lực đối với I là khác không)

( ( J + m( R

2

− 2bR cos )) "+ mRb '2 sin

) = −mgb sin

c) Nếu α rất nhỏ, phương trình trên được đơn giản thành:
( J + mR 2 − 2mbR) " = −mgb

Như vậy vật hình bán trụ D thực hiện dao động nhỏ điều hòa quanh vị trí
cân bằng
α = 0 với chu kỳ: T0 = 2

J + mR 2 − 2mRb
mgb

Ta có mô men quán tính của D đối với trục qua C và vuông góc với D là
J=

mR 2
2

Nên T0 = 2

(9 − 16 R )

8g

Ví dụ 10.
Xét một khối lăng trụ đáy là lục giác đều, dài và
cứng, giống như một cái bút chì thông thường. Khối
lượng của nó là M và được phân bố đều. Tiết diện thẳng
của nó là một hình lục giác

α

đêu cạnh a. Mômen quán tính của khối lăng trụ lục giác đối với trục xuyên tâm
là I =

5
Ma 2 .
12

a) Ban đầu khối lăng trụ nằm yên trên một mặt phẳng nghiêng làm với mặt
ngang một góc nhỏ α. Trục của lăng trụ nằm ngang. Cho rằng các mặt của khối
lăng trụ hơi lõm một chút sao cho khối trụ chỉ tiếp xúc với mặt phẳng nghiêng ở
cạnh của nó. Bỏ qua ảnh hưởng của sự lõm ấy đối với mômen quán tính. Khối
trụ ấy bị đẩy cho dịch chuyển và bắt đầu lăn xuống trên mặt nghiêng. Cho rằng
do ma sát mà khối trụ không trượt và luôn chạm vào mặt nghiêng. Vận tốc góc

Trường THPT Chuyên Thái Bình

19


HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

của nó ngay trước khi một cạnh của nó đập vào mặt nghiêng là ωi và ngay sau
khi cạnh ấy đập vào mặt nghiêng là ωf . Chứng minh rằng ta có thể viết : ωf =
sωi , tìm s.
b) Động năng của khối trụ ngay trước và ngay sau khi một cạnh đập vào mặt
nghiêng là Ki và Kf. Chứng minh rằng : Kf = r. Ki. Tìm r.
c) Để có lần va đập tiếp theo thì Ki phải vượt qua giá trị Ki min , mà ta có thể
viết dưới dạng: Ki min = δMga, trong đó g = 9,81 m/s2. Tính giá trị của δ theo
góc nghiêng α và hệ số r.
d) Giả sử điều kiện trong phần c) được thỏa mãn, động năng Ki sẽ dần tới
một giá trị không đổi Kio khi khối trụ lăn xuống trên mặt phẳng nghiêng. Biết
rằng giá trị ấy tồn tại, chứng minh rằng Kio có thể viết dưới dạng : Kio = kMga,
tìm biểu thức của k theo α và r.
e) Tính chính xác đến 0,1o góc nghiêng thối thiểu αo để cho quá trình lăn một
khi đã được khởi động, sẽ tiếp diễn mãi mãi.
Giải.
a) Cách 1.
- Trước va đập, khối trụ quay quanh trục I, sau va đập nó quay quanh trục F.
Xung lực xuất hiện khi va chạm đi qua F, vậy : Mômen động lượng L của khối
trụ đối với trục F được bảo toàn trong quá trình va chạm. Ta có :
Trước va đập : Li = Mômen động lượng quanh khối tâm C + Mômen động
lượng của khối tâm quanh trục quay F bằng (theo định lý Koenig)
LF = LG + ( FC × M vci ).
LFi = I C i ez + ( FC × M vci )

với ez là vec tơ đơn vị của trục hình trụ
Li = ICωi + vci.cos60o.a.M (1)
Vì vci = ωi.a và I C =

30

5
Ma 2 nên
12

5
 11Ma
Li = Ma 2  i + i  =
2
12
 12

Sau va đập : L f = I f

C

f

=

Ι
vci

2
i

(2)

17 Ma 2

12

ο

α
f

(3)

Trường THPT Chuyên Thái Bình

20

F


HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

11Ma 2
12

Suy ra : Li = Lf

=

i

17 Ma 2

⇔s=

f

12

f

=

i

11
17

lưu ý s không phụ thuộc α, a ωi
Cách 2.
Khi cạnh khối trụ va đập vào mặt nghiêng (trong thời gian dt) thì có phản
lực N tác dụng lên khối trụ, do có ma sát nên N không vuông góc với mặt
nghiêng.
+ Thành phần song song với mặt nghiêng là N//.
+ Thành phần vuông góc với mật nghiêng là N⊥.
Lấy trục song song với mặt nghiêng hướng từ thấp đến cao, trục vuông
góc với mặt nghiêng hướng từ dưới lên trên.
Ta có: N // dt = M (
N ⊥ dt = M (

−

f

f

+

)a.sin 30 0 = m(

f

−

i

)a. cos 30 0 = m(

f

+

i

i

i

1
2

Mặt khác: N ⊥ dt.a − N // dt.a

3
= IC (
2

f

−

i

)a

3
(4)
2

1
)a (5)
2

)(6) (định lí biến thiên mômen

động lượng đối với C)
Từ (4), (5), (6) loại N// và N⊥ ta cũng được : s =

f

=

i

11
17

b) Tốc độ dài của khối tâm ngay trước lúc va đập là aωi và ngay sau lúc
va đập là aωf.
MvC2 I C 2
+ Động năng toàn phần của một vật quay là : K =
(7 )
+
2
2

+ Trước va đập : K i =

MvC2 I C i2 1 
+
=  Ma 2
2
2
2

2
i

+

5Ma 2
12

2
i

 17 Ma 2
 =
24


2
i

Ta thấyđộng năng tỉ lệ với ω2.
+ Sau va đập : K f =
Suy ra :

Kf
Ki

=

2
f
2
i

MvCf2
2

+

I C i2 1 
=  Ma 2
2
2

2

2
f

+

121
 11 
= r ≈ 0,419 (8)
=  =
289
 17 

Trường THPT Chuyên Thái Bình

21

5Ma 2
12

 17 Ma
 =
24


2

2
f

2
f


HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

c) Động năng Kf sau va đập phải đủ lớn để có thể nâng khối tâm của khối
trụ lên vị trí cao nhất trên đường thẳng đứng đi qua tiếp điểm.
+ góc mà véc tơ rC phải quay là : x = 30o - α
+ năng lượng để khối tâm nâng lên là :
E 0 = Mga (1 − cos x ) = Mga (1 − cos(30 0 − )) (9)

ta suy ra điều kiện :
Kf = r.Ki > Eo = Mga(1-cos(30o - α))
=

[

r.Ki min = δMga =Eo

]

1

1 − cos(30 0 − ) (10)
r

d) Gọi Ki,n và Kf,n là động năng ngay trước và ngay sau va đập lần thứ n.
Ta chứng minh có hệ thức :
Kj,n = r.Ki,n trong đó r được tính ở (8). Giữa hai va đập liên tiếp, độ cao khối
tâm
của khối trụ giảm di là asinα, động năng của nó tăng lên một lượng ∆ =
Mgasinα,
do đó Ki, n + 1 = r.Ki + ∆ (11)
Ta không cần phải viết biểu thức đầy đủ của Ki,n là hàm theo Ki và n để tìm
giới hạn của nó. Làm như thế là chứng minh sự tồn tại của giới hạn đó. Theo đề
bài, giới hạn đó đã tồn tại, vì thế có thể cho Ki,n + 1 ≈ Ki,n khi n đủ lớn một cách
tùy ý. Giới hạn Ki,o đó phải thỏa mãn hệ thức :
Ki,o = r.Ki,o + ∆ (12)

K i ,0 =

∆
1− r

kMga =

Mga sin
1− r

⇔k=

sin
(13)

1− r

Ta có thể giải bài toán một cách tường minh bằng cách viết các biểu thức một
cách đầy đủ :
Ki,2 = r.Ki,1 + ∆
Ki,3 = r.Ki,2 + ∆ = r(r.Ki,1 + ∆) + ∆ = r2.Ki,1 + (1+r)∆
Ki,4 = r.Ki,3 + ∆ = r. (r2.Ki,1 + (1+r)∆) + ∆ = r3.Ki,1 + (1 + r + r2)∆
........................
Ki,n = rn-1.Ki,1 + (1 + r + r2 + ....+ rn-2)∆ = r n−1 K i ,1 +
Khi n → ∞, vì r < 1, nên ta có : K i ,n → K i ,0 =

Trường THPT Chuyên Thái Bình

22

1
∆ (15)
1− r

1 − r n−1
∆ (14)
1− r


HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Nếu ta tính biến thiên động năng trong một chu kí nghĩa là từ trước lần
đập thứ n tới trước lần đập thứ n + 1, ta được:
∆Ki,n = Ki,n+1 – Ki,n = (r – 1)rn-1Ki,1 + rn-1∆ = rn-1[∆ - (1 – r)Ki,1] (16)

Đại lượng này dương nếu giá trị ban đầu Ki,1 < Ki,o và khi ấy Ki,n tăng dần tới
giá trị giới hạn Ki,o. Ngược lại, nếu Ki,1 > Ki,o thì động năng trước va đập Ki,n sẽ
giảm tới giá trị giới hạn Ki,o.
e) Để khối trụ lăn mãi, giá trị giới hạn Ki, trong phần d) phải lớn hơn giá trị
nhỏ nhất để có thể tiếp tục lăn đã tìm được trong phần c):
K i ,0 =

đặt A =

Mga sin
∆
=
1− r
1− r

>

Mga
(1 − cos(30 0 − ))(17)
r

r
121
ta có : Asinα > 1- cos(30o - α) = 1 – cos30ocosα - sin30osinα
=
1 − r 168

1
3


cos > 1 (18)
 A +  sin +
2
2


Giải phương trình lượng giác này ta được αo ≈ 6,58o
+ Nếu α > αo và động năng trước lần va đập đầu tiên đủ lớn như đã nói ở
câu c) thì ta sẽ có một quá trình lăn liên tục.
+ Chú ý: do đầu bài nói α là góc nhỏ nên cũng có thể áp dụng các công
thức gần đúng: sinx ≈x ; cosx ≈ 1- x2/2 để giải bất phương trình (18).

III. BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1
Một bánh xe to ở chỗ chơi ngày
lễ hội có bán kính R quay với tốc độ góc

A
G

ω không đổi quanh trục nằm ngang của
bánh xe. Ta xét một cái thùng treo (móc
nối rất tốt ở A trên bánh xe) và hành
khách (mà ta xem như hoàn toàn không
động đậy trong thùng treo), hệ thùng treo

Trường THPT Chuyên Thái Bình

23

O
O

b


HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

và hành khách có khối lượng m, có khối
tâm G nằm trên đường thẳng đứng qua
điểm A, cách A một khoảng b. Xác định
mô
men động lượng đối với O, mô men lực đối với O và động năng của hệ thùng
treo và hành khách.
Đáp số: LO = mR 2 ey với vec tơ ey vuông góc mặt phẳng hình vẽ
M O = 0 và K =

1
mR 2
2

2

Bài 2
Bốn thanh OD, OE, AC và BC có khối lượng
O
không đáng kể nối khớp với nhau tại các điểm O, A,
B và C. Điểm O là cố định, ống C được xem là một
A

ϕ B
chất điểm khối lượng m trượt theo trục thẳng đứng
(Oz). Ở các đầu mút D và E có hai chất điểm giống
C
D
nhau, cùng khối lượng m. Ta xác định vị trí của hệ
E
bằng góc ϕ. Hãy tìm tổng động lượng, mô men động
z
lượng đối với O và động năng của hệ theo đạo hàm
ϕ’ của góc ϕ. Cho biết: OA = OB = AC = BC = AD
= BE = b.
Đáp số: p = −6mb 'sin ez ; LO = 8mb 2 ' ey và K = 2mb 2 '2 (2 + sin 2 )

x

+

Bài 3
Một thanh AB có khối lượng không đang kể, chiều dài 4a được treo ở điểm
giữa O cố định. Ở A và b có khớp nối với hai thanh giống nhau CD và EF, khối
lượng không đáng kể, chiều dài 2a (A là điểm giữa của CD, B là điểm giữa của EF).
Ở các đầu mút C, D, E và F có bốn
F B
khối điểm giống hệt nhau m. Tính mô men
+
động lượng đối với O và động năng của hệ
E
phụ thuộc vào các góc ϕ,α, β và các đạo

β

O

D

hàm của chúng.

ϕ
x

Trường THPT Chuyên Thái Bình

24

y
A
α

C


HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

áp s : LO = 2ma 2 (8 '+ '+ ')ez
K = ma 2 (8 '2 + '2 + '2 )

Bài 4

O

Thanh thẳng AB đồng chất, tâm C dài b, có khối
lượng m được treo nằm ngang nhờ hai dây nhẹ, không dãn,
cùng chiều dài, được treo vào điểm O như hình vẽ. Góc tạo bởi

α
A

các dây treo và thanh là α = 60 . Hệ quy chiếu Trái Đất được
o

xem là HQC quán tính.
a) Hệ cân bằng. Tìm lực căng của dây T0 của dây OA tại A.
b) Tìm lực căng T của dây OA khi dây OB đột ngột bị đứt (khi mà thanh
AB còn chưa kịp dịch chuyển). Tính tỉ số
Đáp số: a) T0 =

mg
3

b) T =

T
T0

2 3mg T
6
; =
T0 13

13

Bài 5
Một hình vuông ABCD cạnh L có thể
quay xung quanh một điểm A mà vẫn nằm

A

trong mặt phẳng (xOy), với tốc độ góc ω. Ở các
đỉnh có các chất điểm khối lượng m và bỏ qua
khối lượng của các thanh nối. Hãy xác định,
trong HQC R, động lượng, mô men động lượng
đối với A cũng như động năng.
Đáp số: p = 2m BD ; LA = 4m L2 ez ; K = 2mL2

Trường THPT Chuyên Thái Bình

25

2

ω

L
y
B

G
x

D