Download sáng kiến kinh nghiệm cách dựng thiết diện trong hình học không gian

s¸ng kiÕn kinh nghiÖm
§Ò tµi :

C¸ch dùng thiÕt diÖn
trong h×nh häc kh«ng gian

Ngêi thùc hiÖn :

C¸ch x¸c ®Þnh thiÕt diÖn


Lý do chọn đề tài :
Trớc tình hình học sinh tởng tợng không gian quá yếu, để nâng cao kiến
thức vẽ hình không gian. Trong việc giảng dạy hình học không gian ở lớp 11,
cần chú ý rèn luyện kỹ năng xác định thiết diện của một mặt phẳng với một
khối đa diện, bằng cách xác định các giao tuyến của mặt phẳng đó với các
mặt của khối đa diện.
Trớc hết phải xác định thực chất của việc xác định thiết diện là giải bài
toán dựng giao điểm giữa đờng thẳng với mặt phẳng và dựng giao tuyến giữa
hai mặt phẳng với nhau. Bởi vậy Tôi chọn đề tài này làm sáng kiến kinh
nghiệm cho năm học 2000 - 2001 .
1. Phơng pháp dựng giao tuyến gốc : Để dựng mặt cắt giữa T và
, trớc tiên hãy tìm cách xác định giao tuyến của với một mặt phẳng chứa
một mặt của T. Trên mặt phẳng này, lấy giao điểm của giao tuyến vừa tìm đợc
với các đờng thẳng chứa cạnh của T. Từ các giao điểm mới tìm đợc sẽ dựng
giao tuyến của với các mặt khác của T . Với các giao tuyến này lặp lại quá
trình trên cho đến khi tìm ra mặt cắt.
Giao tuyến đầu tiên giữa với một mặt của T gọi là giao tuyến gốc, vì từ
giao tuyến đó ta sẽ dựng đợc các giao tuyến khác .
Cách dựng trên đây thờng dùng khi mặt phẳng đợc cho dới dạng tờng
minh, tức là cho bởi ba điểm không thẳng hàng, hay cũng vậy, bởi hai đờng

thẳng cắt nhau hoặc hai đờng thẳng song song.
Ví dụ 1 : Các điểm M, N nằm trong các cạnh AB, AD của hình hộp
ABCD.ABCD. Dựng mặt cắt giữa hình hộp và mặt phẳng đi qua ba điểm
M, N, C.
N
O1
A
B
Giải : cắt mặt (ABCD) theo giao tuyến MN . M
Gọi O1, O2 là giao điểm của đờng thẳng MN
I
với các đờng thẳng CB, CD. cắt mặt
O2 D
C
(BCCB) theo giao tuyến O1C và mặt
K A
B
(CDDC) theo giao tuyến O2C .
Lấy giao điểm I của O1C với BB và giao điểm
D
C
K của O2C với DD .
Ngũ giác INMCK là mặt cắt cần dựng .
Chú ý : Trờng hợp giao tuyến gốc cha tìm thấy ngay thì để dựng nó, thờng phải giải bài toán phụ : tìm giao điểm giữa đờng thẳng và mặt phẳng.

2


Ví dụ 2 : Các điểm M,N,P lần lợt nằm trong các tam giác DAB, DBC và
ABC. Dựng mặt cắt giữa tứ diện ABCD với mặt phẳng = (MNP) .

D
H
B
G

M
M1

C

J

N
O
P

I
A

Giải : Cha có giao tuyến nào giữa và mặt của tứ diện thấy ngay đợc.
Do đó, ta phải dựng một trong chúng, có chung với mặt (ABC) điểm P.
Muốn tìm thêm một điểm chung nữa của chúng, ta tìm giao điểm O của đờng
MN với (ABC) .
D
DM cắt AB tại M1. DN cắt BC tại
N1. Mặt phẳng (DM1N1) chứa MN cắt
F
(ABC) theo giao tuyến M1N1, nên giao
B
điểm O của MN với M1N1 là giao điểm

G M
N
của MN với mặt (ABC). Giao tuyến gốc
M1
O
cần dựng là OP. Tuỳ theo vị trí tơng đối
E
P
I
giữa OP và ABC mà mặt cắt cần dựng C
sẽ là tứ giác EFIK hoặc tam giác EFI.

A

Nếu MN // M1N1 thì //M1N1 và giao tuyến gốc sẽ là đờng thẳng qua P
song song với M1N1.
2. Mặt phẳng đợc cho bởi các tính chất song song :
a) đi qua đờng thẳng d1 và song song với d2, chéo nhau với d1 : Lúc
này trên mới có một đờng thẳng d1 đã biết. Ta cần dựng đợc một đờng
thẳng cắt d1 và song song với d2. Đờng này thờng đợc dựng nh sau : Chọn
một mặt phẳng có chứa d2 sao cho giao điểm A của d 1và có thể dựng đợc
ngay. Trong mặt phẳng dựng đờng thẳng d2 qua A song song với d2, sẽ là
mặt phẳng chứa d1 và d2.
Ví dụ 3 : Điểm H nằm trên cạnh SC của hình chóp tứ giác S.ABCD.
Dựng mặt cắt giữa hình chóp và mặt phẳng đi qua AH, song song với BD.

3


Giải : Gọi O là giao điểm của AC và BD. Đờng AH cắt mặt (SBD) tại

giao điểm I của AH và SO. Đờng thẳng qua I, song song với BD sẽ thuộc mặt
phẳng .
Gọi M,N là giao điểm của đờng
thẳng đó với SB, SD, tứ giác AHMN là
mặt cắt cần dựng .

S
H
N

I

M

D

C
O

A

B

b) đi qua một điểm M, song song với hai đờng thẳng chéo nhau d1, d2
Để dựng , trớc tiên hãy xét hai mặt phẳng (M,d1),(M,d2). Trong mỗi
mặt phẳng này dựng một đờng thẳng qua M song song với d 1, d2. Khi đó là
mặt phẳng chứa hai đờng thẳng vừa dựng.
Ví dụ 4 : Hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. M là trọng tâm
tam giác SBD. Dựng mặt cắt giữa hình chóp và mặt phẳng qua M, song
song với SB, AC .

Giải : Gọi O là giao điểm của AC và BD. Do ABCD là hình bình hành
nên trọng tâm M của SBD nằm trên SO.
Mặt phẳng (M,SB) là mặt phẳng (SBD).
Trong mặt phẳng này, đờng thẳng qua M,
song song với SB sẽ cắt SD tại N, DB tại
K.

S

N
P

M

I

D
O

A

K

B

E
Do M SO nên mặt phẳng (M,AC) là mặt phẳng (SAC). Do đó đờng
thẳng qua M, song song với AC sẽ cắt SA tại P, SC tại I. Vậy là mặt phẳng
chứa hai đờng thẳng NK,PI. Mặt phẳng này có chung với đáy ABCD điểm K
và song song với AC nên cắt đáy theo giao tuyến qua K và song song với AC.

Giao tuyến đó cắt AB tại E, BC tại F. Ngũ giác EFINP là mặt cắt cần dựng,
4

C
F


Ví dụ 5. Điểm M thuộc đoạn AD. Dựng mặt cắt giữa hình hộp
ABCD.ABCD và mặt phẳng qua M, song song với BD và AC.
Giải : Mặt phẳng (MBD) là mặt (ABCD), cắt mặt (ABCD) theo giao
tuyến qua M, song song với BD. Giao tuyến này cắt các đờng AB, CB, CD tại
N, O1, O2, sẽ là mặt phẳng qua O1, O2, song song với AC. O1O2 cắt AC tại
I, sẽ cắt mặt (ACCA) ( chứa đờng AC) theo giao tuyến qua I song song
với AC. Giao tuyến này cắt CC tại Q. QO 1 cắt BB tại P. QO 2 cắt DD tại R.
Ngũ giác MNPQR là mặt cắt cần dựng.
3. Mặt phẳng đợc cho

D

C

bởi tính chất vuông góc .

A

B
O2

J
O1

D
A

M

C
I

B

a) đi qua điểm M và vuông góc với một đờng thẳng a : Dùng kết quả :
Nếu mặt phẳng và đờng thẳng d cùng vuông góc với đờng thẳng a thì d//
hoặc d nằm trong , ta khôi phục mặt phẳng bằng cách sau : Tìm hai đờng thẳng d1,d2 cùng vuông góc với a, sẽ là mặt phẳng qua M, song song
với d1, d2 hoặc chứa một trong chúng và song song với đờng còn lại .
Ví dụ 6 . Hình chóp tứ giác SABCD có đáy là hình vuông. SAB là tam
giác đều nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy . M là trọng tâm BCD. là
mặt phẳng qua M, vuông góc với AB, là mặt phẳng qua M vuông góc với CI
( I là điểm giữa đoạn AB). Dựng mặt cắt giữa hình chóp và các mặt phẳng ,
.
Giải : a) Từ giả thiết thấy ngay BC AB và SI AB . Vậy là mặt
phẳng qua M song song với BC và SI. Mặt cắt là hình thang EFNK .
b) Do (SAB) (ABCD) và SI AB nên SI (ABCD). Do đó SI CI
(1). M là trọng tâm BCD nên DM cắt BC tại điểm giữa H của đoạn này. Vì
5


ABCD là hình vuông nên : DH CI (2). Từ (1) và (2) suy ra là mặt phẳng
qua DH và song song với SI . Mặt cắt là tam giác DHQ.
Nếu xác định đợc hình chiếu H của M trên a, thì ta chỉ cần tìm một đờng

d1 a, sẽ là mặt phẳng qua MH, song song với d1. Chú ý rằng vị trí vị trí
của điểm H trên đoạn AB đã cho có thể xác định bằng hai cách : tính độ dài
đoạn AH hoặc tình đợc tỷ số HA/HB.
Ví dụ 7 . Hình chóp tứ giác SABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đoạn
Sa =a, vuông góc với đáy . Dựng mắt cắt giữa hình chóp và mặt phẳng qua
A vuông góc với SC.
Giải : Do SA (ABCD) nên SA BD. Mặt khác AC BD suy ra BD
(SAC). Vậy BD SC (1) .
Gọi H là hình chiếu của A trên SC. Do AH là đờng cao của tam giác
a2
HS
1
SA 2
vuông SAC nên :
=
=
2 =
2
HC
2
(a 2 )
CA

H là điểm chia đoạn SC theo tỷ số 1/2 và ta dựng đợc điểm H này. Do
(1) nên là mặt phẳng qua AH, song song với BD. Mặt cắt là tứ giác
AHMN.
b) đi qua đờng thẳng d1, và vuông góc với mặt phẳng đã cho : ( d1
xiên góc với )
Sử dụng kết quả : Nếu mặt phẳng và đờng thẳng d2 cùng vuông góc
với mặt phẳng thì hoặc // d2, hoặc phải chứa d2 . Ta dựng mặt phẳng

bằng cách : tìm một đờng thẳng d2 vuông góc với , sẽ là mặt phẳng chứa
d1, song song với d2, hoặc phải chứa d1 và d2.
Ví dụ 8 : Hình chóp S.ABC có 3 góc phẳng tại S vuông. H là trực tâm
tam giác ABC.
1. Chứng minh rằng SH mp(ABC).
2. Chứng minh rằng tam giác ABC có 3 góc nhọn .
3. Chứng minh rằng dtABC

1
3

( dtSAB + dtSBC + dtSAC)
A
H
C
S

B

6


Giải :
1. Cách 1 : Do AC BH , SB mp(SAC) SB AC AC mp(SBH)
AC SH, tơng tự ta có AB SH .
Cách 2 : Xem SH là giao tuyến của hai mặt phẳng : SBH và SCH.
Ta thấy mp(SBH) mp(ABC), mp(SCH) mp(ABC) SHmp(ABC).
2. Ta chỉ cần chứng minh A nhọn .
Cách 1 : Dựa vào nhận xét sau đây : Trong tam giác ABC nếu trung
tuyến AM >

1
BC thì A nhọn. áp dụng vào bài toán trên, ta có
2

SA mp(SBC) SAM vuông tại S và AM > SM. Trong SBC vuông tại S,
có SM =

1
1
BC AM > BC.
2
2

Cách 2 : áp dụng định lý hàm số cosin, ta có : cosA =

AB 2 + AC 2 BC 2
2. AB. AC

A nhọn khi cosA > 0 AB2 + AC2 - BC2 >0. Vậy ta chỉ cần chứng minh có
đẳng thức này. Thật vậy: AB 2 = SA2 +SB2, AC2 = SA2 +SC2, BC2 = SB2 + SC2
AB2 + AC2 - BC2 = 2SA2 >0
3. Đặt X = dtSAB; Y = dtSAC; Z = dtSBC. Ta cần chứng minh :
(dtSABC)2 = X2 + Y2 + Z2
Cách 1 : Dựa vào hệ thức sau đây : (dtSAB)2 = dtABH x dtABC (*)
Vì ABC có 3 góc nhọn, nên H ở trong tam giác. Vậy
dtABC = dtAHB

+ dtAHC +

A

dtBHC . Nhân cả hai vế của đẳng thức với
dtABC và áp dụng hệ thức (*) ta có đpcm.

H
C
S

B

K

Cách 2 : Gọi K là giao điểm của AH với BC. Khi đó SK BC
(dtABC)2 =
SB2SA2 +

1
1
1
1
1
BC2.AK2 = BC2(SA2 + SK2 ) = BC2SA2 + BC2SK2 =
4
4
4
4
4

1

1
SC2SA2 + BC2SK2
4
4

=(dtSAB)2 + (dtSAC)2 + (dtSBC)2.
Bây giờ ta chỉ cần chứng minh ( X + Y + Z ) 2 3 ( X2 + Y2 + Z2 ).

7


Ví dụ 9. Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O là một điểm tuỳ ý
trong tứ diện. Đờng thẳng OG cắt các mặt phẳng chứa các mặt của tứ diện tại
A, B, C, D. Chứng minh rằng

A' O B ' O C ' O D' O
+
+
+
=4.
A' G B ' G C ' G D' G

Giải : Cho tứ diện ABCD, ta biết bốn đoạn thẳng nối đỉnh và trọng tâm
của mặt đối diện là đồng quy tại G( trọng tâm của tứ diện) và ta có
AA1=4GA1 với A1 là trọng tâm của tam giác BCD.
Hạ GGA (BCD), GG B (ACD), GG C (ABD), GG D (ABC). Ta có
các tỉ lệ thức sau :

GG A
GGC

GG B
GG D
1
=
=
=
= (1)
AH A
AH B
AH C
AH D
4
A

C
D
B

A
A1
B
C

Hạ OOA (BCD), OOB (ACD), OOC (ABD), OOD (ABC). Ta có
A' O OO A
B' O OO B
C ' O OOC
D' O OO D
=
=

=
=
;
;
;
(2). Nối O với bốn
A' G GG A
B ' G GG B
C ' G GGC
D' G GG D

đỉnh của tứ diện đã cho, ta có VO.ABC +VO.ACD + VO.ADB + VO.BCD = VABCD hay
VO.BCD VO. ACD VO. ADB VO. ABC
OO A OO B OOC OO D
+
+
+V
= 1 hay
+
+
+
= 1(3). Từ
V ABCD V ABCD V ABCD
AH A AH B AH C AH D
ABCD

(1) ta đợc AHA = 4GG A, AHB = 4GG B, AHC = 4GG C, AHD = 4GG D. Thay vào
(3) ta có
=

OO A
OO B
OOC
OO D
GG A
GG B
+
+
+
= 4 . Sử dụng (2) ta có
=
GG A
GG B
GGC
GG D
AH A
AH B

GGC
GG D
1
=
= .
AH C
AH D
4

Ví dụ 10 : Cho hình lập phơng ABCD.ABCD. Gọi O1 là tâm của mặt
BCCB và O2 là tâm của mặt CDDC.
a) Tìm giao điểm của đờng thẳng CC và mặt phẳng (AO1O2).

b) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (ABCD) và mặt phẳng (AO 1O2).

8


Giải : a) Gọi I là tâm của mặt ABCD; CI O1O2 = J; J CI

J

(ACCA); J O1O2 J (AO1O2). Từ đó AJ là giao tuyến của
(ACCA) Và (AO1O2). Trong mặt phẳng (ACCA), AJ CC = M. Từ đó
M là giao điểm của CC và (AO1O2) .
b) Cách 1 : Trong mặt phẳng
D
C
(BCCB) : MO cắt BC tại K. Suy ra K
(AO1O2). Do K BC K (ABCD). A
Vậy K là điểm chung của (AO1O2) và

B
O2

M

J
O1

(ABCD) giao tuyến chung là AK.
D

C

A

I
B

K

Cách 2 : Giao tuyến phải là đờng thẳng qua A. Mặt khác do (ABCD)
chứa đờng thẳng biểu diễn, (AO1O2) chứa đờng thẳng O1O2 và O1O2// BD
hai mặt phẳng (AO1O2) và (ABCD) cắt nhau theo giao tuyến qua A và song
song với BD.
Ví dụ 11 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi
O là giao điểm của hai đờng chéo AC và BD. xác định thiết diện của hình
chóp cắt bởi mặt phẳng () đi qua O, song song với AB và SC. Thiết diện đó là
hình gì ? ( Bài tập 3 Sgk 11 trang 32).
S
Giải : Do thiết diện đi qua O và // AB
và SC nên mặt phẳng () đi qua O, qua O
kẻ MF // AB và cắt AD ở M, cắt BC ở F.
Qua M kẻ mặt nón // SC cắt SA ở N, qua N A
kẻ NE // AB cắt SB ở E . Thiết diện là hbh
MNEF(?).( chứng minh đợc EF //SC)

N
E

D

M
O
B

F

Ví dụ 12 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC có AA// BB// CC.
Gọi H là trung điểm của cạnh AB.
a) Chứng minh rằng đờng thẳng CB // với mặt phẳng (AHC).
b) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (ABC) và (ABC). Chứng minh
d song song với mặt phẳng (BBCC).
c) Xác định thiết diện của mặt phẳng (H,d) với lăng trụ ABC.ABC.
9

C


A

O

P
C

B
d

Giải :

E

D

A
H

Q

B

C

a) Vì hình lăng trụ tam giác ABC.ABC có AA// BB// CC. Gọi H là trung
điểm của cạnh AB nên gọi J là trung điểm AB, ta có CI//CH và IB//HA
mặt phẳng (CIB) // mặt phẳng (AHC) CB// mặt phẳng (AHC)
b) Gọi E là giao của AB và AB; D là giao của AC và AC giao tuyến của
hai mặt phẳng (ABC) và (ABC) là d chính là DE.
c) Gọi mặt phẳng đi qua H và d là mặt phẳng () mặt phẳng () chứa E và
D mặt phẳng () cắt mặt phẳng (BAAB) tại HE hay đó chính là HO, với
O là trung điểm AB OP mp () (vì OP // d) PQ cũng thuộc mp ().
Vậy thiết diện là tứ giác HOPQ ( có thể thấy rõ HOPQ là hình bình hành).

Tài liệu tham khảo :
1. Phơng pháp giảng dạy toán sơ cấp .
2. Các bài giảng luyện thi môn toán.
3. Tạp chí Kbaht .
4. Báo toán học tuổi trẻ .
5. Matematika B koLe
6. Tuyển tập các bài toán sơ cấp

10