Khoá luận tốt nghiệp ứng dụng của vành chính, vành euclide

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2
KHỎA t o á n

PHẠM THỊ HUÊ

ỨNG DỤNG CỦA VÀNH CHÍNH,
VÀNH EUCLIDE

KHÓA LUẬN
TỐT NGHIỆP
ĐẠI
HỌC
•
•
•
•
__

r

Chuyên ngành: Đại sô

HÀ NỘI - 2015


TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2
KHÒATOÁN

PHẠM THỊ HUÊ

ỨNG DỤNG CỦA VÀNH CHÍNH,

VÀNH EUCLIDE

KHÓA LUẬN
TÓT NGHIỆP
ĐẠI
•
•
• HỌC
•
Chuyên ngành: Đại số

Người hướng dẫn khoa học
DƯƠNG THỊ LUYÉN

HÀ NỘI - 2015


LỜI CẢM ƠN

Trong quá tình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, em đã nhận được
sự giúp đỡ tận tình của các thầy cô giáo cũng như sự quan tâm động viên
của các bạn sinh viên Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Qua
đây em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu này.
Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc, chân thành tới cô giáo
Dưo’ng Thị Luyến đã tận tình hướng dẫn em hoàn thành tốt khóa luận.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng em không tránh khỏi những thiếu
sót. Vì vậy em kính mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo,
các bạn sinh viên để khóa luận của em hoàn thiện hơn nữa.
Em xin chân thành cảm on!
Hà Nội, ngày 06 tháng 05 năm 2015

Sinh viên

Phạm Thị Huê


LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan: Khóa luận tốt nghiệp này là kết quả của quá trình
học tập, nghiên cứu nỗ lực của em cùng với sự giúp đỡ của các thầy cô, các
bạn sinh viên Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Đặc biệt là sự
giúp đỡ tận tình của cô Dương Thị Luyến. Trong quá trình hoàn thành khóa
luận, em có tham khảo những tài liệu có liên quan đã được hệ thống trong
mục tài liệu tham khảo.
Khóa luận tốt nghiệp “ứng dụng của vành chính, vành Euclide”
không có sự trùng lặp với các khóa luận khác.
Hà Nội, ngày 06 thảng 05 năm 2015
Sinh viên

Phạm Thị Huê


MỤC LỤC

MỞ ĐẦ U .............................................................................................................. 1
1. Lí do chọn đề tài............................................................................................. 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu................................................................ 1
3. Đối tượng nghiên cứu....................................................................................2
4. Phương pháp nghiên cứu.............................................................................. 2
CHƯƠNG 1. VÀNH CHÍNH, VÀNH EƯCLIDE.......................................... 3
1. Các khái niệm và tính chất số học trong miền nguyên................................3
2. Vành chính..................................................................................................... 4

2.1. Định nghĩa.................................................................................................. 4
2.2. Tính chất..................................................................................................... 4
3. Vành Euclide.................................................................................................. 9
3.1. Định nghĩa.................................................................................................10
3.2. Tính chất....................................................................................................10
CHƯƠNG 2. ỨNG DỤNG CỦA VÀNH CHÍNH, VÀNH EƯCLIDE..... 13
1 .Vành số nguyên..............................................................................................13

7.7. Xây dụng vành số nguyên........................................................................ 13
1.2. Vành so nguyên là vành chính, vành Euclicle......................................... 14
2. Vành đa thức một ẩn..................................................................................... 15
2.1. Xây dưng vành đa thức một ẩ n ................................................................15
2.2. Vành đa thức một ân trên trường là vànhchính, vành E uclỉde............16
3. ứng dụng trong vành số nguyên................................................................ 17
3.Ì. Sự tồn tại của UCLN................................................................................17
3.2. Các tính chất của ƯCLN.......................................................................... 20


3.3. Cách tìm ƯCLN..........................................................................................26
3.4. Sự phân tích một số nguyên thành các thừa số nguyên to.................. 26
4.

ứng dụng trong vành đa thức một ẩn trên các trường: số phức c , số thực

R, số hữu tỉ Q .................................................................................................... 28
4.1. Sự tồn tại của UCLN.................................................................................. 28
4.2. Các tính chất của ƯCLN.......................................................................... 31
4.3. Sự phân tích một đa thức thành các nhân tử bất khả q u y..................... 35
4.4. Các úng dụng khác của vành chỉnh trong vành đa thức...................... ^
KẾT LUẬN....................................................................................................... 45

TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................ 46


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TH.S Dương Thị Luyến

MỎ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Môn toán là môn học có vai trò rất quan trọng trong kho tàng tri thức
của loài người, nó có tiềm năng to lớn trong việc khai thác và phát triển
năng lực trí tuệ, rèn luyện các thao tác và phẩm chất tư duy.
Đại số là một bộ phận lớn của toán học, trong đó lý thuyết vành chiếm
một phần quan trọng trong Đại số. Vành chính và vành Euclide là hai khái
niệm rất trừu tượng trong lý thuyết vành. Hai lớp vành đặc biệt này có
những tính chất quan trọng được ứng dụng rất nhiều trong toán phổ thông,
điều đó được thể hiện rõ nhất trong toàn bộ toán THCS. Mà các ứng dụng
của vành chính, vành Euclide trong toán phổ thông chính là các ứng dụng
trên vành số nguyên và vành đa thức một ẩn trên trường số.
Tuy nhiên cho đến nay, lý thuyết về vành chính và vành Euclide được
trình bày một cách sơ lược và khá trừu tượng trong các tài liệu, do đó việc
chỉ ra các ứng dụng của hai lớp vành này là rất khó khăn.
Với tất cả các lí do trên em mạnh dạn chọn đề tài “ứng dụng của
vành chính, vành Euclide” để làm khóa luận tốt nghiệp.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cửu
Nghiên cứu về các tính chất của vành chính và vành Euclide được ứng
dụng như thế nào trong hai lớp vành: vành số nguyên và vành đa thức một
ẩn trên trường số.
Khóa luận này gồm 2 chương:
Chương 1. Vành chính, vành Euclide

Chương 2. ứng dụng của vành chính, vành Euclide.
Trong khóa luận này em đã sử dụng viết tắt: UCLN là ước chung lớn nhất.

Phạm Thị Huê K37b Toán

1


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TH.S Dương Thị Luyến

3. Đối tưọng nghiên cửu
Vành chính, vành Euclide và các tính chất của chúng.
4. Phương pháp nghiên cún
Tham khảo tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp.

Phạm Thị Huê K37b Toán

2


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TH.S Dương Thị Luyến

CHƯƠNG 1. VÀNH CHÍNH, VÀNH EUCLIDE

1. Các khái niệm và tính chất số học trong miền nguyên
Giả sử A là một miền nguyên mà phần tử đơn vị kí hiệu là 1A. Ta có

các khái niệm và tính chất số học sau:
Định nghĩa 1. Các ước của 1Agọi là các phần tử khả nghịch.
Chẳng hạn, trong vành z các số nguyên, các phần từ khả nghịch là 1
và -1. Trong vành đa thức K[x] với K là trường, các đa thức bậc 0 nghĩa là
các phần tử khác 0 của K là các phần tử khả nghịch.
Định nghĩa 2. Hai phần tử Jt và Jt’ gọi là liên kết nếu có một quan hệ
tương đương s xác định như sau: xSx’ khi x' = wc với u khả nghịch.
Chẳng hạn, trong vành các số nguyên

z, hai số nguyên a và -

a là

liên kết. Trong vành đa thức K[x] với K là trường, hai đa thức f(x) và a/(x),
a e K và a ^ 0, là liên kết.
Định nghĩa 3. Một phần tử a G A gọi là bội của một phần tử b G A
hay a chia hết cho b, kí hiệu a : b, nếu c ó c e A sao cho a = bc; ta còn nói
rằng b là ước của a hay b chia hết a, kí hiệu b la.
Định nghĩa 4. Các phần tử liên kết với X và các phần tử khả nghịch là
các ước không thực sự của X, còn các ước khác của X là các ước thực sự của

Định nghĩa 5. Giả sử X là một phần tử khác 0 và không khả nghịch của
A; X gọi là một phần tử bất khả quy của A nếu X không có ước thực sự.

Phạm Thị Huê K37b Toán

3


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TH.S Dương Thị Luyến

Định nghĩa 6 . Neu c la và c Ib thì c gọi là ước chung của a và b. Phần
tử c gọi là ước chung lớn nhất của a và b, kí hiệu UCLN(a, b), nếu c là ước
chung của a và b và nếu mọi ước chung của a và b là ước của c.
Nếu c là một ước chung lớn nhất của a và b thì c’ cũng là ước chung
lớn nhất của a và b, trong đó c’ là một phần tử liên kết với c. Nên ta viết:
UCLN(a, b) ~ d
Định nghĩa 7. a và b là nguyên tố cùng nhau nếu chúng nhận 1A làm
ước chung lớn nhất.
Bổ đề 1. a Ib khi và chỉ khi Aa Z) Ab.
2.

Vành chính

2.1. Định nghĩa
Định nghĩa 8 . Một miền nguyên A gọi là vành chính nếu mọi iđêan
của nó là iđếan chính.
2.2. Tính chất
Tính chất 1.Ước chung lớn nhất của hai phần tử a v à b bất kì tồn tại.
Chứng minh
Gọi I là iđêan sinh ra bởi a và b. Các phần tử I có dạng ax + by với X,
y e A. Mặt khác vì A là vành chính nên I sinh ra bởi một phần tử d nào
đó, phần tử d cũng thuộc I nên d có dạng
(1) d = ax + by, JC, y e A
Ta hãy chứng minh d là ước chung của a và b. Vì a, b e I = dA, nên a
= da’, b = db’, a’, b’ e A.
Do đó d là ước chung của a và b. Thêm nữa nếu c là một ước chung của a
và b, tức là có a”, b” E A sao cho a = ca”, b = cb”, thế thì (1) trở thành

d = c(a”x + b”y)
Phạm Thị Huê K37b Toán

4


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TH.S Dương Thị Luyến

Vậy d là ước chung lớn nhất của a và b.
Tính chất l.Neu e là một ước chung lởn nhất của a và b, thì có r,s € A
sao cho
e = ar + bs
Chứng minh
Xét ước chung lớn nhất d của tính chất 1. d và e là liên kết, tức là có
một phần tử khả nghịch u sao cho
e = du.
Nhân hai vế của (1) với u
e = du = axu + byu = ar + bs, r = xu, s = yu.

Tính chất 3. Nếu a, b nguyên tố cùng nhau thì có r, s E A sao cho
1A = ar + bs
Tính chất 4.Neu c \ab và c, a nguyên to cùng nhau, thì c Ib.
Chứng minh
Vì c, a nguyên tố cùng nhau nên theo tính chất 3 có r, s E A sao cho
1 A = ar + cs.

Nhân hai vế của đẳng thức với b
b = abr + bcs.

Vì c lab nên có q e A sao cho ab = cq. Do đó,
b = c(qr + bs)
tức là c Ib.
Tính chất 5.Giả sử X là một phẩn tử bất khả quy và a là một phẩn tử
bất kì. Thế thì hoặc X Ia hoặc X và a nguyên tố cùng nhau.
Chứng minh
Phạm Thị Huê K37b Toán

5


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TH.S Dương Thị Luyến

Vì X là bất khả quy nên các ước của X là các phần tử liên kết với X
và các phần tử khả nghịch, do đó một ước chung lớn nhất của X và a chỉ
có thể là một phần tử liên kết với X hoặc một phần tử khả nghịch. Trong
trường hợp thứ nhất ta có Jt la, trong trường hợp thứ hai X và a là nguyên
tố cùng nhau.
Tính chất 6.Giả sử X là một phần tử khác 0 và không khả nghịch. Các
mệnh đê sau đây là tương đương:
a ) X là b ấ t khả quy

b ) X \ab thì X Ia h oặc X Ib.

Chứng minh
a) kéo theo b). Theo tính chất 5 ta có hoặc X la hoặc

X

và a nguyên tố

cùng nhau. Neu X và a nguyên tố cùng nhau theo tính chất 4 ta có X Ib.
b) kéo theo a). Giả sử a là một ước của X, thế thì cób

G

A sao cho

X = ab.

Vì X \x, nên X lab = Jt. Theo b) X la hoặc X Ib. Nếu X la thì kết hợp a \x ta
có X và a liên kết. Neu Jt Ib thì kết hợp b Ix ta có X = ub, u là khả nghịch. Do
đó
X = ab = ub.

Nhưng Jt ^ 0, nên b ^ 0, do đó ta suy ra a = u vì A là miền nguyên. Cho
nên một ước a của X chỉ có thể là hoặc liên kết với Jt hoặc là khả nghịch, vậy
X là bất khả quy.
Tính chất 7. Trong một họ không rỗng bất kỳ F nhũng ỉđêan của A sắp
thứ tự theo quan hệ bao hàm, có một ỉđêan M của họ F là tối đại trong F.
Chứng minh

Phạm Thị Huê K37b Toán

6


Khóa luận tốt nghiệp

Giả sử

l o

GVHD: TH.S Dương Thị Luyến

là một iđêan của F. Hoặc lo là tối đại trong F và như vậy là

xong, hoặc có một iđêan 1] của F sao cho li*

lo

và Ii=> I0. Nếu 1] là tối đại

trong F thì thế là xong, nếu không ta lại có một iđêan I2 của F sao cho I2^ li
và I2=> li. Tiếp tục quá trình này, hoặc là ta được một iđêan M của F tối đại
trong F, hoặc là ta được một dãy vô hạn những iđêan phân biệt trong F:
I0C= li ... c= I nC=In+,C= ...
Ta giả sử trường hợp sau xầy ra. Gọi I là hợp

Dễ dàng thấy I là một iđêan của A. Vì A là một vành chính nên iđêan I
được sinh ra bởi một phần tử X e ỉ. Theo định nghĩa của hợp, có một số tự
nhiên n sao cho X e In. Điều này kéo theo I c Invà do đó In = In + 1 , mâu
thuẫn với giả thiết các iđêan của dãy là phân biệt.
Tính chất 8 . Giả sử X là một phần tử khác 0 và không khả nghịch. Ta
chủng minh X c ó th ế v iết d ư ớ i d ạn g

( 2 ) X — p Ị P 2 ---- Prt

Với các P i , ỉ = 1,

n, là những phần tử bất khả quy.
Chứng minh

Gọi F là tập hợp các phần tử không khả nghịch X * 0 sao cho X không
được viết dưới dạng (2). Ta hãy chứng minh F = ộ. Giả sử F *4 . Ta kí hiệu
bằng (? họ các iđêan A x với X e F. Theo tính chất 7, F có một phần từ m
sao cho Am là tối đại trong

Trước hết m không bất khả quy, vì nếu m bất

khả quy thì m có dạng (2 ). m không bất khả quy thì m có ước thực sự,
chẳng hạn a là một ước thực sự của m, điều đó có nghĩa là có b e A sao cho

Phạm Thị Huê K37b Toán

1


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TH.S Dương Thị Luyến

m = ab
Như vậy b cũng là một ước của m, b không thể là khả nghịch vì sẽ kéo
theo a liên kết với m, b không thể liên kết với m vì sẽ kéo theo a khả
nghịch, do đó b phải là ước thực sự của m. Vì a và b là những ước thực sự
của m, nên ta có
Am c= Aa , Am ^ Aa

và
Am c= Ab , Am ^ Ab
Do Am là tối đại trong ^ n ê n Aa và Ab không thuộc

do đó a và b

không thuộc F; a và b đều khác 0, khác khả nghjch và không thuộc F, nên a
và b phải được viết dưới dạng (2 )
a = pi ... Pi,

b = p i+i... Pn,
điều này kéo theo
m = ab = pi ... PÌPÌ+I ... Pn,
mâu thuẫn với m e F.
Tính chất 9. Giả sử
X = P/P2 ... Pm = q iq i ... qn

với Pì ,

, pm,

,qn là nhũng phần tử bất khả quy. Thế thì m = n,

và với một sự đảnh số thích hợp ta có qi =

UiPi

, i= 1,

m.

Chứng minh
Theo tính chất 6 nhân tử bất khả quy Pi của Jt phải là ước của một qi
nào đó. Vì A là giao hoán nên ta có thể giả thiết rằng pi là ước thực sự của
qj. Nhưng qi là bất khả quy, nó không có ước thực sự, do đó Pi là ước
không thực sự của qj. Thêm nữa Pi không khả nghịch, cho nên phải có Pi và
Phạm Thị Huê K37b Toán

8


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TH.S Dương Thị Luyến

qi liên kết, tức là qi = Uịpi với Uị khả nghịch. Như vậy ta được P1P2 ... pm =
u 1p 1q2 ... qn.
VI pi^ 0 ta suy ra
p2 ...p m =Uiq 2 ... qn.
Theo tính chất 6 , p2 là một ước thực sự của một qi nào đó với i > 2. Ta
có thể giả thiết rằng p2 là ước của q2. Do đó q2 = U2P2 với u2 khả nghịch.
Như vậy ta được
P2P3 - Pm = U1U2P2 ... qn.
Vì p2^ 0 ta suy ra
p3 ... pm = u,u2... qn.
Sau khi lập lại quá trình đó m lần, ta được m < n và
1A = UịU2 ... Umqm+1 ... qn.
Vì qn không khả nghịch nên ta phải có m = n.
Tính chất 10. Giả sử K là trường các thương của vành chính A, a E K là
một nghiệm của đa thứcýịx) = Xn + CLn.iX1'1 + ... + ã]X + a0 (ãịe A).

Thế thì a e A.
Chứng minh
Theo như trên ta có thể viết a = a/b, với a, b e A nguyên tố cùng nhau.
V ì/(a) = 0 nên ta suy ra, sau khi thay bằng a/b và nhân với bn:
an + b(an.ian"' + ... + aiab11"2 + a0bn"') = 0 .
Như vậy b chia hết an; vì b nguyên tố với a nên áp dụng tiếp hệ quả 2
ta được b chia hết a. Do đó b là phần tử khả nghịch của A, tức là b'1 e A,
điều này kéo theo oc = ab 1E A.
3. Vành Euclide

Phạm Thị Huê K37b Toán

9


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TH.S Dương Thị Luyến

3.1.Định nghĩa
Định nghĩa 9. Giả sử Alà một miền nguyên, A* là tập hợp các phần tử
khác 0 của A. Miền nguyên A cùng với một ánh xạ (gọi là ánh xạ Euclide)
ô : A* —>• N
từ A* đến tập hợp các số tự nhiên N thỏa mãn các tính chất:
1° Nếu bla và a * 0 thì ô(b) < ô(a);
2° Với hai phần tử a và b tùy ý của A, b * 0, có q và r thuộc A sao cho
a = bq + r và ô(r) < ô(b) nếu r * 0 ; gọi là một vành Euclide.
Phần từ r gọi là dư. Nếu r = 0 thì b chia hết a theo 1° ta có ô(b) < ô(a).
Như vậy điều kiện cần để một phần tử b là ước của một phần tử a ^ 0 là
5(b) < 5(a).

3.2.

Tính chất

Tính chất 1. Nếu A ỉà một vành Eucỉỉde thì A là một vành chính.
Chứng minh
Giả sử I là một iđêan của A. Neu I = {0} thì I là iđêan sinh ra bởi 0.
Giả sử I* {0}. Gọi a là phần tử khác 0 của I sao cho ô(a) là bé nhất trong
tập hợp ô( I*), I* là tập hợp các phần tử khác 0 của I. Giả sử X là một phần
tử tùy ý của I.Theo tính chất 2° ta có q, r e A sao cho
X = aq + r
Vì a, X e l , nên r = X - aq

E

I. Neu r

*

0 ta có ô(r)

<

ô(b), mâu thuẫn

với giả thiết ô(a) là bé nhất trong ô( I*). Vậy r = 0 và I = Aa.

Phạm Thị Huê K37b Toán

10

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TH.S Dương Thị Luyến

Tính chất 2. Giả sử A là một vành chính, a, b, q, r là những phần tử
của A thỏa mãn quan hệ a = bq + r . Thế thì ước chung lớn nhất của a v à b
là ước chung lớỉí nhất của b và r.
Chứng minh
Gọi I là iđêan sinh ra bởi a, b và J là iđêan sinh ra bởi b, r. Từ a = bq +
r, ta suy ra ae J, do đó I c= J. Từ r = a - bq, ta suy ra r

G

I, do đó J c I. Vậy

I = J. Nhưng A là một vành chính, nên tồn tại d G I sao cho Ad = I. Theo
tính chất 1 của vành chính, d là ước chung lớn nhất của a và b. Nhưng I = J,
nên d cũng là ước chung lớn nhất của b và r.
Bây giờ giả sử A là một vành Euclide và ta đặt vấn đề tìm ước chung
lớn nhất của hai phần từ a, b G A. Neu a = 0 thì rõ ràng ước chung lớn nhất
của a và b là b, vì vậy ta hãy giả sử cả a lẫn b đều khác 0. Thực hiện phép
chia a cho b ta được
a = bq0 + rG với 5(r0) < ô(b) nếu r0^ 0
Neu rG^ 0 ta lại chia b cho rG:
b = r0qi + ĩ| với ô(r,) < ô(r0) nếu 1*1 ^ 0 .
Neu 1*1^ 0 ta lại chia rQcho 1*1 :
1*0 = riq2 + r2 với ô(r2) < ô(i'i) nếu r2^ 0 .

Ọuá trình chia như vậy phải chấm dứt sau một số hữu hạn bước vì dãy
các số tự nhiên ô(b) > ô( r0) > ô( ri) > ô( r2) ... không thể giảm vô hạn, tức
là sau một số lần chia, ta phải đi tới một phép chia mà dư bằng 0
fk- 1 = rkQk+i + 0 '

Phạm Thị Huê K37b Toán

11


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TH.S Dương Thị Luyến

Áp dụng tính chất 1 của vành chính ta có: rk = UCLN(rk, 0) = UCLN(rk
- 1, rk) = ƯCLN(rk_ 2, rk_0 = ... = UCLN(r,, r2) = ƯCLN(b, r0) = UCLN(a,
b).

Phạm Thị Huê K37b Toán

12


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TH.S Dương Thị Luyến

CHƯƠNG 2. ÚNG DỤNG CỦA VÀNH CHÍNH, VÀNH
EƯCLIDE
1. Vành số nguyên

1.1. Xây dụng vành số nguyên
•

Trên tập N X Nta xấc định một quan hệ tương đương s như sau

(a, b)S(c, d)<^>a + d = b + c.

Trên z ta xây dựng hai phép toán:
Phép cộng (+ ỵ(a ,b ) + ( c ,d ) = (a + c,b + d )
Phép trừ (•): (a,b) + ( c ,d )= (a c + b d , a d + bc)
Khi đó

z cùng hai phép toán (+), (•) lập thành một vành giao hoán có

đơn vị.
•

Xét ánh xạ /:

N —>z
a

Ta c ó / là một đơn cấu nửa nhóm cộng và đơn cấu nửa nhóm nhân và
cặp (Z,y) xắc định như trên là duy nhất sai khác một đẳng cấu.

Phạm Thị Huê K37b Toán

13

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TH.S Dương Thị Luyến

V X = { a , b ) e Z ta có: X = (a ,b )= ( a ,0 ) + (0,fr) = ( a , 0 ) -

( è ’° ) = /(a )-/(b ).
Khi đó z = {/(a) - / ( b ) I a, b e N ) = {a - b I a, b e N Ị = {±1, ±2, ±3,

...} được gọi là vành số nguyên.
1.2. Vành số nguyên là vành chính, vành Euclide
Định nghĩa 10. Giá trị tuyệt đối của một số nguyên Jt, kí hiệu là X t là
một số nguyên xác định như sau:
X

nếu JC> 0
nếu Jt < 0

Định nghĩa 11. Cho các số nguyên a và b, b # 0 , tất có các số nguyên
q, r duy nhất sao cho: a = bq + r, 0 < r < b
•

Ta chứng minh vành

z các số nguyên là vành chính:

Thật vậy, giả sử I là một iđêan của z . Neu I = {0} thì I là iđêan sinh bởi 0.
Neu I ^ {0}, giả sử a là số nguyên dương bé nhất của I và b là một
phần tử tùy ý của I. Ta có thể giả sử b > 0, vì nếu b < 0 thì -b > 0 và -b
cũng thuộc I, do đó ta lấy - b. Lấy b chia cho a, ta được

b = aq + r với r là dư, 0 < r < a.

Phạm Thị Huê K37b Toán

14


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TH.S Dương Thị Luyến

Mặt khác r = b - aq e I. Neu r ^ 0 thì a không phải là số nguyên dương
bé nhất của I, mâu thuẫn. Do đó r = 0 và b = aq, tức là I = aZ là iđêan sinh
ra bởi a.
•

Ta chứng minh vành z các số nguyên là một vành Euclide:

Gọi z

là tập các số nguyên khác 0.

Khi đó tương ứng ô :

z —

là một ánh xạ Euclide.

n 1— > ô(n) = n
Thật vậy, với m, n e z , khi đó:

a) Neu m I n thì ta thấy ngay ô(m) < ô(n).
b) Với m, n tùy ý. Lấy n chia cho m thì có qvà r thuộc z sao cho n =
mq + r và ô(r) <ô(m) nếu r ^ 0 .
Nếu r = 0 thì quay trở lại a).
Vậy vành z các số nguyên là một vành Euclide.
2. Vành đa thức một ẩn
2.1.
•

Xây dưng vành đa thức một ấn
Cho R là một vành giao hoán có đơn vị 1R. Đặt T = {a0, ai,

an,

. . aịG R, chỉ có hữu hạn ãị^ 0)
Trên T Jtây dựng hai phép toán:
Phép cộng (+): (ao, a]?
bị,

an,...) + (b0, bi,

bn,...) := (a0 + bo, a, +

an + bn,...)

Phạm Thị Huê K37b Toán

15

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TH.S Dương Thị Luyến

Phép nhân (•): (a0, a h

an,...) .(b0, bi,

bn,...) := (c0, Ci,

cn,...),

/,fceN

j+k=i

Khi đó T cùng với hai phép toán (+), (•) lập thành một vành giao hoán
có đơn vị.
•

Xét ánh xạ cp: R —►T
r I—> (p(r) := (r, Or, Or, ...),

ta có cp là một đơn cấu vành; do đó, ta có thể đồng nhất r với cp(r):= (r,
0 r , 0 r, ...).

Đặtx :=

(Or , 1 r , Or , . . . ) ,

X E T.Ta có

x2’-= (Or, Or, 1 r, Or, ...)
x3:= (Or, Or, Or, 1 r, Or, ...)
(k+ 1)

xk’— (Or, Or, Or,

1 r, Or, ...)

Ngoài ra, do đã đồng nhất a với (a, Or, Or, ...), ta có:
(Or, Or,
•

a, Or, ...) = a / = xka.

V / = (a0, ah

an, Or, Or, ...) e

T ,/được

viết dưới dạng:

/ : = a0 + ai* + ... + anxn.
Vành T nói trên được gọi là vành đa thức một biến có hệ số trong vành
R, kí hiệu R[x]. Mỗi phần tử của R[x] được gọi là đa thức.
2.2.

Vành đa thức một ấn trên trường là vành chính, vành

Euclide

Phạm Thị Huê K37b Toán

16


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TH.S Dương Thị Luyến

Định nghĩa 12. Cho/(jc) = a0 + 3L\X + ... + an*ne R[x]\{OỊ, an^ 0. Khi
đó ta nói aj gọi là hệ số thứ i,i = 0 , . . n; a0 là hệ số tự do; an là hệ số cao
nhất; n là bậc của đa thức f{x). Kí hiệu bậc của f(x) là degf.
Định lí 1. Giả sử A là một miền nguyên và g là đa thức của A[x], g
khác đa thức không. Khi đó, ứng với mỗi đa thức / e A[x] tương ứng một
và chỉ một cặp đa thức q ,r e A [ 4 sao cho/ = gq + r, degr < degg.
• Ta chứng minh vành KỊXI với K là trường là một vành Euclide:
Đặt s = K[x] và s* là tập hợp các phần tử khác 0 của s.
Khi đó đặt tương ứng ô : s* —>Nlà một ánh xạ Euclide.
/l- > 5 ự ) = degf
Thật vậy, với/, g eS*, khi đó:
a) N eu /là bội của g thì ta thấy ngay ô(m) <ô(n).
b) V ới/, g tùy ý. Lấy/chia cho g thì có q và r thuộc s sao cho / = gq
+ r và deg r < degg hay ô(r) < ô(g) nếu r ^ 0 .
Neu 1' = 0 thì quay trở lại a)
Vậy vành KỊx] với K là trường, là một vành Euclide. Từ tính chất 1
của vành Euclide thì K[x] cũng là vành chính.
3. ứ n g dụng trong vành số nguyên

3.1. Sự tồn tại của UCLN
3.1.1. Định nghĩa UCLN
Định nghĩa 13. Giả sử aị,a2,...,an là những số nguyên đã cho. Một số
nguyên c sao cho c\dị (/ = 1 , 2 ,...,rì) gọi là một ước chung d\dLci\,a2,...,an.

Phạm Thị Huê K37b Toán

17


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TH.S Dương Thị Luyến

ƯỚC chung lớn nhất ( UCLN) của các số nguyên ci\,a2,...,an là một ước

chung d của chúng, sao cho d chia hết tất cả các ước chung củaaỊ9a2,...,a .
Kí hiệu: UCLN của các sốdị,a2,...,an là UCLN(ứp ứ2 ,...,ứn) hay (

Neu d là một ƯCLN của các số aỊ,a 2,...,a J thì - d cũng là UCLN của
các số đó. Hơn nữa, nếu d và d’ đều là UCLN của aỊ9a2,...,an thì ta có
d = ± d \ Ta quy ước lấy số dương d trong các UCLN của a],a 2,...,an làm
UCLN của chúng và kí hiệu d = ( ax, a2, . . an).
3.1.2. Chủng minh sự tồn tại của ƯCLN
Định lí 2. Giả sử ũ], a2,

an là nhũng số nguyên đã cho không đồng

thời bằng không. Khi đó ƯCLN của chúng tồn tại.
Chứng minh

Xét tập hợp I = { y = 2L\X\ + ã2x2 + ... + anXn, Xj e

z}

VI không phải tất cả các aị bằng 0, nên trong I ắt có những số y * 0. Ta
gọi d là số nhở nhất về giá trị tuyệt đốitrong các số y
d là một UCLN của ã\, a2,

^ 0. Ta sẽ chứng minh

an.

Trước tiên ta chứng minh d \ãị ( i = 1, 2,

n ). Giả sử ta có:

Vì d e I nên d phải có dạng d = aiXi + ã2x2 + ... + anXn vói Xi eZ. Vậy

Phạm Thị Huê K37b Toán

18


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TH.S Dương Thị Luyến

ri = ai —qid = a,( - qịXi ) + a2( - qịX2 ) + ... + aj ( 1 - qiXị) + . . . + an( qi*n)
tức là ĩj có dạng r{ = ait] + a2t2 + ... + antn và do đó fjE I. Nhưng vì,
theo giả thiết d là số nguyên có giá trị tuyệt đối nhỏ nhất thuộc I, nên các

bất đẳng thức
0
2,

< I*i< Idl buộc ĩj = 0 tức là 3Lị = qjd. Bây giờ ta chứng minh c lai ( i = 1,
n) => c Id

Thật vậy, nếu c lai tức là aj = bjC thì V y E I
y = ajJCi + ã2x2 + ... + ãnxn
= biCX] + b2CX2 + ... + bncxn
= c(bịXi + b2x2 + ... + bnJCn)
Do đó c |y. Và vì d e I nên ta cũng có c |d.
3.1.3.Liên hệ với tính chất đại so của vành chính
Vì z là một vành chính nên iđêan I sinh bởi các phần tử aỉ9a2,...,a lầi
iđêan chính, nghĩa là có d E z để cho I = dZ, d ^ 0 vì ai ^ 0.
Ta có thể giả thiết rằng d > 0, ta sẽ chứng minh rằng d = (
ữị ,

?•••?Qịị ) •
Thật vậy, vì aj e I = dz nên d lai V i = 1, 2,

n, nghĩa là d là một

UCLN của ữp ứ2 ,...,ứfi. Mặt khác, vì d e I và I là iđêan sinh bởi aỴ,a 2,...,an
nên có các số nguyên X ị , x 2,...,x n sao cho d =aịx] +a2x2 + ... + anxn do đó mọi
ước chung của ax, a2,...,an đều là ước của d. Vậy d là ƯCLN của

, ứ2 ,

an.

3.2. Các tính chất của UCLN
Phạm Thị Huê K37b Toán

19