XÂY DỰNG CÔNG THỨC QUY HOẠCH ĐỘNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH đơn vị dữ LIỆU CUỐI

XÂY DỰNG CÔNG THỨC QUY HOẠCH ĐỘNG
BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐƠN VỊ DỮ LIỆU CUỐI
THPT chuyên LƯƠNG VĂN TỤY
1. Khái niệm đơn vị dữ liệu cuối.
Trong một lớp rất lớn các bài toán Tin học, chúng ta phải đếm các cấu hình tổ hợp
có thứ tự (x1, x2,...,xn) thỏa mãn một tính chất đặc trưng nào đó hoặc tìm giá trị tối
ưu (theo một nghĩa nào đó) của các cấu hình này. Chúng ta sử dụng phương pháp
quy hoạch động theo cách sau đây:
Tìm lời giải từng bước một: bước thứ k, đếm các cấu hình (x 1, x2,...,xk) hay
tìm giá trị tối ưu của các loại cấu hình k phần tử (x1, x2,...,xk).
Việc tìm lời giải từng bước một này thể hiện nguyên lý “chia để trị” trong tin học:
Thay vì trực tiếp tìm lời giải bài toán lớn, ta giải quyết các bài toán nhỏ cùng mô
hình, sau đó dựa trên kết quả các bài toán nhỏ để tìm kết quả bài toán lớn. Nói một
cách nôm na, nó giống như việc chúng ta xây một bức tường thì phải xây từ móng,
sau đó xây lần lượt các hàng gạch cho đến khi có một bức tường hoàn chỉnh, hàng
gạch thứ k (tính từ móng trở lên) chính là hình ảnh trực quan của đơn vị dữ liệu
cuối ở bước thứ k.
Đối với cấu hình ta xây dựng đến bước thứ k: (x 1, x2,...,xk) thì ta nói xk là đơn vị dữ
liệu cuối ở bước này. Việc xác định giá trị của xk không hề khó khăn vì trước đó đã
xây dựng được (x1, x2,...,xk-1), từ đó có được phương án tính số lượng hay giá trị tối
ưu cho bước thứ k.
Một điểm mấu chốt khi phân tích quy nạp xây dựng bước thứ k đó là: Nếu ta coi
mỗi phần tử của cấu hình đang xây dựng như là một vị trí trên đường đi thì để đến
được vị trí thứ k ta phải qua vị trí thứ k-1. Nói cách khác, để đến được vị trí cuối x k
đã xác định thì xk-1 phải là một trong các vị trí có thể “đi đến x k”. Từ nhận xét mấu
chốt này mà việc phân tích cấu trúc x k – đơn vị dữ liệu cuối bước k – để tìm ra
những vị trí có thể của xk-1 chính là yếu tố quyết định để có được lời giải cho bài
toán.
2. Cơ sở toán học:
A/ Phương pháp quy nạp:
“Nếu một mệnh đề toán học P(n) phụ thuộc biến số tự nhiên n là đúng với giá

trị cơ sở n = a, ngoài ra khi P(k) đúng kéo theo P(k+1) đúng thì mệnh đề P(n)
đúng với mọi số tự nhiên n không nhỏ hơn a”.
Điều quan trọng nhất được áp dụng ở đây không phải dùng phương pháp quy nạp
chứng minh bài toán mà chính là cách chứng minh P(k+1) đúng – để làm điều này,
trong phương pháp quy nạp người ta đã vận dụng thật sáng tạo cơ sở đã có đó là

1


P(n) đúng với các n không quá k. Việc này hoàn toàn tương tự khi chúng ta phân
tích xây dựng xk theo các giá trị đã có trước đó trong cấu hình đang xây dựng của
bài toán.
B/ Công thức truy hồi:
Có hai dạng công thức truy hồi chúng ta sẽ sử dụng:
1/ Một dãy số hoàn toàn xác định khi biết k giá trị đầu tiên và công thức xác
định một số hạng theo k số hạng liền trước nó:
{Fn} xác định nếu biết F1, F2,...,Fk và công thức Fn = F(Fn-1,Fn-2,...,Fn-k).
2/ Một dãy số hoàn toàn xác định khi biết giá trị đầu tiên và công thức xác định
một số hạng theo các số hạng trước nó:
{Fn} xác định nếu biết F1 và công thức Fn = F(Fn-1,Fn-2,...,F1).
Việc tính các giá trị ban đầu F1, F2, ..., Fk gọi là bước cơ sở, việc tìm công thức cho
phép tính một số hạng của dãy theo các số hạng trước nó gọi là bước quy nạp.
3. Các bài toán áp dụng:
Sau đây xin được nêu 20 bài toán để thấy được những vận dụng phong phú của
việc phân tích đơn vị dữ liệu cuối. Các bài toán được chọn đều là đề thi trong các
kỳ thi học sinh giỏi khu vực, Quốc gia và đề thi của nhiều nước trên thế giới.
Bài Toán 1: Đếm xâu nhị phân.
Đề bài: Cho số nguyên dương n. Tính số xâu nhị phân độ dài n không có 2 chữ số
1 liền nhau.
Xây dựng giải thuật:

Ta có thể liệt kê mọi xâu độ dài n không có 2 chữ số 1 liền nhau để đếm. Tuy nhiên
phương án này rõ ràng không khả thi, sẽ không có đủ bộ nhớ và nhất là không có
thời gian để làm công việc này khi n khá lớn vì lúc đó số lượng xâu cần liệt kê
nhiều đến mức “kinh khủng”.
Từ nhận xét: Một xâu độ dài n thỏa mãn yêu cầu bài toán (không có 2 ký tự 1 liên
tiếp) thì xâu con n-1 ký tự đầu tiên của nó cũng thỏa mãn điều này, thế có nghĩa là
để có xâu độ dài n ta chỉ việc thêm 0 hoặc 1 vào sau xâu độ dài n-1 như vậy mỗi
đơn vị dữ liệu là một ký tự và đơn vị dữ liệu cuối ở bước thứ k là ký tự thứ k của
xâu. Từ đó bằng phương pháp phân tích quy nạp, ta có thể xây dựng công thức quy
hoạch động cho phép tính số xâu độ dài n theo số xâu có độ dài nhỏ hơn cùng thỏa
mãn yêu cầu bài toán.
Gọi F[k] là số xâu nhị phân độ dài k không có 2 chữ số 1 liền nhau.
Bước cơ sở: n = 1: có 2 xâu thoả mãn là ‘0’ và ‘1’ nên F[1]:=2.
n = 2: có 3 xâu thoả mãn là ‘00’;’01’và ‘10’ nên F[2]:=3.

2


Bước quy nạp: Giả sử đã tìm được các F[i] với i:=1,2…,k-1. Ta tính F[k] – số xâu
độ dài k thỏa mãn bài toán có được do:
+ Thêm 0 vào sau 1 xâu độ dài k – 1, số xâu loại này bằng số xâu độ dài k-1
không có 2 chữ số 1 liền nhau và bằng F[k-1].
+ Thêm 1 vào sau 1 xâu độ dài k – 1, để tạo xâu độ dài k thoả mãn yêu cầu thì
ký tự cuối cùng xâu độ dài k-1 phải là 0, do đó số xâu loại này bằng số xâu độ dài
k-2 không có 2 chữ số 1 liền nhau và bằng F[k-2].
Vậy F[k] = F[k – 1] + F[k – 2] (1)
Do đã biết F[1], F[2] nên từ công thức này ta có thể tính F[n] với n tùy ý.
Chú ý khi viết chương trình:
+ F[n] rất lớn (cỡ hàng nghìn chữ số) khi n khá lớn, vì vậy ta phải xây dựng và
thực hiện tính toán trên các số nguyên lớn. Bài này chỉ cần xây dựng phép toán

cộng số lớn (dùng xâu hoặc mảng 1 chiều)
+ Từ công thức (1) ta thấy rằng để tính F[k] chỉ cần 2 số hạng ngay trước nó
nên không cần lưu lại cả mảng F làm gì cho tốn bộ nhớ. Ta sẽ dùng ba biến F1, F2,
F3 và luân phiên tính F3 theo F1, F2 sau đó cập nhật lại F1=F2, F2=F3 trong vòng
lặp đến khi tính được F[n].
Bài Toán 2 (Mở rộng): Tương tự như trên, ta xây dựng công thức tính số xâu nhị
phân độ dài n không có k chữ số 1 liền nhau (k>=2).
Ở đây ta cũng gọi F[n] để giữ giá trị số xâu nhị phân không có k chữ số 1 liền nhau
và có độ dài n.
Bước cơ sở: Ta thấy F[0]:=1; F[i]:=2i với i:=1,2,..k-1.
Với i:=k, F[k] = 2k – 1 (trừ xâu có k chữ số 1)
Bước quy nạp:
+ Thêm 0 vào sau 1 xâu độ dài n – 1, số xâu loại này bằng số xâu độ dài n-1
không có 2 chữ số 1 liền nhau và bằng F[n-1].
+ Thêm 1 vào sau 1 xâu độ dài n – 1 cũng tạo thành F[n-1] xâu nhị phân mới
có độ dài n nhưng trong đó có một số xâu không thoả mãn vì k chữ số liên tiếp
cuối cùng bằng 1. Số xâu sau khi thêm 1 có k chữ số cuối bằng 1 bằng số xâu độ
dài n-1 thỏa mãn bài toán và có k-1 chữ số cuối cùng là 1 : x 1x2..xn-k-1xn-k11…1, khi
đó xn-k = 0 và vì vậy số xâu loại này bằng số xâu x 1x2..xn-k-1 thỏa mãn bài toán và
bằng F[n-k-1], từ đó số xâu độ dài n tận cùng bằng 1 thỏa mãn bài toán là
F[n-1] – F[n – k – 1] .
Vậy Ta có công thức quy hoạch động: F[n]:=2*F[n-1]-F[n-k-1].

3


Bài Toán 3: LÁT VIỀN Tên chương trình: TILE.PAS
Đề bài: Đường viền trang trí ở nền nhà có kích thước 2xN được lát bằng 2 loại
gạch: loại kích thước 1x2 và loại 2x2. Hãy xác định số cách lát khác nhau có thể
thực hiện.

Dữ liệu: Vào từ file văn bản TILE.INP, gồm nhiều dòng, mỗi dòng chứa một số
nguyên N (1 < N ≤ 250).
Kết quả: Đưa ra file văn bản TILE.OUT các kết quả tìm được, mỗi số trên một
dòng.
Ví dụ:
TILE.INP
2
8
12
100
200

TILE.OUT
3
171
2731
845100400152152934331135470251
107129202950599351702797472822744173501480199585519522353425
1

Xây dựng giải thuật:
Đương nhiên không thể liệt kê tất cả các cách lát rồi đếm bởi vì số cách lát quá lớn.
Tuy nhiên khi để ý rằng mỗi cách lát, vị trí 1x2 cuối cùng của đường viền chỉ có
thể bị phủ bởi một viên gạch 1x2 “đứng” , một viên gạch 2x2 hoặc 2 viên gạch 1x2
đặt “nằm”, ở đây “đơn vị dữ liệu cuối” của ta là cách đặt gạch lát vị trí cuối đường
viền. Từ đó chúng ta lại nghĩ đến chuyện sẽ tính số cách lát đường viền độ dài n
theo số cách lát đường viền ngắn hơn như sau:
Gọi F[k] là số lát viền kích thước 2*k.
Bước cơ sở: Ta thấy ngay F[1] = 1; F[2] = 3.

Bước quy nạp:
+ Nếu vị trí cuối cùng là 1 viên gạch 1x2 “đứng”: số cách lát bằng số cách lát
viền kích thước 2*(k-1) và bằng F[k-1].
+ Nếu vị trí cuối cùng là 1 viên gạch 2*2 hay 2 viên gạch 1x2 xếp “nằm”: số
cách lát bằng số cách lát viền kích thước 2*(k-2) và bằng F[k-2].
Vậy F[k] = F[k-1] + 2*F[k-2].
Chú ý khi viết chương trình:
+ F[n] rất lớn nên phải thực hiện tính toán với số lớn.
+ Chỉ cần dùng ba biến tính luân phiên như BT1

4


Bài Toán 4: NHÓM
Tên chương trình: GROUP.PAS
Đề bài: Cho đồ thị vô hướng n đỉnh {1, 2, 3, …, n}(1 ≤ n ≤ 76) có dạng sau:

Tập đỉnh rời tối đa là tập các đỉnh thoả mãn 2 điều kiện sau:
Không có 2 đỉnh nào trong tập có đường nối trực tiếp,
Không thể bổ sung đỉnh mới vào tập mà vẫn đảm bảo điều kiện đầu.
Ví dụ, với n = 5 ta có thể có các tập tối đa là {1,3,5},{2,4},{2,5},{1,4}.
Hai tập rời khác nhau, nếu khác nhau ít nhất một phần tử.
Yêu cầu: Cho n. Hãy xác định số tập rời tối đa có thể xác định.
Dữ liệu: Vào từ file văn bản GROUP.INP gồm nhiều tests, mỗi test là một số
nguyên, cho trên một dòng.
Kết quả: Đưa ra file văn bản GROUP.OUT, mỗi kết quả là một số nguyên, đưa ra
trên một dòng.
GROUP.INP
1
2

3
4
5

GROUP.OUT
1
2
2
3
4
4410

Xây dựng giải thuật:
Nhận xét rằng: do điều kiện thứ nhất trong tập rời tối đa không thể có hai số liên
tiếp, do điều kiện thứ hai trong tập rời tối đa hai số liên tiếp cách nhau không quá 3
đơn vị. Như thế nghĩa là nếu một tập rời tối đa được sắp tăng dần:
a1< a2 < a3<…< ak-1< ak <…
thì ak = ak-1 +2 hoặc ak = ak-1 + 3. Chúng ta xác định “đơn vị dữ liệu cuối” là giá trị
phần tử cuối cùng của tập rời tối đa.
Nếu gọi F[k] là số tập rời tối đa của {1,2,…, k} có chứa (đỉnh) k. Ta có:
Bước cơ sở: F [1] = 1 (chỉ có tâp {1}); F [2] =1; (chỉ có tập {2}).
F [3] = 1 (chỉ có tập {1, 3}).
Bước quy nạp: Giả sử ta đã tính được số tập tối đa F[i] với i:=1,2,…k-1.
5


Ta sẽ tính F[k]: Do đứng trước k chỉ có thể là k-2 hay k-3 nên:
+ số tập tối đa có đỉnh trước k là k – 2 bằng F[k – 2]
+ số tập tối đa có đỉnh trước k là k – 2 bằng F[k – 3]
Vậy F[k] = F[k-3] + F[k-2].

Cuối cùng, trong tập tối không thể không có cả đỉnh n và n-1 ngoài ra nếu chứa
đỉnh n-1 thì không chứa đỉnh n và ngược lại. Do đó tổng số tập tối đa có thể có với
n đỉnh là: F[n-1] + F[n].
Bài Toán 5: Dãy đơn điệu dài nhất.
Đề bài: Cho dãy N số nguyên a1, a2,..., aN, tìm độ dài dãy con tăng dài nhất của dãy
đã cho.
Xây dựng giải thuật:
Đây là bài toán cơ bản mà bất cứ tài liệu nào khi mô tả phương pháp quy hoạch
động đều lấy làm ví dụ. Khi xét đến số hạng a k làm đơn vị dữ liệu cuối của một dãy
con tăng ta phải thêm ak vào sau một dãy con tăng dài nhất có thể ở phía trước (“có
thể” ở đây bao hàm cả việc các phần tử của dãy con đó phải nhỏ hơn ak).
Gọi F[i] là độ dài dãy con tăng dài nhất có số hạng cuối là a[i].
Bước cơ sở: F[1] = 1;
Bước quy nạp: vói k > 1, F[k] = max{F[i] : i < k, ai < ak} + 1.
Chú ý khi viết chương trình: Khi không có ai < ak thì F[k] =1.
Bài Toán 6 (Mở rộng): Tính số lượng các dãy con tăng dài nhất trong dãy đã cho.
Giải quyết bài toán mở rộng này có ý nghĩa sâu sắc trong việc rèn luyện tư duy quy
hoạch động cho học sinh. Ở đây ta có nhận xét quan trọng rằng: a i1, ai2, ..., aik là dãy
con tăng dài nhất thì mỗi đoạn đầu liên tiếp của nó: a i1, ai2, ..., aip (p<=k) sẽ là dãy
con tăng dài nhất có số hạng cuối là a ip như vậy có nghĩa p là độ dài dãy con tăng
này nên nó phải bằng F[ip] (mảng F nói trên). Từ đó ta sẽ tính số dãy con tăng T[i]
có độ dài F[i] và số hạng cuối cùng là a i. Rõ ràng ai lúc này chỉ được thêm vào sau
số hạng aj bé hơn nó mà F[j] +1 =F[i]. Khi ấy tâp các dãy con tăng độ dài F[i] kết
thúc tại a[i] được bổ xung thêm T[i] phần tử. Vậy ở đây ta có công thức quy hoạch
động như sau:
T[i] = Tổng các T[j] với j thỏa mãn: j < i; a[j] < a[i]; F[j] + 1 = F[i].
điều này có nghĩa là để tính T[i] ta phải tính trước các F[j], tất nhiên việc này sẽ
kết hợp tính song song trong cùng một vòng lăp.
Kết quả cuối cùng là tổng các T[i] mà F[i] = max{F[j] : j = 1,2,...,n}.
Bài Toán 7: ROBOT CỨU HỎA (Bài thi HSG Quốc Gia 2007)

6


Đề bài: Trên một mạng lưới giao thông có n nút, các nút được đánh số từ 1 đến n
và giữa hai nút bất kỳ có không quá một đường nối trực tiếp (đường nối trực tiếp là
một đường hai chiều). Ta gọi đường đi từ nút s đến nút t là một dãy các nút và các
đường nối trực tiếp có dạng:
s = u1, e1, u2,..., ui, ei, ui+1, ..., uk-1, ek-1, uk = t,
trong đó u1, u2, …, uk là các nút trong mạng lưới giao thông, ei là đường nối trực
tiếp giữa nút ui và ui+1 (không có nút uj nào xuất hiện nhiều hơn một lần trong dãy
trên, j = 1, 2, …, k).
Biết rằng mạng lưới giao thông được xét luôn có ít nhất một đường đi từ nút 1 đến
nút n.
Một robot chứa đầy bình với w đơn vị năng lượng, cần đi từ trạm cứu hoả đặt tại
nút 1 đến nơi xảy ra hoả hoạn ở nút n, trong thời gian ít nhất có thể. Thời gian và
chi phí năng lượng để robot đi trên đường nối trực tiếp từ nút i đến nút j tương ứng
là tij và cij (1 ≤ i, j ≤ n). Robot chỉ có thể đi được trên đường nối trực tiếp từ nút i
đến nút j nếu năng lượng còn lại trong bình chứa không ít hơn cij (1 ≤ i, j ≤ n). Nếu
robot đi đến một nút có trạm tiếp năng lượng (một nút có thể có hoặc không có
trạm tiếp năng lượng) thì nó tự động được nạp đầy năng lượng vào bình chứa với
thời gian nạp coi như không đáng kể.
Yêu cầu: Hãy xác định giá trị w nhỏ nhất để robot đi được trên một đường đi từ
nút 1 đến nút n trong thời gian ít nhất.
Dữ liệu: Vào từ file văn bản ROBOT.INP
Dòng đầu tiên chứa một số nguyên dương n (2 ≤ n ≤ 500);
Dòng thứ hai chứa n số, trong đó số thứ j bằng 1 hoặc 0 tương ứng ở nút j có
hoặc không có trạm tiếp năng lượng (j = 1, 2, …, n);
Dòng thứ ba chứa số nguyên dương m (m ≤ 30000) là số đường nối trực tiếp có
trong mạng lưới giao thông;

Dòng thứ k trong số m dòng tiếp theo chứa 4 số nguyên dương i, j, tij, cij
(tij, cij ≤ 104) mô tả đường nối trực tiếp từ nút i đến nút j, thời gian và chi phí năng
lượng tương ứng.
Hai số liên tiếp trên một dòng trong file dữ liệu cách nhau ít nhất một dấu cách.
Kết quả: Ghi ra file văn bản ROBOT.OUT một số nguyên dương w tìm được.
Ví dụ:
ROBOT.INP
4
0110
5
1254
1343

ROBOT.OUT
3

7


1494
2441
3452

Xây dựng giải thuật
Đầu tiên đương nhiên ta phải tìm thời gian ít nhất có thể đi từ nút 1 đến nút n. Điều
này không có gì khó khăn, chúng ta dùng giải thuật Dijkstra để tìm thời gian tối
thiểu T[i] cần có cho mỗi nút i mà từ nút 1 có thể đến được nút i trong thời gian
T[i]. Sau đó với nhận xét rằng trên 1 đường đi tốn ít thời gian nhất: i 1 i2 ... ik hiển
nhiên T[i1] < T[i2] < ... < T[ik]. Vì vậy ta sắp xếp lại các đỉnh theo chiều tăng dần
của các T[i]. Bây giờ nhận xét rằng: thời gian đi từ nút 1 đến mỗi nút trên một

đường đi tối ưu về thời gian cũng là tối ưu. Do đó ta sử dụng ý tưởng đã dùng ở bài
toán trên nhưng thay vì tính số lượng đường đi có thời gian tối ưu đến mỗi nút i ta
cập nhật giá trị nhỏ nhất W[i] của bình xăng cần có để đến được nút đó, lưu trữ
thêm D[i] là xăng còn trong bình khi ra khỏi đỉnh i:
Với mỗi nút pi (là nút thứ i sau khi đã sắp xếp):
Tìm các nút pj với j < i mà: pj có đường nối tới pi
và T[pj] + t[pj,pi] = T[pi].
Lúc đó: W[i] = W[j] + max{C[pj,pi] - D[j], 0}
(Vì nếu xăng còn trong bình D[j] > C[pj,pi] thì không cần bình to hơn)
D[i] = W[i] nếu pi là trạm xăng
= max{D[pj] – C[pj,pi], 0} nếu pi không là trạm xăng.
Kết quả cuối cùng là W[pi] với pi = n (do vậy ta chỉ tính toán đến lúc gặp pi = n).
Bài Toán 8: Nối mạng máy tính.
Đề bài: Các học sinh mỗi khi đến thực tập trong phòng máy tính thường hay chơi
trò chơi trên mạng. Để ngăn ngừa, người trực phòng máy đã ngắt tất cả các máy ra
khỏi mạng và xếp chúng thành một dãy trên một cái bàn dài và gắn chặt máy
xuống mặt bàn rồi đánh số các máy từ 1 đến N theo chiều từ trái sang phải. Các
học sinh tinh nghịch không chịu thua, họ đã quyết định tìm cách nối các máy trên
bàn bởi các đoạn cáp nối sao cho mỗi máy được nối ít nhất với một máy khác. Để
tiến hành công việc này, họ đã đo khoảng cách giữa hai máy liên tiếp. Bạn hãy
giúp các học sinh này tìm cách nối mạng thỏa mãn yêu cầu đã nêu sao cho tổng độ
dài cáp nối phải sử dụng là nhỏ nhất.

8


Dữ liệu: Vào từ file văn bản CABLE.INP:
Dòng đầu tiên chứa số lượng máy N (1 ≤ N ≤ 25000);
Dòng thứ i trong số N-1 dòng tiếp theo chứa khoảng cách từ máy i đến máy i+1
(i=1, 2, …, N-1). Biết rằng khoảng cách từ máy 1 đến máy N không vượt quá 106.

Kết quả: Ghi ra file văn bản CABLE.OUT độ dài của cáp nối cần sử dụng.
Ví dụ:
CABLE.INP

CABLE.OUT

6
2
2
3
2
2

7

Xây dựng giải thuật:
Nhận thấy rằng: để tổng độ dài cáp nhỏ nhất thì ta không thể nối dây giữa các máy
không liên tiếp; mỗi đơn vị dữ liêu là một máy, đơn vị dữ liệu cuối khi xét đến máy
thứ k chính là máy này. Trong cách nối tối ưu máy thứ k có thể nối hoặc không nối
với máy thứ k-1 mà vẫn thỏa mãn mỗi máy được nối với ít nhất một máy khác.
Gọi D[k] là khoảng cách giữa máy K-1 và máy K;
Link[K] là độ dài nhỏ nhất nối K máy đầu và K-1 nối với K;
NotLink[K] là độ dài nhỏ nhất nối K máy đầu và K-1 không nối với K.
Khởi tạo giá trị NotLink[1]:=0; Link[1]:=+∞ {+∞ ở đây có thể lấy là 107}.
Khi đó với mỗi K từ 2 đến N ta làm đồng thời hai công việc sau:
Nếu máy K được nối với máy K-1 thì máy K-1 nối hoặc không nối K-2 cũng đươc:
Link[K]:=min{Link[K-1];NotLink[K-1]} + D[K];
Nếu máy K không nối với máy K-1 thì máy K-1 phải nối với máy K-2:
NotLink[K]:=Link[K-1];
Do máy thứ nhất phải nối với máy thứ hai, máy thứ N-1 phải nối với máy thứ N

kết quả là Link[N].
Cải tiến:
9


Ta thấy qua mỗi bước ta chỉ cần giữ lại 2 giá trị cuối của Link và NotLink nên ta
có thể dùng 2 biến L và NL để thay thế cho 2 mảng. Như vậy ta còn có thể dùng
biến D để thay cho mảng D. Khi đó ta chỉ dùng biến chạy K từ 2 đến N và biến tg
vừa đọc dữ liệu vừa xử lý:
Readln(f,D);
tg:=NL;
NL:=L;
L:=min{tg;L} + D;
Chú ý:
Khoảng cách giữa các máy tối đa là 10 6 nên phải khai báo D là longint và tổng
khoảng cách có thể hơn 1010 vì vậy phải khai báo L, NL là int64.
Bài Toán 9: Bờm uống rượu.
Đề bài: Bờm thắng phú ông trong một cuộc đánh cược và buộc phú ông phải đãi
rượu. Phú ông bèn bày ra một dãy n chai chứa đầy rượu, và nói với Bờm rằng có
thể uống bao nhiêu tuỳ ý, nhưng đã chọn chai nào thì phải uống hết và không được
uống ở ba chai liền nhau bởi đó là điều xui xẻo.
Bạn hãy chỉ cho Bờm cách uống được nhiều rượu nhất.
Dữ liệu: Vào từ file văn bản BOTTLES.INP
Dòng đầu: ghi số nguyên dương n (n ≤ 100 000)
Các dòng tiếp ghi số nguyên dương (≤ 100 000) là dung tích của các chai rượu phú
ông bày ra, theo thứ tự liệt kê từ chai thứ nhầt từ chai thứ n, các số được ghi cách
nhau bởi dấu cách hoặc dấu xuống dòng.
Kết quả: Ghi ra file văn bản BOTTLES.OUT
Dòng đầu: Ghi số chai được chọn và lượng rượu tối đa có thể uống cách nhau một
dấu cách.

Các dòng tiếp theo, mỗi dòng ghi chỉ số của một chai chọn ra được.
Xây dựng giải thuật:
Mỗi đơn vị dữ liệu là một chai rượu, khi xét đến đơn vị dữ liệu cuối là chai rượu
thứ K Bờm có thể uống hoặc không.
Gọi Drink[K] là lượng rượu tối đa uống được ở K chai đầu mà không uống K;
NotDrink[K] là rượu tối đa uống ở K chai đầu và có uống chai thứ K.
Khởi tạo NotDrink[1]:=0; Drink[1]:=A[1].
Khi đó với mỗi K từ 2 đến N:
Bờm không uống chai thứ K thì có thể uống hoặc không uống chai K-1:
NotDrink[K]:=max{NotDrink[K-1];Drink[K-1]};
Bờm uống chai thứ K thì không uống chai K-1 hoặc uống chai K-1 nhưng

10


không uống chai K-2:
Drink[K]:=max{NotDrink[K-1];NotDrink[K-2] + A[K-1]} + A[K];
Cải tiến:
Ta thấy qua mỗi bước ta chỉ cần giữ lại 2 giá trị cuối của NotDrink và Drink
nên ta có thể dùng 4 biến D, ND1 và ND2 để thay thế cho 2 mảng. Như vậy ta còn
có thể dùng 2 biến A, A1 để thay cho mảng A. Khi đó ta chỉ dùng biến chạy K từ 2
đến N và biến tg vừa đọc dữ liệu vừa xử lý:
Readln(f,A); tg:=ND1; ND1:=max{ND1;D};
D:=max{tg;ND2 + A1} + A; A1:=A; ND2:=ND1;

Chú ý khi viết chương trình:
Lượng rượu mỗi chai tối đa là 10 5 nên phải khai báo A là longint và tổng lượng
rượu có thể hơn 5.109 vì vậy phải khai báo D, ND1, ND2 là int64.
Bài Toán 10: Trò chơi với băng số (HSG QG 2009).
Đề bài: Trò chơi với băng số là trò chơi tham gia trúng thưởng được mô tả như

sau: Có một băng hình chữ nhật được chia ra làm n ô vuông, đánh số từ trái qua
phải bắt đầu từ 1. Trên ô vuông thứ i người ta ghi một số nguyên dương ai, i = 1, 2,
..., n. Ở một lượt chơi, người tham gia trò chơi được quyền lựa chọn một số lượng
tùy ý các ô trên băng số. Giả sử theo thứ tự từ trái qua phải, người chơi lựa chọn
các ô i1, i2, ..., ik. Khi đó điểm số mà người chơi đạt được sẽ là:
k-1
• ai1 - ai2 + ... + (-1) aik
Yêu cầu: Hãy tính số điểm lớn nhất có thể đạt được từ một lượt chơi.
Dữ liệu:
Dòng đầu tiên chứa số nguyên dương n ( n ≤ 106 ) là số lượng ô của băng số;
Dòng thứ hai chứa n số nguyên dương a1, a2, ..., an ( ai ≤ 104, i = 1, 2, ..., n ) ghi trên
băng số. Các số liên tiếp trên cùng dòng được ghi cách nhau bởi ít nhất một
dấu cách.
Kết quả:Một số nguyên duy nhất là số điểm lớn nhất có thể đạt được từ một lượt
chơi.
Xây dựng giải thuật:
Ta hình dung ra việc chọn lần lượt một dãy con để có được một tổng đan dấu
lớn nhất. Mỗi đơn vị dữ liệu là một số hạng, số hạng a k – đơn vị dữ liệu cuối bước
k có thể chọn mang dấu + hoặc –.

11


Gọi FC[k] là tổng đan dấu lớn nhất mà số hạng cuối là a k, FT[k] là tổng đan dấu
lớn nhất mà số hạng cuối là - ak . Ta có:
FC[k] = max{FT[i] + A[k], i < k};
FT[k] = max{FC[i] – A[k], i < k};
Cải tiến:
Việc tìm max{FT[i], i < k}; max{FC[i], i < k} được cập nhật ngay trong quá
trình tính toán, vì vậy ta không cần hai mảng FT và FC mà chỉ cập nhật bằng hai

biến F1, F2.

Bài Toán 11: CẶP SỐ 0
Tên chương trình: PAIR.PAS
Đề bài: Xuất phát từ xâu S ban đầu chỉ chứa một ký tự ‘1’, người ta biến đổi n lần
theo quy tắc sau:
• Tạo xâu T bằng cách đảo các ký tự trong S: ‘1’ thành ‘0’ và ngược lại,
• Tính S mới: S := T + S.
Với cách biến đổi đó, ta có:
n
S
1
01
2
1001
3
01101001
Yêu cầu: Cho biết n (0 < n ≤ 1 000). Hãy xác định cặp số 0 trong xâu S sau n lần
biến đổi.
Dữ liệu: Vào từ file văn bản PAIR.INP gồm nhiều dòng, mỗi dòng chứa một số
nguyên n.
Kết quả: Đưa ra file văn bản PAIR.OUT, mỗi kết quả đưa ra trên một dòng dưới
dạng số nguyên.
Ví dụ:
PAIR.INP
PAIR.OUT
2
1
3
1

Xây dựng giải thuật:
Do T là xâu bù của S và S:= T+S nên số lượng số cặp số 0 ở xâu mới được xác
định như sau:
+ Số lượng cặp số 0 trong xâu S cũ;
12


+ Số lượng cặp số 0 trong xâu T = số lượng cặp số 1 trong xâu S cũ
+ x cặp số 0 tạo ra khi ghép 2 xâu S và T trong đó x=1 khi cuối xâu T và
đầu xâu S cũ đều bằng 0, trường hợp ngược lại x=0.
Ta thấy rằng kí tự kết thúc xâu S luôn là kí tự ‘1’ nên kí tự kết thúc xâu T luôn
là ‘0’ do đó để tính x ta chỉ cần cập nhập lại biến d lưu kí tự đầu của xâu là ‘0’ hay
là ‘1’.
Gọi F[i] là số lượng cặp số 0, T[i] là số lượng cặp số 1 của S sau i lần biến đổi.
Bước cơ sở:
F[1]= T[1] = T[2] = 0; F[2] = F[3]=T[3] = 1;
Bước quy nạp: F[i]:= T[i-1]+F[i-1]+x;
T[i]:=T[i-1]+F[i-1];
Cải tiến giải thuật:
Nhận thấy rằng để tính được F[i], T[i] ta chỉ cần biết F[i-1] và T[i-1] do đó
thay vì dùng 2 mảng 1 chiều tốn bộ nhớ ta chỉ cần dùng 2 biến để lưu giá trị của
F[i-1] và T[i-1] là F1 và T1, cùng với 2 biến để lưu giá trị của F[i] và T[i] là F2 và
T2. Mỗi lần biến đổi ta tính S2 và T2 theo S1 và T1 sau đó gán F1:=F2; T1:=T2;
Chú ý khi viết chương trình: Tuy nhiên chương trình trên mới chỉ chạy được với
kích thước n tối đa là 65. lý do là kết quả rất lớn các dữ liệu số đang sử dụng không
lưu trữ nổi. Để chạy được với kích thước tối đa cỡ n=1000 ta cần tạo dữ liệu mới
với các phép tính số lớn.
Bài Toán 12: Nước ngựa đi (Đề thi Olympic Tin học trẻ Toàn quốc)
Đề bài: Số điện thoại độ dài N (1≤ N ≤ 100), chọn theo cách đi
của con mã, không được bắt đầu bằng 0 hoặc 8 . Bảng phím

điện thoại được nêu ở hình bên.
Ví dụ một số điện thoại hợp lệ độ dài 7: 3 40 49 27 .
Yêu cầu : Tính số lượng số điện thoại hợp lệ độ dài N.
Ví dụ: N=2 Kết quả :16.
Xây dựng giải thuật:
Một số điện thoại độ dài N là một “đường đi” của quân mã qua N ô, vì thế nó
có được từ đường đi của quân mã qua N-1 ô cộng thêm một bước đi cuối cùng nữa.
Đơn vị dữ liệu cuối ở đây chính là vị trí cuối cùng của con mã trên đường đi đó.
Gọi F[k,i] là số lượng số điện thoại hợp lệ độ dài k và có chữ số cuối cùng là i.
Bước cơ sở: F[1,i] = 1 với mọi i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9; F[1,0] = F[1,8]=0;
Bước quy nạp: Nếu bước cuối cùng con mã ở ô số 0 thì trước đó nó chỉ có thể ở ô
4 hoặc 6 nên: F[k,0]:=F[k-1,4]+F[k-1,6]; Nếu bước cuối cùng con mã ở ô số 6 thì
trước đó nó chỉ có thể ở ô số 7, 1 hoặc 0 nên: F[k,6]:=F[k-1,0]+F[k-1,1]+F[k-1,7];

13


Suy luận tương tự nhu vậy ta có công thức quy nạp với các i từ 0 đến 9 như sau:
F[k,0]:=F[k-1,4]+F[k-1,6];
F[k,1]:=F[k-1,6]+F[k-1,8];
F[k,2]:=F[k-1,7]+F[k-1,9];
F[k,3]:=F[k-1,4]+F[k-1,8];
F[k,4]:=F[k-1,0]+F[k-1,3]+F[k-1,9];
F[k,5]:=0; (khi k > 1);
F[k,6]:=F[k-1,0]+F[k-1,1]+F[k-1,7];
F[k,7]:=F[k-1,6]+F[k-1,2];
F[k,8]:=F[k-1,1]+F[k-1,3];
F[k,9]:=F[k-1,4]+F[k-1,2];

Kết quả bài toán là tổng tất cả các các F[N,i] với I = 1, 2, …, 9.

Bài Toán 13: NHẢY VỀ ĐÍCH
Tên chương trình: JUMP.PAS
Đề bài: Xét bảng kích thước n×n ô vuông (4 ≤ n ≤ 100), trên mỗi ô ghi một số
nguyên trong phạm vi từ 0 đến 9. Ở góc trên trái có một quân cờ. Ta phải chuyển
quân cờ về ô dưới phải của bảng theo các quy tắc sau:
• Chỉ được di chuyển trên một hàng sang phải hay xuống dưới theo một cột,
• Số ghi trên ô có quân cờ kích thước bước nhảy,
• Chỉ được di chuyển trong phạm vi bảng đang xét.
Với một bảng cho trước, có thể không có cách nhảy từ ô trên trái về ô dưới phải
hoặc có nhiều cách. Ví dụ, với bảng cho ở hình dưới, ta có 3 cách khác nhau nhảy
về đích.

Yêu cầu: Cho n và các số trên bảng. Hãy xác định số cách nhảy khác nhau về đích.
Dữ liệu: Vào từ file văn bản JUMP.INP:Dòng đầu tiên chứa số nguyên n, n dòng
sau; mỗi dòng chứa n số nguyên mô tả một dòng của bảng theo thứ tự từ trên
xuống dưới.
Kết quả: Đưa ra file văn bản JUMP.OUT một số nguyên duy nhất – số cách nhảy.
Xây dựng giải thuật:
Suy nghĩ đầu tiên là đường đi từ ô (1;1) đến ô (N;N) cũng là một dãy các ô
14


tương tự đường đi của con mã trong bài toán trên, có điều quy luật di chuyển của
quân cờ này khác con mã. Mặc dù vậy ta hoàn toàn có thể sử dụng ý tưởng trong
cách tính số đường đi của con mã để tính số đường đi của quân cờ này: Ta sẽ tính
số cách đi của quân cờ từ ô (1;1) đến mọi ô khác lần lượt trên các dòng từ 1 đến N
từ trái sang phải. Khi đó đơn vị dữ liệu cuối chính là ô cuối cùng của mỗi đường
đi.
Gọi F[i,j] là số cách nhảy khác nhau từ ô [1,1] đến ô [i,j] theo quy tắc. Kết quả
cuối cùng là F[N,N].

Các F[i,j] được tính lần lượt từ trên xuống dưới từ trái sang phải. Nhận xét tương
tự bài toán quân mã rằng để đến được ô [i,j] thì trước đó quân cờ phải đứng ở một
trong các ô [p,q] thỏa mãn:
p = i (cùng hàng) và q + a[p,q] = j;
hoặc q = j ( cùng cột ) và p + a[p,q] = i;
Khi đó F[i,j] là tổng các F[p,q] thỏa mãn một trong hai điều kiện trên:
Bước cơ sở: F[1,1] = 1; F[i,j] = 0 khi i<=0 hoặc j<= 0;
Bước quy nạp:
Theo cột:
for p:=i-1 downto i-9 do {do a[p,q] không vượt quá 9}
if a[p,j]=(i-p) then
{nhảy được từ ô[p,j] đến ô [i,j]}
F[i,j]:=F[i,j]+F[p,j];
Theo hàng: for q:=j-1 downto j-9 do
if a[i,q]=(j-q) then
{nhảy được từ ô [i,q] đến ô [i,j] }
F[i,j]:=F[i,j]+F[i,k];
Phải khai báo các các phần tử lính canh bên ngoài mảng F bằng 0 để câu lệnh truy
cập mảng a và mảng F không bị lỗi tràn vùng nhớ.
Cải tiến giải thuật:
Thay vì tính số cách nhảy từ ô [1,1] đến ô [N,N] với ràng buộc chỉ được nhảy
từ trên xuống dưới từ trái sang phải thì ta làm ngược lại tính số cách nhảy từ ô
[N,N] đến ô [1,1] với ràng buộc chỉ đươc nhảy từ dưới lên trên từ phải sang trái.
Kết quả cuối cùng sẽ là F[1,1] (cho kết quả tương tự cách làm trên).
Các F[i,j] sẽ được tính lần lượt từ dưới lên trên từ phải sang trái nhưng không được
tính lại F[N,N] (vì F[N,N] đã đươc khởi tạo bằng 1).
Ta có công thức truy hồi để tính mỗi F[i,j] như sau:
F[i,j]:=F[i,j+a[i,j]] + F[i+a[i,j],j].
Phần chính của chương trình sẽ rất ngắn gọn :
for i:=n downto 1 do

for j:=n downto 1 do

15


if (i<>n) or (j<>n) then
{Để tránh tính lại F[N,N]}
F[i,j]:=F[i,j+a[i,j]] + F[i+a[i,j],j].
Chú ý khi lập trình: ta nên khai báo mảng F [-9..Nmax+9,-9..Nmax+9] để không
phải xử lý riêng một số trường hợp. Ban đầu khởi tạo mảng F bằng 0 riêng F[1,1]
(ở cách thứ nhất) hoặc F[N,N] (cách thứ hai) bằng 1.
Bài Toán 14: Ô TÔ BUÝT
Tên chương trình: BUS.???
Đề bài: Đường trong thành phố Bytecity đều chạy từ Bắc xuống Nam hay từ Tây
sang Đông tạo thành một lưới ô vuông. Các đường chạy từ Bắc xuống Nam được
đánh số từ 1 tới n từ Tây sang Đông, các đường chạy từ Tây sang Đông được đánh
số tự 1 tới m từ Nam lên Bắc. Nút giao thông (i, j) là giao giữa đường Bắc – Nam
thứ i với đường Tây – Đông thứ j. Mỗi nút giao thông là một trạm chờ ô tô buýt.
Buổi sáng sớm ô tô buýt đón học sinh đi học sẽ chạy từ nút (1, 1) tới nút (n, m). Ô
tô chỉ chạy theo hướng Bắc và/ hoặc Đông.
Người lái chuyến đầu tiên đa đi theo con đường
cho phép đón được nhiều học sinh nhất.
Yêu cầu: Cho biết n, m (1 ≤ n, m ≤ 1000), số nút
k có học sinh đứng chờ (1 ≤ k ≤ 1000), toạ độ
mỗi nút và số người chờ ở đó. Hãy cho biết
chuyến đầu tiên có thể đón được bao nhiêu học
sinh (giả thiết không hạn chế số người lên xe). Số
người chờ ở mỗi nút khồn quá 106 và tổng số người chờ không quá 109.
Dữ liệu: Vào từ file văn bản BUS.INP:
Dòng đầu tiên chứa 3 số nguyên n m k,

k dòng sau: mỗi dòng chứa 3 số nguyên i, j và p, trong đó i, j – toạ độ nút, p
– số người chờ.
Kết quả: Đưa ra file văn bản BUS.OUT một số nguyên – số lượng học sinh nhiều
nhất đón được.
Xây dựng giải thuật:
Đây lại là một bài toán xác định đường đi (tối ưu) có quy luật di chuyển cho
các bước đi, đơn vị dữ liệu cuối là nút cuối của đường đi. Ta tính F[i,j] là số lượng
học sinh đã đón được nhiều nhất khi xe ở nút (i,j); a[i,j] là số lượng học sinh đứng
chờ tại nút (i,j). Vì ô tô chỉ chạy theo hướng Bắc hoặc Đông nên khi xem nút (i,j)
là đơn vị dữ liệu cuối thì trước đó ô tô chỉ có thể ở nút (i-1,j) hoặc (i,j-1). Do đó ta
sẽ tính các F[i,j] lần lượt theo từng dòng từ dưới lên trên, từ trái sang phải:
Bước cơ sở:
F[1,1]:= a[1,1];
Bước quy nạp: F[i,j]:=max(F[i-1,j],F[i,j-1])+a[i,j];
16


Kết quả yêu cầu chính là F[n,m].
Cải tiến giải thuật:
Để tính F[i,j] ta cần biết F[i-1,j] và F[i,j-1] do đó ta không cần lưu lại toàn bộ
mảng F mà chỉ cần 2 dòng ứng với 2 mảng một chiều F[0..1,0..1000] of longint là
đủ. Ta sẽ tính n lần F[1,i] theo F[0,i] với i=1..n; sau mỗi lần tính ta gán lại
F[0,i]:=F[1,i].
Ngoài ra còn có thể tăng tốc độ cho chương trình bằng cách tránh việc sao chép
từ F[1,i] sang F[0,i]bàng cách sử dụng “con lắc” hoán đổi vị trí của F[0,i] và F[1,i].

Bài Toán 15: LÒ CÒ (Bài thi HSG QG 2008) Tên chương trình JUMP.PAS
Đề bài: Nhảy lò cò là trò chơi dân gian của Việt Nam. Người trên hành tinh X
cũng rất thích trò chơi này và họ đã cải biên trò chơi này như sau: Trên mặt phẳng
vẽ n vòng tròn được đánh số từ 1 đến n. Tại vòng tròn i người ta điền số nguyên

dương ai. Hai số trên hai vòng tròn tùy ý không nhất thiết phải khác nhau. Tiếp đến
người ta vẽ các mũi tên, mỗi mũi tên hướng từ một vòng tròn đến một vòng tròn
khác. Quy tắc vẽ mũi tên là: Nếu có ba số a i, aj, ak thỏa mãn ak = ai + aj thì vẽ mũi
tên hướng từ vòng tròn i đến vòng tròn k và mũi tên hướng từ vòng tròn j đến vòng
tròn k. Người chơi chỉ được di chuyển từ một vòng tròn đến một vòng tròn khác
nếu có mũi tên xuất phát từ một trong số các vòng tròn, di chyển theo cách mũi tên
đã vẽ để đi đến các vòng tròn khác. Người thắng cuộc sẽ là người tìm được cách di
chuyển qua nhiều vòng tròn nhất.
Ví dụ: Với 5 vòng tròn và các số trong vòng tròn là 1, 2, 8, 3, 5, trò chơi được trình
bày trong hình dưới đây:

Khi đó có thể di chuyển được nhiều nhất qua 4 vòng tròn (tương ứng với đường di
chuyển được tô đậm trên hình vẽ).
Yêu cầu: Hãy xác định xem trong trò chơi mô tả ở trên, nhiều nhất có thể di
chuyển được qua bao nhiêu vòng tròn.
Dữ liệu:
17


Dòng đầu chứa số nguyên n (3 ≤ n ≤ 1000);
Dòng thứ hai chứa dãy số nguyên dương a1, a2, ..., an (ai ≤ 109, i=1, 2,..., n).
Hai số liên tiếp trên một dòng được ghi cách nhau bởi dấu cách.
Kết quả: Ghi ra số lượng vòng tròn trên đường di chuyển tìm được.
Xây dựng giải thuật:
Giả sử các số trong vòng tròn được cho trong mảng a[1..N]. Từ một vòng tròn
sẽ chỉ có thể đi đến một vòng tròn ghi số lớn hơn, vì vậy ta sẽ sắp xếp lại mảng a
(tương ứng với các vòng tròn) theo chiều tăng dần. Bây giờ ta có quy tắc di
chuyển: từ vòng tròn i đến được vòng tròn j nếu a[j] = a[i] + a[k] với k <> i, k < j
nào đó. Với quy tắc di chuyển này, mỗi đơn vị dữ liệu là một vòng tròn (ứng với
một số trong dãy đã sắp xếp). Khi xét đơn vị dữ liệu cuối là vòng tròn thứ i, để nó

là vị trí cuối của một dãy nhiều vòng tròn nhất ta thêm nó vào sau dãy dài nhất có
thể các vòng tròn phía trước.
Gọi F[i] là số lượng vòng tròn nhiều nhất có thể đi qua tới vòng tròn thứ i (tính
cả vòng tròn thứ i).
Bước cơ sở: F[i] = 1 với mọi i= 1,2,…,N
Bước quy nạp: Để tính F[i] ta thêm vòng tròn i vào sau dãy nhiều vòng tròn nhất
đã đi qua ở phía trước, có nghĩa là tìm F[j] lớn nhất thỏa mãn điều kiện có đường
đi từ vòng tròn j đến vòng tròn i, lúc đó F[i] = F[j] + 1. Như đã nêu, việc kiểm tra
xem có đường đi từ vòng tròn j đến vòng tròn i chính là việc liểm tra xem có thể
tách a[i] thành tổng a[j]+a[k], điều này có thể thực hiện nhanh chóng bằng tìm
kiếm nhị phân giá trị a[i] – a[j] trong dãy a[1..j-1]
Bài Toán 16: Hành trình đông tây
Đề bài: Cho một bảng A kích thước m * n, trên đó ghi các số nguyên. Một người
xuất phát tại một ô nào đó của cột 1, cần sang cột n (tại ô nào cũng được). Quy tắc:
Từ ô A[i,j] chỉ được quyền sang một trong 3 ô A[i,j+1]; A[i+1,j+1], A[i-1,j+1].
Hãy tìm vị trí ô xuất phát và hành trình đi từ cột 1 sang cột n sao cho tổng các số
ghi trên đường đi là lớn nhất.
1
2
6
7
9
7
6
5
6
7
1
2
3

4
2
4
7
8
7
6
A
=
Nhận xét: Hoàn toàn có thể xây dựng giải thuật cho bài toán này tương tự như bài
toán trước. Tuy nhiên bài toán tương tự sau đây cần có những xử lý tinh tế hơn:
Bài Toán 17: SĂN MỒI.
18


Đề bài: Vợ chồng nhà Thạch Sùng tổ chức một cuộc đi săn muỗi trên một bức
tường kích thước m*n được chia thành lưới ô vuông đơn vị. Các hàng của lưới
được đánh số từ 1 đến m theo thứ tự từ trên xuống dưới và các cột được đánh số từ
1 đến n theo thứ tự từ trái qua phải. Trên mỗi ô (i,j) của bức tường có aij con muỗi.
Vợ chồng Thạch Sùng đang đứng ở mép trên của bức tường, chúng có thể tùy chọn
vị trí xuất phát để có thể bò xuống các ô bên dưới để ăn muỗi. Khi thạch sùng đi
qua ô nào thì muỗi ở ô đó bị ăn hết. Do tường khá trơn nên từ 1 ô trên 1 hàng,
thạch sùng chỉ có thể bò xuống ô ở hàng dưới có chung cạnh hoặc chung đỉnh với
ô đang đứng. Khi thạch sùng đi xuống ô dưới của mép tường thì cuộc săn kết
thúc.Như vậy hành trình săn mồi của một con thạch sùng bắt đầu từ ô xuất phát
(trên hàng 1) có thể biểu diễn bằng một xâu gồm m-1 kí tự, trong đó kí tự thứ i
thuộc {L,D,R} cho biết tại bước di chuyển thứ i thạch sùng bò sang ô trái dưới, bên
dưới hay phải dưới. (xem hình)
*
L

D
R
Vợ chồng Thạch Sùng đang tranh luận xem nên chia nhau ra săn mồi như thế nào
để tổng số muỗi ăn được là lớn nhất. Bạn hãy dự tính số muỗi lớn nhất mà chúng
có thể ăn được và chỉ ra hai đường đi săn mỗi tối ưu của 2 con Thạch Sùng.
Chú ý: Tại một thời điểm, hai con thạch sùng có thể ở cùng 1 ô. Số muỗi ăn được
là tổng số muỗi trên các ô được đi qua.
Dữ liệu: vào từ file văn bản HUNTING.INP
Dòng 1 chứa 2 số nguyên dương m,n <100.
m dòng tiếp theo dòng thứ i chưa n số nguyên, số thứ j là aij<100.
Kết quả: ghi ra file văn bản HUNTING.OUT.
Dòng 1 ghi tổng số muỗi 2 vợ chồng thạch sùng ăn được.
Dòng 2 ghi chỉ xuất cột xuất phát của con thạch sùng thứ nhất và chỉ xuất cột
xuất phát của con thạch sùng thứ hai.
Dòng 3 ghi một xâu kí tự là hành trình của con thạch sùng thứ nhất.
Dòng 3 ghi một xâu kí tự là hành trình của con thạch sùng thứ hai
Ví dụ
HUNTING.OUT

HUNTING.OUT

44
0201
4052
0403
0202

23
24
LRD

LRD

19


Xây dựng giải thuật:
Ta thấy sau mỗi bước vợ chồng Thạch Sùng di chuyển thì chúng sẽ chiếm 2 ô
trên cùng một hàng (chỉ số cột 2 ô có thể trùng nhau) vì thế có thể coi đây là bài
toán tìm đường đi của vợ chồng Thạch Sùng với đơn vị dữ liệu cuối ở bước thứ k
là cặp ô trên dòng k mà vợ chồng thạch sùng chiếm chỗ. Chúng ta gọi f[k,i,j] là số
muỗi ăn được nhiều nhất khi chúng đến dòng k và Thạch Sùng vợ ở cột i, còn
chồng ở cột j. Rõ ràng để tới được ô [k,i] thì trước đó Thạch Sùng vợ phải ở một
trong các ô ([k-1,i],[k-1,i-1],[k-1,i+1]), tương tự thì Thạch Sùng chồng cũng phải ở
một trong các ô ([k-1,j],[k-1,j-1],[k-1,j+1]). Chính vì vậy ta có công thức truy hồi:
f[k,i,j]=max(f[k-1,i,j], f[k-1,i-1,j],f[k-1,i+1,j],
f[k-1,i,j-1], f[k-1,i-1,j-1],f[k-1,i+1,j-1],
f[k-1,i,j+1],f[k-1,i-1,j+1],f[k-1,i+1,j+1])+M.
Trong đó:
M=a[k,i] + a[k,j] khi j khác k (vơ chồng Thạch Sùng ở khác ô).
M=a[k,i]
khi j = k (vợ chồng Thạch Sùng ở cùng ô).
Chú ý khi viết chương trình: Ta không liệt kê tất cả các trường hợp trong quá
trình tìm max bằng câu lệnh if mà chỉ cần dùng 2 biến u và v trong đó u chạy từ i-1
đến i+1:v chạy từ j-1 đến j+1 thì f[k,i,j]=max(f[k-1,u,v])+M.
.

Bài Toán 18: Chọn ô (Bài thi quốc gia năm 2006)
Đề bài:Cho một bảng hình chữ nhật kích thước 4×n ô vuông. Các dòng được đánh
số từ 1 đến 4, từ trên xuống dưới, các cột được đánh số từ 1 đến n từ trái qua phải.
Ô nằm trên giao của dòng i và cột j được gọi là ô (i,j). Trên mỗi ô (i,j) có ghi một

số nguyên aij , i =1, 2, 3, 4; j =1, 2, ..., n. Một cách chọn ô là việc xác định một tập
con khác rỗng S của tập tất cả các ô của bảng sao cho không có hai ô nào trong S
có chung cạnh. Các ô trong tập S được gọi là ô được chọn, tổng các số trong các ô
được chọn được gọi là trọng lượng của cách chọn.
Ví dụ: Xét bảng với n=3 trong hình vẽ dưới đây
1 2 3
1 -1 9
20

3


2 -4 5

-6

3 7

9

8

4 9 7 2
Cách chọn cần tìm là tập các ô S = {(3,1), (1,2), (4,2), (3,3)} với trọng lượng 32.
Yêu cầu: Hãy tìm cách chọn ô với trọng lượng lớn nhất.
Dữ liệu: Vào từ file văn bản SELECT.INP:
• Dòng đầu tiên chứa số nguyên dương n là số cột của bảng.
• Dòng thứ j trong số n dòng tiếp theo chứa 4 số nguyên a1j, a2j, a3j, a4j, hai số
liên tiếp cách nhau ít nhất một dấu cách, là 4 số trên cột j của bảng.
Kết quả: Ghi ra file văn bản SELECT.OUT trọng lượng của cách chọn tìm được.

Xây dựng giải thuật:
Ta hình dung sẽ lần lượt chọn ô trên mỗi cột để tích lũy dần vào tổng lớn nhất,
vì vậy đơn vị dữ liệu cuối ở bước k đương nhiên là tập các ô được chọn trên cột k.
Tuy nhiên việc chọn những ô nào ở cột thứ k không thể tùy ý mà nó phụ thuộc vào
ở cột thứ k-1 đã chọn những ô nào, vì thế để chọn được phương án tốt nhất trên cột
k ta phải lưu trữ được các kết quả (tốt nhât) trong các cách chọn ở cột k-1. Nhận
xét rằng trên mỗi cột do không được chọn 2 ô liền nhau nên có 8 cách lựa chọn đó
là: Không chọn ô nào; chọn 1 ô trong 4 ô; chọn 2 ô trên dòng 1 và 3, 1 và 4 hay 2
và 4. Từ đó:
Gọi L[i,0] là tổng lớn nhất khi đến cột i mà không chọn ô nào;
L[i,1] là tổng lớn nhất khi đến cột i chọn 1 ô dòng 1;
L[i,2] là tổng lớn nhất khi đến cột i chọn 1 ô dòng 2;
L[i,3] là tổng lớn nhất khi đến cột i chọn 1 ô dòng 3;
L[i,4] là tổng lớn nhất khi đến cột i chọn 1 ô dòng 4;
L[i,13] là tổng lớn nhất khi đến cột i chọn 2 ô dòng 1 và 3;
L[i,14] là tổng lớn nhất khi đến cột i chọn 2 ô dòng 1 và 4;
L[i,24] là tổng lớn nhất khi đến cột i chọn 2 ô dòng 2 và 4;

Ta có:
L[i+1,0]:=max{L[i,13];L[i,14];L[i,24];L[i,0];L[i,1];L[i,2];L[i,3];L[i,4]};
L[i+1,1]:=max{L[i,24];L[i,0];L[i,2];L[i,3];L[i,4]} + A[i,1];
L[i+1,2]:=max{L[i,13];L[i,14];L[i,0];L[i,1];L[i,3];L[i,4]} + A[i,2];
L[i+1,3]:=max{L[i,14];L[i,24];L[i,0];L[i,1];L[i,2];L[i,4]} + A[i,3];
L[i+1,4]:=max{L[i,13];L[i,0];L[i,1];L[i,2];L[i,3]} + A[i,4];
L[i+1,13]:=max{L[i,24];L[i,0];L[i,2];L[i,4]} + A[i,1] + A[i,3];
L[i+1,14]:=max{L[i,0];L[i,2];L[i,3]} + A[i,1] + A[i,4];
L[i+1,24]:=max{L[i,13];L[i,0];L[i,1];L[i,3]} + A[i,2] + A[i,4];

Với công thức quy hoạch động nêu trên ta có được một thuật toán có độ phức tạp
là O(N).

21


Chỳ ý khi vit chng trỡnh:
Trong mụ t thut toỏn trờn õy ta vit bng mng cho d hiu, trong thc t khi
vit chng trỡnh, ch cn dựng 16 bin tớnh lp i lp li 8 giỏ tr trờn.
Ngoi ra do yờu cu chn mt tp ụ khỏc rng nờn cn x lý tỡnh hung tt c cỏc
s trong bng khụng õm, khi ú thut toỏn ca ta khụng chn ụ no, nhng lỳc ú
rừ rng kt qu l s ln nht trong bng.
Bi Toỏn 19: ON XE ( thi Olympic Duyờn hi Bc B 2009).
bi: Cho một đoàn xe hộ tống có N chiếc đi trên một đoạn đờng một chiều đã
đợc bố trí theo thứ tự từ 1 đến N. Mỗi một xe trong đoàn trên thì có một vận tốc là
V và trọng lợng là W. Khi đi qua một chiếc cầu có tải trọng không quá P thì phải
chia đoàn xe trên thành các nhóm sao cho tổng khối lợng của mỗi một nhóm là
không quá P. Thêm vào nữa là các nhóm phải đi tuần tự. Nghĩa là nhóm thứ i chỉ đợc đi khi mà toàn bộ xe của nhóm thứ i 1 đã qua cầu. Vận tốc đi của mỗ nhóm
bằng vận tốc xe chậm nhất trong nhóm đó.
Hãy tìm cách chia đoàn xe thành các nhóm sao cho thời gian mà đoàn xe sang
đợc cầu là nhỏ nhất có thể đợc.
Dữ liệu: vào từ file văn bản DOANXE.INP
Dòng đầu ghi 3 số N( N 1000) P và L thể hiện: cho số xe, trọng lợng tối
đa của cầu và độ dài của cầu. ( P; L 10000)
N dòng kế tiếp, mỗi dòng gồm 2 số W và V thể hiện cho trọng lợng và vận
tốc của xe.
Kết quả: ghi ra file văn bản DOANXE.OUT
Dòng đầu là tổng thời gian nhỏ nhất để đoàn xe qua cầu chính xác đến hai chữ
số phần thập phân.
Dòng kế tiếp gồm các số
từ

+1 ..

,

,...,

thể hiện : nhóm 1 là từ 1 ..

, nhóm 2 là

,......

Xõy dng gii thut:
Gi s thụng tin v cỏc xe trong on xe h tng l mt mng A[1..N] cú 2
trng l W trng lng v V vn tc. on xe qua cu theo tng tp nờn
mi n v d liu l mt tp xe v n v d liu cui khi cú k xe chớnh l tp xe
cui cựng qua cu cựng vi xe th k. Ta s tớnh F[i] thi gian nh nht cho n
khi xe th i l xe cui cựng qua cu. Khi ú kt qu l F[n].
Rừ rng nu ó bit F[1], F[2], , F[k 1] thỡ giỏ tr F[k] ch ph thuc tp xe
cui cựng qua cu cựng xe th k: nu tp xe cui cựng qua cu l cỏc xe t xe th i

22


đến xe thứ k thì F[k] = F[i-1]+ thời gian tốp xe từ i đến k đi qua cầu. Từ đó ta xây
dựng được công thức quy nạp:
Bước cơ sở: F[1] = L/A[1].v;
Bước quy nạp: F[k] = Min (F[i-1]+ thời gian tốp xe từ i đến k đi qua cầu) với i
chạy từ k tới 1 sao cho tổng trọng lượng các xe từ i tới k không quá P.
Chú ý khi viết chương trình: để đỡ mất công phải tìm về phía trước quá nhiều ta
dùng một biến T là tổng trọng lượng từ xe thứ k trở về đến xe thứ i. Nếu T lớn hơn

tải trọng của cầu thì thoát luôn khỏi vòng lặp. Giá trị của mảng F phải là kiểu số
thực Real

23


Bài Toán 20: PHÂN CHIA Tên chương trình: SEPAR.PAS
Đề bài: Cho một từ độ dài không quá 300 000 ký tự và danh sách n từ con
khác nhau từng đôi một (1 ≤ n ≤ 4 000), mỗi từ có độ dài không quá 100 ký
tự. Các ký tự trong từ ban đầu và các từ trong danh sách đều là chữ cái la
tinh thường. Gọi p là số cách chia từ ban đầu thành tổng các từ trong danh
sách. Mỗi từ trong danh sách có thể được sử dụng nhiều lần hoặc không sử
dụng lần nào.
Yêu cầu: Hãy xác định số dư của p khi chia cho 1 337 337.
Dữ liệu: Vào từ file văn bản SEPAR.INP:
• Dòng đầu tiên chứa số nguyên n,
• n dòng sau - mỗi dòng chứa một từ trong danh sách,
• Dòng cuối cùng chứa từ ban đầu.
Kết quả: Đưa ra file văn bản SEPAR.OUT một số nguyên - kết quả tìm
được.
Xây dựng giải thuật:
Mỗi đơn vị dữ liệu lầ một từ, do đó đơn vị dữ liệu cuối khi xét đến ký tự thứ
k là từ nằm ở vị trí cuối xâu s[1..k]. Chúng ta tính F[i] là số cách phân chia
xâu con i ký tự đầu tiên thành tổng các từ đã cho. Rõ ràng số cách phân chia
này phụ thuộc từ cuối cùng là từ nào danh sách n từ .
Bước cơ sở: F[0] = 0;
Bước quy nạp: Nếu đoạn w = s[k...i] là một từ thì số cách phân chia với từ
cuối cùng là w bằng F[k-1], chính vì vậy F[i] là tổng các F[k-1] sao cho
đoạn s[k...i] là từ:
For i:=1 to n do

For j:=i downto i – 99 do {do mỗi từ có độ dài không quá 100}
If (s[j...i] là 1 từ) then F[i]:=F[i]+F[j-1];
Chú ý khi viết chương trình: Việc kiểm tra rất nhiều đoạn s[j...i] có là một
từ trong số 4000 từ hay không sẽ chiếm thời gian chính của chương trình. Vì
vậy để tăng tốc độ cho chương trình ta phải thực hiện tốt công đoạn kiểm tra
này. Tôt nhất ở đây nên dùng trie tree, không thì sắp xếp lại danh sách từ
tăng dần sau đó kiểm tra s[j...i] có trong danh sách này hay không bằng tìm
kiếm nhị phân. Cuối cùng vì số lượng cách phân chia là cực lớn nên bài toán
chỉ yêu cầu tìm số dư của kết quả khi chia cho 1337337 vì vậy kết quả tính
toán trong các bước đều phải mod 1337337 để không bị tràn số.


Kết luận:
Chuyên đề này phù hợp với học sinh bắt đầu làm quen với quy hoạch
động. Mặc dù chúng tôi đã rất cố gắng nhưng chắc chắn không khỏi còn
nhiều khiếm khuyết, rất mong được anh chị em bạn bè đồng nghiệp góp ý.
Ninh Bình,Tháng 9/2012
Nhóm Tin học
Trường THPT chuyên Lương Văn Tụy.