Tài liệu Tóm tắt lý thuyết và phương pháp giải toán lớp 12

TRƯỜNG THPT CHUN HỒNG LÊ KHA

SỐ 10 CHUN

BÀI GIẢNG
TĨM TẮT LÍ THUYẾT &

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN 12

GV: Nguyễn Hoàng Khanh


 ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012

MỤC LỤC
MỤC LỤC...........................................................................................2
.............................................................................................................4
Chương I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM...................................................4
Bài 1: SỰ ĐỒNG BIẾN – NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ................4
............................................................................................................4

* Dạng tốn:...........................................................................................................................4
Bài tốn 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số..................................................................4
Bài tốn 2: Dùng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức...............................................4
Bài 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ..........................................................4

Bài toán 1: Áp dụng quy tắc 1 tìm cực trị của hàm số...........................................................5
Bài tốn 2: Áp dụng quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số...........................................................5
Bài tốn 4: Tìm điều kiện để hàm số có cực đại và cực tiểu..................................................5
Bài tốn 5: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị......................................6
Bài 3: GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT .......................8

CỦA HÀM SỐ.....................................................................................8

* Định nghĩa: .........................................................................................................................8
Bài tốn 1: Tìm GTNN, GTLN của hàm số trên một khoảng................................................8
Bài tốn 2: Tìm GTNN, GTLN của hàm số liên tục trên đoạn .............................................8
Bài tốn 3: Tìm m để phương trình có nghiệm trên D:..........................................................8
Xét hàm số trên D, tìm maxy, miny hoặc tìm tập giá trị của y từ đó kết luận được m..........8
Bài 4: TIỆM CẬN................................................................................9

1. Cách tìm tiệm cận:..............................................................................................................9
2. Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số là : ........................................................................9
3. Cho M thuộc (C). Tính tích các khoảng cách từ 1 điểm trên (C) đến 2 tiệm cận:.............9
Bài 5: KHẢO SÁT HÀM SỐ.............................................................10

1. Sơ đồ khảo sát:.................................................................................................................10
2. Các dạng đồ thị:................................................................................................................10
* Chú ý: ............................................................................................11
Bài 6: MỘT SỐ BÀI TOÁN..............................................................11
LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ........................................11

Bài tốn 3: Phương trình tiếp tuyến – Điều kiện tiếp xúc....................................................12
Bài toán 4: Điều kiện để hàm bậc 3 cắt Ox tại 3 điểm phân biệt:........................................13
Đồ thị hàm số (phần nét liền, nét đứt là phần được xóa)...................18
Chương II. HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ............................18
VÀ HÀM SỐ LOGARIT...................................................................18
MŨ, LŨY THỪA VÀ LOGARIT......................................................18

1. Lũy thừa, căn bậc n:.........................................................................................................18
PHƯƠNG TRÌNH MŨ......................................................................21
PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT...........................................................21

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LƠGARIT..........................................22
Chương III. NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG.........23
NGUYÊN HÀM................................................................................23
TÍCH PHÂN......................................................................................25

Các dạng cơ bản (với k>0)...................................................................................................26
Chương IV. SỐ PHỨC.......................................................................29
...........................................................................................................31
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN VÀ KHỐI TRÒN XOAY....................31
Chương III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN....32
HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN..............................................32
PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU...........................................................35


2

TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ


 LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN 12

............................................................................................37
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG.....................................................37
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG...............................................41
............................................................................................46
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI.........................................................................46
............................................................................................48
TÌM MỘT SỐ ĐIỂM ĐẶC BIỆT......................................................48
MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN ÔN LẠI...............................................50
TAM THỨC BẬC HAI, PHƯƠNG TRÌNH, ....................................50

BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2.........................................................50
CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC...........................................................53
VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.............................................53

1. Phương trình lượng giác cơ bản:......................................................................................56
2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:.....................................................58
3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:....................................................................58
4. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx........................................................58
5. Phương trình đối xứng, phản đối xứng: ..........................................................................58
6. Phương trình lượng giác khác:.........................................................................................59
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC........................................59
ĐẠO HÀM........................................................................................61

1. Bảng các đạo hàm:...........................................................................................................61
2. Các qui tắc tính đạo hàm:.................................................................................................61
3. Đạo hàm cấp cao:.............................................................................................................61
PHỤ LỤC..........................................................................................63

GV: NGUYỄN THANH NHÀN

3

: 0987.503.911


 ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012

Chương I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
Bài 1: SỰ ĐỒNG BIẾN – NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
* Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên K (khoảng, nửa khoảng, đoạn)

- y = f ( x ) đồng biến trên K ⇔ ∀x1 , x2 ∈ K : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 )

- y = f ( x ) nghịch biến trên K ⇔ ∀x1 , x2 ∈ K : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 )
* Dạng tốn:
Bài tốn 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số
1. Tìm miền xác định.
2. Tìm đạo hàm, tìm các điểm tới hạn.
3. Xét dấu đạo hàm
4. Kết luận:

a) Nếu f ' ( x ) > 0 với mọi x ∈ ( a; b ) thì hàm số f ( x ) đồng biến trên khoảng ( a; b )

b) Nếu f ' ( x ) < 0 với mọi x ∈ ( a; b ) thì hàm số f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( a; b )

Chú ý: f ' ( x ) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm trên khoảng

( a; b ) thì hàm số cũng đồng biến

(nghịch biến) trên khoảng đó.
Bài tốn 2: Dùng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức

Để chứng minh f ( x ) > g ( x ) , ∀x ∈ ( a; b ) ta qua các bước sau:

1. Biến đổi: f ( x ) > g ( x ) , ∀x ∈ ( a, b ) ⇔ f ( x ) − g ( x ) > 0, ∀x ∈ ( a, b )
2. Đặt h ( x ) = f ( x ) − g ( x )

3. Tính h ' ( x ) và lập bảng biến thiên của h ( x ) . Từ đó suy ra kết quả.

Bài tốn 3: Tìm điều kiện để hàm số y = f ( x ) luôn luôn tăng (hoặc luôn luôn giảm) trên miền xác
định

ax 2 + bx + c
3
2
- Các hàm số y = ax + bx + cx + d ( a ≠ 0 ) và y =
( a ≠ 0 ) luôn luôn tăng (hoặc luôn
Ax + B
ln giảm) trên miền xác định của nó khi và chỉ khi y ' ≥ 0 (hoặc y ' ≤ 0 ) ∀x ∈ D . Nếu a có chứa
 a > 0
 a < 0
tham số thì xét thêm trường hợp a=0 (đối với hàm bậc 3) ⇔ 
(hoặc ⇔ 
)
 ∆ y ' ≤ 0
 ∆ y ' ≤ 0
ax + b
- Hàm số y =
luôn luôn tăng (hoặc luôn luôn giảm) trên từng khoảng xác định của nó khi
cx + d
và chỉ khi y ' > 0 (hoặc y ' < 0 ) ∀x ∈ D



Bài 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ



4

TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ

 LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN 12

Bài tốn 1: Áp dụng quy tắc 1 tìm cực trị của hàm số
1. Tìm miền xác định
2. Tìm f ' ( x )

3. Tìm các điểm tại đó f ' ( x ) = 0 hoặc f ' ( x ) không xác định (gọi chung là điểm tới hạn).
4. Sắp xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần và lập bảng xét dấu đạo hàm.
5. Nêu kết luận về cực trị.
Bảng tóm tắt:

Bài tốn 2: Áp dụng quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số
1. Tính f ' ( x ) . Giải phương trình f ' ( x ) = 0 .

Gọi xi ( i = 1,2,...) là các nghiệm của phương trình.
2. Tính f "( x ) và f "( xi )

3. Dựa vào dấu của f "( xi ) suy ra kết luận về cực trị của điểm xi theo định lí sau:
Định lí:

Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp hai trên khoảng ( a; b ) chứa điểm xo và f ' ( xo ) = 0 . Khi
đó:

a) Nếu f "( xo ) > 0 thì xo là điểm cực tiểu.
b) Nếu f "( xo ) < 0 thì xo là điểm cực đại.

Bài tốn 3: Tìm điều kiện của m để hàm số đạt cực trị tại một điểm cho trước
Cách 1: Áp dụng định lí Fec-ma:
Giả sử y = f ( x ) có đạo hàm tại điểm x = xo .

Khi đó nếu y = f ( x ) đạt cực trị tại điểm x = xo thì f ' ( xo ) = 0 .

Chú ý: Nếu f ' ( xo ) = 0 thì chưa chắc hàm số đạt cực trị tại điểm x = xo . Do đó khi tìm được m thì
phải thử lại.
Cách 2: Dùng đạo hàm cấp 2.
Bài tốn 4: Tìm điều kiện để hàm số có cực đại và cực tiểu
ax 2 + bx + c
có một cực đại và một cực tiểu khi và chỉ
Ax + B
khi phương trình y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt (khi đó hiển nhiên y’ đổi dấu hai lần khi qua các
nghiệm). Nếu hàm hữu tỉ thì phải khác nghiệm mẫu.
Các hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d và y =

GV: NGUYỄN THANH NHÀN

5

: 0987.503.911


 ƠN THI TN VÀ LTĐH 2012
Bài tốn 5: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
ax 2 + bx + c
( C)
Ax + B
- Nếu (C) có hai điểm cực trị

1. Cho hàm số y =

- Thì phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó là
y=

( ax
y=

2

)

+ bx + c '

( Ax + B ) '

2a
b
x+
A
A

3
2
2. Cho hàm số y = ax + bx + cx + d ( C )

- Nếu (C) có hai điểm cực trị và chia y cho y’ ta được y = y '. A ( x ) + α x + β
- Thì phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó là y = α x + β

Bài toán 6: Điều kiện để hàm số đạt cực trị tại x0 :
 y ' ( x0 ) = 0


 y "( x0 ) ≠ 0

 y ' ( x0 ) = 0
(hoặc 
)
 y 'đổi dấu khi qua x0

Bài toán 7: Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại x0 :
 y ' ( x0 ) = 0

 y "( x0 ) < 0

 y ' ( x0 ) = 0
(hoặc 
)
 y 'đổi dấu từ +sang − khi qua x0

Bài toán 8: Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu tại x0 :
 y ' ( x0 ) = 0

 y "( x0 ) > 0

 y ' ( x0 ) = 0
(hoặc 
)
 y 'đổi dấu từ − sang + khi qua x0

Bài tốn 9: Điều kiện để hàm số đạt CĐ, CT tại x1 , x2 thỏa Ax1 + Bx2 = C :
∆ y ' > 0


 Ax1 + Bx2 = C

 x + x = − b với x1 , x2 là nghiệm của y ' = 0
2
 1
a

c
 x1 x2 =
a

Bài tốn 10: Điều kiện để hàm bậc 3 có CĐ,CT và hai giá trị cực trị cùng dấu:
∆
 y' > 0
* Điều kiện để hàm bậc 3 có CĐ,CT là 
 a ≠ 0
* Gọi A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) là hai điểm cực trị. Ta có y ( x1 ) .y ( x2 ) > 0 (trường hợp trái dấu thì
ngược lại)
Chú ý: Hàm số viết thành: y = P ( x ) .y '+ mx + n (lấy hàm số chia cho đạo hàm)
 y ( x1 ) = mx1 + n
⇒
 y ( x2 ) = mx2 + n
Bài tốn 11: Điều kiện để hàm số bậc 3 có CĐ,CT nằm về hai phía đối với trục tung:



6

TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ

hay


 LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN 12

c
Điều kiện để ycbt được thỏa mãn là y ' = 0 có hai nghiệm trái dấu. Khi đó P = < 0
a
ax 2 + bx + c
mx + n
* Tìm các điểm cực trị của hàm số (nghiệm của phương trình y’=0)
đạo hàm của TS 2 ax + b
=
* ycực trị =
rồi thay x cực trị vào phân số này ta có ycực trị tương ứng, và
đạo hàm của MS
m

Bài tốn 12: Cách tính nhanh giá trị cực trị của hàm hữu tỉ y =

cách tính trên chỉ áp dụng cho hàm hữu tỉ.
Bài tốn 13: Tìm m để hàm trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c có 3 điểm cực trị lập thành một tam
giác cân:
* TXĐ: D=R
3
2
* Tính y ' = 4ax + 2bx = 2 x 2ax + b ,

(

)

x = 0

 x 2 = − b ( a ≠ 0 ) (1)

2a
* Ycbt tương đương phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0.
b
Khi đó −
>0
2a
x = 0
y' = 0 ⇔  2
⇔
 2ax + b = 0

( α ; β ) ∈ ( C )

Bài toán 14: Điều kiện để hàm số y = f ( x ) ( C ) đạt cực trị bằng β tại x = α là  y ' ( α ) = 0

 y '' ( α ) ≠ 0
Bài toán 15: Hàm trùng phương có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác. Tính diện tích tam giác
đó:
* Tính y ' , tìm 3 điểm tới hạn, suy ra 3 điểm cực trị A, B, C.
1
* Tính diện tích tam giac ABC theo công thức: S = | xy '− x ' y | với
2
uuur
 AB = ( x; y )


 uuur
 AC = ( x '; y ' )
Bài tốn 16: Tìm m để hàm trùng phương có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác đều:
* TXĐ: D=R
x = 0
x = 0
3
⇔ 2
* Tính y ' = 4ax + 2bx; y ' = 0 ⇔ 
2
 x = − b ( a ≠ 0 ) (1)
2ax + b = 0

2a
* Điều kiện để ycbt được thỏa là phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0. Khi đó:
−

b
> 0 ( *)
2a

GV: NGUYỄN THANH NHÀN

7

: 0987.503.911


 ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012


x = 0 ⇒ y = c ( A)


b
⇒ y = ? ( B ) . Tìm được 3 điểm cực trị
* Với điều kiện (*), giải phương trình y ' = 0 ⇔  x = −
2
a


b
⇒ y = ?( C )
x = − −
2a

 AB 2 = AC 2
A, B, C. Do tam giác ABC đều nên  2
, từ đó tìm được m và chỉ nhận những m thỏa
2
 AB = BC
điều kiện (*).



Bài 3: GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT
CỦA HÀM SỐ
* Định nghĩa:
 f ( x ) ≥ m, ∀x ∈ K
y=m⇔

- min
K
∃x0 ∈ K : m = f ( x0 )
 f ( x ) ≤ M , ∀x ∈ K
- max y = M ⇔ 
K
∃x0 ∈ K : M = f ( x0 )
* Dạng tốn:
Bài tốn 1: Tìm GTNN, GTLN của hàm số trên một khoảng

Để tìm GTNN và GTLN của hàm số y = f ( x ) trên khảng ( a; b ) ta lập bảng biến thiên của hàm số
trên khoảng ( a; b ) rồi dựa vào đó mà kết luận.

Bài tốn 2: Tìm GTNN, GTLN của hàm số liên tục trên đoạn  a; b 
Cách 1: Có thể lập bảng biến thiên rồi dựa vào đó mà kết luận.
Cách 2: Qua 3 bước:

1. Tìm các điểm x1 , x2 ,..., xn trên  a; b  mà tại đó f ' ( x ) = 0 hoặc f ' ( x ) khơng xác định.
2. Tính f ( a ) , f ( b ) , f ( x1 ) , f ( x2 ) ,..., f ( x n ) .

f ( x ) , m = min f ( x )
3. Tìm số lớn nhất M và nhỏ nhất m trong các số trên. Khi đó: M = max
 a;b 
 a;b 
Bài tốn 3: Tìm m để phương trình f ( x ) = m có nghiệm trên D:









Xét hàm số y = f ( x ) trên D, tìm maxy, miny hoặc tìm tập giá trị của y từ đó kết luận được m.





8

TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ


 LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN 12

Bài 4: TIỆM CẬN
1. Cách tìm tiệm cận:
y = ±(m)∞ thì đường thẳng x = x là tiệm cận đứng.
* Nếu xlim
0
→ x±
0

y = y0 thì đường thẳng y = y0 là tiệm cận ngang.
* Nếu xlim
→±∞
* Nếu hàm số viết thành y = thương ax + b +

Số dư
Số dư
= 0 thì
(chia đa thức) mà xlim
→±∞ Mẫu số
Mẫu số

đường thẳng y = ax + b là tiệm cận xiên.
* Đường thẳng y = ax + b gọi là TCX của hàm số

f ( x)
a = lim
x →±∞
y = f ( x) ⇔ 
x
b = lim ( f ( x ) − ax )
x →±∞


d
TCÑ : x = −


ax + b
c
2. Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =
là : 
cx + d
 TCN : y = a


c
3. Cho M thuộc (C). Tính tích các khoảng cách từ 1 điểm trên (C) đến 2 tiệm cận:

(

)

* Gọi M x0 ; f ( x0 ) ∈ ( C ) . Tìm TCĐ, TCX (hoặc TCN)
* d=d(M,TCĐ).d(M,TCN) là một hằng số.

GV: NGUYỄN THANH NHÀN

9

: 0987.503.911


 ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012

Bài 5: KHẢO SÁT HÀM SỐ
1. Sơ đồ khảo sát:
1. Tập xác định: D = ¡
2. Sự biến thiên:
a) Xét chiều biến thiên của hàm số:
- Tìm đạo hàm
- Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc khơng xác định.
- Suy ra chiều biến thiên của hàm số.
b) Tìm cực trị.
c) Tìm các giới hạn và tìm tiệm cận (nếu có)
d) Lập bảng biến thiên.

* Chú ý: Kết luận về tính đồng biến, nghịch biến phải ở trước BBT
3. Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị.
* Chú ý:
- Để vẽ đồ thị chính xác nên tính thêm tọa độ của một số điểm, đặc biệt cần tìm tọa độ các giao
điểm của đồ thị với các trục tọa độ.
- Cần lưu ý các tính chất đối xứng trục, đối xứng tâm.
2. Các dạng đồ thị:
3
2
a) Hàm số bậc ba: y = ax + bx + cx + d ( a ≠ 0 )

a>0

a<0

Phương
trình y ' = 0
có hai
nghiệm
phân biệt

Phương
trình y ' = 0
có nghiệm
kép

Phương
trình y ' = 0
vơ nghiệm

Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.

4
2
b) Hàm số trùng phương: y = ax + bx + c ( a ≠ 0 )



10

TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ


 LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN 12

a>0

a<0

Phương
trình y ' = 0
có 3 nghiệm
phân biệt

Phương
trình y ' = 0
có 1 nghiệm

Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng.
ax + b

c) Đồ thị hàm số y =
( c ≠ 0 ) ; ad − bc ≠ 0
cx + d
D = ad − bc > 0 ( y ' > 0 )

D = ad − bc < 0 ( y ' < 0 )

Đồ thị nhận giao điểm I của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.

* Chú ý: M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) : y = f ( x ) ⇔ y0 = f ( x0 )


Bài 6: MỘT SỐ BÀI TOÁN
LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
Bài toán 1: Sự tương giao của các đồ thị (bằng phương trình hồnh độ giao điểm)
Cho hai đường cong ( C1 ) : y = f ( x ) , ( C2 ) : y = g ( x ) .

Để xét sự tương giao giữa ( C1 ) , ( C2 ) ta lập phương trình hồnh độ giao điểm f ( x ) = g ( x ) (1)
1. ( C1 ) không có điểm chung với ( C2 ) ⇔ pt (1) vô nghiệm.

2. ( C1 ) cắt ( C2 ) tại n điểm phân biệt ⇔ pt (1) có n nghiệm phân biệt. Đồng thời nghiệm của pt (1)
là hoành độ giao điểm của ( C1 ) và ( C2 ) .
Chú ý:

GV: NGUYỄN THANH NHÀN

11

: 0987.503.911

 ƠN THI TN VÀ LTĐH 2012
* Nếu phương trình hồnh độ giao điểm có dạng Ax 2 + Bx + C = 0 .Ta biện luận theo A và ∆ . Tức
là:
- Nếu A=0. Ta có kết luận cụ thể về giao điểm của (C 1) và (C2).
- Nếu A ≠ 0. Tính ∆
+ ∆ < 0 : khơng có giao điểm.
+ ∆ = 0 : Có 1 giao điểm.
+ ∆ > 0 : có hai giao điểm.
* Nếu phương trình hồnh độ giao điểm có dạng ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 .
Đưa phương trình này về dạng:

( x − α ) ( Ax

2

)

+ Bx + C = 0 (Chia Horner, a ≠ 0 )

x = α
⇔ 2
 Ax + Bx + C = 0 ( 1)
Biện luận theo phương trình (1) ta suy ra được số giao điểm.

Bài toán 2: Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình F ( x , m ) = 0 (1)
1. Biến đổi F ( x , m ) = 0 về dạng f ( x ) = g ( m ) .

2. Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và đường thẳng
y = g( m)

3. Dựa vào đồ thị để biện luận các trường hợp.

Chú ý: y = g ( m ) là đường thẳng song song với trục Ox và cắt trục Oy tại điểm có tung độ bẳng
g( m)

Bài tốn 3: Phương trình tiếp tuyến – Điều kiện tiếp xúc
Dạng 1: Phương trình tiếp tuyến tại điểm thuộc đồ thị:

Phương trình tiếp tuyến của (C): y = f ( x ) tại điểm M ( xo ; yo ) ∈ ( C ) là:
y − y0 = f ' ( x 0 ) ( x − x 0 )

Trong đó:

+ M ( x0 ; y0 ) gọi là tiếp điểm.

+ k = f ' ( x0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến.
Dạng 2: Phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k:
- Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b thì k = a
1
- Nếu tiếp tuyến vng góc đường thẳng y = ax + b thì k = −
a
α
- Tiếp tuyến hợp với chiều dương của trục hoành một góc thì k = tan α
1. Giải phương trình f ' ( x ) = k tìm x0 là hồnh độ tiếp điểm.



12

TRƯỜNG THPT NGƠ GIA TỰ

 LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN 12

2. Tính y0 = f ( x0 ) .

3. Phương trình tiếp tuyến là y = k ( x − x0 ) + y0
Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến (d) biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng ( ∆ ): y=ax+b một
góc bằng ϕ ( 0 < ϕ ≤ 90 ):
1. Gọi α , β lần lượt là góc hợp bởi tiếp tuyến (d), đường thẳng ( ∆ ) với chiều dương trục
hồnh. Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến, khi đó ta có: ϕ = α − β suy ra:
tan α − tan β
k−a
=
(1)
1 + tan α tan β
1 + ak
2. Giải phương trình (1) tìm được hệ số góc k của tiếp tuyến.
3. Làm tương tự như dạng 2 ta có được phương trình tiếp tuyến.
Bài tốn 4: Điều kiện để hàm bậc 3 cắt Ox tại 3 điểm phân biệt:
* Phương trình hồnh độ giao điểm của (C) và trục hoành là:
tan ϕ = tan α − β = tan ( α − β ) =

x = α
ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 ⇔ ( x − α ) Ax 2 + Bx + C = 0 (chia Horner) ⇔  2
 Ax + Bx + C = 0 ( 1)

(

)

2
(đặt g ( x ) = Ax + Bx + C )

∆
 ( 1) > 0
* Điều kiện để ycbt được thỏa là (1) phải có 2 nghiệm phân biệt khác α . Khi đó 
 g ( α ) ≠ 0
Bài toán 5: Điều kiện để hàm trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c cắt Ox tại 4 điểm phân biệt:
* Lập phương trình hồnh độ giao điểm của (C) và Ox:
2
t = x ≥ 0
ax 4 + bx 2 + c = 0 ⇔  2
at + bt + c = 0(1)

∆ > 0

* Điều kiện để ycbt được thỏa là (1) phải có hai nghiệm dương phân biệt. Khi đó  P > 0
S > 0

Bài toán 6: Điều kiện để hàm trùng phương cắt Ox tại 4 điểm phân biệt lập thành CSC:
* Lập phương trình hồnh độ giao điểm của (C) và Ox:
2
t = x ≥ 0
ax 4 + bx 2 + c = 0 ⇔  2
at + bt + c = 0(1)

∆ > 0

* Điều kiện để ycbt được thỏa là (1) phải có hai nghiệm dương phân biệt. Khi đó  P > 0 (*)

S > 0

* Với điều kiện (*) được thỏa ta có 4 điểm có hồnh độ lập thành CSC nên (1) phải có hai
nghiệm dương phân biệt thỏa t2 = 9t1 (2).

b
t1 + t2 = − a (3)
Theo định lí Viét 
t .t = c (4)
 1 2 a
* Từ (2), (3), (4) ta giải ra tham số, chỉ nhận tham số khi m thỏa điều kiện (*).
Bài tốn 7: Tìm m để d: y = m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB=l:

GV: NGUYỄN THANH NHÀN

13

: 0987.503.911


 ƠN THI TN VÀ LTĐH 2012
* Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d. Biến đổi phương trình này về dạng
Ax 2 + Bx + C = 0 (1)
 A ≠ 0
* Điều kiện để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt là 
( *)
 ∆ (1) > 0

* Gọi A ( x1 ; m ) , B ( x2 ; m ) là hai giao điểm của (C) và d; x1 , x2 là nghiệm của (1). Ta có:
AB =

(x

− x1 ) =| x1 − x2 |=| x2 − x1 |=
2

2

∆ 2 ∆'
=
= l . Từ đó tìm được m, chỉ nhận những m
|a|
|a|

thỏa điều kiện (*).
Bài tốn 8: Tìm m để d: y = m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB có độ dài ngắn nhất:
* Lập phương trình hồnh độ giao điểm của (C) và d. Biến đổi phương trình này về dạng
Ax 2 + Bx + C = 0 (1)
 A ≠ 0
* Điều kiện để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt là 
(*)
 ∆ (1) > 0

* Gọi A ( x1 ; m ) , B ( x2 ; m ) là hai giao điểm của (C) và d; x1 , x2 là nghiệm của (1). Ta có
AB =

(x

− x1 ) = x1 − x2 = x2 − x1 =
2

2

∆ 2 ∆'
=
. Từ đó tìm điều kiện của m để AB nhỏ
a
a

nhất, chỉ nhận m thỏa (*).
Bài tốn 9: Tìm m để d: y = m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OA ⊥ OB với O là gốc
tọa độ:
* Lập phương trình hồnh độ giao điểm của (C) và d. Biến đổi phương trình này về dạng
Ax 2 + Bx + C = 0 (1)
 A ≠ 0
* Điều kiện để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt là 
(*)
 ∆ (1) > 0

* Gọi A ( x1 ; m ) , B ( x2 ; m ) là hai giao điểm của (C) và d; x1 , x2 là nghiệm của (1). Ta có
uuur uuur
OA ⊥ OB nên ta có OA.OB = 0 . Từ đây tìm được m, chỉ nhận những m thỏa (*).
Bài tốn 10: Tìm m để d: y = ax + b cắt (C) tại hai điểm phân biệt trên cùng một nhánh của (C):
* Lập phương trình hồnh độ giao điểm của (C) và d. Biến đổi phương trình này về dạng
Ax 2 + Bx + C = 0 (1).

A ≠ 0

* Điều kiện ycbt được thỏa là  ∆ ( 1) > 0
với α là nghiệm của mẫu số và x1 , x2 là 2


( x1 − α ) ( x2 − α ) > 0
nghiệm của (1).
Bài tốn 11: Tìm m để d: y = ax + b cắt (C) tại hai điểm phân biệt trên cùng hai nhánh khác nhau
của (C)
* Lập phương trình hồnh độ giao điểm của (C) và d. Biến đổi phương trình này về dạng
Ax 2 + Bx + C = 0 (1).



14

TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ


 LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN 12


A ≠ 0

* Điều kiện ycbt được thỏa là  ∆ ( 1) > 0
với α là nghiệm của mẫu số và x1 , x2 là 2

( x1 − α ) ( x2 − α ) < 0
nghiệm của (1).

Bài toán 12: Tìm những điểm trên (C): y = f ( x ) mà tại đó tiếp tuyến vng góc với đường thẳng
y = ax + b .
* Gọi M0 ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) . Hệ số góc của tiếp tuyến tại M0 là f ' ( x0 ) . Giải phương trình
f ' ( x0 ) .a = −1 . Từ đây tìm được x0 và có được M0 .

Bài tốn 13: CMR mọi tiếp tuyến của (C): y = f ( x ) đều không qua giao điểm hai tiệm cận:
* Tọa độ giao điểm I hai tiệm cận là nghiệm của hệ phương trình:

 Tiệm cận đứng

 Tiệm cận xiên (hay TCN)
* Lập phương trình tiếp tuyến qua I, kết quả là khơng có tiếp tuyến. Từ đó ta có điều phải
chứng minh.

Bài tốn 14: Cho M ∈ ( C ) , tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận của (C) tại A, B, gọi I là giao điểm hai
tiệm cận. CMR M là trung điểm của AB. Tính diện tích tam giác IAB:

(

)

* Gọi M x0 ; f ( x0 ) ∈ ( C ) . Phương trình tiếp tuyến tại M là
y − y0 = f ' ( x 0 ) ( x − x 0 ) ⇔ y = f ' ( x 0 ) ( x − x 0 ) + y 0 .
* Tìm giao điểm của tiếp tuyến với TCĐ là A
* Tìm giao điểm của tiếp tuyến với TCX là B.
* Tìm giao điểm I của hai tiệm cận.
* Kiểm tra công thức M là trung điểm AB, từ đó ta có điều phải chứng minh.
uur uur
* Tính vectơ IA, IB . Từ đó tính diện tích tam giác IAB (kết quả là một hằng số.
Bài toán 15: CMR tiếp tuyến tại điểm uốn là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất (hoặc lớn nhất):
* Tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn I ( x0 ; y0 ) là f ' ( x0 ) .

* Gọi hệ số góc của tiếp tuyến bất kì là f ' ( x ) . Ta chứng minh f ' ( x ) ≥ f ' ( x0 ) (trong trường
hợp lớn nhất ta làm ngược lại).

Bài tốn 16:Tìm những điểm trên đường thẳng ∆ : y = y0 mà từ đó có thể kẻ được 2, 3 tiếp tuyến
đến (C):
* Gọi

M ( a; y0 ) ∈ ( ∆ ) . Viết phương trình d qua M và có hệ số góc k là:

y − y0 = k ( x − a ) ⇔ y = k ( x − a ) + y 0 .
 f ( x ) = k ( x − a ) + y0
(1) . Muốn từ M vẽ được 2,3 tiếp
* Điều kiện để d là tiếp tuyến của (C) 
 f ' ( x ) = k
tuyến thì (1) có 2,3 nghiệm.
Bài tốn 17: CMR mọi tiếp tuyến của (C) tạo với hai tiệm cận 1 tam giác có diện tích khơng đổi:

GV: NGUYỄN THANH NHÀN

15

: 0987.503.911


 ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012

(

)

* Gọi M x0 ; f ( x0 ) ∈ ( C ) . Phương trình tiếp tuyến tại M là
y − y0 = f ' ( x 0 ) ( x − x 0 ) ⇔ y = f ' ( x 0 ) ( x − x 0 ) + y 0 .
* Tìm giao điểm của tiếp tuyến với TCĐ là A

* Tìm giao điểm của tiếp tuyến với TCX là B.
* Tìm giao điểm I của hai tiệm cận.
* Kiểm tra cơng thức M là trung điểm AB, từ đó ta có điều phải chứng minh.
uur uur
* Tính vectơ IA, IB . Từ đó tính diện tích tam giác IAB (kết quả là một hằng số.
Bài tốn 18:Tìm trên (C) những điểm có tọa độ là các số nguyên:
* Hàm số viết thành y = Thương+

Số dư
Mẫu số

(chia đa thức)

* Do x, y nguyên nên Mẫu số = ± ước của Số dư.
Bài tốn 19: Tìm những điểm trên (C) cách đều hai trục tọa độ:

 y = f ( x )
* Những điểm trên (C) cách đều hai trục tọa độ là nghiệm của hệ phương trình 
hoặc
 y = − x
 y = f ( x )

 y = x

Bài tốn 20: Tìm những điểm trên (C) đối xứng nhau qua gốc tọa độ:

* Gọi A ( x0 ; y0 ) , B ( − x0 ; − y0 ) là hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ.

* Thay tọa độ A, B vào phương trình của hàm số ta được hệ phương trình. Giải hệ này ta được
tọa độ điểm cần tìm.

Bài tốn 21: Tìm những điểm trên đồ thị hàm nhất biến sao cho tổng khoảng cách từ đó đến hai
tiệm cận đạt GTNN:

(

)

* Gọi M x0 ; f ( x0 ) ∈ ( C ) . Tìm TCĐ, TCN.
*

d = d M,TCĐ + dM,TCN  ≥ 2 d M,TCÑ .d M,TCN  = A .

Tính

















Vậy

mind=A.

Khi

đó

d  M ,TCĐ = d M ,TCN  . Từ đó tìm được M








Bài tốn 22: Tìm những điểm trên (C) đối xứng qua d: y = ax + b
1
* Gọi ∆ ⊥ d . Vậy phương trình ∆ : y = − x + m . Tìm tọa độ giao điểm I của d và ∆
a
* Lập phương trình hồnh độ giao điểm của (C) và ∆ . Biến đổi phương trình này về dạng
Ax 2 + Bx + C = 0 (1).

* Gọi A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) là hai giao điểm của ∆ và (C). ta có I là trung điểm AB. Vậy
x1 + x2 = 2 x I . Từ đây tìm được m. Thay vào (1) tìm A và B.
Bài tốn 23: Tìm những điểm trên (C) mà khoảng cách từ đó đến Ox bằng k lần khoảng cách từ
đó đến Oy:

(

)

* Gọi M x0 ; f ( x0 ) ∈ ( C ) . Tính d  M ,Ox  , d  M ,Oy 
* Giải phương trình: d  M ,Ox  = k .d M ,Oy 

Bài toán 24: CMR đồ thị (C) nhận điểm I ( x0 ; y0 ) làm tâm đối xứng:



16

TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ


 LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN 12

uur
* Bằng phép tịnh tiến theo vectơ OI với I ( x0 ; y0 ) , hệ trục Oxy thành hệ trục IXY. Ta có cơng
 X = x − x0
 x = X + x0
⇔
thức đổi trục: 
(1)
Y = y − y0
 y = Y + y0

* Thay (1) vào hàm đã cho ta có Y = F ( X ) . Kiểm chứng F ( X ) là hàm lẻ.
Bài toán 25: CMR đồ thị (C) nhận đường thẳng x = x0 làm trục đối xứng:
uur

* Bằng phép tịnh tiến theo vectơ OI với I ( x0 ;0 ) , hệ trục Oxy thành hệ trục IXY. Ta có cơng
 X = x − x0
 x = X + x0
⇔
thức đổi trục: 
(1)
 y = Y
Y = y − 0

* Thay (1) vào hàm đã cho ta có Y = F ( X ) . Kiểm chứng F ( X ) là hàm chẵn.
Bài tốn 26: Tìm tập hợp điểm (quỹ tích)
 x = g ( m )
* Tìm tọa độ điểm M ( x; y ) theo một tham số 
 y = h ( m )
* Khử m từ hệ trên ta được phương trình F ( x; y ) = 0 .

* Giới hạn: dựa vào điều kiện tồn tại điểm M hay điều kiện khi khử m để tìm điều kiện của x
hoặc y.
Kết luận: tập hợp điểm M là đường (L) có phương trình F ( x; y ) = 0 thỏa điều kiện ở bước 3.

Bài tốn 27: Tìm điểm cố định mà họ ( Cm ) ln đi qua:

* Biến đổi phương trình y = f ( x , m ) về dạng Am + B = 0 (hay Am 2 + Bm + C = 0 (ẩn m)).

A = 0
A = 0

(hay  B = 0)
* Tọa độ điểm cố định là nghiệm của hệ phương trình 
B = 0

C = 0

Bài toán 28: Sự tương giao giữa 2 đồ thị mà trong đó tham số m có bậc 1 (tức là trong biểu thức
khơng chứa m2, m3)
Giả sử bài tốn tìm giao điểm của đường cong qui về tìm nghiệm của phương trình f ( x ) = g ( x )

(1)
Trong đó (1) khơng nhẩm được nghiệm và tham số m trong (1) có dạng bậc nhất (tức là trong (1)
không chứa m 2 , m 3 ,... ), khi đó:
* Biến đổi (1) về dạng F ( x ) = m (2), ở đây F(x) có thể là hàm phân thức.
* Lập bảng biến thiên của hàm số y = F ( x )

* Dựa vào bảng biến thiên ta biện luận số nghiệm của (2), và từ đó suy ra kết luận đối với (1).
Nhận xét: Phương pháp này cũng đặc biệt có ích cho bài tốn tìm m để nghiệm của phương trình, hệ
phương trình,... thỏa điều kiện cho trước nào đó và một số bài tốn khác về tìm m.
Bài tốn 29: Các phép biến đổi đồ thị:
* Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) ( C ) suy ra đồ thị hàm số y = f ( x ) ( C ' )
1. Vẽ (C)

GV: NGUYỄN THANH NHÀN

17

: 0987.503.911


 ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012
2. Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hồnh; lấy đối xứng của phần đồ thị (C) nằm
phía dưới trục hồnh qua trục hồnh.
3. Xóa phần đồ thị nằm phía dưới trục hồnh, đồ thị cịn lại chính là (C’)

Đồ thị hàm số y = f ( x ) (phần nét liền, nét đứt là phần được xóa)

( )

* Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) ( C ) suy ra đồ thị hàm số y = f x

1. Vẽ (C)
2. Xóa phần đồ thị (C) nằm phía bên trái trục Oy và chừa lại phần đồ thị nằm bên phải.
3. Lấy đối xứng phần đồ thị của (C) ở bên phải trục Oy qua Oy, ta có được đồ thị (C’).

( )

Đồ thị hàm số y = f x

(phần nét liền, nét đứt là phần được xóa)



Chương II. HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ
VÀ HÀM SỐ LOGARIT
MŨ, LŨY THỪA VÀ LOGARIT
1. Lũy thừa, căn bậc n:
a) Định nghĩa:
*

an = a
.a.......
14
2 43a ( a ∈¡ , n ∈¥ *)

n thừa số

* a 0 = 1; a − n =

1
an

b) Tính chất:
Với a, b ∈ ¡ *; m, n ∈ ¢ ta có:
* am an = am +n



*

18

am
= am− n
an

TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ


 LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN 12

n

a
an

* ÷ = n
b
b

* ( ab ) = a n b n
n

( )

* am

n

= a mn

* Nếu: 0 < a < b thì: a n < b n , ∀n > 0
a n > b n , ∀n < 0
* Nếu a > 1 và m > n thì: a m > a n
* Nếu 0 < a < 1 và m > n thì: a m < a n
c) Các tính chất của căn bậc n:
Giả sử các biểu thức dưới đây đều có nghĩa. Khi đó:
a . n b = n ab

*

n

*

( a)

*

n m

n

m

*

= n am

*

n

a

n

b

n

=n

a
b

 a,khi n leû
an = 
| a |, khi n chaün

a = mn a
m

* Lũy thừa với số mũ hữu tỷ:

a n = n am

2. Lôgarit:
a)Định nghĩa:

( 0 < a ≠ 1, b > 0 )

log a b = c ⇔b =ac

b) Tính chất:
Cho a,b>0, a ≠ 1 . Các tính chất sau được suy trực tiếp từ định nghĩa:
* loga 1 = 0
* loga a = 1
k
* loga a = k ( k ∈ ¡

* a loga b = b

)

c) So sánh logarit:

Cho a,b,c>0, c ≠ 1 . Ta có:
*logc a = logc b ⇔ a = b
*Nếu c > 1thì: log c a < logc b ⇔ a < b
*Neáu 0 < c < 1thì: logc a < log c b ⇔ a > b
d) Các quy tắc tính logarit:
* Logarit của một tích:

Cho a, x1 , x2 > 0, a ≠ 1. Ta có: loga ( x1 x2 ) = log a x1 + log a x2
* Logarit của một thương:
Cho a, x1 , x2 > 0, a ≠ 1. Ta có: loga

x1
= log a x1 − loga x2
x2

* Logarit của một lũy thừa:
k
Cho a, b > 0, a ≠ 1 . Ta có: loga b = k log a b ( k ∈ ¡

Đổi cơ số:

log a b =

)

logc b
logc a

GV: NGUYỄN THANH NHÀN

19

: 0987.503.911


 ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012

o loga b =

1
( b ≠ 1)
log b a

1
o logak b = .log a b ( k ≠ 0 )
k
o loga b = log a c.logc b ( 0 < c ≠ 1)
* Logarit thập phân:
- Logarit cơ số 10 gọi là logarit thập phân
- log10 a thường được viết là lg a hoặc log a
* Logarit tự nhiên:

- Logarit cơ số e gọi là logarit tự nhiên. ( e ≈ 2,71828...)
- loge a thường được viết là lna

Bảng đạo hàm của hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit:
Hàm cơ bản
Hàm hợp

( )

/

1/ xα

= α .xα −1

/

1
1
2/  ÷ = − 2
x
x
 
3/

( )
x

( )
5/ ( a )
4/ e x

x

/

/

/

1

=

2 x

= ex

1
x
1
=
x

6/ ( ln x ) =

(

7/ ln x

)

/

1
x ln a
1
=

x ln a

8/ ( loga x ) =
/

(

9/ loga x

)

/



/

α

= α .u ' uα −1

/

1
u'
 ÷ =− 2
u
u
 

( )
u

(e )
(a )
u

= a x .ln a
/

(u )

u

/

/

/

( ln u )

u'

=

2 u

= u '.eu
= u ' a u ln a

/

( ln u )

u'
u
u'
=
u

=
/

( log u )

/

( log u )
a

20

u'
u ln a
u'
=
u ln a

=

a

/

TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ


 LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN 12

PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1. Phương pháp đưa về cùng cơ số:
Với a > 0, a ≠ 1 . Ta có:

f x
g x
a ( ) =a ( ) ⇔ f ( x ) = g ( x )

2. Phương pháp đặt ẩn phụ:
Dạng 1:
A.a2 x + B.a x + C = 0
A.a3 x + B.a 2 x + C .a x + D = 0
.............................................

x
Đặt a = t ( t > 0 )

Dạng 2:
A.a + B ( ab ) + C.b
x

2x

2x

2x

x

a
a
= 0 ⇔ A ÷ + B ÷ + C = 0
b
b

x

a
Đặt:  ÷ = t ( t > 0 )
b
Dạng 3: A.a x + B.b x + C = 0 với a x .b x = 1
1
t
M
>
0,0 < a ≠ 1. Ta có:
3. Phương pháp logarit hóa: Với
x
Đặt: a = t ( t > 0 ) . Khi đó: b x =

f x

a ( ) = M ⇔ f ( x ) = loga M

4. Phương pháp dùng tính đơn điệu:
Dự đốn nghiệm và chứng minh nghiệm đó là duy nhất.
Giả sử y = f ( x ) và y = g ( x ) là hai hàm số liên tục:

* Cho y = f ( x ) tăng và y = g ( x ) giảm. Khi đó phương trình f ( x ) = g ( x ) nếu có nghiệm thì
nghiệm đó là duy nhất.
* Cho y = f ( x ) là hàm tăng (hoặc giảm). Khi đó phương trình f ( x ) = k nếu có nghiệm thì
nghiệm đó là duy nhất.
* y = a x tăng nếu a > 1 và giảm nếu 0 < a < 1

PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
1. Phương pháp đưa về cùng cơ số:
Với 0 < a ≠ 1 . Ta có:


f ( x) = g( x)
loga f ( x ) = loga g ( x ) ⇔ 
 f ( x ) > 0 hoaëc g ( x ) > 0

M
Chú ý: loga f ( x ) = M ⇔ f ( x ) = a (không cần đặt điều kiện của f(x))

2. Phương pháp đặt ẩn phụ:

2
Dạng 1: A.log a x + B.log a x + C = 0 ( a > 0, a ≠ 1)

Đặt: loga x = t

GV: NGUYỄN THANH NHÀN

21

: 0987.503.911


 ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012
Dạng 2: A.log a x + B.log x a + C = 0 ( a > 0, a ≠ 1)
Đặt: loga x = t. Khi đó log x a =

1
( x > 0, x ≠ 1)
t

3. Phương pháp mũ hóa:

loga f ( x ) = M ⇔ f ( x ) = a M

4. Phương pháp dùng tính đơn điệu:
Dự đốn nghiệm và chứng minh nghiệm đó là duy nhất (tương tự phương trình mũ)
* Với 0 < a < 1 thì hàm số y = loga x làm hàm giảm
* Với a > 1 thì hàm số y = loga x làm hàm tăng

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LƠGARIT
Khi giải bất phương trình mũ và bất phương trình lơgarit thì cần chú ý:
1. Điều cần xác định của bất phương trình.
2. Cơ số của lũy thừa hoặc cơ số của logarit, nếu cơ số lớn hơn 1 thì hàm số đồng biến, cơ số lớn hơn
0 và nhỏ hơn 1 thì hàm số nghịch biến.
f x

g x
* a > 1: a ( ) ≤ a ( ) ⇔ f ( x ) ≤ g ( x )
f x
g x
* 0 < a < 1: a ( ) ≤ a ( ) ⇔ f ( x ) ≥ g ( x )

 f ( x ) < g ( x )
* a > 1: loga f ( x ) < log a g ( x ) ⇔ 
 f ( x ) > 0
 f ( x ) > g ( x )
* 0 < a < 1: log a f ( x ) < log a g ( x ) ⇔ 
 g ( x ) > 0
Trong quá trình giải bất phương trình có thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ, logarit hóa hoặc mũ hóa.
Nếu có ẩn ở mẫu số thì quy đồng nhưng khơng được bỏ mẫu.





22

TRƯỜNG THPT NGƠ GIA TỰ


 LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN 12

Chương III. NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
NGUYÊN HÀM
1. Định nghĩa:

Hàm số F ( x ) được gọi là nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên khoảng ( a; b ) nếu với mọi x thuộc

( a; b ) , ta có: F ' ( x ) = f ( x )
2. Định lí:

Nếu F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên khoảng ( a; b ) thì:

a) Với mọi hằng số C, F ( x ) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên khoảng đó.

b) Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên khoảng ( a; b ) đều có thể viết dưới dạng
F ( x ) + C với C là một hằng số.
Người ta kí hiệu họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x ) là

∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C ⇔ F ' ( x ) = f ( x )

∫ f ( x ) dx . Như vậy:

3. Các tính chất của nguyên hàm:

∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C ⇔ F ' ( x ) = f ( x )
* ( ∫ f ( x ) dx ) = f ( x ) và ∫ ( f ( x ) ) dx = f ( x ) + C
* ∫ af ( x ) dx = a ∫ f ( x ) dx ( a ≠ 0 )
* ∫  f ( x ) ± g ( x )  = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx
*

/

/

4. Bảng các nguyên hàm:

Nguyên hàm các hàm số sơ cấp
thường gặp

Nguyên hàm của các hàm số hợp
(dưới đây t = t ( x ) )

* ∫ dx = x + C
*

α
∫ x dx =

* ∫ dt = t + C

x α +1
+ C ( α ≠ 1)
α +1

* ∫ tα dt =

dx
= ln x + C ( x ≠ 0 )
x
dx
1
* ∫ 2 = − +C
x
x
*

dt
= ln t + C ( t ≠ 0 )
t
dt
1
*∫ 2 = − +C
t
t

∫

*∫

x
x
* ∫ e dx = e + C

* ∫ a x dx =

tα +1
+ C ( α ≠ 1)
α +1

t
t
* ∫ e dt = e + C

ax
+ C ( 0 < a ≠ 1)
ln a

* ∫ at dt =

at
+ C ( 0 < a ≠ 1)
ln a

* ∫ cos xdx = sin x + C

* ∫ cos tdt = sin t + C

* ∫ sin xdx = − cos x + C

* ∫ sin tdt = − cos t + C

GV: NGUYỄN THANH NHÀN

23

: 0987.503.911


 ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012
dx

*

∫ cos

*

∫ sin

2

x

dx
2

x

= tan x + C

*∫

dt
= tan t + C
cos2 t

= − cot x + C

*∫

dt
= − cot t + C
sin 2 t

( ax + b )
* ∫ ( ax + b ) dx =

a ( α + 1)

α +1

α

α +1

+C

1

dx

*

∫ ax + b = a ln ax + b + C

*

∫

dx

( ax + b )

2

=−

+C

dt
1
= ln at + b + C
at + b a
dt
1
=−
+C
2
*∫
a
at
+
b
(
)
at
+
b
(
)
*∫

1
+C
a ( ax + b )

1

* ∫ e ax + b dx = eax + b + C
a
1
* ∫ cos ( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) + C
a
1
* ∫ sin ( ax + b ) dx = − cos ( ax + b ) + C
a
5. Các phương pháp tìm nguyên hàm
* Đổi biến:
Nếu

( at + b )
* ∫ ( at + b ) dt =
a ( α + 1)
α

1
* ∫ e at + b dt = e at + b + C
a
1
* ∫ cos ( at + b ) dt = sin ( at + b ) + C
a
1
* ∫ sin ( at + b ) dt = − cos ( at + b ) + C
a

∫ f ( t ) dt = F ( t ) + C và t = ϕ ( x ) có đạo hàm liên tục thì: ∫ f ϕ ( x ) .ϕ ' ( x ) dx = F ϕ ( x )  + C

Chú ý:

- t = ϕ ( x ) ⇒ dt = ϕ ' ( x ) dx

- g ( t ) = ϕ ( x ) ⇒ g ' ( t ) dt = ϕ ' ( x ) dx
* Nguyên hàm từng phần:

Nếu hai hàm số u ( x ) và v ( x ) có đạo hàm liên tục trên một khoảng hay một đoạn nào đó, thì trên
khoảng hay đoạn đó:

Hay:

∫ u ( x ) v ' ( x ) dx = u ( x ) v ( x ) − ∫ u ' ( x ) v ( x ) dx

∫udv = uv − ∫vdu

Chú ý:

u = f ( x )
du = f ' ( x ) dx
⇒
* Đặt: 
 dv = g ( x ) dx v = ∫ g ( x ) dx = G ( x ) + C
Ta thường chọn C = 0 ⇒ v = G ( x )

* Các dạng cơ bản: Cho P ( x ) là một đa thức.
- Dạng 1:

- Dạng 2:

u = P ( x )

P
x
sin
ax
+
b
dx
(
)
(
)
.
Đặt:

∫
 dv = sin ( ax + b ) dx

u = P ( x )
P
x
cos
ax
+
b
dx
(
)
(
)
.

Đặt:

∫
 dv = cos ( ax + b ) dx



24

TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ


 LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN 12

u = P ( x )
dx . Dặt: 
ax + b
 dv = e

- Dạng 3:

∫ P( x) e

- Dạng 4:

u = ln ( ax + b )
P
x
ln
ax

+
b
dx
(
)
(
)
.
Đặt:

∫
 dv = P ( x ) dx

ax + b

ax + b
sin ( a ' x + b ' ) dx hoặc ∫ e ax + b cos ( a ' x + b ' ) dx .
- Dạng 5: ∫ e

Dùng nguyên hàm từng phần hai lần với u = eax + b
* Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ: ta có thể dùng các phép biến đổi lượng giác, thêm-bớt,… để
đưa nguyên hàm cần tìm về dạng đơn giản, dễ tìm
P( x)
* Nguyên hàm hàm phân thức hữu tỷ dạng
.
Q( x)
- Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì chia đa thức để phân tích thành tổng, hiệu
các nguyên hàm đơn giản hơn để tính.
- Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) và Q(x)=0 có nghiệm thì dùng phương pháp hệ số bất
định như sau:

+

P( x)

Q( x)

=

P( x)

( ax + b ) ( mx + n )

=

A
B
+
. Quy đồng mẫu ở vế cuối cùng, đồng nhất hệ số
ax + b mx + n

với P(x) ta tìm được A,B.
+

P( x)

Q( x)

=

P( x)

( ax + b ) ( mx + n )

2

=

A
B
C
+
+
. Quy đồng mẫu ở vế cuối cùng,
ax + b mx + n ( mx + n ) 2

đồng nhất hệ số với P(x) ta tìm được A,B,C.
Từ đó biến đổi được bài tốn đã cho về dạng đơn giản hơn để tính.
* Chú ý: Trong q trình giải tốn cần chú ý đến cơng thức

f ( x) + g( x)
h( x)

bài tốn về dạng đơn giản hơn.



TÍCH PHÂN
b

1. Định nghĩa:

∫ f ( x ) dx = F ( x )
a

b
a

= F ( b) − F ( a)

2. Các tính chất của tích phân:
a

1.

∫ f ( x ) dx = 0
a

2.

b

a

a

b

∫ f ( x ) dx = −∫ f ( x ) dx
b

b

a

a

3. ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx ( k ∈ ¡

)

b

b

b

a

a

a

4. ∫  f ( x ) ± g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx

GV: NGUYỄN THANH NHÀN

25

: 0987.503.911

=

f ( x)

h( x)

+

g( x)

h( x)

để đưa