Luận văn thạc sĩ các biện pháp nâng cao hiệu quả giảng dạy toán tổ hợp và xác suất ở trường phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
KHOA SƯ PHẠM

PHẠM THỊ MAI ANH

CÁC BIỆN PHÁP NÂNG CAO HIỆU QUẢ GIẢNG DẠY
TOÁN TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học
(Bộ môn Toán học)
Mã số
: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học : PGS.TSKH. VŨ ĐÌNH HÒA

HÀ NỘI - 2009

1


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Tổ hợp và xác suất là những kiến thức toán học rất cần phát triển ở phổ
thông, những kiến thức này giúp ích nhiều cho học sinh khi các em tiếp tục
học lên đại học ở các ngành toán học, kế toán, tài chính, xây dựng.... Đây là
những kiến thức toán học có ứng dụng nhiều trong thực tế và còn được nghiên
cứu để phát triển, mở rộng. Vì vậy việc giảng dạy để học sinh tiếp thu được
những kiến thức này là rất quan trọng.

Những kiến thức toán học về tổ hợp và xác suất được đưa vào trường
phổ thông mới chỉ là những kiến thức cơ bản nhưng nếu so sánh với những
loại kiến thức khác như lượng giác, đạo hàm, tích phân... thì đây vẫn là phần
khó. Đặc biệt là phần toán xác suất mới được đưa vào chương trình toán lớp
11 từ năm học 2007-2008, có thể coi là mới mẻ với cả giáo viên và học sinh.
Các thầy cô giáo cần có thời gian để đúc kết kinh nghiệm giảng dạy phần này.
Với lý do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu là : " Các biện pháp nâng cao
hiệu quả giảng dạy toán tổ hợp và xác suất ở trường phổ thông"
2. Lịch sử nghiên cứu
Ở hầu hết các nước trên thế giới, nội dung toán tổ hợp và xác suất được
đưa vào chương trình giảng dạy từ cấp phổ thông trung học, nhưng ở Việt
Nam thì nội dung toán học này sau nhiều lần thử nghiệm mới được chính thức
đưa vào sách giáo khoa lớp 11 từ năm học 2007- 2008.Vì là nội dung mới nên
các tài liệu tham khảo cho giáo viên về kiến thức toán, về phương pháp giảng
dạy tổ hợp, xác suất hầu như không có. Các sách tham khảo hiện nay chỉ giúp
giáo viên về hệ thống bài tập chứ không chú trọng đến những kinh nghiệm
trong giảng dạy, mà giảng dạy lý thuyết toán tổ hợp và xác suất để học sinh
dễ hiểu là vấn đề tương đối khó khăn. Vì vậy, việc nghiên cứu tìm ra những

2


biện pháp nâng cao hiệu quả giảng dạy tổ hợp và xác suất là một hướng đi
mới mẻ và rất cần sự tham gia đóng góp của các giáo viên, các nhà khoa học.
3. Mục tiêu nghiên cứu
Tìm ra những biện pháp để nâng cao hiệu quả giảng dạy môn toán tổ hợp
và xác suất ở trường THPT, giúp cho giáo viên đỡ mất nhiều công sức khi dạy
phần này và phát huy được tốt nhất tính tích cực, chủ động trong học tập của
học sinh.
4. Phạm vi nghiên cứu

Phần kiến thức của chương 2 “Tổ hợp và xác suất” trong chương trình
sách giáo khoa lớp 11 Nâng cao .
5. Mẫu khảo sát
6 lớp 11 trường THPT Ngô Quyền - thành phố Hải Phòng ( 11B1, 11B2,
11B3, 11B4, 11B5, 11B9 )
6. Vấn đề nghiên cứu
Trong quá trình giảng dạy tổ hợp và xác suất, người giáo viên cần có
phương tiện dạy học, phương pháp dạy học, và sự đầu tư cho chuyên môn
như thế nào để đạt được hiệu quả giảng dạy cao nhất ?
7. Giả thuyết nghiên cứu
Sự kết hợp một cách đồng bộ các biện pháp như ứng dụng công nghệ
thông tin vào bài giảng, đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực
hóa hoạt động của học sinh và xây dựng hệ thống bài tập thích hợp với nhiều
trình độ nhận thức, phát huy tính sáng tạo sẽ giúp cho người giáo viên nâng
cao được chất lượng giảng dạy toán tổ hợp và xác suất ở trường phổ thông.
8. Phương pháp chứng minh giả thuyết
- Dùng phiếu điều tra để khảo sát thực trạng dạy và học toán tổ hợp, xác suất
ở trường THPT.
- Phỏng vấn một số giáo viên về những khó khăn khi dạy tổ hợp, xác suất và
những mong muốn của họ.

3


- Nghiên cứu các tài liệu về kiến thức toán tổ hợp và xác suất, các tài liệu về
phương pháp giảng dạy, và các tài liệu về việc áp dụng công nghệ thông tin
trong dạy học.
- Thực nghiệm các biện pháp nêu trong giả thuyết và phân tích kết quả.
9.

Luận cứ

a) Luận cứ lý thuyết
- Ứng dụng công nghệ thông tin vào việc chuẩn bị bài giảng giúp cho
giáo viên thực hiện được nhiều ý đồ giảng dạy.
- Định hướng đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực.
- Hệ thống bài tập có vai trò quan trọng trong việc phát triển tiềm năng
trí tuệ của học sinh.
b) Luận cứ thực tiễn
- Kết quả thực nghiệm về trình độ nhận thức và năng lực phát triển tư
duy của học sinh sau quá trình giảng dạy của giáo viên có và không có
sự phối hợp các biện pháp nêu trong giả thuyết.
10. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và kiến nghị, danh mục tài liệu tham khảo,
luận văn được trình bày trong 3 chương.
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chương 2: Các biện pháp nâng cao hiệu quả giảng dạy toán tổ hợp và xác
suất ở trường phổ thông.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

4


CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Định hướng đổi mới phương pháp dạy học ở trường phổ thông.
1.1.1 Mục tiêu giáo dục và nhiệm vụ dạy học môn toán
Mục tiêu giáo dục đào tạo là đào tạo những con người lao động tự chủ,
tích cực, có năng lực giải quyết vấn đề, góp phần thực hiện mục tiêu lớn của

đất nước là “ Dân giàu, nước mạnh, xã hội công bằng, dân chủ , văn minh”
( Trích Nghị quyết Trung Ương Đảng khoá VIII )
Nhiệm vụ dạy học toán ở trường phổ thông cụ thể là:
 Trang bị tri thức toán học cho học sinh.


Phát triển trí tuệ cho học sinh. Đây là nhiệm vụ quan trọng nhất.
Dạy học môn toán có nhiệm vụ phát triển cho học sinh tư duy trừu
tượng, tức là cách nghĩ gạt bỏ đi những cái cụ thể, giữ lại những cái
bản chất. Dạy học môn toán có nhiệm vụ phát triển cho học sinh tư
duy thuật toán, tức là cách nghĩ nhận thức và giải quyết vấn đề theo
trình tự hợp lý. Ngoài ra, dạy học môn toán còn phải phát triển cho
học sinh tư duy hàm, tức là toán học hóa những bài toán thực tiễn.

 Rèn luyện kỹ năng cho học sinh.
 Bồi dưỡng cho học sinh những phẩm chất năng lực của người lao
động mới như là tính cần cù, cẩn thận, chu đáo, kiên trì…
 Chuẩn bị hành trang cho học sinh sau khi rời ghế nhà trường bước
vào cuộc sống lao động hoặc vào trường đại học.
1.1.2 Định hướng đổi mới phương pháp dạy học
Nghị quyết Trung Ương 2 khóa VIII đã khẳng định: "Phải đổi mới
phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện
thành nếp tư duy sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng các phương

5


pháp tiên tiến và phưong tiện hiện đại vào dạy học, đảm bảo thời gian tự học,
tự nghiên cứu cho học sinh, nhất là sinh viên đại học”. Định hướng trên đã
được pháp chế hoá trong Luật Giáo dục, điều 24.2: “Phương pháp giáo dục

phổ thông phải phát huy tính cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh,
phù hợp với đặc điểm từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học,
rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm,
đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”.
Với khẩu hiệu của ngành giáo dục nước ta hiện nay là : “ Biến mỗi một
trường học thành một trường học thân thiện với học sinh” thì việc đổi mới
phương pháp dạy học của giáo viên là rất quan trọng. Đổi mới được phương
pháp dạy học, giáo viên sẽ có nhiều thời gian hơn để quan tâm đến học sinh,
cải thiện được quan hệ thầy trò, và trở thành người bạn đồng hành của các em
trong quá trình trau dồi tri thức, hoàn thiện nhân cách. Người giáo viên
thường phải trăn trở suy nghĩ, để tìm ra cách dạy đem lại cảm hứng cho học
sinh trong học tập, đặc biệt là học sinh yếu kém. Người giáo viên dạy toán thì
phải dạy cho học sinh thấy được vẻ đẹp của toán học, thấy được mối liên hệ
của toán học với thực tiễn.
Theo Trần Kiều - Nguyễn Thị Lan Phương [5;16], những định hướng
đổi mới phương pháp dạy học là:
a) Thừa nhận bản chất thực tiễn của phương pháp dạy học, hướng đến nghiên
cứu cụ thể, thiết kế kỹ thuật, sáng tạo nó trong quá trình dạy học với những
đặc trưng tích cực cơ bản:
- Giáo viên là người tổ chức, hướng dẫn với vai trò trọng tài, cố vấn.
- Học sinh là chủ thể nhận thức, được phát triển trong hoạt động,
được giáo viên hướng dẫn, khuyến khích, động viên. Học sinh học tập
bằng hành động tuỳ theo hứng thú và khả năng của mình.
- Sử dụng ngày càng nhiều phương pháp và phương tiện kỹ thuật để
có thể cá thể hoá, phân hoá việc học tập của học sinh.

6


- Quan tâm tới việc hướng dẫn học sinh học tập cá nhân.

b) Công nghệ hoá quá trình dạy học theo hướng sử dụng kỹ thuật truyền
thông, tương ứng với hệ thống lý luận về nội dung dạy học theo bộ môn và
kiểu tổ chức bài - lớp. Từ đó tìm kiếm các giải pháp, xây dựng các lý thuyết
công nghệ về phương pháp dạy học, tạo ra những tài liệu kỹ thuật cao, vạch ra
con đường thiết kế phương pháp dạy học cụ thể. Muốn vậy phải :
- Kế thừa những yếu tố tích cực của Phương pháp dạy học truyền
thống.
- Lựa chọn phối hợp các phương pháp dạy học hiện đại nhằm tích cực
hoá hoạt động nhận thức của từng cá nhân học sinh. Cần làm quen
dần với Phương pháp dạy học Giải quyết vấn đề, vận dụng tinh thần
của lý thuyết dạy học Tình huống, phát hiện các chướng ngại nhận
thức và cố gắng tạo tình huống để phá bỏ chướng ngại đó. Ở những
nơi có điều kiện, cần sử dụng máy tính điện tử, máy vi tính để trợ
giúp cho việc dạy học và thực hiện dạy học phân hóa.
c) Phát triển phương pháp dạy học cần xem xét trên hai cơ sở : khả thi và
chất lượng mới. Vì nhiều lý do, nhà trường ta hiện nay thường quan tâm đến
tính khả thi của một phương pháp dạy học. Những kết quả nghiên cứu rất khó
được áp dụng, nếu có thì được tiếp nhận một cách rụt rè. Tâm lý chung của
giáo viên và cán bộ quản lý là dễ chấp nhận phương án thấp, dễ thực hiện
hơn, có thể phổ biến nhanh chóng mà ít chú ý đến hiệu quả về sau của chúng.
Vì vậy một trong các định hướng của sự phát triển phương pháp dạy học là
tìm ra những giải pháp khả thi, cao hơn tình trạng hiện thực về hiệu quả và
chất lượng.
d) Lựa chọn mô hình ứng dụng ở Việt Nam về các mặt: tư tưởng và kỹ thuật
triển khai ( phương tiện, điều kiện, quy tắc). Cụ thể :

7


- Các phương pháp dạy học sẽ phối hợp công tác độc lập của học sinh

ở trên lớp và ở nhà với công tác quan sát, thí nghiệm, thực hành cùng
các phương tiện trực quan, kỹ thuật ở từng giai đoạn đào tạo.
- Học sinh cần được tạo điều kiện hoạt động học tập một cách độc lập
dưới sự kiểm tra của giáo viên.
- Phương pháp dạy học và phương pháp học tập phải thể hiện được
phương pháp đặc trưng của khoa học môn học tương ứng. Lưu ý học
sinh đối chiếu, so sánh, phân tích, khái quát, phát triển dần tư duy lý
luận .
1.1.3 Phương pháp dạy học tích cực
Phương pháp dạy học tích cực là phương pháp phát huy được tính tích cực,
chủ động, sáng tạo của học sinh trong học tập. Ngược lại một phương pháp
dạy học được gọi là không tích cực nếu phương pháp đó làm cho học sinh trở
nên lười biếng, thụ động, học vẹt.
Theo Trần Kiều - Nguyễn Thị Lan Phương [5; 22] phương pháp dạy học
nào đảm bảo phối hợp nhuần nhuyễn hai cách dạy tái hiện và tìm kiếm kiến
thức, trong đó tận dụng cơ hội và điều kiện để cách thứ hai chiếm ưu thế,
đồng thời kết hợp hài hòa với tính sẵn sàng học tập của học sinh thì về cơ bản,
phương pháp dạy học đó có khả năng tích cực hóa được quá trình học tập của
học sinh, nhờ đó hình thành được các phương thức hành động và kinh nghiệm
hoạt động cho các em.
Theo Trần Bá Hoành [6; 15] phương pháp dạy học tích cực có 4 dấu hiệu
cơ bản sau đây:
a) Dạy và học thông qua tổ chức các hoạt động của học sinh.
Trong phương pháp dạy học tích cực, người học - đối tượng của hoạt động
dạy, đồng thời là chủ thể của hoạt động học - được cuốn hút vào các hoạt
động học tập do giáo viên tổ chức và chỉ đạo, thông qua đó tự lực khám phá
ra kiến thức và những điều mình cần chứ không phải thụ động tiếp thu những

8

tri thức đã được giáo viên sắp đặt; người học trực tiếp quan sát, thảo luận, làm
thí nghiệm, giải quyết vấn đề đặt ra theo cách suy nghĩ của mình, từ đó vừa
nắm được kiến thức kỹ năng mới, vừa nắm được phương pháp làm ra kiến
thức, kỹ năng đó.
b) Dạy và học chú trọng rèn luyện phương pháp tự học.
Trong phương pháp dạy học tích cực, nếu giáo viên chú trọng rèn luyện
cho người học có được phương pháp, kỹ năng, thói quen, ý chí tự học thì sẽ
tạo cho họ lòng ham học, khơi dậy nội lực vốn có trong mỗi người, kết quả
học tập sẽ được nhân lên gấp bội. Ngoài ra, người học còn có khả năng và
mong muốn tự học suốt đời.
c) Tăng cường cá thể, phối hợp với học tập hợp tác.
Khi áp dụng các phương pháp dạy học tích cực thì giáo viên phải chấp
nhận sự phân hóa về cường độ, tiến độ hoàn thành nhiệm vụ học tập của học
sinh bởi khả năng tư duy của học sinh trong một lớp học là không thể đồng
đều nhau. Tuy nhiên, giáo viên có thể sử dụng các phương tiện công nghệ
thông tin trong nhà trường để đáp ứng yêu cầu cá thể hóa hoạt động học tập
theo nhu cầu và khả năng của học sinh.
Trong học tập, không phải mọi tri thức, kỹ năng, thái độ đều được hình
thành bằng các hoạt động độc lập cá nhân. Lớp học là môi trường giao tiếp
thầy - trò, trò - trò, tạo nên mối quan hệ hợp tác giữa các cá nhân trong quá
trình dạy và học. Thông qua thảo luận, tranh luận trong tập thể, ý kiến của
mỗi cá nhân được bộc lộ, khẳng định hay bác bỏ, qua đó người học cũng tự
nâng mình lên một trình độ mới. Như vậy, mỗi bài học phải vận dụng được
vốn hiểu biết và kinh nghiệm của mỗi học sinh hay của cả tập thể lớp chứ
không phải chỉ dựa trên vốn hiểu biết và kinh nghiệm sống của thầy giáo.
d) Kết hợp đánh giá của thầy với đánh giá của trò.
Trong phương pháp dạy học tích cực, giáo viên phải hướng dẫn học sinh
phát triển kỹ năng tự đánh giá để tự điều chỉnh cách học. Ngoài ra, giáo viên

9


còn phải tạo điều kiện thuận lợi để học sinh được tham gia đánh giá lẫn nhau.
Tự đánh giá đúng và điều chỉnh kịp thời là năng lực rất cần cho sự thành đạt
trong cuộc sống mà nhà trường cần trang bị cho học sinh.
Những phương pháp dạy học đang được quan tâm hiện nay là phương
pháp hợp tác, phương pháp tự học, phương pháp dạy học đàm thoại phát hiện,
phương pháp dạy học khám phá.
1.1.3.1 Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
Các nhà giáo dục cho rằng học tập là quá trình tự phát hiện và khám phá
những tri thức mới cho bản thân, tốt nhất trong giáo dục là biến quá trình dạy
học thành quá trình tự học, biến quá trình đào tạo thành quá trình tự đào tạo.
a) Những khái niệm cơ bản của phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết
vấn đề
- Vấn đề : Trong phương pháp dạy học này, vấn đề được biểu thị bởi một hệ
thống những mệnh đề, câu, yêu cầu hoạt động chưa được giải đáp, chưa có
phương pháp mang tính thuật toán để thực hiện.
- Tình huống gợi vấn đề : Là tình huống trong đó có một vấn đề gợi nhu cầu
nhận thức, gây niềm tin ở khả năng giải quyết được của học sinh.
- Kiểu dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề : Là kiểu dạy học mà giáo viên
tạo ra tình huống gợi vấn đề, điều khiển học sinh phát hiện và giải quyết vấn
đề, qua đó mà học sinh lĩnh hội được tri thức, rèn luyện được kỹ năng, đạt
được mục tiêu dạy học.
b) Các bước dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
- Phát hiện vấn đề.
- Tìm giải pháp.
- Trình bày giải pháp.
- Nghiên cứu sâu giải pháp.
Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề đem lại hiệu quả cao

khi được giáo viên sử dụng trong việc giảng dạy bài tập cho học sinh.

10


1.1.3.2 Phương pháp dạy học kiến tạo
Nhà tâm lý học Piagiê trong suốt cuộc đời (1896-1980) ông chỉ theo đuổi
một mục đích: xây dựng một học thuyết về sự phát sinh tri thức. Ông nghiên
cứu đề tài trả lời câu hỏi: tri thức đến với con người như thế nào? Câu trả lời
là: nhận thức của con người là một quá trình thích ứng với môi trường qua hai
hoạt động đồng hoá và điều tiết. Đồng hóa là quá trình vận dụng những kiến
thức sẵn có để giải quyết vấn đề, bài toán, còn điều tiết là sự thay đổi, thậm
chí bác bỏ quan niệm đã có để giải quyết vấn đề, bài toán. Đó chính là lý
thuyết kiến tạo.
Theo lý thuyết kiến tạo thì tri thức được kiến tạo một cách tích cực bởi chủ
thể nhận thức. Chính người học sẽ kiến tạo nên các tri thức cho mình, người
học phải tích cực, chủ động, sáng tạo.
Theo TS. Cao Thị Hà, con đường tổ chức dạy học theo lý thuyết kiến tạo
được thực hiện theo quy trình sau:
- Giáo viên xác định các tri thức, kinh nghiệm đã có của học sinh liên quan
đến tri thức mới cần dạy để từ đó tạo môi trường kích hoạt học sinh kiến tạo
tri thức mới.
- Tạo cơ hội tập duyệt cho học sinh mò mẫm, dự đoán, đề xuất các phán đoán,
giả thuyết. Từ đó, nhờ quá trình tư duy mà học sinh làm bộc lộ đối tượng
mang tính động cơ, nhu cầu tìm kiếm kiến thức mới.
- Tổ chức cho học sinh thảo luận theo nhóm nhằm kiểm chứng các giả thuyết,
đề xuất các cách giải khác nhau để giải quyết vấn đề.
- Giáo viên thể chế hóa kiến thức học sinh tìm được.
Phương pháp dạy học này đặc biệt có hiệu quả cao khi được sử dụng trong
việc giảng dạy các khái niệm toán học.

1.1.3.3 Phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn.
 Học sinh sẽ thông hiểu, ghi nhớ và vận dụng hiểu biết của mình thông qua
hoạt động tự giác, chủ động, khám phá những điều mới mẻ đối với bản thân.

11


Tới một trình độ nhất định thì sự khám phá đó sẽ mang tính nghiên cứu khoa
học. Vậy, sử dụng phương pháp dạy học khám phá có ý nghĩa tập dượt cho
học sinh sáng tạo. Dù những sáng tạo chỉ ở mức độ thấp nhưng cũng đủ để
mang lại cho học sinh niềm vui và sự hứng thú trong học tập.
 Để dạy học khám phá, người giáo viên cần thiết kế bài dạy thành một
chuỗi các hoạt động phù hợp với năng lực, trình độ của học sinh sao cho sau
những hoạt động ấy, học sinh tự lực khám phá ra những tri thức mới.
 Các dạng hoạt động khám phá trong lớp học :
+) Các hình thức:
- Hình thức đàm thoại phát hiện.
- Thông qua biểu bảng.
- Thông qua kiểm nghiệm, đề xuất giả thuyết.
- Tranh luận, thảo luận về một vấn đề nêu ra, các phương pháp giải một
bài toán.
- Cho học sinh làm các bài tập lớn, tập dượt nghiên cứu.
+) Các biện pháp thực hiện:
- Sử dụng phiếu học tập.
- Thảo luận từng vấn đề trên lớp dưới sự hướng dẫn của giáo viên.
- Học sinh tự tổ chức thảo luận.
+) Điều kiện thực hiện:
- Đa số học sinh phải có những kiến thức, kỹ năng cần thiết để thực
hiện các hoạt động do giáo viên đưa ra.
- Số lượng các hoạt động vừa phải, không quá ít, không quá nhiều.

- Mỗi hoạt động phải được mô tả, yêu cầu rõ ràng để học sinh thực hiện
được chính xác yêu cầu hoạt động của giáo viên.
1.1.3.4 Phương pháp dạy học tự học.
Trong xã hội hiện đại đang biến đổi nhanh chóng với sự bùng nổ thông tin,
sự phát triển của khoa học và công nghệ, việc chuẩn bị cho học sinh thích ứng

12


với xã hội đó là rèn luyện cho họ có năng lực tự học suốt đời. Rõ ràng là
không ai dạy được và học được tất cả các tri thức của nhân loại. Nhà trường
phổ thông chỉ trang bị cho học sinh những tri thức cơ bản nhất, còn quan
trọng là học sinh phải biết tự học trong quá trình công tác sau này.
a) Vai trò của tự học:
- Tự học giúp cho học sinh tự lực nắm vững tri thức, kỹ năng, kỹ xảo và nghề
nghiệp trong tương lai. Trong quá trình tự học, mỗi học sinh phải tự vận động
để từng bước biến vốn kinh nghiệm lịch sử của loài người thành vốn tri thức
riêng của bản thân mình.
- Tự học giúp cho học sinh có được hứng thú, thói quen và phương pháp tự
học thường xuyên để không ngừng làm phong phú và hoàn thiện vốn hiểu biết
của mình, tránh được sự lạc hậu trước sự bùng nổ thông tin, khoa học kỹ thuật
trong thời đại ngày nay.
- Tự học giúp học sinh hình thành niềm tin khoa học, rèn luyện ý chí phấn
đấu, đức tính kiên trì, óc phê phán, lòng say mê nghiên cứu khoa học.
b) Các hình thức dạy tự học
Có nhiều hình thức dạy tự học khác nhau nhưng hình thức dạy tự học cho
học sinh ở trên lớp chủ yếu là hình thức sau:
 Hình thức sử dụng phiếu học tập
Trước mỗi nội dung học tập, giáo viên đưa cho mỗi học sinh một phiếu
học tập mà trong đó ghi các hoạt động ( yêu cầu, bài tập) mà học sinh phải tự

thực hiện. Phiếu được soạn thảo sao cho phù hợp với trình độ của học sinh
(học sinh phải tự lực giải quyết được các vấn đề đó). Nếu đã giải quyết được
vấn đề thì tức là học sinh đã tự tìm ra được kiến thức mới (đúng theo ý định
của giáo viên). Sau đó , giáo viên giúp các em tự điều chỉnh, chuẩn hóa kiến
thức ban đầu ấy thành tri thức khoa học.
Hình thức dạy học này cũng giống các hình thức dạy học tự học khác ở
chỗ: quá trình lĩnh hội kiến thức của học sinh có thể được mô tả dưới dạng

13


hình xoắn ốc (mỗi một vòng xoắn biểu thị một độ nắm kiến thức của học
sinh). Sử dụng hình thức dạy học này giáo viên phải mất nhiều công sức
chuẩn bị nhưng hiệu quả mà nó mang lại sẽ tương xứng với công sức bỏ ra
đó.
 Hình thức dạy học theo chương trình hóa:
Dạy học theo chương trình hóa là một thuật ngữ để chỉ cách dạy học được
điều khiển bởi chương trình hóa tương tự như chương trình máy tính. Dạy học
chương trình hóa thường được hiểu bao gồm cả hai phương tiện : xây dựng
chương trình và sử dụng những chương trình có sẵn để điều khiển quá trình
học tập. Theo cách dạy này thì giáo viên phải cụ thể hóa mục tiêu dạy học
thành những kết quả mong đợi, sau đó xây dựng và thực hiện một phương án
dạy ( bao gồm cả kiểm tra ) để tác động tới học sinh. Học sinh một mặt chịu
tác động của phương án dạy này, mặt khác là chủ thể gây nên một phương án
học tương ứng nhằm phát triển nhân cách của bản thân mình. Kết quả kiểm
tra được so sánh với kết quả mong đợi và phản hồi lại cho giáo viên, để từ đó
giáo viên quyết định bước tiếp theo của quá trình dạy học. [8; 229]
Phương pháp dạy học này có những ưu điểm như:
- Điều khiển chặt chẽ hoạt động học tập trên từng đơn vị nhỏ của quá trình
dạy học.

- Tạo ra tính độc lập cao của hoạt động học tập.
- Đảm bảo thường xuyên có sự phản hồi qua lại giữa hai quá trình dạy và
học.
- Cá biệt hóa việc dạy học.
 Dạy tự học với sách giáo khoa
Để rèn luyện cho học sinh khả năng tự học thì giáo viên cần thiết phải bồi
dưỡng cho các em kỹ năng đọc sách và tự lực nghiên cứu tài liệu học tập.
Việc đọc sách tự nghiên cứu sẽ giúp cho các em nắm kiến thức ở mức độ sâu
và rộng hơn. Để việc tự đọc sách của học sinh có hiệu quả thì giáo viên cần

14


phải đặt cho học sinh một nhiệm vụ nhận thức, vạch ra một loạt các vấn đề
cần lĩnh hội và xác định trình tự đọc ( dưới dạng hệ thống các câu hỏi ).
Hình thức dạy tự học với sách giáo khoa cần được khuyến khích với học
sinh khá, giỏi ở trường phổ thông. Có thói quen và kỹ năng đọc sách các em
sẽ dễ dàng quen với cách học trên trường đại học sau này, ngoài ra nó còn
giúp các em có khả năng tự học suốt đời.
1.2 Vai trò của công nghệ thông tin trong dạy học toán.
Trong thời đại ngày nay, công nghệ thông tin là giải pháp quan trọng cần
triệt để khai thác khi dạy và học. Công nghệ thông tin có thể giúp cho con
người chọn nhập và xử lý thông tin nhanh chóng để biến thành tri thức.
Theo tài liệu free NCET (1995) leaflet, Mathematics ang IT - apupil's
entitlement, hai tác giả Sue Johnston - Wilder và David Pimm đã đưa 6 hướng
chính sử dụng CNTT nhằm cung cấp các điều kiện cho người học toán, cụ
thể:
- Học tập dựa trên thông tin ngược: Máy tính có khả năng cung cấp nhanh và
chính xác các thông tin phản hồi dưới góc độ khách quan. Từ những thông tin
phản hồi như vậy cho phép người học đưa ra sự ước đoán của mình và từ đó

có thể thử nghiệm, thay đổi ý tưởng của người học.
- Khả năng quan sát các mô hình: Với khả năng và tốc độ xử lý của máy tính
điện tử giúp người học đưa ra nhiều ví dụ khi khám phá các vấn đề trong toán
học. Máy tính sẽ trợ giúp người học quan sát, xử lý các mô hình từ đó đưa ra
lời chứng minh trong trường hợp tổng quát.
- Phát hiện các mối quan hệ trong Toán học: Máy tính điện tử cho phép tính
toán biểu bảng, xử lý đồ họa một cách chính xác và liên kết chúng lại với
nhau. Việc cho thay đổi một vài thành phần và quan sát sự thay đổi trong các
thành phần còn lại đã giúp người học phát hiện ra mối tương quan giữa các
đại lượng.

15


- Thao tác với các hình động: Người học có thể sử dụng máy tính điện tử để
biểu diễn các biểu đồ một cách sinh động. Việc đó đã giúp cho người học
hình dung ra các hình hình học một cách tổng quát từ hình ảnh của máy tính.
- Khai thác tìm kiếm thông tin: Máy tính điện tử cho phép người sử dụng làm
việc trực tiếp với các dữ liệu thực, từ đó hình dung ra sự đa dạng của nó và sử
dụng để phân tích hay làm sáng tỏ một vấn đề toán học.
- Dạy học với máy tính: Khi người học thiết kế thuật toán để sử dụng máy
tính điện tử giúp tìm ra kết quả thì người học phải hoàn thành dãy các chỉ thị
mệnh lệnh một cách rõ ràng, chính xác. Họ đã sắp đặt các suy nghĩa của mình
cũng như các ý tưởng một cách rõ ràng.
Công nghệ thông tin cũng mở ra triển vọng lớn trong việc đổi mới các
phương pháp và hình thức dạy học. Các hình thức dạy học như: dạy học đồng
loạt, dạy học theo nhóm, dạy cá nhân cũng có những đổi mới trong môi
trường công nghệ thông tin. Do sự phát triển của công nghệ thông tin mà mọi
người đều có trong tay nhiều công cụ hỗ trợ cho quá trình dạy học nói chung
và phần mềm dạy học nói riêng.

1.3 Hệ thống bài tập trong dạy học toán tổ hợp và xác suất.
Việc giảng dạy bài tập toán tổ hợp và xác suất trong nhà trường không chỉ
giúp cho học sinh hiểu được một cách sâu sắc và đầy đủ những kiến thức quy
định trong chương trình mà còn giúp các em vận dụng những kiến thức đó để
giải quyết những nhiệm vụ của học tập và những vấn đề mà thực tiễn đặt ra.
Để giải được một bài toán tổ hợp và xác suất trôi chảy, học sinh phải có
các năng lực toán học như biết phân tích tình huống, biết quy lạ về quen, biết
mô hình hóa bài toán, biết xây dựng các dạng bài tập, biết cách diễn đạt rõ
ràng, dễ hiểu. Và giáo viên phải là người hình thành cho học sinh các năng
lực toán học này. Để thực hiện tốt nhiệm vụ của mình là đồng hành cùng học
sinh khám phá và làm chủ tri thức, người giáo viên cần phải xây dựng một hệ
thống bài tập toán tổ hợp và xác suất đảm bảo được các yêu cầu sau :

16


- Có các bài tập cơ bản, vận dụng được ngay công thức tổ hợp, chỉnh hợp,
hoán vị để củng cố kiến thức.
- Có các bài tập theo dạng mà học sinh có thể tự thay đổi được các giả thiết,
điều kiện để hình thành bài toán mới. Đây là những bài tập để rèn kỹ năng
cho học sinh.
- Có các bài tập đòi hỏi học sinh phải biết phân tích tình huống để tìm được
quan hệ nội tại trong bài toán, từ đó đưa về mô hình bài toán quen thuộc.
Đây là những bài tập có chức năng phát triển tư duy, phát huy tính sáng
tạo của học sinh.
- Có các bài toán lấy ra từ thực tiễn để học sinh được tìm hiểu thêm kiến
thức, và các em có thêm hứng thú với môn học.
Khi dạy học bài tập toán tổ hợp và xác suất giáo viên cũng phải thiết kế bài
dạy thành một chuỗi các hoạt động theo trình tự sau :
- Hoạt động 1: Tìm hiểu nội dung bài toán.

- Hoạt động 2: Xây dựng chương trình giải.
- Hoạt động 3: Thực hiện chương trình giải.
- Hoạt động 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
1.4. Dạy và học toán tổ hợp và xác suất ở trường phổ thông.
1.4.1. Chương trình học
1.4.1.1 Mục tiêu của chương tổ hợp và xác suất trong sách giáo khoa Giải
tích nâng cao lớp 11.
Chương tổ hợp và xác suất cung cấp cho học sinh những hiểu biết ban đầu,
cơ bản về tổ hợp và xác suất.
a) Về kiến thức
Giáo viên có nhiệm vụ giúp cho học sinh
- Nắm vững hai quy tắc đếm cơ bản là qui tắc cộng và quy tắc nhân.

17


- Hiểu được các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp. Đặc biệt thấy rõ mối
liên hệ và sự khác nhau giữa tổ hợp và chỉnh hợp. Nhớ các công thức tính số
hoán vị, số chỉnh hợp và số tổ hợp.
- Nhớ công thức khai triển nhị thức Niu-tơn.
- Nắm được các khái niệm : phép thử, không gian mẫu, kết quả thuận lợi cho
một biến cố.
- Nắm vững cách tính xác suất theo định nghĩa cổ điển.
- Nắm vững quy tắc cộng và quy tắc nhân xác suất.
- Làm quen với khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc và các đặc trưng quan trọng
của nó là kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn. Nhớ công thức tính kì vọng,
phương sai và độ lệch chuẩn.
b) Về kĩ năng
Giáo viên có nhiệm vụ giúp cho học sinh
- Biết vận dụng hai quy tắc đếm cơ bản, các công thức tính số hoán vị, số tổ

hợp và số chỉnh hợp để giải một số bài toán tổ hợp đơn giản.
- Biết vận dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn.
- Biết vận dụng các kiến thức tổ hợp để tính xác suất theo định nghĩa cổ điển
của xác suất.
- Biết vận dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân xác suất để giải một số bài toán
xác suất đơn giản.
- Biết lập bảng phân bố xác suất : biết tính kì vọng, phương sai và độ lệch
chuẩn của một biến ngẫu nhiên rời rạc đơn giản.
1.4.1.2 Cấu tạo của chương
Nội dung của chương Tổ hợp và Xác suất được thực hiện trong 21 tiết, phân
phối cụ thể như sau:
Phần A . Tổ hợp ( 8 tiết )
Bài 1. Hai quy tắc đếm cơ bản.

1 tiết

Bài đọc thêm. Quy tắc cộng mở rộng

18


Bài 2. Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.

3 tiết

Luyện tập

2 tiết

Bài 3. Nhị thức Niu-tơn.

1 tiết

Luyện tập.

1 tiết

Em có biết? Một số mẩu chuyệnvề nhà Toán học Pascal ?
Phần B . Xác suất ( 11 tiết )
Bài 4. Biến cố và xác suất của biến cố

2 tiết

Luyện tập

1 tiết

Em có biết ? Cuốn sách tiếng Việt về Xác suất - Thống kê
xuất bản lần đầu tiên ở nước ta.
Bài 5. Các quy tắc tính xác suất.

2 tiết

Bài đọc thêm Sử dụng máy tính bỏ túi trongtính toán tổ hợp và xác suất
Luyện tập

2 tiết

Em có biết ? Xác suất và số 
Bài 6. Biến ngẫu nhiên

2 tiết

Bài đọc thêm Liên hệ giữa biến ngẫu nhiên rời rạc và thống kê
Luyện tập

2 tiết

Ôn tập và kiểm tra chương 2

2 tiết

1.4.2 Thực trạng dạy học toán tổ hợp và xác suất ở trường phổ thông.
Toán tổ hợp được đưa vào chương trình phổ thông từ nhiều năm trước và
là một nội dung được nhiều thầy cô giáo và học sinh quan tâm. Nhưng để học
sinh hiểu được sâu sắc và thấy được cái hay của các bài toán tổ hợp, xác suất
thì cả giáo viên và học sinh đều phải bỏ ra rất nhiều thời gian và công sức.
Giáo viên cần có thời gian giảng dạy vài năm để đúc rút được kinh nghiệm
giảng dạy phân môn này. Học sinh cũng mất một khoảng thời gian học để làm
chủ kiến thức lâu hơn là khi học các nội dung khác.
Toán xác suất mới được đưa vào chương trình giảng dạy ở phổ thông từ
năm 2007 nên còn rất mới mẻ với cả học sinh và giáo viên. Nhưng học sinh

19


mới chỉ được tiếp cận với định nghĩa xác suất cổ điển là chính và một số khái
niệm mở đầu. Các em không được tiếp cận nhiều với định nghĩa xác suất theo
nghĩa thống kê. Vì vậy, nếu học tốt phần tổ hợp thì đến phần xác suất các em
mới có thể làm được bài tập, còn nếu không nắm chắc toán tổ hợp thì phần

xác suất lại tiếp tục là một gánh nặng với các em.
Kết thúc học kỳ I năm học 2007 - 2008, chúng tôi có lập phiếu phỏng vấn
cả giáo viên và học sinh năm lớp 11 trường THPT Ngô Quyền - Hải Phòng,
về những thuận lợi và khó khăn khi dạy và học toán tổ hợp, xác suất.
Kết quả thu được đã phản ánh thực trạng sau :
a) Về phía học sinh
 Khi học lý thuyết: Học sinh thường rất có hứng thú với những vấn đề giáo
viên đặt ra lúc bắt đầu giờ học. Tuy nhiên, khi học đến các định nghĩa và xây
dựng các công thức tính số tổ hợp, chỉnh hợp thì các em đều cảm thấy trừu
tượng, khó hiểu. Nếu không có sự hướng dẫn của giáo viên, các em thường
không hình dung được cơ chế chọn lựa, sắp xếp diễn ra như thế nào trong
trường hợp tổng quát n đối tượng. Những học sinh trung bình thì chưa thể
phân biệt được ngay sự khác nhau giữa tổ hợp và chỉnh hợp trong giờ lý
thuyết.
 Khi làm bài tập :
- Học sinh ở mức trung bình còn chưa biết mô hình hóa bài toán theo các cấu
hình chỉnh hợp, tổ hợp nên các em không biết khi nào thì dùng công thức
chỉnh hợp, khi nào thì dùng công thức tổ hợp .
- Học sinh có lực học khá, giỏi đôi khi vẫn lúng túng trong việc thiết kế các
công đoạn chọn lựa, hoặc tìm quan hệ giữa các khái niệm toán học để đưa về
bài toán tổ hợp.
- Đa số học sinh khi làm bài tập phần này đều dễ bị nhầm lẫn. Nguyên nhân
dẫn đến nhầm lẫn có thể là dùng nhầm công thức, quy tắc, thiết kế thiếu công
đoạn, hoặc tính thừa trường hợp, tính lặp một số trường hợp mà không biết…

20


Vì vậy, khi giải xong một bài toán, các em thường không mấy tự tin vào đáp
số của mình.

- Khi mới học, học sinh thường không biết diễn đạt ý hiểu của mình, trình bày
dài dòng, phức tạp.
- Đa số học sinh thường có cảm giác không chắc chắn khi học toán tổ hợp,
xác suất. Các em thấy khó rút ra kinh nghiệm, phương pháp làm bài và rất dễ
quên khi chuyển sang học phần kiến thức mới.
- Đa số học sinh khi học xong nội dung này đều không hiểu ứng dụng thực tế
của tổ hợp, xác suất.
b) Về phía giáo viên
 Khi dạy lý thuyết:
- Giáo viên dễ dàng tạo được không khí học tập sôi nổi, hào hứng cho học
sinh thông qua các ví dụ trong thực tế.
- Dạy định nghĩa, công thức tổ hợp, chỉnh hợp, xác suất, giáo viên phải thuyết
trình nhiều hơn khi dạy các nội dung toán học khác.
- Giáo viên thường mất thời gian để tìm và vẽ hình minh họa cho các quá
trình chọn lựa, mất thời gian viết bảng.
- Giáo viên gặp khó khăn trong việc dạy phân hóa học sinh.
- Giáo viên gặp khó khăn khi đi tìm tài liệu để mở rộng kiến thức, và khi đi
tìm ứng dụng trong thực tế của tổ hợp, xác suất.
- Giáo viên chưa có nhiều kinh nghiệm trong việc giảng dạy xác suất.
 Khi dạy bài tập
- Do dạng bài tập của phần tổ hợp, xác suất rất đa dạng, phong phú nên giáo
viên phải mất công chọn lọc, tổng hợp, khái quát hóa thành một hệ thống phù
hợp với nhiều trình độ nhận thức của học sinh.
- Thời gian chữa bài tập trên lớp không nhiều nhưng giáo viên vẫn phải chữa
một số lượng lớn bài tập với đầy đủ các bước sau :
+) Củng cố lại lý thuyết.

21

+) Hướng dẫn học sinh nhận dạng bài tập, mô hình hóa các tình huống để
vận dụng công thức cho đúng.
+) Chữa mẫu một số bài tập cơ bản.
+) Hướng dẫn học sinh cách trình bày lời giải sao cho cô đọng, dễ hiểu.
+) Dành thời gian để tìm hiểu và giải thích những sai lầm của học sinh.
+) Dành thời gian dạy phân hóa: Rèn kỹ năng cho học sinh trung bình và
hướng dẫn học sinh khá giỏi làm bài tập khó để phát triển trí tuệ.
Tuy dạy và học bài tập tổ hợp, xác suất rất vất vả nhưng giáo viên vẫn có
thể tạo hứng thú học tập cho học sinh bằng cách hướng dẫn, khuyến khích các
em tự nghĩ ra các ví dụ hay bài tập vừa sức.
Kết luận chương 1
Xuất phát từ cơ sở lý luận và thực tiễn đã trình bày ở trên, chúng tôi kết
luận rằng:
Những nội dung kiến thức toán trong chương Tổ hợp và Xác suất đều lôi
cuốn được cả học sinh và giáo viên. Đây là những kiến thức toán học quan
trọng nên giáo viên rất coi trọng cách dạy, cách truyền thụ sao cho học sinh
nắm bắt được vấn đề một cách tốt nhất, vận dụng lý thuyết để giải bài tập có
hiệu quả nhất.
Trong giảng dạy toán tổ hợp, xác suất giáo viên cần thiết kế những giờ dạy
mà người học thật sự đóng vai trò trung tâm, người học chủ động, tích cực
lĩnh hội tri thức. Giáo viên cần dựa vào từng đơn vị kiến thức trong bài để
chọn ra một phương pháp dạy học thích hợp mang lại hiệu quả giảng dạy cao
nhất. Các phương pháp dạy học tích cực có thể ứng dụng trong giờ dạy tổ
hợp, xác suất là phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề, phương pháp
dạy học kiến tạo, phương pháp dạy học tự học.
Việc ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học tổ hợp mang lại hiệu quả
cao trong giảng dạy vì nó hỗ trợ giáo viên rất nhiều trong việc mô phỏng quá
trình xây dựng kiến thức, trong việc dẫn dắt học sinh khám phá tri thức mới .

22

Ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học không chỉ làm cho bài giảng trở
nên sinh động, dễ hiểu mà còn phải hướng tới việc dạy tự học cho học sinh.
Hiện nay, việc ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học không còn là vấn
đề quá khó, quá mới mẻ với các thầy cô giáo, hầu hết các thầy cô đều có thể
tự tìm tòi, nghiên cứu các phần mềm để ứng dụng công nghệ trong quá trình
làm việc của mình.
Để nội dung toán tổ hợp, xác suất thật sự hấp dẫn với học sinh thì chính
giáo viên cũng cần có những nghiên cứu sâu hơn về những kiến thức này.
Công sức nghiên cứu của giáo viên sẽ được thể hiện thông qua hệ thống bài
tập phong phú, đa dạng, có sáng tạo, dành cho nhiều đối tượng nhận thức.
Những nghiên cứu của giáo viên cũng cần hướng tới việc chỉ ra cho học sinh
những đặc trưng riêng của toán tổ hợp, xác suất, những ứng dụng trong thực
tế, và những cách tư duy, những cách tiếp cận khác nhau đối với cùng một
vấn đề của nội dung toán học này.

23


CHƯƠNG 2
CÁC BIỆN PHÁP NÂNG CAO HIỆU QUẢ GIẢNG DẠY TOÁN TỔ
HỢP VÀ XÁC SUẤT Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

2.1 Ứng dụng công nghệ thông tin trong quá trình dạy học toán tổ hợp và
xác suất của giáo viên.
2.1.1 Ứng dụng công nghệ thông tin trong việc xây dựng bài giảng của giáo
viên.
2.1.1.1 Ứng dụng công nghệ thông tin trong việc mô tả các quá trình chọn lựa
của lý thuyết tổ hợp.

Ứng dụng công nghệ thông tin trong giảng dạy lý thuyết tổ hợp thường
giúp cho các thầy cô giáo đạt được những kết quả quan trọng sau :
- Thu hút sự chú ý của hầu hết học sinh ngay từ những phút đầu của giờ học.
- Giúp cho học sinh tiếp cận nội dung vấn đề một cách nhanh nhất, từ đó tiết
kiệm được thời gian thuyết trình.
- Minh họa, diễn giải được những nội dung kiến thức khó.
- Hỗ trợ sự tương tác giữa hoạt động dạy và hoạt động học của giáo viên và
học sinh.
Ví dụ 1: Khi dạy về công thức hoán vị, trước khi chứng minh công thức
tổng quát là sắp xếp n vật vào n vị trí khác nhau, giáo viên có thể cho học sinh
quan sát việc sắp xếp một số ít đối tượng, chẳng hạn như sắp xếp 3 học sinh
vào 3 vị trí khác nhau. Sau đó, giáo viên nâng dần mức độ khó bằng cách cho
học sinh thực hiện việc cắm 5 lá cờ của 5 nước vào 5 hành tinh khác nhau.
Việc quan sát và tự thực hiện quá trình sắp xếp sẽ giúp cho giờ học sôi nổi,
hào hứng hơn và điều quan trọng nhất là học sinh hình dung được rõ ràng
cách thức sắp xếp sao cho có đầy đủ các kết quả. Từ đó, việc chứng minh
công thức hoán vị của giáo viên trở nên đơn giản đi rất nhiều, đặc biệt giáo
viên có thể khuyến khích các em tự chứng minh công thức. Các thầy cô giáo

24


có thể dùng chương trình Flash để xây dựng nên mô hình sắp xếp này. Trong
quá trình dạy, giáo viên vừa có thể hỏi học sinh về các khả năng lựa chọn, vừa
có thể thao tác trực tiếp, nhanh chóng trên các đối tượng được sắp xếp theo ý
của học sinh.
Hình vẽ 2.1 : Sắp xếp 3 học sinh vào 3 vị trí khác nhau.

Hình vẽ 2.2: Cắm cờ vào các vị trí khác nhau

Ví dụ 2: Khi bắt đầu vào bài quy tắc nhân, giáo viên có thể đưa một ví dụ
về cách chọn lộ trình đi từ thành phố X đến thành phố Z, mà trong lộ trình
phải có thành phố Y. Giáo viên có thể tạo một file flash mô tả chuyển

25