Khoá luận tốt nghiệp bài toán ổn định vững và ổn định hóa vững cho hệ điều khiển với trễ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

L Ê T H Ị TH Ủ Y T IÊN

BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH VỮNG VÀ Ổ n ĐỊNH HÓA VỮNG
CHO HỆ ĐIỀU KHIỂN VỚI TRỄ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng


TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

L Ê T H Ị TH Ủ Y T IÊ N

BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH VỮNG VÀ Ổ n ĐỊNH HÓA VỮNG
CHO HỆ ĐIỀU KHIỂN VỚI TRỄ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Người hướng d ẫn k h o a học
ThS. N guyễn T ru n g D ũng


LỜI CẢM ƠN
Trước hết cho tôi bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến ThS. Nguyễn T ru n g D ũng đã
hết lòng giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình nghiên cứu đề tài.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa và các bạn sinh

viên đã đóng góp cho tôi những lời khuyên bổ ích.
Trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏi những sai sót. Vì vậy tôi rất mong
nhận được những ý kiến đóng góp của bạn đọc để bài viết của tôi được hoàn thiện
hơn.
Hà Nội, tháng 05 năm 2015
Sinh viên


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận tốt nghiệp "B ài to án ổn đ ịn h vững và ổn đ ịn h hóa vững cho hệ
điều k h iển với tr ễ ” được hoàn thành do sự cố gắng, nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu
của bản thân cùng với sự giúp đỡ tận tình của ThS. N guyễn T ru n g D ũng.
Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này không trùng lặp với kết quả của các
tác giả khác.
Hà Nội, tháng 05 năm 2015
Sinh viên

Lê T hị T hủy Tiên


Mục lục
M ở đ ầu
C hương 1. M ột số kiến th ứ c cơ sở
1.1. Hệ điều khiển có trễ
1.1.1. H ệ p hư ơ ng trình vi p h ân h àm
1.1.2. K hái niệm ổn định

1.2 . Bài toán ổn địn h vững hệ điều khiển với trễ thời gian
1.3. H àm Lyapunov
1.4. M ột số b ấ t đ ẳn g th ứ c

C hương 2. Tiêu ch u ẩn ổn định vững và ổn địn h hóa vững độc lập vói trễ thòi
gian

2 .1. Tiêu ch u ẩn ổn đ ịn h vững độc lập với trễ thời gian
2.2. Tiêu ch u ẩn ổn đ ịn h hóa vững độc lập vói trễ thời gian

8
8
11

2 .2 . 1. T iêu chuẩn ổn định h ó a vữn g sử d ụ n g bộ điều k hiển k h ô n g nhớ

11

2.2.2. T iêu chuẩn ổn định h ó a vững sử dụn g bộ điều k hiển có nhớ

14

C hương 3. Tiêu ch u ẩn ổn đ in h vững và ổn đ in h hóa vững p h ụ thuộc trễ thòi
gian

19

3.1. Tiêu chuẩn ổn địn h vững p h ụ thuộc tr ễ thời gian

19

3.2. Tiêu chuẩn ổn địn h hóa vững p h ụ thuộc tr ễ thời gian

24

3 .2 . 1. T iêu chuẩn ổn định h ó a vững sử dụn g bộ điều k hiển k h ô n g nhớ

24

3 .2 .2 . T iêu chuẩn ổn định h ó a vững sử d ụ n g bộ điều khiển có nhớ

26

K ết luận

33

Tài liệu th am khảo

34


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Chúng ta biết rằng độ trễ thời gian thường xuất hiện trong các hệ thống động
lực như hệ thống sinh học, hệ thống hóa học và mạng lưới điện. Ngoài ra độ trễ thời
gian còn là nguyên nhân trực tiếp dẫn đến tính không ổn định và hiệu suất kém của
các hệ động lực.
Bài toán ổn định của hệ có trễ đã được nghiên cứu từ những năm 60 của thế kỉ
XX. Đầu tiên các nghiên cứu chủ yếu tập trung vào bài toán ổn định cho các hệ có
trễ hằng, nghiên cứu các tiêu chuẩn của sự ổn định, ổn định đều, ổn định tiệm cận,
ổn định mũ, ổn định vững... của nghiệm tầm thường trong các phương trình vi phân
hàm. Trong đó ổn định vững và ổn định hóa vững hệ điều khiển với trễ thời gian là
một bài toán quan trọng góp phần phát triển lý thuyết về sự ổn định.

Do đó tôi chọn đề tài: "B ài to án ổn đ ịn h vững và ổn đ in h hóa vững cho hệ
điều khiển vối trễ " làm đề tài nghiên cứu cho mình để tìm hiểu các tiêu chuẩn ổn
định vững cho hệ trễ thời gian, ứng dụng các hệ này trong thực tiễn.
2. M ục đích nghiên cứu
• Hiểu rõ thế nào là bài toán ổn định vững hệ điều khiển với trễ thời gian.
• Bước đầu tìm hiểu về một số tiêu chuẩn của sự ổn định vững và ổn định hóa
vững hệ điều khiển với trễ thời gian.
3. Đối tư ợng và p h ạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu về sự ổn định vững và ổn định hóa vững hệ điều khiển với trễ thời
gian.
4. P hư ơ ng p h áp nghiên cứu
Đọc sách, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên
cứu.

1


Chương 1

Môt số kiến thức cơ sỏ
Trong chương này, ta trình bày một số khái niệm và kết quả về tính ổn định của
hệ phương trình vi phân có trễ và một số kết quả bổ trợ được sử dụng trong chứng
minh các kết quả ở chương sau.

1.1.

Hệ điều khỉển có trễ

Chúng ta nhận thấy rằng, các quá trình xảy ra trong tự nhiên thường có sự liên
quan với quá khứ và ít nhiều mang tính di truyền. VI vậy khi mô tả các quá trình

này, chúng thường được biểu diễn bằng các hệ phương trình vi phân có trễ hay còn
gọi là hệ phương trình vi phân hàm.

1.1.1.

Hệ phương trình vi phân hàm

Giả sử h ^ 0. Kí hiệu

= c ( [ —/z,0],M") là không gian Banach các hàm liên

tục trên đoạn [—/z, 0] với giá trị trong

và chuẩn của (Ị) £ ^ được cho bởi

||ự>|| = s u p _ hVới

to

G M, A ^ 0 và X G C([/o —/Mo + A ], M'z), hàm xt G ^ := c ( [ —/ỉ,0], M"),

t £ [ío,?o + Ã ị, được xác định bởi xt (s) = x(t + 5 ), 5 G [—h ,0].
Cho D

c

Rn X ^ là tập mở và hàm F : D —)■R " .

Một phương trình vi phân hàm trên D (thường gọi là hệ phương trình vi phân có

2


trễ) là phương trình dạng
x(t) = F ( t ìxt ).
Một hàm

X

( 1. 1)

được gọi là nghiệm của phương trình vi phân (1.1) trên

[ío —

h,to + Á ị

nếu tồn tại to £ M, A > 0 sao cho X 6 C([ío —h,to +A ], R "), (í,jcr) G D v à x(t) thỏa
mãn (1.1) với mọi t E [to,t() + A]. Với

to

e M, (Ị) £ ciể, ta nói x(ío, ộ) là nghiệm của

phương trình (1.1) với giá trị ban đầu ộ tại thời điểm ban đầu to (nghiệm đi qua điểm
( t o , ộ))
[to

nếu tồn tại A > 0 sao cho x(to, ộ) là một nghiệm của phương trình (1.1) trên

— h,t0 + Áị v à x ío ( t o , ộ) — (Ị). Khi

to

đã rõ, ta viết x ( t, ộ ) thay cho x(tQ,ộ)(t).

Ví d ụ 1.1.1. Hệ phi tuyến có trễ thời gian biến thiên
= —ATI (f)( 1 + xị{t - T2{t))) + 2x2{t)x\{t - T\{t))x2{t - T2{t))
^
dt

= - 3 X ỉ[t)x\(t - Tị(t))x2(t - T2(t)) - x 2(í)(2 + s in x i(? -T i(? ))),

trong đó 0 ^ Ti(t) ^ Tj = constantẠ = 1 ,2 .

1.1.2.

Kháỉ niệm ổn đỉnh

Giả thiết rằng hàm F(.) thỏa mãn điều kiện sao cho với mỗi điểm (to, ộ) G
M+ X ^ hệ (1.1) có nghiệm duy nhất đi qua điểm

(to,

ộ) v à x á c định trên [ío?°°) - Ta

cũng giả thiết F(t, 0) = 0, tức là hệ (1.1) có nghiệm tầm thường hay nghiệm không.
Khi đó ta có các khái niệm ổn định, ổn định tiệm cận cho hệ (1.1).
Đ ỉnh nghĩa 1.1.1. Nghiệm không của hệ ị 1.1) được gọi là Ổn định nếu với mọi

£ > 0,/o ^ 0, ton tữi ô —

II011 <

ổ

thì ||jt(f,0 )|| < £,Vr ^

0 Sữo cho VỚI moi ĩighiẽỉĩĩ
to .

Nếu ỗ không phụ thuộc

to

CHCI (1.1), ỈICH

thì nghiệm

X =

0 gọi

là ổn định đều.
Đ ỉnh n g h ĩa 1.1.2. Nghiệm không của hệ (1.1) được gọi là Ổn định tiệm cận nếu nó
ổn định và với mỗi

to

^ 0, tồn tại ỗị) = 8()( t o ) > 0 sao cho với mọi nghiệm x ( t,ộ )

của (1.1), nếu \\ộ\\ < 8o thì lim ||jc(í,0)|| = 0.

3


1.2.

Bài toán ổn định vững hệ điều khiển với trễ thời
gian

Xét hệ điều khiển có tham số với trễ thời gian
x(t) = A(t)x(t) + ỵ™=Ị A j(t)x (t - Tj ) + B ( t ) u ( t )

( 1.2. 1)

x(t) = 0(f),V f € [-T ,0 ],
trong đó
x(t) GM" là vectơ trạng thái,
u(t) £ R k là vectơ điều khiển,
T/ỉ 1 ^ j

là trễ thời gian, T = m a x { T j , . . . , Tm },

</>(.) là điều kiện ban đầu,
A(t) = A + AA(t) £ R nxn, A j ( t ) = A j + AAj{t) e R nxn, j = 1,...,/12,
# (/) = ổ + AB(t) G w ixk với A, Aj, j = 1 ,... ,m và B là các ma trận
hằng số thực với số chiều phù hợp mô tả hệ chuẩn tắc của (|l.2 .lj),
AA(t), AA j(t), j — 1 ,... ,m, AB(t) là các hàm ma trận thực chưa biết
với chuẩn bị chặn mô tả các tham số không chắc chắn.

Giả sử các tham số không chắc chắn thỏa mãn
AA(t)

AB(t)

AAiO)

...

= DA(t) Ea

Eb

AAm0)J = ị D ị A ị ^ E ị

( 1.2 .2 )
...

D mAm(t)Ei

trong đó
A(í), A ị ( t ) , i = 1 ,... ,m là các ma trận thực chưa biết thỏa mãn
A (í)A(r) < /

(1.2.3)

Aj (t)Aj(t) < /,V / > 0,1 < j < m ,
và D, Dj , Ea , Eb, Ej , 1 < j < m là các ma trận hằng số đã biết.
Dưới đây chúng ta trình bày một số khái niệm về ổn định vững và ổn định hóa
vững của hệ (|1.2.1|)-(fĩ.2.3Ị).

Đ inh nghĩa 1.2.1. H ệ trễ thời gian với tham số chưa biết ị 1.2.1)-(1.2.3) được gọi
là ổn định vững nếu nghiệm không x{t) — 0 của ịỉ.2. /Ị) với u (t) = 0 là Ổn định tiệm
cận với mọi tham số AA{t), AAj(t), 1 < j < m .
4


Đ ịnh nghĩa 1.2.2. H ệ trễ thời gian với tham số chưa biết ị 1.2.1)-(1.2.3) được gọi là
ổn định hóa vững nếu tồn tại hàm điều khiển u(t) sao cho hệ đóng là Ổn định vững
theo Định nghĩa[LZT\

1.3.

Hàm Lyapunov

Đ ỉnh nghĩa 1.3.1. [Lớp hàm

]

Cho hàm ộ G [M+ ,M+ ],M+ := [0;+°o) hoặc (Ị) G C[[0,/ỉ],M+ ]. Khi đó, ệ được gọi
l à W - hàm hoặc

- hàm nếu thỏa mãn các điều kiện sau

(i) ộ là hàm tăng.
( ii)ộ { 0) = 0.
K í hiệu ộ E
Đ ịnh nghĩa 1.3.2. [Hàm Lyapunov]
C h o V : M+ X

—y M là m ộ t h à m k h ả vi liê n tụ c th ỏ a m ã n V ( í , 0 ) = 0, Ví ^ 0. H à m

V được gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.1) nếu thỏa mãn các điều kiện sau
(ỉ) Hàm V(t, x) là hàm xác định dương theo nghĩa
3a G

: V ( í , x ) ^ ữ (\\x \ I),V (í,jc) G M + X M” .

(ii) Đạo hàm của V d ọ c theo nghiệm của hệ (Ị/.2./Ị)
Ỷ ( t, x t (tữ, ệ ) ) := \im s u p ị l v ( t + h ),xf+h((t0,ộ )) - V ( t , x t (t0,ộ))} < 0,
0+
h
với mọi nghiệm x(t, ộ) của hệ (Ị7.2./Ị).
Đ ịnh lý 1.3.1. [Định lý Lyapunov - Krasovskỉỉ]
Giả sử rằng F: M + X (io

—^ R "

biến mỗi tập M + X ẩể {ỐS là tập bị chặn trong cể )

t h à n h t ậ p b ị c h ặ n t r o n g v à u , V, w : M + —>• M + là c á c h à m l i ê n tụ c , k h ô n g

ở đó u(s) và v(s) dương \/s > 0 và u(0) = v(0) = 0.
• Nếu tồn tại một hàm khả vỉ liên tục V: M X

—»• R sao cho

« ( llí( 0 ) ||) < V ( f ,í) < v ( |^ y

và
V ( t , ệ ) ^ - W( 110(0)11)

5

g iả m ,


thì nghiệm không của ị(Ị/.2
ỉ . 2 ../|)
/|) là Ổn định đé
đều.
• Nếu nghiệm không của (Ị7.2.1 ì là Ổn địỉ
định đều, và vv(.v) > 0, Vs > 0, thì nghiệm
không của (Ị H 7 ] | là ôn định tiệm cận đều.
• Nếu nghiệm không của ( ì . 2.1) là Ổn
ổn định tiệm cận đều và lim u(s) =
s—

thì nghiệm

không của (Ị7.2./Ị) là Ổn định tiệm cận toàn cục đều.
Đ ỉnh lý 1.3.2. [Định lí Razumikhin]
Giả s ử f: M+ X <
é? —y M” biến mỗi tập M+ X ốể (ẩổ là tập bị chặn trong cể ) thành
tập bị chặn trong M"; và u, V, vv: M+ —> R + là các hàm liên tục không giảm, u(s) và
y(.v) dương Ví > 0, u(0) = v(0) = 0, và V tăng ngặt.
• Nếu tồn tại hàm khả vỉ

liê n

tục V: M+ X M"

R sao cho

(ỉ) w(||jc||) ^ V (t,x) ^ v(||x||), Vx
(ii) V (í,x(t)) ^ —w(\\x(t)\\),khiV(t + 6, x( t + 0)) ^ V(t,x(t)), Vớ G [—/ỉ,0]
thì nghiệm không của (1.2.1) là Ổn định đều.
• Hơn nữa, nếu w(s) > 0, \fs > 0 và tồn tại một hàm p(s) liên tục, đơn điệu không
giảm, p(s) > s với mọi s > 0 sao cho
(iiỉ) ý (/,* (/)) ^ —w (||x(í)||), khi v ( t + 6 ,x ( t + 6)) ^ p V (t,x (t)), V0 G [—/z,0]
thì nghiệm không của (Ị/.2./Ị) là Ổn định tiệm cận đều.
• Nếu giả thiết thêm lim u(s) = oo thì nghiệm không của 1. 2.1 là ổn định tiệm cận
s—^oo

toàn cục đều.

1.4.

Một số bất đẳng thức

Bổ đề 1.4.1. Cho X , Y là các ma trận thực với số chiều phù hợp. Khi đó
X J Y + Y J X < £Xj X + - Y t Y
£
đúng với mọi £ > 0.
Bổ đề 1.4.2. [ B ổ đ ề Schur] Cho ma trận đối xứng

M =

X

Y

YT

z

với X, Y là các ma trận đối xứng. Khi đỏ
(ỉ) M xác định không âm nếu và chì nếu

6


| z> о

Y = L \Z
X —L \ Z L j > О
hoặc

I

X >0
Y =XL2

z

- lJ x l 2 > 0

đúng với L\, L 2 là các ma trận tùy ý có số chiều phù hợp.
(ii) M xác định dương nếu và chỉ nếu

Ịz>

0

) x - Y Z ~ ]Y T > 0
hoặc

Ịx> 0
\ z - Y JX- ' Y > 0 .
Bổ đề 1.4.3. Cho Y là ma trận xác định dương, H, E là cấc ma trận cho trước với
số chiều phù hợp và ma trận F thỏa mãn F J F < I. Ta có
( i) H F E + E TF TH T < £ H H T + £ - ]E t E, với mọi £ > 0.
(ii)

Y + H F E + E T F T H T ^ 0 nêu và chi nêu tôn tũi £0 SŨO cho Y -\- £ H H ^ -\-

£ - ' e j e < 0.
Bổ đề 1.4.4. Cho A, D, A, E là các ma trận thực với số chiều phù hợp và 11A| I < 1.
Ta cỏ
(ỉ) Với mọi £ > 0 và ma trận p > 0 thỏa mãn e l — Е Р Е г > 0 ta cỏ
{.A + DAE)P(A + D A E )J < APA

+ A P E T (e ĩ - E P E T ) - ' EPAJ + e D D T .

(ii) Với mọi £ > 0 và ma trận p > 0 thỏa mãn p
(A + D A E )T

eD D J > 0 ta có

1(Л + D A E ) < AT (p - eD D T ) ~ xA + e ~ xE J E.
1

Chương 2

Tiêu chuẩn ổn định vững và ổn
định hóa vững độc lập với trễ
thời gỉan
2.1.

Tiêu chuẩn ổn định vững độc lập với trễ thời gian

Trong mục này, ta sẽ nghiên cứu sự ổn định của hệ (1.2.1) khi u(t) = 0. Ta giới
thiệu các định nghĩa sau đây.
Đ inh nghĩa 2.1.1. Hệ (1.2.1)-(1.2.3) được gọi là Ổn định bậc hai nếu tồn tại các
ĨÌĨCl tỉ civt đo / JCÌẨĨĨ^Ị JCữCđinh (ỉLỉ’(ỉn^ p
#

(

0, Qi > 0, 1 < j < m, sao cho

p (Aị + A A \ (ỉ))

(Ai + AA| ( t) ) r p

Q\

•••

P ( A m+ AAm(t))\

0

= 0 (0 < 0
\(^OT + AAw(í))

p

Qr
(2. 1.1)

đúng với mọi tham số chấp nhận được, trong đó # = (A + AA (t) ) 1 p + p (A + AA (t)) +
E Ĩ L iố y
Định lý sau đây cho ta mối quan hệ giữa ổn định vững và ổn định bậc hai vững
của hệ (Ị1.2.1Ị).


Đ ịnh lý 2.1.1. Nếu hệ ị] .2.1) ổn định bậc hai thì hệ Ổn định vững.
Chứng minh. Xét hàm Lyapunov sau
m

v(xt) = JCT (t)Px(t)

+

rt
XT

/

j —1

trong đó xt G

(s)Qjx(s)ds

j

c [—T, 0] được xác định bởi x,(s) = x ( t + s), —T <

s < 0. Đ ể chứng

minh Định lý 2.1.1 ta cần chỉ ra
v (* ,) < 0
đúng với mọi tham số chấp nhận được. Hiển nhiên

Ỷ (x t) = 2XTP x { t ) + x J (t) ^

— ^

X

Qj"j x(t)

(t — Tý) Q j X (t — Tj)

7=1

= *T (0 Ị ^ T ( t ) p + m

)+ Ễ GM O )

+ 2 £ * T {t )AJ (t)Px (x - Tj) j= 1

* T (/ - Tj) QjX (t - Tj)
7=1

= f?/TÔ (í)ty ,
t r o n g đ ó Ĩ ] J — ( x T ( í ) , x T (t — T ị ) , . . . ,XT (t — Tm) ) , đ iề u n à y k é o t h e o v ( x t ) x á c

định âm vì 0 ( í) < 0. Định lý được chứng minh.

□

Định lý 2.1.1 cho thấy điều kiện đủ để hệ tham số ổn định vững là hệ phải ổn
định bậc hai. Tuy nhiên 0 ( í) có chứa các phần tử chưa biết A(r), Aj(t), j = 1 ,... ,m
và do đó, sẽ không thuận tiện để kiểm tra tính ổn định bậc hai của hệ. Định lý sau
đây được phát triển từ Định lý 2.1.1 được dùng để kiểm tra sự ổn định bậc hai của
hệ Ị T Ĩ Ã ị .

Đ ịnh lý 2.1.2. Hệ (Ị/.2./Ị) với u(t) = 0 Ổn định bậc hai nếu tồn tại các ma trận đối
xứng, xác định dương p > 0, Qj > 0, 1 < j < m và hằng số dương £ > 0 sao cho
( Ã 'P + PA + i y ^ Q ị + eE ỊE A
ẴTP

PÃ
Qe
0

DTP
9

p£>\
0
-£ l)

<0

( 2. 1.2)


t r o n g đ ó Ã — (yA\

•••

A niS
j,D = (j)

D\

•••

íeEỊEị-Qị

Dm^j và

\

0

ỗE —

y

eEnrI Em - Q mJ

0

Chứng minh. Đ ể chứng minh định lý này, trước hết ta lưu ý rằng
PA,

( a ' P + PA + Ẹ?= ] Qj

0(0

a

;p

•••

PAm \

ÔI

=

V

QmJ

( AAT (t)p + PAA(t)

PAAị(t)

•••

PAAm( t ) \

M Ị{t)P

+
\

* A i (t)p

Ị a j P-\- PA + I Q j

PA\

à ĨP

V

PAm \

•••
- Ổ I

KP

Qm/

+ D Ả(t)Ẽ + Ẽ J Ả T (f)Ô T ,
trong đó

D=

ÍP D

PD\

P D m\

0

0

0

V0

0

Ã(r) = dỉag{A (t),A ị

...

0 /
,AW}

Ẽ = dỉag{EA, E \ , • • • ,£ w}.
Theo Bổ đề 1.4.3 0 (f) < 0 nếu tồn tại £ > 0 sao cho

10


f A ' P + PA + Z J= l Qj
A jp

PA„,\

PA
-Ổ ,

-Q nJ
0

/ P D D p + m L1P D i D Ị p
1
H—
e
V

0

0

0

0

fE A
J EA
+£

0
e

V

•
0

•

oy

\
<0.

;eị
Em Emj

0

Sử dụng Bổ đề Schur ta có điều này tương đương với (2.1.2). Định lý được chứng
minh.

□

C hú ý 2.1.1. Ta thấy (2.1.2) là tuyến tính với p, Q \ , . . . , Qm và £ do đó các công cụ
như Matlab LMI, Scilab hoặc bất kỳ công cụ tương tự nào đều cỏ th ể sử dụng đ ể
kiểm tra sự Ổn định vững của lớp hệ mà ta đang nghiên cứu. Trong thực tế, một hệ
có thê không ổn định, vì vậy vấn đề đặt ra là ta phải ổn định hệ trước khỉ sử dụng
nó. Mục tiếp theo sẽ đề cập đến vấn đề Ổn định hỏa.

2.2.

Tiêu chuẩn ổn định hóa vững độc lập vối trễ thời
gian

2.2.1.

Tiêu chuẩn ổn định hóa vững sử dụng bộ điều khiển không
nhớ

Định lý 2.1.2 cung cấp một điều kiện đủ để hệ (|l.2 .l|) là ổn định vững bậc hai,
điều này có thể kiểm tra dễ dàng bằng cách sử dụng công cụ M atlab LM I hoặc bất
kỳ công cụ tương tự nào. Bây giờ, ta tìm hiểu về sự ổn định hóa vững bậc hai của

h ệ (ĨX ĨỊ.
Đ inh nghĩa 2.2.1. Hệ ị 1.2.1) được gọi là Ổn định hóa vững bậc hai nếu tồn tại một
bộ điều khiển phản hồi trạng thái u{t) sao cho hệ đóng là Ổn định bậc hai.

11


Trước tiên, ta xét bộ điều khiển phản hồi trạng thái không nhớ có dạng
u(t) = Kx(t)
Áp dụng bộ điều khiển này vào hệ (1.2.1), hệ đóng trở thành

x(t) =[A + BK + DA(t) (Ea + EBK)\x{t)
m

+ ỵ í [Aj + D j(t) A jịt)E J(t)]x(t--C j).
i— 1
1
j=

( 2.2. 1)

Định lý sau đây cho ta một phương pháp thiết kế bộ điều khiển không nhớ để ổn
định hóa vững hệ ( 1.2.1Ị).

Đ ịnh lý 2.2.1. Nếu tồn tại hằng số dương £ > 0 và các ma trận Y, X, Uj, 1 < j < m
với X, Uj là các ma trận đối xứng và xấc định dương sao cho bất đắng thức ma trận
tuyến tính sau có nghiệm
(m n

A ịX

*

• •

Amx

X E J + Y TE B
J

0

0

0

0
0

0 \

<0
*

0

-Um

*

0

0

EỈ

FT
cx

0

0

k 0

(2.2.2)

-e l)

trong đó
Mị 1

A X + B Y + X A T + Y J B T + £ Uj + eD D T + e £ D ịD
j =I
j=\
J

Ex = d i a g Ị x E j , . . . , X E j t y
thì với bộ điều khiển u(t) = K x (t) trong đó K = Y X 1 hệ ị 1.2.1) là Ổn định hóa
vững bậc hai.
Chứng minh. Theo Định lý 2.1. lị để chứng minh Định lý|2 .2 .l|ta cần chí ra hệ đóng
là ổn định bậc hai. Dựa vào Định nghĩa12.2.TỊ ta cần chứng minh tồn tại các ma trận
đối xứng, xác định dương p > 0, Qi > 0, 1 < j < m sao cho

12


(.Ã + DA(t)ẼA) p
+ P (Ã + DA{t)ẼA)

PẢ(t )

m

= ©(/) < о

+ L Qj
7-1

-ô )

ÃT (f)/>

đúng với mọi tham số chấp nhận được, trong đó
Ả = A + BK

ẼA — E a + EßK
A( t ) — (Ẩị + D ị A \ ( t ) E ị , - ■• , A m + D mA m(t ) Em)

Q = d ia g ị Q ị, • • • ,Q m).
Lập luận tương tự Định lý 2.1.2 ta có thể kết luận rằng 0 ( í) < 0 nếu tồn tại hằng số
dương £ sao cho
ÍẼ JẼ A

\
E jE ,

<0

(2.2.3)

trong đóẨ = (Л 1, . . . , A «) v à ii = Ä T P + PÄ + E JL , Qj + s P D D J p + ц = J eP D 7D j p.
Sử dụng Bổ đề Schur, ta có (2.2.3 ) tương đương với

г

ẼA

-Q
0

Ẽ'AT
C
0
-el

0

{ 0

гт

0

-e l)

( J\
Ẵ TP

PẢ

° ^

<0

(2.2.4)

trong đó £ = d ia g {E JT , • • •
Đặt X = p 1. Nhân cả hai vế của (2.2.4) với d i a g { X ,X , ỉ , I } , trong đó X =
d i a g ị x , • • • ,x } và đặt Y = KX, Ui = XQ iX , 1 < i < m ta có (2.2.2». Do đó từ lập
luận ở trên, ta thấy rằng nếu X > 0, Y và Ui, 1 < i < m thỏa mãn (2.2.2 ) thì p = x ~ 1,
Qi = p u r ' p , l < ỉ < m thỏa mãn (|2.2.2|). Định lý được chứng minh.

□

Đ ể thấy được sự hữu ích của những kết quả trên, ta xét các ví dụ cụ thể sau đây.

13


v í d ụ 2.2.1. Xét hệ tuyến tính liên tục với trễ thời gian được mô tả bởi hệ (Ị/.2 ./Ị)
với m = 1 và các tham số của hệ cho bởi

A =

5

1

0

-2

D =

B=
ầ
Dì =

-1

A] =

ã"

'

°,2)

EB = 0.3

0

El

0.1

Ed

0

0.2

ì) .

Giải (2.2.2) ta được
„

x =ị
u= [

(

0.238

1 -0 .1 6 4 0
(

1.006

1 -0 .1 0 4 4

—0.1640 \

Y=

0.9265 /
—0.1044 \

,

-2 .9 9 9 0

-0 .6 4 1 9

£ = 1 .1 9 8 7 .

1.7297

Do đó, theo Định lý 2.2.1 ta có hệ ị l . 2 . /Ị) Ổn định hóa vững với bộ điều khiển
u(t) — Kx(t) với
K = Y X ~ 1 = (-1 4 .8 9 6 8

2.2.2.

-3 .3 2 9 7

Tiêu chuẩn ổn định hóa vững sử dụng bộ điều khiển có
nhớ

Định lý 2.2.1 cung cấp một thuật toán sử dụng để tìm bộ điều khiển không nhớ
ổn định hóa vững hệ (jl.2 .l|). Rõ ràng, nếu tác động trễ được đưa vào ở giai đoạn
thiết kế thì bộ điều khiển sẽ cho hiệu suất tốt hơn. Bây giờ, ta xét bộ điều khiển
phản hồi trạng thái có dạng
m

i{t) = Kx(t) + ỵ , Kjx(t - Tj)
j= 1

14

(2.2.5)


trong đó к , Kj, 1 < j < m là các ma trận hằng với số chiều phù hợp.
Giả sử
D\ = ■• ■ = D m = D

Д ,(í) = ••• = Am(f) = A(f).
Thay (2 .2 .5 ) vào hệ ([1.2 .1j>ta có hệ đóng là
x(t) = [A + B K + D Aịt) (Ea + EgK )\x(t)

+I

[Aj

(2 .2 .6)

+BKj +D

^ i E j + E s K ^ x it-x ,).

7=1

Định lý sau đây đưa ra phương pháp thiết kế một bộ điều khiển như vậy.

Đ ịnh lý 2.2.2. Nếu tồn tại hằng số dương £ > 0, các ma trận đối xứng, xác định
dương X > 0, Vị > 0 và các ma trận Yị, ì < i < m sao cho bất đắng thức ma trận
sau đúng
/М м
MỊ

Mị

bẩm

■■

-V ị

0

ß \
ßl

<0
К

0
)S,T

•' ■

-vm

ßm

ßm

-el/

(2.2.7)

trong đó
M u = A X + BY + X A ' + У 1 ß 1 + eDD

+ L 7 = 1Vj,

Mị = A ị X + BYị, 1 < i < m,

ß = X E j + Y j E Ị , ß, = X E ] + yfT, 1 < i < m,
thì với bộ điều khiển (2.2.5) trong đó к — УХ

, Kl — YjX

ị < i < m hệ ( 1.2.1 1

Ổn định hóa vững.
Chứng minh. Áp dụng bộ điều khiển (2.2.5) vào hệ ( 1.2.1 ) ta có hệ đóng là
i( f ) = [л + D A ( t ) E A] x(t) + Y , [A j + D ^ ) E j\ х (? - т7')’
j= 1
trong
đó Ã
=А
BK,, Ă j — A i -f+ £>Л/,
BKj, tLj
Ẽj = Ej -f+ EßKj, 11 b
< ij b
irong üü
Л=

Л+
t M
Theo Định nghĩa 2.2.1 để hệ ổn định vững bậc hai thì điều kiện đủ là tồn tại hằng
15


số dương £ > 0 và các ma trận đối xứng, xác định dương p > 0, Qi > 0, 1 < ỉ < m
sao cho
(#

P(Ã! + D A ( t) Ẽ t )

P ( Ă m + DA(t)Ẽm) \

- Ô I

<0

V*

—Qm

đúng với mọi tham số chấp nhận được,
trong đó # = (Ã + DA(t)ẼA) T p + p (Ă + DÁ(t)ỀA) + £ 7 =l Qj.
Chú ý rằng
/ Ẫ T P + PÃ + E"/=,Q j

PẦỊ

Ẵ jp

-Ổ I

■■

Ẫl

- Qm/

PD\
0
A( t ) ( Ẽ A

+
\0

Ẽ,

■■■

£„,)

/

( pd\
0
A (í ) ( ẽ a

+

P Ã „,\

ẽ

,

■■■

£„,)

LV»/
Do đó, từ Bổ đề 1.4.3 ta thấy rằng ©d (/) < 0 nếu và chỉ nếu

16


í

#

PẦ,

Ä jp

-ö l

РА.и \

u

Qm)

(Ẽ l\
1
H—
e

щ

\ Ẽ JT
là đúng, trong đó # = e P D D ' + A T p + A 4 + Y!J= 1 ổ7 •
Đặt X = p ~ ],Yị = KịX, nhân vào bên trái và bên phải vế trái của bất đẳng thức trên
với d i a g ị x , • • • ,x } ta được
( #
м;

Mị
- X Q xX

-XQmX j

\K
fß \
/3,
+

(эт

i3,

Ã

V/ W
trong đó # = eD D T + X Ă T + Ã X + ц = , X Q j X .

Từ điều này đặt Y = K X , Vị = X Q ị X và sử dụng Bổ đề Schur ta có (2.2.7 ). Do đó,
giả sử tồn tại hằng số dương e và các ma trận X > 0, Vi > 0 và Yị thỏa mãn (2.2.7 ),
và đặt К = Y X ~ ì , K i = YiX - ì , P = X - ỉ , Q i = PVịP thì ta có thể kết luận rằng p,
Qi,

1< ì

< т

thỏa mãn (2 .2 .7 ) và do đó hệ đóng là ổn định bậc hai. Định lý được

chứng minh.

□

Ví d ụ 2.2.2. Đ ể minh họa kết quả của Định lý 2.2.2 ta xét hệ có dạng ị ỉ .2. /|) với
m = 1 và các tham số

17


л=
£=

1 о

О

1

-2

о=

0.1

Е\ = ((И
Е0 = ( О

0.3

Ев =

0.2)

-1

0.3

Л.

Уд! Шр сас 1кат $о 1гёп, gidi (2.2.7) 1а йиас

X=

19.8571

-1 0 .4 7 2 6

У = (-2 2 0 .9 0 5 3
е

-1 0 .4 7 2 6
35.2969 )

-10.9895)

60.7259

0.3028

\ 0.3028

73.2009^

У, = (16.1332

10.761з)

V, =

= 108.3199.

ТИео В М 1у 2.2.2 М кё {1.2.1) 1а оп сЦпк йкд1 Ьб Шеи кЫёп (2.2.5) удг К уа К\
с1го Ьдг
К = У Х ~ 1 = ^ —13.3831
АГ, =

= (^1.1538

18

-4 .2 8 2 1
0 .6 4 7 2 ).


Chương 3

Tiêu chuẩn ổn định vững và ổn
định hóa vững phụ thuộc trê
thời gỉan
3.1.

Tiêu chuẩn ổn định vững phụ thuộc trễ thời gian

Trong mục này, ta xét điều kiện ổn định vững phụ thuộc trễ thời gian. Định lý
sau đây cung cấp một điều kiện đủ để hệ (Ị1.2.1 Ị) ổn định tiệm cận. Trong phần tiếp
theo của mục này, ta ký hiệu A (t), A tương ứng làẨ o(r) và A().
Đ ịnh lý 3.1.1. Nêu tôn tciỉ CCIC ỉĩĩũ trân đôi xưng, Xữc đinh dương X

0, Qi ị

0,

Pjj > 0, i — 1, • • • , m, j — 0,1, • • • , m, và các hằng số dương £j, ĩ]i, P j, ì < i < m,
0 < j < m sao cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau đúng

ị Mu
H~

Hì

H2

-J\

0

0

0

-h

0

0

0

19

Hĩ )


trong đó

Mu

=( ỵ

X + X í Ể A ,)

\ i =0

\i= 0

)

/

+ £ n.D.D, + £ eaDiD,
i=0

/=1

+ £ V W A ;r
i= 1
với
vv, = Ễ
ỹ= 1
//, = ( x £ j

XẼ,"

H2 = ( ĩ|.4 iW |E |r

T„A„W„E,

•••

( TỊịỉ

0 \

^1 =

V

ĩ]mI )

0

t| C/1 W\Eị
vv I Ị
^ £C|i Tl/|| i/ — X\E\
h =
\

0

£,

XEa
ĩĩ..=

,

XAj

XEl

XAl

XEl

( - ^ i p ij + P i j ^ D j D j

V ij =

p l^ il

ỉu,ĨO

0

\

ỉ/,1
Ui =

u im)

\0
Hĩ = ( ĩ |C |
í u ,1

TmC)
0

\

h =
\0

u m)

thì hệ (Ị/.2./Ị) ơn đm/ỉ tiệm cận.
Chứng minh. Giả sử x(ỉ), t > 0 là nghiệm của hệ tuyến tính trễ thời gian (1.2.1) với
20