skkn phân loại phương pháp giải những bài toán về cấu tạo khái niệm phân số

1 -

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MÔN TOÁN
Đề tài

“Phân loại phương pháp giải những bài
toán về cấu tạo khái niệm phân số”

Giáo viên thực hiện
Nguyễn Thị Mai Phương


2 -

Lời cảm ơn
Tôi xin chân thành cảm ơn sự động viên, khuyến khích và giúp đỡ của các
thầy, các cô giáo trong Khoa giáo dục Tiểu học, trường bồi dưỡng cán bộ Hà Nội
đối với tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu đề tài.
Tôi xin trình bày lòng biết ơn Ban giám hiệu trường và tập thể trường Tiểu
học Nghĩa Đô , quận Cầu Giấy , thành phố Hà Nội và gia đình đã khích lệ, tạo điều
kiện trong quá trình học tập, nghiên cứu, điều tra, thử nghiệm và hoàn thành khoá
luận này.
Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc về lòng nhiệt tâm
về phương pháp luận nghiên cứu khoa học của thầy giáo hướng dẫn TS Mai
Quang Tâm trong quá trình hướng dẫn tôi hoàn thành và hoàn chỉnh khoá luận.
Dù đã rất cố gắng, luận văn này vẫn còn nhiều thiếu sót, kính mong nhận
được sự đóng góp ý kiến của các thầy, cô giáo và các đồng nghiệp gần xa.


3 -

Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Hiện nay phân số được dạy ở tiểu học thông qua các ví dụ cụ thể. Học xong
học sinh mơ hồ trong “cái gọi”là đơn vị. Các em có thể hiểu về cấu tạo, khái niệm
phân số nhưng khi bước vào giải các bài toán về phân số rất lúng túng kể cả những
bài toán mang tính đại trà.Ví dụ:
Bài toán viết số a dưới dạng phân số có mẫu số cho trước, bài toán tìm x
dạng

x b
= . Cao hơn nữa là những bài toán về chuyển động, những bàì toán tính
a
c

diện tích, thể tích có chứa đựng yếu tố phân số, những bài toán chia phần thực tế.
Những yếu điểm hạn chế nói trên có nhiều nguyên nhân khách quan và chủ
quan.Thiết nghĩ để khắc phục tình trạng này không có nghĩa là đưa những lý thuyết
cao xa vào giảng dạy. Dựa trên thực tế hiện nay có các loại hình lớp học nhiều
buổi/tuần, 2 buổi/ngày, giáo viên có thể củng cố khắc sâu có thể nâng cao kiến
thức phân số cho học sinh bằng cách giới thiệu các bài toán có nội dung phân số
theo một hệ thống và có chủ định. Qua từng bài toán ấy học sinh củng cố, nâng
cao kiến thức phân số. Cũng qua những bài toán ấy các em phát huy được tư duy
toán học, tổng hợp những kín thức đã biết xử lí (giải) bài toán phân số tốt hơn.
Trên cơ sở những lí luận và thực tiễn nói trên tôi mạnh dạn đưa ra ý tưởng
“Phân loại phương pháp giải những bài toán về cấu tạo khái niệm phân số” để
đồng ngiệp cùng tôi nghiên cứu áp dụng bồi dưỡng nâng cao chất lượng học sinh
giỏi.
2. Mục đích nghiên cứu
- Hệ thống các dạng bài có cấu tạo số thập phân và định hướng phương pháp

giải
3. Khách thể và đối tượng nghiên cứu
3.1 Khách thể : Những bài toán có cấu tạo phân số
3.2 Đối tượng : Các bài toán tạo phân số cho học sinh giỏi 4&5
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
5. Phương pháp nghiên cứu:
+ Phương pháp điều tra
+ Phương pháp phân tích tổng hợp.
+ Phương pháp đàm thoại
+ Phương pháp thực nghiệm.
6. Phạm vi giới hạn nghiên cứu:
+ Khai thác nội dung kiến thức về khái niệm, cấu tạo, tính chất phân số trong
sách giáo khoa lớp 4,5.
+ Tìm phân dạng những bài toán liên quan đến khái niệm, cấu tạo phân số.
+ Nhắc lại bổ sung những kiến thức cần cho việc giải những bài toán nói trên.


4 -

+ Tìm phân tích, áp dụng những phương pháp thủ thuật cụ thể giúp học sinh
giải hay những bài toán nói trên.
+ Điều tra vấn đáp giáo viên tìm hiểu phương pháp và nội dung dạy.
+ Khảo sát học sinh đánh giá chất lượng.

Nội dung
Chương 1: Cơ sở lí luận của đề tài
Khái niệm và cấu tạo phân số đựơc hình thành ở lớp 4, khắc sâu mở rộng ở
lớp 5. Học phân số các em được tiếp cận với một kiểu số mới cho phép ghi thương
đúng một phép chia hai số tự nhiên. Phân số ghi một giá trị được so sánh với một
đơn vị nào đó.Vậy nên hiểu sâu, nắm chắc phân số các em có thể xử lý được các

tình huống, các bài toán có ý nghĩa thực tế. Chính vì thế phát huy tối đa tư duy
toán học giúp các em nắm chắc phần này cần phải có những bài toán cụ thể trên cơ
sở kiến thức cơ bản về phân số. Bởi lẽ sách giáo khoa giới thiệu phân số cho trẻ chỉ
là những lý thuyết về phân số khái niệm, cấu tạo chưa quan tâm đến những bài
toán. Điều này sẽ rất là thiếu sót đối với những học sinh có khả năng muốn tìm
hiểu sâu hơn về phân số ngay ở bậc Tiểu học. Mặt khác thực tế cho thấy nếu học
sinh nắm chắc về phân số sẽ có khả năng học tốt các bài toán về diện tích, bài toán
thực tế, có kỹ năng thực hành những yếu tố chứa đựng kiến thức phân số.

Chương 2: Nội dung kiến thức về khái niệm cấu tạo
phân số ở tiểu học
2.1. Phân số:
+ Viết

a
được gọi là một phân số gồm:
b


5 -

- b: (dưới dấu -) mẫu số chỉ số phần bằng nhau được chia ra của một đơn vị
(một cái bánh, một hình vuông, một mảnh ruộng)
- a: Tử số (viết trên dấu gạch ngang) chỉ số phần lấy đi trong b phần bằng
nhau được chia ra. Đọc
+ Phân số

a
3
(a trên b). Nếu , “Ba phần tư”

b
4

a
a
là thương đúng của phép chia a cho b (a: b = ).Vậy có thể
b
b

coi dấu “ –’’ là dấu chỉ phép chia.
+ Một phân số có tử số lớn hơn mẫu số thường hay được viết dưới dạng hỗn
số.
Ví dụ:

7
1
= 2 đọc “hai và một phần ba”
3
3

- Các phân số có mẫu số là 10,100,1000, ... được gọi là các phân số thập phân
2.2.Các tính chất về phân số:
- Khi ta nhân hay chia cả tử số và mẫu số của phân số với cùng một số tự
nhiên khác không thì ta được một phân số mới bằng phân số đã cho.
Ví dụ:

3 3x2 6
=
=
7 2 x2 4

20 20 : 2 10
=
=
12 12 : 2 6

2.3. ứng dụng các tính chất cơ bản của phân số:
2.3.1.Rút gọn phân số:
Nếu cả tử số và mẫu số của một phân số cùng chia hết cho một số thì ta chia
cả tử số và mẫu số cho số ấy được một phân số mới bằng phân số ban đầu. Việc ấy
gọi là rút gọn phân số.
Ví dụ:

46 46 : 2 23
=
=
36 36 : 2 18

* Một phân số không rút gọn được gọi là phân số tối giản. (Không cùng chia
hết cho một số nào)
Ví dụ:

23
18

2.3.2.Quy đồng mẫu số:
- Quy đồng mẫu số là làm cho các phân số ấy có mẫu số bằng nhau (chung)
- Quy đồng mẫu số:
+ Bước 1: Tìm mẫu số chung
+ Bước 2: Chia mẫu số chung cho từng mẫu số được một giá trị gọi là

thừa số phụ


6 -

+ Bước 3: Lần lượt nhân cả tử số và mẫu cho từng phân số với thừa số
phụ tương ứng
- Cách tìm mẫu số chung:
+ Cách 1: Nhân tất cả các mẫu số lại với nhau.
2.4. So sánh phân số:
2.4.1. Quy tắc 1:
- Phân số có tử số lớn hơn mẫu số thì lớn hơn một.
- Phân số có tử số bằng mẫu số thì bằng một.
- Phân số có tử số nhỏ hơn mẫu số thì bé hơn một.
2.4.2. Quy tắc 2:
- Trong hai phân số có cùng mẫu số phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn
- Trong hai phân số có cùng mẫu số phân số nào có mẵu số lớn hơn thì nhỏ
hơn.
2.4.3. Cách so sánh hai phân số:
- Quy đồng mẫu số rồi so sánh theo quy tắc 2.
2.5. Các kiến thức bổ sung:
2.5.1. Cách tìm mẫu số chung:
- Cách 2: Nếu mẫu số lớn nhất chia hết cho các mẫu số khác thì lấy luôn
mẫu số ấy làm mẫu số chung.
- Cách 2: Đem mẫu số lớn nhất lần lượt nhân với 2,3,4... cho đến khi được
số chia hết cho tất cả các mẫu số còn lại thì lấy đó làm mẫu số chung.
2.5.2. Các cách so sánh phân số không qui đồng:
- Phân số a, b, c có a > b và b > c thì a > c ( *T.T1).
- Các phân số a và b là những phân số nhỏ hơn 1.
a +x=1

x, y gọi là phần bù của phân số a, b
b+y=1
+ Nếu x > y thì a < b
x < y thì a > b (*TT.2)
- Các phân số a và b là những phân số lớn hơn 1.
a - 1= x
b - 1= y

x, y được gọi là phần hơn của các phân số a và b

+ Nếu x > y thì a > b
x < y thì a < b (*TT.3)


7 -

- So sánh phân số bằng cách đưa các phân số về hỗn số.
+ Tách phần nguyên nêu phân số nào có phần nguyên lớn hơn thì lớn hơn.
+ Tách phần nguyên: Nếu phần nguyên bằng nhau so sánh phần phụ (chọn
một trong các cách so sánh ở trên) phân số nào có phần phụ lớn hơn thì lớn hơn.
- So sánh bằng cách rút gọn các phân số.
2.5.3. Các kiến thức dùng cho giải các bài toán về cấu tạo phân số
- Trong một tổng gồm hai số hạng, nếu ta thêm vào số hạng này bao nhiêu
đơn vị và bớt ở số hạng kia đi bấy nhiêu đơn vị thì tổng không thay đổi.
- Khi cùng thêm (hoặc cùng bớt) ở các số bị trừ và số trừ một số đơn vị như
nhau thì hiệu số không thay đổỉ
-Khi thêm vào tử số của một phân số một số bằng mẫu số của phân số đó
(mẫu số lớn hơn không) và giữ nguyên mẫu số thì giá trị của phân số tăng thêm
một đơn vị.
- Khi bớt ở tử số một phân số lớn hơn một, một số bằng mẫu số của phân số

đó giữ nguyên mẫu số thì giá trị phân số đó giảm đi một đơn vị.
- Khi thêm vào tử số của một phân số bằng tử số của phân số đó, giữ nguyên
mẫu số thì giá trị của phân số đó tăng lên 2 lần.

Chương 3:

Các bài toán về cấu tạo khái niệm và so
sánh phân số

Dạng 1: Các bài toán khắc sâu về khái niệm sử dụng các tính chất của
phân số.
Bài 1: Viết số tự nhiên 6 thành các phân số có mẫu số lần lượt là:
5;11;12;100.
66 72 600
6
6 x5
30
,
,
tương tự có :
=
=
11 12 100
1
1x5
5
x 12 28
4
Bài 2: Tìm số tự nhiên x biết: = ; =
5 25 x 21

4 4 x5 20
Giải:
=
=
, Vậy x = 20
5 5 x5 25
12 28
28 28 : 7 4
mà
=
=
=
Vì :
x 21
21 21 : 7 3

Giải: 6 viết thành


8 -

Mà

4 4 x3 12
=
= ,
3 3 x3 9

Vậy x=9

Bài 3: Có 7 cái bánh chia đều cho 12 người. Hỏi phải cắt thế nào để mỗi cái
bánh không cắt quá 5 phần.
Giải: Lấy 3 cái bánh cắt mỗi cái thành 4 phần bằng nhau. Lấy 4 cái bánh cắt
mỗi cái thành 3 phần bằng nhau. Mỗi ngươi lấy

1
1
cái bánh và cái bánh.
3
4

Dạng 2: Các bài toán về cấu tạo phân số.
Bài 4: Cho phân số

17
. Hỏi phải bớt ở tử số bao nhiêu đơn vị và thêm vào
28

mẫu số bấy nhiêu đơn vị thì được phân số mới giảm ước phân số mới ta được phân
số

1
2

Giải:
Tổng của tử số và mẫu số của phân số mới khi chưa rút gọn là: 17 + 28 = 45
Tổng của tử số và mẫu số khi giản ước là: 1 + 2 = 3
Phân số khi chưa giản ước :

1 x 15

15
=
2 x 15
30

Vậy số lần giản ước: 45 : 3 = 15 lần
Phân số khi chưa giản ước :

1 x 15
2 x 15

=

15
30

Số cần tìm là: 17 – 15 = 2.
Đáp số 2.
Bài 5: Cho phân số:

23
. Hỏi:
83

a) Cùng phải bớt ở tử số và mẫu số của phân số đã cho bao nhiêu đơn vị để
được

1
.
4

Giải:
Hiệu giữa mẫu số và tử số là: 83 - 23 = 60 cùng thêm, cùng bớt ở cả tử số và
mẫu số nên hiệu phân số mới chưa giản ước là: 60.
Hiệu giữa tử số và mẫu số khi giản ước là: 4 – 1 = 3
Số lần giản ước là : 60 : 3 = 20 lần.
Vậy phân số mới chưa giản ước là:

1x 20 20
=
4 x 20 80

Số cần tìm là: 23 - 20 = 3
Đáp số 3.
a
Bài 6: Cho phân số giá trị của phân số này thay đổi như thế nào nếu:
b


9 -

a+b
).
b
a+a
).
b. Thêm vào tử số a một số chính bằng tử số a (
b
a
c. Trường hợp là một phân số lớn hơn 1, bớt ở tử số a một số đúng bằng b

b
a −b
).
(
b
a
Giải: ma. Khi ta thêm vào tử số của phân số một số chính bằng b mà mẫu số
b
a b a+b
a
a+b
.
giữ nguyên, chứng tỏ ta đã thực hiện phép cộng: + =
hay + 1 =
b b
b
b
b
a
Vậy phân số tăng lên một đơn vị
b

a. Thêm vào tử số a một số bằng mẫu số b (

b. Thêm vào tử số a một số chính bằng a ta có:

a a a+a a
+ =
= x2
b b

b
b
a
Vậy phân số tăng lên 2 lần
b
a
a b a−b a
c. > 1 hay a > b. Vậy theo đầu bài ta có: − =
= −1
b
b b
b
b
a
Vậy phân số giảm đi 1 đơn vị.
b

Bài 7: Viết 3 phân số khác nhau cho mỗi trường hợp sau:
a. Nhỏ hơn đơn vị
b. Lớn hơn đơn vị
c. Bằng đơn vị
Giải:
a.

3 5 99
;
4 3 11

1 11 3
;

;
2 14 4 ;

b. ; ;

c.

3 4 111
; ;
;
3 4 111

Bài 8: Viết các phân số sau dưới dạng hỗn số mà phần phân số của hỗn số là
phân số thập phân.
5 9 113 131 60 51 363
; ;
;
; ; ;
2 4 50 125 48 12 250

Giải:
a.

5 25
5
;
=2 ;
2 10
10
113 226

26
=
=2
50 100
100
303 1425
425
=
=1
250 1000
1000

9 225
25
=
=2
;
4 100
100
131 524 1048
48
=
=
=1
125 500 1000
1000


10 -

Dạng 3: Các bài toán về so sánh phân số không sử dụng phương pháp qui
đồng.
Bài 9: Không qui đồng mẫu số so sánh các cặp phân số sau:
3737
37
và
4141
41
17
9
và
d)
5
4

a.

g.

2000
2
và
10000
5
9
7
e) và ;
5
6

b)

10
13
và
3
4

Giải:
a.

37 37 x101 3737
3737 3737 : 101 37
=
=
hoặc
=
=
41 41x101 4141
4141 4141 : 101 41

2 1000 x 2 2000 2000
=
=
>
5 1000 x5 5000 10000
13
27
và
( TT.2) Nhận xét có: 27-13 = 41-27 = 14

b.
27
47
13 14
14 14
=
Do
<
(QT1)
127 27
27 21
27 14
13 27
<
1- = nên
41 41
27 41
12
13
13
c. và . Có
> 1 (QT1)
13
12
12
12
(QT1)
1>
13
13 12

Vậy . > (T.T2)
12 13
9
7
9 9
và Có > (QT2)
d.
5
6
5 6
9 7
> (QT2)
6 6
9 7
Vậy > (T.T2)
5 6
17
9
17
2 9
1
e. và Có
=3 ; =2
5
4
5
5 4
4
2
1

Vậy 3 > 2 3 > 2
5
4
10
13
10
1 13
1
và
Có.
=3 ;
=3
g.
3
4
3
3 4
4

c)

13
27

g)

12
13
và
13

12

và

27
;
47


11 1
1
10 13
3 > 3 . Vậy
>
3
4
3
4

Bài 10: Tìm phân số ở giữa hai phân số sau:
1
1
1 6
và có =
2
3
2 12
1 4
=
3 12

6
5
4
1 5 1
>
> . Vậy >
>
12 12 12
2 12 3

Bài 11: Xếp các phân số sau theo thứ tự tù bé đến lớn:
Xếp thứ tự:

4 10 7 17 11 5
; ; ; ; ;
7 4 3 4 3 6

4 5 7 10 11 17
; ; ; ; ;
7 6 3 4 3 4

Chương 4: Một số phương pháp và thủ thuật nhận dạng
các bài toán về phân số
4.1. Một số phương pháp cơ bản đựợc sử dụng
4.1. 1. Phương pháp trực quan.
4.1.2. Phương pháp luyện tập thực hành.
4.1.3. Phương pháp tổng hợp - Phân tích.
4.1.4. Phương pháp gợi cảm - vấn đáp.
4.1.5. Phương pháp nêu vấn đề.
4.1.6. Phương pháp giảng giải minh hoạ.

Đó là 6 phương pháp thường được sử dụng để dạy cấu tạo, khái niệm, so sánh
phân số cũng như dạy những bài toán dạng đó. Hiện nay các phương tiện phục vụ
cho việc dạy học toán phân số còn nhiều hạn chế. Do vậy việc giáo viên chọn phương pháp nào cho phù hợp với nội dung bài, với điều kiện thực tế, với trình độ học
sinh là vô cùng quan trọng.
Theo tôi hiện nay ở một góc độ nào đó phương pháp trực quan đã phát huy ưu
điểm của nó trong dạy học toán cũng như trong dạy học phân số. Khi học sinh đã
có kiến thức biến tượng toán học mới ta cần sử dụng phương pháp luyện tập để
khắc sâu kiến thức rèn kĩ năng. Phương pháp tổng hợp - phân tích giúp học sinh
tìm kế hoạch giải một bài toán. Phương pháp gợi mở vấn đáp, gieo vấn đề đưa học
sinh đứng trước một bài toán cần tìm hướng giải quyết (một bài tập cần tìm đáp
số). Các em sẽ phân tích tổng hợp từ các dấu hiệu quen thuộc tổng hợp lại để được
kết quả. Những lí luận trên cần được thực tế hoá đưa đến học sinh qua những bài
tập để làm được điều có cần có sự lựa chọn phương pháp nội dung phù hợp với học
sinh, với điều kiện giảng dạy hiện nay. Từng bước nâng cao chất
lượng đại trà
và bồi dưỡng những học sinh có khả năng, tố chất. (Bồi dưỡng học sinh giỏi)


12 -

4.2. Một số phương pháp cụ thể, những thủ thuật nhận dạng để giải các bài
toán về cấu tạo, so sánh phân số.
4.2.1. Các bài toán về cấu tạo phân số đa về dạng toán điển hình.
- Một số bài toán về cấu tạo phân số mà khi giải bài toán đó thực chất là giải
các bài toán.
- Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số.
- Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số.
- Trước khi thực hiện giải bài toán đến người giải toán cần phân tích, thực
hiện các bước trung gian để chuyển bài toán có “hình thức phân số” sáng cốt lõi
toán học là giải bài toán điển hình.

Ví dụ:
17
. Hỏi phải bớt tử số bao nhiêu đơn vị và thêm vào mẫu
3
1
bấy nhiêu đơn vị thì đợc phân số .
3

Cho một phân số

Nhận xét:

17 − a 1
= . Thực chất là tìm a, nhưng muốn tìm được a thì
3+ a 3
(17 − a )
phải tìm được phân số
. Mặt khác ta có 17 + 3 = (17 - a) + (3 + a) = 20. Vậy
(3 + a )

Tìm số a sao cho

bài toán đưa về là tìm 2 số (17 - a ) và (3 + a) biết tổng của chúng là 20 và tỉ số là
1
.
3

Giải:
Khi trả lời ở tử số phân số

17
đi bao nhiêu đơn vị và thêm vào mẫu của nó
3

đi bấy nhiêu đơn vị thì tổng tử số và mẫu số của chúng không thay đổi luôn là: 17
+ 3 = 20.
Vậy theo bài ra ta có sơ đồ sau:
20
Tử số mới:
Mẫu số mới:
Tổng số phần bằng nhau là: 1 + 3 = 4 (phần)
Tử số mới là: 20 : 4 = 5
Mẫu số mới là: (20 : 4) × 3 = 15
Phân số mới

5 1
=
15 3

Vậy số cần tìm là: 17 – 5 = 12
Đáp số 12:
Ví dụ 2:


13 23
. Hỏi phải bớt ở tử số và mẫu số đi bao nhiêu đơn vị để đợc
21
5
một phân số mới có giá trị bằng .
3

Cho phân số

Phân tích nhận xét. Giả sử có 2 số A và B thì A - B = (A-C) - (B - C) có
nghĩa là khi cùng bớt ở số bị trừ và số trừ đi cùng một số thì hiệu quả chúng không
thay đổi. Đưa A, B về dạng một phân số

A
thì hiệu của tử số và mẫu số không
B

thay đổi. Vậy bài toán thực chất là tìm 2 số A, B sao cho A + A - B = 33 – 21 = 12
và tỉ số

A 5
= .
B 3

Giải:
Khi cùng bớt ở tử số và mẫu số của phân số

33
đi cùng một số thì hiệu giữa
21

chúng không thay đổi: 33 – 21 = 12. Bài toán trở thành tìm 2 số (tử số, mẫu) biết
hiệu chúng là 12 và tỉ số là

5
. Theo bài ra ta có sơ đồ sau:

3

Tử số mới:
Hiệu số mới:
1
Hiệu số phần bằng nhau: 5 – 3 = 2 (phần) 2
Mẫu số mới: (12: 2) × 3 = 18
Phân số mới:

30 5
=
18 3

Vậy số cần tìm: 33 – 30 = 3
* Ngoài ra các bài toán dạng này còn có thể có cách giải khác; sử dụng bài
toán tỉ lệ thuận (bài toán 4, bài toán 5- trang 9, 10).
4.2. Một số thủ thuật nhận dạng, các phân số để giải các bài toán về so
sánh cácphân số.
Các bài toán về so sánh phân số có rất nhiều dạng và dù ở dạng nào thì bằng
cách quy đồng mẫu số các phân số ta luôn so sánh được giá trị các phân số. Song
trong phạm vi bài viết này tôi xin đề cập một vài thủ thuật nhận dạng từ đó đưa ra
phương pháp áp dụng giải bài toán so sánh phân số nhanh nhất và không quy đồng
mẫu số. (Yêu cầu dành cho học sinh giỏi). Giải những bài toán dạng này ngoài việc
rèn cho học sinh kĩ năng mà còn bồi dưỡng tư duy, sáng tạo toán học, năng lực,
nhân cách mỗi học sinh, giúp các em học tập các lớp trên tốt hơn.
4.2.1 Những bài toán so sánh phân số qua đại lượng trung gian:
Ví dụ:
Không gian hãy so sánh các cặp phân số sau:
a)

1999
2002
và
2000
2001

b)

1999
2000
và
2000
2001


14 -

c)

11
12
và
13
11

d)

15
13
và

17
16

Giải:
a. (1)

1999
2002
và
2000
2001
1999
Nhận xét:
có 1999 < 2000
2000
2002
có 2002 > 2004
2001

Theo quy tắc ta chọn 1 làm yếu tố trung gian để so sánh.
1999
2002
< 1<
2000
2001

1999 2002
<
2000 2001

Æ

a (3) tương tự a (1)
a (2)

1999 2000
<
2002 2001

Đối với những phân số này đều là những phân số nhỏ một (1999 < 2002,
2000 < 2001). Khi so sánh tử số và mẫu số trong cùng một phân số nhưng chưa tìm
ra yếu tố, dấu hiệu so sánh. Ta nghĩ đến việc so sánh tử số, mẫu số của cả hai phân
số. Ví dụ so sánh tử số 1 với tử số 2 mẫu số 1 với mẫu số 2…
Nhận xét: Tử số 1: 1999 < Tử số 2: 2000
Mặt khác MS1 2002 > MS2 2001 chọn phân số trung gian là:
1999
2001

hoặc

2000 TS1
TS 2
(
hoặc
)
2002 MS 2
MS1

Giải:
Do

2000 1999
<
2002 2001
1999
2000
<
2001
2001

nên Æ

1999
2000
<
2002
2001

* Vậy những cặp phân số như thế nào có thể áp dụng cách so sánh qua trung
gian?
a
c
và nếu a > b và d > c thì yếu tố trung gian.
b
d
c
a
c
a
+ và nếu a < c và b > d thì yếu tố trung gian là và

d
b
b
d

+

* Xét thấy học sinh đã thành thạo đối với những bài toán cụ thể này giáo
viên có thể bồi dưỡng học sinh qua bài toán tổng quát để giúp học sinh có thể tự ra
đề toán cho bạn bè.
Ví dụ 4:
Cho phân số

a
thêm 1 vào tử số và bớt 1 ở mẫu số ta được phân số lớn hơn
b

hay nhỏ hơn phân số ban đầu, giải thích cách làm không dùng quy đồng mẫu số.


15 -

Giải

a +1
a
và
b −1
b
a

a
do:
<
b
b −1
a
a +1
<
b −1 b −1

nên:

a
a +1
<
b −1
b

* Từ bài toán này bạn có thể dùng cho bất kì một phân số nào, từ đó trừ đi
hoặc cộng thêm ở tử số và ngược lại cộng thêm hoặc trừ đi ở mẫu số được một cặp
phân số cần so sánh.
4.2.1 Những bài toán về so sánh phân số bằng cách sử dụng phần bù, phần
phụ:
Đối với những bài toán về so sánh phân số việc tìm ra những dấu hiệu qua
việc so sánh giữa các yếu tố tử số với mẫu số trong cùng một phân số, so sánh tử
số, mẫu số phân số này với tử số và mẫu số phân số kia là hết sức quan trọng. Từ
đó chọn phương pháp so sánh hợp lí nhất.
Ví dụ 5: Không quy đồng hãy so sánh các cặp phân số sau:
19
11

và
17
25
501
212
c)
và
399
110

2000
2001
và
2001
2000
2003
2001
d)
và
2002
2000

a)

b)

Giải:
a)

19

11
và
17
25
11 16
Có
+
=1
17 17
19
6
+
=1
25
25

Do:

6
6
(QT2)
>
17
25
19
11
Nên:
<
(T.T2)
17

25

T.T2: Thủ thuật (cách) so sánh 2.
b) Tương tự như phần 1.
c).

501
212
và
399
110
501
102
Có
−1=
399
399
102
212
−1=
110
110

102 102
<
399 110
501 102
Nên:
(T.T3)
<

399 110

Do:

d) Giải tương tự (3)
* Các cặp phân số có dấu hiệu như thế nào thì áp dụng cách so sánh thông qua
phần bù hay phần phụ?
- Nếu cả hai phân số đều nhỏ hơn 1 ( hoặc đều lớn hơn 1) và hiệu quả mẫu số
và tử số (hoặc hiệu quả giữa tử số và mẫu số) cảu hai phân số ấy đều bằng nhau thì


16 -

sử dụng cách so sánh phần bù đối với cặp phân số nhỏ hơn 1, sử dụng cách so sánh
phần phụ đối với cặp phân số lớn hơn 1.
* Nguyên tắc tổng quát để ra đề đối với những phân số dạng trên:
- Chọn một phân số

a
tối giản.
b

- Tìm hiệu a – b; b – a giả sử hiệu là e.
Ta có: Cặp 2 phân số

a
c
và cần so sánh không quy đồng bằng cách so sánh
b
d

phần bù hoặc phần phụ.
4.2.3. Những bài toán về só sánh phân số bằng cách đưa về hỗn số (tách
phần nguyên).
* Những cặp phân số như thế nào thì chọn cách so sánh bằng cách đưa về hỗn số?
- Những cặp phân số có tử số lớn hơn mẫu số đồng thời hiệu giữa tử số và
mẫu số lớn hơn mẫu số (nghĩa là phần nguyên lớn hơn 1).
Ví dụ 6: So sánh các cặp phân số sau bằng cách nhanh nhất:
13
18
…
3
4
13
18
Giải:
…
3
4
17
21
…
5
6

hay
hay

17
21

…
5
6
1
1
…4
3
2
2
3
3 … 3
5
6
2
1
3 … 3
5
2
2
1
3 … 3
5
2

* Những cặp phân số dạng này khi đưa về hỗn số trường hợp các phần
nguyên bằng nhau lúc này việc so sánh phần phân số lại đưa về các dạng đã để cập
ở trên.
4.2.4.. Những bài toán so sánh phân số bằng cách rút gọn những phân số đặc
biệt.
Ví dụ: So sánh những phân số sau:

171171
171
và
623623
623
171 171 × 1001 171171
Có
=
=
623 623 × 1001 623623

- Những bài toán dạng này đã theo một quy tắc nhất định có:
ab ×101 = abab
abc x 1001 = abc abc
abc x10101= abab
4.3. Thủ thuật tìm hướng giải các bài toán chia phần:
* Đây là những bài toán chia phần quen thuộc để giải được những bài toán
kiểu này ta cần ta chỉ cần tìm ra đề toán từ đó đi người lại có cách giải.


17 -

- Những bài toán dạng chia một số vật cụ thể thành một số phần nhất định sao
cho số lần cắt là ít nhất. ( dạng bài 3 trang 7)
- ở dạng toán này ngời ra đề thường chọn một số vật cụ thể thực tế cần chia
(Ví dụ: Cái bánh, quả cam, …). Số lượng chọn thường là các số nguyên tố: Như 5,
7, 9, 11, … Sau đó chọn một cặp số có tổng bằng: Số lượng trên sao cho các số là
nhỏ nhất. Ví dụ: 3 + 2 = 5; 4 + 3 = 7; 5 + 4 = 9; 5 + 6 = 11; …từ đó mới định ra số
người cần chia bằng cách nhân 2 số đã chọn. Ví dụ: 3 × 2 = 6; 4 × 3 = 12, … Cuối
cùng định số phần chia ít nhất cho một yếu tốt phải chia.

Ví dụ 8: Có 11 cái bánh cần chia đều cho 30 người. Hỏi phải cắt thế nào để
mỗi cái bánh không cắt quá 6 lần.
Giải Lấy 5 cái bánh, mỗi cái cắt thành 6 phần bằng nhau. 6 cái bánh còn lại
mỗi cái cắt thành 5 phần bằng nhau. Chia mỗi ngời

1
1
và cái bánh.
5
6

4.4. Sử dụng phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng kết hợp với tính
ngược từ cuối trong giải các bài toán về phân số:
* Những bài toán đa ra một số lượng của một yếu tố thực tế (quả cam, quả
táo, hòn bi, số ngời, …). Sau một số lần chia còn lại một số lượng nhất định, yêu
cầu tính số lượng ban đầu.
Từ số lượng còn lại người giải toán dựa vào điều kiện của bài toán lần lượt
đi từ cuối để tìm ra số lượng ban đầu. (bước làm này là tính ngược từ cuối). Để dễ
diễn giải và minh hoạ cho học sinh giáo viên thường dùng sơ đồ đoạn thẳng để
minh hoạ.
Ví dụ 9: (bài 5 trang 18 “Vui học toán 5”)
Bà nội có một số cam
Chia đều làm bốn, tặng Lan một phần
Số cam còn lại đem phân
Ra đều ba phần, lấy một cho Tâm
Số cam còn lại tặng Lâm
Lâm chia đôi để biếu Ông một phần
Bổ ra một quả Lâm ăn
Còn thừa hai quả dành phần cho Nhung
Đố các bạn nhỏ tính cùng

Số cam Bà đã chia chung cả nhà?
1
3
còn chia 3 cho
4
4
1
2
1
3
2
Tâm một phần Tâm nhận : 3 = (số cam) còn tặng Lâm. Ông nhận : 2 = số
4
4
4
4
4
1
cam còn số cam Lâm ăn 1 quả còn phần Nhung 2 quả.
4

* Phân tích: Bà có một số cam chia làm bốn. Lan nhận

Giải: Theo đề bài ra ta có sơ đồ:
Lan

Tâm

Ông

1

2


18 -

Lâm
1
số cam còn lại của Lâm: Lâm ăn 1 phần phần Nhung 2.
4

Tổng cộng: 1 + 2 = 3 (quả)
Vậy số cam của Bà là 3 × 4 = 12 (quả)
Đáp số: 12 quả
Ví dụ 10: Một phụ huynh học sinh hỏi thầy giáo “trong lớp thầy có bao
nhiêu học sinh?”. Thầy cười trả lời: Nếu có thêm một số trẻ em bằng số hiện có và
thêm một nửa số đố rồi lại thêm

1
số đó rồi thêm cả con quí vị nữa thì vừa đúng
4

100. Em tính giúp vị phụ huynh học sinh?
- Phân tích: Nếu trừ con của phụ huynh thì theo lời thầy giáo ta có
100 -1 = 99 (em). Vậy theo đầu bài ta có sơ đồ sau:? em
Số học sinh của lớp:
Thêm số học sinh hiện có:
1
số học sinh:

2
1
Thêm số học sinh:
4

Thêm

99 em

Giải:
Nếu coi số học sinh của lớp là 4 phần bằng nhau thì
phần,

1
số học sinh sẽ là 2
2

1
số học sinh sẽ là 1 phần như thế.
4

Theo sơ đồ ta có phần bằng nhau là:
4 + 4 + 2 + 1 = 11 (phần)
Số học sinh của lớp là:
(99:11) × 4 = 36 (em)
Đáp số 36 em
* ở những bài toán dạng này khi tiến hành giải toán ngời giải toán đi từ những
giữ kiện ban đầu dẫn đến số liệu thực (đã cho) ở cuối bài toán bước này ta gọi là
phân tích và trên thực tế là bước vẽ sơ đồ. Sau khi phân tích xong từ sơ đồ kết hợp
với số liệu đã biết bài toán được tính ngược từ cuối (bước … tổng hợp). Toàn bộ

những bài toán được tiến hành như vậy là đã sử dụng phương pháp tính ngược từ
cuối trên cơ sở phương pháp cơ bản là phân tích tổng hợp.
4.5. ứng dụng thủ thuật “Gán sai chỉnh đúng” (thủ thuật giải toán – Phạm
Đình Thực) vào giải những bài toán về phân số:


19 -

* Muốn tìm một giá trị chưa biết ta gán cho nó một giá trị cụ thể nào đó trên
cơ sở của đề toán. Sau đó tính toán ra một giá trị sai khác theo điều kiện của bài
toán, rồi tìm cách chỉnh cho đúng với điều kiện bài toán giá trị chỉnh được đó là
đáp số của bài toán.
* Đối với những bài toán về phân số áp dụng phương pháp tính ngược từ cuối
(mục 4) đều có thể áp dụng thủ thuật này:
- Chẳng hạn ở ví dụ 10
+ Theo bài ra: Tổng số học sinh hiện có và thêm bằng số học sinh có và
số học sinh và

1
2

1
số học sinh thì bằng 100 -1 = 99 (em)
4

+ ở đây ta cần tìm số học sinh của lớp. Vậy ta gán cho nó một giá trị tuỳ ý.
Để dễ tính toán ta chọn số chia hết cho 4. Ví dụ 12:
1
số học sinh là: 12 : 2 = 6 (em)
2

1
- số học sinh là: 12 : 4 = 3 (em)
4

-

Vậy theo bài ra ta tính được tổng như sau: 12 + 12 + 6 + 3 = 33 (em).
Nhưng thực tế tổng ấy là 9 em gấp 3 lần 33. Vậy ta chỉnh giá trị 12 cho đúng. Giá
trị này sẽ phải tăng 3 lần thì đúng. Vậy số học sinh của lớp là: 12 × 3 = 36 (em)
Đáp số 36 em
* Chú ý: Có thể chọn bất kì giá trị nào khác 12. Xong ta để ý đây là số học
sinh nên không thể là số thập phân vậy chọn số chia hết cho 4 tuỳ ý. Ví dụ: 16; 20;
24; …
Ví dụ 11 (Bài 7 trang 17 sách “vui học toán 5”)
- Thưa ông Pi - ta - go lỗi lạc, trường ông có bao nhiêu môn đồ?
Nhà hiền triết trả lời:
- Một nửa học toán, một phần tư học nhạc, một phần bẩy ngồi suy nghĩ và
ngoài ra có 6 phụ nữ.
Em hãy tính số môn đồ của nhà hiền triết Pi - ta - go.
* Nhận xét:
ở đây số cần tìm là môn đồ của Pi - ta - go theo lời của ông thì số môn đồ là
số chia hết cho cả 4 và 7:
Giải:
Chọn số môn đồ là:
28 ( 4 × 7= 28)
Giả sử số môn đồ là: 28 (người)
Một nửa học toán là: 28 : 2 = 14 (người)
Một phần tư học nhạc là: 28 : 4 = 7 (người)
Một phần bẩy suy nghĩ là: 28 : 7 = 4 (người)
Vậy số người còn lại là phụ nữ là: 28 - 14 - 7 - 4 = 3 (người)

Thực tế phụ nữ còn lại là 6 người gấp 2 lần ở 3 người.


20 -

Vậy số môn đồ của Pi - ta - go là: 28 × 2 = 56 (người)
Đáp số 56 người

Kết quả
Sau khi nghiên cứu thu thập số liệu tôi tiến hành thực nghiệm với số học
sinh lớp 5A và nhóm học sinh bồi dưỡng.
- Cách thức tiến hành:
* Sau khi học sinh đã được học xong về cấu tạo và khái niệm phân số để
khắc sâu về các kiến thức này bằng cách cho học sinh làm các bài tập dạng 1, dạng
2. ở từng dạng toán tiếp theo các em được nhận dạng, được định vị phương pháp.
Các dạng toán tiếp theo được giới thiệu tiếp trong các tiết bồi dưỡng và tăng buổi.
- Với cách thức tiến hành như trên kết quả thu được ở học sinh rất khả quan:
+ Học sinh nắm chắc về khái niệm, cấu tạo phân số.
+ Biết phân loại, nhận dạng, và sử dụng phương pháp vào giải một bài toán
liên quan đến cấu tạo, khái niệm phân số.
+ Nắm chắc các bước tiến hành từng phương pháp được giới thiệu, có thủ
thuật giải toán phù hợp.
+ Có kĩ năng phân tích tìm bản chất toán học trong một bài toán.
+ Bồi dưỡng cho học sinh có tư duy lôgíc có khả năng (phân tích, tổng hợp,
lập luận có căn cứ) để học toán.
+ Khi giải được những bài toán các em đã có được khả năng lập luận, ứng
dụng xử lí những vấn đề trong cuộc sống.
- Với kết quả bước đầu này đã khẳng định thành công bước đầu cho bài viết
của tôi tuy chưa cao, xong nó mở ra một hướng cho học sinh giải giai đoạn tiếp.
- Với những đánh giá nhận định trên đã được khẳng định, minh chứng qua bài

chắc nghiệm và khảo sát sau:
Cho các bài toán:
Bài toán 1: Viết số tự nhiên 8 thành các phân số có mẫu số lần lượt là: 3, 5,
112, 105 (2 điểm)
Bài toán 2: Tìm số tự nhiên x biết

2 x 10 15
(2 điểm)
= ; =
3 54 x
6

Bài toán 3: So sánh các cặp phân số sau bằng phương pháp nhanh nhất: (2
điểm)
a.

29
17
và
15
32

b.

12
13
và
18
17

Bài toán 4: Có 9 quả cam chia đều cho 20 người. Hỏi phải chia như thế nào
để mỗi quả cam không bị cắt quá 5 phần. (1 điểm)


21 -

Bài toán 5: Cho phân số

14
.Hãy tìm một số nào đó để khi cùng thêm số đó
26

vào tử và mẫu số của phân số đã cho thì được một phân số mới có giá trị bằng
phân số

6
(2,5 điểm).
9

Bài toán 6: Phát biểu lời bài toán theo số liệu sau:
15
nếu
17

15 − 7 1
= (0,5 điểm)
17 + 7 3

A.Câu hỏi trắc nghiệm:
Câu 1: Đánh dấu x vào ô trống trước ý em cho là đúng.

- ở bài toán 1: Các kiến thức sử dụng để giải là:
a)+ Tính chất cơ bản của phân số.
…
b)+ Mọi số tự nhiên đều được viết dưới dạng một phân số.
…
c). Thực hiện quy đồng mẫu số:
…
- ở bài toán 2
d). Chỉ sử dụng cách quy đồng mẫu số .
…
e). Sử dụng quy đồng mẫu số và rút gọn phân số. (4,5 điểm)
…
Câu 2: Nêu phương pháp ứng dụng để so sánh phân số ở bài toán 3. (3,5
điểm)
Câu 3: ở bài toán 5 cần xét hiện hay tổng số của tử số và mẫu số (2 điểm).
Đáp án: A
Câu 1: a) x
b) x
e) x
Câu 2: a) So sánh trung gian(1)
b) So sánh trung gian(

12
13
hoặc )
17
18

Câu 3: Xét hiệu số của tử số và mẫu số.
* Với đề khảo sát này được khảo sát tại lớp 5A của Trường kết quả thu được như

sau:
G
K
TB
Đạt
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
Trắc nghiệm 36
13
36,1 16
44,4 7
3,9
36
100
Khảo sát
36
17
47,2 16
44,4 3
19,5 36
100
Nhìn vào bảng thống kê kết quả trách nhiệm và khảo sát cho thấy: Hiệu quả của
phương pháp áp dụng sáng kiến là rất khả quan, có thể bạn đọc cho rằng số liệu là khá
giỏi còn ít. Song nhìn lại đề khảo sát và mức độ thời gian triển khai sáng kiến thì kết

quả thu được như trên là rất khả quan. Bởi lẽ kết quả bài trắc nghiệm với số lượng khá
tốt điều này cho thấy học sinh đã biết lựa chọn, áp dụng những kiến thức đã học, các
phương án, thủ thuật đã được biết để giải một bài toán. Để có thể chọn đúng phương
pháp như vậy nếu được triển khai chu đáo từ năm học lớp 4 và ở các lớp 2 buổi/ ngày
chắc chắn hiệu quả rất tốt.


22 -

Kết luận Khuyến nghị
Với thực tiễn kinh nghiêm giảng dạy, vốn hiểu biết chưa được nhiều tôi mạnh
dạn đưa ra những đường hướng để hướng học sinh vào giải một số dạng toán chứa
đựng yếu tố phân số. Qua tổng hợp nghiên cứu thực nghiệm bước đầu thu được kết
quả không cao, song đã mở ra một hướng áp dụng có tính khả quan. Mong rằng
trong giai đoạn tới có được sự quan tâm của các đồng nghiệp để bài viết của tôi
được khẳng định trong thực tiễn. Hi vọng bài viết này ít nhiều đóng góp công sức
nâng dần chất lượng giáo dục của thành phố. Trong bài viết này với nhiều lí do đã
bộc lộ nhiều hạn chế mong được sự giúp đỡ, đóng góp của bạn bè và các thầy, cô
cho bài viết của tôi ngày càng hoàn thiện.
Trên cơ sở quan điểm chỉ đạo giáo dục hiện nay, kết hợp với mục đích của
sáng kiến, điều kiện thực tế tôi mạnh dạn đưa ra những kiến nghị như sau:
+ Đội ngũ người thầy: Giáo viên phải giàu về vốn kiến thức, có năng lực
sư phạm đầu tư nghiên cứu giảng dạy, lựa chọn phương pháp phù hợp với học
sinh, với kiến thức cần truyền tải (mức độ kiến thức, dạng bài, loại bài) tránh quá
tải trong giảng dạy.
+ Đối với các cấp quản lý giáo dục: Tổ chức các chuyên đề về đổi mới phương pháp, chuyên đề nội dung kiến thức ở phương pháp cần được đề cập một
cách cụ thể các thao tác kĩ thuật các bước, kĩ năng đặt câu hỏi để dạy một loại bài,
dạng bài cụ thể, tránh nói xa xôi viển vông thiếu tính hiệu quả, xác thực.
Trân trọng cảm ơn.
Hà Nội, tháng 12/2007

Người viết
Nguyễn Thị Mai Phương


23 -

Mục lục

Lời cảm ơn
Đặt vấn đề
1.Cơ sơ lí luận:
2.Cơ sơ thực tiễn:
Nội dung
Chương 1:Phương pháp và phạm vi nghiên cứu
1.1.Phạm vi nghiên cứu:
1.2.Phương pháp nghiên cứu
Chương 2:Nội dung kiến thức về khái niệm cấu tạo phân số ở tiểu học
2. 1.Phân số
Các tính chất về phân số
2.3. ứng dụng các tính chất có bản của phân số:
2. 3.1. Rút gọn phân số:
2.3.2.Quy đồng mẫu số:
2.4.So sánh phân số :
2.4.1.Quy tắc 1 :
2.4.2.Quy tắc 2:4
2.4.3.Cách so sánh hai phân số
2.5.Các kiến thức bổ sung:
2.5.1. Cách tìm mẫu số chung
2.5.2.Cách so sánh phân số không quy đồng
2.5.3.Các kiến thức dùng cho giải các bài toán vế cấu tạo phân số

Chương 3:Các bài toán về cấu tạo khái niệm và so sánh phân số
Chương 4: Một số phương pháp giải và phương pháp nhận dạng các bài toán
về phân số
4.1.Một số phương pháp cơ bản được sự dụng:
4.2.Một số phương pháp cụ thể, những thủ thuật nhận dạng để giải các bài toán về
cấu tạo so sánh
5. Kết quả
5.1.Câu hỏi trắc nghiệm
5.2.Bài khảo sát:
Kết luận chung Khuyến nghị