Bồi dưỡng học sinh giỏi về chu vi diện tích tam giác

Phòng giáo dục hoằng hoá
Trờng tiểu học Lê tất đắc


Sáng kiến Kinh nghiệm
Bồi dỡng học sinh giỏi
về chu vi - diện tích hình tam giác

Ngời thực hiện:

Mai Thị Thao

Tổ bộ môn:
4+5
Đơn vị: Trờng tiểu học lê tất đắc
Hoằng Hóa Thanh Hóa

Hoằng Hóa, tháng 5 năm 2005

1


Phần I: mở đầu
I. Lý do chọn đề tài:

ở bậc tiểu học nhiệm vụ cơ bản của việc dạy - học toán là giúp học sinh nắm đợc
hệ thống kiến thức kỹ năng cơ bản cần thiết để vận dụng vào giải quyết các vấn đề toán
học trong thực tiễn. Đồng thời từng bớc, bồi dỡng rèn luyện các thao tác t duy, phát huy
năng lực trí tuệ của học sinh.
Trong đó việc dạy yếu tố hình học ở tiểu học nhằm mục đích: Làm cho học sinh
có những biểu tợng chính xác về một số hình học cơ bản và một số đại lợng hình học

thông dụng. Giúp các em tích lũy những hiểu biết cần thiết cho đời sống sinh hoạt và
học tập của các em.
ở lớp 5 kiến thức hình học đợc trình bày thành một chơng riêng gồm những nội
dung có tính chất khái quát, hệ thống cao hơn các lớp trớc. Một số dấu hiệu bản chất
nội dung hình học đã đợc thể hiện tờng minh nhng vẫn đợc rút ra từ các hoạt động thực
hành. Bớc đầu tập cho các em khái quát hớng trừu tợng hóa và suy luận.
Phơng pháp cơ bản để dạy kiến thức hình học ở lớp 5 là phơng pháp trực quan:
học sinh tiếp thu kiến thức hình học dựa trên những hình ảnh, quan sát trực tiếp, dựa
trên các hoạt động thực hành nh đo đạc, cắt, ghép hình. Đồng thời chú trọng phơng
pháp thực hành - luyện tập.
Thực tế giảng dạy cho thấy: Học sinh thờng lúng túng khi tiếp cận cái mới. Các
em đã quen với hình vuông, hình chữ nhật có hai kích thớc đơn giản. Khi học hình tam
giác với các yếu tố đỉnh, cạnh, góc, chiều cao, đáy..nhất là xác định đáy, chiều cao t ơng ứng, vẽ chiều cao nằm ngoài tam giác, phân biệt chiều cao với đoạn thẳng cùng hạ
từ đỉnh nhng không vuông góc với đáy. Đối với học sinh quả là rất khó nên ảnh hởng
đến tâm lý của học sinh là ngại t duy, ngại khó dẫn đến khi là các bài tập nâng cao
trong nội dung bồi dỡng học sinh giỏi về chu vi - diện tích hình tam giác học sinh thờng lúng túng và không tìm ra cách giải hợp lý. Các em không biết phân tích và sử
dụng các điều kiện đã cho của bài toán hoặc các nhầm lẫm trong cách làm và cách trình
bày. Và còn có một số khi gặp bài toán về chu vi - diện tích tam giác các em rất ngại lời
t duy.
Là ngời giáo viên trực tiếp giảng dạy. Trớc thực trạng đó tôi luôn trăn trở, suy
nghĩ và mạnh dạn vừa áp dụng vừa rút kinh nghiệm một số biện pháp bồi dỡng học sinh
giỏi phần chu vi - diện tích hình tam giác cho học sinh lớp 5.
II. Mục đích nghiên cứu của đề tài:

1. Tìm hiểu thực trạng dạy - học phần chu vi - diện tích tam giác ở học sinh lớp 5.
2


2. Bổ sung một số kiến thức suy luận và cách giải các dạng toán về chu vi - diện tích
tam giác.

3. Kết quả của việc vận dụng kiến thức làm toán chu vi - diện tích tam giác ở lớp 5.
III. Đối tợng nghiên cứu và khách thể nghiên cứu:

- Dạng toán về chu vi - diện tích hình tam giác.
- 38 học sinh lớp 5A trờng tiểu học Lê Tất Đắc.
Phần II: Nội dung
I. Những kiến thức cần chú ý khi dạy hình tam giác.
- Ngay từ lớp 1 học sinh đã đợc tập nhận dạng hình tam giác một cách tổng thể
các vật chất, mô hình, hình thể. Lớp 2 học sinh bắt đầu nhận dạng hình tam giác bằng
đếm nhẩm số hình, cạnh của hình, tính chu vi tam giác. Lớp 3 học sinh đợc làm quen
với các yếu tố đỉnh, cạnh góc của hình tam giác.
Lên lớp 5 để chuẩn bị cho việc học diện tích tam giác, các em đợc biết một số
yếu tố của tam giác là chiều cao, đáy, học sinh nhận diện tam giác
Khi dạy chu vi - diện tích hình tam giác giáo viên cần chú ý phơng pháp, cách thức tổ
chức dạy học, nội dung kiến thức cung cấp cho học sinh.
- Dạy học trên cơ sở tổ chức và phơng hớng dẫn các hoạt động học tập tích cực
chủ động, sáng tạo của học sinh là định hớng chung của phơng pháp dạy học toán hiện
nay. Mặt khác cần khai thác tính đặc trng của việc hình thành khám phá kiến thức về
nội dung yếu tố hình học.
- Cần phát huy tính độc lập sáng tạo của học sinh.
- Giáo viên cần sáng tạo các bài tập khác phù hợp với đối tợng học sinh của lớp
mình nhằm gây đợc hứng thú học tập.
1. Cách thức tổ chức dạy - học:
- Cần quan tâm đến việc tổ chức các hoạt động thực hành.
- Tăng cờng so sánh, đối chiếu để hệ thống hóa các quy tắc và công thức tính
toán, giúp học sinh hiểu, phân biệt, nhớ lâu.
- Lu ý đúng mức đến việc nâng cao năng lực t duy cho học sinh. Coi trọng việc
làm rõ mối quan hệ giữa các công thức toán.
Ví dụ 1:
Trong việc dạy bài Hình tam giác giáo viên cần lu ý giúp học sinh:

3


Nắm vững đặc điểm về đỉnh, cạnh, góc của hình tam giác. Nhận dạng hình tam
giác theo các loại góc. Hình tam giác có 3 góc nhọn, hình tam giác có 1 góc vuông và 2
góc nhọn (gọi tắt là tam giác vuông), hình tam giác có 1 góc tù và 2 góc nhọn. Yêu cầu
học sinh vẽ đợc từng loại hình tam giác (giáo viên không nên đa khái niệm tam giác,
tam giác đều, tránh quá tải về thật ngữ cho học sinh)
- Giáo viên mô tả chiều cao của tam giác một cách chính xác Đoạn thẳng vuông
góc với đáy, kẻ từ đỉnh đối diện gọi là chiều cao. Hớng dẫn cách vẽ chiều cao bằng ê
ke.
- Cho học sinh phát hiện: Tam giác có 3 đáy, suy ra một hình tam giác có thể có
3 chiều cao.
Học sinh làm bài tập trong phiếu bài tập.
- vẽ chiều cao ứng với các đáy của mỗi hình tam giác.
- Giải thích vì sao các đờng vẽ đó lại là chiều cao của tam giác.
M
D
A

B

C

E

G

N

P

Khi học sinh vẽ chiều cao của tam giác bằng ê ke giáo viên cần quan tâm đến các
trờng hợp đáy nằm xiên hoặc thẳng đứng dể tránh gây biểu tợng sai cho học sinh (đáy
chỉ nằm ngang).
Ví dụ 2: Chu vi tam giác (học sinh đợc học lớp 2) cùng với chu vi hình tứ giác.
Đến lớp 5, giáo viên cần lu ý cung cấp kiến thức chu vi tam giác thông qua hệ thống
bài tập từ dễ đến khó để học sinh khắc sâu:
Tổng độ dài các cạnh của hình tam giác là chu vi của hình tam giác đó. Gọi P là
chu vi, a, b, c lần lợt là các cạnh của tam giác: Ta có:
P = a + b + c.
Ví dụ3:
Khi dạy Diện tích hình tam giác, giáo viên cần lu ý:
Cho học sinh thực hành cắt ghép hình
để học sinh hiểu rõ việc xây dựng cách
tính diện tích hình tam giác dựa trên
cách tính diện tích hình chữ nhật.
4


Học sinh tự tìm ra cách tính diện tích hình tam giác và chứng minh trên hình vẽ.
Công thức tính diện tích hình tam giác: S =

a.h
2

(S: diện tích, a : độ dài, h: chiều cao)
Giáo viên tổ chức hoạt động để học sinh tìm ra cách tính diện tích hình tam giác
Tính 2 cạnh góc vuông chia cho 2. Vì hình tam giác vuông là trờng hợp đặc biệt của

hình tam giác có đáy là cạnh góc vuông này và chiều cao là cạnh góc vuông kia.
Học sinh tự suy luận để tìm ra công thức tính đáy (hoặc chiều cao) của một hình
tam giác theo diện tích và chiều cao (hoặc đáy) của tam giác đó.
S==

a.h
=>
2

a=

S .2
;
h

h=

S .2
a

Cho học sinh phân biệt các công thức trên:
Củng cố, khắc sâu qua bài tập 4,5 trang 126 (sách giáo khoa) và bài tập sách luyện
giải toán 5 - tuần 18.
2. Tập cho học sinh tự giải thích:
Đồng thời với các việc làm thêm, giáo viên cần lu ý: Tập cho học sinh thói quen
đặt câu hỏi Tại sao và tự suy nghĩ để trả lời các câu hỏi đó. Chẳng hạn, khi dạy về
một qui tắc, hình thành một công thức hoặc hớng dẫn học sinh giải một bài toán, tùy
vào tình huống cụ thể mà giáo viên có thể đặt ra câu hỏi: Tại sao lại làm nh vậy? Có
cách nào khác không? Ai có cách hay hơn? Tại sao đúng? Tại sao sai?.v.v
Các câu hỏi đó nhắc nhở, thôi thúc các em tìm đến các căn cứ, các cơ sở để giải

thích. Từ thói quen trong suy nghĩ, ta hình thành và rèn luyện thói quen đó trong diễn
đạt và trình bày.
Ví dụ1: Phần bài tập đã nêu khi dạy bài Hình tam giác.
Ví dụ 2: Sau khi hình thành cách tính diện tích hình tam giác, giáo viên nêu câu
hỏi: vì sao diện tích hình tam giác bằng đáy nhân chiều cao chia 2 (cùng một đơn vị
đo)?.
Học sinh dựa vào cách tính diện tích hình chữ nhật và cách cắt ghép hình để giải
thích.
Ví dụ 3: (Bài tập 5, trang 131 sách giáo khoa Toán 5)
E
A
Cho hình thang vuông ABCD có đáy bé
B
bằng 10 cm, bằng chiều cao và bằng nửa
đáy lớn. Ngời ta mở rộng hình thang
thành hình chữ nhật (nh hình vẽ).
a) Tính diện tích hình thang vuông ABCD.

D

H

C

5


b) Tính diện tích phần mở rộng.
Đối với câu b, giáo viên cho học sinh giải theo nhiều cách khác nhau nh sau:
Cách 1: - Tính độ dài BE và EC.

- Tính diện tích tam giác vuông BEC.
Cách 2: - Tính diện tích hình chữ nhật AECD.
- Diện tích tam giác BEC.
SBEC = SAECD - SABCD
Cách 3:
- Chứng tỏ: SBEC = SBHC = SBHD = SBDA
SBEC = SABCD : 3
Cách 4: Tính diện tích hình vuông BECD.
SBEC = x

1
SBECH
2

Qua các ví dụ trên ta thấy: Nếu ta không khai thác những hiểu biết của các em,
khai thác cách giải khác nhau thì ta đã bỏ qua cơ hội phát triển t duy cho học sinh, tập
cho học sinh thói quen tiếp cận các bài toán từ các góc độ khác nhau để tìm ra cách giải
hay nhất. Khi dạy học, giáo viên phải luôn tận dụng đợc các cơ hội, luôn đặt ra yêu cầu,
nhiệm vụ thì đa số học sinh sẽ không có cảm giác xa lạ với những bài toán khó của đề
thi học sinh giỏi cấp tỉnh hàng năm, rèn cho các em kỹ năng để tiếp cận các bài toán
nâng cao một cách thuận lợi.
II. Bồi dỡng học sinh giỏi dạng toán chu vi - diện tích hình tam giác:

Chu vi- Diện tích hình tam giác là một nội dung quan trọng trong nội dung bồi dỡng học sinh giỏi môn Toán lớp 5 bao gồm nhiều dạng bài đòi hỏi học sinh phải nắm
chắc kiến thức cơ bản và vận dụng linh hoạt vào từng dạng bài, từng bài cụ thể.
1. Các dạng bài tập về chu vi.
1.1. Tính chu vi hình tam giác.
1.2. So sánh chu vi tam giác.
1.3. Tính độ dài đoạn thẳng hoặc so sánh độ dài đoạn thẳng.
2. Các dạng bài toán về diện tích hình tam giác.

2.1. Chi hình.
2.2. Tính diện tích hình tam giác.
2.3. So sánh diện tích hình tam giác.
2.4. Tính hoặc so sánh độ dài đoạn thẳng.
6


3. Một số biện pháp nâng cao chất l ợng bồi dỡng học sinh giỏi về diện tích hình
tam giác:
3.1. Sắp xếp nội dung bài tập phù hợp với nhận thức của học sinh.
Để làm tốt các dạng toán về chu vi, diện tích, vốn kiến thức của học sinh không có
gì ngoài công thức tính chu vi và diện tích hình tam giác. Quan trọng là các em sử dụng
công thức một cách linh hoạt với những suy luận có cơ sở để giải quyết yêu cầu của
từng bài toán.
Ban đầu học sinh rất lúng túng trong việc xác định cách làm, các em không biết
bắt đầu từ đâu, giải thích, trình bày nh thế nào các em không biết cách phân tích các dữ
kiện của đề bài phục vụ cho các bớc giải. Chính vì thế, giáo viên cần cho các em là
quên những dạng thật đơn giản và rèn cách trình bày rõ ràng, chặt chẽ để làm cơ sở cho
việc nâng dần mức độ khó.
Ví dụ: - So sánh diện tích các tam giác biết quan hệ cảu đáy và chiều cao.
- Suy luận đơn giản để tính diện tích tam giác.
3.2. Diễn đạt đề bài trên hình vẽ và tóm tắt đề thành 2 phần: Cho biết yêu cầu:
Giáo viên tập cho học sinh thói quen đọc kỹ đề, tóm tắt đề rõ ràng. Sau đó dựa vào
các dữ kiện đã cho trong đề bài để vẽ hình một cách chính xác. Diễn đạt cụ thể từng dữ
kiện của đề bài trên hình vẽ một cách tối đa (có thể). Từ đó dựa vào hình vẽ và tóm tắt
đề để phân tích, xác định hớng làm, giải quyết yêu cầu của đề bài.
Ví dụ:
Cho tam giác abc, điểm M trên cạnh BC sao cho BC = 5. BM, điểm N trên cạnh
AC sao cho AN = 3/4 AC. Điểm P trên đoạn thẳng MN sao cho MP = 1/3 MN. Em hãy
so sánh diện tích của hai tam giác ABM và AMP.

A
Các bớc làm: Tóm tắt đề.
Cho biết
ABC; BC = 5. BM; AN = 3/4 AC
N
MP = 1/3. NM
B
C
P
Yêu cầu
So sánh SABM và SAMP
M
- Vẽ hình: Diễn đạt các dữ kiện trên hình vẽ.
- Phân tích, xác định hớng làm.
Qua hình vẽ ta thấy: Để sao sánh S AMP và SABM ta không thể so sánh trực tiếp với
nhau mà phải chọn tam giác trung gian.
7


Đặt ra cho ta 2 phơng án.
PA1: Cùng so sánh diện tích 2 với SABC
PA2: Cùng so sánh diện tích 2 với SAMC
Tất nhiên, ta sẽ lựa chọn PA2vì bài làm ngắn gọn hơn (ít bớc giải).
- Tiến hành làm bài: Thực hiện các bớc chứng minh.
A
Giải:
1
. MC
4
1

1
=> Samb = . SAMC (1) (vì đáy BM = . NC
4
4

Ta có: Bc = 5 . MB => BM =

N
B

và chung chiều cao hạ từ đỉnh A).
Ta lại có: AAMP =

P

C

M

1
3
. SAMN (Vì đáy MP = . MN
3
4

và chung chiều cao hạ từ đỉnh A).

3
3
. SAMC (Vì AN = . AC và chung chiều cao hạ từ đỉnh M.

3
4
1 3
=> SAMP = . . SAMC
3 4
1
= . SAMC (2)
4

Mà: SANM =

Từ (1) và (2) ta có:
SAMB = SAMP
* Lu ý học sinh vẽ hình chính xác và tránh phỏng đoán kết quả qua hình vẽ vì các
em hay gò các giải hoặc suy luận vô căn cứ để chứng minh cho điều phỏng đoán.
3.3. Cung cấp kiến thức cơ bản và phơng pháp vận dụng khi làm toán về chu vi - diện
tích hình tam giác.
1. Hình tam giác có 3 cạnh, 3 đỉnh. Đỉnh là điểm hai cạnh tiếp giáp nhau. Cả 3
cạnh đều có thể lấy làm đáy của tam giác đó. Trong một tam giác ta có thể chọn bất kỳ
cạnh nào làm đáy.
2. Chiều cao của tam giác là đoạn thẳng hạ từ đỉnh xuống đáy và vuông góc với
đáy. Nh vậy mỗi tam giác có 3 chiều cao.
A
K

L
C

I

B

H

Lu ý cho học sinh:
- Khi vẽ chiều cao phải dùng ê-ke để vẽ.
8


- Chiều cao phải có ký hiệu góc vuông (ở chỗ giáp với đáy).
- Vẽ chính xác thì 3 chiều cao bao giờ cũng gặp nhau tại một điểm I.
- Tam giác có 3 góc nhọn thì cả 3 chiều cao đều nằm trong tam giác.
- Tam giác có góc vuông thì hai cạnh bên của góc vuông đều là đờng cao của
tam giác. Chiều cao hạ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh tơng ứng. Chiều cao này nằm
A
trong tam giác.
h

H

C

B

Đáy
- Tam giác có một góc tù thì một chiều cao nằm trong tam giác, hai chiều cao
còn lại nằm ngoài tam giác và chiều cao nằm trong tam giác kéo dài về phía đỉnh thì 3
chiều cao cũng gặp nhau tại một điểm chẳng hạn ở hình bên I là điểm ba chiều cao cắt
nhau.
A

Nh vậy khi vẽ 3 chiều cao của tam giác
chỉ cần vẽ 2 chiều cao chính xác. Chiều cao
H
thứ 3 sẽ đi qua giao điểm của hai chiều cao
mà không cần đo góc vuông nữa.
C
B
L
K

4. Các dạng tam giác:
4.1. Các tam giác đặc biệt:
a. Tam giác cân: Có số đo hai cạnh bằng nhau và khác với số đo cạnh thứ ba.
b. Tam giác đều: Cả ba cạnh đều có số đo cạnh bằng nhau.
c. Tam giác vuông: Có một góc vuông.
4.2. Tam giác thờng:
a. Tam giác có 3 góc nhọn.
b. Tam giác có góc tù.
a

b

c

a

c

b

c

a
b

9


Học sinh nắm vững các dạng tam giác trên có thuận lợi hết sức đặc biệt: các em
vận dụng nhanh vào tính chu vi tam giác, so sánh chu vi tam giác và có thể phát hiện
hai đoạn thẳng.
Công thức vận dụng tính chu vi tam giác.
Gọi I là chu vi, a,b, c là số đo của 3 cạnh tam giác.
P = a + b + c
P đều = a x 3
P cân = a x 2 + c
5. Quan hệ giữa cạnh đứng, chiều cao và diện tích hai tam giác.
+ Trong tam giác cân hai chiều cao hạ xuống hai cạnh bằng nhau thì bằng nhau.
- Trong tam giác đều thì cả ba chiều cao đều bằng nhau.
- Một số công thức thờng vận dụng trong các bài toán về tam giác.
Gọi S là diện tích, a là số đo một cạnh, h là số đo chiều cao ứng với cạnh đó
(cùng đơn vị đo).
+ S = a x h : 2 rút ra mối quan hệ đáy, chiều cao.
=> h = S x2 : a.
a = S x 2 : h.
- Hai tam giác có diện tích bằng nhau khi chúng có đáy bằng nhau hoặc chung
cạnh đáy (hoặc chung chiều cao).
* (Hai tam giác có cùng cạnh đáy thì diện tích và chiều cao là hai đại lợng tỉ lệ thuận).
- Hai tam giác có diện tích bằng nhau, đáy bằng nhau thì chiều cao của hai tam
giác ứng với hai cạnh bằng nhau đó cũng bằng nhau.

- Hai tam giác có diện tích bằng nhau, chiều cao bằng nhau thì hai đáy của tam
giác đó ứng với hai chiều cao bằng nhau cũng bằng nhau.
- Hai tam giác có diện tích bằng nhau khi: Đáy của tam giác P gấp đáy tam giác
Q bao nhiêu lần thì chiều cao của tam giác Q cũng gấp chiều cao của tam giác P bấy
nhiêu lần.
Tổng quát: Nếu: Đấy tam giác P = Chiều cao tam giác Q
Đáy tam giác Q Chiều cao tam giác P
Thì: Diện tích tam giác P bằng diện tích tam giác Q: (SP = SQ )
Nói cách khác: Hai tam giác P và Q có diện tích bằng nhau khi tỷ số chiều cao của hai
tam giác đó tỷ lệ nghịch với tỷ số hai đáy của chúng.
- Hai tam giác có S bằng nhau nếu chúng có một phần diện tích chung thì
các phần diện tích còn lại của chúng cũng bằng nhau.
10


A

D
1

2

1

C

B

Giáo viên giúp học sinh vận dụng làm các bài tập đơn giản để học sinh ghi nhớ
kiến thức một cách bền vững vì đây là đơn vị kiến thức học sinh sử dụng để làm tất cả

các dạng toán về chu vi diện tích hình tam giác. Rèn luyện cách suy luận lô gíc, chặt
chẽ, tờng minh.
Một số bài TOáN minh họa
I. Các bài toán về chu vi tam giác:

A

4cm

Bài toán 1: Tính tổng chu vi hai tam giác có trong hình bên:
6cm
Vận dụng công thức tính chu vi đã học
các em tính ngay đợc tổng chu vi hai tam giác.
PABH + PAHC = (6 + 5 + 5) + (5 + 2 + 4)
C
B
2cm H 5cm
=
16
+
11
= 27 (cm)
Nhng để gây hứng thú, phát triển đợc trí thông minh, sáng tạo trong học sinh.
Giáo viên dạy đối tợng họ sinh giỏi phải đa bài toán có hớng phát triển dần dần khó
hơn:
Bài toán 2: Một đờng gấp khúc có ba đoạn. Đoạn thứ nhất dài 12 cm, và bằng trung
bình cộng số đo độ dài của hai cạnh còn lại. Nếu khép kín đờng gấp khúc đó thành một
tam giác thì chu vi tam giác đó là bao nhiêu?
Giải:
Chu vi tam giác do đờng gấp khúc khép kín tạo thành bằng tổng độ dài ba đoạn

thẳng của đờng gấp khúc đó.
Độ dài của 2 đoạn còn lại
12 x 2 = 24 (cm)
Chu vi tam giác là:
24 + 12 = 36 (cm)
Đáp số: 36 cm.
- Học sinh đã tính thành thạo chu vi tam giác các em có thể dựa trên cơ sở tính
chu vi để tìm độ dài đoạn thẳng.
11


Bài toán 3:
Một miếng bìa hình tam giác có chu vi là 120 cm. Bạn An cắt miếng bìa đó theo
một đờng thẳng qua một đỉnh là 168 cm. Em hãy tính độ dài đoạn vết cắt trên miếng
bìa đó?
Giải:
A
Giả sử có miếng bìa hình tam giác
ABC với vết cắt là AD. Xét tổng chu vi
hai tam giác ABC và ACD:
(AB+BD+DC)+AC+AD x 2
B
C
D
= (AB+BC+AC)+AD x 2
= ABC + AD x 2
Nh vậy tổng chu vi hai tam giác ABD và ADC hơn chu vi tam giác ABC là 2 lần
đoạn thẳng AD.
Vậy đoạn thẳng AD là:
(168 - 120) : 2 = 24 (cm)

Đáp án : 24cm
* Tùy vào đối tợng học sinh giáo viên đa bài toán về dạng phức tạp hơn.
- Dạng so sánh chu vi hai tam giác.
Bài toán 4: Cho hình bên với tam giác ABD có cạnh AD bằng cạnh BD. Tam giác ACE
có cạnh AE bằng cạnh CE. O là điểm ở chính giữa cạnh BC.
a) So sánh chu vi tam giác ADO với chu vi tam giác ADE.
b) Tính chu vi tam giác ADE, biết BC = 90cm.
Giải:
Chu vi tam giác AOD là:
P AOD = AO + AD + DO
= AO + BD + DO
= AO + BD + DO (vì AD = BD)
= AOP + BO (1)
Chu vi tam giác ADE là:
P AOE = AO + OE + EA
= AO + OE + EA (vì AE = EC)
= AO + OC (2)
So sánh (1) và (2) với BO = OC, ta thấy chu vi tam giác AOD bằng chu vi tam
giác AOE.
12


b. Chu vi tam giác ADE là:
P ADE = AD + DE + AE
= BD + DE + EC (vì AD = BD và AE = EC)
= CB = 90 (cm)
Đáp số: a) PAOD = P AOE
b) P ADE = 90cm
II. Các bài toán về diện tích hình tam giác.

1. Các bớc làm một bài toán chia hình.
Bớc 1: Vẽ hình (dựng hình)
Bớc 2: Nêu cách vẽ đoạn thẳng, chia hình (cách dựng)
Bớc 3: Giải thích (chứng minh)
Ví dụ:
Cho tam giác ABC, với đoạn thẳng, hãy chia tam giác đó thành 2 tam giác có
diện tích gấp 3 nhau:
A
Giải
Trên cạnh BC ta lấy điểm E sao cho
BE = 3. EC
Nối A với E ta có
B
SABE = 3. SAEC ( Vì đáy BE = 3. EC
C
E
và chung chiều cao hạ từ đỉnh A)
Vậy AE chia tam giác ABC thành 2 tám giác ABE và AEC có diện tích gấp 3
nhau.
2. Một số cách để tính diện tích tam giác theo dữ kiện của đề bài.
a.h
- Tính trực tiếp diện tam giác dựa vào công thức: S =
2
- Nếu không tính trực tiếp diện tích tam giác ta có thể làm theo các cách sau:
+ So sánh diện tích tam giác cần tính với diện tích tam giác đã biết diện tích rồi
tính (VD1).
+ Chia tam giác đó thành các hình dễ tính diện tích hơn. Tính diện các hình đó
rồi cộng lại (VD2).
+ Bổ sung vào hình đó một số hình dễ tính diện tích để đợc hình mới dễ tính hơn
rồi lấy diện tích hình mới trừ đi diện tích hình đã bổ sung (VD3).

Khi đa ra các cách tính này, giáo viên nên đi từ ví dụ cụ thể rồi rút ra cách làm.
Dạy cho học sinh cách vận dụng vào các dạng bài khác nhau một cách linh hoạt. Tùy
13


từng bài để chọn cách làm phù hợp.
Ví dụ 1: Cho ABC có diện tích 36m2, M, N lần lợt là điểm chính giữa các cạnh AB,
AC. Nối NM, tính diện tích tam giác AMN.
- Nối B với N ta có:
SABN =

1
1
x SABC (Vì AN = NC)
2
2

N

M

Và chung chiều cao hạ từ đỉnh B)
Đồng thời ta có: SAMN =

1
x SANBC
2

B

C

1
AB và chung chiều cao hạ từ đỉnh N).
2
1
1
=> SAMN = x
x SABC
2
2
1
=
x SABC
4
1
SAMN = x 36 = 9 (cm2)
4

(Vì AM =

Đáp số: SAMN = 9 cm2
Ví dụ 2: Cho ABC có MN {{ BC và AM = 1/2 x MB (nh hình vẽ). Hãy tính diện tích
A
ABN biết SMNC = 16 cm2
M
B

N
C

Giải
- Vì MN {{ BC => MNBC là hình thang.
- Ta có: SBMN = SCMN ( Vì chung đáy MN và chiều cao đều bằng chiều cao của
hình thang).
=> S BMN = 16cm2
- SAMN = 1/2 SANB (Vì đáy AM = 1/2 x MB và chung chiều cao hạ từ đỉnh N)
=> SAMN = 1/2 x 16 = 8 (cm2).
Mà SANB = SBMN + SAMN
=> SANB = 16 + 8 = 24 cm2
Đáp số: 24 cm2
Ví dụ 3:
Cho hình thang vuông ABCD (xem hình vẽ) có
diện tích bằng 16 cm2. AB = 1/3 x CD kéo dài DA
14


A

B

và CB cắt nhau tại M. Tính diện tích tam giác MAB.
( Đề thi HSG tình Bà Rịa - Vũng Tàu năm 2001).

Giải
- Nối B với D nối A với C ta có:
SBAD = 1/3 SCAD ( Vì chung đáy AD
và chiều cao AB = 1/3 CD).
Mà SBAD = SCAB (Vì chung đáy AB và
chiều cao đều = chiều cao của hình thang).

1
x SABCD
4
1
= x 16 = 4 (cm2)
4

Suy ra: SBAD =

C

D

M

B

A

D

C

SBDC = 16 - 4 = 12 (cm2)
1

SBDM

= 3

Suy ra: SBDM
=> SBDM =

=

1

SCBM (Vì chung đáy MD và chiều cao BA = 3 CD)
1
S
2 BDC

1
x 12 = 6 (cm2)
2

Vì SMAB = SBDM - SBAD
Nên SMAD = 6 - 4 = 2 (cm2)
Đáp số: SAMB = 2 cm2
3. Vận dụng kết quả bài toán để làm những bài phức tạp hơn.
Trong quá trình dạy học: giáo viên nên hớng cho học sinh hiểu kỹ cách làm từng
bài để từ đó chủ động khai thác, tìm tòi, suy nghĩ, vận dụng nó để giải một số bài toán
khác.
Thực tế cho thấy: Khi ta rèn cho học sinh thói quen vận dụng cách làm của bài
toán thì học sinh dễ dàng định hớng ngay đợc cách làm bài khác (Nếu có thể vận dụng
đợc).
Bài toán:
A
B
Cho hình thang ABCD, AC cắt DB tại O

(nh hình vẽ). Hãy chứng tỏ rằng:
O
a) SABD = SABC
SCDB = SCDA
D
A
15


b) SAOD = SBOC
Giải
a) Ta có:
- SABD = SABC (Vì chung đáy AB và chiều cao đều bằng chiều cao của hình thang).
- SCDB = SCDA (Vì chung đáy CD và chiều cao đều bằng chiều cao của hình thang).
Vì SABD = SABC nên ta có: SBOC + S AOB
Suy ra: SAOD = SBOC (Cùng bớt cả 2 vế đi SAOB)
Chúng ta có thể vận dụng cách làm bài toán trên để định hớng và giải bài toán
sau:
Ví dụ 1:
Cho hình tam giác ABC có điểm N là điểm chính giữa cạnh AC. Trên hình đã có
hình thang BMNE. Nối B với N, E với M, hai đoạn này cắt nhau tại O.
So sánh diện tích tam giác EMC và tứ giác AEMB
A
Giải
Ta có:
E
SEMN = SBMN (Vì chung đáy MN và chiều cao
N
O
đều bằng chiều cao của hình thang).

Suy ra: SEON + SMON = SBOM + SMON
B
C
M
=> SEON = SBOM (Cùng bớt cả 2 vế đi SMON) (1)
Ta lại có: SABN = SBNC (Vì đáy AN = NC và chung chiều cao hạ từ đỉnh B)
=> SABOE + SEON = SMONC + SBOM (2)
Từ (1) và (2) ta có:
=> SABOE + SBOM= SMONC + SEON
=> SAEMB = SEMC
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB có một điểm E, EAđờng thẳng chia tam giác ABC thành 2 phần có diện tích bằng nhau.
Giải
- Vì MB của tam giác ABC.
A
Cách 1:
E
Gọi N là điểm chính giữa cạnh AB.
N
O
Nối CE, CN. Từ N kẻ đờng thẳng song song
với EC cắt BC tại M.
B
C
16


Ta có: Tứ giác NMCE là hình thang (Vì AN = AB và chung chiều cao hạ từ đỉnh
C).

=> SAEOC + SEON = SBNOM + SMOC (2)
Từ (1) và (2) ta có: SAEOC + SMOC = SBNOM + SEON
=> S ACME= SBME (1)
Vậy EM là đờng thẳng cần kẻ.
A
Cách 2:
E
(Nh hình vẽ)
O
- AD {{ EC
- SAOE =SCOD
D
=> SABC = SEBD (1)
B
N C
- BN = ND
=> SEBN = 1/2 x SEBD = 1/2 x SABC
EN là đờng thẳng cần vẽ.
Ta thấy: ví dụ 2 là một bài tập khó đối học sinh. Tuy nhiên, nếu các em đã đợc
làm ví dụ 1 thì các em sẽ định hớng ngay đợc cách làm ví dục 2 (nhất là làm theo cách
1) và các em sẽ biết trình bày bài làm rõ ràng, chặt chẽ. Hầu hết các bài toán về diện
tích hình tam giác đều có một mối liên quan với nhau. Vì thế, khi dạy học sinh không
những giáo viên dạy cách làm bài đó mà còn dạy cách suy nghĩ, vận dụng linh hoạt để
làm các bài toán khác ở từng mức độ khác nhau.
Nh bài toán đã nêu ngoài việc làm việc để làm VD1, VD2 chúng ta còn có thể
vận dụng để làm rất nhiều bài toán khác mà trong quá trình dạy học các bạn sẽ kiểm
nghiệm đợc (vận dụng bài toán làm VD3)
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC, trên đáy BC lấy hai điểm M và P, trên AC lấy hai điểm N
và Q sao cho MN{{ QC, nối MQ, NP (nh hình vẽ)
A

N
a) So sánh diện tích tam giác NPC với diện
Q
tích tam giác MQC.
b) Chứng tỏ diện tích tứ giác AQMB và diện
B
C
M
P
tích t giác ANPB bằng nhau.
- Ngoài việc vận dụng một bài toán, giáo viên còn hớng dẫn học sinh chủ động
linh hoạt vận dụng kết hợp ha, ba bài toán đã học để giải quyết những bài tập với
A
mức độ khó hơn.
Bài toán 1: Cho tam giác ABC có điểm M,
M
N
N lần lợt là điểm chính giữa các cạnh AB, AC.
B

C

17


A
Nối MN so sánh SAMN với SABC
Bài toán 2:
M
N

Cho tam giác ABC có điểm M, N
lần lợt là điểm chính giữa cạnh AB, AC E
là điểm bất kỳ trên cạnh BC. So sánh
B
C
E
SAMEN với SABC (nh hình vẽ).
Trớc khi học sinh làm bài toán 2, giáo viên có thể cho các em làm bài toán t ơng
tự bài toán 2, song thay đổi dữ kiện E là chính giữa cạnh BC để giảm mức độ khó.
Học sinh vận dụng 2 bài toán trên để làm bài toán 3 một cách dễ dàng, mặ dù bài
toán 3 là bài toán khó.
A
Bài toán 3:
Cho tam giác ABC có M,N lần lợt là điểm
I
M
N
chính giữa các cạnh Ab, AC, E là một điểm
bất kỳ trên BC. Đoạn thẳng AE cắt đoạn thẳng
C
B
MN tại I (Hình vẽ) so sánh AI và IE.
E
Giải
1
1
x SAEB(Vì AM = x AB và chung chiều cao hạ từ đỉnh E).
2
2
1

1
= x SAEC (Vì AN = x AC và chung chiều cao hạ từ đỉnh E).
2
2

Ta có: SAEM =
Ta có: SAEN

=> SAEM + SAEN = 1/2 x SAEB + 1/2 x SAEC
=> SAMEN = 1/2 x (SAEB + SAEC)
=> SAMN + SMNE = 1/2 x SABC (1)
Mặt khác: SAMN = 1/2 x 1/2 x SABC
SAMN = 1/4 x SABC (2)
Từ (1) và (2) ta có: SAMN = SMNE
Suy ra các chiều cao hạ từ A và E xuống MN bằng nhau.
Do đó SAIM = SMIE (Do các chiều cao hạ từ A và E xuống MI bằng nhau và chung
đáy MI).
Suy ra: AI = IE ( Vì SAIM = SMIE và chung chiều cao hạ từ M xuống AE).
4. ứng dụng tỷ số trong giải toán diện tích hình tam giác:
Thực tế giảng dạy cho thấy để làm đợc các bài toán về hình tam giác, học sinh cần vận
dụng mối quan hệ tỷ số diện tích với tỷ số đáy và tỉ số chiều cao (Nh đã trình bày mục
2.3). Sau một thời gian làm quen, các em đã sử dụng mối quan hệ về tỷ số đó một cách
18


thành thạo, linh hoạt vào từng bài toán. Tuy nhiên các em chỉ quen với tỷ số ABC và
ABE có đáy BE = n/n x BC (n, m 0)
Và chung chiều cao hạ từ đỉnh A suy ra SABC =
A

n

n
x SABC
m

Còn việc sử dụng tỷ số B = m (n, m 0) thì ít bài cần vận dụng nên khi gặp
những bài vận dụng tỷ số thì các em hay đi đờng vòng cách làm dài, có khi dẫn đến bế
tắc. Chính vì thế khi dạy học sinh, giáo viên không đợc xem nhẹ mảng kiến thức này.
Cần đa ra hệ thống bài tập có lồng xen kẽ các cách ứng dụng tỷ số để học sinh
giải quyết.
Ví dụ 1: Cho ABC trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = 1/2 EC. Nối AE, M là điểm
bất kỳ trên AE. Hãy so sánh diện tích tam ABM và tam giác ACM.
Giải
Ta có: SMBE = 1/2 x SMCE ( Vì đáy BE = 1/2 x EC
A
và chung chiều cao hạ từ đỉnh M).
Đồng thời hai tam giác này có chung đáy EM suy ra
M
chiều cao hạ từ B và C xuống ME bằng nhau.
Suy ra: SABM = 1/3 xSAMC (Vì chung đáy AM và
B
C
E
chiều cao hạ từ B và C xuống AM bằng nhau).
A
B
Ví dụ 2:
4cm
Cho hình thang ABCD, AC cắt DB tại 0

O
2
(Nh hình vẽ). Biết diện tích AOB bằng 4cm
36cm
diện tích DOC bằng 36cm2. Tính diện tích
C
hình ABCD.
D
Giải
Ta có: SABD = SABC (Vì chung đáy AB và chiều cao đều bằng chiều cao hình
thang).
=> SAOD + SAOB = SCOB + SAOB
=> SAOD = SCOB (cùng bớt 2 vế đi SAOB)
Nếu gọi diện tích tam giác AOD là n (cm2) (n 0) thì SBOC = n (cm2)
Hai tam giác BOC và COD có chung chiều cao hạ từ C nên.
OB N
=
OD 36

(1)

Hai tam giác AOB và AOD có chung chiều cao hạ từ A nên:
OB 4
=
OD n

(2)
19

Từ (1) và (2) ta có:

n 4
=
36 n

Hay n : 36 = 4: n
=> n x n = 4 x 36
n x n = 12 x 12
=> n = 12 (cm2) hay SAOD = SBOC = 12 cm2
Vậy SABCD = 4 + 12 + 36 + 12 = 64 (cm2)
Đáp số: 64 cm2
5. Phơng pháp tính diện tích để phát hiện hai đoạn thẳng bằng nhau .
Ví dụ 1: Cho hình chữ nhật ABCD. Hai đờng chéo AC và BD cắt nhau tại I.
a) Hãy tìm các cặp tam giác có diện tích bằng nhau.
b) Hãy chứng tỏ rằng: Hai đờng chéo của hình chữ nhật cắt nhau tại điểm chính
giữa của mỗi đờng.
A
B
Giải
K
I
a) Bốn tam giác: ACD, BCD, ACB và
DAB có diện tích bằng nhau vì đều bằng AB x BC : 2
H
Ta có 6 cặp tam giác có diện tích bằng nhau là:
D
C
1. SACD = SBCD
4. SBCD = SCAB

2. S ACD= SCAB
5. SBCD = SDAB
3. SACD = SDAB
6. SCAB = SDAB
Từ A hạ AH vuông góc với BD. Từ C hạ CK vuông góc với BD. Hai tam giác
ABD và CBD có diện tích bằng nhau lại chung đáy BD nên AH = CK.
- AH còn là chiều cao của tam giác AID, CK còn là chiều cao của tam giác CID.
Hai tam giác AID và CID lại chung đáy ID nên diện tích của chúng bằng nhau. (1)
- Hai tam giác AID và BIC có diện tích bằng nhau vì chúng là phần còn lại của
hai tam giác có diện tích bằng nhau là: ACD và BCD khi cùng bớt đi tam giác ICD. (2)
- Tơng tự hai tam giác IAB và ICD cũng có diện tích bằng nhau. (3)
Từ (1), (2), (3) ta có 4 tam giác có diện tích bằng nhau là:
SAID = SDIC = SICB =SIBA. Từ đó, sẽ tìm đợc 6 cặp tam giác có diện tích bằng nhau.
Hai tam giác AID và ABI có diện tích bằng nhau lại chung chiều cao AH nên
đáy của chúng bằng nhau, tức là: DI = IB.
Vậy I là điểm chính giữa của AC.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có điểm chính giữa các cạnh AB và AC lần lợt là P và N.
Nối BN và CP cắt nhau ở G. Nối AG kéo dài cắt BC ở điểm M. So sánh MB và MC.
20


Giải
Hai tam giác có chung chiều cao và có đáy
bằng nhau thì có cùng diện tích. Vậy:
SAGN = SGNC (1)
SAPG = SBGP (2)
1
Lại có: SABN = x SABC (Hai tam giác có chung
2
1

chiều cao hạ từ B và đáy AN = AC)
2
1
SACP = 2 x SABC (lý do tơng tự).

Vậy SABN = SACP

A
P

G

B

N

H
C
K

Cùng bớt SANGP ta có:

SGNC = SPBG (3)
Từ (1), (2), (3) ta có:
SANG = SCGN = SAPG = SBPG
Hay SAPG + SPBG = SANG + SGNC
SAG = SACG (4)
Hai tam giác ABG và ACG có chung đáy AG nên từ (4) ta có:
Chiều cao BH = GK.
Suy ra: SBMG = SCMG

Hai tam giác BMG và CMG có chung chiều cao hạ từ G nên ta có đáy BM = CM.
III. Một số điểm khác cần lu ý:

Ngoài những nội dung, phơng pháp đã trình bày ở trên, trong quá trình bồi dỡng
học sinh giỏi, giáo viên cần chú ý:
- Trong mỗi bài tập cần khắc sâu cho học sinh dạng bài, cách giải, cách trình bày
và hớng suy nghĩ để tìm ra cách giải. Đồng thời từ mỗi bài toán trên giáo viên tự ra
thêm bài tơng tự với mức độ dễ, khó khác nhau.
- Khuyến khích học sinh giải theo các cách khác nhau (nếu có thể) để phát huy
khả năng sáng tạo, t duy linh hoạt ở các em.
- Giáo viê cho học sinh làm quen với những bài phải vẽ thêm đoạn thẳng trong
hình để giải từ bài dễ đến bài khó. Hớng dẫn học sinh tùy vào từng bài để định hớng
cần vẽ thêm đoạn thẳng? để làm gì?.
- Kết hợp chặt chẽ, đan xen giữa dạy diện tích tam giác với các mảng kiến thức
khác nhau trong nội dung bồi dỡng.
21


- Việc chấm, chữa bài cụ thể, thờng xuyên của giáo viên có ý nghĩa quan trọng
đối với chất lợng học sinh giỏi. Giáo viên sẽ đánh giá đợc hiệu quả giảng dạy của mình
để có hớng điều chỉnh nội dung, phơng pháp dạy cho phù hợp. Đồng thời qua đó giáo
viên biết đợc mặt mạnh, mặt yếu của từng học sinh để có biện pháp phát huy mặt mạnh,
khắc phục mặt yếu, bổ sung lấp đầynhững lỗ hổng cho từng đối tợng học sinh.
Ngoài ra, giáo viên cho học sinh tự chấm bài của mình, của bạn để học sinh biết
khắc phục chỗ sai, học tập đợc cách làm hay, cách trình bày ngắn gọn của bạn.
- Khuyến khích học sinh hỏi ngay và nhờ cô giảng lại những vấn đề cha hiểu
ngay tại lớp.
- Trong quá trình dạy học bộ môn Toán, phần diện tích tam giác ở lớp 5, tôi đã
vận dụng một số nội dung, phơng pháp đã nêu và kết quả thu đợc cũng khá khả quan.
Ban đầu, học sinh rất ngại học diện tích tam giác, song càng học các em càng hứng thú.

Giờ học trên lớp, các em tham gia học soi nổi, tích cực, mạnh dạn trao đổi với cô
về nội dung, cách giải từng bài toán hay để làm, thử giải nhiều cách khác nhau và nhờ
cô kiểm tra. Các em trở nên ham học và thể hiện sự tiến bộ rõ rệt.
Sau một năm học tôi khảo sát lại chất lợng học sinh:
- Kết qủa 100% học sinh đều làm tốt các dạng bài toán về chu vi diện tích hình
tam giác.
Hầu hết học sinh của lớp có hứng thú học tập và làm các bài toán về chu vi - diện
tích hình tam giác.
Phần iii. Kết luận
Dạy học các yếu tố hình học nói chung và dạy học chu vi - diện tích hình tam
giác nói riêng, giáo viên cần tổ chức để học sinh tích cực hoạt động. Các em chủ động
phát hiện và nắm vững kiến thức. Thông qua đó hình thành và phát triển kỹ năng, trí tởng tợng không gian cho trẻ.
Để đạt đợc hiệu quả cao trong bồi dỡng học sinh giỏi phần chi vi - diện tích hình
tam giác, ngoài việc sử dụng phơng pháp cơ bản là trực quan và luyện tập, thực hành.
Tôi đã áp dụng một số biện pháp nh sau:
22


- Tổ chức hoạt động để học sinh hiểu rõ, hiểu sâu và nắm vững từng yếu tố, từng
dạng bài ngay từ đầu.
- Lựa chọn, sắp xếp hệ thống bài tập phù hợp với nhận thức của học sinh và theo
mức độ từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp. Dạy kỹ các dạng dơn giản, tùy vào
mức độ nắm bài của học sinh để nâng dần độ khó.
- Tập cho học sinh tự giải thích, chứng minh và tiếp cận bài toán từ nhiều góc độ.
Hình thành năng lực tiền chứng minh cho học sinh.
- Bổ sung một số kiến thức cơ bản đợc suy luận từ công thức tính chu vi - diện
tích hình tam giác và cách giải toán về chu vi - diện tích hình tam giác nh:
+ Quan hệ giữa đáy, chiều cao và diện tích của tam giác.
+ Các bớc làm một bài toán chia hình.
+ Các cách để tính chu vi - diện tích hình tam giác tùy theo dữ kiện từng bài.

+ Vận dụng kết quả bài toán này để làm bài toán khó hơn.
+ Cách vận dụng tỷ số trong giải toán diện tích hình tam giác.
- Khắc sâu phơng pháp giải và cách trình bày bài đúng, đầy đủ, chặt chẽ, tờng
minh, ngắn gọn và dễ hiểu nhất ở mỗi dạng bài. Tránh nhầm lẫn dữ kiện, thiếu sót
trong khi làm bài.
- Đối với giáo viên cần thờng xuyên chấm chữa bài, kết hợp cho học sinh tự kiểm
tra, nhận xét bài của mình, của bạn sau đó giáo viên kiểm tra lại, kịp thời khen ngợi
cũng nh tìm ra sai sót của học sinh. Có nh vậy mới tạo ra hứng thú và niềm tin cho các
em.
- Đặc biệt để bài dạy đạt đợc kết quả cao nhất. Trớc hết ngời giáo viên phải nắm
đợc phơng pháp chung của dạy toán bậc tiểu học nói chung phần chu vi - diện tích hình
tam giác nói riêng. Làm cho học sinh biết phân tích, tổng hợp, độc lập t duy tìm ra cách
giải và lựa chọn cách giải hay nhất. Đồng thời giúp học sinh có thói quen sử dụng công
thức và những kiến thức vận dụng để giải toán về chu vi - diện tích tam giác.
Mặt khác giáo viên phải luôn trau rồi không ngừng học hỏi, tìm tòi để có vốn
kiến thức vững vàng, phơng pháp dạy phù hợp với nội dung bài dạy, bổ sung các bài
toán hay, lý thú để các em có thể lĩnh hội một cách tốt nhất.
Phạm vi sáng kiến này của tôi mới đa ra cách giải sử dụng các kiến thức về yếu
tố hình học (Chu vi - diện tích hình tam giác). Tuy vậy tôi cha có khả năng trình bày
23


hết những suy nghĩ, những việc làm của mình, bài viết cha đề cập hết các khía cạnh nên
không tránh khỏi những điểm cha hợp lý.
Rất mong đợc sự đóng góp ý kiến của đồng nghiệp để chúng ta nâng cao chất lợng dạy và bồi dỡng học sinh giỏi bậc tiểu học hiện nay.
Tôi chân thành cảm ơn nhiều!
Hoằng Hóa, ngày 20 tháng 05 năm 2005
`

Ngời viết

Mai Thị Thao

24