Bài Giảng Xử Lý Ảnh Số - Hệ Thống Xử Lý Tín Hiệu Số 2 Chiều

Bài giảng Xử lý ảnh số

20

CHƯƠNG III

HỆ THỐNG XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ 2 CHIỀU
I. Một số tín hiệu 2 chiều cơ bản

I.1. Xung Dirac và xung đơn vị
a, Tín hiệu một chiều
• Xung

δ(t)

dirac cho tín hiệu một chiều

∞ ; t = 0
δ (t ) = 
0 ; t ≠ 0

t

0

Biểu diễn tín hiệu liên tục s(t) thông qua xung dirac:

∫ s(τ )δ (t − τ )dτ

∞

s (t ) =

δ(n)

−∞

•

Xung đơn vị, tác động tại thời điểm t=0
1 n = 0
δ ( n) = 
0 n ≠ 0

Biểu diễn tín hiệu rời rạc s(n), thông qua xung đơn vị 0

n

∑ s(k )δ (n − k )
∞

s ( n) =

k = −∞

δ(x,y)

b. Tín hiệu hai chiều
• Xung

• Xung

• Biểu

dirac cho tín hiệu 2 chiều

∞ x = 0, y = 0
δ ( x, y ) = 
 0 x ≠ 0, y ≠ 0

đơn vị cho tín hiệu 2 chiều

1 m = 0, n = 0
δ ( m, n ) = 
0 m ≠ 0, n ≠ 0

0
y

diễn một tín hiệu 2 chiều

∫ ∫ s(u, v)δ ( x − u, y − v)dudv

Dùng cho tín hiệu liên tục

∑ ∑ s (k , l )δ (m − k , n − l )

Dùng cho tín hiệu rời rạc

∞ ∞

s ( x, y ) =

−∞−∞

∞

s (m, n) =

∞

k = −∞l = −∞

GV. Mai Cường Thọ

x


Bài giảng Xử lý ảnh số

21

I.2 Tín hiệu đơn vị và bước nhảy đơn vị
a. Tín hiệu một chiều
• Tín hiệu đơn vị
1 t ≥ 0
u (t ) = 
0 t < 0

• Bước

1

0

t

nhảy đơn vị

1 n ≥ 0
u ( n) = 
0 n < 0

………
0

1 2 3 4

b. Tín hiệu 2 chiều
Với tín hiệu liên tục

Với tín hiệu rời rạc

u(x,y)

u(m,n)

1 x ≥ 0, y ≥ 0
u ( x, y ) = 
0 x < 0, y < 0

1 m ≥ 0, n ≥ 0
u ( m, n ) = 
0 m < 0, n < 0

x
x
y

y

II. Hệ thống xử lý tín hiệu 2 chiều
S(x,y)

Z(x,y)
T[…]

S(m,n)

Z(m,n)

Ta có:
S: Tác động
T: Toán tử của hệ thống
Z: Đáp ứng của hệ thống

GV. Mai Cường Thọ

z ( x, y ) = T [ S ( x, y )]
z (m, n) = T [ S (m, n)]

Bài giảng Xử lý ảnh số
• Hệ

22

thống tuyến tính (T là toán tử tuyến tính): Hệ thỏa mãn nguyên lý xếp chồng

và nguyên lý tỉ lệ.
T
T
nếu S1 ( x, y ) →
Z1 ( x, y ); S 2 ( x, y ) →
Z 2 ( x, y ) ,
T
thì với S ( x, y ) = aS1 ( x, y ) + bS 2 ( x, y ) →
a.Z1 ( x, y ) + b.Z 2 ( x, y )

- Nếu T là toán tử tuyến tính thì ta có

∫ ∫ S (u, v)δ ( x − u, y − v)dudv
∞ ∞

S ( x, y ) =

− ∞− ∞

Z ( x, y ) = T [ S ( x, y )] = T [ ∫ ∫ S (u, v )δ ( x − u , y − v)dudv] =

∫ ∫ S (u, v)T [δ ( x − u, y − v)]dudv

∞ ∞

∞ ∞

− ∞− ∞

− ∞− ∞

Nhớ lại

T [δ ( x − u, y − v)] = huv ( x, y ) : đáp ứng của hệ thống TTBB đối với tác động là xung

dirac tại tọa độ (u,v) - gọi là đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến. Ta thấy

rằng đáp ứng của hệ thống phụ thuộc vào thời điểm tác động nên rất khó xây dựng
hệ thống.
•

Với hệ thống tuyến tính bất biến dịch:
T [δ ( x, y )] = h( x, y )

T [δ ( x − u , y − v)] = h( x − u, y − v)

Ta có công thức tích chập (convolution)

∫ ∫ S (u, v)h( x − u, y − v)dudv
∞ ∞

Z ( x, y ) =

− ∞− ∞

Z ( x, y ) = S ( x, y ) ⊗ h( x, y )

Với tín hiệu rời rạc, ta có công thức tổng chập
Z (m, n) =

∑ ∑ S ( k , l ) h( m − k , n − l )
∞

∞

k = −∞ l = −∞

Z (m, n) = S (m, n) ⊗ h(m, n)

Ví dụ: Tính tổng chập sau:

x(m, n) = S (m, n) ⊗ h(m, n) với

n
S(m,n)

n
1

1

1

-1
m

GV. Mai Cường Thọ

2

3

1

4

h(m,n)
m


Bài giảng Xử lý ảnh số

23

x ( m, n ) = S ( m, n ) ⊗ h ( m, n ) = ∑ ∑ S ( k , l ) h ( m − k , n − l )
∞

∞

k = ∞ l = −∞

= ∑ ∑ S (k , l ) xh(m − k , n − l ) = ∑ S (0, l )h(m, n − l ) + ∑ S (1, l )h(m − 1, n − 1)

1

1

k = 0 l =0

1

1

l =0

l =0

= S (0,0)h(m, n) + S (0,1)h(m, n − 1) + S (1,0)h(m − 1, n) + S (1,1)h(m − 1, n − 1)

= h(m, n) + h(m, n − 1) − h(m − 1, n) + h(m − 1, n − 1)
n

n
3

2
h(m,n)

h(m,n-1)
1

4

n
3
4
0

2
1
0

m

h(m-1,n)

0 2 3
0 1 4

m

m
n

n
0 2 3
0 1 4
0 0 0

h(m-1,n-1)

x(m,n)

2 5 3
3 6 1
1 5 -4

m

m

MatLab: Lệnh: conv2(S,h)
2.3 Các tính chất của tổng chập
a. Tính giao hoán

S (m, n) ⊗ G (m, n) = G (m, n) ⊗ S (m, n)

∑ ∑ S (k , l )G(m − k , n − k ) =
∞

∞

k = −∞l = −∞

∑ ∑ G (k , l ) S (m − k , n − l )
∞

∞

k = −∞l = −∞

b. Tính kết hợp

S1(m, n) ⊗[S2(m, n) ⊗S3(m, n)] =[S1(m, n) ⊗S2(m, n)] ⊗S3(m, n) = S1(m, n) ⊗S2(m, n) ⊗S3(m,n)

Ghép nối nối tiếp 2 hệ thống tuyến tính bất biến có đáp ứng xung h1, h2
S(m,n)

h1(m,n)

V(m,n) h2(m,n)

G(m,n)

tương đương với:
S(m,n)

h1(m,n) ⊗ h2(m,n)

tương đương với

S(m,n)

GV. Mai Cường Thọ

h1(m,n)

h2(m,n)

G(m,n)

G(m,n)

Bài giảng Xử lý ảnh số

24

c. Tính chất phân phối với phép cộng

S1 (m, n) ⊗ [S 2 (m, n) + S 3 (m, n)] = S1 (m, n) ⊗ S 2 (m, n) + S1 (m, n) ⊗ S 3 (m, n)

Ghép nối song song 2 hệ thống tuyến tính bất biến có đáp ứng xung h1, h2
h1(m,n)

V1(m,n)

S(m,n)

G(m,n)

+
h2(m,n)

Tương đương với
S(m,n)

V2(m,n)

g(m,n)

h1(m,n) + h2(m,n)

Ví dụ:
Cho một hệ thống xử lý ảnh được thiết kế như hình vẽ, hãy xác định đáp ứng G(m,n)
của hệ thống.
h1(m ,n)

S(m,n)

+
h2(m ,n)

h3(m ,n)

Với
n

n
1

h1(m,n)

1
h2(m,n)

1

-1

1

j

j

1

m

m

n
h3(m,n)

n
1

j

-j

1

S(m,n)

1
m

Giải
Ta có

1

1
1
m

G (m, n) = S (m, n) ⊗ h(m, n) + S (m, n)[h2 (m, n) ⊗ h3 (m, n)]

= S (m, n) ⊗ [h1 (m, n) + h2 (m, n) ⊗ h3 (m, n)]

GV. Mai Cường Thọ

G(m,n)


Bài giảng Xử lý ảnh số

25

Tính riêng: h2(m,n)⊗h3(m,n)

h2 (m, n) ⊗ h3 (m, n) = ∑∑ h2 (k , l ) ⋅ h3 (m − k , n − l )
1

1

k = 0 l =0

= ∑ h2 (0, l )h3 (m, n − l ) + ∑ h2 (1, l )h3 (m − 1, n − l )
1

1

l =0

l =0

= h2 (0,0)h3 (m, n) + h2 (0,1)h3 (m, n − 1) + h2 (1,0)h3 (m − 1, n) + h2 (1,1)h3 (m − 1.n − 1)
= jh3 (m, n) + h3 (m, n − 1) + h3 (m − 1, n) + jh3 (m − 1, n − 1)

n

n
1
-j
0

h3(m,n-1)

j
1
0

h3(m-1,n)

n
0
0

j
1

1
-j

m

jh3(m-1,n-1)

0

j

0
0

1
0

m

-1
j
0
m

n
n
jh3(m,n)

j

-1

1

j

h2⊗h3

*

h (m,n)

1
0
1

m

2j -1
2j
2
0

1
m

h(m,n)=h1(m,n)+h*(m,n)
n
h(m,n)

1
1
2

2j -1
2j
3
-1

1
m

Kết quả cuối cùng của hệ thống ta có:
S (m, n) ⊗ h(m, n) =

∑ ∑ S ( k , l ) h( m − k , n − l )
∞

∞

k = −∞ l = −∞

Khai triển công thức trên với S(m,n) và H(m,n) ta sẽ thu được tín hiệu ra G(m,n).

GV. Mai Cường Thọ


Bài giảng Xử lý ảnh số

26

CHƯƠNG IV
CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ẢNH
Các phép biến đổi ảnh là cách tiếp cận thứ hai được áp dụng trong tín hiệu số

nói chung và trong xử lý ảnh nói riêng. Phép biến đổi (transform) là thuật ngữ dùng

để chỉ việc chuyển đổi sự biểu diễn của một đối tượng từ không gian này sang một
không gian khác, từ cách biểu diễn này sang cách biểu diễn khác, ví dụ phép biến
đổi Fourier, Z, Laplace. Nói chung mục đích của các phép biến đổi ở đây là cố gắng
phân tích để biểu diễn tín hiệu dưới dạng tổng có trọng số của các tín hiệu cơ bản,
đặc biệt mà ta có thể thấy rõ được tính chất của chúng.
- Nhớ lại phép biến đổi Fourier tín hiệu rời rạc một chiều:

∑ X (k ).e
∞

x( n) =

k = −∞

X (k ) =

1
N

jωkn

∑ x(n).e

∞

− jωkn

n = −∞

Ta có e jω = cos ω + j sin ω là một tín hiệu điều hòa phức cơ bản.
- Đối với ảnh số, ta có thể mô tả như sau:
S

a11

S11

+ a11

S12

+

…

+ aMN

Các Sij là các ảnh cơ sở, các aij là các hệ số phân tích
I. Phép biến đổi Unitar (Unitary Transform)
1. Ma trận trực giao và ma trận Unitar
• Cho A là một ma trận vuông
• A trực giao khi: A−1 = AT hay AAT = I
Trong đó A-1 là ma trận đảo của A.

AT là ma trận chuyển vị của A.

• Ma trận A được gọi là ma trận Unitar nếu:
A-1= A*T hay AA*T= I
A* là ma trận liên hợp của A

GV. Mai Cường Thọ

SMN


Bài giảng Xử lý ảnh số

27

Các phần tử của A* được xác định như sau với aik= x + jy thì a*ik = x – jy
(dạng số phức tổng quát).
Nhận xét :
Nếu các phần tử của ma trận A có giá trị là số thực thì
A trực giao ⇔ A unitar
Ví dụ 1

Xét xem ma trận A sau đây có phải là ma trận Unitar không
1 1 1
2 1 −1

A=

Giải :
T

A

Ta có

1 1 1
2 1 −1

=

T

AA =

,

11 1 1 1
1 2 0
=
=I
2 1 −1 1 −1 2 0 2

A trực giao ⇒ A Unitar
Ví dụ 2
Kiểm tra tính Unitar của ma trận sau
A=

2

j

−j

2

Nhận xét
T

A

−j

2

=

j

T

AA =

2

2
−j

j

2

2

j

−j
2

=

1 0
=I
0 2

j

2

Tuy nhiên
*

A

=

2
j

−j
2

,

*T

A

2

=

−j

j
2

, AA =
*T

2
−j

2 − j

j
2

=

3

2j 2

−2j 2

3

Vậy A không Unitar
Ví dụ 3
Xét ma trận
A=

1 1 j
,
2 j 1

GV. Mai Cường Thọ

T

A

=

1 1 j
1 1 j 1 j
1 0 2j
T
, AA =
=

≠I
2 j 1 j 1
2 2j 0
2 j 1

≠I


Bài giảng Xử lý ảnh số

28

Tuy nhiên ta lại có:
*T

=

A

1

1

2 − j

− j
1 2 0
*T
, AA =
=I

1
2 0 2

⇒ A là ma trận Unitar
ví dụ 4:
Xét tính Unitar của ma trận sau:
1

1

−1
3
−j
2
2
3
−1
3
1
+ j
2
2

1

A=

1

1

−1
3
+j
2
2
−1
3
−j
2
2

2. Phép biến đổi Unitar một chiều
Cho vector S = S(n) = (S(0), S(1), S(2),…S(N-1))T và ANxN là ma trận Unitar. Ta có
ảnh V của S qua phép biến đổi Unitar thuận.
→

hay v(k ) = ∑ a kn s (n)

→

N −1

V = AS

n =0

a
a
a

11

A=

Ví dụ:
T

S(n)= (S1, S2, S3) , ma trận unitar
Ta có

a a a
V = AS = a a a
a a a
→

→

11

12

13

21

22

23

31

32

33

S
×S
S

1
2
3

21
31

→

−1

A

GV. Mai Cường Thọ

→

→

V

Suy ra:

S=

12
22

32

a
a
a

13
23
33

a S a S +a S
= a S +a S +a S
a S +a S +a S
11

*T

A

+

1

12

2

13

3

21

1

22

2

23

3

31

1

32

2

33

3

Phép biến đổi Unitar ngược:
S=

a
a
a

→

V


Bài giảng Xử lý ảnh số

29

Hay ta có công thức:
s (n) = ∑ bnk v (k ) = ∑ akn v (k )

Trong đó:

N

N

k =1

k =1

*

k
*T

A

b b b
b b b
b b b

=

11

12

13

21

22

23

31

32

33

Kết luận: với hình ảnh cơ sở

*

n

a ∗ k là cột k của ma trân A*T, ta tách

ảnh cơ sở thông qua các hệ số của V

a

kn

= bnk

r
S thành các hình

r

hệ số phân tích

→

*→

*→

*→

S =a 0 v(0) + a1 v(1) + ... + a N −1V ( N − 1)

Các hinh ảnh cơ sở

3 Phép biến đổi Unitar 2 chiều
Cho ma trận Unitar ANxN , với ảnh s(m, n) ta có công thức biến đổi Unitar
của ảnh S như sau:
Cặp biến đổi Unitar 2 chiều:
V = ASAT (Xác định hệ số phân tích)
S= A*TVA* (Xác định ảnh cơ sở)

∑∑ A
N −1 N −1

Hay S=

*

k ,l

V (k , l ) , với

k =0 l =0

*

A

k ,l

*

*

A

k ,l

: là hình ảnh cơ sở

*T

= a k al

Trong đó :

GV. Mai Cường Thọ

a

*
k

và

a

*
l

là các cột thứ k và l của A*T


Bài giảng Xử lý ảnh số

30

Ví dụ: Cho ma trận Unitar A và ảnh S, hãy xác định các ảnh cơ sở của S qua phép

biến đổi

A=

1 1 1
2 1 −1

S=

và

1 2
3 4

Giải:
* Xác định hệ cơ sở:
6 1 1

11 1 1 2 1 1
1 4
1 10 − 2
=
=
V= ASA = 2 1 − 1 3 4 1 − 1 2 − 2 − 2 1 − 1 2 − 4 0
T

1 1 1
2 1 −1

*T

A =

* Xác định các
Ta có :

a

*

=
0

*

*

*T

*

*

*T

k ,l

= a0 a1 =
01

A

= ak

1 1
2 1

= a0 a0 =
00

A

*

*

A

*T

a

l

và

*

=
1

a

1
2 −1

1

11
11 1
1 1=
21
21 1

,

11
1 1 −1

,
1 −1 =
21
2 1 −1

*

*

*T

= a1 a 0 =
10

A
*

*

*T

= a1 a1 =
11

A

1
1 1
1 1
1 1=

2 −1
2 −1 −1

1 1
1 1 −1
1 −1 =
2 −1
2 −1 1

* Như vậy S có thể biểu diễn qua các hình ảnh cơ sở như sau:
S=

1 2 51 1
1
1
1 −1
1 1 −1
=
−
−
+0
3 4 21 1
−1 1
2 1 −1 −1 −1

Hình ảnh cơ sở

GV. Mai Cường Thọ

Bài giảng Xử lý ảnh số

31

Ví dụ 2:

Cho ma trận Unitar A và ảnh S, hãy xác định V và

*

A

k ,l

1 2
1 1 j
và S =
3 4
2 j 1

A=

Giải:
* V= ASAT =
* A*T=

1

* Tính

A

1

k ,l

*

*

*T

*

*

*T

*

*T

*

A

11

= a1 a1 =

1 − 3 + 5 j −1+ 5 j
3+5j
2 1+ 5 j

với

1

*

a

=
0

1

2 − j

và

*

=
1

a

1 −j
2 1

1 1
1 − j 1
− j 1=
2 − j
2 1 − j

= a1 a0 =
10

A

4+2j j 1

=

1 1
1 1 − j
1 −j =
2 − j
2 − j −1

= a0 a0 =

= a0 a1 =
01

A

*T

= a k al

*T

00

j

1
*

*

2+4j 1

− j

2 − j

*

*

A

1 1 j 1 2 1 j 1 1+ 3 j
=
2 j 1 3 4 j 1 2 3+ j

1 − j
1 − j −1
1 −j =
2 1
2 1 − j

1 − j
1 −1 − j
− j 1=
2 1
2 −j 1

II. Biến đổi Fourier

1. Biến đổi Fourier 1 chiều
Cho f(x) là hàm liên tục với biến thực x. Biến đổi Fourier của f(x) là ℑ { f ( x )} :
ℑ { f ( x )} = F(u) =

∫ f ( x) e

∞

− j 2πux

−∞

dx

Trong đó j= − 1
Cho F(u), f(x) có thể nhận được bằng cách biến đổi Fourier ngược (IFT):

ℑ-1 {F (u )} = f(x) =

GV. Mai Cường Thọ

∫ F (u ) e

∞

−∞

j 2πux

du


Bài giảng Xử lý ảnh số

32

Công thức trên là cặp biến đổi Fourier tồn tại nếu f(x) liên tục và có thể tích phân

được, và F(u) cũng có thể tích phân được. Trong thực tế các điều kiện trên luôn thoả
mãn.
Với f(x) là hàm thực, biến đổi Fourier của hàm thực nói chung là số phức:
F(u) = R(u) + j I(u)
Trong đó R(u) và I(u) là thành phần thực và thành phần ảo của F(u). Ta thường biểu
diễn dưới dạng hàm mũ
F(u)= F (u )

Trong đó:

e

jφ ( u )

 I (u ) 
F (u ) = R 2 (u ) + I 2 (u ) và φ (u ) = arg tan 

 R (u ) 

- F(u) được gọi là phổ biên độ Fourier của f(x), và φ (u ) gọi là góc pha.
- Biến u thường được gọi là biến tần số (phần biểu diễn hàm mũ) = e

− j 2πux

, theo công

thức Euler:
− j 2πux

e

= cos(2πux) – jsin(2πux)

Vậy ta có thể nói rằng, biến đổi Fourier tạo ra một cách biểu diễn khác của tín
hiệu dưới dạng tổng có trọng số các hàm sin và cosin (2 hàm trực giao)
f(x)

Ví dụ:
Ta có hàm f(x) như sau:

A
x
X

∫

∞

F(u) =

[e

−∞

=

A
j 2πu

j 2πux

− j 2πux

dx =

f ( x) e

− j 2πux

−e

∫ Ae
X

− j 2πux

]e

0

− jπux

=

dx =

−A
j 2πu

X

− j 2πux

0

]

−1

A
− jπux
sin(πux ) e
πu

Đó là một hàm phức, phổ Fourier: F (u ) =

GV. Mai Cường Thọ

[e− j2πux] = j−2πAux [e

A
sin( nux)
πu

− jπux

e

= Ax

sin(πux )
(πux )


Bài giảng Xử lý ảnh số

33

2. Biến đổi Fourier 2 chiều

Biến đổi Fourier có thể mở rộng cho hàm f(x, y) với 2 biến. Nếu f(x, y) là
hàm liên tục và tích phân được và F(u, v) cũng tích phân được, thì cặp biến đổi
Fourier 2 chiều sẽ là :

ℑ { f ( x, y )} = F (u , v ) = ∫

∫ f ( x, y ) e

∞

− j 2π ( ux + vy )

dxdy

−∞

ℑ-1 { f (u , v)} = f ( x, y ) = ∫ ∫ F (u, v ) e
∞

j 2π ( ux + vy )

dudv

−∞

Trong đó u, v là biến tần số.
Cũng như biến đổi Fourier 1 chiều, ta có phổ biên độ, phổ pha, cho trường hợp 2
chiều:

 I (u , v) 

F (u, v ) = R 2 (u , v) + I 2 (u, v ) và φ (u , v) = arg tan 

 R (u , v) 

Ví dụ: xác định biến đổi Fourier của hàm trên hình sau:
F(x,y)
A
Y
X
y

∫ ∫ f ( x, y ) e
∞

F(u, v)=

x
− j 2π ( ux + vy )

−∞

A
=
− j 2πu

[e

− j 2πuX

]

1
−1
− j 2πv

dxdy = A∫ e
X

0

[e

− j 2πY

dx ∫ e
Y

0

− j 2πvy

 e− j 2πux 
dy = A

 − j 2πux  0

 sin(πuX ) − jπuX 
e 
− 1 = AXY 
π

uX



]

2

Phổ công suất của nó: F (u, v ) = AXY
Các tính chất của biến đổi Fourier

GV. Mai Cường Thọ

− j 2πux

sin(πuX) sin(πvY)
(πuX)
(πvY)

X

 e− j 2πvy 


 − j 2πvy  0

 sin(πvY ) − jπvY 
e 

π

vY



Y


Bài giảng Xử lý ảnh số

34

3. Biến đổi Fourier rời rạc (DFT)
Giả thiết cho hàm liên tục f(x), được rời rạc hoá thành chuổi:

{ f {x0 }, f {x0 + ∆x}, f {x0 + 2∆x}, f {x0 + [N − 1]∆x}}

Trong đó: N- số mẫu, ∆x bước rời rạc ( chu kỳ lấy mẫu). Ta dùng biến x vừa là biến
liên tục vừa là biến rời rạc.
Ta định nghĩa : f(x)= f(x0 + x∆x)

x: - là các giá trị rời rạc 0, 1, 2,…, N-1.

Chuỗi { f (0), f (1), f (2), ... f ( N − 1)} là các mẫu đều bất kì được lấy mẫu đều từ một
hàm liên tục. Cặp biến đổi Fourier cho các hàm lấy mẫu:
F(u)=

∑

N −1

1
N

x =0

f ( x) e

f(x) = ∑ F (u ) e
N −1

Và

− j 2 π ux
N

với u= 0, 1, 2, …N-1

j 2 π ux
N

với x= 0, 1, 2, …N-1

x=0

Trường hợp DFT 2 chiều:
1
MN

F(u, v) =

f(x,y)= ∑

∑∑

M −1 N −1
x=0 y =0

f ( x, y ) e

∑ F (u , v ) e

M −1 N −1

j 2π (

− j 2π (

ux vy
+ )
M N

ux vy
+
)
M N

u =0 v=0

với u= 0, M − 1 , v= 0, N − 1 và x= 0, M − 1 , y= 0, N − 1
Nếu M=N (lấy mẫu vuông ):

Ta có:

F (u , v) =

1
N

∑∑

f ( x, y ) =

1
N

∑∑ F (u, v) e

với x, y=0, 1, 2,…N-1

GV. Mai Cường Thọ

N −1 N −1
x =0 y =0

N −1 N −1
u =0 v =0

− j 2π (

f ( x, y ) e

j 2π (

ux + vy
)
N

ux + vy
)
N