BÀI TẬP TÍCH PHÂN TỔNG HỢP THEO DẠNG ÔN THI ĐẠI HỌC NĂM 2016
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (823.46 KB, 15 trang )
TỔNG HỢP CÁC BÀI TẬP NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
I.TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT
1. Tìm nguyên hàm của các hàm số.
1.
2.
3.
4.
1
f(x) = x – 3x +
x
4
2x 3
f(x) =
x2
x 1
f(x) = 2
x
( x 2 1) 2
f(x) =
x2
2
x 3 3x 2
ln x C
ĐS. F(x) =
3
2
2x3 3
C
ĐS. F(x) =
3
x
1
ĐS. F(x) = lnx + + C
x
3
x
1
2x C
ĐS. F(x) =
3
x
4
3
5. f(x) = x 3 x 4 x
6. f(x) =
1
x
3
2
ĐS. F(x) =
5
2 x 2 3x 3 4 x 4
C
3
4
5
ĐS. F(x) = 2 x 33 x 2 C
x
( x 1) 2
x
x 1
8. f(x) = 3
x
x
9. f(x) = 2 sin 2
2
ĐS. F(x) = x 4 x ln x C
7. f(x) =
5
2
ĐS. F(x) = x 3 x 3 C
ĐS. F(x) = x – sinx + C
10. f(x) = tan2x
ĐS. F(x) = tanx – x + C
11. f(x) = cos2x
ĐS. F(x) =
12. f(x) = (tanx – cotx)2
ĐS. F(x) = tanx-cotx– 4x + C
1
13. f(x) =
2
sin x. cos2 x
cos 2 x
14. f(x) =
2
sin x. cos2 x
ĐS. F(x) = tanx - cotx + C
15. f(x) = sin3x
ĐS. F(x) = cos 3 x C
16. f(x) = 2sin3xcos2x
17. f(x) = ex(ex – 1)
18. f(x) = ex(2 +
x
19. f(x) = 2a + 3
ex
)
cos2 x
x
20. f(x) = e3x+1
1
1
x sin 2 x C
2
4
ĐS. F(x) = - cotx – tanx + C
1
3
1
ĐS. F(x) = cos 5 x cos x C
5
1 2x
ĐS. F(x) = e e x C
2
ĐS. F(x) = 2ex + tanx + C
2a x 3 x
C
ĐS. F(x) =
ln a ln 3
1
ĐS. F(x) = e 3 x 1 C
3
2. Tìm hàm số f(x) biết rằng
1. f’ (x) = 2x + 1 và f(1) = 5
ĐS. f(x) = x2 + x + 3
2. f’ (x) = 2 – x2 và f(2) = 7/3
ĐS. f(x) = 2 x
GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG
x3
1
3
TỔ: TOÁN
TỔNG HỢP CÁC BÀI TẬP NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
8 x x x 2 40
3
2
3
2
x
1
3
2x
ĐS. f(x) =
2 x
2
ĐS. f(x) =
3. f’ (x) = 4 x x và f(4) = 0
4. f’ (x) = x -
1
2 và f(1) = 2
x2
5. f’ (x) = 4x3 – 3x2 + 2 và f(-1) = 3
6. f’ (x) = ax +
ĐS. f(x) = x4 – x3 + 2x + 3
b
, f ' (1) 0, f (1) 4, f ( 1) 2
x2
ĐS. f(x) =
x2 1 5
2 x 2
II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
1.Phương pháp đổi biến số.
Tính I = f [u( x)].u' ( x)dx bằng cách đặt t = u(x)
Đặt t = u(x) dt u ' ( x)dx
I = f [u( x)].u' ( x)dx f (t )dt
BÀI TẬP
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
dx
(3 2 x) 5
1. (5x 1)dx
2.
5. (2 x 2 1) 7 xdx
6. ( x 3 5) 4 x 2 dx
9.
3x 2
5 2x
3
10.
dx
13. sin 4 x cos xdx
17.
dx
sin x
e x dx
3. 5 2 xdx
7. x 2 1.xdx
dx
x (1 x )
sin x
14. 5 dx
cos x
dx
18.
cos x
11.
2
ln 3 x
dx
x
15. cot gxdx
19. tgxdx
x
22.
e tgx
dx
cos2 x
23. 1 x 2 .dx
25. x 2 1 x 2 .dx
26.
dx
1 x2
27.
21.
e 3
29. cos3 x sin 2 xdx 30. x x 1.dx
2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.
x 2 dx
1 x2
dx
31. x
e 1
4.
dx
2x 1
x
dx
8. 2
x 5
12. x.e x 1 dx
2
tgxdx
cos2 x
e x
dx
20.
x
dx
16.
24.
4 x2
dx
28. 2
x x 1
32. x 3 x 2 1.dx
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I
u( x).v' ( x)dx u( x).v( x) v( x).u' ( x)dx
Hay
udv uv vdu ( với du = u’(x)dx,
dv = v’(x)dx)
BÀI TẬP
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1. x. sin xdx
2. x cos xdx
3. ( x 2 5) sin xdx
4. ( x 2 2 x 3) cos xdx
8. ln xdx
5. x sin 2 xdx
6. x cos 2 xdx
7. x.e x dx
9. x ln xdx
10. ln 2 xdx
11.
GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG
ln xdx
x
12. e x dx
TỔ: TOÁN
TỔNG HỢP CÁC BÀI TẬP NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
x
13. 2 dx
cos x
17. e x . cos xdx
14. xtg 2 xdx
15. sin x dx
16. ln( x 2 1)dx
18. x 3 e x dx
19. x ln(1 x 2 )dx
20. 2 x xdx
21. x lg xdx
22. 2 x ln(1 x)dx
23.
24. x 2 cos 2 xdx
2
ln(1 x)
dx
x2
B.TÍCH PHÂN
I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:
1
e
1 1
2. ( x 2 x 2 )dx
x x
1
1. ( x3 x 1)dx
0
3
2
3. x 2 dx
4. x 1dx
1
1
1
2
1
6. (e x)dx
5. (2sin x 3cosx x)dx
7. ( x x x )dx
x
3
0
0
2
8. ( x 1)( x x 1)dx
1
3
2
2
1
9. (3sin x 2cosx )dx
x
10. ( x 2 x x 3 x )dx
1
1
2
0
1
11. (e x x 2 1)dx 12. ( x 1)( x x 1)dx
3
e2
7x 2 x 5
dx
14.
x
1
3
13. ( x 1).dx
3
1
2
( x 1).dx
17. 2
x x ln x
1
2
cos3 x.dx
18. 3
sin x
2
x.dx
15. 2
x 2
-1
4
tgx .dx
cos2 x
19.
0
5
16.
2
dx
x2 x2
ex e x
dx
20. x
x
e
e
0
1
6
1
2
x
e .dx
21.
dx
22.
ex e x
0
ln 3
4x 2 8x
1
2
1
2
3
26. (2 x 3 x )dx
25. (2 x 2 x 1)dx
1
0
23.
.dx
e e x
x
0
2
27. x( x 3)dx
2
2
dx
1 sin x
0
24.
4
28. ( x 2 4)dx
3
1
29.
1
1
3 dx
2
x
1 x
2
e2
33.
1
x 2 2x
dx
x3
2
30.
1
2 x 5 7x
dx
x
8
1
34. 4 x
e
31.
1
e
16
dx
x
32. x .dx
1
dx
33 x 2
1
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
2
2
2
1. sin 3 xcos 2 xdx
2. sin 2 xcos 3 xdx
3
3
4
5. cot gxdx
0
6
1
9. x
0
6
6. 1 4sin xcosxdx
1
3
x 1dx
2
10.
0
GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG
x2
x 1
3
sin x
dx
1 3cosx
0
3.
1
7. x x 2 1dx
0
1
dx
11. x 1 x dx
3
0
2
4
4. tgxdx
0
1
8. x 1 x 2 dx
0
2
12.
1
1
x x3 1
TỔ: TOÁN
dx
TỔNG HỢP CÁC BÀI TẬP NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
1
1
1
13.
dx
1 x2
0
1
14. 2
dx
x 2x 2
1
2
2
17. esin x cosxdx
4
2
2
21. e
sin x
cosxdx
4
2
25. sin 2 xcos 3 xdx
x 1
2
0
1
dx
(1 3x 2 ) 2
0
16.
dx
1
19. e x
2
2
2
20. sin 3 xcos 2 xdx
xdx
0
22. e
4
15.
3
1
cosx
sin xdx
1
1
18. ecosx sin xdx
4
1
23. e
x2 2
2
24. sin 3 xcos 2 xdx
xdx
0
3
2
sin x
dx
1 3cosx
0
26.
4
4
28. cot gxdx
27. tgxdx
0
3
6
6
29. 1 4sin xcosxdx
1
30. x x 1dx
2
0
0
1
x
33.
x3 1
0
1
2
dx
0
e
sin(ln x)
1 x dx
37.
e2
1
41.
dx
2
cos (1 ln x)
e
1
1
dx
x 1 x
45.
0
34. x3 1 x 2 dx
e
sin(ln x)
dx
x
1
49.
e
38.
1
1 3ln x ln x
dx
x
x
42.
dx
x 1
1 1
46.
0
e
50.
1
1
dx
x 1 x
1 3ln x ln x
dx
x
1
31. x 1 x dx
32. x3 x 2 1dx
2
0
2
0
e
1
35.
x x3 1
1
2
1
1
36.
dx
1
e2
e 2ln x 1
dx
x
1
1 ln 2 x
dx
x ln x
e
e
39.
1
43.
0
3
47.
1
1 ln x
dx
x
40.
1
x
dx
2x 1
44. x x 1dx
x 1
dx
x
48.
0
1 ln x
dx
x
e
1
e2
e 2ln x 1
dx
x
1
1 ln 2 x
dx
x ln x
e
e
51.
52.
1
e2
1
53.
dx
2
cos (1 ln x)
e
x
x 5dx
3
55.
0
1
4
57.
54.
2
2
4 x dx
2
0
1
x
dx
61.
(2x 1)3
0
1
2x 5
dx
65. 2
x 4x 4
0
4
1 sin 2x
69.
dx
cos2 x
0
cos x
dx
0 5 2 sin x
2
73.
GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG
62.
0
x
dx
2x 1
3
x3
dx
66. 2
x 2x 1
0
2
70. cos 2xdx
4
0
cos 2 x
dx
0 1 2 sin 2 x
4
74.
x 1 cos xdx 56.
0
59. e
dx
63. x 1 xdx
0
2
4sin3 x
67.
dx
1 cos x
0
1
e
x
1
dx
1
sin 3x
dx
0 2 cos 3 x 1
2
75.
60. e x dx
0
1
0
4 x 2 dx
1
2 x 3
1
71.
4
0
0
dx
58.
2
1
x
0
1
sin
4
1
4x 11
dx
x 5x 6
0
64.
2
6
68. (sin6 x cos6 x)dx
0
2
72.
1 sin 2x cos2x
dx .
sin x cos x
6
4
76. (cos4 x sin 4 x)dx
0
TỔ: TOÁN
TỔNG HỢP CÁC BÀI TẬP NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
2x 2
dx
x 2x 3
0
77.
78.
2
2
1
sin 4x
dx
2
1
cos
x
0
85.
1
0
3
89. x5 (1 x3 )6dx
0
tg x
dx
cos2x
0
cos x
dx
6 5sin x sin2 x
0
88.
2
sin 2 x
cos x sin x
dx
dx 92.
2
2
0
3
sin
2
x
cos
x
4
sin
x
0
4
91.
sin 2 x
dx
94.
2
0 ( 2 sin x )
dx
93. x
x
3
ln 3 e 2e
0
6
87.
ln 5
84. sin 2x(1 sin2 x)3dx
1 ln2 x
dx
x
1
4
90.
0
2
e
1
86.
dx
cos x
0
1
0
4
83.
4
1 ln x
dx
x
2
1
dx
4
cos
x
0
82. x3 1 x 2 dx
81.
2
79. cos3 x sin2 xdx 80. cos5 xdx
2
1
4
e
dx
x 2x 5
1
ln(tgx)
dx
95.
sin 2 x
3
2
4
96. (1 tg 8 x)dx
0
4
2
97.
sin x cos x
1 sin 2 x
2
98.
dx
sin 2 x sin x
1 3 cos x
0
sin 2 x cos x
99.
dx
0 1 cos x
2
dx
2
100. (e sin x cos x) cos xdx
0
4
x
2
101.
1 x 1
1
dx
1
1
1
dx
2
1
x
0
105.
1
109.
106.
0
2
2
110.
1 x2 dx
0
0
3
113.
1
1
9 3x 2
dx
x2
114.
0
1
1 x4
dx
6
1
x
0
118.
x x 1
dx
1 x5
122.
117.
0
8
2
121.
ln2
125.
0
1
e 2
x
3
1
4 x2
x
1 x
1
1
dx
x
x
1
0
107.
2
111. x2 4 x2 dx
dx
2
1
1 x
(1 x )5
2
3
cos x
1 cos2 x
1
x x2 1
115.
dx
1
x x 1
2
dx
dx
1 x 2x 2
0
dx
119.
2
7
123.
dx
0
x3
3
1 x2
dx
2
x 1
126. 3
dx
3x 1
0
1 cos x sin x dx
0
1
x
dx
2
x
x
1
0
108.
4
2
3
112.
2
1
dx
x x2 1
2
7
3
dx
2
1
2
4
dx
2
1 2 sin 2 x
dx 104.
103.
1 sin 2 x
0
1 3 ln x ln x
102.
dx
x
1
e
127. x 2 x 3 1dx
0
cos x
dx
7 cos2 x
2
116.
0
1
dx
0
1 1 3x
120.
3
124. x 5 1 x 2 dx
0
2 3
128.
5
dx
x x2 4
III. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
1.Tính các tích phân sau
e
e
ln 3 x
1. 3 dx
2. x ln xdx
x
1
1
e
3
ln x
dx
3
x
1
5.
e
6. x ln xdx
1
GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG
1
3. x ln( x 1)dx
2
0
1
7. x ln( x 1)dx
0
2
e
2
4. x ln xdx
1
e
2
8. x ln xdx
1
TỔ: TOÁN
TỔNG HỢP CÁC BÀI TẬP NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
2
9. ( x cosx)s inxdx
0
e
1
10. ( x ) ln xdx
x
1
3
2
11. ln( x x)dx
2
2
12. x tan xdx
1
4
2
ln x
dx
13.
5
x
1
1
2
14. x cos xdx
2
x
15. xe dx
0
0
0
x
16. e cos xdx
2.Tính các tích phân sau
1
1. x.e 3 x dx
0
e
5. x ln xdx
1
2
6
2. ( x 1) cos xdx
3. (2 x) sin 3xdx
2
4. x. sin 2 xdx
0
0
0
e
3
1
6. (1 x 2 ).ln x.dx
1
7. 4 x. ln x.dx
1
8. x. ln(3 x 2 ).dx
0
2
9. ( x 2 1).e x .dx
10. x. cos x.dx
0
1
2
ln x
13. 5 dx
x
1
e
17. x ln2 xdx
1
2
ln(1 x)
21.
dx
x2
1
e
ln x
dx
2
1 ( x 1)
25.
2
11. x 2 . cos x.dx
0
2
14. x cos xdx
2
0
3
x sin x
dx
cos2 x
0
18.
1
22. (x 1) e dx
2
2x
0
1
26. xtg2 xdx
1
0
15. e sin xdx
x
0
19. x sin x cos2 xdx
0
e
23. (x ln x)2 dx
1
1
27. ( x 2)e 2 x dx
2
16. sin xdx
0
4
20. x(2 cos2 x 1)dx
0
2
24. cos x.ln(1 cos x)dx
0
1
28. x ln(1 x 2 )dx
0
0
e
2
12. ( x 2 2 x).sin x.dx
0
e
29.
1
ln x
dx
x
2
30. ( x cos3 x) sin xdx
2
31. (2 x 7) ln( x 1)dx
3
32. ln( x 2 x)dx
2
0
0
III. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:
2x 1
dx
1. 2
3 x 3x 2
5
1
5.
2
x
0 (3x 1) 3 dx
3
4
x
dx
2
2
2 ( x 1)
9.
2
13.
0
1
dx
4 x2
4
1
17. 3
dx
2
2 x 2x x
GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG
b
1
dx
2.
( x a )( x b)
a
1
1
dx
2
2
(
x
2
)
(
x
3
)
0
6.
1
1
x
dx
4
1
x
0
14.
3x 3x 3
18. 3
dx
2 x 3x 2
3
2
7.
1
2 n 3
x
dx
2 n
0 (1 x )
10.
x3 x 1
dx
3.
x 1
0
1
2
4.
0
x3 x 1
dx
x2 1
1 x
dx
x(1 x 2008 )
8.
x2 3
1 x( x 4 3x 2 2) dx
12.
2008
2
11.
1
2
15.
0
1
dx
2
x 2x 2
1 x2
19.
dx
4
1 1 x
2
2x 3 6x 2 9x 9
dx
2
x
3
x
2
1
0
2
1
1
dx
x(1 x 4 )
1
x
dx
2 3
(
1
x
)
0
16.
1
1
dx
3
0 1 x
20.
TỔ: TOÁN
TỔNG HỢP CÁC BÀI TẬP NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
1
x6 x5 x4 2
dx
22.
x6 1
0
2 x4
dx
21.
2
0 1 x
1
1
1 x4
dx
23.
6
0 1 x
1
24.
0
1
25.
0
dx
x2 x 1
x2
29.
dx
x 1
2
1
33.
0
3x 1
x 1dx
26.
x2
0
2x 2
3 dx
27.
x 1
0
x 2 2x 3
dx
30.
x3
0
1
x2 x 1
2x 2 x 2
2 x 1dx 32.
x 1dx
31.
x 1
x 1
1
0
2
1
3
4 x 11
dx
x 5x 6
2
x2
2 x 1dx
2x 1
1
28.
1
0
0
dx
x 4x 3
2
IV. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC:
2
2
1. sin x cos xdx
2
2
2. sin x cos xdx
4
2
3. (2 sin 2 x sin x cos x cos2 x)dx
3
0
0
0
2
2
4. (sin x cos )dx
3
3
5. cos 2 x(sin x cos x)dx
4
4
2
6. sin 4 x cos5 xdx
0
0
0
2
7.
2
1
dx
sin x
8. (sin10 x cos10 x cos4 x sin 4 x)dx
0
2
9.
0
dx
2 cos x
3
2
2
10.
0
1
dx
2 sin x
sin x
dx
2
1
cos
x
0
11.
2
cos x
dx
1
cos
x
0
14.
2
15.
sin
0
cos3 x
dx
1 cos x
0
2
1
dx
sin x cos x 1
0
18.
2
2
19.
cos xdx
(1 cos x) 2
20.
3
4
3
22. cot g 3 xdx
6
4
25.
0
0
4
1
dx
1 tgx
0
24.
4
sin x 7 cos x 6
dx
26.
4 sin x 5 cos x 5
0
2
2
dx
cos x cos(x
4
)
4
4
0
4
21. tg 3 xdx
2
28.
sin x cos x 1
dx
sin x 2 cos x 3
23. tg 4 xdx
dx
x 2 sin x cos x cos2 x
2
17.
0
2
sin x
dx
2 sin x
dx
sin x. cos x
4
6
4
2
cos x
0 2 cos x dx
16.
3
12.
13.
3
dx
2 sin x 3 cos x 13
GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG
1 sin x dx
0
3
4 sin x
dx
4
1
cos
x
0
29.
27.
1 cos 2 x sin 2 x
dx
sin
x
cos
x
0
2
30.
TỔ: TOÁN
TỔNG HỢP CÁC BÀI TẬP NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
2
2
sin 3x
dx
1 cos x
0
31.
32.
sin 3 x
dx
2
0 cos x
4
dx
sin 2 x sin x
33.
4
2
34. sin 2 x(1 sin 2 x) 3 dx
3 3
35. cos x sin x dx
0
0
36.
sin 3 x sin x
dx
sin 3 xtgx
4
2
dx
1 sin x cos x
0
2
2
dx
2 sin x 1
0
37.
38.
39. cos3 x sin 5 xdx
4
4
6
2
sin 4 xdx
2
0 1 cos x
dx
5 sin x 3
0
40.
41.
42.
dx
sin x cos x
4
6
3
43.
6
3
dx
sin x sin( x
6
)
sin x cos(x
4
sin 2 xdx
cos6 x
3
dx
44.
4
)
45.
4
3
46. tgxtg( x )dx
6
0
3
4 sin xdx
47.
3
0 (sin x cos x )
6
48.
2
49. sin 3 x dx
1 sin x x
e dx
52.
1 cos x
0
2
2
2
2
50. x 2 cos xdx
0
sin 2 x
(2 sin x)
2
51. sin 2 x.e 2 x 1 dx
0
0
4
2
sin 3x sin 4 x
53.
dx
tgx cot g 2 x
sin 2 xdx
0 sin x 5 sin x 6
54.
2
6
2
55. cos(ln x)dx
1
3
ln(sin x)
56.
dx
2
cos x
2
57. (2 x 1) cos2 xdx
0
6
58. x sin x cos2 xdx
0
4
59. xtg 2 xdx
0
0
2
60. e 2 x sin 2 xdx
61. e sin x sin x cos3 xdx
2
4
(1 sin x) cos x
dx 65.
2
(
1
sin
x
)(
2
cos
x
)
0
64.
0
2
2
2
4sin 3 x
67.
dx
1
cos
x
0
GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG
4
dx
2
0 (sin x 2 cos x )
62. ln(1 tgx)dx
0
2
sin 2 x sin 7 xdx
63.
66.
cos x(sin 4 x cos 4 x)dx
0
2
2
68. cos5 x. cos3xdx
2
2
69. sin 7 x. sin 2 xdx
2
TỔ: TOÁN
TỔNG HỢP CÁC BÀI TẬP NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
4
x
2
70. sin cos xdx
0
4
71. sin 2 xdx
0
V. TÍ CH PHÂN HÀM VÔ TỶ:
2 3
1.
2
dx
2.
x x2 4
5
1
2
dx
x x2 1
2
3
2
4.
1
1
7. x 1 x dx
2
2
2
10.
0
1 x
dx
1 x
0
9.
2 3
0
1
1
11.
13. 1 x 2 dx
1 x
0
0
2
0
0
7
2
2
19. 3
0
1
22.
0
2 cos2 x
1
x x 1
2
dx
xdx
21.
0
23.
1 3 cos x
0
2
7
sin 2 x sin x
18.
20. x 10 x dx
2
7 cos 2 x
2
cos xdx
3
1 x2
x 3 dx
cos xdx
0
3
x 3 dx
dx
2
17.
dx
(1 x 2 ) 3
15.
16. sin x cos x cos2 x dx
0
x 2 dx
14.
x2 x2 1
2
2
1
12.
(1 x 2 ) 3
0
x2 1
2
2
dx
x 2 2008
3
8. (1 x ) dx
2
dx
1
1
1
(2 x 3) 4 x 2 12x 5
6.
5. x 2 2008dx
x x3 1
1
2
2
2
dx
dx
3.
2x 1
0
1
dx
24. x15 1 3x 8 dx
2x 1 1
0
2
25. 6 1 cos3 x sin x cos5 xdx
ln 3
26.
0
0
ln 2
28.
0
3
31.
0
34.
ln 2
ln x
x ln x 1
37.
0
33. x(e 2 x 3 x 1)dx
2
1
0
3
dx
35.
0
1 3 ln x ln x
dx
x
0
32. x 2 x x dx
3
1
3
2
1 x x2 1
30.
4
dx
dx
e
5
4
ln 3
1
29. 12x 4 x 8dx
e 1
1 x
ex 1
2
x
2
27.
1
e 2 x dx
x5 x3
1
dx
cos 2 x
2 3tgx
cos2 x
dx
cos2 x
ln 2
36.
0
e x dx
(e x 1) 3
cos xdx
2 cos 2 x
2
38.
0
7
cos xdx
39. 3
1 cos2 x
0
x2
x3
dx
2a
40. x 2 a 2 dx
0
VI. MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT:
a
Bµi to¸n 0: Hµm sè f(x) liªn tôc trªn [-a; a], khi ®ã:
a
GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG
a
f ( x)dx [ f ( x) f ( x)]dx
0
TỔ: TOÁN
TNG HP CC BI TP NGUYấN HM, TCH PHN V NG DNG TCH PHN
Ví dụ: Cho f(x) liên tục trên [-
3 3
;
] thỏa mãn f(x) + f(-x) =
2 2
3
2
a)Tính:
2 2 cos 2 x ,
x 4 sin x
dx
2
1 1 x
1
b)Tính
f ( x)dx
3
2
a
f ( x)dx = 0.
Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục và lẻ trên [-a, a], khi đó:
a
1
2
b) cos x ln( x 1 x 2 )dx
a) ln( x 1 x 2 )dx
Ví dụ: Tính:
1
2
a
Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục và chẵn trên [-a, a], khi đó:
a
a
f ( x) dx = 2 f ( x)dx
0
2
1
a)
Ví dụ: Tính
1
x dx
b)
x4 x2 1
x cos x
dx
4 sin 2 x
2
a
Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn trên [-a, a], khi đó:
a
f ( x)
a1 b x dx 0 f ( x)dx (1 b>0, a)
x 1
dx
x
31 2
3
a)
Ví dụ: Tính:
2
2
Bài toán 4: Nếu y = f(x) liên tục trên [0;
], thì
2
2
sin x sin 3x cos 5 x
dx
1 ex
2
2
f (sin x) f (cos x)dx
0
0
2009
2
sin
x
dx
2009
x cos2009 x
0 sin
a)
Ví dụ: Tính
b)
2
b)
0
sin x
sin x cos x
Bài toán 5: Cho f(x) xác định trên [-1; 1], khi đó: xf (sin x)dx
0
Ví dụ: Tính
Bài toán 6:
x
dx
a)
1 sin x
0
b
b
a
a
f (a b x)dx f ( x)dx
b)
0
b
b
0
0
dx
2 0
f (sin x)dx
x sin x
dx
2 cos x
f (b x)dx f ( x)dx
x sin x
dx
2
0 1 cos x
a)
Ví dụ: Tính
4
b) sin 4 x ln(1 tgx)dx
0
Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu kì T thì:
a T
a
T
f ( x)dx f ( x)dx
Ví dụ: Tính
0
2008
nT
0
T
f ( x)dx n f ( x)dx
0
1 cos 2 x dx
0
GV: NGUYN THNH HNG
T: TON
TNG HP CC BI TP NGUYấN HM, TCH PHN V NG DNG TCH PHN
Các bài tập áp dụng:
1
1 x
dx
1 2x
2
1.
1
1
2
1 x
5. cos 2 x ln(
)dx
1 x
1
4
2.
x x x x 1
dx
cos4 x
7
5
3
1
dx
x
2
1 (1 e )(1 x )
3.
2
4.
4
2
6. sin(sin x nx)dx
0
7.
sin 5 x
2
2
2
1 cos x
dx
x cos x
dx
2
x
4 sin
2
tga
cot ga
e
1
e
xdx
8.
2
1 1 x
dx
1
x(1 x 2 )
(tga>0)
VII. TCH PHN HM GI TR TUYT I:
3
1. x 2 1dx
3
2
2. x 2 4 x 3 dx
0
5. 1 sin x dx
3
6. tg x cot g x 2dx
2
2
6
1
2
3. x x m dx
4. sin x dx
0
3
4
2
2
8. 1 cos x dx
7. sin 2 x dx
0
4
5
9. ( x 2 x 2 )dx
2
5
13. ( x 2 x 2 )dx
3
2
17. 1 sin xdx
0
3
10. 2 4 dx
x
0
2
14. x2
1
2
11. cos x cos x cos xdx 12. x 2 3x 2 dx
3
1
2dx
x2
4
3
1
2
3
15. 2x 4dx
0
16. 1 cos 2xdx
0
2
18. x 2 x dx
0
VIII. NG DNG CA TCH PHN:
C.TNH DIN TCH HèNH PHNG
Vớ d 1 : Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi
a/ th hm s y = x + x -1 , trc honh , ng thng x = -2 v ng thng x = 1
b/ th hm s y = ex +1 , trc honh , ng thng x = 0 v ng thng x = 1
c/ th hm s y = x3 - 4x , trc honh , ng thng x = -2 v ng thng x = 4
d/ th hm s y = sinx , trc honh , trc tung v ng thng x = 2
Vớ d 2 : Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi
a/ th hm s y = x + x -1 , trc honh , ng thng x = -2 v ng thng x = 1
b/ th hm s y = ex +1 , trc honh , ng thng x = 0 v ng thng x = 1
c/ th hm s y = x3 - 4x , trc honh , ng thng x = -2 v ng thng x = 4
d/ th hm s y = sinx , trc honh , trc tung v ng thng x = 2
Bài 1: Cho (p) : y = x2+ 1 và đ-ờng thẳng (d): y = mx + 2. Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn
bởi hai đ-ờng trên có diện tích nhỏ nhẩt
Bài 2: Cho y = x4- 4x2 +m (c) Tìm m để hình phẳng giới hạn bởi (c) và 0x có diện tích ở phía trên 0x
và phía d-ới 0x bằng nhau
x x 3
Bài 3: Xác định tham số m sao cho y = mx chia hình phẳng giới hạn bởi y o x 1
y 0
Có hai phần diện tích bằng nhau
Bài 4: (p): y2=2x chia hình phẳng giới bởi x2+y2 = 8 thành hai phần.Tính diện tích mỗi phần
GV: NGUYN THNH HNG
T: TON
TỔNG HỢP CÁC BÀI TẬP NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
x 2 2ax 3a 2
y
1 a4
Bµi 5: Cho a > 0 TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi
T×m a ®Ó diÖn tÝch lín nhÊt
2
y a ax
1 a4
Bµi 6: Tính diện tích của các hình phẳng sau:
3x 1
y
x2
x 1
y 4
2
y x 4x 3
4
1.(H1):
2.(H2) :
3.(H3): y 0
2
x
y
x
3
y
x 0
4 2
2
y x
y x
y 2 x 5 0
4.(H4):
5.(H5):
6.(H6):
2
2
x y
y 2 x
x y 3 0
ln x
y 2 x
3
3
2
y x 2 2x
y x x
7.(H7): y 0
8.(H8):
9.(H9):
2
2
2
y x 4x
y x
x e
x 1
10.(H10):
(C ) : y x
11. (d ) : y 2 x
(Ox)
(C ) : y e x
12. (d ) : y 2
( ) : x 1
y 2 2x 1
13.
y x 1
y 4 x2
14. 2
x 3 y 0
y x
15. x y 2 0
y 0
y 2 2x
17.
y x, y 0, y 3
y ln x, y 0
18. 1
x e , x e
y 2y x 0
x y 0
2
x2
y
2
16.
y 1
1 x2
1
1
y sin 2 x ; y cos2 x
19.
x ; x
6
3
y x 2 4x 5
21. y 2 x 4
y 4 x 11
y / x 2 1/
y / x / 5
24.
y x2 2
27.
y 4 x
GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG
20.: y = 4x – x2 ; (p) vµ tiÕp tuyÕn cña (p) ®i qua M(5/6,6)
y x 2 6x 5
22. y x 2 4 x 3
y 3 x 15
y x3
25.
y 2 x
y x 2 2x 2
28. y x 2 4 x 5
y 1
y x
1
y
23.
x
y 0
x e
y 3x 2 / x / 2
y 0
26.
y / x 2 1 /
29.
y x 2 7
TỔ: TOÁN
TỔNG HỢP CÁC BÀI TẬP NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
y x
30. y 0
x 2; x 1
y sin x 2 cos x
31. y 3
x 0; x
2
y x 3
32.
x
y 0
33.
y 2x 2 2x
34. y x 2 3x 6
x 0; x 4
35.
y 2x 2
36. y x 2 2 x 1
y 2
37.
3
y x 2x
y x 2
2
y / x 3x 2 /
39.
2
y x 2
y / x 2 3x 2 /
y 2
y / x 4x 3 /
y 3
2
40.
y / x 2 5x 6 /
y 6
y / x 2 5x 6 /
y x 1
38.
y eÏ
41. y e x
x 1
y 2x 2
44. y x 2 4 x 4
y 8
x2
y
42.
x2 x6
x 0; x 1
43.
y 2 2x
45. 2 x 2 y 1 0
y 0
y 2 x 2 (a 2 x 2 )
46.
a 0
y ( x 1) 2
47.
x sin y
y 2 / x 1/
48.
x 2
x / y 2 1/
49.
x 2
x ( y 1) 2
32. y sin x
x 0
x2
y 4
4
33.
2
y x
4 2
y 2 6 x
36. 2 2
x y 16
y / log x /
39. y 0
1
x , x 10
10
GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG
y sin/ x /
y / x /
x 0;
1
34. x
2
x
;y 0
y
1 x4
2
y x
x2
37. y
27
27
y x
ax y 2
40
(a>0)
ay x 2
y 5 x2
35. y 0
x 0; y 3 x
y 2 (4 x) 3
38. 2
y 4 x
y x
41. y sin 2 x x
0 x
TỔ: TOÁN
TNG HP CC BI TP NGUYấN HM, TCH PHN V NG DNG TCH PHN
y 2x
42.
2
27 y 8( x 1)
2
43.x2/25+y2/9 = 1 và hai tiếp tuyến đi qua A(0;15/4)
2
44. Cho (p): y = x2 và điểm A(2;5) đ-ờng thẳng (d) đi qua A có hệ số góc k .Xác định k để diện tích
hình phẳng giới hạn bởi (p) và (d) nhỏ nhất
y x3 2x 2 4x 3
45.
y 0
D.TNH TH TCH VT TH TRềN XOAY
Cụng thc:
xb
(C ) : y f ( x)
y
xa
y0
a
O
y
b
x0
a
x
ya
x
b
O
2
2
V f ( y) dy
V f ( x) dx
b
yb
(C ) : x f ( y )
b
a
a
2
Bi 1: Cho min D gii hn bi hai ng : x + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0
Tớnh th tớch khi trũn xoay c to nờn do D quay quanh trc Ox
Bi 2: Cho min D gii hn bi cỏc ng : y x;y 2 x;y 0
Tớnh th tớch khi trũn xoay c to nờn do D quay quanh trc Oy
Bi 3: Cho min D gii hn bi hai ng : y (x 2)2 v y = 4
Tớnh th tớch khi trũn xoay c to nờn do D quay quanh:
a. Trc Ox
b. Trc Oy
Bi 4: Cho min D gii hn bi hai ng : y 4 x 2 ; y x 2 2 .
Tớnh th tớch khi trũn xoay c to nờn do D quay quanh trc Ox
Bi 5: Cho min D gii hn bi cỏc ng : y
1
x2
;
y
x2 1
2
Tớnh th tớch khi trũn xoay c to nờn do D quay quanh trc Ox
Bi 6: Cho min D gii hn bi cỏc ng y = 2x2 v y = 2x + 4
Tớnh th tớch khi trũn xoay c to nờn do D quay quanh trc Ox
Bi 7: Cho min D gii hn bi cỏc ng y = y2 = 4x v y = x
Tớnh th tớch khi trũn xoay c to nờn do D quay quanh trc Ox
1
x
Bi 8: Cho min D gii hn bi cỏc ng y = x 2 .e 2 ; y = 0 ; x= 1 ; x = 2
Tớnh th tớch khi trũn xoay c to nờn do D quay quanh trc Ox
Bi 9: Cho min D gii hn bi cỏc ng y = xlnx ; y = 0 ; x = 1 ; x = e
Tớnh th tớch khi trũn xoay c to nờn do D quay quanh trc Ox
Bi10: Cho min D gii hn bi cỏc ng y = x ln(1 x 3 ) ; y = 0 ; x = 1
Tớnh th tớch khi trũn xoay c to nờn do D quay quanh trc Ox
y ( x 2) 2
1.
quay quanh trục a) 0x; b) 0y
y x 2 , y 4x 2
2.
y 4
quay quanh trục a) 0x; b) 0y
y 4
GV: NGUYN THNH HNG
T: TON
TỔNG HỢP CÁC BÀI TẬP NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
1
y 2
3.
x 1
y 0, x 0, x 1
y 2x x 2
4.
y 0
y x. ln x
5. y 0
x 1; x e
y x 2 ( x 0)
6.(D) y 3x 10
y 1
y x2
7.
y x
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
quay quanh trôc a) 0x;
quay quanh trôc a) 0x;
( H) n»m ngoµi y = x2
quay quanh trôc a) 0x;
8. MiÒn trong h×nh trßn (x – 4)2 + y2 = 1 quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
9. MiÒn trong (E):
x2 y2
1
9
4
y xe Ï
10. y 0
x 1, ;0 x 1
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
quay quanh trôc 0x;
y cos4 x sin 4 x
11. y 0
quay quanh trôc 0x;
x ; x
2
y x2
12.
quay quanh trôc 0x;
y 10 3x
13. H×nh trßn t©m I(2;0) b¸n kÝnh R = 1 quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
4
14. y
x4
x 0; x 2
y x 1
15. y 2
x 0; y 0
GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG
quay quanh trôc 0x;
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
TỔ: TOÁN
