20 đề thi THPT quốc gia môn toán mới nhất ôn thi 2016 có đáp án

Mục lục
Đề số 01. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Đề số 02. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Đề số 03. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Đề số 04. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Đề số 05. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Đề số 06. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Đề số 07. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Đề số 08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Đề số 09 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

Đề số 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Đề số 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Đề số 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

Đề số 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Đề số 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

Đề số 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

Đề số 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Đề số 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

Đề số 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Đề số 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

Đề số 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2


NMHIEUPDP.WORDPRESS.COM

ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA

————————
Đề số 01

Môn : TOÁN
Thời gian làm bài 180 phút
————

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = −x3 + 3x2 + (m − 1)x − 1.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 1.
b) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0; 3).
Câu 2 (1,0 điểm).
a) Cho cung α thỏa mãn tan α = 2. Tính A = cos
b) Tìm môđun của số phức z = 2 + 3i −

3π
− 2α .
2

1 + 5i
.
3−i

Câu 3 (0,5 điểm). Giải phương trình log22 (4x) − 3log√2 x − 7 = 0.

1
2

2x + + y + = 6

x
y
2
Câu 4 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình

1

2
2

(x
+
y
)
1
+
=8

xy
2

Câu 5 (1,0 điểm). Tính tích phân I =
1

.

ln (x2 ex )
dx.
(x + 2)2

Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, tam giác SAB đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết AC = 2a, BD = 4a, tính theo a thể
tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC.
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(1; 2).
Đường phân giác trong và đường thẳng chứa trung tuyến kẻ từ B lần lượt có phương trình

2x − y + 5 = 0 và 7x − y + 15 = 0. Tính diện tích tam giác ABC.
Câu 8 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 3x+5y −z −2 = 0
y−9
z−1
x − 12
=
=
. Tìm tọa độ giao điểm M của đường thẳng d và mặt
và đường thẳng d :
4
3
1
phẳng (P ). Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với (P ).
Câu 9 (0,5 điểm). Có hai cái hộp A và B đựng các cây viết. Hộp A gồm 5 cây viết màu đỏ và 6
cây viết màu xanh. Hộp B gồm 7 cây viết màu đỏ và 8 cây viết màu xanh. Lấy ngẫu nhiên cùng
một lúc từ mỗi hộp ra một cây viết. Tính xác suất sao cho hai cây viết được lấy ra có cùng màu.
Câu 10 (1,0 điểm). Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn 9 (a4 + b4 + c4 ) − 25 (a2 + b2 + c2 ) +
48 = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P =

a2
b2
c2
+
+
b + 2c c + 2a a + 2b

——— Hết ———

3

NMHIEUPDP.WORDPRESS.COM

ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA

————————
Đề số 02

Môn : TOÁN
Thời gian làm bài 180 phút
————

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = x4 + (m + 1)x2 − 2m − 1.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 1.
b) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đã cho có ba điểm cực trị.
Câu 2 (1,0 điểm).

√
sin 2x + cos 2x − 3 2 sin x − 2
= 1.
a) Giải phương trình
(sin x + cos x)2
b) Tìm số phức z thỏa mãn z 2 = z 2 + z 2 .

Câu 3 (0,5 điểm). Giải phương trình 22x+1 − 3.2x − 2 = 0.
Câu 4 (1,0 điểm). Giải bất phương trình

√

1

Câu 5 (1,0 điểm). Tính tích phân I =

x

x4 − 2x3 + 2x − 1
.
x3 − 2x2 + 2x

x
√

x2 + 1 + ex dx.

0

Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông,
BD = 2a; tam giác
√
SAC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SC = a 3. Tính theo a thể tích
khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAD).
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích
bằng 6. Đường thẳng chứa BD có phương trình 2x + y − 12 = 0; đường thẳng AB qua điểm
M (5; 1); đường thẳng BC qua điểm N (9; 3). Viết phương trình các cạnh của hình chữ nhật biết
điểm B có hoành độ nguyên.
x−1
=
Câu 8 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 :
2

y−3
z
x−5
y
z+5
= , d2 :
= =
và mặt phẳng (P ) : x − 2y + 2z − 1 = 0. Tìm hai điểm M
−3
2
6
4
−5
thuộc d1 và N thuộc d2 sao cho M N song song với (P ) và cách (P ) một khoảng bằng 2.
Câu 9 (0,5 điểm). Tìm hệ số của số hạng chứa x

10

trong khai triển biểu thức

1
x − 2
x
3

n

, biết

n là số tự nhiên thỏa mãn Cn4 = 13Cnn−2 .

Câu 10 (1,0 điểm). Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 1.
Chứng minh bất đẳng thức :
2a
2b
c2 − 1
3
+
+
2
2
2
a +1 b +1 c +1
2

——— Hết ———

4


NMHIEUPDP.WORDPRESS.COM

ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA

————————
Đề số 03

Môn : TOÁN
Thời gian làm bài 180 phút
————

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = x3 − 3mx2 + (m2 − 1)x + 2.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 1.
b) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2.
Câu 2 (1,0 điểm).
2π
π
+ x + cos2
+x
3
3
b) Tìm số phức z thỏa mãn |z − 1| = 5 và 17 (z + z) − 5zz = 0.
a) Chứng minh đẳng thức cos2 x + cos2

3
= .
2

Câu 3 (0,5 điểm). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x2 − ln(1 − 2x) trên
đoạn [−2; 0].
√
√
x2 + xy − 2y 2 + 3y − 1 = y − 1 − x
√
√
3 6 − y + 2x + 3y − 7 = 2x + 7

Câu 4 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình
4

Câu 5 (1,0 điểm). Tính tích phân I =

.

2x2 + 4x + 1
√
dx.
2x + 1

0

Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân, AB = AC = SA = SB = a,
SC = x, (SBC)⊥(ABC). Chứng minh tam giác SBC vuông. Xác định tâm và tính bán kính mặt
cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a và x.
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại B có đỉnh
A (−3; −3) và đường tròn nội tiếp tam giác ABC có phương trình (x − 1)2 + y 2 = 9. Viết phương
trình đường thẳng BC biết C có tung độ âm.
x
y+1
z
Câu 8 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : =
=
1
2
1
y−1
z−1
x
và d2 : =
=
. Viết phương trình đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1 , d2 và song

1
−2
3
x−4
y−7
z−3
song với đường thẳng ∆ :
=
=
.
1
4
−2
Câu 9 (0,5 điểm). Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 học sinh
khối 12, 6 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh đi dự trại
hè sao cho mỗi khối có ít nhất một em được chọn.
Câu 10 (1,0 điểm). Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện x + 2y − xy = 0. Tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức :
x2
y2
P =
+
4 + 8y 1 + x

——— Hết ———

5


NMHIEUPDP.WORDPRESS.COM

ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA

————————
Đề số 04

Môn : TOÁN
Thời gian làm bài 180 phút
————

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = x4 + 2mx2 − 2m2 có đồ thị (Cm).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho với m = 1.
b) Tìm tất cả các giá trị của m để (Cm) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông.
Câu 2 (1,0 điểm).
a) Giải phương trình 2sin2 2x + sin 6x = 2cos2 x.
b) Tìm phần thực và phần ảo của số phức w =

z+i
, trong đó z = 1 − 2i.
z−i

Câu 3 (0,5 điểm). Cho hàm số y = e−x sin x. Chứng minh rằng y + 2y + 2y = 0.
√
Câu 4 (1,0 điểm). Giải bất phương trình (35 − 12x) x2 − 1 < 12x.
π
2

Câu 5 (1,0 điểm). Tính tích phân: I =

sin 2x − 3 cos x

dx.
2 sin x + 1

0

Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình hộp ABCD.A B C D có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a,
A AB = BAD = A AD = 600 . Tính theo a thể tích khối hộp ABCD.A B C D và khoảng cách
từ A đến mặt phẳng (CDD C ).
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có diện
15
tích , đáy lớn AB gấp hai lần đáy nhỏ CD. Biết A(2; 0), B(0; 4) và C có hoành độ dương. Viết
2
phương trình đường thẳng chứa cạnh CD.
Câu 8 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 1; 1) và hai đường thẳng
x−1
y+2
z+1
x−2
y−2
z+1
=
=
, d2 :
=
=
. Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua
d1 :
1
−3
2

2
−3
−2
A và vuông góc với d1 . Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A vuông góc với d1 và cắt d2 .
Câu 9 (0,5 điểm). Một hộp chứa 4 quả cầu màu đỏ, 5 quả cầu màu xanh và 7 quả cầu màu
vàng. Lấy ra ngẫu nhiên cùng lúc 4 quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất sao cho 4 quả cầu được lấy
ra có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả cầu màu vàng.
Câu 10 (1,0 điểm). Cho các số thực dương x, y thoả mãn hệ thức

1 1 1
+ + = 4. Chứng minh
x y z

bất đẳng thức :
1
1
1
+
+
2x + y + z 2y + z + x 2z + x + y

——— Hết ———

6

1


NMHIEUPDP.WORDPRESS.COM

ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA

————————
Đề số 05

Môn : TOÁN
Thời gian làm bài 180 phút
————

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = 2x3 − 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1 với m là tham số.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
b) Tìm m để hàm số có cực trị đồng thời giá trị cực đại của hàm số lớn hơn 1.
Câu 2 (1,0 điểm).
a) Cho A, B, C là ba góc của một tam giác. Chứng minh rằng :
sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C
b) Cho số phức z thỏa mãn |z| − 2z = 3 (−1 + 2i). Tính A = |z| + |z|2 + |z|3 .
Câu 3 (0,5 điểm). Giải phương trình log22 x − log4 (4x2 ) − 5 = 0.
√
x + x2 − 2x + 2 = 3y−1 + 1
Câu 4 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình
y + y 2 − 2y + 2 = 3x−1 + 1

.

Câu 5 (1,0 điểm). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 + 1 và x + y = 3.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy
√ bằng a. Gọi G là trọng
a 3
. Tính khoảng cách từ
tâm tam giác SAC và khoảng cách từ G đến mặt bên (SCD) bằng

6
tâm O của đáy đến mặt bên (SCD) và tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, có trực
tâm H(−3; 2). Gọi D, E là chân đường cao kẻ tử B và C. Biết rằng điểm A thuộc đường thẳng
d : x − 3y − 3 = 0, điểm F (−2; 3) thuộc đường thẳng DE và HD = 2. Tìm tọa độ đỉnh A.
Câu 8 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x−2y +2z +1 = 0
và mặt cầu (S) : x2 + y 2 + z 2 − 4x + 6y + 6z + 17 = 0. Chứng minh (P ) cắt (S) theo giao tuyến
là một đường tròn. Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến.
Câu 9 (0,5 điểm). Trong kỳ thi Quốc Gia năm 2015 có tất cả 8 môn thi gồm Toán, Văn, Ngoại
ngữ, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa. Một trường Đại học X sử dụng kết quả 3 môn thi trong 8 môn thi
đó để lập thành một khối thi. Hỏi trường đại học X có thể sử dụng bao nhiêu khối thi để tuyển
sinh, biết rằng trong mỗi khối thi bắt buộc phải sử dụng kết quả môn Toán hoặc môn Văn.
Câu 10 (1,0 điểm). Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức :
a2 + 1 b 2 + 1 c 2 + 1
+
+
4b2
4c2
4a2

1
1
1
+
+
a+b b+c c+a

——— Hết ———

7

NMHIEUPDP.WORDPRESS.COM

ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA

————————
Đề số 06

Môn : TOÁN
Thời gian làm bài 180 phút
————

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = x3 + 4x2 − 3x − 5.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên [−2; 1].
Câu 2 (1,0 điểm).
√
π
− 2x + 3 cos 4x = 4cos2 x − 1.
a) Giải phương trình 2cos2
4
b) Tìm số phức z, biết rằng z.z = 2 và |z − 1|2 − z là một số thuần ảo.
2x2 −x

Câu 3 (0,5 điểm). Giải bất phương trình 9

1
< 3.
3

2x2 +x

8x3 + 2x = y 3 + y
x2 − x + 2 = y 2 − y

Câu 4 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình

.

.

e

ln x − 2
dx.
x ln x + x

Câu 5 (1,0 điểm). Tính tích phân I =
1

Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC =
√
a
a 3, SA = và SA vuông góc với (SBC). Tính thể tích của khối chóp S.ABC và cosin góc giữa
2
hai đường thẳng SC và AB.
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có BD = 2AC.
Đường thẳng BD có phương trình x − y = 0. Gọi M là trung điểm CD và H(2; −1) là hình chiếu
vuông góc của A trên BM . Viết phương trình đường thẳng AH.

Câu 8 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 4x−3y+11z−26 =
x
y−3
z+1
x−4
y
z−3
0 và hai đường thẳng d1 :
=
=
, d2 :
= =
. Chứng minh d1 và d2
−1
2
3
1
1
2
chéo nhau. Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trên (P ) và cắt d1 , d2 .
Câu 9 (0,5 điểm). Một bộ đề thi toán học sinh giỏi lớp 12 mà mỗi đề gồm 5 câu được chọn từ
15 câu dễ, 10 câu trung bình và 5 câu khó. Một đề thi được gọi là "Tốt" nếu trong đề thi có cả
ba loại câu dễ, trung bình và khó, đồng thời số câu dễ không ít hơn 2. Lấy ngẫu nhiên một đề thi
trong bộ đề trên. Tìm xác suất để đề thi lấy ra là một đề thi "Tốt".
Câu 10 (1,0 điểm). Cho các số thực x, y, z ∈ [0; 4] thoả mãn xyz = 1. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức :
1
1
1
P =√

+
+√
1+z
1 + x2
1 + y2

——— Hết ———

8


NMHIEUPDP.WORDPRESS.COM

ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA

————————
Đề số 07

Môn : TOÁN
Thời gian làm bài 180 phút
————

x+3
.
x+1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Tìm các điểm trên (C) có tọa độ nguyên.

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y =

Câu 2 (1,0 điểm).
a) Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C thỏa mãn sin A = cos B + cos C. Chứng minh tam
giác ABC vuông.
b) Tìm mô đun của số phức z biết |z − 1 − 2i|2 + zi + z = 11 + 2i.
Câu 3 (0,5 điểm). Giải phương trình log2 (x − 3) − log 1 (x − 1) = 3.
2

Câu 4 (1,0 điểm). Giải phương trình :
√
√
√
(13 − 4x) 2x − 3 + (4x − 3) 5 − 2x = 2 + 8 16x − 4x2 − 15
1

Câu 5 (1,0 điểm). Tính tích phân I =

2xex − 1
dx.
1 + x 2 ex

0

Câu 6 (1,0
√ điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O; SA⊥ (ABCD); AB = a;
SA = a 2. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD. Chứng minh SC⊥ (AHK) và tính
thể tích khối chóp O.AHK.
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đường cao qua
đỉnh B là 3x + 4y + 10 = 0, đường phân√giác trong góc A là x − y + 1 = 0, điểm M (0; 2) thuộc
AB đồng thời cách C một khoảng bằng 2. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
Câu 8 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(−1; 2; 7) và đường thẳng

y−1
z
x−2
=
= . Tìm toạ độ hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d. Viết phương trình
d:
1
2
1
mặt cầu tâm A và tiếp xúc với d.
Câu 9 (0,5 điểm). Mỗi đề thi gồm 4 câu được lấy ngẫu nhiên từ 15 câu hỏi trong một ngân
hàng đề thi gồm 15 câu hỏi. Bạn Thủy đã học thuộc 8 câu trong ngân hàng đề thi. Tính xác suất
để bạn Thủy rút ngẫu nhiên được một đề thi có ít nhất hai câu đã thuộc.
Câu 10 (1,0 điểm). Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a b c và a2 + b2 + c2 = 5. Chứng minh
bất đẳng thức :
(a − b) (b − c) (c − a) (ab + bc + ca) −4

——— Hết ———

9


NMHIEUPDP.WORDPRESS.COM

ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA

————————
Đề số 08

Môn : TOÁN

Thời gian làm bài 180 phút
————

3
1
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = x3 − x2 + 5.
4
2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình x3 − 6x2 + m = 0.
Câu 2 (1,0 điểm).
π
a) Giải phương trình 2sin2 x −
= 2sin2 x − tan x.
4
b) Tìm số phức z biết |z|2 + 2z.z + |z|2 = 8 và z + z = 2.
2x + 1
.
2(x − 1)2
√
√
2y 3 + y + 2x 1 − x = 3 1 − x
9 − 4y 2 = 2x2 + 6y 2 − 7

Câu 3 (0,5 điểm). Giải phương trình 2x2 − 6x + 1 = log

Câu 4 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình

.

Câu 5 (1,0 điểm). Tính
√ thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh Ox hình phẳng giới
hạn bởi các đường y = x ex , y = 0, x = 0, x = 1.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC = 2a.
Tam giác SAC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SA = a. Tính theo a thể
tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB).
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(5; 5),
phương trình đường thẳng chứa cạnh BC là x + y − 8 = 0. Biết rằng đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC đi qua hai điểm M (7; 3), N (4; 2). Tính diện tích tam giác ABC.
x−5
Câu 8 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ∆1 :
=
2

 x=2−t
y
z−4
y = −1 + t và mặt phẳng (P ) : x + y − z + 1 = 0. Tìm điểm M ∈ ∆1 và
=
, ∆2 :

−1
2
z = −5 + 3t
điểm N ∈ ∆2 sao cho M N vuông góc với (P ).
Câu 9 (0,5 điểm). Một lớp học có 33 học sinh, trong đó có 10 học sinh giỏi, 11 học sinh khá
và 12 học sinh trung bình. Chọn ngẫu nhiên trong lớp học 4 học sinh tham dự trại hè. Tính xác
suất để nhóm học sinh được chọn có đủ học sinh giỏi, học sinh khá và học sinh trung bình.
Câu 10 (1,0 điểm). Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3. Chứng minh bất
đẳng thức :

x
y
z
3
√ +√ +√
y
z
x

——— Hết ———

10


NMHIEUPDP.WORDPRESS.COM

ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA

————————
Đề số 09

Môn : TOÁN
Thời gian làm bài 180 phút
————

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = −x4 + 4x2 − 3.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Tìm m để phương trình x4 − 4x2 + 3 + 2m = 0 có bốn nghiệm phân biệt.
Câu 2 (1,0 điểm).
sin α + sin 2α + sin 3α

, biết tan α = 2.
a) Tính A =
cos α + cos 2α + cos 3α
b) Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 − 4z + 9 = 0 và M, N lần lượt là các
điểm biểu diễn z1 , z2 trên mặt phẳng phức. Tính độ dài đoạn thẳng M N .
Câu 3 (0,5 điểm). Cho hàm số y = e4x + 2e−x . Chứng minh rằng y − 13y = 12y.
27x3 y 3 + 7y 3 = 8
9x2 y + y 2 = 6x

Câu 4 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình

.

π
2

Câu 5 (1,0 điểm). Tính tích phân I =
π
6

cos x ln (1 + sin x)
dx.
sin2 x

Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với (ABC) và tam giác ABC cân
tại A, cạnh bên SB lần lượt tạo với mặt phẳng đáy một góc 300 và mặt phẳng trung trực của BC
một góc 450 , khoảng cách từ S đến cạnh BC bằng a. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
11
;3
2

là trung điểm của cạnh AD. Đường thẳng EK có phương trình 19x − 8y − 18 = 0 với E là trung
điểm của cạnh AB, điểm K thuộc cạnh DC và KD = 3KC. Tìm tọa độ đỉnh C của hình vuông
ABCD biết điểm E có hoành độ nhỏ hơn 3.
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Điểm F

Câu 8 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) : x + 2y − z = 0
x−1
y
z
và đường thẳng d :
= = . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M (1; −1; 1) cắt d
2
1
1
và song song với (α).
Câu 9 (0,5 điểm). Trong cuộc thi “Rung chuông vàng” có 20 bạn lọt vào vòng chung kết, trong
đó có 5 bạn nữ và 15 bạn nam. Để sắp xếp vị trí chơi, ban tổ chức chia các bạn thành 4 nhóm
A, B, C, D, mỗi nhóm có 5 bạn. Việc chia nhóm được thực hiện bằng cách bốc thăm ngẫu nhiên.
Tính xác suất để 5 bạn nữ thuộc cùng một nhóm.
Câu 10 (1,0 điểm). Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 3. Chứng minh rằng :
a b c
+ + +a+b+c
b c a
——— Hết ———

11

6

NMHIEUPDP.WORDPRESS.COM

ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA

————————
Đề số 10

Môn : TOÁN
Thời gian làm bài 180 phút
————

1
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = f (x) = − x3 + 2x2 − 3x.
3
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoàng độ x0 thỏa mãn f (x0 ) = −2.
Câu 2 (1,0 điểm).
sin x − 1
.
sin x + cos x
2
b) Giải phương trình 3 (z 2 − z + 1) + 7 (z 2 − z) + 1 = 0.

a) Giải phương trình 2 (1 + cos x) cot2 x + 1 =

Câu 3 (0,5 điểm). Giải phương trình log3 (x − 1)2 + log√3 (2x − 1) = 2.

y2 + 2
 2
= 2x − 2

y −x
.
Câu 4 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình
x
√

3
2
y + 1 + 2x − 1 = 1
π
2

Câu 5 (1,0 điểm). Tính tích phân I =
0

sin 2x
dx.
(sin x + 2)2

Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình√thang cân; mặt bên SAB
là tam giác đều; AB song song với CD ; AB = 2CD = 4a; BC = a 10; O là giao của AC và
BD. Biết SO vuông góc với (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD và tính cosin góc giữa
hai đường thẳng SD và BC.
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2BC.
Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng BD; E, F lần lượt là trung điểm đoạn CD và BH.
Biết A(1; 1), phương trình đường thẳng EF là 3x − y − 10 = 0 và điểm E có tung độ âm. Tìm
tọa độ các đỉnh B, C, D.
Câu 8 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P )
y+1
z

x−1
=
=
và
song song với mặt phẳng (α) : x + y − 2z + 3 = 0 đồng thời cắt d1 :
2
1
1
√
x−1
y−2
z
d2 :
=
= lần lượt tại A và B sao cho AB = 3 5.
1
2
1
Câu 9 (0,5 điểm). Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5Cn1 = Cn3 . Tìm hệ số của số hạng chứa
x5 trong khai triển nhị thức Newton của (2 + x)n .
Câu 10 (1,0 điểm). Cho các số thực dương a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P =

a+b
b+c
c+a
+
+
a + b + c b + c + 4a c + a + 16b

——— Hết ———

12


NMHIEUPDP.WORDPRESS.COM

ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA

————————
Đề số 11

Môn : TOÁN
Thời gian làm bài 180 phút
————

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = x3 − 3x2 + 3x.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y = 3x.
Câu 2 (1,0 điểm).
a) Cho A, B, C là ba góc của một tam giác. Chứng minh rằng :
cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin

B
C
A
sin sin
2
2
2

b) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z − 2 + 3i| = 5. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức
w = 2z − i − 3.
√
2−x

Câu 3 (0,5 điểm). Giải bất phương trình 3

Câu 4 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình

+ 6.3

>



4xy + 4 (x2 + y 2 ) +

2x +
2

Câu 5 (1,0 điểm). Tính tích phân I =

1−x

1
3

1
=3

x+y

x2 +x−2−3

.
3
=7
(x + y)2

.

1 + x2 ex
dx.
1+x

1

Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B. Biết
AD = 2AB = 2BC = 2a, SA = SC = SD = 3a. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách
giữa hai đường thẳng SB và CD.
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có M là trung
điểm cạnh BC, phương trình đường thẳng DM là x − y − 2 = 0, đỉnh C(3; −3) và đỉnh A nằm
trên đường thẳng d : 3x + y − 2 = 0. Xác định tọa độ đỉnh B.
Câu 8 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S)
y−1
z−1
x−2
=
=
và tiếp xúc với hai mặt phẳng

có tâm nằm trên đường thẳng d :
−3
2
2
(P ) : x + 2y − 2z − 2 = 0 và (Q) : x + 2y − 2z + 4 = 0.
Câu 9 (0,5 điểm). Một tổ có 5 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 3
học sinh để làm trực nhật. Tính xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ.
Câu 10 (1,0 điểm). Cho các số thực dương a, b, c thỏa a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức :
1
1
1
P =
+
+
2 + 4a 3 + 9b 6 + 36c
——— Hết ———

13


NMHIEUPDP.WORDPRESS.COM

ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA

————————
Đề số 12

Môn : TOÁN
Thời gian làm bài 180 phút

————

−x + 2
.
x+2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : y =

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y =

1
x − 7.
4
Câu 2 (1,0 điểm).
sin x
3π
−x +
= 2.
2
1 + cos x
b) Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 − 4z + 1 = 0. Tính A = z13 + z23 .

a) Giải phương trình tan

Câu 3 (0,5 điểm). Giải bất phương trình log2 (x2 − 1)

log 1 (x − 1).
2

√

Câu 4 (1,0 điểm). Giải phương trình 3x2 − 5 3 x3 + 1 + 8x + 5 = 0
π
4

1 + sin x
dx.
cos4 x

Câu 5 (1,0 điểm). Tính tích phân I =
0

Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy√ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a.
Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng a 2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB, CD, K là điểm trên cạnh AD sao cho KD = 2KA. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
và khoảng cách giữa hai đường thẳng M N và SK.
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình
cạnh AB là 2x + y − 1 = 0; phương trình cạnh AC là 3x + 4y + 6 = 0; điểm M (1; −3) nằm trên
cạnh BC và thỏa mãn 3M B = 2M C. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
Câu 8 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2 + y 2 + z 2 − 2x +
y−2
z−1
x−3
=
=
. Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho
2y − 4z − 19 = 0 và đường thẳng d :
2
1
−2
mặt phẳng qua M và vuông góc với d cắt S theo đường tròn có chu vi 8π.

Câu 9 (0,5 điểm). Có năm đoạn thẳng có độ dài lần lượt là 2cm, 4cm, 6cm, 8cm và 10cm. Lấy
ngẫu nhiên ba đoạn thẳng trong năm đoạn thẳng trên. Tính xác suất để ba đoạn thẳng lấy ra lập
thành một tam giác.
Câu 10 (1,0 điểm). Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 2. Tìm giá
trị lớn nhất của biểu thức :
√
√
√
P = x+y+ y+z+ z+x

——— Hết ———

14


NMHIEUPDP.WORDPRESS.COM

ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA

————————
Đề số 13

Môn : TOÁN
Thời gian làm bài 180 phút
————

1
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = x4 − 2x2 + 2.
4
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến qua điểm A(0; 2).
Câu 2 (1,0 điểm).
3
a) Cho cos 2α = . Tính A = sin4 α + cos4 α.
5
1+i
b) Tìm số phức z thỏa mãn z +
= (1 − i) |z|.
(1 − i)z
1
. Chứng minh đẳng thức xy + 1 = ey .
1+x
√
Câu 4 (1,0 điểm). Giải bất phương trình 5 x3 + x + 2 2(x2 + 3).
Câu 3 (0,5 điểm). Cho hàm số y = ln

1

Câu 5 (1,0 điểm). Tính tích phân I =

x3
√
dx.
x + x2 + 1

0

Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BD = a. Trên
cạnh AB lấy M sao cho BM = 2AM . Gọi I là giao điểm của AC và DM , SI vuông góc với mặt
phẳng đáy và mặt bên (SAB) tạo với đáy một góc 600 . Tính thể tích khối chóp S.IM BC.

Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại A
và D có√BC√= CD = 2AB. Đường thẳng chứa cạnh AD có phương trình x + y − 2 = 0; điểm
M 2 + 3; 3 là trung điểm cạnh BC. Tìm tọa độ đỉnh A, biết A có tung độ dương.
x
y−2
z
=
=
1
2
2
và mặt phẳng (P ) : x − y + z − 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A(3; −1; 1) nằm
trong (P ) và hợp với d một góc 450 .
Câu 8 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

Câu 9 (0,5 điểm). Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người. Trong ngày cần cử 3 người làm nhiệm
vụ ở địa điểm A, 2 người ở địa điểm B, 4 người thường trực tại đồn. Hỏi có bao nhiêu cách phân
công ?
Câu 10 (1,0 điểm). Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn 2(x + y) + 7z = xyz. Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức :
S = 2x + y + 2z

——— Hết ———

15


NMHIEUPDP.WORDPRESS.COM

ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA

————————
Đề số 14

Môn : TOÁN
Thời gian làm bài 180 phút
————

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = x3 − 3x2 + 2.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm
√ hai điểm A, B thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau và
AB = 4 2.
Câu 2 (1,0 điểm).
a) Tìm nghiệm trong khoảng (0; π) của phương trình :
4 sin2

x √
3π
− 3 cos 2x = 1 + 2 cos2 x −
2
4

b) Giải phương trình z + 2z = (1 + 5i)2 trên C.
√
Câu 3 (0,5 điểm). Giải phương trình log√2 x + 1 − log 1 (3 − x) − log8 (x − 1)3 = 0.
2

Câu 4 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình

x2 + y 2 − xy + 4y + 1 = 0
y 7 − (x − y)2 = 2 (x2 + 1)

.

Câu 5 (1,0 điểm). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2 − 3x + 2 và
trục Ox.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD = 600 ,
SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA = a. Gọi C là trung điểm của SC; mặt phẳng (P )
đi qua AC và song song BD, cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B , D . Tính thể
tích khối chóp S.AB C D .
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm M (3; 1) là
trung điểm cạnh AC; điểm H(2; −1) là chân đường cao kẻ từ A; điểm E(−5; 0) thuộc đường thẳng
chứa trung tuyến kẻ từ C. Tìm tọa độ điểm B, biết điểm A thuộc đường thẳng d : x − y + 1 = 0.
Câu 8 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (1; −2; 3) và mặt phẳng
(P ) : 2x + y − z − 6 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua M và song song với (P ). Tìm tọa
độ hình chiếu của M trên mặt phẳng (P ).
Câu 9 (0,5 điểm). Hai hộp thuốc Vitamin A, mỗi hộp chứa 10 vỉ thuốc. Hộp một có 2 vỉ hỏng,
hộp hai có 4 vỉ hỏng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một vỉ. Tính xác suất để lấy được 2 vỉ hỏng.
Câu 10 (1,0 điểm). Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 12. Chứng minh rằng
:
√
√
√
3
3
3
a b2 + c2 + b c2 + a2 + c a2 + b2 12

——— Hết ———

16


NMHIEUPDP.WORDPRESS.COM

ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA

————————
Đề số 15

Môn : TOÁN
Thời gian làm bài 180 phút
————

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = −x3 + 3x + 1.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Tìm giao điểm của (C) với đường thẳng y = 1 − x.
Câu 2 (1,0 điểm).
a) Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C thỏa mãn sin A = 2 sin B cos C. Chứng minh tam
giác ABC cân.
b) Tìm số phức z thỏa mãn |z − 2 + i| = 2, biết z có phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị.
Câu 3 (0,5 điểm). Giải bất phương trình 7x + 2.71−x − 9

0.

xy 2 + 4y 2 + 8 = x(x + 2)
√
x + y + 3 = 3 2y − 1.

Câu 4 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình

.

4

Câu 5 (1,0 điểm). Tính tích phân I =
0

x+1
√
2 dx.
1 + 1 + 2x

√
Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AD = a 5. Tam giác
a
SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SA = a, SB = , ASB = 1200 . Gọi E là trung
2
điểm của AD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCE
theo a.
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(3; 1), B(−1; 3) và đường
thẳng ∆ : 4x − 3y − 3 = 0. Viết phương trình đường tròn đi qua A, B và cắt ∆ tại C, D sao cho
CD = 4, biết tâm đường tròn có tọa độ nguyên.
x−1
=
Câu 8 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 :
2
y+1
z

x−1
y−2
z
= và d2 :
=
= và mặt phẳng (P ) : x + y − 2z + 3 = 0. Viết phương trình
1
1
1
2
1
√
đường thẳng ∆ song song với (P ) và cắt d1 , d2 lần lượt tại A, B sao cho AB = 29.
n

Câu 9 (0,5 điểm). Tìm hệ số của số hạng chứa x15 trong khai triển (2x3 − 5) thành đa thức ,
biết n là số nguyên dương thỏa mãn A3n + Cn1 = 8Cn2 + 49.
Câu 10 (1,0 điểm). Cho các số thực dương a, b thỏa a2 + 2b = 12. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức :
4
4
5
P = 4+ 4+
a
b
8(a − b)2

——— Hết ———

17

NMHIEUPDP.WORDPRESS.COM

ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA

————————
Đề số 16

Môn : TOÁN
Thời gian làm bài 180 phút
————

x+2
.
x−1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Tìm m để đường thẳng d : y = x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y =

Câu 2 (1,0 điểm).
cos 2x
+ (1 + cos2 x) tan x = 1 + sin2 x.
cos x
b) Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z − 2 − i| = |2z − 2i|.

a) Giải phương trình

Câu 3 (0,5 điểm). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x (x2 − x − 1) trên

đoạn [0; 2].

2

1
1
1

 x−
+
+x
=0
x
x3 y
.
Câu 4 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình
1

2

3x + 2 = 4
y
5

x2 ln (x − 1) dx.

Câu 5 (1,0 điểm). Tính tích phân I =
2

Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, mặt phẳng

(SBD)
√
vuông góc với đáy, các đường thẳng SA, SD hợp với đáy một góc 300 . Biết AD = a 6, BD = 2a
và góc ADB = 450 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ đỉnh C đến mặt phẳng
(SAD) theo a.
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, điểm M (2; 1) và hai đường thẳng
d1 : x − y + 2 = 0, d2 : x + 2y − 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng qua M và cắt d1 , d2 lần
lượt tại A, B sao cho M là trung điểm AB.
y+3
x−1
=
=
Câu 8 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :
−1
2
z−3
và mặt phẳng (P ) : 2x + y − 2z + 9 = 0. Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong (P ),
1
cắt và vuông góc với d.
Câu 9 (0,5 điểm). Có 14 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 14. Chọn ngẫu nhiên ra 7 tấm thẻ.
Tính xác suất để trong 7 tấm thẻ được chọn có 3 tấm thẻ mang số lẻ,4 tấm thẻ mang số chẵn
trong đó có duy nhất một tấm thẻ mang số chia hết cho 5.
Câu 10 (1,0 điểm). Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng :
2ab
3bc
2ca
+
+
c + ab a + bc b + ca
——— Hết ———

18

5
3


NMHIEUPDP.WORDPRESS.COM

ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA

————————
Đề số 17

Môn : TOÁN
Thời gian làm bài 180 phút
————

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = x3 − 3mx2 + 4.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi m = 1.
b) Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt
có hoành độ nhỏ hơn 4.
Câu 2 (1,0 điểm).
7π
1
π
, biết sin α = √ và 0 < α < .
3
2
3

b) Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện |iz − 3| = |z − 2 − i|.
a) Tính cos α +

Câu 3 (0,5 điểm). Giải phương trình 6.4x − 5.6x − 6.9x = 0.
√
√
√
Câu 4 (1,0 điểm). Giải phương trình 2 1 − x2 − 2 1 + x2 + 1 − x4 + 3x2 + 1 = 0.
π
2

sin x
dx.
1 + 2 cos x

Câu 5 (1,0 điểm). Tính tích phân I =
π
3

Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Biết SABD là tứ diện
đều cạnh a, tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD
và SC.
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có phương
trình BD là −2x + y + 2 = 0. Hai đường thẳng AB, AD lần lượt đi qua hai điểm M (−3; 2) và
N (−1; 6). Tìm tọa độ đỉnh A biết đỉnh B có hoành độ dương.
Câu 8 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(2; 3; −2) và mặt phẳng
(P ) : x − 2y − 2z − 9 = 0. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với (P ). Viết
phương trình mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P ) và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Câu 9 (0,5 điểm). Cho tập hợp E = {1, 2, 3, 4, 5}. Gọi M là tập hợp tất cả các số tự nhiên có
ít nhất 3 chữ số, các chữ số đôi một khác nhau thuộc E. Lấy ngẫu nhiên một số thuộc M . Tính

xác suất để tổng các chữ số của số đó bằng 10.
Câu 10 (1,0 điểm). Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng :
ab
+
c + ab

bc
+
a + bc

ca
b + ca

——— Hết ———

19

3
2


NMHIEUPDP.WORDPRESS.COM

ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA

————————
Đề số 18

Môn : TOÁN
Thời gian làm bài 180 phút

————

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = −x3 + 3x2 − 4.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Tìm m để đường thẳng d : y = m (x + 1) cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt M (−1; 0) , A, B
sao cho M A = 2M B.
Câu 2 (1,0 điểm).
√
0.
a) Giải phương trình 3 sin 2x + 2 cos 2x − cos 4x − 1 = √

3−i
+
b) Tìm phần thực, phần ảo và mô đun của số phức z =
1−i
√
x+8
2x+3
Câu 3 (0,5 điểm). Giải phương trình 4 3.243 x+8 = 3−2 .9 x+2 .
Câu 4 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình

√

2x2 y + y 3 = 2x4 + x6
√
(x + 2) y + 1 = (x + 1)2

3+i
.
2i

.

Câu 5 (1,0 điểm). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh Ox hình phẳng giới
π
hạn bởi đồ thị hàm số y = sin x, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = .
4
Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a; góc BCD = 600 ;
cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Hai mặt phẳng (SCB) và (SCD) vuông góc với
nhau. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD).
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC là I(−2; 1) và thỏa mãn điều kiện AIB = 900 , chân đường cao kẻ từ
A đến BC là D(−1; −1), đường thẳng AC đi qua điểm M (−1; 4). Tìm tọa độ các đỉnh A, B biết
rằng đỉnh A có hoành độ dương.

 x=1+t
y = −1 − t
Câu 8 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 :

z=2
y−1
z
x−3
=
= . Chứng minh d1 và d2 chéo nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P )
và d2 :
−1
2
1
chứa d1 và song song với d2 .

Câu 9 (0,5 điểm). Gọi A là tập hợp các số có 3 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2,
3, 4, 5. Chọn ngẫu nhiên ba số từ A, tính xác suất để trong ba số được chọn có đúng một số có
mặt chữ số 4.
Câu 10 (1,0 điểm). Cho các số thực x, y thỏa mãn x2 + y 2 + xy = 3. Tìm giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x3 + y 3 − 3x − 3y.

——— Hết ———

20


NMHIEUPDP.WORDPRESS.COM

ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA

————————
Đề số 19

Môn : TOÁN
Thời gian làm bài 180 phút
————

2x + 1
.
x−1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm m để đường thẳng d đi qua A(−2; 2) và có hệ số góc m cắt đồ thị (C) tại hai điểm
phân biệt thuộc hai nhánh của (C).
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y =

Câu 2 (1,0 điểm).
1
4 sin α + 5 cos α
a) Cho cot α = . Tính giá trị của biểu thức A =
.
2
2 sin α − 3 cos α
b) Giải phương trình z 3 + 2z 2 + z − 18 = 0 trên tập hợp các số phức C.
x+1
Câu 3 (0,5 điểm). Giải bất phương trình log 1 2x−1
> 1.
2

Câu 4 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình:

√
x3 − x2 + x = y y − 1 − y + 1
x3 + 4x2 + 1 = y 2

.

e

x + ln x
dx.
x2

Câu 5 (1,0 điểm). Tính tích phân I =
1

Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình
√ chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAD
là tam giác đều và SB = a 2. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD và AB. Gọi H là giao
điểm của F C và EB. Chứng minh SE⊥EB, CH⊥SB và tính thể tích khối chóp C.SEB.
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1; 4), tiếp
tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC tại D, đường phân giác trong của
ADB có phương trình x − y + 2 = 0, điểm M (4; 1) thuộc cạnh AC. Viết phương trình đường
thẳng AB.
y+2
x
=
Câu 8 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : =
3
1
z+4
x−1
y−6
z
và d2 :
=
=
. Tìm điểm A trên d1 , điểm B trên d2 sao cho đường thẳng AB
2
1
−2
−1
đi qua điểm M (1; 9; 0).
Câu 9 (0,5 điểm). Một tổ có 5 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 3
học sinh để làm trực nhật. Tính xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ.
Câu 10 (1,0 điểm). Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm giá trị lớn

nhất của biểu thức :
bc
ca
ab
P =√
+√
+√
3a + bc
3b + ca
3c + ab

——— Hết ———

21


NMHIEUPDP.WORDPRESS.COM

ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA

————————
Đề số 20

Môn : TOÁN
Thời gian làm bài 180 phút
————

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = x3 − 3x + 1.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Tìm điểm A thuộc (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại A cắt (C) tại điểm B khác A thỏa

mãn 2013xB + 2014xA = 2012, trong đó xA , xB lần lượt là hoành độ của A và B.
Câu 2 (1,0 điểm).
a) Giải phương trình sin 2x (2 cos x − 5) + cos 2x + 4 sin x − 5 cos x + 3 = 0.
√
b) Tìm tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức Oxy của số phức w = 1 + i 3 z +2
biết rằng số phức z thỏa mãn |z − 1| 2.
Câu 3 (0,5 điểm). Tìm tập xác định của hàm số y = log2 2 + log 1 (x2 + 3x) .
2

√
x + x2 − 2x + 5 = 3y + y 2 + 4
.
x2 − y 2 − 3x + 3y + 1 = 0

Câu 4 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình
1

Câu 5 (1,0 điểm). Tính tích phân I =

xe2x + xex + 1
dx.
ex + 1

0

Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có SB = SC = SD = AB = BC = CD = DA = a
và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) bằng 900 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có góc ABC
nhọn, đỉnh A(−2; −1). Gọi H, K, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng
BC, BD, CD. Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác HKE là (C) : x2 + y 2 + x + 4y + 3 = 0.

Tìm tọa độ các đỉnh B, C, D biết H có hoành độ âm, C có hoành độ dương và nằm trên đường
thẳng x − y − 3 = 0.
x−7
=
Câu 8 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ∆ :
3
y−2
z−1
x−1
y+2
z−5
=
và ∆ :
=
=
. Tìm tọa độ giao điểm A của ∆ và ∆ . Viết phương
2
−2
2
−3
4
trình mặt phẳng (α) chứa ∆ và ∆ .
Câu 9 (0,5 điểm). Tìm hệ số của số hạng chứa x2 trong khai triển
nguyên dương thỏa mãn 2Cn0 +

√

1
x+ √
24x

n

, biết n là số

22 1 23 2
2n+1 n
6560
Cn + Cn + ... +
Cn =
.
2
3
n+1
n+1

Câu 10 (1,0 điểm). Cho các số thực dương x, y thỏa mãn x + y < 1. Chứng minh rằng :
1 4
9
+ +
x y 1−x−y

——— Hết ———

22

36


NMHIEUPDP.WORDPRESS.COM

ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA

————————
Đáp án đề số 01

Môn : TOÁN
Thời gian làm bài 180 phút
————

Câu 1a (1,0 điểm).
Với m = 1 hàm số trở thành y = −x3 + 3x2 − 1.
• Tập xác định : D = R.
• Sự biến thiên :
+ Giới hạn tại vô cực :
lim y = −∞; lim y = +∞.
x→+∞

y

x→−∞

3

+ Bảng biến thiên :
x=0
.
x=2

y = −3x2 + 6x = −3x(x − 2); y = 0 ⇔

x −∞
−
y
+∞
y

0
0

+

2
0
3

1

+∞

U

−

O

2

−1

−∞

−1

1

Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2).
Hàm số nghịch biến trên (−∞; 0) và (2; +∞).
Hàm số đạt cực đại tại x = 2; yCĐ = 3.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; yCT = −1.
• Đồ thị :
+ Cắt Oy tại (0; −1).
+ Nhận điểm uốn U (1; 1) làm tâm đối xứng.
Câu 1b (1,0 điểm).
Đạo hàm y = −3x2 + 6x + m − 1.
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0; 3) khi và chỉ khi y
0, ∀x ∈ (0; 3).
Hay −3x2 + 6x + m − 1 0, ∀x ∈ (0; 3) ⇔ m 3x2 − 6x + 1, ∀x ∈ (0; 3) (∗).
Xét hàm số f (x) = 3x2 − 6x + 1 trên đoạn [0; 3] có f (x) = 6x − 6; f (x) = 0 ⇔ x = 1.
Khi đó f (0) = 1, f (3) = 10, f (1) = −2, suy ra max f (x) = f (3) = 10.
[0;3]

Do đó (∗) ⇔ m

max f (x) ⇔ m

10.

[0;3]

Vậy với m

10 thì hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0; 3).

Câu 2a (0,5 điểm).
3π
− 2α
Ta có cos
2

π
π
− 2α + π = − cos
− 2α = − sin 2α.
2
2
−2 tan α
4
Do đó A = − sin 2α = −2 sin α cos α = −2 tan αcos2 α =
=− .
2
1 + tan α
5
= cos

Câu 2b (0,5 điểm).
1 + 5i
(1 + 5i) (3 + i)
20 + 30i − (−2 + 16i)
11 7
= 2 + 3i −

=
=
+ i.
3−i √
10
10
5
5
121 49
170
+
=
.
25
25
5

Ta có z = 2 + 3i −
Do đó |z| =

1

x


Câu 3 (0,5 điểm).
Phương trình đã cho tương đương với :
2

(2 + log2 x) − 6log2 x − 7 = 0 ⇔

log22

log2 x = −1
⇔
log2 x = 3

x − 2log2 x − 3 = 0 ⇔

1
2
x=8
x=

1
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = ; x = 8.
2
Câu 4 (1,0
điểm).
1
2


(1)
2x + + y + = 6
x
y
2
Xét hệ
.

1

2
2

= 8 (2)
(x + y ) 1 +
xy
Điều kiện x = 0; y = 0.
2x + y
1
Ta có (1) ⇔ 2x + y +
= 6 ⇔ (2x + y) 1 +
xy
xy

1
1
=
.
xy
2x + y
x=y
Thay vào (2) được 36 (x2 + y 2 ) = 8(2x + y)2 ⇔ 4x2 − 32xy + 28y 2 = 0 ⇔
.
x = 7y
3
Với x = y thay vào (1) được 3x + = 6 ⇔ x2 − 2x + 1 = 0 ⇔ x = 1 ⇒ y = 1 (thỏa mãn).
x
15

= 6 ⇔ 35y 2 − 14y + 5 = 0 (vô nghiệm).
Với x = 7y thay vào (1) được 15y +
7y
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = (1; 1).
=6⇔1+

Câu 5 (1,0 điểm).
2

Ta có I =
1

2

x + 2 ln x
dx =
(x + 2)2

2

x
dx +
(x + 2)2

1

1

2 ln x
dx = I1 + I2 .

(x + 2)2

Trong đó
2

I1 =
1

Đặt

2

x
dx =
(x + 2)2

1


u = ln x
dv =

1
2
−
dx =
x + 2 (x + 2)2

2
dx

(x + 2)2
2 ln x
I2 = −
x+2


1

du = dx
x
⇒
2

v = −
x+2

2

= ln
1

2

2
1
dx = − ln 2 +
x (x + 2)
2

+

2
x+2

, ta có

2

2
1

ln |x + 2| +

1

1
1
−
x x+2

dx

1

1
3
= − ln 2 + (ln |x| − ln |x + 2|)|21 = ln 3 − ln 2
2
2
Vậy I = I1 + I2 = ln

4 1
3
1
1
− + ln 3 − ln 2 = ln 2 − .
3 6
2
2
6

Câu 6 (1,0 điểm).
1
1
Đáy ABCD là hình thoi nên có diện tích SABCD = AC.BD = .2a.4a = 4a2 .
2
2
Gọi H là trung điểm AB, tam giác SAB đều nên SH⊥AB.
Lại có (SAB)⊥(ABCD) suy ra SH⊥(ABCD).
2

4 1
−
3 6


√
√
2 + OB 2 = a 5.
Gọi O là giao điểm của AC và BD, ta có OA = a, OB = √

2a ⇒ AB
=
OA
√
√
√
3
a 15
=
.
Tam giác SAB đều cạnh a 5 nên đường cao SH = a 5.
2
2
√
√
1
1 2 a 15
2a3 15
=
.
Do đó thể tích khối chóp S.ABCD là VS.ABCD = .SABCD .SH = .4a .
3
3
2
3
S

I
A

B
H
K

O
D

C

Ta có AD||BC ⇒ AD||(SBC).
Do đó d (AD, SC) = d (AD, (SBC)) = d (A, (SBC)) = 2d (H, (SBC)).
Gọi K là hình chiếu của H trên BC, ta có BC⊥HK và BC⊥SH nên BC⊥(SHK).
Gọi I là hình chiếu của H trên SK, ta có HI⊥SK và HI⊥BC nên HI⊥(SBC).
Từ đó suy ra d (AD, SC) = 2d (H, (SBC)) = 2HI.
2a
S∆ABC
SABCD
4a2
2S∆HBC
=
=
= √ =√ .
Ta có HK =
BC
BC
2BC
2a 5
5 √
HS.HK
2a 15

Tam giác SHK vuông tại H nên HI = √
= √
.
2
2
HS + HK
91
√
4a 15
Vậy d (AD, SC) = 2HI = √
.
91
Câu 7 (1,0 điểm).
d1

A

H

B

d2

M

A

C

Gọi d1 : 2x − y + 5 = 0 và d2 : 7x − y + 15 = 0.

2x − y = −5
x = −2
Tọa độ B là nghiệm của hệ
⇔
⇒ B(−2; 1).
7x − y = −15
y=1
−−→
Gọi H là hình chiếu của A trên d1 ⇒ H (t; 2t + 5) ⇒ AH = (t − 1; 2t + 3).
−−→ →
Khi đó AH.−
ud1 = 0 ⇔ t − 1 + 4t + 6 = 0 ⇔ t = −1 ⇒ H(−1; 3).
Gọi A là điểm đối xứng với A qua d1 ⇒ A (−3; 4).
x = −2 − t
→ −−→
Khi đó A ∈ BC ⇒ −
u−
.
BC = BA = (−1; 3) ⇒ BC có phương trình
y = 1 + 3t
−t − 1 3t + 3
Vì C ∈ BC ⇒ C(−2 − t; 1 + 3t). Gọi M trung điểm AC ⇒ M
;
.
2
2
Khi đó M ∈ d
3) + 30 = 0 ⇔ t = 2 ⇒ C(−4; 7).
√2 nên 7(−t −
√1) − (3t + √

Ta có AB = 10; AC = 5 2; BC = 2 10 ⇒ tam giác ABC vuông tại B.
Vậy tam giác ABC có diện tích là S∆ABC = 10.
3


Câu 8 (1,0 điểm).

3x + 5y − z − 2 = 0
Tọa độ giao điểm M của d và (P ) là nghiệm hệ x − 12
y−9
z−1 .

=
=
4
3
1
Giải hệ ta được tọa độ giao điểm của d và (P ) là M (0; 0; −2).
→
Mặt phẳng (P ) có vectơ pháp tuyến −
n−
(P ) = (3; 5; −1).
→
−
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương ud = (4; 3; 1).
Mặt phẳng (Q) chứa d nên qua M (0; 0; −2).
→ →
−
Hơn nữa (Q) vuông góc với (P ) nên nhận −
n−

(P ) , ud = (8; −7; −11) làm vectơ pháp tuyến.
Vậy (Q) có phương trình 8x − 7y − 11z − 22 = 0.
Câu 9 (0,5 điểm).
1
1
Phép thử là lấy cùng lúc từ mỗi hộp một cây viết nên |Ω| = C11
.C15
= 165.
Gọi A là biến cố "hai cây viết được lấy ra có cùng màu", ta có |ΩA | = C51 .C71 + C61 .C81 = 83.
83
|ΩA |
=
.
Vậy xác suất cần tìm là P (A) =
|Ω|
165
Câu 10 (1,0 điểm).
Trước hết chứng minh rằng với mọi số thực dương x ta có 14x + 2 25x2 − 9x4 (∗).
Thật vậy (∗) ⇔ 9x4 − 25x2 + 14x + 2 0 ⇔ (x − 1)2 (9x2 + 18x + 2) 0 (luôn đúng).
Dấu bằng của (∗) xảy ra khi x = 1.
Thay x bởi a, b, c được 14a + 2 25a2 − 9a4 ; 14b + 2 25b2 − 9b4 ; 14c + 2 25c2 − 9c4 .
Từ đó suy ra 14(a + b + c) 25 (a2 + b2 + c2 ) − 9 (a4 + b4 + c4 ) ⇔ a + b + c 3.
Do đó theo bất đẳng thức Cauchy − Schawrz dạng Engel ta có :
(a + b + c)2
a+b+c
=
3 (a + b + c)
3

b2

c2
a2
+
+
P =
b + 2c c + 2a a + 2b

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 1 khi a = b = c = 1.

——— Hết ———

4

1