Cấu trúc và tính cực tiểu sắc yếu của tập nghiệm pareto trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính từng khúc

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
****************

NGUYỄN THỊ VÂN

CẤU TRÚC VÀ TÍNH CỰC TIỂU SẮC YẾU
CỦA TẬP NGHIỆM PARETO TRONG TỐI ƯU
ĐA MỤC TIÊU TUYẾN TÍNH TỪNG KHÚC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Hà Nội - 2015


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
****************

NGUYỄN THỊ VÂN

CẤU TRÚC VÀ TÍNH CỰC TIỂU SẮC YẾU CỦA
TẬP NGHIỆM PARETO TRONG TỐI ƯU
ĐA MỤC TIÊU TUYẾN TÍNH TỪNG KHÚC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học
ThS Nguyễn Văn Tuyên

Hà Nội - 2015


ii


LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn Thầy giáo Nguyễn Văn Tuyên đã tận
tình hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt thời gian thực hiện khóa luận.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy, các cô trong tổ giải tích-khoa
Toán, trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ em
hoàn thành khóa luận này.
Em xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã tạo mọi điều kiện
thuân lợi cho em trong quá trình thực hiện khóa luận.
Em xin chân thành cảm ơn.

Hà Nội, tháng 05 năm 2015
Sinh viên

Nguyễn Thị Vân

i


LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của Thầy giáo Nguyễn Văn
Tuyên khóa luận "Cấu trúc và tính cực tiểu sắc yếu của tập nghiệm

Pareto trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính từng khúc" được hoàn
thành không trùng với bất kỳ đề tài nào khác.
Trong quá trình hoàn thành khóa luận, em đã thừa kế những thành
tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 05 năm 2015
Sinh viên

Nguyễn Thị Vân

ii


Mục lục

Mở đầu

1

1

3

Bài toán tối ưu vector
1.1. Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. Quan hệ hai ngôi và quan hệ thứ tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3. Điểm hữu hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.4. Sự tồn tại của điểm hữu hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.5.

14

Bài toán tối ưu vector (VOP)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Cấu trúc và tính cực tiểu sắc yếu của tập nghiệm Pareto trong tối ưu đa mục
tiêu tuyến tính từng khúc

16

2.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.2. Cấu trúc của tập nghiệm Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.2.1. Trường hợp không lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.2.2. Trường hợp lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.3. Tính cực tiểu sắc yếu toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

Kết luận

30

Tài liệu tham khảo

31

iii


MỞ ĐẦU
Tối ưu đa mục tiêu tuyến tính được nghiên cứu rộng rãi và được áp
dụng để giải quyết nhiều vấn đề khác nhau trong kinh tế, tổ chức khoa
học, năng lượng ... Ta biết rằng họ các hàm tuyến tính từng khúc lớn hơn
họ các hàm tuyến tính và tồn tại một lớp rộng các hàm có thể xấp xỉ bằng
các hàm tuyến tính từng khúc. Vì thế việc nghiên cứu các bài toán tối ưu

đa mục tiêu tuyến tính từng khúc càng có ý nghĩa quan trọng hơn.
Một trong các vấn đề quan trọng nhất khi nghiên cứu một bài toán
tối ưu vector đó là nghiên cứu cấu trúc của tập nghiệm của bài toán này.
Định lí Arrow, Brakin và Blaclwell cổ điển (Định lí ABB) phát biểu rằng:
“Với bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính bất kì trong không gian định
chuẩn hữu hạn chiều, tập nghiệm Pareto và Pareto yếu là hợp của hữu hạn
các đa diện và liên thông đoạn”. Gần đây Yang [14] đã đưa ra một số mở
rộng cho định lý này cho bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính từng khúc
không gian định chuẩn vô hạn chiều.
Một vấn đề quan trọng khác khi nghiên cứu bài toán tối ưu vector
đó là nghiên cứu các thuật toán để giải bài toán này. Như chúng ta đã
biết, khái niệm cực tiểu sắc yếu toàn cục (global weak sharp minima) của
bài toán tối ưu vô hướng được đề xuất bởi Burke và Ferris [8] và được sử
dụng để chứng minh tiêu chuẩn dừng hữu hạn của một vài thuật toán, như
thuật toán gradien và các thuật toán chiếu gradien. Sau này, khái niệm
quan trọng này được phát triển và áp dụng trong nhiều lĩnh vực (xem
[9, 10, 11]). Một khái niệm liên quan gọi là tính cực tiểu sắc cũng được
một vài tác giả nghiên cứu (xem [12]).
Tính cực tiểu sắc yếu toàn cục của tập nghiệm Pareto yếu của một
bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính trong không gian định chuẩn hữu
hạn chiều được nghiên cứu bởi Deng và Yang [13]. Kết quả này được mở


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Vân

rộng trong [14] cho bài toán lồi đa mục tiêu tuyến tính từng khúc trong
không gian định chuẩn bằng cách sử dụng các tính chất đặc trưng của tập
nghiệm Pareto yếu được thiết lập trong [1].

Mục đích của khóa luận này là trình bày các kết quả trong bài báo
[19]. Các kết quả này là một mở rộng Định lí ABB cho trường hợp tập
nghiệm Pareto của bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính từng khúc trong
không gian định chuẩn hữu hạn chiều và áp dụng nó để thiết lập tính cực
tiểu sắc yếu toàn cục cho một bài toán lồi đa mục tiêu tuyến tính từng
khúc.
Khóa luận được chia thành hai chương:
Chương 1 giới thiệu một số kiến thức cơ bản về tối ưu vector.
Chương 2 chúng ta chứng minh rằng tập nghiệm Pareto của bài toán
tối ưu đa mục tiêu tuyến tính từng khúc trong không gian định chuẩn hữu
hạn chiều là hợp của hữu hạn các đa diện nửa đóng. Cũng trong phần này
ta chỉ ra rằng, nếu hàm mục tiêu là lồi theo nón, thì tập nghiệm Pareto là
hợp của hữu hạn các đa diện và liên thông đoạn. Cuối cùng, chúng ta thiết
lập tính cực tiểu sắc yếu toàn cục với tập nghiệm Pareto của bài toán lồi
đa mục tiêu tuyến tính từng khúc.

2


Chương 1
Bài toán tối ưu vector
1.1.

Một số khái niệm cơ bản
Giả sử E là không gian tuyến tính, R là tập các số thực.

Định nghĩa 1.1. Tập A ⊂ E được gọi là lồi, nếu:
∀x1 , x2 ∈ A; ∀λ ∈ R : 0

λ

1 ⇒ λx1 + (1 − λ)x2 ∈ A.

Ví dụ 1.1. Các nửa không gian là các tập lồi. Hình tam giác, hình tròn
trong mặt phẳng là các tập lồi. Hình cầu đơn vị trong không gian Banach
là tập lồi...
Định nghĩa 1.2. Giả sử A ⊂ X. Tương giao của tất cả các tập lồi chứa
A được gọi là bao lồi của tập A, kí hiệu là coA.
Nhận xét 1.1. a) coA là một tập lồi. Đó là tập lồi bé nhất chứa A;
b) A lồi khi và chỉ khi A = coA.
Định nghĩa 1.3. Tập C ⊂ E được gọi là nón có đỉnh tại 0 nếu:
∀x ∈ C, ∀λ > 0 ⇒ λx ∈ C.
C được gọi là nón có đỉnh tại x0 , nếu C − x0 là nón có đỉnh tại 0.


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Vân

Định nghĩa 1.4. Nón C có đỉnh tại 0 được gọi là nón lồi, nếu C là một
tập lồi, nghĩa là:
∀x, y ∈ C, ∀λ, µ > 0 ⇒ λx + µy ∈ C.
Ví dụ 1.2. Các tập sau đây trong Rn :
{ξ1 , ξ2 , ..., ξn ∈ Rn : ξi

0, i = 1, ..., n}

(nón orthant không âm)
{ξ1 , ξ2 , ..., ξn ∈ Rn : ξi > 0, i = 1, ..., n}
(nón orthant dương)

là các nón lồi có đỉnh tại 0. Đó là nón lồi quan trọng trong Rn .
Ngoài ra, nếu cho D ⊆ Rm là một nón lồi, nón cực dương của D được
xác định bởi:
D∗ := {x∗ ∈ Rm :< x∗ , x >
Cho a, b ∈ Rm , a
ai

D

0, ∀x ∈ D} .

b khi và chỉ khi a − b ∈ D; a

m
0, i = 1, ..., m. Kí hiệu Rm
+ := {x ∈ R : x

0 khi và chỉ khi

0} và cho g : X → Rm .

Hàm g được gọi là D- giống lồi trên S ⊆ X khi và chỉ khi :
∀x1 , x2 ∈ S, ∀α ∈ [0, 1], ∃x ∈ S.
sao cho
(1 − α)g(x1 ) + αg(x2 ) − g(x) ∈ D.
Điều này được biết đến trong [13] rằng g là một hàm D- giống lồi khi và
chỉ khi tập g(S) + D là lồi.
Định nghĩa 1.5. Tập A ⊂ Rn được gọi là tập affine, nếu
(1 − λ)x + λy ∈ A(∀x, y ∈ A, ∀λ ∈ R)
4

Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Vân

Định nghĩa 1.6. Tương giao của tất cả các tập affine chứa tập A ⊂ Rn
được gọi là bao affine của A và kí hiệu là af f A.
Định nghĩa 1.7. Phần trong tương đối của tập A ⊂ Rn là phần trong của
A trong af f A (bao affine); kí hiệu là riA. Các điểm thuộc riA được gọi là
điểm trong tương đối của tập A.
Nhận xét 1.2.
intA := {x ∈ Rn : ∃ > 0, x + B ⊂ A} ,
riA := {x ∈ af f A : ∃ > 0, (x + B) ∩ af f A ⊂ A} ,
trong đó B là hình cầu đơn vị đóng trong Rn .
Tiếp theo chúng ta sẽ đi xem xét một số nón thường gặp
Cho C là nón lồi trong không gian vector tôpô E. Kí hiệu l(C) :=
C ∩ (−C) (phần tuyến tính của C); clC (bao đóng của C); một tập con
A ⊆ E, Ac là phần bù của A trong E, nghĩa là Ac = E\A.
Định nghĩa 1.8. Chúng ta nói nón C là:
(a) Nhọn nếu l(C) = 0;
(b) Nón sắc nếu bao đóng của nó là nhọn;
(c) Nón có giá chặt nếu C\l(C) là được chứa trong một nửa không gian
mở thuần nhất;
(d) Nón đúng nếu (clC) + C\l(C) ⊆ C, hoặc tương đương
clC + C\l(C) ⊆ C\l(C).
Ví dụ 1.3. theo định nghĩa 1.8
1. Cho Rn là không gian Euclid n-chiều. Khi đó, nón orthant không
âm Rn+ gồm tất cả các vectơr của Rn với toạ độ không âm là nón lồi, sắc,
đóng, có giá chặt và là nón đúng.

5


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Vân

Tập {0} cũng là một nón, nhưng là nón tầm thường.
Tập là hợp của 0 và các vector với toạ độ đầu tiên dương là một nón
đúng, nhọn, có giá chặt nhưng không là nón sắc.
Bất kì nửa không gian đóng thuần nhất là nón đúng, có giá chặt
nhưng không là nón nhọn.
2. Cho Ω là không gian vectơr gồm tất cả dãy x = {xn } số thực. Cho
C = {x ∈ Ω : xn

0, ∀n}, thì C là nón nhọn, lồi. Tuy nhiên, ta chưa biết

nón C là nón đúng hoặc nón sắc vì ta chưa biết tôpô xác định trên không
gian này.
3. Nón thứ tự từ điển: Cho
1

|xn |p ) p , 1

lp = x ∈ Ω : x = (

p < ∞.

Kí hiệu C là hợp của 0 và các dãy mà số hạng đầu tiên khác không của
dãy là dương. Đây là một nón lồi, còn gọi là nón thứ tự từ điển. Nó là nón

nhọn nhưng không là nón đúng và cũng không phải là nón có giá chặt.
Mệnh đề 1.1. Nón C là đúng khi và chỉ khi một trong các các điều kiện
sau thoả mãn:
(a) C là đóng;
(b) C\l(C) là mở, khác rỗng;
(c) C là hợp của 0 và giao của các nửa không gian mở và nửa không gian
đóng trong E.
Chứng minh. (a) Hiển nhiên,
(b) Nếu C\l(C) mở thì intC = ∅ và intC = C\l(C). Do đó, ta có
clC + C\l(C) = (clC) + intC ⊆ C,
hay C là nón đúng.
6


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Vân

(c) Giả sử C = {0} ∪ (∩ {Hλ : λ ∈ Λ}), ở đây Hλ là nửa không gian đóng
hoặc mở trong E. Nếu tất cả Hλ là đóng thì điều này tương đương với
C là đóng. Do đó, ta có thể giả sử ít nhất một nửa không gian là mở thì
l(C) = {0} và b ∈ C\l(C) khi và chỉ khi b ∈ Hλ , ∀λ ∈ Λ. Hơn thế nữa, ta
thấy a ∈ clC khi và chỉ khi a ∈ clHλ , ∀λ ∈ Λ nên clHλ + Hλ ∈ Hλ .
Vậy Hλ là mở hoặc đóng thì a + b ∈ C, a ∈ C, b ∈ C\l(C). Mệnh đề
được chứng minh.
Định nghĩa 1.9. Cho một nón C trong không gian E. Một tập B ⊆ E
sinh ra nón C và viết C = cone(B) nếu
C = {tb : b ∈ B, t

0} .

Hơn nữa, nếu B không chứa 0 và với mỗi c ∈ C, c = 0, tồn tại duy nhất
b ∈ B, t > 0 sao cho c = tb thì B được gọi là cơ sở của C. Khi B là một
tập hữu hạn, cone(conv(B)) được gọi là một nón đa diện.
Nhận xét 1.3. Rõ ràng trong không gian hữu hạn chiều một nón có cở sở
là lồi, đóng bị chặn khi và chỉ khi nó là nhọn, đóng. Tuy nhiên nó không
đúng trong không gian vô hạn chiều.
Mệnh đề 1.2. Nếu E là không gian Hausdorff thì một nón với một cơ sở
lồi, đóng bị chặn là nón đóng, nhọn vì vậy nó là nón đúng.
Chứng minh. Trước hết ta chỉ ra rằng C là đóng. Cho dãy {cα } là một lưới
từ C hội tụ tới c. Do B là một cơ sở nên tồn tại một lưới {bα } từ B và một
lưới {tα } các số dương mà cα = tα bα . Dễ thấy tα là bị chặn. Thật vậy, giả
sử ngược lại limtα = ∞. Vì E là không gian Hausdorff nên lưới bα =

cα
tα

hội tụ tới 0. Hơn thế nữa B là đóng, dẫn tới mâu thuẫn: 0 = limbα ∈ B.
Bằng cách này, ta có thể giả sử {tα } hội tụ tới điểm to

0. Nếu to = 0

thì từ tính bị chặn của B, limtα bα = 0. Do đó c = 0 và hiển nhiên c ∈ C.
Nếu to > 0, ta có thể giả sử tα > , ∀α, > 0. Từ bα =
7

cα
tα

hội tụ tới

c
to

và


Khoá luận tốt nghiệp

hơn nữa B đóng nên vector

Nguyễn Thị Vân
c
to

∈ B. Do đó c ∈ C và C đóng nên C nhọn là

hiển nhiên.

1.2.

Quan hệ hai ngôi và quan hệ thứ tự
Cho một tập hợp E tuỳ ý, một quan hệ hai ngôi trong E được định

nghĩa bởi một tập con B của tập hợp tích E × E. Điều này có nghĩa là
một phần tử x ∈ E có quan hệ với y ∈ E nếu (x, y) ∈ B.
Định nghĩa 1.10. Cho B là một quan hệ hai ngôi trong E. Ta nói quan
hệ này là:
(a) Phản xạ nếu (x, x) ∈ B với mọi x ∈ E;
(b) Đối xứng nếu(x, y) ∈ B suy ra (y, x) ∈ B với mỗi x, y ∈ E;

(c) Bắc cầu nếu (x, y) ∈ B,(y, z) ∈ B suy ra (x, z) ∈ B với x, y, z ∈ B;
(d) Đầy đủ hoặc liên thông nếu (x, y) ∈ B hoặc (y, x) ∈ B với mỗi x, y ∈
E, x = y;
(e) Tuyến tính trong trường hợp E là không gian vector thực nếu (x, y) ∈ B
suy ra (tx + z, ty + z) ∈ B với mọi x, y, z ∈ E, t > 0;
(f) Đóng trong trường hợp E là không gian vector tôpô, nếu nó là đóng
như một tập con của không gian tích E × E.
Để làm rõ định nghĩa này chúng ta xem xét một số ví dụ cổ điển
sau. Cho E là một cộng đồng dân cư của một thành phố và chúng ta định
nghĩa quan hệ hai ngôi như sau (số dân cư được gán bởi x, y, z,...)
1. (x, y) ∈ B1 nếu x, y là những người tuổi cao hoặc có tuổi.
2. (x, y) ∈ B2 nếu x, y là hai giới tính khác nhau.
3. (x, y) ∈ B3 nếu x, y là những người có họ.
8


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Vân

Ta thấy rằng B1 là phản xạ, bắc cầu, không đối xứng, đầy đủ. B2
không phản xạ, đối xứng, không bắc cầu, không đầy đủ. B3 là phản xạ,
không bắc cầu, đối xứng, không đầy đủ.
Định nghĩa 1.11. Quan hệ hai ngôi là một quan hệ thứ tự nếu nó là phản
xạ, bắc cầu.
Thật vậy, nếu B là một quan hệ thứ tự mà là tuyến tính trong một
không gian vector thì tập
C = {x ∈ E : (x, 0) ∈ B}
là một nón lồi. Hơn nữa, nếu B là không đối xứng thì C là nhọn. Ngược
lại, mỗi nón lồi trong E cho một quan hệ hai ngôi

BC = {(x, y) ∈ E × E : x − y ∈ C}
là phản xạ, bắc cầu và tuyến tính. Ngoài ra, nếu C là nhọn thì BC là không
đối xứng.
Bây giờ, chúng ta sẽ xét một vài thứ tự sinh ra bởi các nón lồi. Đôi
khi chúng ta viết:
x

C

y thay cho x − y ∈ C;

hoặc x

y nếu nó chắc chắn là quan hệ hai ngôi được định nghĩa

bởi C;
x >C y nếu x

C

y và không phải là y

hay là x ∈ y + C\l(C). Khi intC = 0, x

C

x,
C

y nghĩa là x >K y với

K = {0} ∪ intC.
Ví dụ 1.4. 1. Cho Rn và tập C = Rn+ . Thì BC là phản xạ, bắc cầu, tuyến
tính, đóng, không đối xứng nhưng không đầy đủ. Cho x = (x1 , ..., xn ) , y =
(y1 , ..., yn ) ∈ Rn :
9


Khoá luận tốt nghiệp

x

C

Nguyễn Thị Vân

y khi và chỉ khi xi

x >C y khi và chỉ khi xi

yi với i = 1,..., n;
yi với i = 1,..., n và ít nhất một bất đẳng

thức là ngặt;
x

C

y khi và chỉ khi xi > yi với mọi i = 1,..., n.

2. Trong R2 . Nếu C = R1 , 0 thì BC là phản xạ, bắc cầu, tuyến
tính, đóng và đối xứng. Trong trường hợp này x

C

y khi và chỉ khi hai

thành phần của các vector trùng nhau. Thứ tự này không đầy đủ.
3. Nón thứ tự từ điển là một quan hệ phản xạ, bắc cầu, tuyến tính
đầy đủ trong lp .

1.3.

Điểm hữu hiệu
Cho E là không gian vector tôpô thực với quan hệ thứ tự ( ) được

sinh bởi một nón lồi C.
Định nghĩa 1.12. Cho A là một tập con khác rỗng của E. Ta nói rằng:
(a) x ∈ A là một điểm hữu hiệu lí tưởng (hoặc cực tiểu lí tưởng) của A
tương ứng với C nếu y

x, ∀y ∈ A;

Tập các điểm cực tiểu lí tưởng của A được kí hiệu là IE(A|C);
(b) x ∈ A là điểm hữu hiệu (cực tiểu-Pareto hoặc cực tiểu) của A tương
ứng với C nếu x

y, y ∈ A thì y

x;

Tập các điểm hữu hiệu của A kí hiệu là E(A|C);
(c) x ∈ A là điểm hữu hiệu thực sự (toàn cục) của A tương ứng với C nếu
tồn tại một nón lồi K = E với intK ⊇ C\l(C) sao cho x ∈ E(A|K);
Tập các điểm hữu hiệu toàn cục của A được kí hiệu là P rE(A|C);
(d) Giả sử intC = ∅, x ∈ A là một điểm hữu hiệu yếu của A tương ứng với

10


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Vân

C nếu x ∈ E(A| {0} ∪ intC);
Tập các điểm hữu hiệu yếu của A kí hiệu là W E(A|C).
Ví dụ 1.5. Cho:
A = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2

0 ∪ {(x, y) : x

1, y

0, 0

y

−1} ;

B = A ∪ {(−2, −2)}.

Nếu cho C = R2+ , ta có:
IE(B) = P rE(B) = E(B) = W E(B) = {(−2, −2)};
IE(A) = ∅,
P rE(A) = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1, 0 > x, 0 > y ,
E(A) = P rE(A) ∪ {(0, −1)} ∪ {(−1, 0)},
W E(A) = E(A) ∪ {(x, y) : y = −1, x

0}.

Bây giờ cho C = (R1 , 0) ⊆ R2 . Ta có :
IE(B) = ∅,
P rE(B) = E(B) = W E(B) = B,
IE(A) = ∅,
P rE(A) = E(A) = W E(A) = A.
Từ định nghĩa của các điểm hữu hiệu, ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.3. Cho A ⊆ E thì :
(a) x ∈ IE(A) khi và chỉ khi x ∈ A và A ⊆ x + C;
(b) x ∈ E(A) khi và chỉ khi A ∩ (x − C) ⊆ x + l(C) hoặc tương đương:
∃y ∈ A sao cho x > y. Đặc biệt khi C là nhọn, x ∈ E(A) khi và chỉ khi
A ∩ (x − C) = {x};
(c) Khi C = E, x ∈ W E(A) khi và chỉ khi A ∩ (x − intC) = ∅ hoặc tương
đương với ∃y ∈ A sao cho x

y.

Mệnh đề 1.4. Cho tập khác rỗng A ⊆ E có:
11


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Vân

P rE(A) ⊆ E(A) ⊆ W E(A).
Hơn nữa, nếu IE(A) = ∅ thì IE(A) = E(A) và nó là tập một điểm
khi C là nhọn.
Chứng minh. Lấy x ∈ P rE(A). Nếu x ∈ E(A) có y ∈ A và x − y ∈
C\l(C). Lâý nón lồi K, K = E với intK ⊆ C\l(C) và x ∈ E(A|K). Thì
x − y ∈ intK ⊆ K\l(K). Điều này mâu thuẫn với x ∈ E(A|K) suy ra
P rE(A) ⊆ E(A).
Lấy x ∈ E(A). Nếu x ∈ W E(A) theo Mệnh đề 1.3 tồn tại y ∈ A sao
cho x−y ∈ intC. Do C = E, intC ⊆ C\l(C) nên ta có x−y ∈ C\l(C).Điều
này mâu thuẫn với x ∈ E(A). Vậy E(A) ⊆ W E(A).
Rõ ràng IE(A) ⊆ E(A). Nếu IE(A) = ∅, cho x ∈ IE(A) thì x ∈
E(A). Cho y ∈ E(A) thì y ≥ x vì vậy x
có z

x vì x ∈ IE(A) suy ra z

Ngoài ra, nếu C là nhọn x

y. Lấy một điểm bất kì z ∈ A

y là y ∈ IE(A). Do đó IE(A) = E(A).

y và y ≥ x chỉ có thể xảy ra trường hợp

x = y. Vậy IE(A) là tập một điểm.
Định nghĩa 1.13. Cho x ∈ E. Tập A ∩ (x − C) được gọi là một nhát cắt
A tại x và kí hiệu Ax .

Mệnh đề 1.5. Cho x ∈ E với Ax = ∅. Ta có :
(a) IE(Ax ) ⊆ IE(A) nếu IE(A) = ∅;
(b) E(Ax ) ⊆ E(A) (tương tự cho W E).
Chứng minh. (a) Cho y ∈ IE(Ax ) và z ∈ IE có Ax ⊆ y + C và A ⊆ z + C.
Thì z ∈ Ax và z − y ∈ l(C) suy ra
A ⊆ z + C = y + z − y + C = y + l(C) + C = y + C.
Do đó y ∈ IE(A).

12


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Vân

(b) Giả sử y ∈ E(Ax ). Theo Mệnh đề 1.4 có Ax ∩ (y − C) ⊂ y + l(C) suy
ra y − C ⊆ x − C nên
A ∩ y − C ⊆ A ∩ (y − C) ∩ (x − C) ⊆ Ax ∩ (y − C) ⊆ y + l(C).
Do đó y ∈ E(A).
Chứng minh tương tự cho W E.
Nhận xét 1.4. Quan hệ P rE(Ax ) ⊆ P rE(A) nói chung không đúng trừ
một số trường hợp đặc biệt.

1.4.

Sự tồn tại của điểm hữu hiệu

Định nghĩa 1.14. Cho lưới {xα : α ∈ I} từ E được gọi là lưới giảm (tương
ứng với C) nếu xα >C xβ với α, β ∈ I; β > α.
Định nghĩa 1.15. Cho A ⊆ E được gọi là C- đầy đủ (tương ứng Cđầy đủ mạnh) nếu nó không có phủ dạng {(xα − clC)c : α ∈ I} (tương ứng

{(xα − C)c : α ∈ I}) với {xα } là một lưới giảm trong A.
Định lý 1.1. Giả sử C là một nón lồi đúng và A là một tập khác rỗng
trong E. Thì E(A|C) = ∅ khi và chỉ khi A có một nhát cắt C- đầy đủ và
khác rỗng.
Chứng minh. Nếu E(A|C) = ∅ thì mọi điểm của tập này cho ta một nhát
cắt C- đầy đủ vì không tồn tại lưới giảm. Ngược lại, cho Ax khác rỗng là
một nhát cắt C- đầy đủ của A. Theo Mệnh đề 1.5 thì ta chỉ cần chứng
minh E(Ax |C) = ∅. Xét tập P bao gồm tất cả các lưới giảm trong A. Vì
A = ∅ suy ra P = ∅. Với a, b ∈ P ta viết a

b nếu b ⊆ a. Rõ ràng ( ) là

quan hệ thứ tự trong P , và một xích bất kì trong P đều có cận trên. Thật
vậy, giả sử {aλ ; λ ∈ Λ} là một xích trong P . Gọi B là tập tất cả các tập

13


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Vân

con hữu hạn B của Λ được sắp thứ tự bởi bao hàm và đặt
aB = ∪ {aα ; α ∈ B} .
Và
ao = ∪ {aB : B ∈ B} .
Thì ao là một phần tử của P và ao

aα với mọi α ∈ Λ nghĩa là ao

là một cận trên của xích này. Áp dụng bổ đề Zorn, tồn tại phần tử lớn
nhất của P , kí hiệu là a∗ = {xα : α ∈ I} ∈ P . Bây giờ, giả sử ngược lại
E(Ax |C) = ∅. Chúng ta sẽ chứng minh {(xα − clC)c : α ∈ I} phủ Ax . Ta
chỉ ra với mỗi y ∈ Ax có α ∈ I mà (xα − clC)c chứa y. Giả sử phản chứng
y ∈ xα − clC, ∀α ∈ I. Vì E(Ax |C) = ∅ có z ∈ Ax với y >C z. Do tính đúng
của C nên x − α >C z, (α ∈ I). Thêm z vào lưới a∗ ta thấy rằng lưới này
không thể lớn nhất, dẫn tới mâu thuẫn. Vậy định lí được chứng minh.

1.5.

Bài toán tối ưu vector (VOP)
Cho X là một tập con khác rỗng của một không gian tôpô và F là

một ánh xạ đa trị từ X vào E, ở đây E là không gian vector tôpô thực
được sắp thứ tự bởi nón lồi C.
Xét VOP :
minF (x)
với ràng buộc x ∈ X.
Điểm x ∈ X được gọi là tối ưu (cực tiểu hoặc hữu hiệu) của VOP
nếu F (x) ∩ E(F (X)|C) = ∅.
Ở đây F (X) là hợp của các tập F (x) trên X. Các phần tử của
E(F (x)|C) được gọi là giá trị tối ưu của VOP. Tập các điểm hữu hiệu của

14


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Vân

VOP được kí hiệu là S(X; F ). Thay thế IE, P rE, W E cho E(F (X)|C)
chúng ta có các khái niệm IS(X; F ), P rS(X; F ) và W S(X; F ).
Quan hệ giữa các điểm hữu hiệu, hữu hiệu thực sự và hữu hiệu yếu
của VOP được trình bày trong mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.6. Cho VOP, chúng ta có các bao hàm thức sau:
P rS(X; F ) ⊆ S(X; F ) ⊆ W S(X; F ).
Hơn nữa, nếu IS(X; F ) = ∅ thì IS(X; F ) = S(X; F ).
Chứng minh tương tự Mệnh đề 1.4
Bổ đề 1.1. Giả sử C là lồi, X là tập compac khác rỗng và F là C- liên
tục trên trong X với F (x) + C là C- đầy đủ, đóng với mọi x ∈ X thì F (X)
là C- đầy đủ.
Chứng minh. Giả sử phản chứng rằng F (X) không là C đầy đủ. Điều này
có nghĩa là có một lưới giảm {aα : α ∈ I} của F (X) sao cho {(aα −cl(C))c :
α ∈ I} là phủ của F (X). Lấy xα ∈ X với aα ∈ F (xα ). Không mất tính
tổng quát, giả sử lim xα = x ∈ X. Khi đó, với mỗi lân cận V của F (x)
trong E có một chỉ số β ∈ I sao cho
aα ∈ V + C, ∀α

β.

aα ∈ aδ + C, ∀δ

α.

Do {aα } là dãy giảm, nên

Từ đây suy ra:
aα ∈ cl(F (x) + C) = F (x) + C, ∀α.
Dẫn tới mâu thuẫn: F (x) + C không thể là C- đầy đủ.

15


Chương 2
Cấu trúc và tính cực tiểu sắc yếu của
tập nghiệm Pareto trong tối ưu đa
mục tiêu tuyến tính từng khúc
2.1.

Đặt bài toán
Cho ánh xạ f : X → Y từ không gian định chuẩn X vào không

gian định chuẩn hữu hạn chiều Y . Như trong [1], f được gọi là một hàm
tuyến tính từng khúc (hoặc một hàm affin từng khúc), nếu tồn tại các họ
{P1 , ..., Pk }, {T1 , ..., Tk } và {b1 , ..., bk } của tập lồi đa diện trong X, các toán
tử tuyến tính liên tục từ X vào Y và các điểm tương ứng trên Y sao cho
X=

k
i=1 Pi

và

f (x) = fi (x) := Ti (x) + bi ∀x ∈ Pi , ∀i ∈ {1, ..., k}.

(2.1)

Để có (2.1), ta phải có
fi (x) = fj (x) ∀x ∈ Pi ∩ Pj , ∀i, j ∈ {1, ..., k}.
Cho một họ hữu hạn các hàm tuyến tính liên tục giá trị thực, dễ thấy rằng

phép toán lấy cực đại và cực tiểu của các họ này cho ta một hàm tuyến
tính liên tục từng khúc. Tổng quát hơn, cực đại hoặc cực tiểu của một họ


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Vân

hữu hạn các hàm tuyến tính liên tục từng khúc giá trị thực bất kì cũng là
một hàm tuyến tính liên tục từng khúc giá trị thực. Thông thường, chúng
ta gọi một tập con của một không gian là một tập lồi đa diện (gọi tắt là
một đa diện), nếu nó là toàn bộ không gian hoặc nó là giao của hữu hạn
các nửa không gian đóng. Chú ý rằng hàm tuyến tính liên tục từng khúc và
bài toán tối ưu đa mục tiêu liên quan được nghiên cứu theo các quan điểm
khác nhau. Ví dụ, Gowda và Szajder [2] nghiên cứu tính chất giả-Lipschitz
của f −1 và chỉ ra rằng các kết quả thu được có thể áp dụng cho bất đẳng
thức biến phân affin và bài toán bù tuyến tính. Đáng chú ý rằng định nghĩa
của một hàm tuyến tính từng khúc được nhắc lại ở trên thì yếu hơn trong
[2], trong đó giả thiết rằng với mọi cặp (i, j), Pi ∩ Pj bằng rỗng hoặc một
mặt chung của Pi và Pj . Đối với bài toán quy hoạch tuyến tính hai cấp với
cấu trúc mạng đặc biệt hoặc cấu trúc tài chính, tập nghiệm Pareto được
khảo sát trong [3,4].
Cho D ⊂ X là một đa diện, cho C ⊂ Y là một nón lồi đa diện và
f : X → Y là một hàm tuyến tính từng khúc. Xét bài toán tối ưu đa mục
tiêu tuyến tính từng khúc dưới đây:
(P )

min f (x) sao cho x ∈ D.
C

Cho u ∈ D. Nhắc lại rằng u được gọi là một nghiệm Pareto của (P ) nếu
x ∈ D, f (u) − f (x) ∈ C\{0Y }.
Một điểm u được gọi là một nghiệm Pareto yếu của (P ), nếu không tồn
tại x ∈ D với f (u) − f (x) ∈ intC, ở đó intC kí hiệu phần trong của C.
Tập tất cả các nghiệm Pareto (tương tự., tập tất cả các nghiệm Pareto
yếu) được kí hiệu bởi S (tương tự., Sw ). Việc nghiên cứu các tính chất đặc
trưng của tập nghiệm này rất hữu ích trong việc thiết kế các thuật toán
để giải (P ).
Theo [5, p. 341], chúng ta nói rằng f : X → Y là một C-lồi trên D
17


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Vân

nếu với mọi x1 , x2 ∈ D và t ∈]0, 1[, thì
(1 − t)f (x1 ) + tf (x2 ) − f ((1 − t)x1 + tx2 ) ∈ C.
Trong trường hợp Y = Rn và C = Rn+ (nón orthant không âm trong Rn ),
f = (f1 , ..., fn ) được gọi là một hàm lồi trên D khi đó nó là một C-lồi
trên D. Vì vậy, tính lồi của f trên D thì tương đương với tính lồi của các
fi trên D.
Nếu f là một C-lồi trên D thì ta nói rằng (P ) là một bài toán lồi.

2.2.

Cấu trúc của tập nghiệm Pareto

2.2.1.

Trường hợp không lồi

Một tập con của một không gian định chuẩn được gọi là một đa diện
nửa đóng, nếu nó là giao của một họ bao gồm hữu hạn các nửa không gian
đóng và hữu hạn các nửa không gian mở. Từ đây và về sau, giao của một
họ rỗng các tập con trong không gian định chuẩn được quy ước là toàn bộ
không gian.
Định lý 2.1. Tập nghiệm Pareto S của (P ) là hợp của hữu hạn các đa
diện nửa đóng.
Chứng minh. Đặt M =

k
i=1 Mi ,

ở đó Mi := fi (Pi ∩ D) với i = 1, ..., k.

Chúng ta kí hiệu tập nghiệm Pareto của Mi là E(Mi |C). Từ định nghĩa,
ta có
S = {x ∈ D : f (x) ∈ E(M |C)} = f −1 (E(M |C)) ∩ D.

(2.2)

Đẳng thức (2.2) cho phép chúng ta để sử dụng phương pháp tiếp cận không
gian ảnh (xem [5, 15]) để chứng minh các khẳng định sau: thứ nhất, trong
không gian ảnh Y tập E(M |C) là hợp của hữu hạn các đa diện nửa đóng;

18


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Vân

thứ hai từ (2.2) và giả thiết f tuyến tính từng khúc thì S là hợp của hữu
hạn các đa diện nửa đóng.
Khẳng định 1. E(M |C) là hợp của hữu hạn các đa diện nửa đóng.
Chú ý rằng
E(M |C) ⊂ E(M1 |C) ∪ E(M2 |C) ∪ ... ∪ E(Mk |C).

(2.3)

Với i ∈ {1, ..., k} bất kì, Mi = {Ti (x) + bi : x ∈ Pi ∩ D} là một tập lồi đa
diện trong Y . Từ Y là một không gian định chuẩn hữu hạn chiều và C ⊂ Y
là một nón lồi đa diện, Định lí ABB khẳng định rằng E(Mi |C) là hợp của
hữu hạn các đa diện (nó là các mặt của Mi ). Giả sử rằng
mi

E(Mi |C) =

Qi,r , i = 1, ..., k,

(2.4)

r=1

ở đó mỗi Qi,r là một đa diện trong Y . Sử dụng (2.3) và (2.4), bây giờ chúng
ta có thể mô tả một thuật toán cho việc tìm toàn bộ tập E(M |C).
Bước 1. Xét tập nghiệm Pareto E(M1 |C). Từ (2.4) ta có,
mi

E(M1 |C) =

Q1,r .

(2.5)

r=1

Rõ ràng, một điểm v ∈ Q1,r , với r ∈ {1, ..., m1 }, trong E(M |C) khi và chỉ
khi
v ∈ Mi + (C \{0Y }), ∀i ∈ {2, ..., k}.

(2.6)

Lấy v ∈ Q1,r bất kì. Cho i = 2. Nếu v ∈ M2 + C thì có hai khả năng:
(a)

v ∈ M2 + (C \{0Y }), (b)

v ∈ M2 .

Trong trường hợp (a) từ tiêu chuẩn (2.6), v không thể thuộc E(M |C) . Do
đó chúng ta có thể loại trừ v từ Q1,r . Trong trường hợp (b) có hai trường
hợp con:
(b1 )

v ∈ E(M2 |C), (b2 )
19

v ∈ E(M2 |C).