Khoá luận tốt nghiệp toán ứng dụng của nguyên lí ánh xạ co vào dãy số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s u PHẠM HÀ NỘI 2
KHỎA TOÁN
===£r)lũũlG8 = = =

LƯU THỊ HÒNG YÊN

LÍ ÁNH XẠ co

ỨNG DỤNG CỦA NGUYÊN

VÀO DÃY SỐ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
•

•

•

•

C huyên ngành: G iải tích

Ngưòi hưóng dẫn khoa học
PGS. TS. KHUẤT VĂN NINH

HÀ NỘI, 2015


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

L Ờ I C Ả M ƠN

Trong quá trình thực hiện đề tài nghiên cứu khoa học này, em đã nhận được
rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên, nhờ đó
mà em đã tiếp thu được nhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm và phương pháp
học tập mới, bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học.
Qua đây em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán Truông Đại học sư phạm Hà Nội 2 - những người đã tận tình dạy dỗ em trong
bốn năm học vừa qua và đã tạo điều kiện để em hoàn thành khóa luận này.
Em xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc của mình tới PGS.TS Khuất Văn Ninh,
người đã trực tiếp hướng dẫn chỉ bảo tận tình cho em trong suốt quá trình thực
hiện đề tài nghiên cứu này.
Do còn hạn chế về trình độ và thời gian nên khóa luận này không tránh
khỏi những sai sót. Em rất mong nhận được sự giúp đỡ, góp ý phê bình của các
thầy cô và các bạn để khóa luận này được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm 0’n!

Lưu Thị Hồng Yên

K37A Sư phạm Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

L Ờ I CA M Đ O A N

Khóa luận này của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo

Khuất Văn Ninh cùng với sự cố gắng của bản thân trong quá trình học tập,
nghiên cún và thực hiện khóa luận.
Khi nghiên cún và hoàn thành khóa luận này, em có tham khảo một số tài
liệu đã ghi trong phần: Tài liệu tham khảo.
Vì vậy em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận là kết quả nghiên
cứu của bản thân, không trùng với kết quả của các tác giả khác.
Hà Nội, tháng 5 năm 2015
Sinh viên

Lưu Thị Hồng Yên

Lưu Thị Hồng Yên

K37A Sư phạm Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tôt nghiệp

M Ụ C LỤC
MỞ ĐẦU......................................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài..................................................................................................... 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu.........................................................................1
3. Phương pháp nghiên cứu........................................................................................ 1
4. Cấu trúc...................................................................................................................2
NỘI DU NG................................................................................................................. 3
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN B Ị ..................................................................3
1.1 Sai s ố ..................................................................................................................... 3
1.1.1 Số gần đúng........................................................................................................3

1.1.2 Sai số tuyệt đối.................................................................................................. 3
1.1.3 Sai số tương đối................................................................................................. 5
1.2 Một số định lí về dãy số .......................................................................................6
1.3 Một số định lí về hàm số liên tục........................................................................9
1.4 Không gian metric.............................................................................................. 12
1.5 Nguyên lí ánh xạ co............................................................................................ 16
1.5.1 Ánh xạ liên tục Lipschitz................................................................................16
1.5.2 Ánh xạ c o ........................................................................................................16
1.5.3 Nguyên lí ánh xạ co của Banach.................................................................... 17
1.5.4 Ví d ụ .................................................................................................................22
CHƯƠNG 2. ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ c o VÀO GIẢI PHƯƠNG
TRÌNH....................................................................................................................... 25
2.1 ứng dụng nguyên lí ánh xạ co vào giải phương trình đại số và siêu việt.... 25
2.1.1 Bài to á n ............................................................................................................25
2.1.2 Bậc hội tụ của dãy s ố .....................................................................................29
2.1.3 Ví d ụ .................................................................................................................30
CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ c o VÀO GIẢI MỘT SÓ
BÀI TOÁN VỀ DÃY SÓ.........................................................................................49

Lim Thị Hổng Yên

K37A Sư phạm Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tôt nghiệp

3.1 Phương pháp lặp................................................................................................. 49
3.1.1 Phương pháp lặp để giải phương trình đại số vàsiêu việt......................... 49

3.1.2 ứ ng dụng nguyên lí ánhxạ co vào giải một số bài toán về dãy số............. 50
KẾT LUẬN............................................................................................................... 58
TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................59

Lim Thị Hổng Yên

K37A Sư phạm Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

M Ở ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Ra đời vào cuối thế kỉ XVIII, Giải tích toán học có một vị trí quan trọng
trong chưong trình toán cao cấp của các khoa Khoa học tự nhiên của các trường
Đại học sư phạm và các trường kĩ thuật. Đây là môn học hấp dẫn với các sinh
viên, khi giải quyết các bài toán người học gặp phải những tình huống , những
giả thiết phức tạp. Điều này đòi hỏi phải có sự trợ giúp của nhiều kiến thức về
toán học liên quan và kiến thức về phần mềm về lập trình tĩnh toán.
Điểm bất động là một khái niệm xuất hiện sớm trong Toán học giải tích. Lý
thuyết điểm bất động là một phần quan trọng của giải tích hàm - một môn học
cơ bản vừa mang tĩnh lý thuyết vừa mang tĩnh ứng dụng rộng rãi. Nói đến lý
thuyết điểm bất động thì không thể không nhắc đến kết quả kinh điển của nó, đó
là: Nguyên lí ánh xạ co của Banach.
Nguyên lí ánh xạ co có rất nhiều ứng dụng trong Toán học. Nó dùng đê
chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình đại số và siêu việt,
hệ phương trình tuyến tính, phương trình tích phân, phương trình vi phân,...

Chính vì lẽ đó, em mạnh dạn chọn đề tài nghiên cún “ ú n g dụng của
nguyên lí ánh xạ co vào dãy số ” nhằm có điều kiện tiếp cận sâu hơn, làm
phong phũ thêm kiến thức của mình và ứng dụng trong giải toán ở THPT và đại
học.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Sự phát triển của Giải tích toán học nói riêng và của Toán học nói chung
được quy định bởi sự phát triển những nhu cầu có tính thực tiễn nhất định.
Nghiên cứu ứng dụng của nguyên lí ánh xạ co vào dãy số là mục đích chính
của khóa luận này.
3. Phương pháp nghiên cún
+ Phương pháp nghiên cứu lý luận.
Lưu Thị Hông Yên

1

K37Ả Sư phạm Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

+ Phương pháp nghiên cún tống kết tài liệu.
4. Cấu trúc
Khóa luận bao gồm 3 chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: ứ ng dụng nguyên lí ánh xạ co vào giải phương trình.
Chưong 3: ứ ng dụng nguyên lí ánh xạ co vào giải một số bài toán về dãy

Lưu Thị Hông Yên

2

K37Ả Sư phạm Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tôt nghiệp

NỘI DUNG

CHƯƠNG 1
K IÉ N TH Ứ C C H U Ẩ N BỊ
Trong chưong này chúng ta sẽ trình bày về sai số, một số định lí về dãy số,
hàm số liên tục, không gian metric và nguyên lí ánh xạ co.
Tài liệu tham khảo của chương này bao gồm các tài liệu: [1], [2], [4] và [5J.
1.1 Sai số
1.1.1 Số gần đúng
Trong nhiều trường họp, ta không biết được giá trị đúng của các đại lượng
mà ta quan tâm mà chỉ biết giá trị gần đúng của nó.
Ta gọi a là số gần đúng của a nếu a không sai khác a nhiều.
Ví dụ 1.1
Theo tổng cục thống kê, đúng đầu một trong 5 tỉnh thành có sản lượng tôm
lớn nhất cả nước năm 2014 là: Cà Mau là tỉnh có sản lượng tôm lớn nhất nước
đạt hon 116.000 tấn . Bạc Liêu giữ vị trí thứ hai với sản lượng 95.700 tấn. Ớ vị
trí thứ ba là Sóc Trăng vói sản lượng 67.312 tấn. Tiếp đến là Ben Tre có sản
lượng là 52.000 tấn và cuối cùng là Kiên Giang với 51.430 tấn.
Các số liệu trên là số gần đúng.
1.1.2 Sai số tuyệt đối

Giả sử a là số gần đúng của a . Giá trị a - a phản ánh mức độ sai lệch
giữa a và ứ*.
Ta gọi đại lượng A := a* - a là sai số thực của a .
Neu A > 0 thì a được gọi là số gần đúng thiếu của a*.
Nếu A < 0 thì a được gọi là số gần đúng thừa của a .

Lmi Thị Hồng Yên

3

K3 7A Sư phạm Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Trên thực tế nhiều khi không biết a nên ta không tính được À. Do đó ta
tìm cách ước lượng sai số đó bằng một số dương A a nào đó thỏa mãn:
a -a \< A a

(1.1).

Ta gọi A a thỏa mãn điều kiện (1.1) là sai số tuyệt đối của số gần đúng a ,
từ ( 1.1) có:
a —Aa < a < a + Aa

(1.2)

Rõ ràng A a là sai số tuyệt đối của a thì mọi số A > Aa đều có thế xem là

sai số tuyệt đối của a . Vì vậy trong những điều kiện cụ thế người ta chọn A a là
số dương bé nhất có thể thỏa mãn (1.2). Do đó, một số gần đúng a của số đúng
a với sai số tuyệt đối A (l được viết đơn giản là:
a* = ci±A a

(1-3)

Ví dụ 1.2
Xét số đúng a = \ Ị Ĩ và giá trị gần đúng của nó là a = 1,41. Hãy cho biết
sai số tuyệt đối của nó.
Bài giải
Ta có (1,41)-= 1,9881 < 2 suy ra 1,41 <-JĨ suy ra n /2 -1 ,4 1 > 0
(1,42)2 =2,0164 > 2 suy ra 1,42 > V ĩsu y ra 2 -1 ,4 2 <0,01
Do đó: À :=

Cl

Cl

-72-1,41 < 0,01

Suy ra A = 0,01
Mặt khác 1,41 < -Jĩ < 1,415 = 1,41 + 0,005
Do đó cũng có thể lấy sai số tuyệt đối của a là A t = 0,005.

Lim Thị Hồng Yên

4

K37A Sư phạm Toán

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

1.1.3 Sai số tương đối
Cho số gần đúng a có số đúng a với sai số tuyệt đối A a và giả sử d ^ 0
Ta gọi sai số tương đối của số gần đúng a là một số, kí hiệu Sa là tỉ số giữa sai
số tuyệt đối và a .
s . . = ịah ị

O-4)

Tuy nhiên vì số đúng a chưa biết cho nên đại lượng Sa xác định bởi (1.4)
chỉ có ỷ nghĩa lí thuyết. Đe đảm bảo tương đối chính xác người ta thường tĩnh
toán s theo công thức sau ( điều kiện a ^ 0 ):

Suy ra

£ = r\a\t

(*-5)

Aa =|ứ|.ốữ

(1.6)

Các công thức (1.5) và (1.6) cho liên hệ giữa sai số tương đối và sai số
tuyệt đối. Biết Aw thì(1.5) cho phép tính ổ , biết ổ thì (1.6) cho phép tĩnh Atí.

Do (1.6) nên (1.3)cũng có thể viết a* =a(l + ổ )

(1.7)

Ví dụ 1.3
Đo độ dài hai đoạn thang AB, CD ta được a = 10cm và b = 1a n với
Àí( =Ab = 0,01. Khi đó ta có:
= M ỉ = 0, 1%
10
O 0Ị =1%
‘
1
“

Suy ra : Sb = Ì0ổa
Hiển nhiên rằng phép đo a chính xác hơn phép đo b mặc dù At/ = Ah. Như
vậy độ chính xác của một phép đo phản ánh qua sai số tương đối.

Lim Thị Hồng Yên

5

K37A Sư phạm Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tôt nghiệp

N hận xét:

1. Sai số tuyệt đối cũng như sai số tương đối của số gần đúng a của số
đúng a là không duy nhất.
Chẳng hạn, xem ví dụ 1.2 có a =\Ỉ2, ứ = 1,41 thì có thể lấy Aa =0,01
hoặc Aí( =0,005.
Từ đó ta có:
5 = — = 0,00792198582 = 0,792198582%
“ 1,41
hoăc s„ = ^ £ = 0,003546099291 = 0,3546099291%
1,41
2. Độ chính xác của phép đo phản ánh qua sai số tương đối.
3. Người ta thường viết sai số tương đối ở dạng phần trăm.
1.2 Một số định lí về dãy số
Định nghĩa 1.2.1
• Dãy (*„) được gọi là dãy hội tụ nếu nó có giới hạn hữu hạn . Nói cách
khác, khi đó
limxw- a \ ứ e l
n—

Ta còn nói (x ) hội tụ về ứ .
• Dãy không hội tụ được gọi là dãy phân kỳ. Như vậy, nếu dãy phân kỳ thì
hoặc nó không có giới hạn, hoặc nó có giới hạn vô cùng.
• Dãy số (jtn) được gọi là dãy tăng (giảm) nếu với \/n ta có xn ^ x„;,
Dãy số tăng hoặc dãy số giảm được gọi chung là dãy đơn điệu.
• Dãy số (x,;) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số thực M sao cho V«
ta có JC < M .

Lmi Thị Hồng Yên

6

K3 7A Sư phạm Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

• Dãy số (x„) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số thực m sao cho V/2
ta có xn > m.
Một dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới được gọi là dãy bị chặn.
• Dãy (*„) được gọi là dãy Cauchy nếu:
\ /6 > 0,3^0 € N sao cho \/n,m > n{) ta có \xm —xn\< s.
* Các điều kiện hội tụ
Định lí 1.2.1 ( Điều kiện hội tụ của dãy đon điệu )
a) Nếu dãy (xn) tăng và bị chặn trên thì nó hội tụ và
limx;ỉ = sup xn
n - > 00

n

b) Nếu dãy (xn) giảm và bị chặn dưới thì nó hội tụ và
limx,? = inf xn
n

Chứng minh
Ta chỉ cần chứng minh phần a). Vì dãy

tăng và bị chặn trên nên

supxn < +00

n
Đặt a = supx;ỉ. Khi đó

> 0,3n0 e M sao cho:

n

a - £ Lại vì dãy (x„) tăng nên xn > xn , với \/n > n{) và do đó
a —s < X < xn < a ; V/ĩ > nữ
Vậy \ a - x \ < £ , Vw > n0. Hay limx;ỉ = a (định lí được chứng minh).
/J—»00

Định lí 1.2.2 ( Điều kiện hội tụ của dãy bất k ì )
Điều kiện cần và đủ đế dãy (x;ỉ) hội tụ là dãy đó là dãy Cauchy.
Chứng minh
• Điều kiên cần

Lưu Thị Hồng Yên

7

K37Ả Sư phạm Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Giả sử dãy (jt ) hội tụ, tức là lim Jt;ỉ = a . Thế thì,

/J —K O

với s > 0 cho trước 3nn e N sao cho \ x - a \ < — với \/n > nn và
£■
\x —a\< — với Vm > n0. Từ đó suy ra răng:
,

\x. - \ \ = \{x„ -à) + { a - x„, )| ắ \x„ - a\ + \a - xmI< ^
Tức là

^ = e với Vm, n > n0

> 0, 3nữ G M, Vm,« > n0, \xn - x \ < s .

Vậy (x„) là dãy Cauchy.
• Điều kiện đủ
Trước hết ta chú ý rằng (jt,;) bị chặn. Thật vậy, lấy cố định s > 0 thì theo
giả thiết 3n0 GM sao cho nếu \/n,m > n0 thì \xn - xm\ < s.
hay xm- e < x n
( 1.8)

lấy cố định số n{ >n0, theo (1.8) ta có: X —£ < x n < X + s với n > n0

Điều đó chứng tỏ (xw) bị chặn.
Theo bố đề Bolzano - Weierstrass, từ (jc#í) ta rút ra được một dãy con hội
tu (x ) sao cho limx = a . Ta chứng minh rằng a cũng chính là giới hạn của
' k'
k—
^cc k

^
(xn)Thật vậy, cho s > 0 nhỏ tùy ý, vì Ịim X = a nên 3n2 sao cho \/k > n2 ta
k
—

Có:

£
2

x„ —a

Mặt khác, theo giả thiết ta có thể chọn được số n3 sao cho với \/k > n3 ta
X, - x„ < — ( với n. >k).

có:

Do đó với \/k > n0 = max Ịn2n31, ta sẽ có:

Lưu Thị Hông Yên

8

K37Ả Sư phạm Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

\xk —a\< X. - x„ + X.. - a

s
2

s
2

Vậy limx;Ị = a
11—
»co
1.3 Một số định lí về hàm số liên tục
Định lí 1.3.1
Nếu f ( x ) và g(x) liên tục tại x0 thì f ( x ) ± g ( x ) ; f ( x ) . g { x ) \
g(x)
( với g ( x ) ^ 0 ) cũng liên tục tại Jt0.
Chứng minh
Ta có, định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm thông qua giới hạn hàm số
nên ta có thể hoàn toàn chứng minh được định lí này. Đối với định lí về các
phép toán về giới hạn của hàm số áp dụng được khi các hàm số f ( x ) và g(x)
có giới hạn. Ta đi chứng minh cho một phép toán ( cộng ) trong định lí này còn
các phép toán khác chúng minh tương tự.
Thật vậy:
Vì f ( x ) và g(x) liên tục tại Jt(). Theo định nghĩa hàm số liên tục tại một
điểm ta có:
lim /(x ) = / ( x 0) và lim g(x) = g(x0)
X — K C0

X — >x0

Theo tính chất giới hạn hàm số ta có:
lim [ f ( x ) + gU )] = lim f { x ) + lim g(x) = f ( x 0) + g(x0)
X — >A'()

.V— K r ()

A'— >-Vq

= > [/(x) + gC*)] liên tục tại x0 (điều phải chứng minh).
Vậy định lí được chứng minh.
Định lí 1.3.2
Các hàm đa thức, hàm hữu tỉ, hàm số lượng giác là liên tục trên tập xác
định của chúng.
Chứng minh

Lưu Thị Hông Yên

9

K37Ả Sư phạm Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Định lí này sử dụng dấu hiệu đặc trung của hàm số liên tục để chứng minh.
a, f ( x ) = axx n + a2x n~ +... + an
TXĐ: D = R
Lấy JC() là một điểm bất kì thuộc D. Cho Jt0 một số gia Ax ta có :

Ạy = /(*o + A x )-/(* o )
= ax(x0 + Ax Ỵ + a2(x0 + Ax Ỵ 1+... + anJ

0+ a2x r^~] +... 4- anJ

(x) + a2.g2(x) +... + a„_, ]

= Ax. [ữ,

Suy ra : lim Ày = lim AxỊa,gị (jt) + a^g2(jt) +... + a , 1 = 0
Ax—
»0
Ax—
>0 L-I
Theo tính chất đặc trung của hàm số liên tục thì
/'

(x) =

ciịX"

+ a2x n~] +... + an là liên tục tại

x {) .

Do x0 là bất kì thuộc K. nên / ’(x) liên tục trên IR.
b’ F {x ) = ^ r \ ’ s M * 0g(x)
TXĐ: D = R \{ x :g ( x ) = 0}
Lấy Jt() là điểm bất kì thuộc D . Cho Jt() một số gia Ax ta có :

Khi đó: lim Ày = lim /(* 0 + A*) / ( * o ) l _ / ( xo)
Ax->0
_^>n0 g(x0 +Ax) g(x 0) J
Aằv—
g (x 0)
Vậy

/ ( * o) 0
g (x 0)

liên tục tại x0. Do x0 bất kì nên ^ ( x ) liên tục trên D.

c, Các hàm so lượng giác.
• ỵ = sin X
TXĐ: D = R
Lấy JC0 là một điểm bất kì thuộc D . Cho x0một số gia A x , ta có :

Lim Thị Hồng Yên

10

K3 7A Sư phạm Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Ay = sin (JC0 + Ax) - sin (jt0) = 2 cos

xn + Ax + Xr

x0 + Ax - x0

.sin

. Ax
.sin——
2

- 2cos x0 +

Khi đó: lim Ày = lim 2.COS *0 +
Ax—
>0
Ax—
>0

Ax

.sin— = 2 cosxn .0 = 0

Ax
( vì Ax —» 0 n ê n ------ >0)
2
Vậy y = sinx liên tục tại JC0. Do JC0 bất kì nên y = sinx liên tục trên R.
• ỵ = cosx
TXĐ: D = R
Lấy JC0 là một điểm bất kì thuộc D. Cho JC0một số gia Ax, ta có:
Xn

Ay = cos(x0 + A x )-co s(x 0) = - 2 sin

+ Ax + X

.sin

x0 + Ax - x0

V

= -2 sin

Ax

. Áx
.sin—2

Khi đó: lim Ay = - lim 2.sin
Ax—
>()
Ar->0

XQ

Ax ^ . Ax _ .
....
H---- - .sin—- = 2.sinx0.0 = 0

AX

(v ì Ax —>0 n ê n ------ >0)
2

Vậy hàm số J = cosx liên tục tại JC0. Do JC0 bất kì nên hàm số 3; = cosx
liên tục trên R.
Chứng minh tương tự đối với hàm tanx,cotx.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Định lí 1.3.3
Neu hàm số ỵ = f ( x ) liên tục trên [a,b] thì đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất và mọi giá trị trung bình giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn

Lim Thị Hồng Yên

11

K37Ả Sư phạm Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Hệ quả. Neu hâm so f

licn tuc txcn đocin Ị^ÍZ,Z?J V3. f

^ 0 thi

tồn tại ít nhất một số c e (ứ ,ử ): / ( c ) = 0.
Hay nói cách khác: Neu hàm số / ( j t ) liên tục trên [a,b] và

< 0 thì phương trình / ( * ) = 0 có ít nhất một nghiệm trên (a,b).
1.4 Không gian metric
+ Không gian metric
Định nghĩa 1.4.1
Ta gọi là không gian metric một tập họp X ^ 0 cùng với một ánh xạ d từ
tích X X X vào tập họp số thực M. thỏa mãn các tiên đề sau đây:
(1) ( V j c , v e l ) í / ( i , ) ’) > 0 ,

= 0<^>x =

(2) ( V x ,jg X ) d ( x , y ) = d ( y , x ) ;
(3) ('Vx, y G X ) d (x,y) < d ( x , z ) + d ( z , y ) ;
Ánh xạ d gọi là metric trên X , số d (*,;y) gọi là khoảng cách giữa hai
phần tử X va ỵ . Các phần tử của X gọi là các điểm, các tiên đề (1), (2), (3) gọi
là hệ tiên đề metric.
Không gian metric được kí hiệu là M =
Ví dụ 1.4
X =M, d(x,yy.= \x —y\;
(1.9)

(1.9)

xác định cho ta một metric trên M. và gọi là metric tự nhiên trên M.
Không gian metric tương ứng được kí hiệu là R 1.

Ví dụ 1.5

i=l

/

( 1. 10)

y = ( y p ) ’2- - y * ) s Mk

( 1.10) được gọi là một metric trên Rk và gọi là metric ơclit trên R k.

Lưu Thị Hông Yên

12

K37Ả Sư phạm Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Không gian metric kí hiệu là R k.
+ Sự hội tụ trong không gian metric
Định nghĩa 1.4.2
Cho không gian metric M = ( x ,d ) , dãy điêm (*#I)c: X , điếm i 0 ẽ I .
Dãy điếm (jr;i) gọi là hội tụ tới điêm x0 trong không gian M khi
—»00, nếu V£ > 0, 3n0 GN*, \/n >n0, d [ x n,xn ) < £ , kí hiệu:
limxw= x0 hay xn —>x0 khi n —>00
Điểm JC0 còn gọi là giới hạn của dãy (*„) trong không gian M .
Ví dụ 1.6
Sự hội tụ của một dãy điểm (jtn) trong không gian IR1là sự hội tụ của dãy
số thực đã biết trong giải tích toán học.
Ví dụ 1.7
Sự hội tụ của một dãy điểm trong

C ụ

b-ị tương đương với sự hội tụ đều của

dãy hàm liên tục trên đoạn [a,b].
Ví dụ 1.8
Sự hội tụ của một dãy điếm trong không gian ơclit Mk tương đương với sự
hội tụ theo tọa độ.
Thật vậy, giả sử dãy điểm x ^ =

j ( n = 1,2,...) hội tụ tới

điểm x = (x{,x2,...,xk) trong Mk. Theo định nghĩa:
\ /6 > 0, 3n0 e N*, \/n > n()

Suy ra

—Xj <£', \/n> n0;V/ = 1,2,...,/:

Lim Thị Hồng Yên

13

K3 7Ả Sư phạm Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Các bất đẳng thức (1.11) chứng tỏ với V7 = 1,2,...,/: dãy số thực (-*^1 hội
tụ tới số thực

Xj

khi n —>00 sự hội tụ đó được gọi là sự hội tụ theo tọa độ.

Ngược lại, giả sử dãy điểm x ^ =

j (n = 1,2,...) hội tụ theo

tọa độ tới điểm x = (x1,x2,...,x/t) theo định nghĩa:
v<s:>0 (với mỗi Vý = 1,2,...,Ả:), Bn.eN*, \/n > n .,

(”)
J

J

*Jk

Đặt n0 = maxịỉĩì,n2,...,nk}, thì (\/n > nQ) ta có:
(n)

X ) ’ - Xj

<

( 7 = 1.2.....k)

(xí") _ x j)

( 7 = 1, 2,...,*)

X ( xí") _ x j) < f2; V n> n0
j=1

JỉẨxj Xj )

<£;

Do đó dãy điểm đã cho hội tụ theo metric ơclit của không gian Rk.
+ Ánh xạ liên tục
Định nghĩa 1.4.3
Cho hai không gian metric Mị = (x,£ /,), M 2 = (Y,d 2), ánh xạ / từ không
gian M Ảđến không gian M 2. Ánh xạ / gọi là liên tục tại điểmx0 e X nếu
(V f > 0)(3íỹ > 0) (vx e X :dị (x,x0) < £,c/2( / ( x ) , / ( x 0)) < s Ỵ
Định nghĩa 1.4.4
Ánh xạ / gọi là liên tục trên tập A c X , nếu ánh xạ / liên tục tại mọi
điểm x e A. Khi A = X thì ánh xạ / gọi là liên tục.
Định nghĩa 1.4.5
Lưu Thị Hông Yên

14

K37Ả Sư phạm Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Ánh xạ / được gọi là liên tục đều trên tập Ẩ c X nếu:
ị y s > 0)(3<ỹ > o)

e A :d x(x,x Ị < c>j [d2(f ( x \ f ( x )) < s

Dễ dàng thấy, nếu ánh xạ / liên tục đều trên tập A c= X , thì ánh xạ / liên
tục trên tập A .
+ Không gian metric đầy
Định nghĩa 1.4.6
Cho không gian metric M = ( x , d ) . Dãy điểm (x,;)c z X gọi là dãy cơ bản

trong M nếu:
\ ỉ s > 0, 3n0 eN*, Vra,n > nữ, d (xm,xn) < s.
Hay lim d ( x m,xn) = 0
m,n—
>00
Dễ thấy mọi dãy điểm (x;ỉ) hội tụ trong M đều là dãy cơ bản, vì:
Giả sử (*;I) hội tụ đến xữ
=>

> 0, 3n0 e M*, Vra > n0, d ( x m,x0) < —.

Mặt khác d ( x m,xn) < d ( x m,x0) + d ( x 0,xn) <— + — = £; \ / m,n > n0.
Vậy \ / s > 0, 3n0 GN*, Vra, n >n0, d (jcot, xn) < 8.
Định nghĩa 1.4.7
Không gian metric M = ( x , d ) gọi là không gian đủ nếu mọi dãy cơ bản
trong không gian này đều hội tụ.

Ví dụ 1.9
X = Mk với metric ơclit là không gian metric đầy.
Giả sử (•*")<=

là một dãy cơ bản, x" = (*¡',.*2, . . x n e Rk; \/neN*

=> Vố* > 0, 3nữ e N \ Vm,n > n0, d (V",x nì < s.

Lưu Thị Hông Yên

15

K37Ả Sư phạm Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tôt nghiệp

hay là
i=1

=>Ix rn —x" \< £ ; V m,n > n{); ỉ = 1,k .
Suy ra với mỗi i E { 1 , 2 thì dãy

là một dãy số thực thỏa mãn tiêu

chuẩn Cauchy về sự hội tụ của dãy số. Do đó dãy ( x ') hội tụ Vỉ = l,k .
Đặt lim x"; i = ì,k; x:=(xị,x2,...,xk)
=> dãy (x") hội tụ theo tọa độ điểm đến

X.

Suy ra (x'!) hội tụ đến X trong R k.
1.5 Nguyên lí ánh xạ co
1.5.1 Ánh xạ liên tục Lipschitz
Định nghĩa 1.5.1
Cho ( x , d }) và ( Y,d2) là các không gian metric trên trường K.
Ánh xạ / : ( x , d }) —» (Y,d2) được gọi là ánh xạ liên tục Lipschitz nếu có một
số L > 0 sao cho ¿/2( / ( x ) , / ( y ) ) < L d 1(x ,y ); \/x ,y& X.
Số L nhỏ nhất thỏa mãn bất đắng thức trên gọi là hang so Lipschitz. Neu
/ là ánh xạ liên tục Lipschitz thì nó là ánh xạ liên tục.
1.5.2 Ánh xạ co
Định nghĩa 1.5.2
Ánh xạ f từ không gian metric ( x , d ỵ ) vào không gian metric ( y ,dy)
được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại một số a e [0,1) sao cho:
\ / x , ỵ e X ta đều có: d y ự ( x ) , f ( y Ỵ ) < a d ỵ ( x , y ) .

Lim Thị Hồng Yên

16

K3 7A Sư phạm Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Như vậy ánh xạ co là một trường họp riêng của ánh xạ Lipschitz và hiển

nhiên nó là liên tục.
1.5.3 Nguyên lí ánh xạ co của Banach
Giả sử X là một không gian metric đủ và / : X —» X là một ánh xạ co của
X vào chính nó thì có duy nhất một điểm bất động nghĩa là tồn tại duy nhất một
điểm x e l sao cho f ( x ) = x.
Chứng minh
Lấy Jt0 là một điểm tùy ý thuộc X và đặt:
*»+1 =

ỉp { x n )

với «=0,1,2,...

=>(*„) là một dãy trong X.
Vì / là ánh xạ co từ X vào chính nó nên Ba e [0,1) thỏa mãn:
d ự (x]) , f ( x 0) ) < a d ( x ], x0)
Do đó ta có:
d ( x 2,xt ) = d ự ( x t ) , f ( x 0))
< a d (x,,x0)
= a d ự ( x 0),x0)
d ( x ỉ ,x2) = d ự ( x 2) , f ( x í))
< a d [ x 2, x ^
= a 2d ( f ( x 0),x0)

d

) = d (/(* ,)> /(* „ -! )) ^ a d i X„’Xn->) ^
Khi đó \/p = 1,2,...
d (X„+P’X„) ắ d

Lim Thị Hồng Yên

) + d ( V i ’V : ) + ■■■+ d (x„+l,x„)

17

K3 7A Sư phạm Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tôt nghiệp

< (ccn+p-' + a n+p~2 +... + a" )d ự ( x a),xa)
= « " ( l + a + ... + a ''~ ') í/( /( x 0),x0)
= a " - Ỵ ^ - d Ự ( x 0),x„)

< ^ — đ ( f { x 0),x0)
ì-a
Vì ơ g [0 ,1 ) nên lim a n = 0 .
/7— >00

Suy ra nlim
d (x
—>00
\

r

,x„)/ = 0; V p= 1,2,...

Do đó (*„) là một dãy cơ bản trong không gian metric đủ ( x , d).
> ( x ) hội tụ nên 3x<=X: limx;ỉ = X. Do đó:
n —>00

0 < d Ị / ( x ) , x Ị < í / Ị / ( x ) , x nj + í/(x n,x)
= đ [ f { x ) j { x „ _ S ) + d{x,~x)
< a d [ x , x ll_^ + d [ x lì, x ^ ^ ừ , n —» co

= > ế /Ị/Ịx ),x j = 0 <^> fị^x^ = x e X .
Vậy ;t là điêm bât động của f.
• JC là duy nhất
Giả sử

X*

G X sao cho / (V Ị = X* ta có:
0 < dỤ* ,x^ = d[^f

< ad

0 < (l-ỡ r)ú ^ x * ,x )< 0 ;a e[0,l)
=> d
o

Lim Thị Hồng Yên

—0
X* = x

18

K3 7A Sư phạm Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Vậy Jt là điểm bất động duy nhất của / .
Định lí 1.5.1 ( Nguyên lí Cantor về dãy hình cầu đóng thắt dần )
Không gian metric M = ( x ,d) là không gian metric đầy khi và chỉ khi mọi
dãy hình cầu đóng thắt dần đều có điểm chung duy nhất.
Chứng minh
• Điều kiện cần
Giả s ừ M = ( X , d ) là một không gian metric đầy và i s ì; Sn := Sn(ứ/;,r ),
V/1 G M l à một dãy hình cầu đóng

th ắ t d ầ n b ấ t k ì

trong M.

Ta có:
Sm c= Sn ; Vm > n .
=^>am c= Sn; Vm > n .
=>0Do lim/; = 0 suy ra lim d ( a m,an) = 0.
n—
>00

m,n—
>00
=> (ữ;i) là một dãy cơ bản trong không gian đầy M .
=> (an) hội tụ. Đặt a - lim a . Ta chứng minh a là điểm chung duy nhất của
n —>00

(í).
Do am cz 5n, Vm > n , V/2, 5;ỉ là một tập đóng với mỗi n e N ta có:
I

a := lim
m—
»00

í> ứ G 5 ;ỉ; VrtẽM
GO

^ a e f ì 5»/7=1

*Tính duy nhất

Lini Thị Hồng Yên

19

K3 7A Sư phạm Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

3C

Giả sử b e Pl Sn, ta có a,b e Sn ;


0 < d(a,b) < d (ớ,ứ„) + d ( a n,b) < 2 r ; V/7 eM
Chọn H —>0O thì 0 < d (a,b) < 0 => d (a,b) = 0
Suy ra a=b.
• Điều kiện đủ
Giả sử không gian metric M = ( x , d ) thỏa mãn tính chất: Một hình cầu
đóng thắt dần bất kì đều có điểm chung duy nhất, ta chứng minh không gian này
đầy.
Lấy một dãy cơ bản bất kì (jtn) trong M , ta chứng minh dãy này hội tụ.
Ta có V ^ > 0 , 3/7()eN*, \/n,m > n(), d [ x n,xm^ < s.
Với \/£| = —, 3«J eN*, Vw,m>np d ( x n,xfn) < —.
Với V£2 = — , B/ĩ2 gM , n2 >n], \/n ,m > n 2, d [ x n,xm)< —

Lặp lại quá trình này vô hạn lần ta thu được dãy

Lưu Thị Hồng Yên

20

) là dãy con của dãy

K37Ả Sư phạm Toán