Khoá luận tốt nghiệp toán ứng dụng thặng dư logarit để tìm số không điểm của hàm giải tích

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA t o á n

TRƯƠNG THỊ TUYẾT HẠNH

ỨNG DỤNG THẶNG Dư LOGARIT
ĐỂ TÌM S ố KHƠNG ĐIỂM
CỦA HÀM GIẢI TÍCH

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chun ngành: Giải tích

Ngưịi hướng dẫn khoa học
ThS. NGUYỄN QUỐC TUAN


LỊI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tơi xin bày tỏ lịng biết
ơn sâu sắc tới ThS. Nguyễn Quốc Tuấn - Người thầy đã tận tình hướng dẫn
và giúp đố tơi để tơi hồn thành bài khóa luận của mình. Thầy khơng chỉ dạy
cho tơi kiến thức mà cịn rèn cho tơi tính cẩn thận, tỉ mỉ và chính xác. Hơn
nữa, tơi đã học được rất nhiều ứng dụng cơng nghệ thơng tin vào Tốn học từ
thầy. Thầy đã dạy cho tôi biết rằng khi làm bất cứ việc gì đều phải dành hết
tâm huyết thì mới hồn thành tốt được cơng việc. Với những lời dạy q giá
đó, tơi sẽ ln ghi nhớ và cố gắng thực hiện.
Tơi cũng xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể các thầy cơ trong
tổ Giải tích và các thầy cơ trong khoa Tốn - Trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Tốn đã tạo điều kiện cho tơi hồn thành tốt bài
khóa luận này.
Nhân dịp này tơi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn bên tôi, cổ vũ, động viên, giúp đỡ tơi trong suốt q trình học

tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, Ngày 14 tháng 5 năm 2015
Sinh viên

Trương Thị Tuyết Hạnh


LỊI CAM ĐOAN
Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân tơi dưới sự hướng dẫn
tận tình của ThS. Nguyễn Quốc Tuấn.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu này tôi đã tham khảo
một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài “ứng dụng Thặng dư logarit đ ể tìm
số khơng điểm của hàm giải tích” khơng có sự trùng lặp với kết quả của các
đề tài khác.

Hà Nội, Ngày 14 tháng 5 năm 2015
Sinh viên

Trương Thị Tuyết Hạnh


Mục lục
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
1 . 1 . Hàm biên phức
1 . 1 . 1 . Đ ị n h n g h ĩ a h à m b iế n p h ứ c ........................................................................................................................

7

1.1.2. T ín h liến tuc v à liên tuc đ ê u l . ...................................................................................................................

7

1.2 . Chuỗi hàm

1.3. Tích phân ]làm giải tích

..........................
..........................

8
11

1.3.1. K h á i n i ệ m h à m g iải tíchỊ................... .......................................................................................................

11

1.3.2. Đ ị n h lý C a u c h y c h o m i ê n đ ơ n liên

.......................................

11

1.3.3. Đ ị n h lý C a u c h y c h o m i ê n đ a liên

.............................................................................

12

1.3.4. S ự tồ n tại c ủ a n g u y ê n h à m .....................................................................................................................

13

1.4. Chuỗi Taylor

....

14

1.4.1. Đ ị n h lý T ay lo r

..............

14

1.4.2. Đ ị n h lý d u y n h ấ t

..............

15

1.5. Chuỗi Laurent

....

15

1.5.1. Đ ị n h lý L a u r e n t

..............

15

1.5.2. Đ i ể m b â t th ư ờ n g c ủ a h à m giải tích

............

16

....

18

......
......

21

1.6 . Khái niệm thặng dư và các định lý cơ bản của thặng dư
1.6.1. Đ ị n h n g h ĩ a v à c á c h tín h
1.6.2. C á c đ ị n h lý cơ b ả n vê t h ặ n g dư

18

Chương 2. ứ n g dụng Thặng dư logarit để tìm số khơng điểm của hàm
giai
’ ỉ tíchl...............................! . . . ............... . . .................. ........................
22
22

2 . 1. Thặng dư logarit
2. 1. 1. K h ô n g đ iể m c ủ a h à m giải t í c h ............................................................................................................

22

2. 1.2. C ự c đ iê m c ủ a h à m giải t í c h ...................................................................................................................

22

2.1.3. T h ặ n g d ư l o g a r i t ...........................................................................................................................................

23

2.2. Mối liên hệ của cực điểm, không điểm của hàm giải tích
2.3. Sơ khơng điếm của tống hai hàm giải tích
2.4. Ngun lý bảo tồn miên
2.5. Tính chât của dãy các hàm giải tích hội tụ đều trên tập compact
2 .6 . M ột sồ ví d ụ ..........................................................................................

3

25
25
26
27
28


MỞ ĐẦU
Giải tích phức, hay cịn gọi là lý thuyết hàm biến phức là một nhánh của

toán học nghiên cứu các hệ hàm số một hay nhiều biến và các biến số đều là
số phức (các ánh xạ giữa C" và ư n). Giải tích phức là một trong những ngành
cổ điển của toán học, bắt nguồn từ khoảng thể kỷ 19 và thậm chí có thể là
trước đó. M ột số nhà toán học nổi tiếng nghiên cứu lĩnh vực này như Euler,
Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass và nhiều nhà tốn học khác ở đầu thế
kỷ 20.
Khi đó, hàm phức được nghiên cứu là một hàm trong đó đối số và hàm số
nhận giá trị phức. Chính xác hơn, hàm phức là hàm mà tập xác định Q. là tập
con của mặt phẳng phức và tập giá trị cũng là tập con của mặt phẳng phức.
Với một hàm phức tùy ý, cả đối số và hàm số có thể tách thành phần thực và
phần ảo:
z = x + iỵ va w = f ( z ) = u(z) + iv(z),
trong đó x ,y e M và u(z), v(z) là các hàm thực. Nói cách khác, các thành phần
của hàm f(z ):
u = u( x, y) và V = v(*,;y)

có thể hiểu như các hàm thực của hai biến thực Jt và y.
Các khái niệm cơ bản của giải tích phức thường được nghiên cứu dựa trên
mở rộng các hàm thực sơ cấp (ví dụ như: hàm mũ, hàm logarit và các hàm
lượng giác) lên miền phức.
Năm 1890, bài báo "Oeuvres Completes" của Cauchy được cơng bố, trong
đó nghiên cứu tích phân hàm biến phức mà ta hay gọi là tích phân Cauchy.
Cơng thức tích phân Cauchy cho hàm biến phức / mà có đạo hàm tại điểm Zo
thì nó có đạo hàm mọi cấp tại điểm đó. Cơng thức tích phân Cauchy và các hệ
quả của nó là những kết quả rất quan trọng và nhiều ứng dụng trong Lý thuyết
hàm biến phức. Từ kết quả đó, người ta thấy rằng hàm / có thể khai triển
được thành chuỗi lũy thừa có tâm tại điểm Zo- Trái lại, nếu hàm / khơng giải
tích tại điểm Zo thì hàm / vẫn có thể khai triển được thành một chuỗi khác mà
4

ta gọi là chuỗi Laurent. Năm 1843, chuỗi Laurent lần đầu tiên được xuất bản
bởi Pierre Alphonse Laurent và sau này chuỗi đó được đặt tên theo tên của
ơng. Cũng có thơng tin Karl Weierstrass mới là người phát hiện ra chuỗi đó
đầu tiên. Tuy nhiên, bài báo của ơng được viết vào năm 1841 đã không được
công bố cho đến khi ông qua đời. Khái niệm chuỗi Laurent sẽ dẫn đến khái
niệm thặng dư. Ngược lại, với lý thuyết thặng dư chúng ta có thể thực hiện
các tính tốn trong các bài toán ứng dụng.
Khái niệm về thặng dư logarit đã được nhiều người đưa ra vào nửa cuối
thế kỉ 20 do nhu cầu phát triển việc thực hiện tính tốn các bài tốn ứng dụng.
Khi nghiên cứu về ứng dụng trong giải tích tốn học, thặng dư logarit cho ta
một cơng cụ để tìm số cực điểm và khơng điểm của một hàm trên một miền
nào đó. Vào thời gian này, các nhà khoa học đã tìm ra mối liên hệ của cực
điểm và không điểm của hàm giải tích, đó chính là ngun lý Argument (xem
Ịl5lỊ). Đồng thời, các nhà khoa học cũng nghiên cứu được cách tìm số khơng
điểm của tổng hai hàm giải tích (Định lý Rouché) (xem 0 ) . Năm 1962, định
lý Rouché được chứng minh một cách rõ ràng bởi Estermann (xem 10). Đến
năm 1982, Challener và Rubel cũng đã chứng minh được định lý ngược của
định lý Rouché (xem [Hl)- Định Hurwitz được đặt tên theo tên nhà toán học
A dolf Hurwitz đã đưa ra tính chất của dãy các hàm giải tích hội tụ đều trên
tập compact. Như vậy, thặng dư logarit là một ứng dụng khơng những đóng
vai trị quan trọng trong giải tích mà cịn ngày càng phát triển rộng rãi trong
Tốn học. Với khóa luận này tơi nghiên cứu đề tài “ ứ n g dụng T h ặn g dư
logarit đ ể tìm số khơng điểm của hàm giải tích” . Nội dung nghiên cứu của
tơi tuy khơng phải là những kết quả mới được tìm thấy, nhưng với tinh thần
hoc hỏi, tìm tịi kiến thức mới, hi vọng đề tài này sẽ đem lại nhiều kiến thức
bổ ích cho bản thân và nhiều thú vị cho độc giả.
Vì vậy, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo ThS.Nguyễn Quốc Tuấn và sau
một thời gian nghiên cứu, tơi trình bày khóa luận với nội dung gồm hai
chương:

Chương 1 trình bày những kiến thức cơ bản của lý thuyết hàm giải tích
một biến phức, đó là khái niệm và các tính chất của hàm giải tích, lý thuyết
tích phân Cauchy, lý thuyết chuỗi và thặng dư.
Chương 2 trình bày lý thuyết thặng dư logarit; mối liên hệ của cực điểm,
khơng điểm của hàm giải tích; tìm số khơng điểm của hàm số trong một miền;
nguyên lý bảo toàn miền và tính chất của dãy các hàm giải tích hội tụ đều trên
tập compact. Đồng thời, từ lý thuyết Thặng dư logarit đã trình bày, áp dụng

5


tìm số khơng điểm của hàm giải tích.
Tuy đã có nhiều cố gắng, song do hạn chế về thời gian và năng lực bản
thân nên khóa luận khơng tránh khỏi những sai sót, rất mong được sự quan
tâm, góp ý của thầy cô và các bạn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

6


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi sử dụng các kí hiệu Q. là tập con của tập số
phức c , d£l là biên của miền £1, Ỵ là chu tuyến trơn từng khúc nằm trong Q..

1.1. Hàm biến phức
1.1.1. Định nghĩa hàm biến phức
Đ ịnh nghĩa 1.1.1 (xem [QỊ]). Giả sử ũ. là một tập tùy ý cho trước, một ánh xạ
/ từ Q. vào c được gọi là một hàm biến phức. Kí hiệu
/:£ 2 ^ C

Z'-> (ữ = f ( z ) ,
trong đó Q. gọi là tập xác định, f ( z ) được gọi là tập giá trị.
1.1.2. Tính liên tục và liên tục đều
Cho ù) = f ( z ) xác định trên tập tùy ý Q, z E n , zo là điểm tụ của £2. Ta nói
hàm f ( z ) khi z dần đến zo có giới hạn
lim f ( z ) = CI,CI e c ,
z—
>-Zo
nếu
Ve > 0 ,3 5 = ỗ(e,zo) sao cho Vz G n v à o < \z —zo\ < ỏ
thì
\ f ( z ) - a \ < £.
Nếu lim f ( z ) = f(zo) thì ta nói / liên tục tại ZQ. Nghĩa là,
Z^Zo
Ve > 0 ,3 5 = ổ(zo,z) > 0 sao cho
7


V z G Í l ,|z - z o | < ổ thì |/ ( z ) - / ( z o ) | <£■
Nếu Zo là điểm cô lập cuả Q thì quy ước / liên tục tại ZQ. Nếu hàm số / liên
tục trên tập Q thì ta nói / liên tục tại mọi điểm thuộc Q. Ta nói hàm / liên
tục đều trên tập £2, nếu
Ve > 0,3Ỗ = ô( e) > 0 sao cho
Vzi,z2 e ũ . m ầ \zỉ - z 2\ < ỏ thì \ f{ z2) - f { z ] ) \ < £.
N hận xét 1.1.1. Nếu / liên tục đều trên Q. thì liên tục trên £1.
Đ ịnh lý 1.1.1 (xem (О). Nếu / liên tục trên tập compact к с с thì / liên tục
đều trên К .
Đ inh lý 1.1.2 (xem Щ ). Nếu / liên tục trên tập compact к с с thì hàm
z —>• \ f ( z) \ đạt cận trên đúng và cận dưới đúng trên K, tức là tồn tại a, b G к
để

|/ ( a ) | = s u p /(z ) và \f(b)\ = inf |/ ( z ) |.
Z E K

z e k

Đ ịnh lý 1.1.3 (xem ß j ) . Nếu / liên tục trên tập compact к с с thì / (А") с с
là compact.

1.2. Chuỗi hàm
Đ ịnh nghĩa 1.2.1 (xem Щ ). Giả sử {fn}, z G £2 là một dãy hàm phức xác
định trên Г2. Tổng vô hạn / i (z) + / 2 (2 ) H-----, kí hiệu là
00

£ /„ (z ),
11=1

(1.2.1)

được gọi là chuỗi hàm trên £2.
Nếu đặt đối với mỗi n > 1
s n{z) = ỵ , f k ( z ) , z e £1,
k=\
ta nhận được dãy hàm {s/z} trên £2. Dãy hàm này được gọi là dãy các tổng
riêng của chuỗi hàm ị \ .2.1Ị). Hơn nữa, s n(z) được gọi là tổng riêng thứ n.
8


Chuỗi hàm (Ịl.2.11) được gọi là hội tụ hay khả tổng nếu dãy { s n} hội tụ.
Nếu dãy {Sn} hội tụ đều thì chuỗi d1.2.1 Ị) được gọi là hội tụ đều. Hàm
f ( z ) = lim s n(z), z e £1

n—
y°°

được gọi là tổng của d1.2.1 Ị) và viết
oo

oo

/ = £ ỉn hay f ị z ) = £ fn(z), z e fí.

n=\

n=\

Giả sử chuỗi (Ị1.2.1Ị) hội tụ và / là tổng của nó. Với mọi n > 1, đặt
co

Rn{z) = f { z ) - S n{ z ) =

fk(z),ze£l.
k=n+ 1

Khi đó, {/?n} là một dãy hàm trên ũ. và được gọi là dãy các phần dư của chuỗi
(Ị1.2.1Ị), hơn nữa Rn được gọi là phần dư thứ n. Rõ ràng chuỗi (Ị1 -2.1Ị) hội tụ
nếu và chỉ nếu dãy { Rn} hội tụ tới không, chuỗi (Ị1.2.1Ị) hội tụ đều nếu và chỉ
nếu dãy { Rn} hội tụ đều tới khơng. Vì vậy:
i. Chuỗi (Ị1.2.1D hội tụ nếu và chỉ nếu
Vz G

> 0 , 3 N = N ( e ìz ) ìy n > N : |/?n(z)| < e.

ii. Chuỗi ị \ .2.1Ị) hội tụ đều nếu

Ve > 0 , 3 N = N { e ) , \ / n > N , \ / z e £ l : |/?n(z)| < e.
Cũng như đối với hàm biến thực ta có các tiêu chuẩn sau về sự hội tụ đều
của chuỗi hàm.
Đ ịnh lý 1.2.1 (Tiêu chuẩn Cauchy, xem 0 ) . Đ ể chuỗi (Ị1.2.1Ị) hội tụ đều trên
ũ, điều kiện cần và đủ là

Ve > 0 , 3 N ( e ) , 'in > N, V/7 > 1, Vz G n ,
\ fn+l{z) H----------f- fn + p(z) \ < £■

Đ ịnh lý 1.2.2 (Tiêu chuẩn Weierstrass, xem (Ó). Nếu chuỗi số dương £ an
n= 1

hội tụ và tồn tại N sao cho
\fn{z) \ < a n,\/z e

thì chuối (Ị1.2.1D hội tụ đều.
9

> N


Đ ỉnh lý 1.2.3 (xem ||3]j). Nếu chuỗi d1.2.1 Ị) hội tụ đều và ọ (z) là hàm bị chặn
trên Q. thì chuỗi
oo
ỵ, n= 1
hội tụ đều.

Đ ỉnh lý 1.2.4 (xem [Щ). Nếu chuỗi (Ị1.2.1Ị) hội tụ đều và các hàm f n liên tục
trên Q. thì tổng f của nó cũng liên tục trên Q..
Đ ỉnh lý 1.2.5 (xem Щ ). Giả sử chuỗi d1.2.1 Ị) hội tụ đều trên Q. và Zo G до..
Giả sử tồn tại các giới hạn hữu hạn

c k,k =

lim f ( z ) =
Z^Zq

1 ,2 ,...

Z6ÍÌ
oo

Khi đó, chuỗi E Ck hội tụ và nếu f là tổng của chuỗi di .2.11) thì
k= 1
oo

oo

lim / ( z ) = £ c„ = £ lim f ( z ) .
Z^Zo
_,
_ . Z^Zo
n=ỉ
n=ỉ
N hận xét 1.2.1. Từ định lý 1.2.5 suy ra nếu chuỗi (Ị1.2.1Ị) hội tụ đều trên Í2
và các hàm f n liên tục trên Q. thì chuỗi cũng hội tụ đều trên Q. và tổng của nó
cũng là hàm liên tục trên £2.

Ví d ụ 1.1. Xét chuỗi £ zn trong hình trịn đdn vị D ( 0 , 1). Với z ф 0 tổng
0=0

riêng thứ n của chuỗi số là
1_

n—l

s " ~k=0
ỵ / = r1 1

Khi đó, với mọi |z| < 1 thì lim Sn = —-— , chuỗi£ zn hội tụ.Ta chứng minh
n^oo

\-q

n=0

sự hội tụ này là không đều trên D (о, 1).
Thật vậy, giả sử chuỗi £ zn hội tụ đều trên D (0 ,1). Vìmọi hàm zn liên
n=0
-|-oo

tục trên С nên theo nhận xét 1.2.1 chuỗi ỵ, zn hội tụ trên hình trịn đóng
/2 = 0

10


D ( 0 ,1). Với z = 1 € D ( 0 ,1) thì lim s n = lim \ n =

n—
>■oo
(mâu thuẫn).

oo,

chuỗi £ \ n phân kỳ
/1= 0

-j-o o

Vậy chuỗi £ zn khơng hội tụ đều trong hình trịn đơn vị.
/2 = 0

1.3. Tích phân hàm giải tích
1.3.1. Khái niệm hàm giải tích
Đ ịnh nghĩa 1.3.1 (xem [O). Cho hàm (0 = f ( z ) xác định trên miền í ì , Zo e £1.
Nếu tồn tại giới hạn
ị.
/(z ọ + Az) ~ / ( z 0)
Az->0
Az
thì ta nói hàm ù) = f ( z ) khả vi (hay có đạo hàm) tại Zo- Giới hạn đó được gọi
là đạo hàm tại Zo, kí hiệu f ( z o ) hoặc (ởf (zo).
Đ ịnh nghĩa 1.3.2 (xem [QỊ]). Cho hàm (ở = f ( z ) xác định trên miền £2, Zo e
Nếu hàm số ú) = f ( z ) có đạo hàm tại z = Zo và tại mọi điểm trong lân cận của
điểm ZQ thì f ( z ) giải tích tại Zo và ZQ là một điểm thường của f ( z ) .
Đ ịnh nghĩa 1.3.3 (xem (Ù). Giả sử f ( z ) giải tích tại mỗi điểm thuộc miền Í2.
Khi đó, hàm (ở = f ( z ) được gọi là giải tích trên miền Í2.
1.3.2. Định lý Cauchy cho miền đơn liên

Đ ịnh lý 1.3.1 (Cauchy, xem Q ) . Nếu hàm Q, = f ( z ) giải tích trong miền đơn
liên Q. thì với mọi Ỵ, ta có
/ f d z = 0.
7

Đ ỉnh lý 1.3.2 (xem [Ó). Giả sử Cl là miền đơn liên bị chặn, với biên do. là
một chu tuyến trơn từng khúc. Khi đó, nếu f là hàm liên tục trên (] = í l u
và giải tích trên Q. thì f f d z = 0.
do.

11


Hình 1.1: Miền Q, biên d£ì, chu tuyến 7

1.3.3. Định lý Cauchy cho miền đa liên
Bổ đề 1.3.1 (xem (Ó). Ta gọi Q là miền n - liên (hay đa liên bậc n) nếu biên
của Q. gồm có chu tuyến ngoài 7 và các chu tuyến 7i, . . . , 7/1 -1 đơi một khơng
giao nhau nằm trong Í2y. Như vậy
n—1

Q. = Q . y \ u Q ĩk
k= 1

và
dn = 7

U 7 , U . . . U 7„ _ 1 .

Chiều dương của do. như đã quy ước (xem Hình 1.2).

H ình 1.2: M iền đa liên

Chứng minh. Bổ sung vào biên của Q. các đường
ln- \ (hình _L2), ta
được miền Q. Khi đó, Q trở thành miền đơn liên với biên là
L = d £ l u l \ u . . . u / n_i.

12


Bởi vì f f d z = - f f d z nên theo định lý 1.3.2

J fdz = j fdz
dũ.

0.

L

□
Đỉnh lý 1.3.3 (xem [Ù). Nếu Q là một miền n - liên (hay đa liên bậc n), f là
hàm liên tục trên Q, giải tích trên Q. thì
Ị f d z = 0.
do.
1.3.4. Sự tồn tại của nguyên hàm
Giả sử hàm / là hàm giải tích trên miền đơn liên Q. và Z(), z là các điểm
trong £1. Khi đó, tích phân
z

ệ(zo, z) = Ị f ( n ) d r \
Zũ

không phụ thuộc vào đường cong nối Z() và z trong í ì . Thật vậy, giả sử 7i và 72
là hai đường cong tùy ý nối zo với z. Có thể coi 7i H 72 = {zq, z} bởi vì 7 i u 72
là chu tuyến trong í ì . Theo định lý 1.3.1, ta có
0=

f d ĩ\ = J f dr j + Ị f d ĩ ]

I
7, uy“

r.

ỵ-

Vì thế
/ f d r i = Ị fd r \.
71

72

Định lý 1.3.4 (xem Ó ) . Giả sử f là hàm liên tục trên miền đơn liên £1 sao
cho với mọi ỵ, ta có f f { z ) d z = 0. Khi đó, với mọi zo E ũ. cố định và z € £1,
7

hàm

z

0(z) = / f{rị)d rị
Ztì

là nguyên hàm của f ( z ) trên miền £1. Hơn nữa, hàm ộ(z) giải tích trên Q. và
ộ'(z) = f ( z ) với mọi z G Í2.
13


Đỉnh lý 1.3.5 (xem Q ) . Giả sử Q. là miền đơn liên, f là hàm giải tích trên ũ.
và f ( z ) / 0, z 6 íl. Khi đó, tồn tại hàm g giải tích trên £2 sao cho
eg(x) = /( z ) , z e n .
Đinh lý 1.3.6 (Cơng thức tích phân Cauchy, xem [Ĩ). Giả sử f là hàm giải
tích trên miền Í2 VÀ Z() E £2. Khỉ đó, với mọi Ỵ, Zo €
c £2, ta có cơng thức
tích phân Cauchy
1 /■ f i n )
/ ( z o) = W
j pJJ 77]r- z Zo
~ dr>
2KỈ
r

Nếu / liên tục trên ũ. và dũ. là một chu tuyến thì với mọi z G £2, ta có
I [ /(7?)
d ĩ] .
fiZ) = ầ
2KiJ J TỊ - Z q

(1.3.2)

do.

1.4. Chuỗi Taylor
Đ ịnh nghĩa 1.4.1 (xem 0 ) . Chuỗi hàm có dạng
oo

^ c ự ỉ - ỉ o ) '1
n= 0

được gọi là chuỗi Taylor tại zo hay chuỗi lũy thừa của z — Zo1.4.1. Đ ịnh lý Taylor
Đ ịnh lý 1.4.1 (xem @ ). Nếu f ( z ) là hàm giải tích trên hình trịn \z —Zo| < R
thì trong hình trịn này, f ( z ) là tổng của chuỗi Taylor của nó tại zo- Cụ th ể là
oo

f { z ) = ỵ , Cn( z - z o ) n, \ z - z o \ < R ,
n= 0

ở đây các hệ số Cn được xác định một cách duy nhất theo công thức
/ w (zo)
n\

1
2 ni

[
m
J
( r i - z o ) n+'
\rỊ-Zo\ = r

0< r < R
14

■ „


1.4.2. Định lý duy nhất
Giả sử hàm f ( z ) giải tích trên miền bị chặn Q và liên tục trên £1 = о. и до..
Khi đó, theo cơng thức ( 1.3.2), ta có

f(z) = ầ

J
do.

Tương tự
g( n)
8 { z ) = 2ầk ỉJJ (T Ị - Z)
dũ.

nếu g giải tích trên í ì . Khi đó

™

-

M

-

ầ

ỉ

n T

-

T

d ’i'z * a -


dũ.

Từ (Ị1.4.3Ị) suy ra, nếu / ( ĩ ] ) = g( r ị ) yr Ị € d£l thì f ( z ) = g{z)iVz G Q, hay ta
có định lý 1.4.2
Đ ỉnh lý 1.4.2 (Định lý duy nhất, xem Щ ). Giả sử f và g là các hàm giải tích
trên miền ũ., (Zn) là một dãy những điểm khác nhau {z,i} с ũ. mà nó hội tụ
tới một điểm z G П. Khi đó, f ( z n) = g(zn), với mọi n thì f ( z ) = g(z), với mọi
z Gil

1.5. Chuỗi Laurent
Định nghĩa 1.5.1 (xem 0 ) . Chuỗi hàm có dạng
I

Ck( z - z o ) k

k = — oo

được gọi là chuỗi Laurent theo lũy thừa của (z —Zo) hay chuỗi Laurent tại Zo1.5.1. Định ỉý Laurent
Định lý 1.5.1 (xem И ) . Giả sử hàm f giải tích trong vành khăn
0 < r < \z —Zq\ < R < +°°.
15


Khỉ đó, hàm f ( z ) biểu diễn được duy nhất dưới dạng tổng của chuối Laurent
+00

/(z)=

£

Cn{ z - z ữỴ.

n = —00

Các hệ số của chuỗi này được xác định bởi cơng thức
^ _ 1 f
/ í 7?)
"
2 n i ỉ ( ĩ j —zó)'!+

!

’

ĩp

trong đó 7p là đường tròn bất kỳ | z - Zo | = p , r < p < R.
1.5.2. Điểm bất thường của hàm giải tích
Đ ịnh nghĩa 1.5.2 (xem [0]). Giả sử / là hàm xác định trên miền £2, Zo e c .
Nếu tồn tại r > 0 sao cho vành khăn 0 < |z —Zol < r bao hàm trong Q thì ZQ
được gọi là điểm bất thường của / .
Hàm / giải tích trên vành khăn 0 < \z —Zol < r khơng thể mỏ rộng giải tích
tới ZQ, tức là khơng tồn tại hàm giải tích g trên hình trịn \z — Zo| < r sao cho
g(z) = f ( z ) v ớ i O < \ z - z o \ < r.
Giả sử / giải tích trên vành khăn 0 < \z —Zo| < r- Chỉ có thể xảy ra một trong
ba khả năng sau:
i. Tồn tại lim f ( z ) = a e c . Khi đó, Zo được gọi là điểm thường (điểm bất
z —> Z q

thường bỏ được) của / .
ii. Tồn tại lim f ( z ) = 00. Khi đó, Zo được gọi là cực điểm của hàm giải tích
z—>Zq

/•
iii. Khơng tồn tại lim f ( z ) (trong C). Khi đó, ZQ được gọi là điểm bất
Z -> Z ữ

thường cốt yếu của / .
Đ ể khảo sát các xem một điểm ZQ là điểm bất thường loại nào của f ( z )
thì ta phải khai triển hàm f ( z ) thành chuỗi Laurent trong hình vành khăn
0 < \z —Zo\ < r. Ta có
- | - 00

f(z)=

£

C„(z-zoỴ,

16

(1.5.4)


trong đó

ĩp

với p tùy ý, 0 < p < r.
N hận xét 1.5.1 (xem [ 0 ). i. Như đối với đa thức điểm Zo được gọi là không
điểm bậc m của hàm giải tích / nếu
/(z o ) = . .. = / (m“ 1)|zo = 0
nhưng
/ (" ° ( z o ) ^ 0 .
Như vậy, ZQ là không điểm bậc m của f ( z ) nếu và chỉ nếu khai triển (Ị1.5.4Ị)
có dạng
oo

/( z ) = £

oo

c*(z - Zo)k = (z - Zo)m Y, Cm+k(z - Zữ)k-

k= m

k= 0

ii. Trong khai triển (Ị1.5.4Ị), đặt
m = i nf { k : Cỵ Ỷ 0}Khi đó
a. ZQ là cực điểm nếu và chỉ nếu —oo < m < 0. Trong trường hợp này —m
là bậc của cực điểm Zo.
b. Zo là bất thường cốt yếu nếu và chỉ nếu m = —oo.
iii. Zo là cực điểm bậc m của f ( z ) nếu và chỉ nếu nó là khơng điểm cấp m
của hàm — .
f(ì)
iv. Điểm oo gọi là điểm bất thường của hàm giải tích f ( z ) trên |z| > R nếu
0 là điểm bất thường của hàm g(z) = f

^ . Như vậy, tồn tại R > 0 sao cho

/ giải tích trên vành khăn |z| > R và khơng giải tích tại
của hàm /

°o.

Khai triển Laurent

trong vành khăn 0 < |z| < — đưa tới khai triển mà ta cũng

gọi là khai triển Laurent của hàm f ( z ) tại oo, trong vành khăn |z| > R
oo

f(z)=

£

n = — oo

17

c ,tzn.

(1.5.6)


0

oo

Nhưng trong (Ị1.5.6Ị),chuỗi £

cnzn

_________ n =

làphần chính cịn chuỗi £

1

cnzn

là

11= -c o

phần đều. Tuy nhiên,d1.5.6Ị) cũng chính

là khaitriển Laurent của / tại 0
trong vành khăn R < |z| < +°°.
Phân loại tính bất thường của °o được suy tương ứng từ phân loại tính bất
thường của điểm 0 đối với hàm /

. Như vậy, nếu tồn tại

lim f ( z ) e
z—

c

thì z = 00 là điểm thường của hàm / , tức là / có thể mở rộng giải tích tới
°o. Nếu tồn tại lim f ( z ) = 00 thì tồn tại m > 0 để cn = 0 với mọi n > m và
z—>°°

c m Ỷ 0- Khi đó, z = 00 được gọi là cực điểm cấp m của f ( z) . Nếu không tồn
tại lim f ( z ) (trong C) thì có vô số m > 0 để c m Ỷ 0* Khi đó, oo sẽ được gọi là
z—
^00
điểm bất thường cốt yếu của f ( z ) .
Như vậy, z = 00 là cực điểm của mọi đa thức Ỷ const. Bậc của nó chính là
bậc của đa thức.

1.6. Khái niệm thặng dư và các định lý cơ bản của thặng dư
1.6.1. Định nghĩa và cách tính
Đ ịnh nghĩa 1.6.1 (xem 01). Giả sử f ( z ) là hàm giải tích trên vành khăn
0 < \z — zo| < r, Ỵ là chu tuyến bất kỳ (đặc biệt là đường trịn) vây quanh zo
nằm trong vành khăn đó. Khi đó, tích phân
1

1 f{ĩ ]) drị ,

(1.6.7)

được gọi là thặng dư của / tại ZQ'
Kí hiệu
res[f,Zữ\ = ^

/ f ( rl ) drl ■
7

Tích phân (Ị1.6.7Ị) khơng phụ thuộc vào việc chọn chu tuyến ỵ. Vì vậy, (Ị1.6.7Ị)
chỉ phụ thuộc vào hàm / và điểm zo (xem (Ó). Nếu f ( z ) giải tích trên vành
18


khăn R < \z\ < 00 thì thặng dư của / tại 00 là số
res[f,°°} = ^ j j f { i ì ) dr \ =

Ị f (r\ )drị .

Ỵ-

7

Trong đó, 7 là chu tuyến bao quanh điểm z = 0 nhưng nằm trong hình vành
khăn R < \z\ <
Nếu biết khaitriển Laurent của hàm / trong vành khăn 0 < \z —Zo| < r hoặc
trong R< \z\ < 00 (tại ZQ = 0) thì theo định lý Laurent, ta có

res[f,zo\ = ^ ~ / Ỉ M d r i = C _ 1 ,
7

res[f,°°] = ^ j p Ị f ( n ) d r ị = —c _ ] .
T

Từ điều kiện và định nghĩa về điểm bất thường, nếu zo là điểm bất thường bỏ
được của f ( z ) thì res[f,zo\ = 0.
Định lý 1.6.1 (xem [51]). i. Nếu ZQ là cực điểm cấp 1 của hàm f thì
r es [ f , z oị = lim (z —Zo)f(ì).
z—
>-Zo

(1.6.8)

với ọ ( z o ) Ỷ 0, V( zo) = 0 và y/ (z o ) Ỷ 0 thì

ii. Nếu f ( z ) =

res[f,zo} =

( L6-9)

V( zo)

iii. Nếu Zq là cực điểm bậc m > 1 của f thì
res[f,Zữ\ = - *
lim [( z - z o )" 7 ( z )] (m_1)(ra — 1)! z->z0
Ví dụ 1.2. Xét hàm f ( z ) =
a) Tính res[f, 0]. Vì

w

_

1

(

^

1

19

1

1

(1.6.10)


nẽn

b) Tìm res

. Bởi vì

.(1 + z 2y

(7 - i)m— !— = — 1—

(1 + z ỉ )m
(z + i)m
nên nếu tính đạo hàm vế trái m — 1 lần, ta được

)

(m- 1

(z - iỴ

(z + i) 2m—1

(1 + z 2y

Theo cơng thức d1.6.10Ị), ta có
res

1

(—\Ỵn(2m —2)!

.(1 + z 2)m

(ra — 1)! (m — 1) !22m 1i2m 1
(2 m —2 )!
22m-lỊ(m _ 1 ) f]2 *

Đ ịnh lý 1.6.2 (xem [ 0 ). Nếu f giải tích tại 00 thì
res[f; 00] = lim z[/(°°) - / ( z ) ] .
Hệ quả 1.6.1 (xem Ĩ ) .

00 là khơng điểm bậc m > 1 Cíỉứ /zổm / ( z ) , róc

là 0 là khơng điểm bậc m của hàm f

thì

Co —c_ 1 —... — C - m+\ — 0,
và do đó
res[f,o 0] = C ị = 0.
Nếu m = 1, tức là
Co = lim /( z ) = 0
z—>°°

thì

ré?s[/,°o] = - l i m / ( z ) .
^°°
20


1.6.2. Các địn h lý cơ b ả n về th ặn g dư
Đ inh lý 1.6.3 (Định lý cơ bản về thặng dư, xem (31). Giả sử hàm f ( z ) giải
tích trong miền Q. trừ ra chỉ một số hữu hạn điểm Z \t ■■,Zn nằm trong miền
này. Khỉ đó, với mọi chu tuyến Ỵnằm trong Q. sao cho {zi, . . . ,Z/v} c ílỵ c n
í
*
/ f ( v ) d r i = 2 Ki £ res[f\ zk].
y

k=\

Chứng minh. Vậy các điểm ZI , ' " , ZN bởi các chu tuyến 7 i, . . . , 7/v sao cho
miền £2% đôi một không giao nhau và ũ.Ỵk c
^

N

v

Theo định lý Cauchy đối với miền (N + 1) - liên Í2y\ u
k=ỉ

I m d ĩỊ
r

+E /

ta có

f { n ) d r ) =0.

k=l n

Vì vậy
í
SL í
SL
/ f ( ĩ ] ) d ĩ \ = L / f ( 7l ) d l = 2x i
res[ f ^’ kì

Y

k = ì ĩk

k=ỉ

□

Đ ịnh lý 1.6.4 (Định lý về thặng dư toàn phần, xem [J3]l). Cho f giải tích trên
tồn bộ mặt phẳng trừ ra một số hữu hạn điểm Z\, • • • ,Zn = °°- Khỉ đó,
N

ỵ , res[f;zk\ = 0.
k= 1

Chứng minh. Xét chu tuyến 7 sao cho
theo định lý |1.6.3[ ta nhận được

chứa tất cả Z i,... , ZN- 1- Khi đó,

í
/ f ( n ) d r i = 2ni £ res[f -, Zk\.
y
k= 1
M ặt khác, theo định nghĩa
- Ị f { i \ ) dĩ ] =2icires[f\oo\.
ĩ

□

Cộng hai đẳng thức này ta có điều phải chứng minh.

21


Chương 2
__

7

/

Ưng dụng Thặng dư logarit đê tìm sơ
khơng điểm của hàm giải tích
Trong chương này, chúng tơi sử dụng các kí hiệu £2 là tập con của tập số
phức
7 là chu tuyến trơn từng khúc nằm trong í l .

c,

2.1. Thặng dư logarit
2.1.1. Khơng điểm của hàm giải tích
Đ ịnh nghĩa 2.1.1 (xem ỊŨỮI). Giả sử f { z ) giải tích trong miền Q tùy ý. Điểm
Zo G ũ, được gọi là không điểm (0 - điểm) của / nếu f (zo) = 0.
Giả sử z = Zo là 0 - điểm của f ( z) . Nếu khai triển Taylor của hàm f ( z ) ở
lân cận zo có dạng
co

f(z)= L

a n ( z - z o ) nì a m Ỷ 0

n= m

thì zo được gọi là 0 - điểm cấp m của f ( z ) . Trường hợp m = 1 được gọi là 0 điểm đơn.
2.1.2. Cực điểm của hàm giải tích
Đ ịnh nghĩa 2.1.2 (xem [Ị3]]). Giả sử hàm biến phức / giải tích trên vành khăn
0 < \z —zo| < ri tồn tại lim f ( z ) =
Khi đó, zo được gọi là cực điểm của / .
z->zo

Đinh lý 2.1.1 (xem 0 ) . i. Điểm Zq là cực điểm của hàm giải tích f ( z ) trên
0 < \z —Zq\ < r nếu và chỉ nếu trong khai triển (|1.5.4Ị), tồn tại m > 0 đ ể

22


С-т ф о và с* = о, với к < —т. số nguyên т > о gọi là bậc của cực điểm
Zo­
ll. Điểm Z() là điểm bất thường cốt yếu nếu và chỉ nếu tồn tại vô số к > 0
đ ể c _ k Ф 0.
2.1.3. Thặng dư logarit
Với mỗi hàm giải tích f ( z ) , xét hàm số

Bởi vì, về hình thức
ọ( z ) = ịLnf(z)Ỵ

nên hàm (Ọ được gọi là đạo hàm logarit của hàm / .
Định nghĩa 2.1.3 (xem Щ ). Giả sử / là hàm giải tích trên miền £2 trừ ra một
số hữu hạn các điểm, 7 không chứa các cực điểm bất thường và 0 - điểm của

/ sao cho Ũ.Ỵ С £1. Khi đó, tích phân
(2.1.1)
r
được gọi là thặng dư logarit của / đối với chu tuyến ỵ.
Đỉnh lý 2.1.2 (xem Щ ). Giả sử f giải tích trên miền Q. trừ ra một số hữu hạn
các điểm, Ỵ không chứa các cực điểm bất thường và 0 - điểm của f sao cho
Пу С £1. Khi đó

ĩ
Trong đó, Ny( f) là số 0 - điểm và Py ( f ) là số cực điểm của hàm trong ílỵ
(0 - điểm bậc m được tính m lần).
Chứng minh. Giả sử a \ , . . . , a s là cực điểm bậc P ] , . . . , P S của hàm / còn
b \ , . . . , b ị là 0 - điểm bậc « 1 , . . . , « / của hàm / trong íly. Ta chú ý rằng

23


a1,...,

, b 1 , . . . , bị là tất cả các điểm bất thường của —Ỵ— trong

Theo

định l ýịl .6.3[ ta có
res L
— ’bi

ư

2n i J f(z)

ĩ

(2 . 1.2 )

Với mỗi k = 1 , , 5 viết
f k(z)
f(z)

(z - a k) Pk

trong đó fk(z) với z đủ gần ak.
Bởi vì
f ( z ) _ f'kị z ) ị z - a ky~> { z - a ky* Mz) _ f k(z)
f(z)
(z - a k)2Pt
: { z - a k)Pt
=

|

-Pk

z-ak

fk(z)
f k(z)

ta có
res

't

f
Tương tự, với mỗi j = 1, . . . , 1 viết

(2.1.3)

= —Pkik —

/( z ) = { z - b j ) aigj(z),
trong đó gj(z)

0 vi z gn b. Bi vỡ

/'(z
ôj ., 6ý ({<ã)
z)
J \Z)) __
f(z)~z-bj
g(z)
nẽn
res l

Ư

( 2 . 1.4 )

bJ

Thay (Ị2.1.3Ị) và (|2.1.4Ị) vào (|2.1,2|), ta được

1 ỉ/• Ũ
/'( ;ệ) dz = - ' £ p í + ỵ
2ni ị f ( z )
h
h
= Ny(f)-Py(f).
24

a