Bất đẳng thức và bài toán MinMax ôn thi THPT Quốc Gia 2016

Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

Bất đẳng thức – Bài toán Min - Max

CHUYÊN ĐỀ 10

BẤT ĐẲNG THỨC
BÀI TOÁN MIN - MAX
Bài 1. Cho x , y , z là ba số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện

1
z  x  y  z . Tìm giá trị nhỏ
2

nhất của biểu thức
P

x
y
2z


.
2y  z z  2x x  y  z

HƯỚNG DẪN GIẢI
2

a  b 
a 2 b2
Trước hết ta chứng minh:



x
y
x y

* với a,

b   và x , y  0 .

a 2 b 2 
2

Thật vậy, *  a  b   x  y     .
y 
 x
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:
2

a 2 b2 
a
b 


 y.
  x  y     .
 x .
 x
y 
x

y 


Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi:

a
b
 .
x
y
2

x  y 
x
y
x2
y2
Áp dụng * , ta có




.
2y  z z  2x 2xy  zx yz  2xy 4xy  z x  y 

1

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x  y .
2

Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức 4xy  x  y  , ta được:
2

2

x  y 
x  y 
.

4xy  z x  y  x  y 2  z x  y 

2

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x  y .
Do đó
 x  y 2


 z 

2

P

x  y 
2z
2
.




2
2
x  y  z x  y 
x y
x

y

z
x

y
x

y
   
1
 

 z




z

z

1 

x y
1
. Từ z  x  y  z , suy ra t   ;1 .
2 
z
2


t
2
t 2
Khi đó: P 


.
t 1 t 1 t 1
1 
1 
t 2
1
Xét hàm f t  
, t   ;1 . Ta có f ' t  
 0 , t   ;1 .
2 
2 
2
t 1





t  1
Đặt t 

1 | Trang

www.noon.vn


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

Bất đẳng thức – Bài toán Min - Max

1 
1 
3
Suy ra f t  nghịch biến trên  ;1 nên f t   f 1  , t   ;1 .
2 
2 
2




x y
Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: t  1 
 1.
3
z
x  y

3
Suy ra P  . Từ 1 , 2 và 3 , suy ra dấu ''  '' xảy ra khi 
.

x  y  z
2

3
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng ; khi 2x  2y  z .
2
Nhận xét. Trong những năm gần đây trong cấu trúc đề thi của BGD thì câu này là câu khó nhất, câu lấy
điểm 10. Năm 2012 trở về trước thì xu hướng của bộ ra là biểu thức P đối xứng. Năm 2013 và 2014 thì xu
hướng của Bộ ra biểu thức P khơng còn đối xứng nữa mà là gần đối xứng. Để giải quyết những bài tốn này
thì ta dùng đến những bất đẳng cơ bản, bất đẳng thức phụ,… để dồn biến. Sau đó ta đặt ẩn phụ để xét hàm
hoặc thêm bớt đại lượng rồi dùng bất đẳng thức lần nữa. Bài tốn này là một ví dụ minh họa cho điều đó.
Bài 2. Cho x , y , z là ba số thực thuộc đoạn 1;2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 
P

2 x  y 
z 2  4xy



3z 2
z 2  4xy

.

HƯỚNG DẪN GIẢI

2

Áp dụng bất đẳng thức cơ bản 4xy  x  y  , x , y   . Ta có:
2 x  y 

P

2

z 2  x  y 



3z 2
2

z 2  x  y 



x y 
2   
 z z 
 x y 2
1    
 z z 

3
 x y 2
1    

 z z 

.

1

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi : x  y .
Đặt t 



x y
 . Vì x , y, z  1; 2 nên t  1; 4  .
z
z

Khi đó: P 

2t
1t

Ta có f ' t  

2



3
1t



2

2 1  8t 2
2

1  t  3t 
2

. Xét hàm f t  


2


1  t 


2t
1t

2



3
1  t2

, t  1; 4 .

 

 0 , t  1; 4 .
 

3  8 17
Suy ra f t  nghịch biến trên 1; 4  nên f t   f 4 
, t  1; 4 .
17
x  y  2
Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: t  4  
.
2
z  1

Suy ra P 

3  8 17
.
17

Từ 1 và 2 , suy ra dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi : x  y  2 , z  1 .

2 | Trang

www.noon.vn


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

Bất đẳng thức – Bài toán Min - Max

3  8 17
; khi x  y  2 , z  1 .
17
Nhận xét: Bài tốn thuộc dạng min, max của biểu thức ba biến với các biến bị chặn. Thơng thường đối với
dạng này ta có hai hướng giải. Một là đạo hàm theo từng biến. Hai là dùng bất đẳng thức phụ sau đó đặt ẩn
phụ để đưa được về biểu thức một biến và cuối cùng là xét hàm.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng

Bài 3. Cho x , y , z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện x 2  y 2  6z 2  4z x  y  . Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
P

x3
2

y x  z 



y3
2

x y  z 

x2  y2
.
z



HƯỚNG DẪN GIẢI


Đặt x  az , y  bz với a , b   .
Thay vào giả thiết, ta có a 2  b2  6  4 a  b  .
Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có:

2

2

a  b 
a  b

2
2
a  b 

2  a  b  6
 4 a  b   6
2
  2
 
.



ab  2 a  b   3

2
2
2
2
a

b
a

b

ab 
ab 

2
2

Khi đó

P




a3
2

b a  1
a3
2

b a  1
a3

2

b a  1






b3
2

a b  1

 a 2  b2
2

b3
2

a b  1
b3

2

a b  1



a  b 
2

.

 2.

1

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: a  b , a  b  2 .
Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có

a3
2

b a  1



a  1 ab  b 3a


8
8
4

và

b3
2

a b  1

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: a  1 , b  1 .



b  1 ab  a
3b

 .
8
8
4

2

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên và kết hợp với P , ta được
P

a  b ab 1
a  b 2 a  b   3 1
1
   2

  2   2.
2

4
4
2
4
4
2

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: a 2  b2  6  4 a  b  .

3

Từ 1 , 2 và 3 , suy ra dấu ''  '' xảy ra khi: a  1 , b  1 .
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng

3 | Trang

1
 2 , khi x  y  z .
2
www.noon.vn


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

Bất đẳng thức – Bài toán Min - Max

Nhận xét. Nhìn vào giả thiết ta thấy hai biến x , y có vai trò đối xứng nhau, còn biến z có vai trò khơng đối
xứng. Điều này gợi ý cho ta đưa bài tốn đã cho về bài tốn mới với 2 biến có vai trò đối xứng nhau, loại bỏ
đi 1 biến thừa khơng cần thiết và việc khó của cách giải này là chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cơsi.
Bài 4. Cho a , b , c là các số thực thỏa mãn điều kiện a  2b  3 a  b  1  3 b  3c  2  3c . Tìm giá

trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P  a  2b  3c .

HƯỚNG DẪN GIẢI
Gọi D là tập giá trị của P . Khi đó m  D khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
 a  2b  3 a  b  1  3 b  3c  2  3c


 a  2b  3c  m


 3 b  3c  2  a  b  1  a  2b  3c
 
 a  2b  3c  m

 x  a  b  1  0

Đặt 
, ta thu được hệ:
 y  b  3c  2  0


 x  y  m
 3 x  y   m

3

 

2
2

1 m 2
 x  y  m  3



 xy  2  9  m  3




Từ đó x , y là nghiệm của phương trình bậc hai:





X2 

1


m
1  m 2
X  
 m  3  0
3
2  9


 18X 2  6mX  m 2  9m  27  0 .

2

Hệ 1 có nghiệm a , b , c khi và chỉ khi phương trình 2 có nghiệm khơng âm


  '  9 m 2  18m  54  0


m
9  3 21
 S 
0

 m  9  3 15 .

3
2

2
 P  m  9m  27  0

18
 9  3 21

Suy ra D  
; 9  3 15  .
2







9  3 21
; giá trị lớn nhất của P là 9  3 15 .
2
Nhận xét: Đây là một phương pháp dùng để tìm GTNN, GTLN của một biểu thức. Phương pháp này gọi là
‘’Miền giá trị’’ dựa vào điều kiện có nghiệm của hệ phương trình đối xứng loại 1. Dạng tốn này nằm trong
chương trình cơ bản của SGK lớp 10. Đặc thù của dạng này là tìm được GTNN, GTLN của biểu thức P
nhưng khơng cần chỉ rõ biểu thức đạt tại đâu vì hệ (1) có nghiệm thì khi đó chắc chắn sẽ tồn tại a , b , c . Để
cho thành thạo hơn, các em có thể làm thêm ví dụ '' Cho x , y là hai số thực thỏa mãn

Do đó giá trị nhỏ nhất của P là

x  3 x  1  3 y  2  y . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P  x  y '' .
4 | Trang

www.noon.vn


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

Bất đẳng thức – Bài toán Min - Max

Bài 5. Cho x , y , z là ba số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P

4 2

3 2x  4 xy  8 yz



1
x y z

.

HƯỚNG DẪN GIẢI
Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có



3 2x  4 xy  8 yz  2 3x  2 2xy  4 2yz




x  2y
y  2z 
  4 2 x  y  z  .
 2 3x  2.
 4.

2
2 
Do đó P 

1

1
.

x y z
x y z

1

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x  2y , y  2z .

1
1
1
1
Đặt t  x  y  z , t  0 . Khi đó: P  
. Xét f t   
, t  0.
t
t
t
t
Ta có f ' t  

1

2t t
Bảng biến thiên



1
t2

; f ' t   0  t  4 .

1
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy min f t   f 4   .
0;

2



2

Dấu ''  '' xảy ra khi: t  4  x  y  z  4 .
1
Suy ra P   .
2

16 8 4 
Từ 1 và 2 , suy ra dấu ''  '' xảy ra khi: x ; y; z    ; ;  .
 7 7 7 
16 8 4 
1
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng  ; khi x ; y; z    ; ;  .
2
 7 7 7 
Nhận xét: Đây là một bài tốn tìm min, max sử dụng đến BĐT Cơsi và xét hàm. Cái khó ở bài này là chọn
điểm rơi trong BĐT Cơsi. Để cho thành thạo hơn, các em có thể làm thêm ví dụ '' Cho x , y , z là ba số thực





dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 

2
x  xy  3 xyz



3
x y z

.

Bài 6. Cho a , b , c là ba số thực dương thỏa mãn abc  a  c  b . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1
1
2
P


.
2
2
2
a 1 b 1 c 1
5 | Trang

www.noon.vn


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

Bất đẳng thức – Bài toán Min - Max

HƯỚNG DẪN GIẢI

Từ giả thiết abc  a  c  b , suy ra ac  1 .
Thật vậy: Giả sử ac  1 , từ abc  a  c  b , suy ra a  c  0  a  c .
Điều này vơ lý với giả thiết a , b , c là ba số thực dương.
a c
Ta có: abc  a  c  b  b 
.
1  ac

Đặt a  tan A , c  tan C với A , C   k  k   .
2
Suy ra b  tan A  C  .
Khi đó
1

P

2

tan A  1



1
tan A  C   1
2



2
2

tan C  1

 cos2 A  cos2 A  C   2 cos2 C
1
 . cos 2A  cos 2A  2C   2 cos2 C

2 
 sin 2A  C  . sin C  2 cos2 C
2

1
17 17
 sin C  2 sin2 C  2  2  sin C   
 .

4 
8
8


 sin C  1

4
Dấu ''  '' xảy ra khi  sin 2A  C   1
.

sin 2A  C  . sin C  0

1
1
Từ sin C  , suy ra c  tan C 
;
4
15

sin 2A  C   1  cos 2A  C   0 , suy ra a  tan A 
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng


17

; khi a; b; c   
8


3

15
3

15 1 
;
;
 .
15 3
15 

.

Bài 7. Cho x , y là hai số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện x  2y  xy  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:

P

x2
y2

.
4  8y 1  x

HƯỚNG DẪN GIẢI
Từ giả thiết ta có x  2y  xy 

1
.x .2y .
2

a 

Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có

2
x  2y
1
 x .2y  x  2y   x .2y .
2
4

b 

Từ a  và b  , ta được
x  2y 
6 | Trang

2
1
x  2y   x  2y  x  2y   8   0  x  2y  8 .



8

www.noon.vn


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

Bất đẳng thức – Bài toán Min - Max

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x  2y .
2

a  b 
a 2 b2
Hơn nữa, ta lại có:


x
y
x y

* với a,

b   và x , y  0 .

a 2 b 2 
2

Thật vậy, *  a  b   x  y     .
y 
 x

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:
2

a 2 b2 
a
b 

x
.


y
.

x

y


 x  y  .



x
y




Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi:

a
b
 .
x
y
2

2

2y 
x  2y 
x2
y2
x2
Áp dụng * , ta có P 




.
4  8y 1  x
4  8y 4  4x
8  4 x  2y 

1

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x  2y .
Đặt t  x  2y , t  8 . Khi đó: P 
Xét hàm số f t  

t2
.
8  4t

t2
4t 2  8t
trên 8;  ; f ' t  
 0 , t  8 .
2

8  4t
8  4t 

8
Suy ra f t  đồng biến trên 8;  nên f t   f 8   .
5

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: t  8  x  2y  8 .
Suy ra P 

2

8
. Từ 1 và 2 , suy ra dấu ''  '' xảy ra khi: x  4 , y  2 .
5

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng

8
; khi x  4 , y  2 .
5

Bài 8. Cho x , y , z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện 13x  5y  12z  9 . Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức

P

xy
3yz
6zx



.
2x  y 2y  z 2z  x

HƯỚNG DẪN GIẢI
Ta có P 

xy
3yz
6zx


2x  y 2y  z 2z  x

1
1
1
.


1 1 1
1
1
1
1
1
1
 





x y y
3z 3z 3y
6x 6x 6z
 1 1 1
Áp dụng bất đẳng thức a  b  c       9 , a, b, c  0 ta được:
a b c 


7 | Trang

www.noon.vn


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

1

1

1

x  y  y   x  y  y   9 




1

Bất đẳng thức – Bài toán Min - Max

x y y
1
;

9
1 1 1
 
x y y

1

1

y  z  z   3z  3z  3y   3 




1

1

1

3

x  x  z   6z  6x  6x   2 



y z z
1
;

3
1
1
1


3z 3z 3y

2 x  x  z 
3





1
.
1
1
1


6z 6x 6x

Cộng các vế của các bất đẳng thức trên ta được:

x  y  y y  z  z 2 x  x  z  1


 13x  5y  12z   1 .
9
3
3
9
x  y  z
3
Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: 
x y z 
.
13x  5y  12z  9
10

3
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 1 ; khi x  y  z 
.
10
P

Bài 9. Cho x , y là hai số thực dương thỏa mãn x 2  2y  12 và x  y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
P





2

4
x

4



4
y

4



5
2

8 x  y 

.

HƯỚNG DẪN GIẢI

Từ giả thiết ta có 16  x  4  2y  4x  2y  2 4x .2y , suy ra 0  xy  8 .
Do đó
xy 2  4

4  xy
5
1  x 2 y 2  5
1
P        .
     .
.
2
2
2
 8  x 4 y 4  8

16 y
x  64 x  y  2
8 x  y 
y x

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: xy  8 .
Đặt t 

1

x y
1
5
1
1
 , t  2 . Khi đó: P  t 2  .
 .
y x

16
64 t  2 8

1 2
5
1
1
t 
.
 , t  2.
16
64 t  2 8
t
5
1
5
Ta có f ' t    .
; f ' t   0  t  .
2
8 64 t  2
2

Xét hàm số f t  





Bảng biến thiên

8 | Trang

www.noon.vn


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

Bất đẳng thức – Bài toán Min - Max

 5  27
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy min f t   f   
.
 2  64
2;
Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: t 

5
x y
5
   .
2
y x
2

2

27
. Từ 1 và 2 , suy ra dấu ''  '' xảy ra khi: x  2 , y  4 .
64
27

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng
; khi x  2 , y  4 .
64

Suy ra P 

Bài 10. Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn x , y  1 và 0  z  2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P

xy  2z 2
2

x  xy  2z

2



5xy  z 2
2

y  5xy  z

2



x y
.

z

HƯỚNG DẪN GIẢI
2

Ta chứng minh:

a  b 
a 2 b2


x
y
x y

* với a,

b   và x , y  0 .

a 2 b 2 
2

Thật vậy, *  a  b   x  y     .
 x
y 

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:
2

a 2 b2 

a
b 



x
.

y
.

x

y




   .

x
y


x
y



Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi:

a
b
 .
x
y

Áp dụng * , ta có


x2
y2

  x  y
P  2  

 x 2  xy  2z 2 y 2  5xy  z 2 
z
2

x  y 
2

2
2
x  y   4xy  3z
Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi:

x
2

x  xy  2z

2



x y
.
z

y
2

y  5xy  z 2

.

1

2

Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức 4xy  x  y  , ta được
2

P 2

x  y 

2

2
2 x  y   3z

x y
x y
 2

.
2
z
z
 x  y 
 3
2 
 z 

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x  y .
Đặt t 

 x  y 2


 z 

2

x y
. Do x , y  1 và 0  z  2 nên t  1 .
z

9 | Trang

www.noon.vn


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

Khi đó: P  2 

t2

Ta có f ' t   

 t.

2t 2  3

Xét hàm số f t   2 

t2

2t

 t , t  1.

2t 2  3

6t
2

Bất đẳng thức – Bài toán Min - Max

2



3



1

 0 , t  1 .

2 t

4
Suy ra f t  nghịch biến trên 1;  nên f t   f 1  .

5

x y
 1  x y  z .
3
z
x  y  1
4
Suy ra P  . Từ 1 , 2 và 3 , suy ra dấu ''  '' xảy ra khi: 
.
z  2

5


Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: t  1 

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng

4
; khi x  y  1 , z  2 .
5

Bài 11. Cho ba số thực dương x , y , z thỏa mãn x  y  z  xyz . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

z  z xy  
P
x  y z  1 z
2

2

2z
2



1

.

2

z 1

HƯỚNG DẪN GIẢI
Ta có
P





z z  xyz  2z xy

x  y z 2  1



z x  y  2z xy

x  y z 2  1





2z

z



2

z2  1

1
2z





z2  1

.

z2  1

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có
2

2

x  y  2z xy  x  y  .1  2 xy .z   x  y   4xy  . 1  z 2  x  y  1  z 2 .







Do đó P 

z
z2  1



2z





z2  1

z2  1

3z



z2  1



2z 3





z2  1

 x  y
2 xy


Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: 
.
 1
z

x  y  z  xyz
z
Đặt t 
, 0  t  1 . Khi đó: P  3t  2t 3 .
2
z 1

z2  1



.

1

Xét hàm số f t   3t  2t 3 , 0  t  1 .
Ta có f ' t   3  6t 2 ; f ' t   0  t 

10 | Trang

1
2

do 0  t  1 .
www.noon.vn


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

Bất đẳng thức – Bài toán Min - Max

Bảng biến thiên

 1 
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy max f t   f    2 .
 2 
0;1

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: t 

1

z



2

1



2

2

z 1

2

.

x  2  1


Suy ra P  2 . Từ 1 và 2 , suy ra dấu ''  '' xảy ra khi: y  2  1 .

z  1


Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 2 ; khi x  2  1 , y  2  1 , z  1 .
Nhận xét: Thoạt đầu nhìn vào biểu thức P thấy rất cồng kềnh nhưng dùng giả thiết thì nó lại đơn giản. Áp
dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki thì ta có thể đưa P về một biểu thức gọn hơn chỉ còn chứa z. Cuối cùng là
đặt t và xét hàm.

Bài 12. Cho ba số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện x  z . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
x

P



x 2  y2

y
y2  z 2

z
.
z x



HƯỚNG DẪN GIẢI
1

Ta chứng minh:

1  a2

1



1  b2



2

* với a,

1  ab

b  0 và ab  1 .

Thật vậy, ta có:
1
1  a2

mà

1
1a

2



1
1 b

2





1
1  b2

 1.

1
1  a2

 1.

1
1  b2



1

2

 1
1 

 12 

 1  a 2 1  b 2 



2
2

 a  b  ab  1  0 ln đúng với a, b  0 và ab  1 .
1  ab

Do đó * đúng. Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: a  b .
Áp dụng bất đẳng thức * , ta được:
P

x
x 2  y2



y
y2  z 2



Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi:
Đặt t 

z

z x

1
 y 2
1   
 x 

1

 z 2
1   
y 

y
z
 .
x
y

z
2
, 0  t  1 . Khi đó: P 

x
1t

11 | Trang





1
x
1
z



2
z
1
x



1
x
1
z

.

1
1
1
1
t



t 2
t 1

.

www.noon.vn

Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

Xét hàm số f t  

t 2

, 0 t 1.

t 1

12 t

Ta có f ' t  

2 t

Bất đẳng thức – Bài toán Min - Max

3

t  1

; f ' t   0  t 

1
.
4

Bảng biến thiên

1
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f t   f    5 với mọi t  0;1 .
 4 
Dấu ''  '' bằng xảy ra khi và chỉ khi: t 

1
z
1
   x  4z .
4
x
4

2

Suy ra P  5 . Từ 1 và 2 , suy ra dấu ''  '' xảy ra khi: x  2y  4z .
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 5 ; khi x  2y  4z .
Nhận xét: Bạn đọc cần lưu ý các bất đẳng thức phụ ở phần chứng minh vì nó chính là mấu chốt giúp chúng ta
giải quyết những bài tốn loại này. Chú ý rằng:
1
1
2
▪
với a, b  0 và ab  1 .


1  a 1  b 1  ab
Dấu ''  '' xảy ra khi a  b .
1
1

2
▪
với a, b  0 và ab  1 .


1  a 1  b 1  ab
Dấu ''  '' xảy ra khi a  b hoặc ab  1 .

Bài 13. Cho ba số thực x , y , z thuộc đoạn 1; 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P

36x 2y
z
.


yz
xz xy

HƯỚNG DẪN GIẢI
●

Đặt f x  

36x 2y
z


với x  1; 3 , y , z là tham số.
yz

xz xy

Ta có f ' x  

36 2y
z
36x 2  2y 2  z 2
36x 2  2.9  9




 0.
yz zx 2 x 2y
x 2yz
x 2yz

36 2y z
Suy ra f x  đồng biến trên 1; 3 nên f x   f 1 

 .
yz
z
y
●

Đặt g y  

36 2y z


 với y  1; 3 , z là tham số.
yz
z
y

Ta có g ' y  

36
y 2z



2
z
36  2y 2  z 2
36  2.9  12



 0.
z y2
y 2z
y 2z

Suy ra g y  nghịch biến trên 1; 3 nên
12 | Trang

www.noon.vn

Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

Bất đẳng thức – Bài toán Min - Max

g y   g 3 

●

Đặt h z  

12 6 z
18 z
  
 .
z
z 3
z
3

18 z
 với z  1; 3 .
z
3

Ta có h ' z   

18
z

2



1
18 1
    0.
3
32 3

18 3
Suy ra h z  nghịch biến trên 1; 3 nên h z   h 3 
  7.
 
3
3
Suy ra P  7 . Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x  1 , y  3 , z  3 .

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 7 ; khi x  1 , y  3 , z  3 .
Nhận xét: Cách làm này chỉ áp dụng khi các biến x, y, z khơng phụ thuộc lẫn nhau chúng phải là các biến tự
do trong một đoạn. Bạn đọc có thể áp dụng cách làm này để giải đề thi Đại học khối A năm 2011. Tuy tính
tốn biến đổi hơi vất vả nhưng dễ làm. '' Cho x, y, z là ba số thực thuộc 1; 4  và x  y , x  z . Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức P 

x
y
z
'' .


2x  3y y  z x  x





Bài 14. Cho x , y , z là ba số thực khơng âm thỏa mãn điều kiện 5 x 2  y 2  z 2  6 xy  yz  zx  .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức





P  2 x  y  z   y 2  z 2 .

HƯỚNG DẪN GIẢI
Ta có 5x 2 



2
5
y  z   5x 2  5 y 2  z 2

2
2

Do đó 5x 2  6x y  z   y  z   0 

  6 xy  yz  zx   6x y  z   6. 14 y  z  .
2

y z
x y z.
5

Suy ra x  y  z  2 y  z  .
2
2
2
1
1
1
y  z   4 y  z   y  z   2 y  z  y  z  .

2
2
2
y  z
Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: 
.
1
x  y  z


Khi đó: P  2x  y  z  

Đặt t  y  z , t  0 . Khi đó: P  2t 
Xét hàm số f t   2t 

t4

.
2

t4
, t  0.
2

Ta có f ' t   2  2t 3 ; f ' t   0  t  1 .
Bảng biến thiên

13 | Trang

www.noon.vn


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

Bất đẳng thức – Bài toán Min - Max

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy max f t   f 1 
0;


3
.
2

2

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: t  1  y  z  1 .

Suy ra P 

3
1
. Từ 1 và 2 , suy ra dấu ''  '' xảy ra khi: x  1, y  z  .
2
2

3
1
; khi x  1, y  z  .
2
2
Nhận xét. Nhìn vào biểu thức P ta thấy vai trò y , z như nhau còn x thì khơng. Do vậy ta biến đổi làm mất
x . Sau đó đặt ẩn phụ và xét hàm.

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng

2
2

 x  yx  z  .
3x  2y  z  1 3x  2z  y 1

Bài 15. Cho x , y , z là ba số dương thỏa mãn điều kiện:
2

2 x  3  y 2  z 2 16

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 

.

2x 2  y 2  z 2

HƯỚNG DẪN GIẢI
2

2

a  b 
Áp dụng các bất đẳng thức cơ bản

2x  y  z 
1 1
4
, ta có: x  y x  z  
 ab và  
a b a b
4

4

Và

2
2
8



.
3x  2y  z  1 3x  2z  y  1 3 2x  y  z   2

Kết hợp với giả thiết, ta được

2

8
3 2x  y  z   2



2x  y  z 
4

.

1

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: y  z .
8
u2

 3u 3  2u 2  32  0
3u  2
4

Đặt u  2x  y  z  0 , ta được





 u  2 3u 2  8u  16  0
 u  2  y  z  2  2x .
2

Ta có P 

2 x  3  y 2  z 2  16
2x 2  y 2  z 2

1

2 6x  1
2x 2  y 2  z 2

.

2

2

2

2

2

Ta có sự đánh giá 2x  y  z  2x 

y  z 
2



2



 2x 2  2 1  x   2 2x 2  2x  1  0 .

Và 6x  1  0 nên P  1 

6x  1
2

2x  2x  1

.

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: y  z và y  z  2  2x .
Xét hàm số f x   1 

14 | Trang

6x  1
2

2x  2x  1

2

, x  0.

www.noon.vn


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

Ta có f ' x  



4 3x 2  x  2

2x

2



 2x  1

Bất đẳng thức – Bài toán Min - Max

 ; f ' x   0  x  2 (do x  0 ).
3

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f x   10 với mọi x  0 .
Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x 

2
.
3

3

Suy ra P  10 . Từ 1 , 2 và 3 , dấu ''  '' xảy ra khi: x 

2
1
,yz  .
3
3

2
1
, yz  .
3
3
Nhận xét. Nhận thấy biểu thức P đối xứng giữa y và z nhưng x thì khơng. Nhìn vào thấy cái giả thiết thật ghê
gớm nhưng chỉ sử dụng vài bất đẳng thức cơ bản thì sẽ đi đến đơn giản và tìm được mối liên hệ giữa x với y

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 10 ; khi x 

và z. Sau đó ta biến đổi để đánh giá biểu thức P  f x  và đến đây thì mọi việc đã đơn giản vì chỉ còn xét
hàm là giải quyết bài tốn.



2



Bài 16. Cho x , y , z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện x 4  y 2  1  z 4  3 . Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức P  2y x  z  

1
2

2

x  y  z2  1

.

HƯỚNG DẪN GIẢI
Từ giả thiết ta có:







 

 



2 y 2  1  6  x 4  1  y 4  4  z 4  1  2x 2  4y 2  2z 2 .
Suy ra 0  x 2  y 2  z 2  4 .
Ta có P  2y x  z  

1
x  y  z2  1

 2xy  2yz 

2

2

1
2

2

x  y  z2  1
y2 y2
1
 x2 

 z2 
.
2

2
2
2
x  y  z2  1

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x 

y
2

và

y
2

z.

Đặt t  x 2  y 2  z 2 , 0  t  4 . Khi đó: P  t 
Xét hàm số f t   t 
15 | Trang

1

1
.
t 1

1
, 0 t  4.
t 1

www.noon.vn


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

Ta có f ' t   1 

1

Bất đẳng thức – Bài toán Min - Max

 0 , t  0; 4 .

2

t  1

21
Suy ra f t  đồng biến trên 0; 4 nên f t   f 4  
.
5

2

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: t  4  x 2  y 2  z 2  4 .

21
. Từ 1 và 2 , dấu ''  '' xảy ra khi: x  1 , y  2 , z  1 .
5
21

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng
; khi x  1 , y  2 , z  1 .
5

Suy ra P 

Nhận xét. Bài tốn này khó ở chổ dùng giả thiết để đánh giá x 2  y 2  z 2  4 . Việc còn lại thì áp dụng bất
đẳng thức Cơsi và xét hàm là hồn tồn đơn giản.

Bài 17. Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn điều kiện xyz  1 và x 4  y 4  8xy  6 . Tìm giá trị lớn
2

nhất của biểu thức P  xy  x  y  

1
.
2z

HƯỚNG DẪN GIẢI
Ta có 8xy  6  x 4  y 4  2x 2y 2 .
Đặt t  xy , ta được 8t  6  2t 2  2t 2  8t  6  0  1  t  3 .
2

Áp dụng bất đẳng thức cơ bản a  b   4ab , a, b   và kết hợp với giả thiết xyz  1 , ta có
2

P  xy  x  y  

1
 xy  4xy 

2z

1
2

1
xy

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x  y .
Xét hàm số f t   3t 
Ta có f ' t   3 

 3xy 

xy
.
2xy  1

1

t
1
1
 3t  
, t  1; 3 .
 
2t  1
2 2 2t  1

1

2

4 2t  1

 0 , t  1; 3 .

10
Suy ra f t  nghịch biến trên 1; 3 nên f t   f 1   .
 
3

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: t  1  xy  1 .
Suy ra P  

2

10
. Từ 1 , 2 và kết hợp với giả thiết, suy ra dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi:
3

x  y  z  1

x  y  1; z  1 .

x  y  z  1

x  y  1; z  1 .

Nhận xét. Nhìn vào bài tốn ta thấy hai biến x, y đối xứng còn z thì khơng. Vậy hướng đơn giản nhất là dùng
các dữ kiện giả thiết cho cùng với các bất đẳng thức cơ bản để loại đi biến z. Khi đó ta đặt ẩn phụ để đưa về

hàm một biến và xét hàm đặc trưng.

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 

16 | Trang

10
; khi
3

www.noon.vn


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

Bất đẳng thức – Bài toán Min - Max

Bài 18. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện xz  y xy  z   x 2z 2  4y 2 và xz  2y .
2

 xz  y 2
y 


 .
P  1    

xz 
 xz  y 

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

HƯỚNG DẪN GIẢI


y  xy
y2
Ta có xz  y xy  z   x 2z 2  4y 2  x     1  x 2  4

 z
z 

z2


y 
z  xz
y
 x   1   
4




z 
xy 
y
xz


 xz

xz
y
z  y 1 
y 

4
 x        2 

.
 y
y
xz 
y   z x 
xz 

1

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: xy  z .
xz
, t  2 . Từ * , ta có
y

Đặt t 

t2 

Suy ra

*


1
 2 t    t  2 t 3  2  0  t  2 (do t  2 ).

t 
t



4

2



xz
xz
2 
 4.
y
y
2

2

2



 xz  y 

y
y
  1  
Ta có: P  1    
xz 
xz 

 xz  y 



2
1  y 

xz  .
 


y 
 1  

xz 

1  u 2
2
y
1
 .

Đặt u 
, u  . Khi đó: P  1  u   
 1  u 
xz
4
2

Xét hàm số f u   1  u 
Ta có f ' u   2 1  u  

1  u 2
1
 ,u .
 
 1  u 
4

4 1  u 
3

1  u 

 0 , u 

1
.
4


 1  625

1
Suy ra f u  đồng biến trên ;  nên f u   f   
.

 4  144
4 
1
y
1

  xz  4y .
2
4
xz
4
x  2
625
Suy ra P 
. Từ 1 và 2 , suy ra dấu ''  '' xảy ra khi: 
.
z  2y
144


x  2
625
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng
; khi 
.
z  2y

144


Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: u 

17 | Trang

www.noon.vn


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

Bất đẳng thức – Bài toán Min - Max

Nhận xét. Nếu ngay từ đầu ta đưa biểu thức P về biểu thức chứa biến
suy ra

y
và sử dụng giả thiết xz  2y
xz

y 

1
y
1
 rồi đi khảo sát hàm f   trên ;  thì dấu ''  '' khơng xảy ra. Vì còn một giả thiết
 xz 

xz

2
2 

nữa ta chưa sử dụng.

Bài 19. Cho x , y là hai số thực dương thỏa mãn x 2  y 2  x  y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
16

P  3x  2y 

x  3y

16



3x  1

.

HƯỚNG DẪN GIẢI
Từ giả thiết ta suy ra
2

2

2

x y  x y 

x  y 

 0  x y  2.

2

Ta có

16  
16 

P  x  3y 
  3x  1 
  x  y   1 .

x  3y  
3x  1 

Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta được
16

x  3y 

3x  1 

x  3y

16

 x  3y 

x  3y

8





8
x  3y

 12 ;

8

 12 .
3x  1
3x  1
x  y  2

x  1
Do đó P  24  2  1  21 . Dấu ''  '' xảy ra khi: x  3y  4  
.

y  1

3x  1  4

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 21 ; khi x  y  1 .

3x  1

 3x  1 

8

Nhận xét. Nhìn vào biểu thức P ta thấy P có dạng hai biến khơng đối xứng nhưng nhờ sự phân tích hợp lý
kết hợp với việc chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cơsi ta tìm được giá trị nhỏ nhất của P.

Bài 20. Cho x , y , z là ba số thực khơng âm và thỏa mãn điều kiện x 2  y 2  0 . Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức P 

1
2

2



2

x  y  z  2z  2

4
3

3

3 x  y  z  2

.

HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt t  z  1 , t  1 . Khi đó

P

1
x 2  y 2  z 2  2z  2




4
3

1
2

x  y  z  1  1
2

18 | Trang

3

3 x  y  z  2

2



4
3

3

3 x  y  z  2

.

www.noon.vn


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

Bất đẳng thức – Bài toán Min - Max

2
1
a  b  , a, b   .

2
Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: a  b .

Áp dụng bất đẳng thức a 2  b 2 

Ta có x 2  y 2 

2

2
1
1
x  y  và t 2  1  t  1 .

2
2

Suy ra x 2  y 2  t 2  1 
Hay

x 2  y2  t 2  1 

2
2
2
1
1
x  y   t  1   x  y  t  1
 4
2 

1
x  y  t  1 .
2

*

a  b 2
 , a, b .

Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức cơ bản ab  
 2 

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: a  b .
 x  y  t  12
 .
Ta có x  y t  1  
2



Từ * và * * suy ra P 

* *

2
32
.

x y t 1 3 x y t 1 3



1

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x  y  t  1 .
Đặt a  x  y  t  1 , a  2 . Khi đó: P 
Xét hàm số f a  
Ta có f ' a  

2

a
Bảng biến thiên

2

2
32
.

a 3a 3

2
32

, a 2.
a 3a 3



32
a4

; f ' a   0  a  4 .

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy max f a   f 4  
2;


1
.
3

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: a  4  x  y  t  1  4 .
Suy ra P 

2

1
. Từ 1 và 2 , suy ra dấu ''  '' xảy ra khi: x  y  t  1 .
3

1
; khi x  y  1 , z  0 .
3
Nhận xét. Bài tốn sử dụng qua hai lần đổi biến và áp dụng hai bất đẳng thức phụ mới đưa đến được
biểu thức cần xét hàm đặc trưng. Nhưng nếu bạn đọc đã nghiên cữu kỹ về điều này thì nó khơng còn khó
nữa.

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng

19 | Trang

www.noon.vn


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

Bất đẳng thức – Bài toán Min - Max

Bài 21. Cho x , y , z là ba số thực thuộc đoạn 1; 4  và x  z  y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P

3x



x y



2



y2



2

y  z 

z2
2

z  x 

.

HƯỚNG DẪN GIẢI
1

Trước hết ta chứng minh:

2

1  a 



1
2

1  b



2

1  ab 

2

* với a,

b  1.

Thật vậy, theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

2
 1
1 
2
2


1  a  1  b   1  1







 1
1 

.

2
2

1  a 
1  b  

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: a  b .
Mặt khác, ta lại có bất đẳng thức:

1

1
2


với a, b  1 .
1  a 1  b 1  ab





 a  b  2 1  ab  2 1  a 1  b 
 a  b  ab  2 ab  a  b  2ab






ab  1



2

a b

 0 ln đúng với a, b  1 .

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: a  b hoặc ab  1 .

Như vậy kết hợp hai bất đẳng thức ta suy ra * đúng và dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: a  b .
Áp dụng * ta có:

Do đó P 

y2
2

y  z 

3x



x y



2





z2
2

z  x 

2
2


x 


1 
y 






1
2



1  z 

y 

 x 2

3  
 y 
2


x 


1 
y 






1
2



1  x 
z 


2
2

x 


1 
y 


2

x 

1  y 



.

.

1

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: z 2  xy .
Đặt t 

2



x
3t 2  2
, vì x  y và x , y  1; 4  nên t  1;2 . Khi đó: P 
.
 
 
2
y

1  t 

Xét hàm f t  

3t 2  2
2

1  t 

, t  1;2 . Ta có f ' t  

6t
3

1  t 

 0 , t  1; 2 .

5
Suy ra f t  đồng biến trên 1;2 nên min f t   f 1  , t  1; 2 .
 
 
1;2
4
 
Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: t  1  x  y .
Suy ra P 
20 | Trang

2

5
. Từ 1 và 2 , suy ra dấu ''  '' xảy ra khi: x  y  z .
4
www.noon.vn


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

Bất đẳng thức – Bài toán Min - Max

5
; khi x  y  z .
4
Nhận xét: Bài tốn thực sự khó khi cho các biến bị chặn và biểu thức P khơng đối xứng. Muốn giải được
bài này bạn đọc phải nắm vững được bất đẳng thức phụ (*). Đây chính là mấu chốt bài tốn.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng

Bài 22. Cho x , y , z là ba số thực dương thỏa mãn x  y  z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P

xyz
x
y


.
x  yz y  zx z  xy

HƯỚNG DẪN GIẢI
xy xz
yz yx
zx zy
.

.

.
.
z
y
x
z
y
x
Do đó với A , B , C là ba góc của tam giác ABC .
yz
A zx
B
xy
C
Ta đặt
 tan2 ;
 tan2 ;
 tan2 .
x
2
y
2

z
2

Ta thấy: 1  x  y  z 

xy
1
1
z
Khi đó P 


yz
zx
xy
1
1
1
x
y
z



1
A
1  tan
2
2

 cos2

Mặt khác, ta lại có cos A  cos B  sinC  sin



tan

1
B
1  tan
2
2



C
2

1  tan2

C
2

A
B 1
1
 cos2  sin C  1  cos A  cos B  sin C  .
2
2

2
2


3



C
C
AB
AB
3 cos
3
 2 cos
cos
 2 sin
2
2
2
2

C
AB
3
 2 cos
 2 cos
2
2


A  B C 
3  4 cos   2 3.
 4 cos
4
6


1
3  4  3 3
Suy ra : P  1  2 3 
.


2 
2 
4
Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi:

A  B  0
A  B  
x  y  2 3  3


6 suy ra 

.


C    


z  7  4 3
2


C 
3
3

x  y  2 3  3

43 3
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng
; khi 
.
z  7  4 3
4

Nhận xét: Từ giả thiết kết hợp với đặc trưng của biểu thức P mà ta hướng đến lượng giác hóa. Việc tìm
GTLN – GTNN của một biểu thức lượng giác các em học sinh đã được học và làm quen ở chương trình
lớp 10.

Bài 23. Cho ba số thực x , y , z thỏa mãn x  1 , y  0 , z  0 .

21 | Trang

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

www.noon.vn

Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

Bất đẳng thức – Bài toán Min - Max

1

P

x 2  y 2  z 2  2x  2



2
x y  1z  1

.

HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt a  x  1 , b  y , c  z . Vì x  1 , y  0 , z  0 nên a  0 , b  0 , c  0 .
1

Khi đó: P 

a 2  b2  c2  1



2

a  1b  1c  1

2

2

2

2

Ta có a  b  c  1 

a  b 
2

2



c  1
2



.

2
2
2
1
1

a  b   c  1   a  b  c  1 .
2 
 4

 a  1  b  1  c  13 a  b  c  3 3
  
 .
a

1
b

1
c

1

    

3
3




Do đó: P 

2
54
.


3
a b c  1
a

b

c

3



1

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: a  b  c  1 .
Đặt t  a  b  c  1 , t  1 . Khi đó: P 

Xét hàm số f t  
Ta có f ' t   

2
t

2

2
54
.


3
t
t  2

2
54
, t  1.

3
t
t  2


162
4

t  2

; f ' t   0  t  4 trên khoảng 1;  .

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy max f t   f 4 

1;

1
.
4

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: t  4  a  b  c  1  4 .
Suy ra P 

2

1
. Từ 1 và 2 , suy ra dấu ''  '' xảy ra khi: a  b  c  1 .
4

1
; khi x  2 , y  z  1 .
4
Nhận xét: Bằng việc đổi từ biến x, y, z qua các biến a, b, c ta thấy vai trò a, b, c đối xứng nên áp dụng các
bất đẳng thức cơ bản được đơn giản hơn.

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng

Bài 24. Cho x , y , z là các số dương thỏa mãn xy  1 và z  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
22 | Trang

www.noon.vn


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

Bất đẳng thức – Bài toán Min - Max

P

x

y
z3  2


.
y  1 x  1 3 xy  1

HƯỚNG DẪN GIẢI
Ta có

1
1
2


x  1 y  1 1  xy

* với x



và y dương, xy  1 .



Thật vậy: *  x  y  2 1  xy  2 1  x 1  y   x  y  xy  2 xy  x  y  2xy




x y


2



xy  1  0 ln đúng với x và y dương, xy  1 .

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x  y hoặc xy  1 .
3

Và z 3  2  z 3  1  1  3 z 3 .1.1  3z  3 suy ra

z3  2
3 xy  1



1
.
xy  1

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: z  1 .
Do đó: P 

x
y
1
1

1
2
y 1
x 1
xy  1
 1
1 
1
 
 x  y  1 

2
 x  1 y  1 xy  1
 2


  1  2.
 2 xy  1 
1  xy  xy  1





1

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x  y và z  1 .
Đặt t  xy , t  1 . Khi đó: P 
Xét hàm số f t  

2 2t  1
t 1



1
2

t 1

2 

2t
1
, t  1.

2
t 1 t 1


t  1 t
2

Ta có f ' t  

2t
1

.
t  1 t2  1

2
2

t  1



2t

t

2

2



1



  0 , t  1 .

2 t  1 t 2  t  1
2

2

2



1

3
Suy ra f t  đồng biến trên 1;  nên f t   f 1  .

2

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: t  1  xy  1  xy  1 .
Suy ra P 

2

3
. Từ 1 và 2 , suy ra dấu ''  '' xảy ra khi: x  y  z  1 .
2

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng

3
; khi x  y  z  1 .
2

Nhận xét: Bất đẳng thức phụ * thường hay được áp dụng trong các bài tốn tìm min, max của biểu
thức chứa 2 biến hoặc 3 biến. Bất đẳng thức * còn có một dạng khác nữa mà bạn đọc nêm chú ý.

Bài 25. Cho các số thực khơng âm x , y , z thỏa mãn xz  yz  1  xy . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
23 | Trang

www.noon.vn


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

Bất đẳng thức – Bài toán Min - Max

2x

P

x2 1



2y
y2  1



z2  1
z2  1

.

HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt a 

1

1
, b  , c z.
y
x

Từ giả thiết, ta có: xz  yz  1  xy 

1
1
1 1
c  c  1  .  ab  bc  ca  1 .
a
b
a b

Do đó 1  a2  a  ba  c ; 1 b2  a  bb  c ; 1  c2  a  cb  c  .
Ta có





a
1a

2



b

1b



2

a

b



a  b a  c  a  b b  c 

1  ab

a  b b  c c  a 

1  ab



1  a 1  b 1  c 
1  a 1  b 
1.1  a.b

1  a 1  b 1  c  1  a 1  b  1  c
2

Khi đó: P 

2

2
1  c2

2

2



c2  1
c2  1

2

2

2

2

2

2

2



Ta có f ' c  

2
1  c2



c2  1
c2  1



2c  1  c 2  2


2

1  c 
2

1  c2

.

.

1

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: a  b .

Xét hàm số f c  

1

, c  0.

c  0
; f ' c   0  
.
c  3

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy max f c   f
0;


 3  23 .

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: c  3 .
Suy ra P 

2

3
. Từ 1 , 2 và giả thiết, suy ra dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi:
2

a  b  2  3; c  3 suy ra x  y  2  3; z  3 .
3

; khi x  y  2  3 , z  3 .
2
Nhận xét: Bài tốn sử dụng rất nhiều kỷ thuật: đổi biến, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, xét hàm
đặc trưng. Việc khó nhất của bài này là đổi biến để biểu thức được đơn giản dễ nhìn hơn.

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng

Bài 26. Cho các số thực dương a , b , c . Tìm GTNN của biểu thức
24 | Trang

www.noon.vn


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

P

Bất đẳng thức – Bài toán Min - Max

1
2a  b  8bc

8



2

2b2  2 a  c   3

.

HƯỚNG DẪN GIẢI
Ta có

8bc  2 2bc  b  2c suy ra

Ta lại có

1
2a  b  8bc



1
2 a  b  c 

.

2

2b 2  2 a  c   a  c   b , suy ra

8
2

2b 2  2 a  c   3
Do đó : P 

1

2 a  b  c 





8
3 a b c

8
.
3 a b c

b  2c
a  c
Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: 
 
.
a  c  b
b  2c



Đặt t  a  b  c , t  0 . Khi đó: P 
Xét hàm số f t  
Ta có f ' t  

1
2t

2

1

1
8
.

2t t  3

1
8

, t  0.
2t 3  t



8
2

t  3



3 t  15t  3
2

2t 2 t  3

.

Thấy rằng f ' t   0 , t  1 và f ' t   0 , t  0;1 .
Suy ra f t  nghịch biến trên khoảng 0;1 và đồng biến trên 1;  .
3
Từ đó suy ra f t   f 1   , t  0 .
2

2

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: t  1  a  b  c  1 .

3
1
1
Suy ra P   . Từ 1 và 2 , dấu ''  '' xảy ra khi: a  c  , b  .
2
4
2

3
1
1
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng  ; khi a  c  , b  .
2
4
2
Nhận xét: Bằng cách vận dụng được bất đẳng thức Cơsi thì ta đưa được biểu thức P về dạng đặt được ẩn
phụ để xét hàm đặc trưng. Cái khó của bài này là chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cơsi để đẳng thức
xảy ra.

Bài 27. Cho x , y , z là các số thực dương thỏa mãn x 2  y 2  z 2  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P

xy
1  z2



yz
1  x2



x 3y 3  y 3z 3
24x 3z 3

.

HƯỚNG DẪN GIẢI
Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có
25 | Trang

www.noon.vn