Công thức lượng giác và phương trình lượng giác đầy đủ nhất ôn thi đại học 2016 ôn thi thpt quốc gia 2016

Tổng hợp công thức lượng giác & phương trình lượng giác cơ bản

GV: Lê Nam

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC TỔNG HỢP & CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
CƠ BẢN
I.

Các công thức biến đổi.

1) Công thức cộng:
cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb
cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb
tan(a - b) =
sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb
tan(a + b) =
sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb

2) Công thức nhân đôi :

 sin2x = 2sinxcosx
 cos2x = cos2x – sin2x
= 2cos2x - 1
= 1 – 2sin2x

 tan2x =
 cot2x =

2tanx
1 − tan 2 x

cot 2 x − 1
2cotx

3) Công thức nhân 3:

3 sin x − 4 sin 3 x

 sin3x =
 cos3x = 4cos3x – 3cosx
 tan3x =

3tanx − tan3 x
1 − 3tan 2 x

4) Công thức hạ bậc:
1 + cos 2 x
cos 2 x =
2




1 − cos2 x
sin 2 x =
2

5) Công thức tích thành tổng.

6) Công thức tổng(hiệu) thành tích:
 x+ y

 x− y
2sin 
÷cos 
÷
 2 
 2 




sinx + siny =

sinx – siny =

 cosxcosy=
1
[ cos( x + y) + cos( x − y)]
2



cosx + cosy =

 sinxcosy=
1
[ Sin( x + y) + Sin ( x − y)]
2

 sinxsiny=
1

− [ cos ( x + y ) − cos ( x − y )]
2



cosx – cosy =



tanx + tany =



tanx – tany =



cotx + coty =



cotx – coty =

 x+ y  x− y
2cos 
÷sin 
÷
 2   2 
 x+ y
 x− y

2 cos 
÷cos 
÷
 2 
 2 
 x+ y  x− y
−2sin 
÷sin 
÷
 2   2 
sin( x + y)
cos xcosy
sin( x − y )
cos xcosy
sin( x + y)
sin xsiny
sin( y − x)
sin xsiny

Biên soạn: Gv Lê Văn Nam – Lớp học BDVH Ngọc Nam tại Thái Nguyên– 0981.929.363Page 1


II.

Giá trị lượng giác của các góc(hay cung) có liên quan đặc biệt.

1) Cung đối nhau:







2) Cung bù nhau:

cos(–x) = cosx
sin(–x) = – sinx
tan(–x) = – tanx
cot(–x) = – cotx

 sin




(π − x) =

 sin

(

 cos
(

 tan
(

 cot

π

− x)
2

π
− x)
2
π
− x)
2

= cosx  cosx = sin (900 – x )
0

= sinx  sinx = cos (90 – x )
0

= cotx  cotx = tan (90 – x )

 cot



π
sin( + x) = cosx
2

 cos
 tan
(

= tanx  tanx = cotx (900 – x )

sinx
π
,(x ≠ + kπ)
cosx
2

cosx
,(x ≠ kπ)
sinx

sin 2 x + cos2 x = 1
π
2
=
1
+
tan
x,(x
≠
+ kπ)
2
cos 2 x
1

sin x

 tan

(

t anx=

2

 cos

(

Công thức lượng giác cơ bản.

1

(π + x) = −
(π + x) = −
(π + x) =
(π + x) =

sinx
cosx

tanx
cotx

5) Cung hơn kém.

III.

c otx=

 sin

sinx
(π − x ) = −
cos
cosx
(π − x) = −
tan
tanx
(π − x) = −
cot
cotx

4) Cung phụ nhau.

π
( − x)
2

3) Cung hơn kém:

= 1 + cot 2 x,(x ≠ kπ)

t anx.cotx=1,(x ≠

kπ
)
2

 cot

π
+ x)
2

π
+ x)
2
π
+ x)
2

=

=

=

 cosx = sin (900 + x )

− sinx

−cotx
−tanx

 - sinx = cos (900 + x )
 - cotx = tan (900 + x )
 - tanx = cotx (900 + x )

sin 3 x + cos3 x = (sinx + cos x)(1 − sinx.cos x)
sin 3 x − cos3 x = (sinx − cos x )(1 + sinx.cos x)
1
sin 4 x + cos 4 x = 1 − sin 2 2 x
2
3
sin 6 x + cos 6 x = 1 − sin 2 2 x
4
1 ± sin 2 x = ( sin x ± cos x )

2

π
π


sin x + cos x = 2 sin  x + ÷ = 2cos  x − ÷
4
4


π
π


sin x − cos x = 2 sin  x − ÷ = − 2cos  x + ÷
4
4



IV.

Kiến thức cơ bản

y = sinx

y = cosx

y = tanx
π
2

y = cotx

Tập xác
định

D=R

D=R

Tập giá
trị
Chu Kỳ
Tính
chẵn lẻ

T = [– 1 ; 1 ]

T = [– 1 ; 1 ]

R

R

T = 2π

T = 2π

T=π

T=π

Lẻ

Chẵn

Lẻ

Lẻ

Đồng biến trên:
 π

π
 − + k2π ; + k2π ÷
2

 2


Đồng biến trên:
( −π + k2π ; k2π )

Đồng biến trên mỗi
khoảng:
 π

π
 − + kπ ; + kπ ÷
2
 2


Nghòch biến trên mỗi
( kπ ; π + kπ )
khoảng:

Sự biến
thiên

Nghòch biến trên:
π

3π
+ k2π ÷
 + k2π ;
2

2


x

D=R\{

Nghòch biến trên:
( k2π ; π + k2π )

−

–π

π
2

x

−

π
2

+ kπ}

D = R \ {kπ}

π
2

+∞

y = sinx

0

y = tanx
–1

Bảng biến thiên
x

–π

y =cosx

–∞
x

π

y = cotx
–1

a

0
+∞

–∞

a

Đồ thị

y = sinx
……………………………………………………………………………….
y = cosx

y = tanx
…………………………………………………………………………………….
y = cotx


V.

Các dạng phương trình lượng giác cơ bản.

1. Phương trìng lượng giác cơ bản:

* sinx=sin

α

* tanx =tan



α

 x = α + k 2π ; k ∈ Z

 x = π − α + k 2π


⇔ x=

* cosx = cos

α



( k ∈ Z)

α

+kπ ;

* cotx =cot

 x = α + k 2π ; k ∈ Z
 x = −α + k 2π


α

⇔ x=

α

( k ∈ Z)

+kπ

.

2. Phương trìng lượng giác cơ bản đặc biệt :

* sinx =0 

x = kπ

⇔x=

* sinx =1

π
+ k 2π
2

⇔x=−

* sinx = -1

π
+ k 2π
2

⇔x=

*cosx =0

*cosx =1

⇔ x = k 2π

*cosx =-1

với k

∈Z

⇔ x = π + k 2π

 x = arcsin a+k 2π
sin x = a ⇔ 
, k∈∈Z¢
x
=
π
−
arc
sin
a
+
k
2
π

k
 x = arc cosa +k 2π
cosx = a ⇔ 

, k ∈ ¢k∈ Z
π
arc sin a +k 2π
 x = -− arc
cosa + k2

π
+ kπ
2

∈¢
Z
tanx = a ⇔ x = arc tana +kπ , k ∈

k

Z
cotx = a ⇔ cotx = cotα ⇔ x = α +kπ , k∈∈¢

π

k

cotx =−1 ⇔x =− +kπ, k ∈¢
4

π

+k π, k ∈¢ ∈ Z
k

π
cotx =1 ⇔x = +kπ, k ∈¢
4

cotx =0

⇔
x =

2


π

+ k π , k ∈¢ ∈ Z
k
4
tanx = 0 ⇔ x = kπ , k ∈k¢∈ Z
tanx = −1 ⇔ x = −

tanx =1 ⇔ x =


π
4

+ kπ , k ∈¢∈ Z
k

k

k

∈Z
∈Z


BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐẶC BIỆT
x

rad -π

-

-

độ -180o

-90o

-60o
-

-

π

-

0

-45o

-30o

0

-

-

0

1

1

0

-

-

-

-1

30o

45o

60o

90o

120o

135o

150o

180o

sin

0

-1

0

cos

-1

0

tan

0

||

-

-1

-

0

1

||

-

-1

-

0

cot

||

0

-

-1

-

||

1

0

-

-1

-

||

Chú ý: Công thức chuyển đổi từ độ sang rađian và ngược lại:
π
( x ) =  .x ÷rad
 180 

;

π =
90
2

0

o

 180 
x(rad ) = 
.x ÷
 π 

o

π = 180

0

;

 Một số phương trình lượng giác thường gặp
1. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
a. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các công
thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản.
b. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có dạng
a.sin2x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0, a.cot2x+b.cotx+c=0) để giải các phương
trình này ta đặt t bằng hàm số LG..(Chú ý điều kiện của t khi đặt t=sinx hoặc t=cosx)

2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:
Dạng: asinx+bcosx=c. Điều kiện để phương trình có nghiệm là

a 2 + b2 ≥ c2

a

Cách giải : Chia hai vế phương trình cho
a

Đặt:

a2 + b2

= cos β ;

cos β sin x + sin β cos x =

b
a 2 + b2

a +b

sin x +

a 2 + b2

, ta được:

b
a 2 + b2

= sin β

. Khi đó phương trình tương đương:

c
2

a 2 + b2

.

sin ( x + β ) =

2

hay

c
a + b2
2

= sin ϕ

3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx:
Dạng: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 (*).

.

cos x =

c
a 2 + b2

x=

Cách giải : + Kiểm tra nghiệm với

π
+ kπ
2

.

+ Giả sử cosx¹0: chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: atan2x+btanx+c=0.

Chú ý:

1
π


= tan 2 x + 1  x ≠ + k π ÷
2
2
cos x



4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx:
Dạng: a(sinx ± cosx)+ bsinxcosx=c.

Cách giải: Đặt t= sinx ± cosx. Điều kiện | t |

≤ 2

.