về định lý điểm bất động trong không gian bannach và phương pháp lặp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH
———————–

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN

VỀ ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG
KHÔNG GIAN BANACH VÀ PHƯƠNG PHÁP
LẶP
Mã số:
Thuộc nhóm ngành: Khoa học tự nhiên

năm 2015


Mục lục
TRANG PHỤ BÌA
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU
KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết về điểm bất động là một trong những lĩnh vực Toán học được nhiều
nhà Toán học quan tâm. Trong lý thuyết này, ngoài các định lí tồn tại điểm bất
động, người ta còn quan tâm đến cấu trúc của tập hợp các điểm bất động, các
phương pháp tìm điểm bất động và các ứng dụng của chúng. Người ta đã thấy sự
ứng dụng đa dạng của lý thuyết điểm bất động cả trong toán học lý thuyết và toán
học ứng dụng, vật lý, tin học và các nghành khoa học khác. Với mục đích tìm hiểu

và áp dụng các định lí điểm bất động trong không gian Banach và phương pháp
lặp để giải một số bài toán về phương trình vi phân, giải tích hàm nên chúng tôi
lựa chọn đề tài này.
2. Lịch sử vấn đề nghiên cứu:
Những định lý điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỷ XX, trong
đó phải nói đến kết quả kinh điển “Nguyên lý ánh xạ co Banach” (1922). Một
trong những hướng nghiên cứu của những nhà Toán học trong lĩnh vực này là xây
dựng các không gian mới, sau đó mở rộng kết quả kinh điển Banach ra cho lớp các
ánh xạ. Lý thuyết này gắn liền với tên tuổi của các nhà toán học lớn như Brouwer,
Banach, Shauder, Kakutani, Tikhonov, Ky Fan, Browder,…
3. Mục tiêu nghiên cứu:
- Trình bày các kiến thức liên quan đến đề tài.
- Trình bày ứng dụng điểm bất động trong không gian Banach và phương pháp
lặp.
- Đưa ra và giải quyết một số bài toán về điểm bất động trong không gian
Banach và phương pháp lặp.
4. Đối tượng, phạm vi, phương pháp nghiên cứu:
- Đối tượng: điểm bất động và phương pháp lặp
- Phạm vi : không gian banach
- Phương pháp nghiên cứu:
+ Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc, phân tích, tổng hợp tài liệu làm rõ nội
dung lý thuyết. Sau đó trình bày lại các tính chất theo một hệ thống có lôgic.
+ Phương pháp tổng kết kinh nghiệm : Tổng kết kinh nghiệm của bản thân, của
các bạn học, anh chị xung quanh để tổng hợp và hệ thống hóa kiến thức, vấn đề
nghiên cứu đầy đủ và khoa học kết hợp đưa ra các ví dụ cụ thể để minh họa chi
tiết.


+ Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Semina, lấy ý kiến của giảng viên hướng
dẫn để hoàn thành về mặt nội dung cũng như hình thức đề tài nghiên cứu

5. Bố cục đề tài
Chương I: Điểm bất động trong không gian Banach
Chương II:
Phương pháp lặp
Chương III.
Hệ phương trình tuyến tính trên IRn

Chương I: Điểm bất động trong không gian Banach
1. Định nghĩa không gian Banach


Không gian Banach được định nghĩa là các không gian vectơ định chuẩn đầy
đủ. Điều này nghĩa là một không gian Banach là một không gian vectơ X trên
trường số thực hay số phức với một chuẩn || || sao cho mọi dãy Cauchy (tương ứng
với metric d ( x, y ) = x − y ) đều hội tụ trong X.
2. Điểm bất động trong không gian Banach
2.1. Định nghĩa
T : M ⊆ X → M trong không gian mêtric (X, d) được gọi là ánh xạ k-co và nếu
với mọi x, y∈ M, cố định k, sao cho 0 < k < 1 thì
• Nếu d ( Tx,Ty ) ≤ kd ( x, y ) đúng với k =l, thì T không giãn.
• Nếu 0 < k < ∞ , T được gọi là liên tục Lipschitz.
• Nếu d ( Tx, Ty ) < d ( x, y ) với mọi x, y∈ M và x ≠ y, T được gọi là co.
Với mọi t hiển nhiên ta có:
k-co → co → không giãn → liên tục Lipschitz
Mỗi không gian Banach ( X ,

)

cũng là không gian mêtric đầy đủ (X, d) với

d ( x, y ) = x − y
Trên không gian Banach, d ( Tx, Ty ) ≤ kd ( x, y ) trở thành Tx − Ty ≤ k x − y
Ánh xạ liên tục T: X → X trên không gian X, nó trở thành:
Tx − Ty ≤ T x − y
Do đó, T là Lipschitz liên tục. Nếu T ≤ 1 , T không giãn, và nếu T < 1 , T là
k-co với k = T .
2.2. Định lý điểm bất động trong không gian Banach
Ta kiểm tra điều kiện phương trình phi tuyến
x = Tx
x∈M
có thể giải quyết bằng phép tính xấp xỉ liên tiếp
xn+1 = Txn , x0 ∈ M n = 0,1,2...
Định lý 1.A (Định lý điểm bất động trong không gian banach (1922)). Giả sử:
(i) Cho T: M ⊆ X → M , nghĩa là, M là ánh xạ vào chính nó bởi T;
(ii) M là tập đóng khác rỗng trong không gian mêtric đầy đủ (X, d)
(iii) T gọi là k co, nghĩa là:
d ( Tx, Ty ) ≤ kd ( x, y )
với mọi x, y∈ M và cho k cố định, 0 ≤ k < 1.
*Thì chúng ta có thể kết luận những kết quả sau đây:


(a) Phương trình x = Tx có chính xác một nghiệm, nghĩa là, T có duy nhất một
điểm bất động trên M.
(b) Dãy (xn) hội tụ đến x là nghiệm của phương trình x = Tx , ∀x0 ∈ M
(c) Với mọi n = 0,1,2,…
Ta ước lượng độ sai tiên nghiệm

d ( xn , x ) ≤ k n ( 1 − k ) d ( x0 , x1 )
−1

Và ước lượng độ sai hữu nghiệm

d ( xn+1 , x ) ≤ k ( 1 − k ) d ( xn , xn +1 )
−1

(d) Với mọi n = 0,1,2,….Ta có
d ( xn+1 , x ) ≤ kd ( xn , x )
2.3. Chứng minh định lý điểm bất động trong không gian Banach
(I). (xn) là dãy Cauchy. Từ đó
d ( xn xn +1 ) = d ( Txn−1 ,Txn )
≤ kd ( xn −1 , xn ) ≤ k 2 d ( xn− 2 , xn−1 ) ≤ ...

... ≤ k n d ( x0 , x1 )

Ta có:
d ( xn , xn + m ) ≤ d ( xn , xn +1 ) + d ( xn +1 , xn + 2 ) + ... + d ( xn + m −1 , xn + m )
≤ ( k n + k n+1 + ... + k n + m−1 ) d ( x0 , x1 )
≤ k n ( 1 − k ) d ( x0 , x1 )
−1

Từ đó X đầy đủ, dãy Cauchy hội tụ, nghĩa là x n → x với n → ∞ . Bất đẳng thức

d ( xn , x ) ≤ k n ( 1 − k ) d ( x0 , x1 ) tương tự với m → ∞
−1

(II). Ước lượng độ sai bất đẳng thức d ( xn+1 , x ) ≤ k ( 1 − k ) d ( xn , xn +1 ) khi cho m →
−1

∞ khi đó
d ( xn+1 , xn+ m+1 ) ≤ d ( xn+1 , xn+ 2 ) + ... + d ( xn+ m , xn+ m+1 )

≤ ( k + k 2 + ... + k m ) d ( xn , xn +1 )
≤ k ( 1 − k ) d ( xn , xn+1 )
−1

(III). x là nghiệm của x = Tx . T liên tục do d ( Tx, Ty ) ≤ kd ( x, y ) .
Từ đó T ( M ) ⊆ M với x0 ∈ M , và xn ∈ M , với mọi n.
Từ đó M đóng với xn → x với n → ∞ , và x ∈ M.
Phương trình xn +1 = Txn , x0 ∈ M n = 0,1,2... trở thành Tx = x khi n → ∞ .


(IV). Phương trình d ( xn+1 , x ) ≤ kd ( xn , x ) :
d ( xn +1 , x ) = d ( Txn ,Tx ) ≤ kd ( xn , x )
(V). Tính duy nhất của nghiệm. Giả sử x = Tx và y = Ty, thì
d ( x, y ) = d ( Tx,Ty ) ≤ kd ( x, y ) với d ( x, y ) = 0 hay x=y
2.4. Ví dụ minh họa
Giả sử X = IR. Xét các ánh xạ sau không có điểm bất động:
x
T : M → M , M = ] 0,1[ , Tx = trên M
(i)
2
π 
(ii) T : M → M , M = R, Tx =  ÷+ x − arctan ( x ) trên M
2
(iii) T : M → N , M = [ 0,1] , N = [ 2,3]
Trong (i) M không đóng. Ánh xạ T không có điểm bất động trong M.
Trong (ii), T là co, nhưng không phải k-co. Vì cho đạo hàm T ' ( x ) = 1 −
ứng dụng định lý trung bình giá trị ta có

Tx − Ty ≤ 1 −

1
x− y ≤ x− y
1+ ξ 2

Trong (iii), M không phải là ánh xạ vào chính nó.

Chương II:
Phương pháp lặp
1. Tốc độ hội tụ và phương pháp Newton’s
- Nếu x∈ ]a,b[ là một nghiệm của phương trình:

1
,
1 + x2


x = F ( x)
- Và giả sử có một dãy lặp đi lặp lại (xn), khi đó:
xn+1 = F ( xn )

Và xn ∈ ]a, b[ với mọi n, xn → x khi n → ∞ .
- Bây giờ giả sử F là khả vi trên [a,b], với:
F '( x) = F ''( x) = ... = F ( m+1) ( x) = 0
- Trong trường hợp này, định lí taylor nói rằng:
m

F ( xn ) − F ( x) = F m (λn ) xn − x / m!, λn ∈ ]a, b[

(1)

- Từ xn+1 = f ( xn ) và x = f ( x) , ta thấy:
xn+1 − xn ≤ sup F m (λ ) xn − x / m!

(2)

a < λ
- Nếu cận trên đúng trong (2) là có giới hạn, ta có được sự hội tụ bậc m, trái
ngược sự hội tụ tuyến tính (m=1)
- Giải thích hình học của phương pháp Newton’s được đưa vào hình trên:
• Về ý nghĩa hình học xn+1 chính là giao điểm của tiếp tuyến đường cong y =
f(x) tại điểm (xn,f(xn)) với trục hoành. Do đó phương pháp này còn được gọi
là phương pháp tiếp tuyến.
• Từ điểm (xn,f(xn)) ta vẽ tiếp tuyến của đồ thị y = f(x). Phương trình đồ thị
này là:
y = f ( xn ) + f'x n )( x − xn )

• Giả sử đường tiếp tuyến này cắt trục hoành tại xn+1 , ta có:
0 = f ( xn ) + f '( xn )( xn+1 − xn )


• Từ đây suy ra:
xn+1 = xn −

f ( xn )
f '( xn )

- Trong hình (a). Để f(x) hội tụ về số không,ta chọn giá trị ban đầu x 0 ,xác
định giá trị hàm tương ứng f(x 0),tiếp theo ta xác định giá trị lặp x1 - là giao
điểm của đường tiếp tuyến tại (x0,f(x0)) và trục hoành. Lặp đi lặp lại quá

trình này ta được phương pháp Newton’n. Đặc trưng của phương pháp
Newton: f(x) hội tụ rất nhanh nếu giá trị ban đầu x 0 nằm trong lân cận của
số không.
- Nhưng ở hình (b) cho ta thấy phương pháp đó là không thay đổi nhưng
không bao giờ hội tụ đến số không, lý do là sự lựa chọn không hợp lý của
giá trị ban đầu.
Nhận xét:
- Vấn đề quan trọng của phương pháp Newton’s là việc viết lại các phương
trình f ( x) = 0 trong dạng tương đương:
x = f ( x) , trong đó F ( x) = x −

f ( x)
f '( x)

- Sau đó phương pháp lặp trở thành xn+1 = xn −

(3)
f ( xn )
f '( xn )

(4)

- Ta có thể thấy f '( xn ) ≠ 0 với mọi n, F '( x) = f ( x). f (x) / ( f '(x)) 2 nếu x là
nghiệm của f ( x) = 0 thì F '( x) = 0 ,Như vậy ta có một phương pháp với m=2
trong (2),ta có hội tụ bậc hai.
a. Ý tưởng
Chọn x0 thuộc khoảng (a;b)
Tiếp tuyến tại A0(x0;f(x0)) cắt trục x tại điểm có hoành độ x1
Tiếp tuyến tại A1(x1;f(x1)) cắt trục x tại điểm có hoành độ x2
Tiếp tuyến tại Ak(xk;f(xk)) cắt trục x tại điểm có hoành độ xk+1

Cứ tiếp tục quá trình trên ta có thể tiến dần đến nghiệm µ của phương
trình.
* Xây dựng công thức lặp:
Phương trình tiếp tuyến tại Ak(xk;f(xk)):
y−f(xk) = f’(xk)(xk+1 – xk)
(5)
Tiếp tuyến cắt trục x tại điểm có tọa độ (xk+1;0)


Do vậy, thay vào phương trình (5) ta có:
0−f(xk) = f’(xk)(xk+1 – xk)
<=>

x

k +1

= xk −

f ( xk)

f '( x k )

b. Mô tả phương pháp
Ta áp dụng phương pháp Newton’s vào phương trình toán tử dưới dạng:
F (x) = 0
(6)
Phương pháp Newton’s hình thành khi ta thay F bằng số hạng tuyến tính
trong chuỗi taylor, sao cho nếu ta bắt đầu với giá trị x n, ta thay thế F (x) = 0
bằng phương trình:

F ( xn ) + F '( xn )( x − xn ) = 0
(7)
Với nghiệm x = xn+1, thì ta được:
xn+1 = xn − F '( xn ) −1 F ( xn )
(8)
Cho F là hàm thực, có thể giải thích hình học: thay thế đường cong phù
hợp với F bằng tiếp xúc qua điểm (xn;F(xn)). Nếu ta viết (8) trong dạng:
F '( xn ) xn+1 = F '(x n ) xn − F ( xn )
Thì xn+1 là xác định bằng phương trình tuyến tính (ví dụ: hệ phương trình
tuyến tính, phương trình vi phân)
Khi F '( xn ) xn+1 = F '(x n ) xn − F ( xn ) là phương trình thực, chia 2 vế cho
F’(xn) ta có:
xn − xn−1
xn+1 = xn −
F ( xn )
(9)
F ( xn ) − F ( xn −1 )
Thay F '( xn ) −1 bằng F '( x0 ) −1 vào (8) ta có:
xn+1 = xn − F '( x0 ) −1 F ( xn ) n = 1,2,3…….. (10)
* Chứng minh (8) theo taylor:
- Cho hàm số f(x) xác định và có đạo hàm đến cấp n+1 tại x 0 và lân cận
của x0. Giả sử h là một giá trị sao cho x0 + h cũng thuộc lân cận này.
- Ta có công thức sau đây được gọi là khai triển taylor bậc n của f(x) tại
0:
h
h2
hn ( n)
h ( n +1) ( n+1)
f ( x0 + h) = f ( x0 ) + f ( x0 ) +
f ''( x0 ) + ... +

f ( x0 ) +
f
(c )
1!
2!
n
(n + 1)!
trong đó, c∈ (x0;x0+h)
- Dựa vào khai triển Taylo, ta sẽ xác định một hàm ϕ ( x) và tìm nghiệm
của F ( xn ) + F '( xn )( x − xn ) = 0 bằng phép lặp:
xn+1 = ϕ ( xn )


- Giả sử x là nghiệm đúng của F ( xn ) + F '( xn )( x − xn ) = 0 , còn xn là
nghiệm xấp xỉ tại bước lặp thứ n. Ta đặt x=x n+Δxn. Theo khai triển Taylo
ta có:
∆ 2 xn
f ( x) = f ( xn + ∆xn ) = f ( xn ) + ∆xn f '( xn ) +
f ''(c )
2!
Nếu Δxn đủ nhỏ thì ta có công thức gần đúng:
f ( xn ) + ∆xn f '( xn ) ≈ f ( x ) = 0
− f ( xn )
∆xn
Từ đây, ∆xn ≈
f '( xn )
f (x n )
Vì ∆xn = x − xn , Do đó x ≈ xn −
f '( xn )
- Và ta suy ra công thức lặp cho phép lặp Newton:

f ( xn )
xn+1 = xn −
f '( xn )
c. Điều kiện hội tụ của phương pháp Newton và đánh giá sai số

Định lí: Điều kiện đủ để phương pháp tiếp tuyến hội tụ:
•
Giả sử những điều kiện sau đây thỏa mãn: f(a)f(b) < 0, tức là giá trị hàm
f(x) trái dấu tại hai đầu đoạn [a,b].Hàm f(x) có đạo hàm bậc nhất và bậc 2
f'(x) và f''(x), với f(x) và f'(x) liên tục trên [a,b], f và f'' không đổi dấu
trong (a,b) (tức là hàm f(x) đơn điệu, lồi hoặc lõm trong đoạn [a,b]).
•
Xấp xỉ đầu x0 được chọn ∈ [a,b], sao cho f(x0) cùng dấu với f''(x), f và f’
không đổi dấu trong (a,b) tức là f(x 0)f''(x) > 0 (hàm lồi thì chọn
phía giá trị hàm âm, hàm lõm thì chọn phía giá trị dương).
•
Khi đó dãy xn được định nghĩa bởi (8) sẽ hội tụ tới α.
 Đánh giá sai số của nghiệm gần đúng:Ngoài công thức đánh giá sai số:

xn − α ≤



f ( xn )
, nếu thêm điều kiện về f''(x) ta có thể đánh giá sai số
m1

của nghiệm gần đúng xn thông qua 2 nghiệm gần đúng liên tiếp xn và
xn-1.
Định lý 2.1:Giả sử f'(x) liên tục và không đổi dấu trên [a,b] và thỏa mãn:

∃m1 , M 2 dương sao cho m1 ≤ |f’(x)| ; f”(x) ≤ M2 với ∀ x∈ [a,b]. khi
đó ta có: xn − α ≤
Chứng minh:

M2
2
xn − xn−1
2m1

(11)


•

Dùng công thức khai triển Taylor cho f(x n) tại xn-1 ta có:
f ( xn ) = f ( xn−1 ) +

xn − xn−1
( x − xn−1 )
f '( xn−1 ) + n
f ''(c ) (12), trong đó, c ∈
1!
2!

(xn-1,xn)
f ( xn )
f '( xn )
• Từ đây, f ( xn−1 ) + (x n − xn−1 ) f '( xn −1 ) = 0
( xn − xn −1 )2
f ''(c)

• Thay vào (12) ta có: f ( xn ) =
2!
2
• Như vậy, x − α ≤ f ( xn ) = ( xn − xn−1 ) f '(c) ≤ M 2 x − x 2
n
n
n −1
m1
2m1
2m1
d. Ví dụ về phương pháp Newton
Ví dụ 1: Tính 2 bằng cách giải phương trình sau:
f ( x) = x 2 − 2 = 0
Giải:
Ta thấy f(1) = -1, f(2) = 2, như vậy điều kiện 1) thỏa mãn.
f '( x) = 2 x > 2 với mọi x ∈ [1,2]
f ''( x) = 2 > 1 với mọi x ∈ [1,2] , vậy điều kiện 2) thỏa mãn
Vì f(2) = 2, nên ta chọn x0 =2, như vậy thì f(2)f’’(x) = 2.2 = 4 >0 và điều kiện 3)
thỏa mãn.
Vậy ta có thể áp dụng phương pháp lặp Newton để tính nghiệm xấp xỉ của
phương trình(*). Ta có bảng sau:
•

Theo (8), xn+1 = xn −

N

x0=2
xn +1 = xn −

0
1
2
3

f ( xn )
f '( xn )

2
1.5
1.417
1.41421

Ta có thể lấy nghiệm xấp xỉ là 1.41421. Ta biết rằng 2 = 1.414213562, như vậy
phương pháp lặp Newton hội tụ rất nhanh.
Ví dụ 2: Giải phương trình: x3 + x − 5 = 0 bằng phương pháp tiếp tuyến
Giải:
- Tách nghiệm:
f ( x) = x 3 + x − 5


f '( x) = 3x 2 + 1
limf(x) = −∞
x→−∞

∀x

lim f ( x) = +∞

x →+∞

Phương trình trên có 1 nghiệm duy nhất:
Vì f(1)f(2) = (-3)5 < 0 nên phương trình có 1 nghiệm duy nhất x ∈ (1, 2)
Chính xác hoá nghiệm:
f ''( x ) = 6 x > 0 ∀x ∈ (1, 2)
f '( x) > 0 ∀x
Thoả mãn điều kiện hội tụ Furiê, áp dụng phương pháp tiếp tuyến
Chọn với x0= 2 ( vì f(2). f’’(2) > 0)
x
f(x)/f’(x)
2
0.385
1.615
0.094
1.521
0.005
1.516
0.000
1.516
Vậy nghiệm là x=1.516
* Phương pháp dây cung
a. ý tưởng:
Giả sử [a,b] là khoảng nghiệm phương trình f(x)=0. Gọi A,B là 2 điểm trên đồ thị
f(x)có hoành độ tương ứng là a,b. phương trình đường thẳng qua 2 điểm A(a,f(a)),
B(b,f(b)) có dạng:
y − f (a)
x−a
=
f (b) − f (a) b − a
y − f (a)

x−a
=
f (b) − f ( a) b − a
Dâycung AB cắttrục x tạiđiểmcótoạđộ ( x1 , 0)
0 − f (a )
x −a
= 1
Do đó:
f (b) − f ( a ) b − a
x1 = a −

(b − a ) f (a )
f (b) − f (a)

Nếu f(a)*f(x 1 ) <0, thay b= x1 ta có khoảng nghiệm mới là (a, x1 )
Nếu f(b)*f(x 1 ) <0, thay a= x1 ta có khoảng nghiệm mới là ( x1 , b)
Tiếp tụ cápdụngphươngphápdâycungvàokhoảngnghiệmmới ta được
giátrị x2 . Lại tiếp tục như thế ta nhận được các giá trị x3 , x4 , … càng tiến


gần với giá trị nghiệm phương trình.
b. Ý nghĩa hình học

Vídụ 9.Giải phương trình x 3 + x − 5 = 0 bằng phương pháp dây cung
Giải:
- Tách nghiệm: Phương trình có 1 nghiệm x∈(1, 2)
- Chính xác hoá nghiệm:
f(1) = -3 < 0, f(2) = 5 > 0
Bảng kết quả
A

B
X
f(x)
1
2
1
-0,447
1,333
1,333
-0,020
1,379
1,379
-0,003
1,385
1,385
-0,000
1,386
1,386
Vậy nghiệm phương trình: x ≈1.386


2. Định lí Picard
Từ phép thử cơ bản của định lí 1.A, ta xét bài toán giá trị khởi đầu:
x , (t ) = f (t , x(t )) , x(t 0 ) = p
(*)
Cho phương trình vi phân trên [ to − c, to + c ] . Về mặt hình học nghĩa là chúng ta
đang tìm kiếm đường cong thỏa mãn phương trình vi phân và đi qua (t o,p) như
trong hình 1.5.

,

Với p=po, ở điểm cuối t = to ± c , x (t ) là đạo hàm một phía.

Ngoài (*) ta xét phương trình tích phân :
t

X (t ) = p + ∫ f (s, x( s )) ds
to

, với mọi t ∈ [ to − c, to + c ]

(**)

Nếu f là liên tục trong lân cận thích hợp của (t o,p) thì (*) và (**) tương đương với
nhau. Bằng phép lấy tích phân biến (**) thành (*) và bằng phép lấy vi phân biến
(*) thành (**).
Định lý 2 .2 : ( Picard(1890), Lindelof(1894)). Cho hai số thực dương to , po và
hình chữ nhật:
Qb = { ( t , x ) ∈ ¡ 2 : t − t0 ≤ a, x − po ≤ b}

Cho hai số cố định: a, b>0, giả sử f : Qb → ¡ liên tục :
Và f (t , x) − f(t, y) ≤ L x − y với mọi ( t , x ) , ( t , y ) ∈ Qb
|f(t,x)| < K, với mọi ( t , x ) ∈ Qb
Trong đó L ≥ 0 và K>0 là không đổi thì :
0
a, Tồn tại duy nhất: Nếu c = min( a, b / K ) và p = p , thì phương trình tích phân
(**) có một nghiệm x(.) trên khoảng [ to − c, to + c ] . Hàm này cũng là nghiệm của
bài toán (*) trên [ to − c, to + c ]


b, Phép xấp xỉ liên tiếp:

t

xn +1 ( t ) = po + ∫ f ( s, xn ( s ) d s ,

xo ( t ) ≡ po , n = 0,1, 2,...

to

Hội tụ đều trên [ to − c, to + c ] đến nghiệm x(.)
C, Phụ thuộc liên tục của nghiệm về giá trị khởi đầu
Cho [ to − c, to + c ] với d cố định,

0
Suy ra phương trình tích phân (**) có duy nhất một nghiệm liên tục trên khoảng

[t

o

− c, to + c ] đối với mỗi p trong lân cận của po.

Ngoài ra, ta có tính chất sau đúng:

Nếu p→po thì xp(t) → xpo(t) đều trên [ to − d , to + d ]
*Chứng minh định lý 2.2:
viết lại phương trình tích phân (**) như phương trình toán tử:
x = Tp x , x ∈ M ⊆ X , X = C [ to − c , t0 + c ]

C [ t0 − c, to + c ] là không gian Banach của hàm thực liên tục trên [ to − c, to + c ] với

chuẩn cực đại:
x = max t∈[ t −c ,t + c] x(t )
o

0

Và M = { x ∈ X : x − po ≤ b} . Khi đó nghiệm sẽ tồn tại trên [ to − c, to + c ] , trong
đó C < min(a,b/K,1/L). Đây là khoảng bé hơn khoảng nói trong định lí. Để có
được cái trên, ta đặt X với chuẩn mới,

.1

như trong biểu thức

x 1 = max t −c ,t +c x(t ) e − L t −t Khi đó:
o

0

o

x e− Lc ≤ x 1 ≤ x ,với mọi x ∈ X là tương đương
Trong đó ( X , . 1 ) và ( X , . ) đều là không gian Banach
Như ở (a). ta định nghĩa Tp toán tử bằng Tpx = y, trong đó
t

y (t ) = p + ∫ f ( s, x( s ))ds ,với mọi t ∈ [ to − c, t0 + c ] x − po ≤ b
to

Và kiểm tra điều kiện của định lí 1.A là thoả mãn.

(I-1) M đóng trong ( X , . 1 ) .từ giả thiết xn ∈ M với mọi n, xn − po ≤ b với mọi
− Lc
n,và giả sử x − xn → 0 khi n → ∞ . Ở x e ≤ x 1 ≤ x ,với mọi x ∈ X ,

x − xn → 0 khi n → ∞ .Do đó x − po ≤ b với mọi x ∈ M


(I-2) Tp ánh xạ từ M vào M. Vì nếu x ∈ M
0

, thì x − po ≤ b

Và do đó x(t) − p o ≤ b với mọi t ∈ [ to − c, to + c ] ,
theo |f(t,x)| < K, với mọi ( t , x ) ∈ Qb
t

Tpo x − po = max t∈[ to −c ,to +c ]

∫ f (s, x(s))ds ≤ cK ≤ b

to

Do đó, Tp x ∈ M .
o

( 1-3 ) Tp là k_co trong M, giả sử x, y ∈ M ,
0

x − po ≤ b , y − po ≤ b thì theo

f (t , x) − f(t, y) ≤ L x − y với mọi ( t , x ) , ( t , y ) ∈ Qb ta có:
Tp x − Tp y 1 = max t∈[ t −c ,t +c]
o

o

o

o

t

≤ max t ∫ e L s −t
to

o

t

∫ f (s, x(s)) − f (s, y(s))ds e

− L t − to

to

− L t −to

ds L x − y 1

≤ k x − y 1 , khi k = 1 − e − Lc < 1
Tích phân được tính riêng cho t ≥ to và t ≤ to .
(I-4) định lí 1.A nêu lên một nghiệm của x = Tp x
o

với x ∈ M .Nghiệm này thỏa

mãn (**) với p = po và cũng thỏa mãn (*)

p1

•

t1
Hình 1.6
( II) Chúng ta chứng minh mỗi nghiệm y( . ) của ( ** ) là liên tục trên
t ∈ [ to − c, to + c ] trùng với x ( . ) trong ( I-4 ). Cách khác, y ( . ) sẽ phải khác với x
( . ) ở một vài điểm (t1 , p1 ) ( hình 1.6 ).Thì lúc đó ta có thể tập hợp bài toán giá trị


khởi đầu, và kết quả trước sẽ chỉ ra tính duy nhất của nghiệm. Do đó, sẽ không
xuất hiện nghiệm nào khác.
Chứng minh ( b ) Từ Hệ quả 1 và Định lý 1.A.
Lưu ý x − xn 1 → ∞ hội tụ đều [ to − c, to + c ]
Chứng minh ( c ). Ta giả sử ρ chạy trong lân cận p o, chúng ta phải quy về hình
chữ nhật trong hình 1.5. Như vậy chúng ta thay thế khoảng trong [ to − c, to + c ]
định nghĩa của X và M bởi [ to − d , t o + d ] và cho b nhỏ lại. Các đối số tương tự như
trong chứng minh của khẳng định ( a ) thì cho thấy: x p = Tp x p
có duy nhất một nghiệm xp với mọi p đủ nhỏ trong lân cận của và x p ( . ) là

nghiệm duy nhất liên tục của ( ** ) trên [ to − d , to + d ]
cho pn → po khi n → ∞ ta có:
Tp x − Tp x 1 = pn − po → o , n → ∞ với mọi x ∈ M
n

o

=> x p − x p
n

o

1

→0 , n →∞.

Hệ quả 1: (ước lượng độ sai)
Cho k = 1 − e− Lc và với mọi n=0,1,2…..ta có :
xn − x 1 ≤ k n (1 − k ) −1 x1 − xo 1
xn+1 − x 1 ≤ k (1 − k ) −1 xn+1 − xn

1

xn+1 − x 1 ≤ k xn − x 1
Và
x 1 = max t −c ,t +c x(t ) e − L t −t
0

o

o

Hệ quả 2: Cho a>0 và L ≥0 cố định
2
Giả sử Q = { (t , x) ∈ R : t − to ≤ a}

Nếu f : Q → R liên tục với
f (t , x) − f (t , y ) ≤ L x − y L, với mọi
thì bài toán đầu (*)có
C [ to − a , t o + a ]
1

(t , x),(t , y ) ∈ Q

một nghiệm, đối với mỗi số thực p, trong lớp

.

Chứng minh Hệ quả 2. Trong hệ quả ( a ), các tập M = X = C [ to − a, to + a ] .
Nghiệm

x ∈ X của phương trình tích phân ( ** ) liên tục có thể phân biệt được

x ∈ C 1 [ to − a , t0 + a ] .


,
2
Ví dụ: Xét phương trình y = − y ,với y (0) = 1 .Ngiệm chính xác của nó là: y =

Vài xấp xỉ đầu tiên trong phép lặp picard là: yo = 1, y1 = 1 − x, y2 = 1 − x + x 2 −

1
x +1

x3
,… Ta
3

thấy các giá trị xk hội tụ nhanh khi x bé, với các giá trị x lớn phép lặp là phân kì.
3. Ứng dụng giải gần đúng phương trình
a. Giới thiệu
Để tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x) = 0 ta tiến hành qua 2 bước:
- Tách nghiệm: xét tính chất nghiệm của phương trình, phương trình có
nghiệm hay không, có bao nhiêu nghiệm, các khoảng chứa nghiệm nếu có.
Đối với bước này, ta có thể dùng phương pháp đồ thị, kết hợp với các định
lý mà toán học hỗ trợ.
- Chính xác hoá nghiệm: thu hẹp dần khoảng chứa nghiệm để hội tụ được
đến giá trị nghiệm gần đúng với độ chính xác cho phép.
b. Tách nghiệm
* Phương pháp đồ thị:
Trường hợp hàm f(x) đơn giản
- Vẽ đồ thị f(x)
- Nghiệm phương trình là hoành độ giao điểm của f(x) với trục x, từ đó suy
ra số nghiệm, khoảng nghiệm.
Trường hợp f(x) phức tạp
- Biến đổi tương đương f(x)=0 <=> g(x) = h(x)
- Vẽ đồ thị của g(x), h(x)
- Hoành độ giao điểm của g(x) và h(x) là nghiệm phương trình, từ đó suy
ra số nghiệm, khoảng nghiệm.

* Định lý 1:
Giả sử f(x) liên tục trên (a,b) và có f(a)*f(b)<0. Khi đó trên (a,b) tồn tại một
số lẻ nghiệm thực x ∈ (a,b) của phương trình f(x)=0. Nghiệm là duy nhất
nếu f’(x) tồn tại và không đổi dấu trên (a,b).
Ví dụ 1. Tách nghiệm cho phương trình: x 3 − x + 5 = 0
Giải: f(x)= x 3 − x + 5 = 0
f '(x) = 3x 2 − 1

f '(x) = 0 ⇔ x = ±1 / 3
Bảng biến thiên:


X
f’(x)
f(x)

−∞
+

- 1/ 3
0
yCĐ<0

1/ 3
0

-

+∞
+

+∞

−∞
CT
Từ bảng biến thiên, phương trình có một nghiệm x<-1/ 3
f(-1)*f(-2)<0, vậy phương trình trên có một nghiệm x∈ (-2,-1)
Ví dụ 2. Tách nghiệm cho phương trình sau: 2 x + x + a = 0
Giải: 2 x + x + a = 0 ⇔ 2 x = − x + 4
Áp dụng phương pháp đồ thị:
y = 2x

4

2

y = −x + 4

1
Từ đồ thị suy ra phương
trình có một nghiệm x∈ (1,2)
* Định lí 2:(sai số)
1

2

4

Giả sử α là nghiệm gần đúng của phương trình f(x)=0, cùng nằm trong khoảng

f ( x)
m
Ví dụ 3: Cho nghiệm gần đúng của phương trình x 4 − x − 1 = 0 là 1.22. Hãy ước
lượng sai số tuyệt đối là bao nhiêu?
Giải: f(x) =f(1.22)=1.224-1.22-1=-0,0047<0
f(1.23)=0.58 >0
Suy ra nghiệm phương trình x ∈ ( 1.22,1.23)
nghiệm [ a, b ] và f’(x) ≥ m ≥ 0 khi a ≤ x ≤ b. khi đó x − a ≤

f '( x) = 4x 3 − 1 ≥ 4 *1.223 − 1 = 6.624 = m∀x ∈ (1.22,1.23)
0,0047
= 0,0008( x − α < 0,008)
6.624
c. Tách nghiệm cho phương trình đại số
n
n −1
Xét phương trình đại số f (x) = a 0 x + a1 x + ... + an−1 x + an = 0 (1)
Theo định lí 2: ∆x =

Định lý 3:
Cho phương trình (1) có m1=max{|ai|} i = 1, n
m2

= max{|ai|}

i = 0, n − 1


Khi đó mọi nghiệm x của phương trình đều thỏa mãn:
an

m
x1 =
≤ x ≤ 1 + 1 = x2
m2 + an
a0
Định lý 4:
Cho phương trình (1) có a0 > 0, am là hệ số âm đầu tiên. Khi đó mọi nghiệm
dương của phương trình đều ≤ N = 1 + m a / a0
với a = max{|ai|}

i = 0, n

sao cho ai<0

Ví dụ 4: cho phương trình: 5x2-8x3+2x2-x+6=0
Tìm cận trên nghiệm dương của phương trình trên
Giải: ta có a2=-8 là hệ số âm đầu tiên, nên m=2
a=max(8,1)=8
8
5
Định lý 5: Cho phương trình (1), xét các đa thức:
ϕ1 ( x) = x n f (1 / x) = a0 + a1 x + ... + an x n

vậy cận trên của nghiệm dương: N = 1 +

ϕ2 (x) = f(− x) = (−1) n ( a0 x n − a1 x −1 + a2 x n−2 − ... + (−1) n an
ϕ3 ( x) = x n f ( −1 / x) = (−1) n ( an x n − an −1 x n −1 + an −2 x n − 2 − ... + ( −1) n a0
Giả sử N0, N1, N2, N3 là cận trên các nghiệm dương của các đa thức f(x),
ϕ1 ( x),ϕ2 ( x),ϕ3 ( x) . Khi đó mọi nghiệm dương của phương trình (1) đều nằm trong
khoảng [-N2,-1/N3]

Ví dụ: xét phương trình
3x 2 + 2x − 5 = 0 → N 0 = 1 + 5 / 3

ϕ1 ( x) = 3 + 2x − 5x 2 → N1 không tồn tại (a0<0)

ϕ 2 ( x) = 3x 2 − 2x − 5 → N 2 = 1 + 5 / 3
ϕ3 (x) = 3 − 2x − 5x 2 → N 3

không tồn tại (a0<0)

Vậy: mọi nghiệm dương x < 1 + 5 / 3
Mọi nghiệm âm x > −(1 + 5 / 3) = −8 / 3
d. Phương pháp lặp
a. ý tưởng
biến đổi tương đương f(x)=0 <=> x=g(x)
chọn giá trị ban đầu x0 thuộc khoảng nghiệm (a,b)


tính x1=g(x0), x2=g(x1),…..,xk=g(xk-1)

xn = η
Như vậy ta nhận được dãy {xn}, nếu dãy này hội tụ thì tồn tại giới hạn lim
n →∞
(là nghiệm phương trình).
b. ý nghĩa hình học

Hoành độ giao điểm của 2 đồ thị y=x và y=g(x) là nghiệm của phương trình
Trường hợp a hội tụ đến nghiệm µ
Trường hợp b: khôngg hội tụ đến nghhiệm µ
Định lí: (điều kiện đủ)

Giả sử g(x) xác định, khả vi trên khoảng nghiệm [a,b] và mọi giá trị g(x) đều thuộc
[a,b]. khi đó nếu ∃ q>0 sao cho |g’(x)| ≤ q<1 ∀ (a,b) thì:
+ Quá trình lặp hội tụ đến nghiệm không phụ thuộc vào x0∈ [a,b]
+ giới hạn lim x n = η là nghiệm du nhất trên (a,b)
n →∞

Ví dụ: tìm nghiệm x3 – x – 1 = 0 bằng phương pháp lặp
Giải:
- Tách nghiệm: phương trình có 1 nghiệm ∈ (1,2)
- Chính xác hóa nghiệm:
x +1
x3 – x – 1 = 0 <=> x = x3 – 1; x = 2 ; x = 3 x + 1

x

chọn g(x)= 3 x + 1
1
1
g’(x)= 3
2 <1 ∀ x∈ (1,2)
3 ( x+1)
=> áp dụng phương pháp lặp(chọn x0=1)
X
g(x)= 3 x + 1
1
1.260


1.260
1.312

1.312
1.322
1.322
1.324
1.324
1.325
1.325
1.325
Nghiệm của phương trình là x ≈ 1.325

Chương III.

Hệ phương trình tuyến tính trên IRn

1. Định lí chính của phương pháp lặp và phương trình toán tử tuyến tính
Hệ phương trình tuyến tính:
N

ξi = ∑ aijξ j + b ,
j =1

i= 1,…,N

Với ξi , aij ∈ ¡ ; i,j = 1,…, N. Có thể viết dạng X = Ax + b bằng cách
n 1/ n
x = ( ξ1 ,..., ξ N ), b = (b1,...,bN) và X = ¡ N . Bán kính phổ r(A) = lim n→∞ ( A )

và r(A) ≤ A lớn nhất trong giá trị tuyệt đối và giá trị riêng của ma trận phức (aij).
Định nghĩa 4.1: Phương trình X = Ax + b có phương pháp lặp ổn định khi và chỉ
khi X = Ax + b có duy nhất một nghiệm x với mỗi b ∈ X và dãy lặp (xn) hội tụ

đến x, ∀ x0∈ X tùy ý.
Trong đó, Rn = log10 ( An

−1/ n

) được gọi là tốc độ trung bình của hội tụ cho n

Rn được gọi là tốc độ tiệm cận của hội tụ. Rn luôn tồn tại, và
lần lặp. R∞ = lim
n →∞
R∞ = log10 r ( A) −1


Ví dụ 1 : Giả sử X = ¡ thì X = Ax + b là phương trình tuyến tính với A,b ∈ ¡
và kết luận sau đây là đúng :
Phương trình X = Ax + b có phương pháp lặp ổn định khi và chỉ khi A <1
Rõ ràng, r(A) = ||A|| = |A|.
Hình 1.7
A <1

A >1

•
•

•

•

x1

x0

o •
x x1

o
x

•

x0

•

•

x0 x1

( b)

( a)

•

•

( c)

x0

o

•

x1

x

( d)

*Chứng minh :
(I).( hình 1.7a) cho |A|<1, X = Ax + b (1) có duy nhất 1 nghiệm x.
Cho phương trình : xn =Axn−1 + b, x0 ∈ X , n = 1,2,... , (2)
Lấy (1) – (2) ta có : x – xn = A(x – xn-1), áp dụng phương pháp lặp ta có :
x – xn = An(x – x0)
như vậy :


|x – xn| = |An| |x – x0| = 10− nR |x – x0|
∞

Do đó xn → x khi n → ∞ .
(II).( hình 1.7b) cho |A| > 1, phương trình X = Ax + b có duy nhất 1 nghiệm
x, nhưng nếu x ≠ x0 thì (xn) là dãy phân kì.
(III). (hình 1.7c) giả sử |A| = 1,cho A = 1 và b ≠ 0, X = Ax + b không có
nghiệm. Dãy xn phân kì lệch. Cho A = 1 và b = 0, với mỗi x ∈ R là nghiệm và xn
→ x khi n → ∞ .
(IV). (hình 1.7d) nếu A = -1 thì X = Ax + b có duy nhất 1 nghiệm x, nhưng
nếu x0 ≠ x thì (xn) phân kì lệch 1 cách dao động.

Định lý 4.1.( Định lí chính cho phương trình tự đồng cấu ánh xạ tuyến tính )
Giả sử rằng A : X → X là ánh xạ tuyến tính liên tục trên không gian Banach
thực
( a ) Tiêu chuẩn : Giả sử ||A|| < 1. Thì X = Ax + b có phương pháp lặp ổn
định. Ngược lại ( I − A )

( I − A)

−1

−1

tồn tại như ánh xạ tuyến tính liên tục trên X và

∞

= ∑ Ak
k =0

Cấp số nhân được tổng quát hoá hay chuỗi Neumann hội tụ trong tiêu chuẩn
toán tử. Nghiệm duy nhất của X = Ax + b là X =

( I − A)

−1

b. với n = 0,1,2…

Ta có :
||x – xn|| ≤ ||A||n ||x1 – x0||/(1 - ||A||)

(tiên nghiệm ước lượng độ sai)
||x – xn+1|| ≤ ||An|| ||xn+1 – xn||/(1 - ||A||) ( hậu nghiệm ước lượng độ sai)
||x – xn+1|| ≤ ||A|| ||x – xn||
( hội tụ tuyến tính )
(b) Tiêu chuẩn bán kính phổ.
Giả sử X là không gian Banach và r(A) là bán kính phổ của A.
Cho r(A)< 1 thì phương trình X = Ax + b có phương pháp lặp ổn định.
Cho r(A)> 1 thì phương trình X = Ax + b không có phương pháp lặp ổn định.
Cho r (A) < 1 và x là nghiệm duy nhất của X = Ax + b, có ước lượng độ sai :
||x- xn|| ≤ ||An|| ||x – x0|| = 10− nR ||x – x0|| n = 1,2,…
n