Slide Động lực học công trình chương 1

CHƯƠNG 1:

MỞ ĐẦU MÔN HỌC

1.1. Khái niệm:
1.1.1 Các loại tải trọng:
a) Tải trọng tĩnh
b) Tải trọng động :
* Tải trọng có vị trí cố định còn trị số thay đổi theo
thời gian P(t)
P0 = m.θ 2.ρ
m
ρ

ϕ =θ t

Py = Posinθ t
Px = Pocosθ t


CHƯƠNG 1:

MỞ ĐẦU MÔN HỌC

* Tải trọng có trị số không thay đổi di động trên công
trình P(z),
* Tải trọng có vị trí thay đổi, trị số thay đổi theo thời
gian P(z,t),
* Tải trọng gió tác dụng lên công trình
* Lực địa chấn xuất hiện khi động đất,
* Tải trọng do va chạm.

CHƯƠNG 1:

MỞ ĐẦU MÔN HỌC

1.1.2. Các dạng dao động
1.1.3. Bậc tự do của hệ đàn hồi:
Số lượng tối thiểu các thông số hình học độc
lập biểu thị chuyển vị của mọi khối lượng trên hệ
gọi là bậc tự do.
Số bậc tự do của hệ phụ thuộc sơ đồ tính được
chọn cho công trình thực tế khi tính hệ dao động
công trình.


CHƯƠNG 1:

MỞ ĐẦU MÔN HỌC

Những điều cần chú ý:

y1(t)

y1(t)

* Giả thiết các thanh của hệ là không trọng lượng,
trên hệ chỉ có đặt những khối lượng tập trung dưới
dạng chất điểm,
M y2(t)

M
* Nếu kể đến biến dạng uốn và biến dạng dọc trục
trong thanh thì vị trí của khối lượng M được xác định
bằng chuyển vị y1(t) và y2(t). Hệ có bậc tự do là 2 (n=2).
* Nếu chỉ kể biến dạng uốn thì chuyển vị của M
được biểu diễn bằng chuyển vị thẳng đứng y1(t). Hệ
có bậc tự do bằng 1.
Lực quán tính tại khối lượng tập trung M:

Z( t ) = − M .y1 ( t )


CHƯƠNG 1:

MỞ ĐẦU MÔN HỌC

 Bậc tự do của hệ được xác định bằng số lượng tối
thiểu các liên kết thanh cần đặt thêm vào để ngăn cản
tất cả các chuyển vị của các khối lượng tập trung trên
hệ.

m1

m2

m3

n=3
n=6

CHƯƠNG 1:
D EI
y1(t)

y

y1 = 1

D
y

A’

B’

y(t)

A

D
y

A M1

MỞ ĐẦU MÔN HỌC
EI = ∞
M2
M3
B EI C

z

y2(t)

B

C

z

B

C

z

f1(z)

A’
A

f2(z)

y2 = 1

y( t ) = y1( t ). f1( z ) + y2 ( t ). f2 ( z )
n=2

CHƯƠNG 1:

MỞ ĐẦU MÔN HỌC

*
Khi nghiên cứu dao động của thanh, nếu xét đến
trọng lượng bản thân của kết cấu, nghĩa là xem hệ có
mang khối lượng phân bố thì hệ có bậc tự do bằng
vô cùng.
Lúc này hàm chuyển vị của thanh là: y = y(z, t)
*
Nếu chia thanh có khối lượng phân bố thành
nhiều đoạn rồi tập trung khối lượng trên từng đoạn
chia vào một điểm nào đó trọng đoạn chia, ta sẽ có
sơ đồ tính toán thay thế. Hệ dao động lúc này xem
như dao động của hệ có số bậc tự do hữu hạn.


CHƯƠNG 1:

MỞ ĐẦU MÔN HỌC

1.1.4. Phương pháp tính:
a) Phương pháp tĩnh:
Xây dựng theo nguyên tắc cân bằng tĩnh học.
Áp dụng nguyên lý D’Alembert.
* Hệ phẳng ta có 3 phương trình cân bằng,
* Hệ không gian ta có 6 phương trình cân bằng.
b) Phương pháp năng lượng:
Xây dựng trên cơ sở nguyên lý bảo toàn năng

lượng: Tổng động năng K của các khối lượng trên
hệ và thế năng U của hệ là một đại lượng không
đổi. Ta có:
K + U = const

δTi + δAi = 0


CHƯƠNG 1:

MỞ ĐẦU MÔN HỌC
P(t)
M
1.2. Dao động hệ một bậc tự do:

z

1.2.1. Phương trình vi phân tổng quát của dao động:
y(t)
Xét một dầm chịu lực như
hình vẽ. =
y
z( t ) M .y( t )

Fc ( t ) = β . y ( t )
y(t) chuyển vị thẳng đứng của khối lượng M và của
dầm theo thời gian t dưới tác dụng của các lực:
* Lực kích thích P(t)
* Lực quán tính z(t)
* Lực cản Fc(t), với β là hệ số cản nhớt (kNs/cm)

M

y

y(t)

P(t)

z

z( t ) = M .y( t )
Fc ( t ) = β . y ( t )

y

y

FPc=( t1) = β . y ( t )

z

P=1

z

δ 11

δ 1P

CHƯƠNG 1:
M

y

y(t)

MỞ ĐẦU MÔN HỌC
P(t)

z

z( t ) = M .y( t )
Fc ( t ) = β . y ( t )

Xem hệ dàn hồi tuyến tính, chuyển vị trong của hệ
rất nhỏ, theo nguyên lý công tác dụng ta có:

y( t ) = δ 1P .P( t ) + δ 11 .[Z( t ) − Fc ( t )]
y( t ) = δ 1P .P( t ) + δ 11 .[− M .y( t ) − β . y ( t )]


CHƯƠNG 1:

MỞ ĐẦU MÔN HỌC

y( t ) = δ 1P .P( t ) + δ 11 .[− M .y( t ) − β . y ( t )]
Chia cả hai vế phương trình trên cho M.δ 11 và:

β
1
2
2α =
; ω =
M
M .δ 11
Ta thu được phương trình vi phân tổng quát:

y( t ) + 2α y ( t ) + ω 2 y( t ) = ω 2δ 1P P( t )


CHƯƠNG 1:

MỞ ĐẦU MÔN HỌC

1.2.2 Dao động tự do không có lực cản:
Dao động tự do của hệ là dao động được sinh ra
bởi một kích động bất kỳ tác động trên hệ rồi bị cắt đi
tức thời.

+ω2
=0

y( t )

y( t )

Nghiệm tổng quát của phương trình là:

* iω t + * − iω t
=
y( t ) C1 e
C2 e

Hay ta viết dưới dạng:

y( t ) = C1 cos ω t + C 2 sinω t


CHƯƠNG 1:

MỞ ĐẦU MÔN HỌC

y( t ) = C1 cos ω t + C 2 sinω t
Dựa vào điều kiện ban đầu:
y(0) = yo : chuyển vị ban đầu của dao động,
y ( 0 ) = v0 : vận tốc ban đầu của dao động,
Phương trình dao động sẽ có dạng:

vo
y( t ) = yo cos ω t + sinω t
ω
Đặt:

yo = asinϕ o và vo/ω = acosϕ o

y( t ) = a sin(ω t + ϕ o )
Dao động tự do của hệ có bậc tự do bằng 1 là dao
động điều hòa.

CHƯƠNG 1:

MỞ ĐẦU MÔN HỌC

y( t ) = a sin(ω t + ϕ o )
a=

yo2

vo 2
+( )
ω

yo ω
ϕ o = arctg (
)
vo

y(t)
yo

a

ωt

ϕo
T = 2 π /ω

T/4 T/4


CHƯƠNG 1:

MỞ ĐẦU MÔN HỌC

y( t ) = a sin(ω t + ϕ o )
2π
G
= 2π Mδ 11 = 2π
δ 11 = 2π
T=
ω
g
Tần số dao động: f = 1/T = ω / 2π ,
Tần số kỹ thuật: n = 60. f = 60

1/s

1 30
=
T π

g
, 1 / phút
yt

Tần số vòng hay tần số dao động riêng:

ω=

1
g
=
=
Mδ 11
Gδ 11

yt
, s
g

g
' 1/ s
yt


Ví dụ 1: Xác định tần số dao động riêng. Chu kỳ dao
động, tần số kỹ thuật của dầm đơn giản không trọng
lượng, có nhịp l, mang khối lượng tập trung M = G/g
đặt cách gối tựa trái một đoạn l / 4. Cho biết G = 30 kN,
l = 6 m.
EI = 2,1.104.8950 kNcm2
M
z
* Xác định chuyển
3l / 4
l/4
vị yt, biểu đồ mô

y
men uốn do lực G
3Gl / 16
G
z
và biểu đồ mômen
uốn ở trạng thái
MG
khả dĩ tương ứng
y
Pk = 1
với chuyển vị cần
3l / 16
z
tìm.
Mk

y


yt = ( M G )( M k ) =

1  1 3Gl l 2 3l 1 3Gl 3l 2 3l 
 .
. . . + .
. . . =
EI  2 16 4 3 16 2 16 4 3 16 

3Gl 3
3 × 30 × 600 3

=
=
= 0 ,404 cm
256.EI 256 × 2 ,1× 10 4 × 8950
z

M

ω=

g
981
=
= 49 ,277 1 / s
yt
0 ,404

2π 2 × 3,14
=
= 0 ,1275 s
T=
ω
49 ,277
60
60
=
=
= 470,6 1 / phút
n
T 0 ,1275

3l / 4

l/4

y

3Gl / 16

G

z

MG

y

Pk = 1

3l / 16
Mk

y

z


Ví dụ 2: Tìm tần số dao động riêng thẳng đứng của
móng truyền áp lực trên đất. Cho hợp lực Q = 2000 kN.
Diện tích đế móng F = 10 m2, hệ số nền đàn hồi của đất k

= 2,5 daN/cm3.
Q
Áp lực tác dụng lên nền:
Q 2000
=
= 200 kN / m2
F
10

yt

q=

Chuyển vị của móng truyền:

yt =

q
2
=
= 0 ,8 cm
k 2 ,5

Tần số dao động riêng:

ω=

g
=
yt

981
= 35 1 / s
0 ,8


CHƯƠNG 1:

MỞ ĐẦU MÔN HỌC

1.2.3. Dao động cưỡng bức không lực cản
1.2.3.1. Phương trình dao động:
Phương trình vi phân dao động cưỡng bức:
y( t ) + 2α y ( t ) + ω 2 y( t ) = ω 2δ 1P P( t )
Hệ dao động không cản và chịu lực kích thích tuần
hoàn P(t) = P sinθ t:

y( t ) + ω 2 y( t ) = ω 2δ 1P P sinθ t
Nghiệm của phương trình: y( t ) = yo( t ) + y r ( t )
δ 1P
θt
y( t ) = Acos ω t + B sinω t +
P
sin
θ2
1− ( 2 )
ω


CHƯƠNG 1:

MỞ ĐẦU MÔN HỌC

Dựa vào điều kiện ban đầu khi

t = 0 : y( 0 ) = y o ;

y ( 0 ) = vo

Phương trình dao động có dạng:
y( t ) = yo cosω t +
Nhận xét:

δ 1P .P θ
δ 1P .P
vo
ω
−
ω
+
sin t
sin t
sinθ t
2
2
ω
θ  ω
θ 
1−  
1−  

ω 
ω 

* Ba số hạng đầu biểu thị cho dao động tự do với tần
số dao động riêng ω , số hạng cuối biểu thị dao động
của cơ hệ với tần số của lực kích thích nên gọi là dao
động thuần cưỡng bức.


CHƯƠNG 1:

MỞ ĐẦU MÔN HỌC

δ 1P .P θ
δ 1P .P
vo
y( t ) = yo cosω t + sinω t −
sinω t +
sinθ t
2
2
ω
θ  ω
θ 
1−  
1−  
ω 
ω 
* Nếu tại thời điểm t = 0, yo = 0, vo = 0 thì:

δ 1P .P

θ
y( t ) =
(sinθ t − sinω t )
2
ω
θ 
1−  
ω 

Đặt δ 1P .P = y*t là chuyển vị tại điểm đặt khối lượng M
do biên độ P của lực kích thích gây ra:

θ
y( t ) =
(sinθ t − sinω t )
2
ω
θ 
1−  
ω 
y*t


CHƯƠNG 1:

MỞ ĐẦU MÔN HỌC

θ

θ
−
ω
y( t ) =
(sin
t
sin
t)
2
ω
θ 
1−  
ω 
y*t

*
Trong thực tế, mặc dầu lực cản rất bé nhưng chỉ
sau một khoảng thời gian dao động tự do trong hệ
sẽ tắt dần. Hệ chuyển sang dao động thuần cưỡng
bức với chu kỳ và tần số của lực kích thích, phương
trình dao động có dạng:

y( t ) =

*
yt
2
θ
 
1−  

ω 

sin θ t


CHƯƠNG 1:

MỞ ĐẦU MÔN HỌC

1.2.3.2. Hệ số động:
Tỷ số giữa chuyển vị động y(t) và chuyển vị tĩnh y*t
được gọi là hệ số động (Kđ):

y( t )
=
=
Kđ
y*t

θ
θ
−
ω
(sin
t
sin
t)
2
ω
θ 

1−  
ω 
1

Khi tần số của lực kích thích trùng với tần số dao
động riêng thì:

lim K đ =

θ →ω

1
1
1
θ
−
ω
=
ω
− ω t cosω t )
(
t
cos
t
sin
t
)
(sin
t
ω

− 2θ / ω 2
2


lim K đ =

θ →ω

1
1
1
θ
−
ω
=
( t cos t
sin t )
(sinω t − ω t cosω t )
2
ω
− 2θ / ω
2

Hệ số động thay đổi
tuyến tính và tăng lên 10
vô hạn theo thời gian,
do vậy biên độ dao
5
động tăng lên vô
cùng: Hiện tượng

0
cộng hưởng
5
Biên độ dao động
tăng lên không tức 10
thời mà có khoảng thời
gian xác định

K đCH

3,5π
2,5π
1,5
π
1

2

t ωt
=
T 2π

3
4

π
2
π

3π