Xác định khuynh của quá trình bằng xấp xỉ wavelet

✶

▼Ö❈ ▲Ö❈
▼ö❝ ❧ö❝
▲í✐ ♥â✐ ✤➛✉
✶ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì sð
✶✳✶✳
✶✳✷✳
✶✳✸✳
✶✳✹✳
✶✳✺✳

✣↕✐ ❧÷ñ♥❣ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥✱ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ♣❤è✐ ✳ ✳ ✳
❑➻ ✈å♥❣ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ s❛✐ ❝õ❛ ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥
❈❤✉é✐ t❤í✐ ❣✐❛♥ ✈➔ q✉→ tr➻♥❤ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ✳
▼æ ❤➻♥❤ ❆❘■▼❆ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❇➔✐ t♦→♥ ①➜♣ ①➾ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ ✳ ✳

✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳

✳

✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳

✳

✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳

✶
✷
✺

✺
✻
✽

✾
✶✶

✷ ❳→❝ ✤à♥❤ ❦❤✉②♥❤ ❝õ❛ q✉→ tr➻♥❤ ❜➡♥❣ ①➜♣ ①➾ ✇❛✈❡❧❡t

✶✹

❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✷✾

✷✳✶✳ ❈→❝ ❝ì sð ✇❛✈❡❧❡t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹
✷✳✷✳ ❈→❝ ❞↕♥❣ ÷î❝ ❧÷ñ♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻
✷✳✸✳ ❚✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ✤➸ ❧♦↕✐ ❜ä ✭t→❝❤✮ ❦❤✉②♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹


✷

▲❮■ ◆➶■ ✣❺❯
❙ü ♣❤→t tr✐➸♥ ❝õ❛ ❝æ♥❣ ♥❣❤➺ t❤æ♥❣ t✐♥ ✈➔ ✈✐➺❝ ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝æ♥❣ ♥❣❤➺ t❤æ♥❣
t✐♥ ✈➔♦ ♥❤✐➲✉ ❧➽♥❤ ✈ü❝ ❝õ❛ ✤í✐ sè♥❣ ❦✐♥❤ t➳ ①➣ ❤ë✐✱ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❦➽ t❤✉➟t tr♦♥❣
♥❤✐➲✉ ♥➠♠ q✉❛ ✤➣ ❦➨♦ t❤❡♦ sü ♣❤→t tr✐➸♥ ❝õ❛ ❦❤♦❛ ❤å❝ t❤è♥❣ ❦➯✳ ◗✉❛ ♥❤✐➲✉
♥➠♠✱ ❧÷ñ♥❣ ❞ú ❧✐➺✉ ✤➣ ✤÷ñ❝ ❝→❝ ❝ì q✉❛♥ t❤✉ t❤➟♣ ✈➔ ❧÷✉ trú ♥❣➔② ❝➔♥❣
♥❤✐➲✉✳ ❈→❝ q✉❛♥ s→t tr♦♥❣ t❤ü❝ t➳ t❤÷í♥❣ ✤÷ñ❝ t❤✉ t❤➟♣ ❞÷î✐ ❞↕♥❣ ❝❤✉é✐
sè ❧✐➺✉✱ tø ♥❤ú♥❣ ❝❤✉é✐ sè ❧✐➺✉ ♥➔② ♥❣÷í✐ t❛ ❝â t❤➸ rót r❛ ✤÷ñ❝ ♥❤ú♥❣ q✉②
❧✉➟t ❝õ❛ ♠ët q✉→ tr➻♥❤ ✤÷ñ❝ ♠æ t↔ t❤æ♥❣ q✉❛ ❝❤✉é✐ sè ❧✐➺✉ ♥❤÷♥❣ ù♥❣ ❞ö♥❣
q✉❛♥ trå♥❣ ♥❤➜t ❧➔ ❞ü ❜→♦ ❦❤↔ ♥➠♥❣ ①↔② r❛ ❦❤✐ ❝❤♦ ♠ët ❝❤✉é✐ ❞ú ❧✐➺✉✳
❚ø ♥❤ú♥❣ ♥➠♠ ✶✾✼✵ ♥❣÷í✐ t❛ ✤➣ ✤÷❛ r❛ ❝→❝ ♠æ ❤➻♥❤ ❝❤✉é✐ t❤í✐ ❣✐❛♥ ♥❤÷
♠æ ❤➻♥❤ tü ❤ç✐ q✉② ❆❘✱ ♠æ ❤➻♥❤ ❚ü ❤ç✐ q✉② t➼❝❤ ❤ñ♣ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ tr÷ñt
❆❘■▼❆✭❆✉t♦❘❡❣r❡ss✐✈❡ ■♥t❡❣r❛t❡ ▼♦✈✐♥❣ ❆✈❡r❛❣❡✮✳ ❈→❝ ♠æ ❤➻♥❤ ♥➔② ❧➔

♠ët ❝æ♥❣ ❝ö ❦❤→ ♠↕♥❤ ✤÷ñ❝ ù♥❣ ❞ö♥❣ rë♥❣ r➣✐ tr♦♥❣ ❦✐♥❤ t➳✱ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❦➽
t❤✉➟t ✤➸ ❞ü ❜→♦ ❝→❝ q✉→ tr➻♥❤ ✈➔ ✤➣ t❤✉ ✤÷ñ❝ ♥❤✐➲✉ ❦➳t q✉↔ ❝â ➼❝❤✳ ▼æ
❤➻♥❤ ♥➔② ❝❤➾ t❤➼❝❤ ù♥❣ ❝❤♦ ❤➛✉ ❤➳t ❝→❝ ❝❤✉é✐ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❞ø♥❣ ✈➔ t✉②➳♥ t➼♥❤✱
♥❣❤➽❛ ❧➔ q✉→ tr➻♥❤ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ♣❤↔✐ ❝â ❦➻ ✈å♥❣ ❦❤æ♥❣✳
❚✉② ♥❤✐➯♥✱ tr♦♥❣ t❤ü❝ t➳ ♠ët q✉❛♥ s→t ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ t❤÷í♥❣ ❜❛♦ ❣ç♠ ❤❛✐
t❤➔♥❤ ♣❤➛♥✿ ♠ët ❧➔ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ✈➔ ♠ët ❧➔ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ t➜t
✤à♥❤✭❝á♥ ❣å✐ ❧➔ ❦❤✉②♥❤✮✳
❉♦ ✤â✱ ♠✉è♥ ❧ü❛ ❝❤å♥ ✤÷ñ❝ ♠æ ❤➻♥❤ ❞ü ❜→♦ t❤➼❝❤ ❤ñ♣ ❝❤♦ ♠ët ❝❤✉é✐
❞ú ❧✐➺✉ q✉❛♥ s→t ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ♣❤↔✐ ❞ò♥❣ ♠ët sè ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✤➸ t→❝❤ ❜✐➺t
t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ❦❤✉②♥❤✳ ❈❤÷❛ ❝â ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♥➔♦ ✤÷ñ❝ ❝æ♥❣ ♥❤➟♥ ❝❤➼♥❤ ①→❝
❝❤♦ ❦❤✉②♥❤ ♥❤÷♥❣ ♥â ✤÷ñ❝ ♥â✐ ✤➳♥ ♥❤÷ ❧➔ ♠ët ❤➔♠ trì♥ t➜t ✤à♥❤ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥




sỹ ở t ờ ởt õ tố tr ộ
tớ õ ữ tr t tr sỹ õ
t ừ q rt tợ ữợ ữủ ởt
t tờ qt tr
õ ự t t õ tr t
ữỡ t ữ ởt ổ ử t ộ tớ
tọ r õ q ố ợ t
r ỡ s ồ t t ú tổ ự t
ừ q tr t
ỗ ữỡ
ữỡ tự
r ữỡ ú tổ tr ởt số ỡ q
ở ừ ữỡ s ử t ú tổ tr ởt
số ỡ ừ ỵ tt st ữ ữủ
ố q tr ỗ tớ õ ỳ tự ỡ s

ự ú tổ tr ổ t
ữỡ tố t

ữỡ ừ q tr t

ở ừ ỗ tt t ú tổ
t ỡ s t s ữủ sỷ ử tr
t ú tổ t tự ữợ ữủ t số ừ ổ
q ờ t t t ừ ữợ ữủ
õ tr t ú tổ tr t ọ t
ữủ tỹ t t trữớ ồ ữợ
sỹ ữợ t t t sự ừ t
r ỏ ữủ tọ ỏ t ỡ s s t




t sỹ ữợ t t ở t t ủ
t tr sốt q tr ồ t ự
t ụ t ỡ t ổ
tr tờ st ố ự ử t ổ tr ở
ỗ ỏ s ồtrữớ ồ
ỗ tớ tổ õ ớ ỡ tợ ở
õ ỵ t tỹ
ũ õ ố s ổ tr ọ ỳ t
sõt rt ữủ ỳ ớ ỳ ỵ õ õ
ừ t ổ ồ ữủ t ỡ
t ỡ
t

✺

❈❍×❒◆● ✶

❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❒ ❙Ð

✶✳✶ ✣↕✐ ❧÷ñ♥❣ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥✱ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ♣❤è✐
✶✳✶✳✶✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ●✐↔ sû Ω ❧➔ ♠ët t➟♣ tò② þ ❦❤→❝ ré♥❣ ✈➔ P(Ω) ❧➔ ❤å

t➜t ❝↔ ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ Ω✳ ▲î♣ F ⊂ P(Ω) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ σ✲✤↕✐ sè ♥➳✉ t❤ä❛
♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉✿
✭✐✮✳ Ω ∈ F ✱
✭✐✐✮✳ A ∈ F ⇒ Ω\A = Ac ∈ F ✱ ∞
✭✐✐✐✮✳ An ∈ F(∀n = 1, 2, ...) ⇒ An ∈ F ✳
n=1
❈➦♣ (Ω, F) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤♦✳
✶✳✶✳✷✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ⑩♥❤ ①↕ P : F → R ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤ë ✤♦ ①→❝ s✉➜t tr➯♥
F ♥➳✉ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ ✤➙② t❤ã❛ ♠➣♥
✭✐✮✳ P (A) ≥ 0 ✈î✐ ∀A ∈ F
✭✐✐✮✳ P (Ω) = 1
✭✐✐✐✮✳ ◆➳✉ An ∈ F ✭♥ ❂ ✶✱ ✷✱✳✳✳✮✱ Ai ∩ Aj ❂ AiAj ❂ ∅ (i = j) t❤➻
∞

P(
n=1

∞

An ) =

P (An ).
n=1

❇ë ❜❛ (Ω, F, P ) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ①→❝ s✉➜t✳
✶✳✶✳✸✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ●✐↔ sû (Ω, F, P ) ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ①→❝ s✉➜t✳ G ❧➔ σ✲✤↕✐
sè ❝♦♥ ❝õ❛ σ✲✤↕✐ sè F ✱ B ❧➔ σ✲✤↕✐ sè ❇♦r❡❧ tr➯♥ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ t❤ü❝ R✳ ❑❤✐




õ X : R ữủ ồ G ữủ ợ ồ
B B(R) t
X 1 (B) G.

ỏ ữủ ồ ữủ
sỷ (, F, P ) ổ st X : R
õ số FX (x) = P (X < x) = P ( : X() < x)
ữủ ồ ố ừ

ồ ữỡ s ừ
ồ tr tr ừ
số EX ữủ

EX =

Xdp.

t t ừ ồ
X 0 t EX 0
X = C t EX = C ợ C số
tỗ t EX t ợ ồ số t õ E(X) = EX
tỗt EX EY t E(X Y ) = EX EY
rớ r P (X = xk ) = pk ,
k x k pk ,

EX = +
xp(x)dx, tử õ t ở p(x).
ỵ P sỹ ở tử ỡ Xn X tữỡ ự

Xn X tỗ t EXn < tữỡ ự EXn+ < t EXn EX
tữỡ ự EXn EX

ờ t Xn Y, n 1 EY > t
ElimXn limEXn ,


✼

◆➳✉ Xn ≤ Y, ∀n ≥ 1 ✈➔ EY < ∞ t❤➻

ElimXn ≥ limEXn ,
◆➳✉ |Xn | ≤ Y, ∀n ≥ 1 ✈➔ EY < ∞ t❤➻

ElimXn ≤ limEXn ≤ limEXn ≤ ElimXn .

✽✳ ✭✣à♥❤ ❧þ ▲❡s❜❡s❣✉❡ ✈➲ sü ❤ë✐ tö ❜à ❝❤➦♥✮ ◆➳✉ |Xn| ≤ Y, ∀n ≥ 1✱ EY <

∞ ✈➔ Xn → X t❤➻ X ❦❤↔ t➼❝❤✱ E|Xn − X| → 0 ✈➔ EXn → EX, n → ∞.

✾✳ ◆➳✉ ϕ ❧➔ ❤➔♠ ❧ç✐✱ X ✈➔ ϕ(X) ❦❤↔ t➼❝❤ t❤➻
E(ϕ(X)) ≥ ϕ(EX).

✶✵✳ ◆➳✉ X ✈➔ Y ✤ë❝ ❧➟♣ t❤➻ E(XY ) = EX.EY ✳
✶✳✷✳✷✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ P❤÷ì♥❣ s❛✐ ❝õ❛ ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ X ✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ DX

✭❤❛② ✈❛r❳ ✮ ❧➔ ♠ët sè ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐

DX = E(X − EX)2 .

❑❤✐ ✤â
DX =




k (xk



+∞
−∞ (x

− EX)2 pk ,

♥➳✉ ❳ rí✐ r↕❝ ✈➔

− EX)2 p(x)dx,

♥➳✉ ❳ ❧✐➯♥ tö❝✱ ❝â ❤➔♠ ♠➟t ✤ë

P (X = xk ) = pk ,
p(x).

❈→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ s❛✐✿
✶✳ DX ≥ 0, DX = 0 ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ X = C ❧➔ ❤➡♥❣ sè✳
✷✳ ❱î✐ ♠å✐ ❤➡♥❣ sè λ t❤➻ D(λX) = λ2DX ✳
✸✳ DX = EX 2 − (EX)2✳
✹✳ ◆➳✉ X, Y ✤ë❝ ❧➟♣ t❤➻ D(X ± Y ) = DX + DY ✳
✺✳ ❱î✐ ♠å✐ ❤➡♥❣ sè λ✱ t❛ ❝â E(X − λ)2 ≥ E(X − EX)2✳ ❉➜✉ ❜➡♥❣ ①↔②
r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ EX = λ✳


✽

✶✳✸ ❈❤✉é✐ t❤í✐ ❣✐❛♥ ✈➔ q✉→ tr➻♥❤ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥
✶✳✸✳✶✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ❈❤✉é✐ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❧➔ ♠ët ❝❤✉é✐ ❝→❝ ❣✐→ trà ❝õ❛ ♠ët

✤↕✐ ❧÷ñ♥❣ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ♥➔♦ ✤â ✤÷ñ❝ s➢♣ ①➳♣ t❤❡♦ t❤ù tü t❤í✐ ❣✐❛♥✳
◆➳✉ t➟♣ ❝→❝ ❝❤➾ sè t❤í✐ ❣✐❛♥ ❧➔ T = [a, b] ⊆ R t❛ ❝â ❝❤✉é✐ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❧✐➯♥
tö❝✳
◆➳✉ t➟♣ ❝→❝ ❝❤➾ sè t❤í✐ ❣✐❛♥ ❧➔ T ⊆ Z t❛ ❝â ❝❤✉é✐ t❤í✐ ❣✐❛♥ rí✐ r↕❝✳
✶✳✸✳✷✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ◗✉→ tr➻♥❤ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ X(t) ❧➔ ♠ët ❧î♣ ❝→❝ ✤↕✐ ❧÷ñ♥❣
♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ♣❤ö t❤✉ë❝ t❤❛♠ sè t ∈ T ✭T ⊆ R✱ ✤÷ñ❝ ❣✐↔✐ t❤➼❝❤ ♥❤÷ t❤í✐ ❣✐❛♥✮✳
❈â t❤➸ ①❡♠ ❝❤✉é✐ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❧➔ ❝→❝ ✤✐➸♠ tr♦♥❣ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈æ ❤↕♥
❝❤✐➲✉ ❝→❝ ✤↕✐ ❧÷ñ♥❣ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥✱ tr➯♥ ✤â ✤➣ ①→❝ ✤à♥❤ ✤ë ✤♦ ①→❝ s✉➜t✳ ❱➻ ✈➟②
❝â t❤➸ ✤÷❛ r❛ ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❝õ❛ q✉→ tr➻♥❤ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ✈➔♦ ❝❤✉é✐ t❤í✐ ❣✐❛♥
♠ët ❝→❝❤ ❝ö t❤➸ ❤ì♥ ♥❤÷ s❛✉✿

●✐↔ sû✱ T = {x ∈ Z : x ∈ [a, b] ⊆ R, −∞ ≤ a < b ≤ +∞}✱ {Xt , t ∈ T }
❧➔ ♠ët ❧î♣ ❝→❝ ✤↕✐ ❧÷ñ♥❣ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ✤÷ñ❝ s➢♣ ①➳♣ t❤❡♦ t❤ù tü tr➯♥ ❚✳ ❈❤✉é✐
t❤í✐ ❣✐❛♥ ❧➔ ♠ët ❞➣② {xt /t ∈ T } ✭❤ú✉ ❤↕♥ ❤♦➦❝ ✈æ ❤↕♥✮ ❝→❝ ❣✐→ trà ❝õ❛ ❞➣②

{Xt }✳

◆❤÷ ✈➟②✱ ❝❤✉é✐ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❧➔ ♠ët ❞➣② rí✐ r↕❝ ❝→❝ t❤➸ ❤✐➺♥ ❝õ❛ ♠ët q✉→
tr➻♥❤✱ ✤÷ñ❝ ❝❤➾ sè ❤â❛ ❜ð✐ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❧✐➯♥ t✐➳♣ tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ❦❤♦↔♥❣ t❤í✐
❣✐❛♥ ❝→❝❤ ✤➲✉ ♥❤❛✉✳
◆➳✉ t➟♣ ❤ñ♣ ❝→❝ t❤í✐ ✤✐➸♠ q✉❛♥ s→t ❧➔ t0, t0 + h, ..., t0 + N h t❤➻ ❝❤✉é✐ t❤í✐
❣✐❛♥ ✤÷ñ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ x0, x1, x2, ..., xN ✈➔ N + 1 ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤ë ❞➔✐ ❝õ❛ ❝❤✉é✐✳
◆➳✉ T = Z t❤➻ ❝❤✉é✐ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❧➔ ❞➣② ✈æ ❤↕♥ ✈➲ ❝↔ ❤❛✐ ♣❤➼❛
...., x−2 , x−1 , x0 , x1 , x2 , ....

◆➳✉ T = N t❤➻ ❝❤✉é✐ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❝❤➼♥❤ ❧➔ ❞➣② x0, x1, x2, ....
❱➻ ✤↕✐ ❧÷ñ♥❣ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤♦ ✤÷ñ❝ tø ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ①→❝ s✉➜t
(Ω, F, P ) ✈➔♦ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤ë ✤♦ (R, B) ♥➯♥ q✉→ tr➻♥❤ {Xt } ❧➔ ❤➔♠ ❝õ❛ ❝➦♣
(t, ω) ✤♦ ✤÷ñ❝ t❤❡♦ ω ✈î✐ ♠é✐ t ∈ T ✳




tr X(t) t R ữủ ồ ứ t

ợ ồ h R t1 < t2 < ... < tn t ố st ỗ
tớ ừ {X(t1 + h), X(t2 + h), ..., X(tn + h)} {X(t1), X(t2), ..., X(tn)}
ữ ố ỳ ừ X(t) ổ t ờ
t t X(t) ởt q h t

ổ

ổ ổ t ồ ũ ỹ q tr
t tt ừ tứ trss trt r ộ
ử tứ ổ t ừ ổ t ồ
P tỹ ỗ q trss
P ủ t trt
P tr ở r
ổ tữớ ữủ t ữợ ồ p, d, q tr õ
p ổ t d ổ t ủ t q ổ t t q ừ
s t ổ õ p, q, d õ t
tự tr ỳ trữớ ủ ử t ũ ởt
tr ừ ổ
P ừ ổ ổ t t ộ tr q st
ởt ừ p tr trữợ õ ị tữ ừ ổ ỗ
q tr số q ự ỳ trữợ
Y (t) = a0 + a1 Y (t 1) + a2 Y (t 2) + ... + ap Y (t p) + et

r õ
Y (t) tr q st t tớ t
Y (t 1), Y (t 2), ..., Y (t p) tr q st t tớ
t 1, t 2, ..., t p.

et s số õ t ởt tr tr ộ ỗ tr
a0, a1, a2, ...ap số


✶✵

❱➼ ❞ö✿ ◆➳✉ p = 1 t❤➻ ♠é✐ q✉❛♥ s→t ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ❝õ❛ ♠ët q✉❛♥ s→t tr÷î❝
✤â✱ ❦❤✐ ✤â

❆❘✭✶✮ : Y (t) = a0 + a1Y (t − 1) + et.

■✭❞✮✿ P❤➛♥ ♥➔② ❝õ❛ ♠æ ❤➻♥❤ ①→❝ ✤à♥❤ r➡♥❣ ❤♦➦❝ ❧➔ ❝→❝ ❣✐→ trà q✉❛♥ s→t

✤÷ñ❝ ♠æ ❤➻♥❤ ❤â❛ trü❝ t✐➳♣ ❤♦➦❝ ❧➔ ❝❤✉é✐ s❛✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❝→❝ q✉❛♥ s→t ❧✐➯♥
t✐➳♣ s➩ ✤÷ñ❝ ♠æ ❤➻♥❤ ❤â❛✳
◆➳✉ d = 1✱ s❛✐ ♣❤➙♥ ❧➛♥ ✶

■✭✶✮ : z(t) = y(t) − y(t − 1).
◆➳✉ d = 2✱ s❛✐ ♣❤➙♥ ❧➛♥ ✷

■✭✷✮ : h(t) = z(t) − z(t − 1).
▼❆✭q✮✿ P❤➛♥ ♥➔② ❝õ❛ ♠æ ❤➻♥❤ ♠æ t↔ t❤❡♦ ❝→❝❤ ♠➔ ♠é✐ ❣✐→ trà q✉❛♥

s→t ❧➔ ❤➔♠ ❝õ❛ q s❛✐ sè ♥❤✐➵✉ tr÷î❝ ✤â✳

Y (t) = b0 + et + b1 et−1 + b2 et−2 + ... + bq et−q .

❚r♦♥❣ ✤â✿
✰ et ❧➔ s❛✐ sè ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ t↕✐ t❤í✐ ✤✐➸♠ t✳
✰ et−1, et−2, ..., et−q ❧➔ ❝→❝ s❛✐ sè ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ tr÷î❝ ✤â t↕✐ t❤í✐ ✤✐➸♠ t÷ì♥❣
ù♥❣ t − 1, t − 2, ..., t − q.
✰ b0, b1, b2, ..., bq ❧➔ ❝→❝ ❤➡♥❣ sè✳
❱➼ ❞ö✿
▼æ ❤➻♥❤ ▼❆✭✶✮✿ Y (t) = b0 + et + b1et−1✳
▼æ ❤➻♥❤ ▼❆✭✷✮✿ Y (t) = b0 + et + b1et−1 + b2et−2✳
❈æ♥❣ ✈✐➺❝ ❝❤õ ②➳✉ ❝➛♥ ♣❤↔✐ ❧➔♠ ❦❤✐ sû ❞ö♥❣ ❝→❝ ♠æ ❤➻♥❤ ❆❘■▼❆ ✤â ❧➔
✰ ❈➛♥ ♣❤↔✐ ÷î❝ ❧÷ñ♥❣ ❝→❝ ❣✐→ trà p, d, q t❤➼❝❤ ❤ñ♣✳
✰ ❙❛✉ ✤â✱ tø p, d, q ①→❝ ✤à♥❤ ❝→❝ t❤❛♠ sè ai(i = 1, 2, ..., p)✱ bj (j =
1, 2, ..., q).

ữợ ữủ t số õ tt t ử t ữủ
ữ r s ổ ổ t
t sỷ ử õ ộ tớ tọ tt
t õ ộ ứ õ ồ ữỡ s ỳ ữ
tr tỹ t ỳ ộ tớ ổ õ t ứ
õ t t ổ õ ổ t ử ữủ
ữ ộ tớ tr t trữớ ự tr
ồ ụ trử

t ữỡ tố t
r t ồ ữỡ ữỡ tố t ỏ ồ
ữỡ ọ t ữỡ tr tố t ởt ữỡ
tố ữ õ ỹ ồ ởt ữớ ợ t ỳ ự ợ
ỹ tr ừ tờ s số tố ỳ ữớ ợ ỳ

số ữỡ tr

ỳ tr tỹ t ữủ tữớ ỳ s số
õ t t ỳ s số t sỹ t ở ừ
ỳ tố t q tỹ t ữủ tr
ừ ỵ sỹ s ỳ tr
tỹ t ữ r s số ở s ởt t
õ ữủ tr tỹ t ởt t s ỳ s số
t ọ ữủ ỳ tố t ở t q
ừ tỹ ử t tỹ t t s số
ú t ữ r tr t

s số õ tr õ ổ ú ỵ tợ ỳ t q õ
t t t t tr ởt ữủ ồ s số ữỡ
tr

số ở ữỡ tr n ừ


✶✷

❤❛✐ ❤➔♠ f (x) ✈➔ ϕ(x) tr➯♥ t➟♣ X = (x1 , x2 , ..., xn ) ❧➔

σn =

1
n

1
2

n

[f (xi ) − ϕ(xi )]2

✭✶✳✶✮

.

i=1

✶✳✺✳✷✳ ❳➜♣ ①➾ ❤➔♠ t❤❡♦ ♥❣❤➽❛ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tr✉♥❣ ❜➻♥❤

❚❛ ♥❤➟♥ t❤➜② r➡♥❣✱ ♥➳✉ ❝→❝ ❣✐→ trà yi, (i = 1, 2, ..., n) ❝õ❛ ❤➔♠ f (x) t↕✐
❝→❝ ✤✐➸♠ xi ✈➔ ♥➳✉ s❛✐ sè ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ σn ❦❤→ ❜➨ t❤➻ ❤➔♠ ϕ(x)
s➩ ①➜♣ ①➾ ❦❤→ tèt ✈î✐ ❤➔♠ f (x) ✳
❈→❝❤ ①➜♣ ①➾ ♠ët ❤➔♠ sè ❧➜② s❛✐ sè ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ❧➔♠ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥
✤→♥❤ ❣✐→ ♥❤÷ tr➯♥ ❣å✐ ❧➔ ①➜♣ ①➾ ❤➔♠ t❤❡♦ ♥❣❤➽❛ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tr✉♥❣ ❜➻♥❤✳
❘ã r➔♥❣✱ ♥➳✉ ❤➔♠ f (x) t❤✉ ✤÷ñ❝ ❜➡♥❣ t❤ü❝ ♥❣❤✐➺♠ ✭♥❣❤➽❛ ❧➔ yi ≈ f (xi)✮
t❤➻ ①➜♣ ①➾ ♥â✐ tr➯♥ ✤➣ s❛♥ ❜➡♥❣ ♥❤ú♥❣ s❛✐ ❧↕❝ t↕✐ tø♥❣ ✤✐➸♠ ♥↔② s✐♥❤ ❞♦
♥❤ú♥❣ s❛✐ sè ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❝õ❛ t❤ü❝ ♥❣❤✐➺♠✳ ✣➙② ❝❤➼♥❤ ❧➔ ❧þ ❞♦ ♠➔ ♣❤÷ì♥❣
♣❤→♣ ①➜♣ ①➾ t❤❡♦ ♥❣❤➽❛ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ✤÷ñ❝ sû ❞ö♥❣ rë♥❣ r➣✐
tr♦♥❣ t❤ü❝ t✐➵♥✳
❳➨t tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ϕ(x) ❧➔ ❤➔♠ ♣❤ö t❤✉ë❝ ❝→❝ t❤❛♠ sè a0, a1, ..., am ✿
✭✶✳✷✮

ϕ(x) = (x : a0 , a1 , ..., am )

tr♦♥❣ sè ♥❤ú♥❣ ❤➔♠ ϕ(x) ❝â ❞↕♥❣ ✭✶✳✷✮ tr➯♥ t❛ s➩ ❣å✐ ❤➔♠
✭✶✳✸✮

ϕ(x)
¯
= (x : a¯0 , a¯1 , ..., a¯m )

❧➔ ①➜♣ ①➾ tèt ♥❤➜t t❤❡♦ ♥❣❤➽❛ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ✈î✐ ❤➔♠ f (x)✳ ◆➳✉
s❛✐ sè ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ❝õ❛ ϕ(x)
¯
✈î✐ f (x) ❧➔ ❜➨ ♥❤➜t✱ ❝ö t❤➸✿
σn (a¯0 , a¯1 , ..., a¯m ) = min σn (a0 , a1 , ..., am ),

tr♦♥❣ ✤â✿

σn (a0 , a1 , ..., am ) =

1
n

1
2

n

[yi − ϕ(x, a0 , a1 , ..., am )]2
i=1

.

✭✶✳✹✮


✶✸

❚ø ✭✶✳✸✮ ✈➔ ✭✶✳✹✮ t❛ ♥❤➟♥ t❤➜② r➡♥❣
n

n
2

[yi − ϕ(x, a0 , a1 , ..., am )]2 .

[yi − ϕ(x, a0 , a1 , ..., am )] = min
i=1

i=1

❉♦ ✤â✱ ✈✐➺❝
①➜♣ ①➾ ❤➔♠ tèt ♥❤➜t s➩ ✤÷❛ ✈➲ t➻♠ ❝ü❝ t✐➸✉ ❝õ❛ tê♥❣ ❜➻♥❤
n
♣❤÷ì♥❣ ε2i , tr♦♥❣ ✤â
i=1

εi = yi − ϕ(x, a0 , a1 , ..., am ).

❇ð✐ ✈➟② ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t➻♠ ①➜♣ ①➾ tèt ♥❤➜t t❤❡♦ ♥❣❤➽❛ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tr✉♥❣
❜➻♥❤ ❝á♥ ❣å✐ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉✳


❈❍×❒◆● ✷

❳⑩❈ ✣➚◆❍ ❑❍❯❨◆❍ ❈Õ❆ ◗❯⑩ ❚❘➐◆❍ ❇➀◆● ❳❻P ❳➓ ❲❆❱❊▲❊❚

✷✳✶ ❈→❝ ❝ì sð ✇❛✈❡❧❡t
▼✉è♥ ÷î❝ ❧÷ñ♥❣ ✤❛ t❤ù❝ ❦❤✉②♥❤ ❝➜♣ ❤❛✐✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❞ò♥❣ ❤❛✐ ❝ì sð ✇❛✈❡❧❡t
tr♦♥❣ ❧÷ñ❝ ✤ç ♣❤→t ❤✐➺♥ ❦❤✉②♥❤ ✤â ❧➔✿ ❝ì sð ❍❛❛r ✇❛✈❡❧❡t ✈➔ ❝ì sð ❡❧❡♣❤❛♥t
✇❛✈❡❧❡t✳ ❍❛✐ ❝ì sð ✤â t❤❡♦ t❤ù tü ÷î❝ ❧÷ñ♥❣ ❤➺ sè ❜➟❝ ♥❤➜t ✈➔ ❤➺ sè ❜➟❝
❤❛✐ tr♦♥❣ ✤❛ t❤ù❝ ❦❤✉②♥❤✳
❍❛❛r ✇❛✈❡❧❡t t↕✐ t❤í✐ ✤✐➸♠ t✱ I(t, L) ❧➔✿



−1,




A−1 I(t, L) =
1,




 0,

♥➳✉ − L2 t < 0,
♥➳✉ 0 t L2 ,
♥➳✉ t < − L2 ❤♦➦❝ t > L2 .

❚r♦♥❣ ✤â
A=

2
L

2

,

✭✷✳✶✮

✭✷✳✷✮

▲ ❧➔ ♣❤➨♣ ❣✐➣♥ t❤❛♥❣ t➾ ❧➺ ❝õ❛ ✇❛✈❡❧❡t✲✤ë ❞➔✐ ❝õ❛ t❤í✐ ❣✐❛♥ ♥â ❜❛♦ q✉❛♥❤✳

✶✺

❊❧❡♣❤❛♥t ✇❛✈❡❧❡t t↕✐ t❤í✐ ✤✐➸♠ t✱ P (t, L) ❧➔✿




1,





−2,
−1
B P (t, L) =




1,



 0,

❚r♦♥❣ ✤â✿

−L

♥➳✉ −L
t<
,
2
6
L
♥➳✉ −L
t< ,
6
6
L
L
♥➳✉ 6 t 2 ,
tr♦♥❣ ❝→❝ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ❝á♥ ❧↕✐✳

1
B=
2

3
L

3

.

✭✷✳✸✮

✭✷✳✹✮

◆❤➻♥ ✈➔♦ ❍➻♥❤ ✷✱ ✤ç t❤à ❣✐è♥❣ ♥❤÷ ♠ët ❝♦♥ ✈♦✐✱ ♥â ❝â ❝→✐ ✈á✐ ❞➔✐ ✈➔ ❤❛✐
♠➢t t♦✱ ❞♦ ✤â ♥❣÷í✐ t❛ ❣å✐ ❧➔ ❡❧❡♣❤❛♥t ✇❛✈❡❧❡t✳
▼➦❝ ❞ò✱ ✤➛✉ t✐➯♥ ❝❤ó♥❣ t❛ ♥â✐ ✤➳♥ ✭✷✳✶✮ ✈➔ ✭✷✳✸✮ ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝✳ ❚✉②
♥❤✐➯♥✱ tr♦♥❣ t❤ü❝ ❤➔♥❤ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ❝❤✉é✐ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❝❤ó♥❣ t❛ ❞ò♥❣ tî✐ ❞↕♥❣
rí✐ r↕❝ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣✳


✶✻

❉↕♥❣ rí✐ r↕❝ ❝õ❛ ❍❛❛r ✇❛✈❡❧❡t ✤â ❧➔✿
N
♥➳✉
1
i
,
2
∆N 2
N
I(i, N ) =
+ 1 i N,
1,
♥➳✉

2

2


0, ♥➳✉ i < 1 ❤♦➦❝ i > N.
❉↕♥❣ rí✐ r↕❝ ❝õ❛ ❝õ❛ ❡❧❡♣❤❛♥t ✇❛✈❡❧❡t ❧➔✿





−1,

✭✷✳✺✮





1,





∆N 3
−2,
P (i, N ) =

3



1,




 0,

♥➳✉ 1 i N3 ,
♥➳✉ N3 + 1 i 2N
,
✭✷✳✻✮
3
2N
♥➳✉ 3 + 1 i N,
♥➳✉ i < 1 ❤♦➦❝ i > N.
❚r♦♥❣ ✤â✱ ∆ ❧➔ ❦❤♦↔♥❣ ❝❤✐❛ ♠➝✉ ✈➔ ∆N = L ❧➔ tê♥❣ ✤ë ❞➔✐ ❝õ❛ ❝❤✉é✐ t❤í✐
❣✐❛♥✳
❇ð✐ ✈➻ tr♦♥❣ ❝ì sð ✇❛✈❡❧❡t ❞ò♥❣ ✤➸ ♣❤→t ❤✐➺♥ ❦❤✉②♥❤ ❝❤ó♥❣ t❛ sû ❞ö♥❣
❝↔ ✭✷✳✺✮ ✈➔ ✭✷✳✻✮ ❝❤♦ ❝ò♥❣ ♠ët ❝❤✉é✐ t❤í✐ ❣✐❛♥✱ ❞♦ ✤â ◆ ♣❤↔✐ ❧➔ ❜ë✐ sè ❝õ❛
✻ ✤➸ ❞➵ ❞➔♥❣ ❝❤✐❛ ❝❤✉é✐ t❤í✐ ❣✐❛♥ t❤➔♥❤ ❝→❝ ❦❤♦↔♥❣✳

✷✳✷ ❈→❝ ❞↕♥❣ ÷î❝ ❧÷ñ♥❣
✷✳✷✳✶✳ ×î❝ ❧÷ñ♥❣ ❦❤æ♥❣ ❝❤➺❝❤
×î❝ ❧÷ñ♥❣ G ❝õ❛ t❤❛♠ sè µ ❝õ❛ ♠ët ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ X ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ÷î❝

❧÷ñ♥❣ ❦❤æ♥❣ ❝❤➺❝❤ ♥➳✉ t❤ã❛ ♠➣♥ E(G) = µ✳

●✐↔ sû t➼♥ ❤✐➺✉ tê♥❣ q✉→t ♠➔ ❝❤ó♥❣ t❛ q✉❛♥ s→t ✤÷ñ❝ t✉➙♥ t❤❡♦ ♠æ ❤➻♥❤✿
g˜(t) = g(t) + µ0 + µ1 t + µ2 t2 .

❚r♦♥❣ ✤â✿
✰ t ❧➔ t❤í✐ ❣✐❛♥✳
✰ g˜ ❧➔ ❣✐→ trà tù❝ t❤í✐ ❝õ❛ ❝❤✉é✐ t❤í✐ ❣✐❛♥✳
✰ ❣ ❧➔ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥✱ ❣✐→ trà tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ✵✳

✭✷✳✼✮


✶✼

✰ µ0, µ1, µ2 ❧➔ ❝→❝ ❤➺ sè ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ❦❤✉②♥❤ ❜➟❝ ❤❛✐✳
❈❤✉é✐ g˜ ①→❝ ✤à♥❤ ❝❤➾ ❦❤✐ 0 t L.
▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝õ❛ ✈✐➺❝ ♣❤→t ❤✐➺♥ ❦❤✉②♥❤ ❧➔ ÷î❝ ❧÷ñ♥❣ µ0, µ1, µ2 ✈➔ s❛✉ ✤â ❧➔
t→❝❤ ❜✐➺t t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ g(t)✳
❍➺ sè ✇❛✈❡❧❡t χ ❝õ❛ g˜(t) ✤è✐ ✈î✐ ❝ì sð ❡❧❡♣❤❛♥t ✇❛✈❡❧❡t ❧➔
+∞

g˜(s)P (s − t, L)ds.

χ(t, L) =
−∞

✷✳✷✳✶✳✶✳ ▼➺♥❤ ✤➲✳

❈❤♦ ❝❤✉é✐ t❤í✐ ❣✐❛♥ ✭❤♦➦❝ t➼♥ ❤✐➺✉ tê♥❣ q✉→t✮ g˜(t)
L
❧➔ ÷î❝ ❧÷ñ♥❣ ❦❤æ♥❣
t❤ã❛ ♠➣♥ ✭✷✳✼✮✳ ❑❤✐ ✤â ❣✐→ trà χ t↕✐ t❤í✐ ✤✐➸♠ t =
2
❝❤➺❝❤ ❝õ❛ µ2 ✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ µ2 ✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔
L
, L = µ2 .
χ
2

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤

❚❛ ❝â✱ ❣✐→ trà χ t↕✐ t❤í✐ ✤✐➸♠ t = L2 ❧➔
L
,L =
2

χ

❑❤✐ ✤â✿
L
χ
,L =
2

−L
2

−∞
L
6

+∞

g˜(s)P s −
−∞

L
, L ds +
−L

2
6
+∞
L
+
g˜(s)P s − , L ds.
L
2
2
+

−L
6

L
g˜(s)P s − , L ds +
2

−L
2
L
2

g˜(s)P s −

g˜(s)P s −

g˜(s)P s −

L

6

−L L
,
♥➯♥
2 2
−L
6
L
L
χ
,L =
g˜(s)P s − , L ds +
−L
2
2
2

✭✷✳✽✮

L
, L ds.
2
L
, L ds
2

L
, L ds
2

❉♦ P (t, L) = 0 ♥❣♦➔✐ ✤♦↕♥

L
6

g˜(s)P s −

−L
6
L
2

+
L
6

g˜(s)P s −

L
, L ds
2
L
, L ds.
2


✶✽

❙û ❞ö♥❣ ✭✷✳✸✮ t❛ ❝â

L
,L = B
χ
2

L
3

2L
3

g˜(s)ds − 2B

L

g˜(s)ds + B
L
3

0

g˜(s)ds.
2L
3

✭✷✳✾✮

❈❤ó þ✱ tr♦♥❣ ♥❤✐➲✉ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✇❛✈❡❧❡t✱ ❣✐→ ▲ ❝õ❛ ✇❛✈❡❧❡t ♥❣➢♥ ❤ì♥ ❦❤♦↔♥❣
❜✐➳♥ t❤✐➯♥ ❝õ❛ ❝❤✉é✐ t❤í✐ ❣✐❛♥✳ ◆❤÷ ✈➟②✱ ❞✐ ❝❤✉②➸♥ ✇❛✈❡❧❡t t❤❡♦ ❝❤✉é✐ t❤í✐
❣✐❛♥ t❤➻ ✭✷✳✽✮ ❝â t❤➸ t✐➳♥ ❤➔♥❤ ❝❤♦ ♠ët sè ❧÷ñ♥❣ ♥❤✐➲✉ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➺ sè ✇❛✈❡❧❡t

✤÷ñ❝ ❝❤➾ sè ❤â❛ tø t tî✐ ▲✳ ◆❤÷♥❣ tr♦♥❣ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ t❛✱ ✭✷✳✾✮ ❝❤➾
❝❤♦ ♠ët ❣✐→ trà χ t↕✐ t❤í✐ ✤➸♠ L2 ✱ tø ✤ë ❞➔✐ ❝õ❛ P ❤ñ♣ ✤➛② ✤õ ✤ë ❞➔✐ ❝õ❛ g˜✳
❚❛ ①➨t ❝→❝ t➼❝❤ ♣❤➙♥ tr♦♥❣ ✭✷✳✾✮✿
❚➼❝❤ ♣❤➙♥
2L
3

g˜(s)ds,

I = 2B
L
3

✤➦t t = s − L3 ✳ ❑❤✐ ✤â✿
L
3

I = 2B

g˜(t +

L
)dt
3

g˜(s +

L
)ds.
3

0

❤❛②

L
3

I = 2B
0

❚✐➳♣ t❤❡♦✱ t➼❝❤ ♣❤➙♥

L

g˜(s)ds,

J =B
2L
3

✤➦t t = s − 2L
✳ ❑❤✐ ✤â✿
3
L
3

J =B

g˜(t +

2L
)dt
3

g˜(s +

2L
)ds.
3

0

❤❛②

L
3

J =B
0




õ tr t
L
3

L
,L = B

2

ds g(s) 2
g (s +

0

2L
L
) + g(s +
) .
3
3



ố ợ g tr t õ t q
L
3

L

,L = B
2

ds g(s) 2g(s +

0

L
2L
) + g(s +
) + à2 .
3
3



ứ t õ tr tr t tr s ữ
L2 , L ởt ữợ ữủ ừ à2 ồ õ à2.
t tự ú t õ t ồ ừ à2 E[à2] ữủ

L
3

E[à2 ] = BE

ds g(s) 2g(s +

0

2L
L
) + g(s +
)
3
3

+ E[à2 ].

ứ E[g(t)] = 0 t õ
E[à2 ] = à2 .



ữ à2 = L2 , L ữợ ữủ ổ ừ à2
ú ỵ r t tr tữỡ tỹ ữ t tỷ s
õ ố ợ ỡ s t ữợ ữủ số tr
ộ tớ
t t ủ t g(t) ợ t r
số t
+

g(s)I(s t, L)ds.

X(t, L) =





ộ g(t) tó à2 t

ữủ tr õ tr

X

L
, L à2 L
2


✷✵

❧➔ ÷î❝ ❧÷ñ♥❣ ❦❤æ♥❣ ❝❤➺❝❤ ❝õ❛ µ1 ✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ µ1 ✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤

❚❤➟t ✈➟②✱ ❤➺ sè ✇❛✈❡❧❡t t↕✐ t❤í✐ ✤✐➸♠ t = L2 ❧➔
L
,L =
2

X

+∞

L
, L)ds.
2

g˜(s)I(s −
−∞

❑❤✐ ✤â
X

−L
2

L
,L =
2

−∞
L
2

+

g˜(s)I(s −

0

X

g˜(s)I(s −

L
, L)ds
2

g˜(s)I(s −

L
, L)ds.
2

−L
2

+∞

L
, L)ds +
2

−L L
,
2 2

❉♦ ■✭t✱ ▲✮ ❂ ✵ ♥❣♦➔✐ ✤♦↕♥
L
,L =
2

0

L
g˜(s)I(s − , L)ds +
2
L
2

♥➯♥
L
2

0

L
g˜(s)I(s − , L)ds +
−L
2
2

g˜(s)I(s −

0

L
, L)ds.
2

✭✷✳✶✹✮

❙û ❞ö♥❣ ✭✷✳✶✮ t❛ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ✭✷✳✶✹✮ t❤➔♥❤
X

L
, L = −A
2

L
2

L

g˜(s)ds + A

❚r♦♥❣ ✭✷✳✶✺✮✱ ①➨t t➼❝❤ ♣❤➙♥
L

I=A

g˜(s)ds,
L
2

✤➦t t = s − L2 ✱ ❦❤✐ ✤â t❛ ❝â
L
2

I=A

g˜(t +

L
)dt
2

g˜(s +

L
)ds.
2

0

❤❛②

L
2

I=A
0

g˜(s)ds.
L
2

0

✭✷✳✶✺✮




õ tr t
X

L
2

L
,L = A
2

ds g(s +
0

L
) g(s) .
2



g tỹ t số t
t t õ
X

L
2

L
,L = A
2

ds g(s +
0

t X
ữủ ừ à1 t ồ à1

L
) g(s) + à1 + à2 L.
2

L
,L
2

à1 = X



t ủ ợ t ởt ữợ

L
, L à2 L.
2



t t õ
L
2

à1 = à1 + A

ds g(s +
0

L
) g(s) (à2 à2 )L.
2

t tự t õ t tr ý ồ ừ
L
2

E[à1 ] = E[à1 ] + A

r

dsE g(s +
0

L
) g(s) LE[à2 à2 ].
2



E[à1 ] = à1 .

õ tr tr à2 ữợ ữủ ổ ừ à2 à1
ởt ữợ ữủ ổ ừ à1
ú ỵ r t tr s t t tỷ s
ởt tữỡ tỹ
ỹ r ự r ú t õ t ữợ ữủ t
t tr ởt ộ tớ trứ ỡ tr tr
ừ ỷ tự t ừ ộ tứ tr ừ ỷ tự
ố ũ t số à0 tr tự

✷✷

✷✳✷✳✶✳✸✳ ▼➺♥❤ ✤➲✳

❈❤♦ ❝❤✉é✐ g˜(t) t❤ã❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭✷✳✼✮✱ µ2 t➻♠

✤÷ñ❝ tr♦♥❣ ♠➺♥❤ ✤➲ ✷✳✷✳✶✳✶✱ µ1 t➻♠ ✤÷ñ❝ tr♦♥❣ ♠➺♥❤ ✤➲ ✷✳✷✳✶✳✷✳ ❑❤✐ ✤â ❣✐→
trà

1
1
g¯˜ − µ1 L − µ2 L2
2
3
❧➔ ÷î❝ ❧÷ñ♥❣ ❦❤æ♥❣ ❝❤➺❝❤ ❝õ❛ µ0 ✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ µ0 ✳ ❚r♦♥❣ ✤â g¯˜ ❧➔ tr✉♥❣ ❜➻♥❤
♠➝✉ ❝õ❛ g˜ ✈➔

1
g¯˜ =
L

L

g˜(s)ds.
0

✭✷✳✷✶✮

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤

❚❤➟t ✈➟②✱ t❤➳ ✭✷✳✼✮ ❝❤♦ g˜ ✈➔♦ ✭✷✳✷✶✮✱ t❛ ❝â
L

1
g¯˜ =
L

❙✉② r❛

g(s) + µ0 + µ1 s + µ2 s2 ds.
0
L

✭✷✳✷✷✮
▲↕✐ ❞♦ ❣ ❝â ❣✐→ trà tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ✵ ♥➯♥ ♠ët ÷î❝ ❧÷ñ♥❣ ❝õ❛ µ0✱ ❦➼ ❤✐➺✉ µ0 ❧➔
1
g¯˜ =
L

1
1
µ0 = g¯˜ − µ1 L − µ2 L2 .
2
3

❍♦➦❝ tø ✭✷✳✷✷✮ t❛ ❝â
µ0 = µ0 +

1

L

0

1
1
g(s)ds + µ0 + µ1 L + µ2 L2 .
2
3

✭✷✳✷✸✮

L

1
1
g(s)ds − L(µ1 − µ1 ) − L2 (µ2 − µ2 ).
2
3

✭✷✳✷✹✮

L

1
1
E[g(s)]ds − LE[µ1 − µ1 ] − L2 E[µ2 − µ2 ].
2
3

✭✷✳✷✺✮

0

❉♦ ✤â
1
E[µ0 ] = E[µ0 ] +
L

0

◆❤÷ ✈➟②
E[µ0 ] = µ0 .

❚ø ❣ ❝â ❣✐→ trà tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ✵ ✈➔ µ1✱ µ2 ❧➛♥ ❧÷ñt ❧➔ ❝→❝ ÷î❝ ❧÷ñ♥❣ ❦❤æ♥❣
❝❤➺❝❤ ❝õ❛ µ1✱ µ2 ❞♦ ✤â✱ q✉❛ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ✇❛✈❡❧❡t ❝❤ó♥❣ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ÷î❝ ❧÷ñ♥❣


✷✸

❝õ❛ µ0 ❧➔ µ0 ❝ô♥❣ ❧➔ ♠ët ÷î❝ ❧÷ñ♥❣ ❦❤æ♥❣ ❝❤➺❝❤✳

✷✳✷✳✷✳ ×î❝ ❧÷ñ♥❣ ✈ú♥❣

×î❝ ❧÷ñ♥❣ ❧÷ñ♥❣ ✈ú♥❣ ❝õ❛ t❤❛♠ sè θ ❝õ❛ ♠ët ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ X ❧➔ ❤➔♠
÷î❝ ❧÷ñ♥❣ g t❤ã❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥

lim P (|g − θ| > ε) = 0,

n→∞

✈î✐ ♠å✐ ε > 0

✣➸ ✤→♥❤ ❣✐→ ✤ë ❝❤➼♥❤ ①→❝ ❝õ❛ ❝→❝ ÷î❝ ❧÷ñ♥❣ µ0✱ µ1✱ µ2 ✤➣ ✤÷ñ❝ ♥â✐ tr♦♥❣
♣❤➛♥ tr➯♥ ❝❤ó♥❣ t❛ sû ❞ö♥❣ tî✐ ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ s❛✐ sè ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tr✉♥❣
❜➻♥❤ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ ✈➔ t➼❝❤ ♣❤➙♥ t❤❛♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥✳

✷✳✷✳✷✳✶✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ❙❛✐ sè ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ✭❤❛② s❛✐ sè ♣❤÷ì♥❣

s❛✐✮

✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ M SE ✱ ❝õ❛ µ0 ❧➔✿

M SE[µ0 ] = E[(µ0 − µ0 )2 ].

✭✷✳✷✻✮

❚÷ì♥❣ tü✱ s❛✐ sè ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ❝õ❛ µ1✱ µ2 ❧➔✿
M SE[µ1 ] = E[(µ1 − µ1 )2 ]

✈➔
M SE[µ2 ] = E[(µ2 − µ2 )2 ].

✷✳✷✳✷✳✷✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳

①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ s❛✉✿

❚➼❝❤ ♣❤➙♥ t❤❛♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥✱

1

T = 2
σg

+∞

Cg (τ )dτ.
0

❚r♦♥❣ ✤â✿
✰ σg2 ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ s❛✐ ❧þ t❤✉②➳t ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❣✳
✰ Cg ❧➔ tü t÷ì♥❣ q✉❛♥ ❝õ❛ ❣
Cg (τ ) = E[g(t)g(t + τ )].

✰ τ ❧➔ ✤ë tr➵✳

❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ T ✱ ✤÷ñ❝
✭✷✳✷✼✮




rs r ợ t tt ỗ ố s số ữỡ
tr ừ à0 à1 à2 tr t ổ ữ r ử
ự r T ỳ ọ ỡ rt s ợ t ở ở
ừ ộ à0 à1 à2 ỳ ữợ ỳ s số ữỡ tr
ừ ộ ữợ ữủ õ ở ừ ợ õ
tr à0 à1 à2 ữủt tốt ợ à0 à1 à2
ứ t q tr ú tổ ữ r tt s
tr ừ ộ q st g.
r tr ữợ ữủ à0 à1 à2

ữợ à2
L
3

à2 = B

ds g(s) 2
g (s +

0

r õ

ữợ à1
L
2

à1 = A

ds g(s +
0

r õ
A=

ữợ à0
1
à0 =
L

L
0

3

3
L

1
B=
2

2L
L
) + g(s +
) .
3
3

.

L
) g(s) à2 L.
2

2
L

2

.

1
1
g(s)ds à1 L à2 L2 .
2
3

ọ t
ữ ú t õ õ ỗ t tt t
t t sỹ tt ố ợ ọ




ụ õ ổ ự ừ ỵ t ừ
ú t t r t ỏ t tỹ sỹ õ
ởt ữợ ữủ ỳ số ừ tự qt
õ ọ ộ tớ ổ t
tự t sỡ ỗ t ổ
ú t ữ r ởt t ữủ qt
t t ọ ởt ữủ ữợ ữủ
ú ỵ rớ r ừ ộ tớ tr
gi = gi + à0 + à1 i + à2 (i)2 ,



tr õ i số 1 i N
õ tr ừ g õ rớ r
1

g =
N


1
g =
N
1
=
N
1
=
N

N

gi
i=1

N

[gi + à0 + à1 i + à2 (i)2 ]
i=1
N

i=1
N

i=1

à1
gi + à0 +
N

N

i=1

à2 2
i+
N

N

i2
i=1

à1
à2 2
gi + à0 +
(N + 1) +
(N + 1)(2N + 1).
2
6


1
g =
N

N

gi + à0 +
i=1

à2 2
à1
(N + 1) +
(N + 1)(2N + 1).
2
6



tự tữỡ tỹ ữ
ởt ữủ õ ữỡ s ổ ừ g