Thiết kế và tổ chức cho học sinh hoạt động phát hiện vấn đề và phát hiện cách giải quyết vấn đề nhờ sử dụng phép tương tự trong dạy học hình học không gian lớp 11

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

CAO THỊ HÒA

THIẾT KẾ VÀ TỔ CHỨC CHO HỌC SINH
HOẠT ĐỘNG PHÁT HIỆN VẤN ĐỀ VÀ PHÁT HIỆN
CÁCH GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ NHỜ SỬ DỤNG PHÉP TƯƠNG TỰ
TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11

Chuyên ngành : Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60.14.10

LUẬN VĂN THẠC SỸ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS. ĐÀO TAM

NGHỆ AN - 2013


2


3
LỜI CẢM ƠN

Trước hết tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TS Đào Tam, người
thầy đã nhiệt tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này trong thời gian qua.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn trân trọng tới Ban giám hiệu, phòng Đào tạo
Sau Đại học, khoa Toán Trường Đại học Vinh cùng tất cả các thầy cô giáo đã
tham gia giảng dạy trong suốt quá trình tôi học tập, nghiên cứu và hoàn thành

các chuyên đề thạc sỹ khóa 19, chuyên ngành lý luận và phương pháp dạy học
bộ môn Toán, Trường Đại học Vinh.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn các thầy cô giáo trong Ban giám hiệu,
tổ Toán trường THPT Nguyễn Xuân Ôn, huyện Diễn Châu, Nghệ An – nơi tôi
đang công tác, đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện để tôi tiến hành thực nghiệm
sư phạm.
Luận văn có sự giúp đỡ về tài liệu và những ý kiến góp ý quý báu của các
thầy cô thuộc chuyên ngành lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán.
Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp,
những người đã luôn cổ vũ, động viên để tôi hoàn thành luận văn này.
Tuy đã có nhiều cố gắng, luận văn chắc chắn không thể tránh khỏi những
thiếu sót cần được góp ý, sửa chữa. Rất mong nhận được những ý kiến đóng
góp của các thầy cô và các bạn.

Nghệ An, tháng 10 năm 2013
Tác giả


4
NHỮNG TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

Từ viết tắt

Từ đầy đủ

GV

Giáo viên

GS

Giáo sư

HHKG

Hình học không gian

HS

Học sinh

Nxb

Nhà xuất bản

SGK

Sách giáo khoa

Tr

Trang

THPT

Trung học phổ thông

PPDH

Phương pháp dạy học

GD

Giáo dục

BGD-ĐT

Bộ Giáo dục và Đào tạo

XHCN

Xã hội chủ nghĩa

BCH

Ban chấp hành

TH

Thực nghiệm

ĐC

Đối chứng

HĐ

Hoạt động

GQVĐ

Giải quyết vấn đề

ĐPCM

Điều phải chứng minh

HHP

Hình học phẳng


5

MỤC LỤC


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Xuất phát từ mục tiêu giáo dục THPT, Luật Giáo dục năm 2005 đã xác
định “các phẩm chất và năng lực phát triển cho HS nhằm trước hết đáp ứng
được yêu cầu đào tạo nguồn nhân lực trong giai đoạn phát triển kinh tế xã
hội mới của đất nước, giai đoạn công nghiệp hoá, hiện đại hoá để đến năm
2020 đưa nước ta trở thành một nước công nghiệp trong bối cảnh toàn cầu
hoá, mở rộng giao lưu hội nhập quốc tế với sự hình thành và phát triển của
nền kinh tế tri thức, đồng thời đáp ứng yêu cầu phát triển đa dạng của mỗi
cá nhân”.
Điều 24 của Luật Giáo dục năm 2005 cũng đã yêu cầu về đổi mới nội
dung, phương pháp giáo dục THPT là “nhu cầu đổi mới phương pháp giáo
dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của

HS, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương
pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động
đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”.
Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức quan
trọng, là môn học công cụ, nếu học tốt môn Toán thì những tri thức trong
Toán học cùng với phương pháp làm việc trong môn Toán sẽ trở thành công
cụ để học tốt những môn học khác. Môn Toán góp phần phát triển nhân
cách, ngoài việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng toán
học cần thiết thì môn Toán còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất
của người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán,
tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mỹ.
Một trong những nhiệm vụ quan trọng của dạy học toán là rèn luyện
cho học sinh các hoạt động trí tuệ: khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự, so
sánh, phân tích, tổng hợp.... Các hoạt động này giúp cho HS nắm vững, đào


sâu kiến thức, phát huy tính độc lập, sáng tạo của bản thân các em không
những trong học tập môn toán mà còn các môn học khác.
Trong các hoạt động trí tuệ nêu trên, phép tương tự là rất phổ biến.
Khi gặp một vấn đề mới, người ta có xu hướng so sánh, đối chiếu nó với
các vấn đề tương tự trước đó. Phép tương tự có mối quan hệ khăng khít với
các thao tác tư duy khác. So sánh là thành tố tiên phong của phép tương tự.
Phép tương tự có thể coi là yếu tố tiền đề của bước khái quát hoá vì để khái
quát hoá người ta phải chuyển từ một tập hợp đối tượng này sang một tập
hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số trong các đặc
điểm chung của các phần tử của tập hợp xuất phát.
Từ lâu, phép tương tự đã được nghiên cứu và đóng một vai trò trọng yếu
trong học tập toán học. Năm 1954, Polya đã nghiên cứu việc sử dụng tương tự
trong toán học và cho rằng tương tự có thể cung cấp một nguồn của các vấn
đề mới và có thể nâng cao hiệu suất, ý tưởng giải quyết vấn đề. Ông cho rằng:

“Phép tương tự có lẽ có mặt trong mọi phát minh và trong một số phát minh
nó chiếm vai trò quan trọng nhất”. Gần đây, các nghiên cứu chú ý nhiều hơn
đến vai trò của phép tương tự trong học tập khoa học và đặc biệt là việc học
tập các khái niệm toán học cơ bản của HS. Năm 1989, Glynn đã đề cập mô
hình dạy học với phép tương tự T-W-A trong tác phẩm Teaching Science With
Analogy. Năm 2007, Harrison and Coll đưa ra một hướng dẫn dạy học với
phép tương tự: mô hình FAR. Ở Việt Nam, cũng có nhiều nghiên cứu về phép
tương tự và ứng dụng của nó trong dạy học được giới thiệu bởi các tác giả
như PGS. Hoàng Chúng, GS. Nguyễn Bá Kim, GS. Đào Tam, … Các công
trình này đã khẳng định được vai trò quan trọng của phép tương tự trong dạy
học toán học.
Bên cạnh đó, trong dạy học Toán, nếu người giáo viên chỉ quan tâm
truyền thụ kiến thức cho HS thì còn nhiều khiếm khuyết. Họ phải cân nhắc
đến việc rèn luyện các phẩm chất trí tuệ cho HS. Lựa chọn phép tương tự
trong dạy học toán như là phương tiện sẽ góp phần rèn luyện tư duy sáng tạo


cho người học, cho người học khả năng liên tưởng đến các kiến thức trước đó
để phát hiện ra kiến thức mới.
Hình học không gian bao gồm nhiều kiến thức khi học sinh hoạt động
để tiếp nhận đòi hỏi rất nhiều sự liên tưởng tới những điều đã biết trong
hình học phẳng để tiếp cận những cái tương tự trong hình học không gian,
hơn thế nữa sự liên tưởng cũng xảy ra ngay giữa các kiến thức của hình học
không gian cũng phong phú không kém. Nếu khai thác tốt khía cạnh này thì
việc dạy học nhất là dạy học bài tập hình học không gian trở nên lý thú vì
nó vừa học mới – ôn cũ, vừa khám phá ra cái mới trên cơ sở cái đã có bằng
cách sử dụng tương tự hóa giữa các khái niệm hình học, ví dụ: nếu ta coi
tam giác trong mặt phẳng tương tự với tứ diện trong không gian thì một
loạt những định lý, những bài tập trong không gian sẽ có kết quả như trong
mặt phẳng, ngoài ra cách suy luận tương tự cũng rất đa dạng và sáng tạo, từ

một bài toán hình học phẳng qua suy luận tương tự có thể trở thành nhiều
bài toán không gian khác nhau. Điều đó rất phù hợp với quan điểm dạy
học: “Tích cực hóa hoạt động của người học” hiện nay.
Mặc dù người thầy dạy Toán nào cũng hiểu là nếu vận dụng tốt mối
liên hệ giữa hình học phẳng và hình học không gian thì chất lượng dạy và
học môn hình học không gian sẽ được nâng cao rất nhiều. Thực tế cho thấy
thời lượng dành cho chương trình thì có hạn mà dung lượng kiến thức thì
nhiều, học sinh lại quên rất nhiều kiến thức trong hình học phẳng, vì thế,
một số giáo viên đã bỏ qua dùng phép suy luận tương tự. Tuy nhiên, sau
nhiều năm đứng lớp dạy về vấn đề này chúng tôi thấy rằng nếu sử dụng
phép suy luận tương tự một cách thích hợp, kết hợp với các suy luận khác
để dạy thì hiệu quả của việc dạy và học được nâng lên rất nhiều. Trong
cùng một thời gian, học sinh vừa được ôn lại kiến thức cũ, đồng thời được
khám phá ra những điều mới mẻ. Kiến thức được chính bản thân người học
tự phát hiện sẽ được nhớ lâu, và quan trọng hơn là học sinh tìm thấy niềm
vui, sự say mê trong học tập.


Chính vì vậy, chúng tôi thiết nghĩ cần làm cho học sinh thấ y được mối
liên hệ giữa kiến thức đã biết với kiến thức mới, biết quy lạ về quen, vận
dụng tương tự hóa và các hoạt động trí tuệ khác trong giảng dạy lý thuyết
cũng như trong giải bài tập để học sinh dễ tiếp thu kiến thức, từ đó kiến
thức được củng cố, mở rộng và đào sâu thêm. Với suy nghĩ đó nên chúng
tôi đã chọn đề tài: “Thiết kế và tổ chức cho học sinh hoạt động phát hiện
vấn đề và phát hiện cách giải quyết vấn đề nhờ sử dụng phép tương tự
trong dạy học hình học không gian lớp 11 - Trung học phổ thông.”
2. Mục đích nghiên cứu:
Khai thác hoạt động tương tự nhằm vào hướng tiếp cận phát hiện từ đó đề
xuất các biện pháp ứng dụng hoạt động này vào việc tìm tòi phát hiện kiến thức
và phát hiện cách giải quyết vấn đề trong dạy học hình học không gian.

3. Đối tượng nghiên cứu:
Dạy học hình học không gian lớp 11-THPT theo phương thức tiếp cận
phát hiện thông qua khai thác vai trò của phép tương tự trong phát hiện vấn
đề và phát hiện cách giải quyết vấn đề.
4. Giả thuyết khoa học:
Có thể sử dụng phép tương tự làm phương tiện cho hoạt động của học
sinh nhằm khắc phục những khó khăn về nhận thức và giúp học sinh biết
cách phát hiện vấn đề và phát hiện cách giải quyết vấn đề trong dạy học
hình học không gian lớp 11.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Phân tích và hệ thống hóa các tài liệu về lý luận liên quan đến phép
tương tự trong dạy học môn Toán để xây dựng khung lý thuyết của đề tài.
- Sử dụng phép tương tự vào dạy học các tình huống điển hình trong
hình học không gian lớp 11.


- Đề xuất các biện pháp sư phạm để luyện tập cho học sinh kỹ năng
vận dụng phép tương tự trong học tập môn hình học không gian lớp 11.
- Thực nghiệm sư phạm kiểm nghiệm giả thuyết của đề tài.
6. Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu lý luận:
+ Thông qua việc nghiên cứu tài liệu sách tham khảo, các luận án
tiến sỹ, các luận văn liên quan đến đề tài.
+ Nghiên cứu lý luận về đổi mới trong dạy học môn Toán nói chung
và trong dạy học hình học không gian nói riêng theo hướng giúp học sinh
hoạt động phát hiện vấn đề, phát hiện cách giải quyết vấn đề.
+ Nghiên cứu chương trình sách giáo khoa Toán 11, mục đích yêu
cầu dạy học hình học không gian ở trường phổ thông.
- Phương pháp điều tra thực tiễn nhằm xác định những thuận lợi,
khó khăn của học sinh trong việc liên hệ những kiến thức tương tự giữa

hình học không gian và hình học phẳng để phát hiện vấn đề và phát hiện
cách giải quyết vấn đề trong dạy học hình học không gian lớp 11.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm.
7. Đóng góp của luận văn
- Góp phần khẳng định vai trò của phép tương tự trong dạy học Toán
ở trường phổ thông đặc biệt là trong dạy học hình học không gian.
- Vận dụng phép tương tự vào dạy học các tình huống điển hình theo
phương thức tiếp cận, phát hiện vấn đề và phát hiện cách giải quyết vấn đề,
dùng phép tương tự như là công cụ, phương tiện để giải quyết vấn đề phổ
thông và đã đề ra một số biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện cho học sinh
kỹ năng vận dụng phép tương tự vào học hình học không gian lớp 11.
7. Cấu trúc của Luận văn:


Ngoài phần mở đầu và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn gồm có
bốn chương:
Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1.Phép tương tự
1.1.1.Khái niệm phép tương tự
1.1.2.Cấu trúc của phép tương tự
1.1.3.Các loại tương tự
1.1.4.Tính chất của phép tương tự
1.1.5.Một số biện pháp nâng cao suy luận tương tự
1.1.6.Vai trò của phép tương tự trong khám phá khoa học
1.1.7. Vai trò của phép tương tự trong dạy học nói chung và trong dạy học
hình học không gian
1.2.Các mô hình dạy học có sử dụng phép tương tự
1.2.1.Mô hình TWA
1.2.2.Mô hình FAR
1.3.Phép tương tự thể hiện trong các phương pháp dạy học tích cực

1.3.1.Vận dụng phép tương tự trong quá trình dạy học kiến tạo
1.3.2.Vận dụng phép tương tự trong dạy học khám phá
1.3.3.Phép tương tự trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
1.4.Một số khó khăn khi dạy hình học không gian
1.5.Thuận lợi để sử dụng phép tương tự vào dạy học hình học không gian
1.6.Lịch sử của vấn đề nghiên cứu
1.7.Kết luận chương 1


Chương 2.THỰC TRẠNG DẠY HỌC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Ở TRƯỜNG
PHỔ THÔNG

2.1.Mục tiêu khảo sát
2.2.Đối tượng khảo sát
2.3.Nội dung khảo sát
2.4.Phương thức khảo sát
2.5.Xây dựng hệ thống câu hỏi dành cho giáo viên
2.5.1.Hệ thống câu hỏi trắc nghiệm
2.5.2.Hệ thống câu hỏi tự luận
2.6.Kết luận của quá trình khảo sát
2.6.1.Đánh giá định tính
2.6.2.Đánh giá định lượng
2.7.Kết luận chương 2
Chương 3. SỬ DỤNG PHÉP TƯƠNG TỰ VÀO DẠY HỌC HÌNH HỌC KHÔNG
GIAN THEO HƯỚNG PHÁT HIỆN VẤN ĐỀ VÀ PHÁT HIỆN CÁCH GIẢI QUYẾT
VẤN ĐỀ VÀ MỘT SỐ BIỆN PHÁP NHẰM RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ
NĂNG VẬN DỤNG PHÉP TƯƠNG TỰ VÀO HỌC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN.

3.1.Nội dung chương trình hình học không gian
3.2.Sử dụng phép tương tự vào dạy các tình huống điển hình

3.2.1.Sử dụng phép tương tự vào dạy học khái niệm
3.2.2.Sử dụng phép tương tự vào dạy học định lý
3.2.3.Sử dụng phép tương tự vào dạy học giải bài tập
3.3.Sử dụng phép tương tự vào đề xuất bài toán mới
3.4.Các biện pháp nhằm rèn luyện cho học sinh kỹ năng sử dụng phép
tương tự vào học HHKG


3.4.1.Biện pháp 1: Luyện tập cho học sinh hoạt động tìm dấu hiệu tương tự
giữa các khái niệm trong hình học phẳng và hình học không gian
3.4.2.Biện pháp 2: Sử dụng kết hợp thao tác đặc biệt hóa và tương tự hóa
3.4.3.Biện pháp 3: Luyện tập cho học sinh hoạt động phát hiện các hướng
chuyển bài toán không gian về bài toán phẳng thông qua tương tự hóa.
3.4.4.Biện pháp 4: Luyện tập cho học sinh hoạt động khai thác các bài toán
phẳng để xây dựng các bài toán mới trong không gian bằng phương pháp
tương tự
3.4.5.Biện pháp 5: Luyện tập cho học sinh sáng tạo bài toán mới nhờ phép
tương tự
3.4.6.Biện pháp 6: Phát hiện các tương tự sai khi chuyển đổi từ hình học
phẳng sang hình học không gian
3.5. Kết luận chương 3
Chương 4. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
4.1.Mục đích thực nghiệm
4.2.Nội dung thực nghiệm
4.3.Tổ chức thực nghiệm
4.4.Đánh giá kết quả thực nghiệm
4.4.1.Đánh giá định tính
4.4.2.Đánh giá định lượng
4.5.Kết luận chương 4
Kết luận chung về luận văn

Tài liệu tham khảo



Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1. Phép tương tự
Lý luận về phép tương tự từ lâu đã đóng vai trò quan trọng trong học
tập môn Toán. Có nhiều suy luận của con người liên quan đến phép tương
tự và được thực hiện, vận dụng trong cuộc sống hàng ngày. Do đó, tương tự
là một khía cạnh tự nhiên và phổ biến của nhận thức con người. Năm 1954,
Polya đã nghiên cứu việc sử dụng tương tự trong toán học và đã chứng
minh được rằng tương tự có thể cung cấp một nguồn màu mỡ các vấn đề
mới và có thể nâng cao hiệu suất, ý tưởng giải quyết vấn đề. Tuy nhiên, các
nghiên cứu gần đây chú ý nhiều hơn đến vai trò của phép tương tự trong
học tập, nghiên cứu khoa học và đặc biệt là việc học tập các khái niệm toán
học của trẻ em.
1.1.1.Khái niệm phép tương tự
Danh từ “tương tự” bắt nguồn ở một từ Hy Lạp “a-na-lô-gi-a”, từ
này có nghĩa là “tỉ lệ”. Thật vậy, hệ hai số 6 và 9 tương tự với hệ hai số
10 và 15 vì tỉ số giữa những số tương ứng thỏa mãn hệ thức: 6:9 = 10:15
[15, tr20]
Theo [4, tr67- 68], suy luận tương tự là suy luận căn cứ vào một số
thuộc tính giống nhau của hai đối tượng, để rút ra kết luận về những thuộc
tính giống nhau khác của hai đối tượng đó.
Sơ đồ:
- Hai đối tượng A và B có các thuộc tính chung (giống nhau) a, b, c, d, e
- Đối tượng A có thuộc tính f
Có thể : B cũng có thuộc tính f.
Ví dụ 1: Trái đất và sao Hỏa có một số thuộc tính chung: là hành tinh của

mặt trời, đều có không khí, đều có nước, đều có khí hậu tương đối ôn hòa.
- Trên trái đất có sự sống


Có thể: trên sao Hỏa cũng có sự sống.
Theo Pôlya [16,tr 19- 20], tương tự là một kiểu giống nhau nào đó. Có
thể nói tương tự là giống nhau nhưng ở mức độ xác định hơn và ở mức độ
được phản ánh bằng khái niệm. Tuy vậy, chúng ta có thể diễn tả chính xác
hơn một chút. Theo Pôlya, sự khác nhau căn bản giữa tương tự và những
loại giống nhau khác là ở ý định của người đang suy nghĩ. Những đối
tượng giống nhau phù hợp với nhau trong một quan hệ nào đó. Nếu bạn có
ý định quy mối quan hệ trong đó các đối tượng phù hợp với nhau về những
khái niệm đã định thì bạn sẽ xem những đối tượng giống nhau ấy như là
những đối tượng tương tự. Và nếu bạn đạt tới những khái niệm rõ ràng thì
tức là bạn đã làm sáng tỏ sự tương tự.
Ví dụ 2: Tam giác trên mặt phẳng tương tự với tứ diện trong không
gian. Trên mặt phẳng, hai đường thẳng không thể tạo nên một hình có giới
hạn, còn ba đường thẳng thì có thể tạo nên một tam giác. Trong không gian,
ba mặt phẳng không tạo nên được một vật thể có giới hạn, còn bốn mặt
phẳng thì có thể tạo nên một tứ diện. Quan hệ của tam giác đối với mặt
phẳng cũng như quan hệ của tứ diện đối với không gian bởi chúng đều
được giới hạn bởi số tối thiểu những yếu tố cơ bản. Sự tương tự là ở chỗ đó
[16].

Trong lôgic, suy luận tương tự, hay còn gọi là ngoại suy, là một dạng
suy luận được sử dụng rất phổ biến cả trong khoa học và trong đời sống.
Đây là dạng suy luận trong đó kết luận được rút ra nhờ sự giống nhau của
các đối tượng [13].
Trong toán học, tương tự là suy luận dựa trên sự giống nhau về tính
chất, mối quan hệ giữa các đối tượng toán học. Hai phép chứng minh là

tương tự nếu đường lối, phương pháp chứng minh là giống nhau. Hai vấn
đề là tương tự nếu có cùng tính chất hay vai trò như nhau, hay giữa các
phần tử tương ứng của chúng có mối quan hệ tương đương.


Theo từ điển bách khoa toàn thư, phép tương tự là phương pháp luận
xác định sự giống nhau trong một số mặt, tính chất và quan hệ giữa những
đối tượng không đồng nhất với nhau. Trong các giai đoạn ban đầu của khoa
học, phép tương tự thay cho sự quan sát có hệ thống và thực nghiệm;
những kết luận (suy lí) của nó là căn cứ vào những sự tương tự bên ngoài
và thứ yếu. Về sau, phép tương tự được sử dụng cùng với những hình thức
nhận thức khác. Trong khoa học hiện đại, phép tương tự được sử dụng
nhiều nhất trong việc lập mô hình.
Phép tương tự, theo từ điển Wester, được định nghĩa như là “sự so
sánh giữa những vật nói chung khác nhau nhưng nổi bật lên là sự giống
nhau ở vài khía cạnh thích hợp”. Vật làm cơ sở cho tương tự, là phần tử để
so sánh, được gọi là nguồn; trong khi đó, những vật được giải thích hoặc
được học nhờ sử dụng phép tương tự được gọi là đích. Sử dụng phép tương
tự là một quá trình liên quan đến sự trao đổi giữa nguồn và đích.
Suy luận quy nạp là suy luận từ những chân lý riêng lẻ, cụ thể, khái
quát lên thành những chân lý tổng quát. Quy nạp có thể dẫn đến các kết
luận sai vì vậy không cho phép dùng quy nạp để chứng minh. Cho nên quy
nạp có thể dùng để phát hiện vấn đề, mày mò, dự đoán ra chân lý, sau đó
dùng suy diễn để chứng minh [24, tr119-120]. Phép tương tự là phép suy
luận quy nạp, không phải là một suy luận chứng minh, nên những kết luận
dự kiến chỉ là giả thiết, thực tế đúng đắn của chúng không được bảo đảm
mà phải được kiểm tra một cách riêng biệt. Vì vậy, khi đánh giá một tương
tự cần chú ý: cho dù những kết luận dự kiến có cấu trúc nhất quán đi nữa,
tính đúng đắn của mục tiêu vẫn có thể khác so với các kết luận dự kiến.
Một tiêu chí khác được áp dụng trong giải quyết vấn đề là liệu các kết luận

của phép tương tự có liên hệ đến mục tiêu hiện tại hay không. Một tương tự
có thể được cấu tạo suy luận đúng, nhưng vẫn không liên quan đến mục
tiêu. Đó là khả năng thích ứng của những kết luận cho vấn đề mục tiêu.


Qua các phân tích trên, chúng tôi xin đưa ra một tóm tắt về phép
tương tự như sau: Phép tương tự là phép suy luận về sự tương ứng các mối
quan hệ từ đối tượng trong miền cơ sở đến đối tượng trong miền mục tiêu.
Vì thế, để đạt được hiệu quả khi sử dụng phép tương tự đòi hỏi một sự hiểu
biết đúng đắn về lĩnh vực cơ sở. Do đó, kiến thức mà học sinh đã học đóng
một vai trò quan trọng trong sự hiểu biết đúng đắn về các khái niệm mới.
Hơn nữa, việc sử dụng phép tương tự còn phù hợp với quan điểm học tập
tích cực, có nghĩa là, học tập là một quá trình hoạt động, xây dựng kiến
thức mới dựa trên cơ sở kiến thức đã có. Nói cách khác, học tập về cơ bản
có liên quan với xây dựng tương đồng giữa những ý tưởng mới và những ý
tưởng hiện có.
1.1.2 Cấu trúc của suy luận tương tự:
Suy luận tương tự có cấu trúc sau:
Đối tượng A có tính chất a1 , a 2 , a3 , …, a n ,b
Đối tượng B có tính chất a1 , a 2 , a3 , …, a n
Vậy đối tượng B cũng có tính chất b
Các đối tượng A, B trong cấu trúc trên đây được hiểu theo nghĩa rộng.
Chúng có thể là những vật thể, quá trình, hiện tượng, các trừu tượng toán
học, các lý thuyết, khái niệm,….., chúng cũng có thể là các mối quan hệ,
….. [13].
1.1.3 Các loại tương tự
Theo [12], phép tương tự được chia làm hai loại:
* Tương tự theo quan hệ: Dấu hiệu được rút ra trong kết luận biểu thị
quan hệ
- A và B cùng loại (hay cùng cấu trúc tương tự)

- A có quan hệ với C
B có quan hệ với C ?
Hình 1: Tương tự theo quan hệ


Ví dụ 3: Hình tam giác trong mặt phẳng tương tự với hình tứ diện
trong không gian vì đây là các trường hợp riêng của m- đơn hình.
Thật vậy, trong không gian Afin cho (m+1) điểm {A0,A1,...,Am } độc lập.
m- đơn hình xác định bởi hệ điểm trên là các điểm X sao cho:
∀O :

uuur m uuur
OX = ∑ OAi .α i
i =0

m

với

∑α
i =0

i

= 1 α i ≥ 0, ∀i

Khi đó dễ nhận thấy tam giác là 2- đơn hình, tứ diện là 3- đơn hình.
Ví dụ 4: Khi học và làm toán với khái niệm “mặt phẳng” trong không gian
cần hiểu rằng khái niệm này tương tự với khái niệm “đường thẳng” trong mặt
phẳng vì đường thẳng và mặt phẳng là những trường hợp riêng của m- phẳng.

Thật vậy, trong không gian Afin, họ m+1 điểm {A0,A1,...,Am } độc lập.
m- phẳng xác định bởi hệ điểm trên là các điểm X sao cho

uuuur m uuuur
A0 X = ∑ A0 Ai .α i
i=0

Khi đó ta nhận thấy rằng đường thẳng chính là 1- phẳng; còn mặt phẳng
chính là 2- phẳng.
Ví dụ 5: Khái niệm “trọng tâm tam giác”, “trọng tâm tứ diện” và “trung
điểm đoạn thẳng” là những khái niệm tương tự nhau bởi vì bản chất đều là tâm
tỉ cự của một hệ điểm. Cụ thể như sau: Hệ m điểm {A1,...,Am }, điểm O gọi là
uuur
r
OA
.
α
=
0
∑ i i
m

tâm tỉ cự của hệ điểm trên nếu tồn tại bộ số α i , ∀i = 1, m sao cho

i =0

.

Vậy trung điểm đoạn thẳng là tâm tỉ cự của hệ hai điểm, trọng tâm tam giác là
tâm tỉ cự của hệ 3 điểm, trọng tâm tứ diện là tâm tỉ cự của hệ 4 điểm.

* Tương tự theo thuộc tính: Dấu hiệu được rút ra trong kết luận biểu
thị thuộc tính
- A và B có cùng tính chất P1 , P2 , …, Pn
- A có tính chất Pn+1
B có tính chất Pn+1 ?
Hình 2: Tương tự theo thuộc tính


Ví dụ 6: Trong tam giác ba đường trung tuyến đồng quy thì trong tứ
diện, một tính chất tương tự cũng được rút ra, bốn đường trọng tuyến trong
tứ diện cũng đồng quy, đó chính là trọng tâm của tứ diện.
Có rất nhiều tương tự theo thuộc tính trong hình học phẳng với hình
học không gian. Ví dụ như: tam giác vuông trong hình học phẳng tương tự
với tứ diện vuông trong hình học không gian, hình chữ nhật tương tự với
hình hộp chữ nhật, hình vuông tương tự với hình lập phương, đường tròn
tương tự với mặt cầu, đường cao của tam giác tương tự với đường cao của
tứ diện, diện tích của tam giác tương tự với thể tích của tứ diện, véc tơ
trong mặt phẳng tương tự với véc tơ trong không gian,..v..v..
Nhờ có sự tương tự theo thuộc tính mà ta có thể khám phá ra rất
nhiều kiến thức mới từ hình học phẳng sang hình học không gian và
ngược lại. Ví dụ như, ta xét định lý Pitago quen thuộc trong hình học
phẳng như sau: “Trong tam giác vuông bình phương độ dài cạnh
huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông”. Thuộc
tính ở đây đang nhắc đến liên quan đến cạnh của tam giác vuông, đây
là một hệ thức về cạnh. Vì vậy, khi học về tứ diện vuông thì ta sẽ nghĩ
đến một định lý tương tự với định lý Pitago. Bằng cách tương tự: các
cạnh của tam giác vuông đóng vai trò tương tự như các mặt trong tứ
diện vuông, như vậy độ dài cạnh sẽ đóng vai trò tương tự với diện tích
của mặt. Vậy cái gì đóng vai trò tương tự với cạnh huyền? Cạnh huyền
là cạnh đối diện với đỉnh tam giác có góc vuông, vậy thì mặt đối diện

với góc tam diện vuông là mặt đóng vai trò tương tự với cạnh huyền.
Do đó ta có một định lý tương tự trong không gian như sau: “Trong tứ
diện có một tam diện có ba góc vuông, bình phương diện tích mặt đối
diện với tam diện đó bằng tổng các bình phương diện tích của ba mặt
bên”. Tất nhiên điều đó ta chỉ rút ra từ dấu hiệu tương tự, để khẳng
định điều đó có đúng không rõ ràng ta phải kiểm chứng bằng những
chứng minh, chặt chẽ, lôgic.


1.1.4 Tính chất của phép tương tự
a) Kết luận chứa thông tin mới so với các tiền đề:
Khác với suy luận diễn dịch, kết luận của suy luận tương tự có thể
chứa thông tin vốn không có sẵn các tiền đề của nó. Trong cấu trúc trên đây
chúng ta thấy rõ rằng các tiền đề không chứa thông tin về tính chất b của
đối tượng B, thế nhưng kết luận lại chứa thông tin đó.
b) Kết luận không đảm bảo chắc chắn đúng khi các tiền đề đều đúng.
Vì kết luận của suy luận tương tự chứa thông tin mới hơn so với các
tiền đề nên nó không đảm bảo chắc chắn đúng ngay cả khi các tiền đề đều
đúng, cho dù suy luận được thực hiện theo đúng cấu trúc.
c) Tính thuyết phục cao
Mặc dù kết luận của nó không phải lúc nào cũng đúng, nhưng suy luận
tương tự có tính thuyết phục rất cao. Khi sử dụng diễn dịch để rút ra một
kết luận nào đó thì nói chung chúng ta vẫn nằm trong khuôn khổ lý luận,
vốn có tính trừu tượng cao, và vì thế khó nắm bắt, khó hiểu với nhiều
người, hệ quả là tính thuyết phục bị hạn chế. Trong khi đó, suy luận tương
tự dựa vào sự giống nhau giữa đối tượng đang được khảo sát với đối tượng
khác, thường là đối tượng đã được biết rõ, biết rất cụ thể, nên rất dễ hiểu,
dễ nắm bắt đối với nhiều người, và vì thế dễ thuyết phục họ. Tính thuyết
phục cao cũng chính là một trong những lý do làm nên sự phổ biến của suy
luận tương tự.

d) Tính gợi ý cao:
Suy luận tương tự có tính chất rất đáng quý đó là tính gợi ý, gợi mở
rất cao. Sự giống nhau giữa các đối tượng gợi cho người ta liên tưởng và đi
đến những khám phá mới.
1.1.5 Một số biện pháp nâng cao suy luận tương tự
a) Tăng thêm số lượng các tính chất giống nhau dùng làm cơ sở của
kết luận. Trong cấu trúc của suy luận tương tự ở trên, số n càng lớn thì suy
luận càng đáng tin cậy.


b) Đảm bảo mối liên hệ giữa những sự giống nhau dùng làm cơ sở của
suy luận với tính chất được nói đến trong kết luận.
1.1.6 Vai trò của suy luận tương tự trong khám phá khoa học
Trong suốt lịch sử, phép tương tự đã đóng một vai trò quan trọng trong
việc khám phá khoa học. Tương tự cũng đóng một vai trò quan trọng trong
việc giải thích những khám phá. Bên cạnh đó, phép tương tự còn đóng vai
trò quan trọng trong việc giải quyết vấn đề. Ta không nên coi thường mọi
hình thức tương tự nào, mỗi một sự tương tự đều có thể đóng một vai trò
nhất định trong việc tìm ra lời giải bài toán [15].
Mặc dù không đảm bảo kết luận đúng ngay cả khi các tiền đề đều đúng
và suy luận tuân thủ theo đúng quy tắc lôgic, nhưng suy luận tương tự vẫn
có một vai trò rất to lớn trong đời sống hàng ngày và trong khoa học. Loại
suy luận này có rất nhiều ứng dụng.
Đối với khoa học, ứng dụng lớn nhất của suy luận tương tự là phương
pháp mô hình hóa. Trong phương pháp này người ta không nghiên cứu trực
tiếp đối tượng mà nghiên cứu mô hình của nó. Mô hình của đối tượng có thể
thuộc hai loại khác nhau là mô hình vật lí (thực thể) và mô hình tư tưởng (lý
thuyết), mô hình vật lý của đối tượng là một vật thể vật lý giống với đối tượng
về phương diện mà nhà nghiên cứu quan tâm. Mô hình lý thuyết của đối tượng
thông thường là những cấu trúc lý thuyết mô tả đối tượng. Vì mô hình giống

với đối tượng mà nhà nghiên cứu quan tâm, nên việc nghiên cứu trên mô hình
giúp rút ra kết luận - dựa trên suy luận tương tự - cho đối tượng trên thực tế
[13].

Suy luận tương tự có ứng dụng rộng rãi trong đời sống cũng như trong
khoa học. Suy luận tương tự là bước đầu hình thành các giả thuyết khoa
học. Nhưng cũng giống như giả thuyết, kết luận của suy luận tương tự
không có tính tất yếu, nó có thể đúng, có thể sai. Chính vì vậy, suy luận
tương tự không chứng minh được điều gì cả, nó chỉ giúp ta mở rộng sự


hiểu biết, để xây dựng các giả thuyết, các kết luận của nó phải nhờ đến thực
tiễn mới khẳng định được đúng hay sai.
1.1.7. Vai trò hoạt động tương tự trong dạy học nói chung và trong
dạy học hình học không gian.
GV thường hay sử dụng phép tương tự để giải thích khái niệm cho học
sinh. Các tương tự được xem như là mô hình ban đầu, hoặc thể hiện các đặc
điểm đơn giản của các khái niệm khoa học. Bất cứ khi nào họ bắt đầu một
lời giải thích với “nó giống như….”, “nó tương tự như…”, hay “hãy nghĩ về
nó theo cách này …..”, khi đó họ đang sử dụng một tương tự để giải thích
một khái niệm cho học sinh của mình. Phép tương tự có thể đóng một vai trò
quan trọng trong việc giúp học sinh xây dựng kiến thức riêng của họ, một
quá trình phù hợp với quan điểm kiến tạo. Tương tự có thể giúp học sinh xây
dựng cầu nối giữa các khái niệm, những gì quen thuộc với những gì mới. Từ
đó giúp học sinh hình dung những khái niệm mới, phức tạp, khó hiểu. Tuy
nhiên, phép tương tự cũng có mặt hạn chế: nó thúc đẩy sự hiểu biết, nhưng
nó cũng có thể dẫn đến quan niệm sai lầm.
Trong dạy học toán ở trường phổ thông, theo [12], phép tương tự có
các ứng dụng: xây dựng ý nghĩa cho tri thức, xây dựng giả thuyết, dự đoán
và ngăn ngừa sai lầm của học sinh, đồng thời một ứng dụng nữa của phép

tương tự là dùng để giải bài tập toán cho học sinh.
a) Dùng tương tự để xây dựng ý nghĩa của tri thức:

Trong quá trình dạy học để giúp cho học sinh hiểu được những khái
niệm khoa học, giáo viên thường sử dụng phép tương tự. Chẳng hạn: con
mắt giống máy quay phim, một vô cùng lớn trừ đi một số hữu hạn là một số
vô cùng lớn giống như ta lấy một số hữu hạn thùng nước biển thì cũng
không làm thay đổi mực nước biển, một dãy số có giới hạn là a thì các số
hạng có khuynh hướng tập trung quanh a giống như trên đoạn đường quy
định xe ô tô chỉ chạy với tốc độ là 50 km/h thì vận tốc của tất cả các xe ô tô
đến đoạn đường này hầu hết gần 50km/h, mặt phẳng giống như mặt hồ


nước yên lặng nó không có bề dày, không có giới hạn, đường thẳng giống
như một sợi chỉ kéo căng ..v..v..
b) Dùng tương tự để xây dựng giả thuyết và phát hiện kiến thức mới.

Trong dạy học toán, chúng ta có thể sử dụng tương tự theo thuộc tính
hay tương tự theo quan hệ giữa các đối tượng để đưa ra giả thuyết, sau đó
tiến hành chứng minh hay bác bỏ. Ta có thể dùng phép tương tự để hình
thành, phát hiện các khái niệm mới, các định lý mới trong hình học không
gian thông qua công cụ chính là các khái niệm, các tính chất mà học sinh
đã được học trong hình học phẳng.
Ví dụ: Để hình thành khái niệm về Mặt phẳng trung trực của đoạn
thẳng, học sinh nghĩ ngay đến khái niệm tương tự với nó là đường trung
trực của đoạn thẳng. Ta xem mặt phẳng đóng vai trò tương tự như đường
thẳng thì khi đó ta có khái niệm mới trong không gian, khái niệm mặt
phẳng trung trực. Từ đó, học sinh sẽ nắm khái niệm mặt phẳng trung trực
của đoạn thẳng một cách chủ động. Sau đó, có học sinh tự đặt cho mình
câu hỏi (hoặc dưới sự dẫn dắt của giáo viên): liệu các tính chất của mặt

phẳng trung trực có đúng với tính chất của đường trung trực hay không?
Cụ thể: Liệu mặt phẳng trung trực có các tính chất:


Những điểm thuộc mặt phẳng trung trực cách đều hai đầu mút

của đoạn thẳng.


Mỗi đoạn thẳng có duy nhất một mặt phẳng trung trực

Học sinh tiến hành kiểm chứng, chứng minh những tính chất trên để rút ra
kết luận và thu nhận những kiến thức mới.
c) Dùng tương tự trong giải bài tập toán, phát hiện cách giải quyết
vấn đề.
Theo nhà toán học G.Polya, để giải một bài toán nào đó đầu tiên ta
nghĩ ra một bài toán tương tự dễ hơn và giải bài toán đó. Sau đó, để giải bài
toán ban đầu khó hơn ta lại dùng bài toán tương tự dễ hơn để làm mô hình;
khi giải bài toán khó hơn ta đã theo mẫu giải bài toán dễ hơn. Nhưng trước


khi làm điều đó, ta phải nghiên cứu lại cách giải bài toán dễ hơn. Ta đã xây
dựng lại, tu chỉnh cách giải đó theo một mẫu mới, dễ bắt chước
Chú ý đến một bài toán tương tự dễ hơn, giải bài toán đó và tu chỉnh
cách giải sao cho nó có thể trở thành mô hình, để cuối cùng giải được bài
toán đầu tiên, bằng cách lần theo mô hình vừa tạo ra, đó là một phương
pháp mà người chưa quen tưởng chừng như loanh quanh, nhưng thường
được áp dụng trong việc nghiên cứu khoa học, toán học, cũng như các khoa
học khác [15, tr55]
Trong giải bài toán hình học không gian ta khai thác hai vai trò chính

của phép tương tự:
1.1.7.1.Dự đoán phương pháp giải bài toán từ lời giải một bài toán đã biết
Ví dụ 7: Ta đã sử dụng định lý Pitago khi tính độ dài đường chéo của
hình chữ nhật. Vậy để tính độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật khi biết ba
kích thước ta cũng thử nghĩ cách dùng định lý Pitago xem sao? Và cách
làm này rõ ràng cho ta kết quả khả quan.
Ví dụ 8: “Chứng minh rằng trong một tứ diện trực tâm ABCD thì trực
tâm H, trọng tâm G và tâm mặt cầu ngoại tiếp O thẳng hàng”.
Đây là một bài toán tương đối khó. Để giải bài toán này trước hết ta
nghĩ đến bài toán tương tự và giải nó. Vậy bài toán tương tự ở đây là gì?
Với cách nhìn tứ diện ABCD đóng vai trò tương tự như tam giác trong
phẳng. Vậy cái gì đóng vai trò tương tự như trọng tâm G, trực tâm H và
tâm O. Dĩ nhiên ta liên tưởng đến trọng tâm G, trực tâm H và tâm O đường
tròn ngoại tiếp tam giác. Vậy ta liên tưởng đến bài toán đóng vai trò tương
tự như bài toán trên trong phẳng là: “Cho tam giác ABC, ta có trực tâm H,
trọng tâm G, tâm đường tròn ngoại tiếp O thẳng hàng".
Chứng minh bài toán này xem ra khả quan hơn bài toán không gian ở
trên. Ta có thể có nhiều cách giải, có thể dùng phương pháp tọa độ, hoặc có
thể chứng minh theo phương pháp tổng hợp, hoặc có thể dùng phép vị tự.
Ở đây, tôi xin nêu ra cách chứng minh bằng phương pháp dùng phép vị tự.