sử dụng phép tương tự vào dạy học nghiên cứu áp dụng vào dạy học phương pháp tọa độ trong không gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
––––––––––



BÙI PHƢƠNG UYÊN




SỬ DỤNG PHÉP TƢƠNG TỰ VÀO DẠY HỌC:
NGHIÊN CỨU ÁP DỤNG VÀO DẠY HỌC
PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN


Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN


LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC




Cần Thơ, 2012
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
––––––––––

BÙI PHƢƠNG UYÊN



SỬ DỤNG PHÉP TƢƠNG TỰ VÀO DẠY HỌC:
NGHIÊN CỨU ÁP DỤNG VÀO DẠY HỌC
PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN


Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN
Mã số: 60.14.10


LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC


Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
PGS. TS. NGUYỄN PHÚ LỘC


Cần Thơ, 2012

- 3 -

Lời cam đoan

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả nêu trong
luận văn là trung thực và chƣa từng đƣợc ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Các số
liệu trích dẫn trong quá trình nghiên cứu điều đƣợc ghi rõ nguồn gốc.

Tác giả luận văn


BÙI PHƢƠNG UYÊN


- 4 -

Lời cảm ơn

Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Nguyễn Phú
Lộc, ngƣời luôn động viên, hƣớng dẫn và chỉ dạy cho tôi trong suốt quá trình
thực hiện luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo Trƣờng Đại học Cần
Thơ, Trƣờng Đại học Tây Đô, Trƣờng Đại Học Vinh đã truyền thụ cho tôi những
kiến thức quý báu về phƣơng pháp dạy học môn Toán.
Tôi xin chân thành cám ơn thầy Trần Quốc Khởi, giáo viên trƣờng THPT
Châu Văn Liêm đã tận tình giúp đỡ tôi tiến thành thực nghiệm sƣ phạm tại
trƣờng phổ thông.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trƣờng THPT Châu Văn Liêm đã
trao đổi những kinh nghiệm dạy học quý báu, và giúp đỡ tôi hoàn thành nghiên
cứu.
Tôi xin cám ơn các anh chị và các bạn học viên lớp Lý luận và phƣơng
pháp dạy học bộ môn toán K17 đã ủng hộ và giúp đỡ tôi trong quá trình thực
hiện luận văn.

Tác giả luận văn
BÙI PHƢƠNG UYÊN

- 5 -
Mục lục

Trang
Lời cam đoan 3
Lời cảm ơn 4
Mục lục 5
Danh mục các ký hiệu, chữ viết tắt 8i
Danh mục bảng viii
Danh mục hình 10
MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn đề tài 1
2. Mục đích nghiên cứu 5
3. Nhiệm vụ nghiên cứu 5
4. Giả thuyết nghiên cứu 5
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 5
6. Phương pháp nghiên cứu 6
7. Cấu trúc chính của luận văn 6
Chƣơng 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 7
1.1 Phép tương tự: vị trí, vai trò trong dạy học Toán 7
1.1.1 Phép tương tự là gì? 8
1.1.2 Các loại tương tự 12
1.1.3 Những điều kiện đảm bảo độ tin cậy của suy luận tương tự 14
1.1.4 Vai trò của phép tương tự trong dạy học 14
1.2 Đặc điểm nội dung phương pháp tọa độ trong không gian 19
1.2.1 Lịch sử và ý nghĩa của sự ra đời hình học giải tích 19
1.2.2 Cơ sở khoa học luận của phép tương tự giữa phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và phương
pháp tọa độ trong trong không gian 20
1.2.3 Mối liên hệ giữa nội dung chương trình sách giáo khoa về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ở
lớp 10 và phương pháp tọa độ trong không gian ở lớp 12 25

1.3 Các mô hình dạy học sử dụng phép tương tự 29
1.3.1 Mô hình The General Model of Analogy Teaching (GMAT) 29
1.3.2 Mô hình Teaching-With-Analogies (T-W-A) 32
1.3.3 Mô hình Focus-Action-Reflection (FAR) 33

- 6 -
1.4 Thực trạng về việc dạy học PPTĐ trong không gian ở trường trung học phổ thông Châu Văn Liêm, thành
phố Cần Thơ 36
1.5 Kết luận chương 1 39
Chƣơng 2 SỬ DỤNG PHÉP TƢƠNG TỰ TRONG DẠY HỌC PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG
GIAN 40
2.1 Định hướng xây dựng các ứng dụng của phép tương tự trong dạy học chuyển từ phương pháp tọa độ trong
mặt phẳng sang phương pháp tọa độ trong không gian 40
2.1.1 Mục đích yêu cầu khi dạy học phương pháp tọa độ trong không gian 40
2.1.2 Yêu cầu khi sử dụng phép tương tự trong dạy học 42
2.2 Nguyên tắc xây dựng các ứng dụng của phép tương tự trong dạy học chuyển từ PPTĐ trong mặt sang
phẳng PPTĐ trong không gian 44
2.3 Các ứng dụng của phép tương tự trong dạy học chuyển từ phương pháp tọa độ trong mặt phẳng sang
phương pháp tọa độ trong không gian 46
2.3.1 Sử dụng phép tương tự vào dạy học khái niệm và ngăn ngừa sai lầm của học sinh 46
2.3.2 Sử dụng phép tương tự vào dạy học giải bài tập toán 57
2.3.3 Sử dụng tương tự để đề xuất bài toán mới 72
2.4 Kết luận chương 2 78

- 7 -
Chƣơng 3 THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 79
3.1 Thực nghiệm giảng dạy 79
3.1.1 Mục đích thực nghiệm giảng dạy 79
3.1.2 Nội dung thực nghiệm giảng dạy 79
3.1.3 Phân tích tiết dạy sau khi thực nghiệm 80

3.2 Kiểm tra kết quả học tập của học sinh sau khi thực nghiệm 84
3.2.1 Mục đích của đề kiểm tra 84
3.2.2 Nội dung kiểm tra 84
3.2.3 Phân tích kết quả bài kiểm tra 86
3.3 Phỏng vấn học sinh 90
3.3.1 Mục đích phỏng vấn học sinh 90
3.3.2 Nội dung phỏng vấn 91
3.3.3 Kết quả phỏng vấn học sinh 91
3.3.4 Phân tích chung về kết quả phỏng vấn 102
3.4 Kết luận chung về thực nghiệm sư phạm 105
PHẦN KẾT LUẬN 106
TÀI LIỆU THAM KHẢO 107


- 8 -

Danh mục các ký hiệu, chữ viết tắt

Ký hiệu
Diễn giải
GV
Giáo viên
HS
Học sinh
HH
Hình học
THCS
Trung học cơ sở
THPT
Trung học phổ thông

PPTĐ
Phƣơng pháp tọa độ
ĐT
Đƣờng thẳng
MP
Mặt phẳng
PT
Phƣơng trình
PT ĐT
Phƣơng trình đƣờng thẳng
PT MC
Phƣơng trình mặt cầu
PT MP
Phƣơng trình mặt phẳng
PTTQ
Phƣơng trình tổng quát
PTTS
Phƣơng trình tham số
VTCP
Vectơ chỉ phƣơng
VTPT
Vectơ pháp tuyến


- 9 -

Danh mục bảng


Bảng 1.1 Tƣơng tự trong dạy học công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đƣờng thẳng và

mặt phẳng 16
Bảng 1.2 Nội dung chƣơng trình SGK chƣơng PPTĐ trong mặt phẳng và trong không
gian 26
Bảng 1.3 Mô hình FAR 33
Bảng 1.4 Dạy học khái niệm phƣơng trình mặt cầu theo mô hình FAR 35
Bảng 1.5 Thống kê thâm niên của giáo viên 36
Bảng 2.1 Tƣơng tự giữa hệ trục Oxy và Oxyz 49
Bảng 2.2 Tƣơng tự giữa đƣờng tròn và mặt cầu 51
Bảng 2.3 Tƣơng tự giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng 53
Bảng 2.4 Tƣơng tự trong công thức tính khoảng cách 54
Bảng 2.5 Tƣơng tự giữa phƣơng trình đƣờng thẳng trong mặt phẳng và không gian 56
Bảng 2.6 Phân dạng các bài tập về hệ trục tọa độ 58
Bảng 2.7 Phân dạng các bài tập về viết phƣơng trình mặt cầu 61
Bảng 2.8 Phân dạng các bài tập tìm tọa độ tâm và bán kính mặt cầu 63
Bảng 2.9 Phân dạng các bài tập viết phƣơng trình mặt phẳng 64
Bảng 2.10 Phân dạng các bài tập viết phƣơng trình đƣờng thẳng 69
Bảng 2.11 Phân dạng các bài tập xét vị trí tƣơng đối giữa hai đƣờng thẳng và hai mặt
phẳng 71
Bảng 2.12 Phân dạng các bài tập quỹ tích các điểm cách đều 73
Bảng 2.13 Phân dạng các bài tập tìm hình chiếu và điểm đối xứng 74
Bảng 3.1 Đáp áp đề kiểm tra 84
Bảng 3.2 Thống kê kết quả kiểm tra của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng theo điểm . 88
Bảng 3.3 Thống kê kết quả kiểm tra lớp thực nghiệm và lớp đối chứng theo xếp loại 89
Bảng 3.4 Kiểm định giả thuyết H
0
theo phƣơng pháp t 89
Bảng 3.5 Kiểm định giả thuyết H
0
theo phƣơng pháp Z 90

- 10 -

Danh mục hình

Hình 1.1 Sơ đồ cấu trúc của phép suy luận tƣơng tự 10
Hình 1.2 Mô hình học tập bằng tƣơng tự của Holyoak (2005) 11
Hình 1.3 Tƣơng tự theo thuộc tính 12
Hình 1.4 Tƣơng tự theo quan hệ 12
Hình 1.5 Tƣơng tự giữa hình thang và khối chóp cụt 20
Hình 2.1 Các thành phần cơ bản của quá trình tƣơng tự 42
Hình 2.2 Sử dụng so sánh khi dùng tƣơng tự 42
Hình 3.1 Biểu đồ tần số điểm kiểm tra lớp thực nghiệm và lớp đối chứng 88




MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
1.1 Phép tƣơng tự là một phép suy luận quan trọng trong dạy học toán ở nhà trƣờng
phổ thông
Một trong những nhiệm vụ quan trọng của dạy học toán là rèn luyện cho học sinh
(HS) các hoạt động trí tuệ: khái quát hoá, đặc biệt hoá, tƣơng tự, so sánh, phân tích, tổng
hợp Các hoạt động này giúp cho HS nắm vững, đào sâu kiến thức, phát huy tính độc
lập, sáng tạo của bản thân các em không những trong học tập môn toán mà còn các môn
học khác. Chúng còn là cơ sở ban đầu để hình thành những phẩm chất trí tuệ cho HS.
Trong các hoạt động trí tuệ nêu trên, phép suy luận tƣơng tự là rất phổ biến.
Khi gặp một vấn đề mới, ngƣời ta có xu hƣớng so sánh, đối chiếu nó với các vấn đề
tƣơng tự trƣớc đó. Phép tƣơng tự có mối quan hệ khăng khít với các thao tác tƣ duy
khác. So sánh là thành tố tiên phong của phép tƣơng tự. Phép tƣơng tự có thể coi là yếu

tố tiền đề của bƣớc khái quát hoá vì để khái quát hoá ngƣời ta phải chuyển từ một tập

- 11 -
hợp đối tƣợng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một
số trong các đặc điểm chung của các phần tử của tập hợp xuất phát.
Tƣơng tự cổ điển đã đƣợc sử dụng bởi Aristotle gần 2000 năm trƣớc. Từ lâu,
phép tƣơng tự đã đƣợc nghiên cứu và đóng một vai trò trọng yếu trong học tập toán
học. Năm 1954, Polya đã nghiên cứu việc sử dụng tƣơng tự trong toán học và cho rằng
tƣơng tự có thể cung cấp một nguồn của các vấn đề mới và có thể nâng cao hiệu suất, ý
tƣởng giải quyết vấn đề [35]. Gần đây, các nghiên cứu chú ý nhiều hơn đến vai trò của
phép tƣơng tự trong học tập khoa học và đặc biệt là việc học tập các khái niệm toán
học cơ bản của HS. Năm 1989, Glynn đã đề cập mô hình dạy học với phép tƣơng tự T-
W-A trong tác phẩm Teaching Science With Analogy: A Strategy for Teachers and
Textbook Authors [22]. Năm 2007, Harrison and Coll đƣa ra một hƣớng dẫn dạy học
với phép tƣơng tự: mô hình FAR [25]. Ở Việt Nam, cũng có nhiều nghiên cứu về phép
tƣơng tự và ứng dụng của nó trong dạy học đƣợc giới thiệu bởi các tác giả nhƣ PGS.
Hoàng Chúng [6], GS. Nguyễn Bá Kim [10], GS. Đào Tam [17], PGS. Nguyễn Phú
Lộc [12],… Các công trình này đã khẳng định đƣợc vai trò quan trọng của phép tƣơng
tự trong dạy học toán học.
Bên cạnh đó, trong dạy học Toán, nếu ngƣời giáo viên chỉ quan tâm truyền thụ
kiến thức cho HS thì còn nhiều khiếm khuyết. Họ phải cân nhắc đến việc rèn luyện các
phẩm chất trí tuệ cho HS. Điều này đƣợc ghi nhận trong Luật giáo dục năm 2005 tại
mục 2 điều 5 chƣơng I nhƣ sau: "Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự
giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học, bồi dưỡng cho người học năng lực tự
học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên". Thêm vào đó, GV sử
dụng phép tƣơng tự trong dạy học toán sẽ góp phần thực hiện mục tiêu trên đối với HS.
1.2 Dạy học phƣơng pháp tọa độ trong hình học không gian liên hệ với phƣơng
pháp tọa độ trong hình học phẳng

- 12 -

Trong các sách giáo khoa (SGK) hiện nay chỉ trình bày chủ yếu một hệ tọa độ
là hệ tọa độ Descartes vuông góc, đặc biệt là hệ tọa độ Descartes trực chuẩn, trong cả
mặt phẳng lẫn không gian vì nó là hệ tọa độ thông dụng nhất và cho phép giải quyết cả
những bài toán aphin lẫn những bài toán mêtric. Các loại hệ tọa độ nhƣ tọa độ aphin,
tọa độ cực, thuộc dạng nâng cao so với HS phổ thông. Các kiến thức về tọa độ của
một vectơ, tọa độ của một điểm đối với hệ trục tọa độ, các biểu thức tọa độ đối với các
phép toán vectơ, công thức khoảng cách giữa hai điểm, góc giữa hai đƣờng thẳng, là
những kiến thức quan trọng để có thể sử dụng phƣơng pháp tọa độ (PPTĐ). PPTĐ là
“một phương pháp tư duy mới, tư duy hình học bằng những con số, tìm hiểu các hình
hình học qua phương trình của chúng. Việc đưa kiến thức vectơ và PPTĐ vào chương
trình hình học đã giúp HS tiếp cận với một phương pháp tư duy hiện đại có thêm
những phương tiện mới để suy luận một cách có cơ sở khoa học mà hoàn toàn không
dựa vào trực giác” [5,tr. 120].
Sách giáo khoa Toán 10 (nâng cao) đề cập đến một số nội dung quan trọng.
Đƣờng thẳng đƣợc nhắc đến qua phƣơng trình tham số (PTTS), phƣơng trình chính tắc,
phƣơng trình tổng quát (PTTQ), phƣơng trình theo đoạn chắn, góc giữa hai đƣờng
thẳng, khoảng cách từ một điểm đến đƣờng thẳng, Đƣờng tròn cũng đƣợc các tác giả
trình bày một cách khá đầy đủ. SGK đƣa ra các dạng của đƣờng tròn, vị trí tƣơng đối
của điểm đối với đƣờng tròn, vị trí tƣơng đối của đƣờng thẳng và đƣờng tròn, tiếp
tuyến tại một điểm, tiếp tuyến đi qua một điểm,
Các đƣờng elip, hyperbol, parabol đƣợc nêu ra theo một trình tự và với yêu cầu
thống nhất: trƣớc hết trình bày định nghĩa hình học (HH) của chúng, sau đó lập phƣơng
trình chính tắc của chúng bằng cách chọn một hệ tọa độ đặc biệt thích hợp, từ phƣơng
trình chính tắc suy ra, một số tính chất về hình dạng của đƣờng cong tƣơng ứng.
Trong không gian, nội dung của PPTĐ đƣợc bổ sung thêm tích có hƣớng của
hai vectơ, tích hỗn tạp của 3 vectơ, biểu thức tọa độ của chúng, điều kiện để 3 vectơ
đồng phẳng và các công thức của chúng.

- 13 -
Vấn đề đặt ra là GV cần làm cho HS thấy rằng những chủ đề nghiên cứu về

mặt phẳng trong không gian bằng PPTĐ: PTTQ, vectơ pháp tuyến (VTPT), cặp vectơ
chỉ phƣơng (VTCP), vị trí tƣơng đối của hai mặt phẳng, khoảng cách từ một điểm đến
mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng, là những vấn đề tương tự nhƣ đã xét đối với đƣờng
thẳng (ĐT) trong mặt phẳng. Một cách tƣơng tự, mặt cầu trong chƣơng trình toán lớp
12 có thể đƣợc dạy học trong sự so sánh đối chiếu với đƣờng tròn trong HH lớp 10.
Tóm lại, việc dạy học HH không gian ở lớp 12 cần liên hệ chặt chẽ với những
kiến thức HH phẳng lớp 10. Đó chính là tƣ tƣởng của phép tƣơng tự khi dạy HH không
gian lớp 12 thông qua HH phẳng lớp 10.
Trong môn toán, phân môn HH giải tích trong không gian lớp 12 có nhiều
thuận lợi để phát triển trí tuệ cho HS vì nó bao hàm nhiều hoạt động. Vận dụng tƣơng
tự hoá cùng với các hoạt động trí tuệ khác sẽ giúp các em không những dễ dàng tiếp
thu, lĩnh hội kiến thức mà còn nâng cao khả năng tự học, phát huy tính độc lập sáng
tạo cho các em.
Trên thực tế, đã có một số luận văn và luận án nghiên cứu về phép tƣơng tự
trong dạy học hình học nhƣ: luận án tiến sĩ: “Phương pháp tương tự trong dạy học các
bài toán hình học không gian” của TS. Bùi Duy Hƣng, trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà
Nội, bảo vệ năm 1991; luận văn thạc sĩ: “Vận dụng phép suy luận tương tự trong dạy
học bài tập hình học không gian lớp 11 theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho HS ”
của Khoa Thị Loan (ngƣời hƣớng dẫn PGS. TS. Vũ Quốc Chung); luận văn thạc sĩ:
“Khai thác và vận dụng tương tự hóa trong dạy học hình học không gian lớp 11 trung
học phổ thông” (ngƣời hƣớng dẫn PGS. TS. Bùi Văn Nghị ). Tuy nhiên, chúng tôi
nhận thấy rằng chƣa có đề tài nào nghiên cứu ứng dụng của phép tƣơng tự vào dạy học
PPTĐ.
Những phân tích trên đặt ra cho chúng tôi nhiều câu hỏi mà việc giải đáp
chúng sẽ gợi ra những cái mới và đóng góp của luận văn.

- 14 -
- Phép tƣơng tự đƣợc định nghĩa đƣợc nhƣ thế nào? Phép tƣơng tự có vị trí, vai
trò gì trong dạy học toán?
- PPTĐ trong HH phẳng lớp 10 gồm những nội dung gì? PPTĐ trong HH không

gian lớp 12 gồm những nội dung gì? Mối tƣơng quan giữa chúng ra sao?
- GV có thƣờng xuyên sử dụng phép tƣơng tự trong dạy học toán không? Tần
suất sử dụng của họ trong dạy học chuyển từ PPTĐ trong mặt phẳng sang PPTĐ trong
không gian ra sao?
- Có những biện pháp sƣ phạm nào để giúp GV sử dụng phép tƣơng tự trong dạy
học chuyển từ PPTĐ trong mặt phẳng sang PPTĐ trong không gian? Hiệu quả của
chúng ra sao?
Vì những lý do trên đây, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn:
“Sử dụng phép tương tự vào dạy học: nghiên cứu áp dụng vào dạy học phương
pháp tọa độ trong không gian”.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu phép tƣơng tự, vai trò, vị trí của nó và các biện pháp sƣ phạm để sử
dụng phép tƣơng tự trong dạy học PPTĐ trong không gian.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau:
- Phép tƣơng tự đƣợc định nghĩa đƣợc nhƣ thế nào? Phép tƣơng tự có vị trí,
vai trò gì trong dạy học toán?
- PPTĐ trong HH phẳng lớp 10 gồm những nội dung gì? PPTĐ trong HH
không gian lớp 12 gồm những nội dung gì? Mối tƣơng quan giữa chúng ra sao?
- GV có thƣờng xuyên sử dụng phép tƣơng tự trong dạy học toán không? Tần
suất sử dụng của họ trong dạy học chuyển từ PPTĐ trong mặt phẳng sang PPTĐ trong
không gian ra sao?

- 15 -
- Có những biện pháp sƣ phạm nào để giúp giáo viên sử dụng phép tƣơng tự
trong dạy học chuyển từ PPTĐ trong mặt phẳng sang PPTĐ trong không gian? Hiệu
quả của chúng ra sao?
4. Giả thuyết nghiên cứu
Nếu GV biết sử dụng phép tƣơng tự trong dạy học chuyển từ PPTĐ trong mặt
phẳng sang PPTĐ trong không gian thì sẽ mang lại hiệu quả đích thực cho hoạt động

dạy học PPTĐ trong không gian lớp 12.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
5.1 Nghiên cứu lý luận
Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận: phân tích, tổng hợp, hệ thống hóa kiến thức
về phép tƣơng tự và các phép suy luận khác từ các giáo trình lý luận dạy học, sách giáo
khoa, sách giáo viên, các tạp chí khoa học,… đồng thời phân tích nội dung chƣơng
trình sách giáo khoa, từ đó đề ra các ứng dụng của phép tƣơng tự trong dạy học chuyển
từ PPTĐ trong mặt phẳng sang PPTĐ trong không gian.
5.2 Thực nghiệm sƣ phạm
Thực nghiệm trên đối tƣợng GV và HS.
5.3 Các nghiên cứu khác
Phƣơng pháp điều tra bằng bảng câu hỏi, quan sát, phỏng vấn, tổng kết kinh
nghiệm, thống kê toán học.
6. Đóng góp chính của luận văn
Luận văn đã đạt các kết quả sau
 Tổng kết, hệ thống hóa cơ sở lý luận về phép tƣơng tự cùng với vị trí, vai trò
của nó trong dạy học toán.

- 16 -
 Tìm hiểu thực trạng việc sử dụng phép tƣơng tự trong dạy học toán của GV tại
trƣờng THPT Châu Văn Liêm.
 Xây dựng các ứng dụng của phép tƣơng tự trong dạy học chuyển từ PPTĐ
trong mặt phẳng sang PPTĐ trong không gian.
 Kiểm chứng đƣợc tính hiệu quả của các hoạt động dạy học có sử dụng phép
tƣơng tự trong chƣơng PPTĐ trong không gian.
7. Cấu trúc chính của luận văn
Luận văn đƣợc trình bày theo 3 chƣơng:
Chƣơng 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chƣơng 2. Sử dụng phép tƣơng tự trong dạy học phƣơng pháp tọa độ trong
không gian

Chƣơng 3. Thực nghiệm sƣ phạm

- 17 -
Chƣơng 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
Chƣơng này nhằm tổng hợp, hệ thống hóa quan điểm của các nhà giáo dục về
phép tƣơng tự, vị trí và vai trò của nó trong quá trình dạy học; đồng thời phân tích cơ
sở khoa học luận cùng đặc điểm nội dung Phương pháp tọa độ trong chƣơng trình sách
giáo khoa hiện nay để đƣa ra những kiến thức tƣơng tự giữa hai nội dung phƣơng pháp
tọa độ trong mặt phẳng và phƣơng pháp tọa độ trong không gian. Bên cạnh đó, chƣơng
này cũng đề cập một số mô hình dạy học có sử dụng phép tƣơng tự đã đƣợc áp dụng
nhƣ: mô hình giảng dạy tƣơng tự tổng quát, mô hình T-W-A, mô hình FAR. Ngoài ra,
trong chƣơng này, chúng tôi cũng phân tích những thực trạng dạy học có sử dụng phép
tƣơng tự của các giáo viên toán ở trƣờng trung học phổ thông Châu Văn Liêm, thành
phố Cần Thơ.
1.1 Phép tƣơng tự: vị trí, vai trò trong dạy học Toán
Lý luận phép tƣơng tự từ lâu đã đóng một vai trò trọng yếu trong học tập toán học
và giải quyết vấn đề. Có nhiều suy luận của con ngƣời liên quan đến phép tƣơng tự và
đƣợc thực hiện bằng cách sử dụng các lƣợc đồ từ cuộc sống hàng ngày. Do đó, tƣơng
tự là một khía cạnh tự nhiên và phổ biến của nhận thức con ngƣời. Năm 1954, Polya đã
nghiên cứu việc sử dụng tƣơng tự trong toán học và đã chứng minh đƣợc rằng tƣơng tự
có thể cung cấp một nguồn màu mỡ của các vấn đề mới và có thể nâng cao hiệu suất, ý
tƣởng giải quyết vấn đề. Tuy nhiên, các nghiên cứu gần đây chú ý nhiều hơn đến vai
trò của phép tƣơng tự trong học tập, nghiên cứu khoa học và đặc biệt là việc học tập
các khái niệm toán học của trẻ em [35].

- 18 -
1.1.1 Phép tƣơng tự là gì?
Danh từ tƣơng tự có nguồn gốc từ “αναλογια”, một từ toán học của Hy Lạp. Từ
này có nghĩa là sự bằng nhau của hai tỉ số. Ví dụ 3:4::9:12, tức là hệ hai số 3 và 4

tƣơng tự với hệ hai số 9 và 12 [14,tr. 81- 82].
Theo [6,tr. 87- 88], suy luận tƣơng tự là suy luận căn cứ vào một số thuộc tính
giống nhau của hai đối tƣợng, để rút ra kết luận về những thuộc tính giống nhau khác
của hai đối tƣợng đó.
Sơ đồ: - Hai đối tƣợng A và B có các thuộc tính chung (giống nhau) a, b, c, d, e.
- Đối tƣợng A có thuộc tính f.
Có thể: B cũng có thuộc tính f.
Ví dụ 1.1 - Trái đất và sao Hỏa có một số thuộc tính chung: Là hành tinh của mặt trời,
đều có không khí, đều có nƣớc, đều có khí hậu tƣơng đối ôn hòa.
- Trên trái đất có sự sống.
Có thể, trên sao Hỏa cũng có sự sống.
Theo [15,tr. 24 - 26], tƣơng tự là một kiểu giống nhau nào đó. Những đối tƣợng
phù hợp với nhau trong những mối quan hệ đƣợc quy định là những đối tƣợng tƣơng
tự. Hai hệ là tƣơng tự nếu chúng phù hợp với nhau trong các mối quan hệ xác định rõ
ràng giữa những bộ phận tƣơng ứng. Ví dụ tam giác trong mặt phẳng tƣơng ứng tứ diện
trong không gian. Trong mặt phẳng, hai đƣờng thẳng không tạo nên một hình có giới
hạn, còn ba đƣờng thẳng tạo nên một tam giác. Trong không gian, ba mặt phẳng không
tạo nên đƣợc một vật giới hạn, còn bốn mặt phẳng thì có thể tạo nên một tứ diện. Quan
hệ của tam giác với mặt phẳng cũng nhƣ quan hệ của tứ diện với không gian bởi chúng
đều đƣợc giới hạn bởi số tối thiểu những yếu tố cơ bản.
Trong toán học, theo [20,tr. 42 - 43], tƣơng tự là suy luận dựa trên sự giống
nhau về tính chất, mối quan hệ giữa các đối tƣợng toán học. Hai phép chứng minh là
tƣơng tự nếu đƣờng lối, phƣơng pháp chứng minh là giống nhau. Hai vấn đề là tƣơng

- 19 -
tự nếu có cùng tính chất hay vai trò nhƣ nhau, hay giữa các phần tử tƣơng ứng của
chúng có mối quan hệ tƣơng đƣơng.
Theo từ điển Bách khoa toàn thƣ, phép tƣơng tự là phƣơng pháp luận xác định
sự giống nhau trong một số mặt, tính chất và quan hệ giữa những đối tƣợng không
đồng nhất với nhau. Trong các giai đoạn ban đầu của khoa học, phép tƣơng tự thay cho

sự quan sát có hệ thống và thực nghiệm; những kết luận (suy lí) của nó là căn cứ vào
những sự tƣơng tự bên ngoài và thứ yếu. Triết học tự nhiên cổ đại là triết học giải thích
đã xuất hiện nhƣ thế. Về sau, phép tƣơng tự đƣợc sử dụng cùng với những hình thức
nhận thức khác. Trong khoa học hiện đại, phép tƣơng tự đƣợc sử dụng nhiều nhất trong
việc lập mô hình [32].
Phép tƣơng tự, theo từ điển Wester, đƣợc định nghĩa nhƣ là “sự so sánh giữa
những vật nói chung khác nhau nhƣng nổi bật lên là sự giống nhau ở vài khía cạnh
thích hợp”. Vật làm cơ sở cho tƣơng tự, là phần tử để so sánh, đƣợc gọi là nguồn; trong
khi đó, những vật đƣợc giải thích hoặc đƣợc học nhờ sử dụng phép tƣơng tự đƣợc gọi
là đích. Sử dụng phép tƣơng tự là một quá trình liên quan đến sự trao đổi giữa nguồn
và đích [26,tr. 163-165].
Mô hình tương ứng phép tương tự (mapping analogies)
George Lakoff, một học giả trong ngôn ngữ học và khoa học nhận thức, đã
xây dựng và phát triển lý thuyết về phép ẩn dụ. Theo [33], các phép ẩn dụ có nghĩa là
một tương ứng trong hệ thống khái niệm. Các đối tƣợng trong một miền cơ sở đƣợc
tƣơng ứng tới các đối tƣợng trong một miền mục tiêu. Một trong những ý tƣởng chính
của Lakoff là với một tình huống quen thuộc đƣợc sử dụng để hiểu biết đặc điểm, bản
chất của một tình huống không quen thuộc.
Deidre Gentner đã đóng góp nhiều tài liệu về sử dụng phép tƣơng tự trên lĩnh
vực giáo dục. Gentner xem phép tƣơng tự có liên quan đến phép ẩn dụ của Lakoff [31].
Theo định nghĩa của Duit (1991) và Glynn (1995), một “tƣơng tự’” biểu thị “sự tƣơng
đồng giữa hai lĩnh vực có liên quan đến đặc tính cụ thể”. Tƣơng tự, Gentner (1989) mô

- 20 -
tả một tƣơng tự nhƣ một “tƣơng ứng của kiến thức từ một miền (cơ sở) vào một mục
tiêu”. Vì vậy, muốn giải thích một số khái niệm mới (mục tiêu) cần đề cập đến một số
khái niệm đã đƣợc biết đến hoặc đã hiểu (cơ sở). Nhƣ vậy, ta xem xét một mối quan hệ
tƣơng tự giữa cơ sở và mục tiêu [33].
Một định nghĩa tƣơng tự khác của Gentner, theo [34], là: tƣơng tự là một tƣơng
ứng từ một cấu trúc, cơ sở hoặc nguồn đến một cấu trúc khác hay mục tiêu hệ thống.

Thông thƣờng, cơ sở là một phần đã đƣợc biết đến, trong khi mục tiêu là một phần có
thể suy ra hoặc phát hiện. Sự tƣơng tác của các cơ sở và mục tiêu tạo ra một cấu trúc
mới mở rộng vƣợt ra ngoài trƣớc kinh nghiệm đã có. Theo lý thuyết cấu trúc tƣơng ứng
của Gentner, “Sự tương tự T giống như B được định nghĩa một tương ứng từ B đến T”.
B đƣợc gọi là miền cơ sở và phục vụ nhƣ là một kiến thức nguồn, T đƣợc gọi là miền
mục tiêu và là đề tài đƣợc học.

Mô hình học tập bằng tương tự của Holyoak
Trong những năm 1980, một cách tiếp cận tƣơng tự quan trọng đã đƣợc
Holyoak phát triển. Nghiên cứu của ông tập trung vào việc sử dụng tƣơng tự trong vấn
đề giải quyết. Phƣơng pháp này nhấn mạnh vai trò của sử dụng tƣơng tự nhƣ thế nào để
thực hiện các mục tiêu và hƣớng dẫn việc giải thích của một tƣơng tự. Holyoak xác
định tƣơng tự nhƣ là tƣơng tự đối với một mục tiêu và đề nghị rằng quá trình lập tƣơng
ứng giữa cơ sở và mục tiêu theo hƣớng đạt đƣợc mục tiêu.
Miền cơ sở Miền mục tiêu



Cấu trúc Cấu trúc
đã biết đƣợc suy ra
Hình 1.1 Sơ đồ cấu trúc của phép suy luận tƣơng tự [33]

- 21 -

Suy luận quy nạp là suy luận từ những chân lý riêng lẻ, cụ thể khái quát lên
thành những chân lý tổng quát. Quy nạp có thể dẫn đến các kết luận sai vì vậy không
cho phép dùng quy nạp để chứng minh. Cho nên quy nạp có thể dùng để phát hiện vấn
đề, mầy mò, dự đoán ra chân lý, sau đó dùng suy diễn để chúng minh [21,tr. 119-120].
Phép tƣơng tự là phép suy luận quy nạp, không phải là một suy luận chứng minh, nên
những kết luận dự kiến chỉ là giả thuyết, thực tế đúng đắn của chúng không đƣợc bảo

đảm mà phải đƣợc kiểm tra một cách riêng biệt. Vì vậy, khi đánh giá một tƣơng tự cần
chú ý: cho dù những kết luận dự kiến có cấu trúc nhất quán đi nữa, tính đúng đắn của
mục tiêu vẫn có thể khác so với các kết luận dự kiến. Một tiêu chí khác đƣợc áp dụng
trong giải quyết vấn đề là liệu các kết luận của phép tƣơng tự có liên quan đến mục tiêu
hiện tại hay không. Một tƣơng tự có thể đƣợc cấu trúc suy luận đúng, nhƣng vẫn không
liên quan đến mục tiêu. Đó là khả năng thích ứng của những kết luận cho vấn đề mục
tiêu [35].
Qua các phân tích trên, chúng tôi xin đƣa ra một tóm tắt về phép tƣơng tự nhƣ
sau: phép tƣơng tự là phép suy luận về sự tƣơng ứng các mối quan hệ từ đối tƣợng
Giải quyết
vấn đề

Cơ sở
Mục tiêu



Suy luận
học tập
học tập
thiết lập lại
lập tƣơng ứng
đánh giá
Hình 1.2 Mô hình học tập bằng tƣơng tự của Holyoak (2005)

- 22 -
trong miền cơ sở đến đối tƣợng trong miền mục tiêu. Vì thế, để đạt đƣợc hiệu quả khi
sử dụng phép tƣơng tự đòi hỏi một sự hiểu biết đúng đắn về lĩnh vực cơ sở. Do đó, kiến
thức mà HS đã học đóng một vai trò quan trọng trong sự hiểu biết đúng đắn về các khái
niệm mới. Hơn nữa, việc sử dụng phép tƣơng tự còn phù hợp với quan điểm học tập

kiến tạo, có nghĩa là, học tập là một quá trình hoạt động xây dựng kiến thức mới dựa
trên cơ sở kiến thức đã có. Nói cách khác, học tập về cơ bản có liên quan với xây dựng
tƣơng đồng giữa những ý tƣởng mới và những ý tƣởng hiện có.
1.1.2 Các loại tƣơng tự
Theo [14,tr. 82 - 83 ], phép tƣơng tự đƣợc chia thành hai loại:
 Tƣơng tự theo thuộc tính: dấu hiệu đƣợc rút ra trong kết luận biểu thị thuộc tính.

 Tƣơng tự theo quan hệ: dấu hiệu đƣợc rút ra trong kết luận biểu thị quan hệ.

- A và B cùng loại (hay cùng cấu trúc tƣơng tự)
- A có quan hệ với C


B có quan hệ với C?
Hình 1.4 Tƣơng tự theo quan hệ
- A và B có cùng các tính chất P
1
, P
2
, ,P
n
.
- A có tính chất P
n+1
.

B có tính chất P
n+1
?
Hình 1.3 Tƣơng tự theo thuộc tính

- 23 -
Theo [26,tr. 163 -165], chúng ta có thể xem xét ba loại tƣơng tự sau:
 Tƣơng tự với nguồn và đích trong miền giống nhau: Loại tƣơng tự này so
sánh đối với hai hiện tƣợng, hai khái niệm trong cùng một lĩnh vực. Chẳng hạn, trong
toán học, nguồn của phƣơng trình hay đồ thị trong không gian ba chiều là phƣơng trình
hay đồ thị trong không gian hai chiều.
 Tƣơng tự với nguồn và đích trong miền khác nhau: Loại tƣơng tự này so
sánh những khái niệm đƣợc hình thành từ các miền khác nhau, các lĩnh vực khác nhau.
Ví dụ, trong Đại số, đồ thị hàm số
axyb
tƣơng tự với phƣơng trình đƣờng thẳng
0Ax By C  
trong Hình học.
 Tƣơng tự dựa vào kinh nghiệm của HS: Loại tƣơng tự này so sánh hiện
tƣợng hoặc khái niệm mới có đặc điểm tƣơng tự với những gì mà HS đã biết trong cuộc
sống. Ví dụ, trong Vật lý, dòng electron đi từ nơi có hiệu điện thế cao đến nơi có hiệu
điện thế thấp giống nhƣ dòng nƣớc chảy từ chỗ cao đến chỗ thấp là hiện tƣợng quen
thuộc trong cuộc sống; mặt nƣớc trong cốc nƣớc hình trụ đặt nghiêng là nguồn cho
khái niệm elip trong Hình học.
Theo [36], phép tƣơng tự đƣợc phân chia thành các loại nhƣ sau:
1. Tƣơng tự trực tiếp (Direct Analogy): Đối tƣợng đƣợc so sánh gần giống với
đối tƣợng tƣơng tự của nó trong tự nhiên. Ví dụ, để cải thiện hệ thống cánh máy bay,
ngƣời ta có thể tham khảo cánh chim, vây cá hay mũi tên, viên đạn,
2. Tƣơng tự cá nhân (Personal Analogy): Ngƣời cần giải quyết vấn đề hóa thân
thành đối tƣợng hay một phần đối tƣợng để có một góc nhìn mới. Ví dụ, tƣởng tƣợng
mình là chiếc ô tô đang chạy, khi gặp chƣớng ngại vật, bùn lầy sẽ làm gì,
3. Tƣơng tự tƣợng trƣng (Symbolic Analogy): Ở đây cần có sự tƣơng tự về đặc
trƣng, tính chất giữa hai đối tƣợng.
4. Tƣơng tự viễn tƣởng (Fantasy Analogy): Đƣa vào bài toán các giả định để thực

hiện những yêu cầu đòi hỏi mới đối với bài toán.

- 24 -
1.1.3 Những điều kiện đảm bảo độ tin cậy của suy luận tƣơng tự
Theo [6,tr. 87-88], những điều kiện để đảm bảo độ tin cậy của suy luận tƣơng tự
bao gồm:
a) Các đối tƣợng so sánh có càng nhiều thuộc tính giống nhau thì mức độ chính
xác của kết luận càng cao.
b) Các thuộc tính giống nhau càng phong phú, nhiều mặt thì mức độ chính xác
của kết luận càng cao.
c) Số lƣợng các thuộc tính bản chất giống nhau càng nhiều thì mức độ chính xác
của kết luận càng cao.
Ví dụ 1.2 A và B đều đƣợc sinh ra từ gia đình có bố mẹ làm ngành Y, đều đƣợc
học đại học Y khoa tại Pháp, A đã trở thành bác sĩ giỏi. Vậy B cũng có thể trở thành
bác sĩ giỏi.
Suy luận sau đây đáng tin cậy hơn :
Ví dụ 1.3 M và N đều xuất thân từ gia đình có truyền thống âm nhạc. Bố của M
và bố của N đều là những tay đàn Vi-ô-lông cự phách. Cả M và N đều tự hào về truyền
thống gia đình và say mê âm nhạc. Vì thế cả hai đều vào học ở nhạc viên, khoa Vi-ô-
lông và cùng đƣợc sự hƣớng dẫn dìu dắt của một giáo sƣ Vi-ô-lông nổi tiếng. Cũng
nhƣ M, N vừa mới đoạt giải Vi-ô-lông toàn quốc. Hiện nay, M đã trở thành một tay
đàn Vi-ô-lông giỏi. Chắc chắn, N cũng sẽ trở thành một tay đàn Vi-ô-lông giỏi nhƣ M.
1.1.4 Vai trò của phép tƣơng tự trong dạy học
Trong suốt lịch sử, phép tƣơng tự đã đóng một vai trò quan trọng trong việc
khám phá khoa học. Tƣơng tự cũng đóng một vai trò quan trọng trong việc giải thích
những khám phá. Bên cạnh đó, phép tƣơng tự còn đóng vai trò quan trọng trong việc
giải quyết vấn đề. Khả năng sử dụng một tƣơng tự giữa cơ sở hoặc nguồn với vấn đề
mới hay mục tiêu có một cấu trúc tƣơng đồng có thể nâng cao hiệu quả và năng suất
giải quyết vấn đề. Phép tƣơng tự liên quan đến việc xây dựng mối liên hệ giữa các

- 25 -
thành phần trong cơ sở và các thành phần trong mục tiêu và hình thành giải pháp từ
vấn đề cơ sở để phù hợp với yêu cầu của vấn đề mục tiêu.
GV thƣờng xuyên sử dụng phép tƣơng tự để giải thích khái niệm cho HS. Các
tƣơng tự đƣợc xem nhƣ là mô hình ban đầu, hoặc thể hiện các đặc điểm đơn giản của
các khái niệm khoa học. GV thƣờng sử dụng phép tƣơng tự và không biết họ đang sử
dụng chúng một cách tự động. Bất cứ khi nào họ bắt đầu một lời giải thích với “Nó
giống nhƣ ”, “Nó tƣơng tự nhƣ ”, hoặc “Hãy nghĩ về nó theo cách này ”, khi đó
họ đang sử dụng một tƣơng tự để giải thích một khái niệm cho HS của mình. Phép
tƣơng tự có thể đóng một vai trò quan trọng trong việc giúp HS xây dựng kiến thức
riêng của họ, một quá trình phù hợp với quan điểm học tập kiến tạo. Tƣơng tự có thể
giúp HS xây dựng cầu nối giữa các khái niệm, những gì quen thuộc với những gì mới.
Từ đó giúp HS hình dung những khái niệm mới, phức tạp, khó hiểu. Tuy nhiên, phép
tƣơng tự cũng mặt hạn chế: nó có thể thúc đẩy sự hiểu biết, nhƣng nó cũng có thể dẫn
với quan niệm sai lầm.
Nhƣ vậy, phép tƣơng tự có nhiều ứng dụng rộng rãi trong đời sống cũng nhƣ
trong khoa học. Trong dạy học toán ở trƣờng phổ thông, theo tác giả Nguyễn Phú Lộc,
phép tƣơng tự có các ứng dụng: xây dựng ý nghĩa cho tri thức, xây dựng giả thuyết, dự
đoán và ngăn ngừa sai lầm của HS. Bên cạnh đó, chúng tôi còn nhận thấy một ứng
dụng nữa của phép tƣơng tự là dùng tƣơng tự để giải bài tập toán cho HS.
1.1.4.1 Dùng tương tự để xây dựng ý nghĩa của tri thức [14 ,tr. 81 – 82]
Trong quá trình dạy học để giúp HS hiểu đƣợc những khái niệm khoa học, GV
thƣờng sử dụng phép tƣơng tự. Chẳng hạn, con mắt giống máy quay phim, trái tim
giống nhƣ một máy bơm, dòng điện giống dòng nƣớc, hay màng tế bào tƣơng tự nhƣ
một hàng rào liên kết với chuỗi cửa tuần tra bởi các nhân viên bảo vệ,… Trong toán
học, một vô cùng lớn trừ cho một số hữu hạn là một vô cùng lớn giống nhƣ ta lấy một
số hữu hạn thùng nƣớc biển không làm thay đổi mực nƣớc biển; một dãy số có giới hạn