Sự hội tụ hầu chắc chắn và hội tụ theo trung bình đối với mảng kép các phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (338.78 KB, 37 trang )
1
MỤC LỤC
Mở đầu
2
1 Kiến thức chuẩn bị
4
1.1
Phần tử ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2
Các dạng hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3
Kỳ vọng của phần tử ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4
Khái niệm độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5
Khái niệm M -phụ thuộc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6
Một số khái niệm khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7
Các bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Sự hội tụ hầu chắc chắn và hội tụ theo trung bình đối với
mảng kép các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không
gian Banach
2.1
Sự hội tụ hầu chắc chắn đối với mảng kép các phần tử ngẫu
nhiên
2.2
20
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Sự hội tụ theo trung bình đối với mảng kép các phần tử
ngẫu nhiên M -phụ thuộc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Kết luận
35
Tài liệu tham khảo
36
2
MỞ ĐẦU
Luật số lớn là một trong ba định lý giới hạn quan trọng trong lý thuyết
xác suất. Luật số lớn đầu tiên của Bernoulli được công bố năm 1713. Về
sau, kết quả này được Poisson, Chebyshev, Markov, Liapunov... mở rộng.
Tuy nhiên phải đến nửa đầu thế kỷ 20 luật số lớn mới được Borel và
Kolmogorov hoàn thiện.
Cho tới nay, các định lý giới hạn vẫn là một vấn đề có tính thời sự của
lý thuyết xác suất. Luật số lớn đối với các phần tử ngẫu nhiên nhận giá
trị trong không gian Banach cũng đang được nghiên cứu rộng rãi trong
những năm gần đây. Chẳng hạn, năm 2006, Rosalsky và Thanh [11] đã
đưa ra luật mạnh và luật yếu số lớn đối với tổng kép các phần tử ngẫu
nhiên trong không gian Banach Rademacher dạng p. Năm 2007, các tác
giả trong [12] nghiên cứu sự hội tụ hầu chắc chắn và hội tụ theo trung
bình đối với tổng kép các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không
gian Banach. Về mảng kép các phần tử ngẫu nhiên, năm 2008, Quang và
Huan [9] nghiên cứu về luật yếu số lớn. Năm 2009, Quang và Huan [10]
cung cấp điều kiện để luật mạnh số lớn và sự hội tụ trong Lp của các phần
tử ngẫu nhiên trong không gian Banach p-trơn đều.
Trên cơ sở nghiên cứu các tài liệu kể trên, chúng tôi nghiên cứu đề tài:
"Sự hội tụ hầu chắc chắn và hội tụ theo trung bình đối với mảng
kép các phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach".
Luận văn gồm 2 chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi trình
bày các khái niệm, các tính chất để thiết lập kết các quả chính.
Chương 2. Sự hội tụ hầu chắc chắn và hội tụ theo trung bình
3
đối với mảng kép các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không
gian Banach. Trong chương này, chúng tôi tìm hiểu 2 nội dung chính.
Thứ nhất, chúng tôi xây dựng sự hội tụ hầu chắc chắn đối với mảng kép
các phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị trên không gian Banach. Kết
quả chính là Định lý 2.1.4, Định lý 2.1.8, Định lý 2.1.12, Định lý 2.1.13.
Thứ hai, chúng tôi thiết lập sự hội tụ theo trung bình đối với mảng kép
các phần tử ngẫu nhiên M -phụ thuộc. Kết quả đạt được là Định lý 2.2.1,
Định lý 2.2.2, Định lý 2.2.4. Các kết quả trong mục 2.2 là mới.
Luận văn được thực hiện tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của
TS. Lê Văn Thành. Tác giả bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc nhất tới thầy giáo Lê
Văn Thành, thầy giáo PGS.TS. Nguyễn Văn Quảng, học viên Trình Hoài
Nam đã tận tình hướng dẫn và tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho tác giả
trong suốt quá trình học tập và làm đề tài. Tác giả xin chân thành cảm ơn
các thầy giáo đã trực tiếp giảng dạy lớp Cao học 19 Lý thuyết xác suất và
thống kê toán. Đồng thời tác giả xin cảm ơn ban chủ nhiệm và các thầy cô
giáo trong khoa Toán, phòng Sau đại học, Ban giám hiệu Trường THPT
Thanh Chương 3, tập thể Cao học 19 Lý thuyết xác suất và thống kê toán
đã động viên, giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Mặc
dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn không thể tránh khỏi những thiếu
sót. Vì vậy tác giả rất mong nhận được những lời chỉ bảo quý báu của các
thầy cô giáo và bạn đọc.
Vinh, tháng 5 năm 2013
Tác giả
4
CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, các khái niệm, bổ đề cần thiết dùng để chứng minh
các kết quả chính sẽ được giới thiệu.
1.1
Phần tử ngẫu nhiên
Giả sử (Ω, F, P ) là không gian xác suất đầy đủ. E là không gian Banach
thực khả ly. B(E) là σ - đại số Borel của E.
Cho a, b ∈ R, ta ký hiệu min{a, b}, max{a, b} lần lượt là a∧b, a∨b. Cho
x
0, số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng x ký hiệu là [x]. Cho x
1,
logarit tự nhiên và lôgarit cơ số 2 lần lượt được ký hiệu là logx và Logx.
Trong suốt bài viết, ký tự C sẽ ký hiệu cho một hằng số dương không
nhất thiết giống nhau ở mỗi lần xuất hiện. Để ý rằng, với mọi x
1, ta
có Logx=C logx, ở đó C = 1/ log 2.
1.1.1 Định nghĩa. Ta nói ánh xạ X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên nhận
giá trị trên E nếu X là F/B(E) đo được (nghĩa là với mọi B ∈ B(E) thì
X −1 (B) ∈ F ).
1.1.2 Ví dụ. Giả sử A ∈ F , α ∈ E, α = 0. Xét ánh xạ X : Ω → E xác
định bởi
X(ω) =
0
α
nếu ω ∈
/A
nếu ω ∈ A
= αIA ,
trong đó IA là hàm chỉ tiêu của tập A. Khi đó X là phần tử ngẫu nhiên.
Thật vậy,
∅
A
X −1 (B) =
A
Ω
nếu
nếu
nếu
nếu
0∈
/ B, α ∈
/B
0 ∈ B, α ∈
/B
0∈
/ B, α ∈ B
0 ∈ B, α ∈ B
5
nên X −1 (B) ∈ F với mọi B ∈ B(E).
1.1.3 Định nghĩa. Phần tử ngẫu nhiên X : Ω → E được gọi là phần tử
ngẫu nhiên rời rạc nếu |X(Ω)| không quá đếm được. (|X(Ω)| là lực lượng
của tập hợp X(Ω).)
Đặc biệt, nếu |X(Ω)| hữu hạn thì X được gọi là phần tử ngẫu nhiên
đơn giản.
Phần còn lại của Mục 1.1 chúng tôi sẽ trình bày một số tính chất quan
trọng về phần tử ngẫu nhiên.
1.1.4 Định lý. Giả sử E1 , E2 là không gian Banach, T : E1 → E2 là ánh
xạ B(E1 )/B(E2 ) đo được và X : Ω → E1 phần tử ngẫu nhiên, khi đó ánh
xạ T (X) : Ω → E2 là phần tử ngẫu nhiên.
Chứng minh. Với mọi B2 ∈ B(E2 ) ta có T −1 (B2 ) = B1 ∈ B(E1 ) suy ra
(T ◦ X)−1 (B2 ) = X −1 (T −1 (B2 )) = X −1 (B1 ) ∈ F.
Vậy ánh xạ T (X) : Ω → E2 là phần tử ngẫu nhiên.
Như chúng ta đã biết, ánh xạ chuẩn
.
: E → R là một ánh xạ liên
tục và do đó nó là một ánh xạ đo được. Chính vì thế ta có hệ quả sau.
1.1.5 Hệ quả. Giả sử ánh xạ X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên. Khi đó,
ánh xạ X : Ω → R là biến ngẫu nhiên.
1.1.6 Định lý ([1]). Ánh xạ X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên khi và chỉ
khi với mọi f ∈ E∗ thì f (X) là biến ngẫu nhiên.
1.1.7 Hệ quả. Giả sử X, Y là các phần tử ngẫu nhiên, a, b ∈ R, ξ :
Ω → R là biến ngẫu nhiên. Khi đó aX + bY, ξX là phần tử ngẫu nhiên.
Chứng minh. Ta có (aX + bY )(ω) = aX(ω) + bY (ω) ∈ E,
ξX(ω) = ξ(ω)X(ω) ∈ E.
Do đó, với mọi f ∈ E∗ thì f (aX + bY ) = af (X) + bf (Y ) và f (ξX) =
ξf (X) là các biến ngẫu nhiên.
Điều này kéo theo aX + bY, ξX là phần tử ngẫu nhiên.
6
1.2
Các dạng hội tụ
Trong mục này, chúng tôi trình bày các dạng hội tụ của dãy các phần
tử ngẫu nhiên, mối quan hệ của chúng và các tính chất liên quan.
1.2.1 Định nghĩa. Giả sử {Xn , n
1} là dãy phần tử ngẫu nhiên cùng
xác định trên không gian Ω nhận giá trị trên E.
Ta nói {Xn , n
1} hội tụ đến X (khi n → ∞)
• hầu chắc chắn(h.c.c) nếu : P ( lim Xn − X = 0) = 1.
n→∞
Ký hiệu Xn
h.c.c
−−→ X.
∞
• đầy đủ nếu :
Ký hiệu Xn
P ( Xn − X > ε) < ∞.
n=1
c
→
−
X.
• theo xác suất nếu với mọi ε > 0 thì lim P ( Xn − X > ε) = 0.
n→∞
Ký hiệu
P
−
Xn →
X.
• theo trung bình cấp p nếu lim E Xn − X
n→∞
Ký hiệu Xn
Lp
−
→
p
= 0.
X.
1.2.2 Ví dụ. Giả sử α ∈ E, α = 0 và Xn là phần tử ngẫu nhiên đơn giản
nhận các giá trị 0 và α với xác suất tương ứng là 1 − 1/n và 1/n. Khi đó
Xn
P
→
−
0 và Xn
L2
−
→
0 (khi n → ∞).
Thật vậy, ta có Xn : Ω → R+ xác định bởi
Xn (ω) =
0
α
nếu Xn (ω) = 0,
nếu Xn (ω) = α.
Khi đó với mọi ε > 0,
0
P ( Xn − 0 > ε) = P ( Xn > ε)
= P (Xn = α) =
1
n
P ( Xn = α )
→ 0 khi n → ∞.
Điều đó chứng tỏ Xn
P
→
−
0 (khi n → ∞).
Mặt khác, ta có
0
E Xn − 0
2
= 02 .(1 − 1/n) + α 2 .1/n = α 2 .1/n → 0 khi n → ∞
Điều này có nghĩa Xn
L2
−
→
0 (khi n → ∞).
7
Định lý sau đây nêu lên một tiêu chuẩn của sự hội tụ hầu chắc chắc
chắn.
1.2.3 Định lý ([1]). Xn → X h.c.c (khi n → ∞) khi và chỉ khi với mọi
ε > 0,
lim P (sup Xm − X > ε) = 0.
n→∞
m n
Tiếp theo, chúng tôi trình bày mối quan hệ giữa các dạng hội tụ.
1.2.4 Định lý ([1]). 1. Nếu Xn
h.c.c
−−→
X hoặc Xn
Lp
−
→
X thì Xn
P
→
−
X
(khi n → ∞).
2. Nếu Xn
c
→
−
X thì Xn
3. Nếu {Xn , n
E thì Xn
c
→
−
h.c.c
−−→
X (khi n → ∞).
1} là dãy các phần tử ngẫu nhiên độc lập và Xn
h.c.c
−−→
α∈
α (khi n → ∞).
1.2.5 Định nghĩa. Ta nói dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , n
1} là dãy cơ
bản
• Hầu chắc chắn (h.c.c) nếu P ( lim
m,n→∞
Xm − Xn = 0) = 1.
• Theo xác suất nếu lim P ( Xm − Xn > ε) = 0 với mọi ε > 0.
m,n→∞
• Theo trung bình cấp p > 0 nếu lim E Xm − Xn
m,n→∞
p
= 0.
Sau đây, chúng tôi trình bày mối quan hệ giữa các loại hội tụ với dãy
cơ bản. Định lý sau đây nói lên sự tương đương giữa dãy hội tụ h.c.c và
dãy cơ bản h.c.c.
1.2.6 Định lý. Dãy {Xn , n
1} cơ bản h.c.c khi và chỉ khi dãy {Xn , n
1} hội tụ h.c.c.
Chứng minh. Đặt Ω1 = {ω : Xn (ω) hội tụ}, Ω2 = {ω : Xn (ω) cơ bản}.
Vì E là không gian Banach nên Ω1 = Ω2 . Do đó
{Xn , n
1} hội tụ h.c.c ⇔ P (Ω1 ) = 1 ⇔ P (Ω2 ) = 1
⇔ {Xn , n
1} cơ bản h.c.c
Định lý sau nêu lên điều kiện cần và đủ để một dãy cơ bản h.c.c.
8
1.2.7 Định lý. Dãy {Xn , n
1} là dãy cơ bản h.c.c khi và chỉ khi một
trong hai điều kiện sau đây được thoả mãn:
(i) lim P (supk,l
n
Xk − Xl > ε) = 0 với mọi ε > 0;
(ii) lim P (supk
n
Xk − Xn > ε) = 0 với mọi ε > 0.
n→∞
n→∞
Chứng minh. Ta có Xk − Xl
Xk − Xn + Xl − Xn . Suy ra
ε
(sup Xk − Xn > ε) ⊂ ( sup |Xk − Xl > ε) ⊂ (sup |Xk − Xn > ).
2
k n
k,l n
k n
Do đó (i) tương đương với (ii). Ta sẽ chứng minh {Xn , n
1} là dãy cơ
bản h.c.c khi và chỉ khi điều kiện (i) được thoả mãn. Đặt
∞
n (ε)
( Xk − Xl > ε) = ( sup Xk − Xl > ε).
=
k,l n
k,l=n
n (ε)
Khi đó
là dãy giảm và
∞
( lim
k,l→∞
Suy ra {Xn , n
∞
Xk − Xl = 0) =
m=1 n=1
∞
∞
m=1
∞
n=1
n (1/m))
=1
∞
n (1/m)
=0⇔P
m=1 n=1
n→∞
n (1/m).
1} là dãy cơ bản h.c.c ⇔ P (
⇔P
⇔ lim P (
∞
n (1/m)))
n (1/m)
= 0, ∀m
1
n=1
= 0 ∀m
1 ⇔ lim P (
n→∞
n (ε))
= 0 ∀ ε > 0.
Định lý được chứng minh.
Kế tiếp, chúng ta nghiên cứu tính chất của dãy cơ bản theo xác suất.
Trước hết chúng ta cần bổ đề sau.
1.2.8 Bổ đề. Giả sử E là không gian Banach và dãy {xn , n
1} ⊂ E.
Khi đó, nếu
1
2n
1} là dãy cơ bản (do đó hội tụ).
xn+1 − xn
với mọi n
n0 thì {xn , n
Sử dụng Bổ đề trên ta thu được kết quả sau.
1.2.9 Định lý. Nếu dãy {Xn , n
con {Xnk , k
1} ⊂ {Xn , n
1} cơ bản theo xác suất thì tồn tại dãy
1} sao cho {Xnk , k
1} hội tụ h.c.c.
9
Chứng minh. Vì {Xn , n
1} cơ bản theo xác suất nên với mọi ε > 0,
lim P ( Xm − Xn > ε) = 0.
m,n→∞
Lấy ε1 = 1/2, tồn tại n1 sao cho với mọi m, n
n1 thì
1
1
P ( Xm − Xn > ) < .
2
2
Lấy ε2 = 1/22 , tồn tại n2 > n1 sao cho với mọi m, n
P ( Xm − X n >
n2 thì
1
1
)
<
.
22
22
Lấy εk = 1/2k , tồn tại nk > nk−1 sao cho với mọi m, n
P ( Xm − Xn >
Suy ra dãy {Xnk , k
∞
1
1
)
<
.
2k
2k
1} thoả mãn P ( Xnk+1 − Xnk >
∞
1
> k
2
Xnk+1 − Xnk
A=
m=1 k=m
nk thì
∞
1
2k )
<
1
2k .
Đặt
∞
=
Ak .
m=1 k=m
Ta có
∞
P (A) = lim P
m→∞
∞
Ak
k=m
Do đó P (A) = 1 và A =
∞
m=1
∞
lim
m→∞
P (Ak )
k=m
∞
k=m (
1
= 0.
k
m→∞
2
k=m
lim
Xnk+1 − Xnk
1
2k ).
Giả sử ω ∈ A suy ra tồn tại m0 sao cho
∞
ω∈
Xnk+1 − Xnk
k=m0
Suy ra Xnk+1 (ω) − Xnk (ω)
1
2k
với mọi k
Theo bổ đề trên thì dãy {Xnk (ω), k
1
.
2k
m0 .
1} ⊂ E hội tụ nên A ⊂ {ω :
Xnk (ω) hội tụ}, dẫn đến P (ω : Xnk (ω) hội tụ) = 1. Vì vậy {Xnk , k
1}
hội tụ h.c.c. Định lý được chứng minh.
Hai định lý sau trình bày về sự hội tụ theo xác suất và sự hội tụ theo
trung bình.
1.2.10 Định lý. Dãy {Xn , n
là dãy cơ bản theo xác suất.
1} hội tụ theo xác suất khi và chỉ khi nó
10
Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử {Xn , n
1} hội tụ theo xác suất. Khi
đó với mọi ω ∈ Ω ta có Xm (ω) − Xn (ω)
Xm (ω) − X(ω) + Xn (ω) −
X(ω) . Do đó, với mọi ε > 0 thì
ε
ε
( Xm − Xn > ε) ⊆ ( Xm − X > ) ∪ ( Xn − X > ).
2
2
P ( Xm − X > 2ε ) + P ( Xn − X > 2ε ).
Suy ra P ( Xm − Xn > ε)
Vì {Xn , n
1} hội tụ theo xác suất nên P ( Xm − Xn > ε) → 0 khi
m, n → ∞.
Vậy {Xn , n
1} là dãy cơ bản theo xác suất.
Điều kiện đủ: Giả sử {Xn , n
1} là dãy cơ bản theo xác suất, theo Định
lý 1.2.9, tồn tại dãy {Xnk , k
1} ⊂ {Xn , n
1} sao cho Xnk
h.c.c
−−→
X khi
k → ∞. Do đó, với mọi ε > 0
0
P ( Xn −X > ε)
P
Xn −Xnk >
ε
+P
2
Xnk −X >
ε
2
→0
khi n → ∞.
Vậy Xn
P
→
−
X khi n → ∞. Định lý được chứng minh.
Về hội tụ theo trung bình ta có kết quả sau.
1.2.11 Định lý. Dãy {Xn , n
1} hội tụ theo trung bình cấp p (p
1)
khi và chỉ khi nó là dãy cơ bản theo trung bình cấp p.
Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử Xn
Lp
−
→
X suy ra E Xn − X
p
→0
khi n → ∞. Do đó,
0 ≤ (E Xm − Xn p )1/p = (E (Xm − X) + (X − Xn ) p )1/p
(E Xm − X p )1/p + (E X − Xn p )1/p −→ 0 khi m, n → ∞.
Vậy E Xm − Xn
p
→ 0 khi m, n → ∞, hay {Xn , n
1} là dãy cơ bản
theo trung bình cấp p.
Điều kiện đủ: Giả sử {Xn , n
1} là dãy cơ bản theo trung bình cấp p.
Theo bất đẳng thức Markov, với mọi ε > 0,
P ( Xn − Xm > ε)
E X n − Xm
εp
p
→0
11
khi n, m → ∞. Do đó {Xn , n
1} là dãy cơ bản theo xác suất. Suy ra
tồn tại {Xnk , k
1} sao cho Xnk → X h.c.c khi k → ∞.
1} ⊂ {Xn , n
Mặt khác, do {Xn , n
1} là dãy cơ bản theo trung bình cấp p nên với
mọi ε > 0, tồn tại N (ε) sao cho
E Xm − Xn
với mọi m, n
E Xm − Xn
N (ε). Khi n
p
p
<ε
N (ε), sử dụng bổ đề Fatou, ta có
= Elim m→∞ Xn − Xnm
Điều này kéo theo E Xnk − X
p
p
lim m→∞ E Xn − Xnm
ε với mọi ε > 0. Do đó Xn
p
ε.
Lp
−
→
X.
Định lý được chứng minh.
1.3
Kỳ vọng của phần tử ngẫu nhiên
1.3.1 Định nghĩa. Giả sử X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên. Phần tử
m ∈ E được gọi là kỳ vọng của X nếu với mọi f ∈ E∗ ta có
f (m) = E(f (X)).
Ký hiệu m = EX.
Sau đây là một ví dụ về phần tử ngẫu nhiên.
1.3.2 Ví dụ. Giả sử α ∈ E, A ∈ F và X = αIA , tức là
X(ω) =
α
0
nếu ω ∈ A,
nếu ω ∈
/ A.
Khi đó, với mọi f ∈ E∗ ,
f (P (A)α) = P (A)f (α)
và
E(f (X)) = E(f (α)IA ) = f (α)E IA = f (α)P (A).
Do đó EX = P (A)α.
Sử dụng định nghĩa nêu trên ta thu được một số kết quả. Định lý sau
đây trình bày các tính chất cơ bản kỳ vọng của phần tử ngẫu nhiên.
12
1.3.3 Định lý. Giả sử X, Y là các phần tử ngẫu nhiên, ξ là biến ngẫu
nhiên cùng xác định trên không gian xác suất (Ω, F, P), a ∈ R, α ∈ E.
Khi đó, nếu tồn tại EX, EY , Eξ thì
1. Tồn tại E(X + Y ) và E(X + Y ) = EX + EY ;
2. Tồn tại E(aX) và E(aX) = aEX ;
3. Tồn tại E(αξ) và E(αξ) = αEξ ;
4. Nếu P (X = α) = 1 thì EX = α;
5. Nếu ξ và f (X) độc lập với mọi f ∈ E∗ thì tồn tại E(ξX) và
E(ξX) = EξEX ;
6. Với mọi ánh xạ tuyến tính liên tục T : E → E (E là không gian
Banach thực khả ly) thì tồn tại E(T (X)) và E(T (X)) = T (E(X)).
Chứng minh. 1. Đặt m = EX + EY . Khi đó, với mọi f ∈ E∗ ta có
E(f (X + Y )) = E(f (X) + f (Y )) = E(f (X)) + E(f (Y ))
= f (EX) + f (EY ) = f (EX + EY ) = f (m).
Do đó m = E(X + Y ).
2. Đặt m = aEX . Khi đó, với mọi f ∈ E∗ ta có
E(f (aX)) = E(af (X)) = aEf (X)
= af (EX) = f (aEX) = f (m).
Do đó m = E(aX).
3. Ta có f (αξ)(ω) = f (αξ(ω)) = ξ(ω)f (α) = (ξf (α))(ω) với mọi
ω ∈ Ω. Suy ra f (αξ) = ξf (α). Đặt m = αEξ . Khi đó, với mọi f ∈ E∗ ta
có
E(f (αξ)) = E(ξf (α)) = f (α)Eξ = f (αEξ) = f (m).
Do đó m = E(αξ).
4. Ta có (X = α) ⊂ (f (X) = f (α)) ∈ F mà P (X = α) = 1 nên
P (f (X) = f (α)) = 1. Suy ra với mọi f ∈ E∗ ta có
Ef (X) = Ef (α) = f (α).
13
Do đó α = EX .
5. Ta có f (ξX)(ω) = f (ξ(ω)X(ω)) = ξ(ω)f (X(ω)) = ξf (X)(ω) với
mọi ω ∈ Ω. Suy ra f (ξX) = ξf (X). Đặt m = EξEX . Khi đó, với mọi
f ∈ E∗ ta có
E(f (ξX)) = E(ξf (X)) = EξEf (X) = Eξf (EX) = f (EξEX) = f (m).
Do đó m = E(ξX).
6. Đặt m = T (EX). Khi đó, với mọi f ∈ E∗ ta có
E(f (T (X))) = E((f T )(X)) = (f T )(EX) = f (m).
Do đó m = E(T X).
1.3.4 Định lý ([1]). Nếu E X < ∞ thì tồn tại EX và
EX
E X .
Kế tiếp, chúng tôi trình bày về kỳ vọng có điều kiện của phần tử ngẫu
nhiên.
1.3.5 Định nghĩa. Cho X : Ω −→ E là phần tử ngẫu nhiên, G là σ−
đại số con của F . Khi đó, phần tử ngẫu nhiên Y : Ω −→ E được gọi là
kỳ vọng có điều kiện của X đối với G nếu
i) Y là phần tử ngẫu nhiên G -đo được,
ii) ∀ A ∈ G : E(Y IA ) = E(XIA ).
Kí hiệu Y = E(X|G).
Ta có một số tính chất sau:
1.3.6 Định lý ([1]). Giả sử X, Y là các phần tử ngẫu nhiên. Khi đó,
Y = E(X|G) khi và chỉ khi f (Y ) = E(f (X)|G) với mọi f ∈ E∗ .
Áp dụng định lý trên ta thu được một số kết quả sau.
1.3.7 Định lý ([1]). Nếu X là phần tử ngẫu nhiên G -đo được thì E(X|G) =
X.
14
Chứng minh. Do X là phần tử ngẫu nhiên G−đo được nên với mọi f ∈ E∗
thì f (X) là biến ngẫu nhiên G−đo được. Do đó
E(f (X)|G) = f (X)
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
1.3.8 Định lý ([1]). Nếu σ(X) và G độc lập thì E(X|G) = EX .
Chứng minh. Với mọi f ∈ E∗ , ta có f (EX) = E(f (X)) = E(f (X)|G)
(do σ(f (X)) và G độc lập). Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Bằng phương pháp tương tự, sử dụng Định lý 1.3.6, ta cũng thu được
tính chất sau.
1.3.9 Định lý ([1]). Giả sử X, Y là các phần tử ngẫu nhiên và ξ là biến
ngẫu nhiên cùng xác định trên (Ω, F, P ), a ∈ R, α ∈ E. Khi đó
1. E(X + Y |G) = E(X|G) + E(Y |G).
2. Tồn tại E(aX|G) = aE(X|G).
3. Tồn tại E(αξ|G) = αE(ξ|G).
4. Nếu G1 ⊂ G2 thì E (E (X|G1 ) |G2 ) = E (E (X|G2 ) |G1 ) = E (X|G1 ).
1.4
Khái niệm độc lập
Trong mục này, chúng ta trình bày các kiến thức về sự độc lập.
1.4.1 Định nghĩa. Họ hữu hạn {Fi , i ∈ I} các σ -đại số con của F được
gọi là độc lập nếu
P
Ai
i∈I
=
P (Ai ),
i∈I
với mọi Ai ∈ Fi , i ∈ I .
Họ vô hạn {Fi , i ∈ I} các σ -đại số con của F được gọi là độc lập nếu
mọi họ con hữu hạn của nó độc lập.
1.4.2 Định nghĩa. Giả sử {Xt , t ∈ ∆} là họ các phần tử ngẫu nhiên cùng
xác định trên (Ω, F, P ), nhận giá trị trên E. Khi đó, họ {Xt , t ∈ ∆} được
gọi là độc lập nếu họ các σ -đại số {σ(Xt ), t ∈ ∆} độc lập.
15
Từ định nghĩa trên, ta suy ra ngay tính chất sau đây.
1.4.3 Định lý ([1]). Giả sử E1 , E2 là các không gian Banach thực khả ly
và {Xt , t ∈ ∆} là họ các phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị trên E1 .
Khi đó, nếu với mỗi t ∈ ∆, ánh xạ Tt : E1 −→ E2 là B(E1 )/B(E2 ) đo được
thì họ {Tt (Xt ), t ∈ ∆} cũng là họ các phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận
giá trị trên E2 .
1.5
Khái niệm M -phụ thuộc
Trong mục này chúng ta trình bày một khái niệm mở rộng của khái
niệm độc lập.
1.5.1 Định nghĩa. Cho M là số tự nhiên. Tập các phần tử ngẫu nhiên
{Xij , 1
i
hoặc m ∨ n
m, 1
j
n} được gọi là M-phụ thuộc (xem [8]) nếu
M + 1 hoặc m ∨ n > M + 1 và các phần tử ngẫu nhiên
{X11 , · · · , Xij } độc lập với họ {Xkl , · · · , Xmn } trong đó (k − i) ∨ (l − j) >
M.
1.5.2 Định nghĩa. Mảng các phần tử ngẫu nhiên {Xmn , m
được gọi là M-phụ thuộc nếu với mỗi m
m, 1
j
1, n
1, n
1, tập {Xij , 1
1}
i
n} là M -phụ thuộc.
Với định nghĩa trên ta có thể thấy rằng, nếu mảng {Xmn , m
1, n
1}
độc lập thì nó là mảng 0-phụ thuộc.
Bên cạnh các khái niệm đã đưa ra, khi thiết lập kết quả chính, chúng
ta cần thêm một số khái niệm liên quan.
1.6
Một số khái niệm khác
1.6.1 Định nghĩa. Các phần tử ngẫu nhiên {Xmn , m
1, n
1} được
gọi là bị chặn ngẫu nhiên bởi phần tử ngẫu nhiên X nếu tồn tại hằng số
C < ∞ sao cho
P { Xmn > t}
CP { X > t}, t
0, m
1, n
1.
16
1.6.2 Định nghĩa. Một mảng kép {Xmn , m
1} được gọi là p-tựa
p < ∞) nếu E Xmn < ∞ với mọi m, n
trực giao (1
m1
1, n
p
n1
E
aπ1 (i)π2 (j) Xπ1 (i)π2 (j)
m2
1 và
p
n2
E
aπ1 (i)π2 (j) Xπ1 (i)π2 (j)
i=1 j=1
i=1 j=1
với mọi m2 > m1
1, n2 > n1
1, với mọi mảng kép amn , m
1, n
1
các hằng số, và với mọi hoán vị π1 và π2 lần lượt của các số nguyên
{1, . . . , m2 } và {1, . . . , n2 }.
1.6.3 Định nghĩa. Cho p > 0. Mảng kép các phần tử ngẫu nhiên {Xmn , m
1, n
1} được gọi là compact khả tích đều bậc p theo nghĩa Cesàro nếu
với mọi ε > 0, tồn tại tập compact K là tập con của E sao cho
m
n
−1
E Xij p I(Xij ∈
/ K) < ε.
sup (mn)
m 1,n 1
i=1 j=1
1.6.4 Định nghĩa. Tập con D của không gian metric E được gọi là
hoàn toàn bị chặn nếu và chỉ nếu với mọi ε > 0, tồn tại các phần tử
a1 , a2 , . . . , an ∈ E sao cho D ⊂
n
i=1 B(ai , ε),
trong đó B(x, ε) là hình cầu
mở tâm x, bán kính ε.
Kế tiếp chúng tôi đưa ra một số bất đẳng thức. Các bất đẳng thức này
đóng vai trò quan trọng trong việc thiết lập kết quả chính.
1.7
Các bất đẳng thức
1.7.1 Bất đẳng thức (Bất đẳng thức Cr ). Giả sử {Xi , 1
i
n} là
tập các phần tử ngẫu nhiên và r > 0. Khi đó
r
n
E
Xi
i=1
n
cr
E Xi
r
,
i=1
trong đó cr = max(1; nr−1 ).
Sau đây chúng ta nghiên cứu bất đẳng thức cực đại cho mảng kép phần
tử ngẫu nhiên độc lập trong không gian Banach thực khả li Rademacher
dạng p, 1
p
2. Trước hết ta cần sử dụng bổ đề sau.
17
1.7.2 Bổ đề. Nếu {Xkl , Fl , l
1}, k = 1, . . . , m là các martingale dưới
không âm, thì { max Xkl , Fl , l
1} cũng là martingale dưới không âm.
1 k m
Chứng minh. Với L > l
1, ta có
max XkL |Fl
E
max E(XkL |Fl )
1 k m
max Xkl .
1 k m
1 k m
Từ đó ta thu được điều phải chứng minh.
Công cụ chính để chứng minh Định lý 2.1.4 là bất đẳng thức cực đại
được cung cấp bởi bổ đề sau đây.
1.7.3 Bổ đề. Cho {Xij , 1
i
m, 1
j
n} là tập gồm mn phần
tử ngẫu nhiên độc lập kỳ vọng 0 trong không gian Banach thực khả li
Rademacher dạng p (1
p
k
2) và
l
Skl =
Xij , 1
k
m, 1
l
n.
i=1 j=1
Khi đó
m
E
max
Skl
1 k m,1 l n
p
n
E Xij p ,
C
(1.1)
i=1 j=1
trong đó hằng số C độc lập với m và n.
Chứng minh. Nếu E Xij
p
= ∞ với j, i nào đó thì (1.1) hiển nhiên. Do
đó, chúng ta giả sử rằng E Xij
Giả sử rằng 1 < p
2, m ∨ n
p
< ∞, 1
1 k m
k
m, 1
j
m, 2
i
m, 1
j
l
n, 1
i
l), 1
E(Sk,l−1 |Fl−1 ) = Sk,l−1 và E(Xil |Fl−1 ) = 0.
k
m, 2
l
n, ta có
k
E(Skl |Fl−1 ) = E Sk,l−1 +
Xil Fl−1
i=1
l
n.
k thì Sk,l−1 là Fl−1
đo được và σ(Xil ) và Fl−1 độc lập, ta có
Với mỗi 1
n.
2. Đặt
Yl = max Skl , Fl = σ(Xij , 1
Dễ thấy rằng, với mọi 1
i
18
k
= E(Sk,l−1 |Fl−1 ) +
E(Xil |Fl−1 ) = Sk,l−1 hầu chắc chắn.
i=1
Và do đó {Skl , Fl , 1
l
n} là martingale với mỗi k = 1, . . . , m . Theo
Scalora [13], ta có { Skl , Fl , 1
l
n} là martingale dưới không âm với
mỗi k = 1, . . . , m . Sử dụng Bổ đề 1.7.2, {Yl , Fl , 1
l
n} là martingale
dưới không âm và theo bất đẳng thức Doob (xem [4] trang 225), ta có
p
p
p
p
E
max
Skl
= E( max Yl )
EYnp .
(1.2)
1 k m;1 l n
1 l n
p−1
Đặt Gk = σ(Xij , 1
{ Skn , Gk , 1
k
i
k; 1
l
n), 1
k
m. Ta cũng có
m} là martingale dưới không âm và theo một ứng
dụng khác của bất đẳng thức Doob ta có
EYnp
=E
max Skn
1 k m
m
p
p
p−1
p
E Smn
p
n
E Xij p .
C
i=1 j=1
(1.3)
Kết luận (1.1) thu được từ (1.2) và (1.3).
2 và m ∧ n = 1, thì (1.1) được chứng minh tương
Tiếp đến, nếu 1 < p
tự như trường hợp m ∧ n
2.
Cuối cùng, nếu p = 1 thì
E
max
1 k m;1 l n
Skl
k
E
max
1 k m;1 l n
m
Xij
i=1 j=1
n
=E
l
m
n
Xij =
i=1 j=1
E Xij .
i=1 j=1
Điều này kéo theo (1.1). Bổ đề được chứng minh.
Bổ đề tiếp theo là một kết quả trong [8]. Kết quả này mở rộng Bổ
đề 1.7.3 sang trường hợp M -phụ thuộc.
1.7.4 Bổ đề. Cho E là không gian Rademacher dạng p (1
{Xij , 1
i
m, 1
j
p
2) và
n} là tập các phần tử ngẫu nhiên M -phụ thuộc
với kỳ vọng 0, nhận giá trị trên E. Khi đó
m
E
max
1 k m,1 l n
Skl
p
n
E Xij p ,
C
i=1 j=1
(1.4)
19
trong đó, hằng số C độc lập với m và n.
Hệ quả sau đây suy ra trực tiếp từ Bổ đề 1.7.4
1.7.5 Hệ quả. Cho E là không gian Rademacher dạng p (1
{Xij , 1
i
m, 1
j
p
2) và
n} là tập các phần tử ngẫu nhiên M -phụ thuộc
với kỳ vọng 0, nhận giá trị trên E. Khi đó
m
p
n
E
Xij
m
n
C
i=1 j=1
E Xij
p
(1.5)
i=1 j=1
trong đó, hằng số C độc lập với m và n.
Bổ đề sau đây đóng vai trò quan trọng khi nghiên cứu về mảng kép
phần tử ngẫu nhiên p-tựa trực giao.
1.7.6 Bổ đề (Mócricz [7]). Cho {Xmn , m
1, n
1} là mảng kép
các phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach thực khả li Rademacher
dạng p (1
m
2, n
p
1, n
1} là p-tựa trực giao thì với
2, ta có
E
2). Nếu {Xmn , m
k
l
max
1 k m;1 l n
p
Xij
i=1 j=1
m
n
E Xij p (Log m)p (Log n)p .
C
i=1 j=1
20
CHƯƠNG 2
SỰ HỘI TỤ HẦU CHẮC CHẮN VÀ HỘI TỤ THEO
TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI MẢNG KÉP CÁC PHẦN TỬ
NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN
BANACH
2.1
Sự hội tụ hầu chắc chắn đối với mảng kép các phần tử
ngẫu nhiên
Trước khi giới thiệu kết quả chính, chúng ta cần một số bổ đề sau đây.
2.1.1 Bổ đề. Cho {Xmn , m
1, n
1} là mảng kép các phần tử ngẫu
nhiên trong không gian Banach thực khả li và p ∈ (0; ∞). Nếu
∞
∞
E Xmn
p
<∞
(2.1)
m=1 n=1
thì
Xmn −→ 0 trong Lp và hầu chắc chắn khi m ∨ n → ∞.
(2.2)
Chứng minh. Với mọi ε > 0 bất kỳ, ta có
P
sup
m∨n k
P { Xmn > ε}
Xmn > ε
m∨n k
ε−p
E Xmn
p
(theo bất đẳng thức Markov)
m∨n k
−→ 0 khi k → ∞ (theo (2.1)).
Từ đó suy ra (2.2). Bổ đề được chứng minh.
Khi nghiên cứu về mảng kép các phần tử ngẫu nhiên bị chặn ngẫu nhiên,
ta cần sử dụng bổ đề sau đây.
21
2.1.2 Bổ đề (Thanh [14]). Cho {Xmn , m
1, n
1} là một mảng kép
các biến ngẫu nhiên bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X . Nếu
E(|X|q log(|X| ∨ 1)) < ∞ với p > 0 nào đó,
thì
∞
∞
m=1 n=1
E(|Xmn |p I(|Xmn | (mn)1/q ))
< ∞ với mọi p > q
(mn)p/q
và
∞
∞
m=1 n=1
E(|Xmn |r I(|Xmn | > (mn)1/q ))
< ∞ với mọi 0 < r < q.
(mn)r/q
Mệnh đề sau là một trong những kết quả chính của Thanh và Rosalsky
trong [11]. Mệnh đề này góp phần chứng minh Định lý 2.1.4.
2.1.3 Mệnh đề (Rosalsky và Thanh, [11]). Cho 1
p
2 và cho E
là một không gian Banach thực khả li. Khi đó 2 khẳng định sau là tương
đương:
(i) Không gian Banach E là Rademacher dạng p.
(ii) Với mọi mảng kép {Xmn , m
1, n
1} các phần tử ngẫu nhiên
độc lập với kỳ vọng 0 trong không gian E, điều kiện
m
n
i=1 j=1
E Xij
mp np
p
<∞
(2.3)
kéo theo luật mạnh số lớn
m
n
i=1 j=1
Xij
−→ 0 hầu chắc chắn khi max{m, n} → ∞.
mn
(2.4)
Mệnh đề 2.1.3 được tổng quát bởi định lý sau đây.
2.1.4 Định lý. Cho 1
p
2 và E là một không gian Banach thực khả
li. Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
(i) Không gian Banach E là Rademacher dạng p.
(ii) Với mọi mảng kép {Xmn , m
1, n
1} các phần tử ngẫu nhiên
độc lập với kỳ vọng 0 trong không gian E và với mọi cách chọn hằng số
22
α > 0 và β > 0, điều kiện
∞
∞
m=1 n=1
E Xmn p
<∞
mαp nβp
(2.5)
kéo theo luật mạnh số lớn
k
l
max
1 k m;1 l n
Xij
i=1 j=1
−→ 0 hầu chắc chắn và trong Lp khi m ∨ n → ∞.
(2.6)
mα nβ
(iii) Với mọi mảng kép {Xmn , m
1, n
1} các phần tử ngẫu nhiên
độc lập với kỳ vọng 0 trong không gian E và với mọi cách chọn hằng số
α > 0 và β > 0, điều kiện (2.5) kéo theo
m
n
i=1 j=1
Xij
−→ 0 hầu chắc chắn và trong Lp khi m ∨ n → ∞. (2.7)
mα nβ
Chứng minh. Từ (iii) suy ra (i) được suy trực tiếp từ Mệnh đề 2.1.3 bằng
cách cho α = β = 1. Từ (ii) suy ra (iii) là hiển nhiên. Do đó ta chỉ cần
chứng minh từ (i) suy ra (ii). Giả sử rằng (i) thỏa mãn. Khi đó
p
m
∞
k=1
∞
1
E
l=1
max
m 2k ;1 n 2l
∞
∞
C
k=1 l=1
∞ ∞
Xij
2l
E Xij
p
i=1 j=1
2αkp 2βlp
∞
C
C
i=1 j=1
2αk 2βl
2k
C
n
∞
( theo Bổ đề 1.7.3 )
E Xij p
2αkp 2βlp
i=1 j=1 k=[Logi] l=[Logj]
∞ ∞
E Xij p
2αp[Logi] 2βp[Logj]
i=1 j=1
∞ ∞
E Xij p
iαp j βp
i=1 j=1
< ∞ theo (2.5).
23
Từ Bổ đề 2.1.1 suy ra
n
m
max
k
1 m 2 ;1 n 2l
Xij
i=1 j=1
−→ 0 hầu chắc chắn khi, k ∨ l → ∞.
2αk 2βl
Kế tiếp, với m
2k , 2l−1
1, n
1, ta đặt k
1 sao cho 2k−1
1, l
(2.8)
m <
n < 2l . Khi đó
r
s
max
1 r m;1 s n
m
max
k
Xij
1 m 2 ;1 n 2l
i=1 j=1
mα nβ
n
Xij
i=1 j=1
2α(k−1) 2β(l−1)
m
max
k
= 2α+β
1 m 2 ;1 n 2l
n
Xij
i=1 j=1
2αk 2βl
−→ 0 hầu chắc chắn khi m ∨ n → ∞ ( theo (2.8)).
Điều này suy ra (2.6).
Hệ quả sau đây được suy trực tiếp từ định lý trên.
2.1.5 Hệ quả. Cho α ∧ β > 0 và {Xmn , m
1, n
1} là mảng kép các
phần tử ngẫu nhiên độc lập kỳ vọng 0 trong không gian Banach thực khả
li Rademacher dạng p (1
E Xmn
p
2). Nếu
mαp−1 nβp−1
C
(log(m + 1)log(n + 1))1+ε
p
với các hằng số α > 0, β > 0, ε > 0, C < ∞ nào đó và với mọi m
(2.9)
1, n
1, thì
k
l
max
1 k m;1 l n
Xij
i=1 j=1
mα nβ
−→ 0 hầu chắc chắn và trong Lp khi m ∨ n → ∞.
(2.10)
Chứng minh. Chú ý rằng vì (2.9) nên
∞
∞
m=1 n=1
E Xmn p
mαp nβp
∞
∞
C
m=1 n=1
1
< ∞.
mn (log(m + 1)log(n + 1))1+ε
Từ Định lý 2.1.4 suy ra kết luận (2.10).
24
2.1.6 Nhận xét. Như chúng ta biết, nếu một mảng kép {Xmn , m
1, n
1} các phần tử ngẫu nhiên độc lập kỳ vọng 0 trong không gian Banach
thực khả li Rademacher dạng p (1
p
sup E Xmn
2) sao cho
p
< ∞,
(2.11)
m 1,n 1
thì (2.9) thỏa mãn với mọi ε > 0 và C < ∞ nào đó, α ∧ β > 1/p. Theo
Hệ quả 2.1.5 suy ra (2.10). Điều kiện (2.11) hiển nhiên thỏa mãn nếu
{Xmn , m
1, n
1} bị chặn ngẫu nhiên bởi phần tử ngẫu nhiên X , với
E X
p
< ∞.
(2.12)
Khi α = β = 1/q > 1/p, hệ quả tiếp theo thiết lập sự hội tụ hầu chắc
chắn (2.14) cho một mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập kỳ vọng 0 và
bị chặn ngẫu nhiên bởi phần tử ngẫu nhiên X thỏa mãn điều kiện (2.13),
một điều kiện yếu hơn (2.12). Chứng minh Hệ quả 2.1.7 sẽ được chứng
minh sau khi chúng ta chứng minh Định lý 2.1.8.
2.1.7 Hệ quả. Cho {Xmn , m
1, n
1} là mảng kép các phần tử ngẫu
nhiên độc lập kỳ vọng 0 trong không gian Banach thực khả li E Rademacher
2). Giả sử rằng {Xmn , m
dạng p (1 < p
1, n
1} bị chặn ngẫu nhiên
bởi phần tử ngẫu nhiên X với
E( X
với 1
q
log ( X ∨ 1)) < ∞
(2.13)
q < p nào đó. Khi đó
k
l
max
1 k m;1 l n
Xij
i=1 j=1
(mn)1/q
−→ 0 hầu chắc chắn khi m ∨ n → ∞. (2.14)
2.1.8 Định lý. Cho {Xmn , m
1, n
1} là một mảng kép các phần tử
ngẫu nhiên trong không gian Banach thực khả li và cho α > 0, β > 0 và
0
1. Nếu
∞
∞
m=1 n=1
E Xmn p
<∞
mαp nβp
(2.15)
25
thì
l
k
max
1 k m;1 l n
Xij
i=1 j=1
−→ 0 hầu chắc chắn khi m ∨ n → ∞. (2.16)
mα nβ
Chứng minh. Với m
1, n
k
E
l
max
1, ta có
p
Xij
1 k m;1 l n
E
max
1 k m;1 l n
i=1 j=1
Xij
i=1 j=1
k
E
m
n
Xij p
i=1 j=1
(do 0 < p
i=1 j=1
n
m
=
E Xij
p
.
i=1 j=1
Do đó
k=1
∞
1
E
l=1
m
∞
C
k=1 l=1
∞ ∞
C
C
C
i=1 j=1
2αk 2βl
∞
p
n
max
m 2k ;1 n 2l
2k
Xij
2l
E Xij
p
i=1 j=1
2αkp 2βlp
∞
1)
Xij p
E
∞
l
max
1 k m;1 l n
p
l
k
∞
E Xij p
2αkp 2βlp
i=1 j=1 k=[Logi] l=[Logj]
∞ ∞
E Xij p
2αp[Logi] 2βp[Logj]
i=1 j=1
∞ ∞
E Xij p
< ∞.
αp j βp
i
i=1 j=1
(2.17)
