Rèn luyện năng lực giải toán theo định hướng phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học chủ đề nguyên hàm và tích phân ở lớp 12

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

PHAN MINH TÂN

RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN THEO ĐỊNH HƯỚNG
PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ TRONG DẠY HỌC
CHỦ ĐỀ NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ở LỚP 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ mơn Tốn
Mã số: 60.14.10

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. LÊ QUỐC HÁN
TS. ĐINH QUANG MINH

Nghệ An-2013


2
Lời cảm ơn
Trước hết tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS.Đinh Quang Minh,
PGS.TS.Lê Quốc Hán đã nhiệt tình hướng dẫn tơi hồn thành Luận văn.
Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban giám hiệu, Ban chủ
nhiệm khoa Toán, khoa Sau đại học trường Đại học Vinh, cùng tất cả các thầy
cô giáo đã tham gia giảng dạy trong suốt q trình tơi học tập nghiên cứu và
hồn thành các chun đề thạc sĩ.
Tơi cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo trong Ban giám hiệu, tổ Toán
trường THPT Phạm Ngũ Lão, Thành phố Hồ Chí Minh, nơi tơi đang cơng tác
giảng dạy, đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong quá trình tơi tiến hành
thực nghiệm sư phạm.

Luận văn cịn có sự giúp đỡ về tài liệu và những ý kiến góp ý q báu
của các thầy cơ giáo thuộc chun ngành Lý luận và Phương pháp giảng dạy
bộ mơn Tốn.
Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng
nghiệp - những người ln cổ vũ động viên tơi để tơi hồn thành tốt Luận văn
này.
Tuy đã có nhiều cố gắng, Luận văn chắc chắn khơng tránh khỏi những
thiếu sót cần được góp ý, sửa chữa. Rất mong nhận được những ý kiến đóng
góp của các thầy cơ giáo và bạn đọc.
Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2013
Tác giả


3

MỤC LỤC
Mở đầu...............................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài...........................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu.....................................................................................4
3. Nhiệm vụ nghiên cứu....................................................................................4
4. Phương pháp nghiên cứu...............................................................................4
5. Giả thiết khoa học..........................................................................................5
6. Dự kiến đóng góp của luận văn.....................................................................5
7. Cấu trúc luận văn...........................................................................................5
Chương 1 : Cơ sở lý luận và thực tiễn...............................................................6
1.1 Một số vấn đề về giải tốn ở trường phổ thơng...........................................6
1.1.1 Vai trị của bài tập trong quá trình dạy học...............................................6
1.1.2 Các yêu cầu đối với lời giải....................................................................10
1.1.3 Phương pháp chung để giải toán ...........................................................12
1.2 Năng lực, năng lực giải toán theo định hướng phát hiện và giải quyết vấn

đề.....................................................................................................................19
1.2.1 Năng lực.................................................................................................19
1.2.2 Năng Lực toán học.................................................................................20
1.2.3 Sử dụng phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề để rèn luyện năng
lực giải toán.....................................................................................................22


4
1.2.3.1 Năng lực phát hiện phương pháp giải toán của THPT........................22
1.2.3.2 Bản chất, các thành phần đặc trưng của năng lực phát hiện phương
pháp giải toán..................................................................................................23
1.2.4 Năng lực giải quyết vấn đề trong tốn học.............................................28
1.2.4.1 Vai trị của hoạt động giải quyết vấn đề trong toán học......................28
1.2.4.2 Nội dung của hoạt động giải quyết vấn đề dạy học toán.....................29
1.3 Vị trí và vai trị của chủ đề Ngun hàm, Tích phân trong chương trình
tốn phổ thơng.................................................................................................30
1.4 Một phần thực trạng việc rèn luyện năng lực giải toán chủ đề Nguyên
hàm, Tích phân cho học sinh trung học phổ thơng hiện nay...........................31
1.4.1 Về phía Giáo viên...................................................................................31
1.4.2 Về phía Học sinh....................................................................................33
1.5 Kết luận chương 1.....................................................................................33
Chương 2 Các biện pháp sư phạm góp phần rèn luyện năng lực giải toán theo
định hướng phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học chủ đề Nguyên hàm,
Tích phân.........................................................................................................35
2.1 Biện pháp 1. Rèn luyện năng lực giải tốn qua việc hình thành kỹ năng
nhận dạng và thể hiện trong giải tốn ngun hàm, tích phân........................35
2.1.1 Nhận dạng một khái niệm......................................................................35
2.1.2 Nhận dạng một định lý...........................................................................39
2.1.3 Nhận dạng một phương pháp.................................................................43
2.1.3.1 Nhận dạng phương pháp đổi biến số..................................................43

5
2.1.3.2 Nhận dạng phương pháp từng phần...................................................48
2.2 Biện pháp 2. Bồi dưỡng tư duy thuật giải trong tính nguyên hàm , tích
phân
.........................................................................................................................53
2.2.1 Thuật giải một số dạng hữu tỉ cơ bản.....................................................53
2.2.2 Thuật giải cho một số bài toán sử dụng tích phân từng
phần....................57
2.2.3 Thuật giải một số nguyên hàm của hàm lượng giác............................58
2.3 Biện pháp 3. Rèn luyện năng lực giải toán qua phát hiện và sửa chữa sai
lầm.......................................................................................................................
.........................................................................................................................62
2.3.1 Sai lầm liên quan đến phân chia trường hợp riêng.................................63
2.3.2 Sai lầm do ngôn ngữ diễn đạt.................................................................65
2.3.3 Sai lầm liên quan đến cảm nhận trực quan.............................................67
2.3.4 Sai lầm liên quan đến nắm không vững nội hàm khái niệm hoặc điều
kiện áp dụng định lý........................................................................................68
2.3.5 Sai lầm liên quan đến thao tác tư duy.....................................................71
2.3.6 Sai lầm liên quan đến nhận thức sự tương ứng......................................72
2.3.7 Sai lầm liên quan đến chủ nghĩa hình thức.............................................74
2.4 Biện pháp 4 Tăng cường ứng dụng công nghệ thơng tin vào rèn luyện
năng lực giải tốn ngun hàm, tích phân.......................................................75
2.4.1 Ứng dụng vào tính diện tích hình phẳng................................................75


6
2.4.2 Ứng dụng vào tính thể tích vật thể.........................................................78
2.5 Kết luận chương 2 ....................................................................................81

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm....................................................................82
3.1 Mục đích thực nghiệm ..............................................................................82
3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm.............................................................82
3.2.1 Tổ chức thực nghiệm..............................................................................82
3.2.2 Nội dung thực nghiệm............................................................................83
3.2.3 Ý định sư phạm của đề kiểm tra.............................................................87
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm..................................................................88
3.3.1 Đáp án đề kiểm tra..................................................................................88
3.3.2 Đánh giá kết quả thực nghiệm................................................................91
3.4 Kết luận chương 3....................................................................................92
Kết luận chung.................................................................................................93
Tài liệu tham khảo...........................................................................................94

Danh mục các ký hiệu viết tắt
Dạy học

DH

Giải quyết vấn đề

GQVĐ

Giáo viên

GV

Học sinh

HS

Phát hiện

PH

Trung học phổ thông

THPT


7
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
1.1 Thực hiện chủ trương của Đảng, của Bộ Giáo dục và Đào tạo và
đáp ứng yêu cầu phát triển mới của xã hội thì q trình dạy học nói chung,
dạy học mơn tốn nói riêng đã có nhiều sự thay đổi, nghị quyết TW2-khóa
VIII đã chỉ rõ “đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục và đào tạo, khắc phục
lối dạy học truyền thụ một chiều, rèn luyện nếp tư duy cho học sinh (HS),
từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến vào quá trình dạy học”. Điều
này đã được thể chế hóa trong Luật giáo dục 2005 (Điều 28, mục 2) ghi rõ:
‘‘Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ
động, sáng tạo của HS; phù hợp với đặc điểm từng lớp học, môn học; bồi
dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kỹ năng
vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm đem lại niềm vui,
hứng thú học tập cho HS’’. Phương pháp phát hiện (PH) và giải quyết vấn đề
(PHVĐ) chứa đựng nhiều tiềm năng về việc: Kiến thức được hình thành
khơng phải bằng áp đặt mà là kết quả của quá trình hoạt động tích cực, chủ
động, sáng tạo, kiến thức mới liên hệ với kiến thức cũ, khó qn, mà có qn
thì cũng biết cách tìm lại được thơng qua hoạt động PH và GQVĐ thì tư duy
được rèn luyện tồn diện, điển hình là các loại hình tư duy biện chứng và tư
duy hình tượng. Đó là những loại hình tư duy gắn liền với hoạt động sáng tạo.

Mặt khác qua PH và GQVĐ thì những thành phần của nhân cách được hình
thành và củng cố, như: tinh thần tiến cơng, đẩy lùi giới hạn của sự không hiểu
biết, trân trọng thành quả của lao động sáng tạo, nhận thức được cái đẹp,…
Với ý nghĩa trên, phương pháp PH và GQVĐ cần được nghiên cứu
nghiêm túc để vận dụng rộng rãi, trở thành một phương pháp chủ đạo trong
dạy học Toán ở nhà trường.


8
1.2 Một người được coi là có năng lực nếu trong một hồn cảnh nhất
định người đó nắm vững tri thức, kỹ năng, kỹ xảo để giải quyết vấn đề nhanh
nhất và đạt hiệu quả cao nhất. Năng lực giải toán là một thể hiện của năng lực
toán học là khả năng vận dụng những kiến thức đã học đã được lựa chọn vào
giải bài tập tốn. Vì thế, việc bồi dưỡng năng lực giải toán là rất cần thiết,
điều này không những giúp HS hứng thú học tập môn Tốn nói riêng mà cịn
giúp người học có những phẩm chất, năng lực giải quyết công việc trong
cuộc sống đáp ứng yêu cầu và nhiệm vụ đào tạo con người mới.
1.3 Thực tiễn giảng dạy bộ mơn Tốn hiện nay ở các trường Trung học
phổ thơng (THPT) cịn nhiều vấn đề bất cập trong phương pháp giảng dạy
truyền thụ tri thức cho học sinh. Đã có nhiều áp dụng các phương pháp dạy
học (DH) như các phương pháp truyền thống cũng như các phương pháp DH
hiện đại vào thực tiễn giảng dạy nhưng vẫn chưa phát huy được tính tích cực,
chủ động, sáng tạo của HS, HS vẫn còn thụ động trong việc tiếp thu các tri
thức khoa học, chưa phát huy hết đặc điểm nổi bật của mơn Tốn trong việc
giáo dục nhân cách cho HS. Để đáp ứng được những yêu cầu trên chúng ta
không chỉ dừng lại ở việc nêu định hướng đổi mới phương pháp DH mà cần
đi sâu vào những phương pháp DH cụ thể như những phương pháp để thực
hiện định hướng nói trên. Theo xu hướng đó hiện nay có rất nhiều phương
pháp, quan điểm DH mới đang được PH và nghiên cứu để áp dụng vào thực
tiễn giảng dạy, một trong các phương pháp đó là: “ Phát hiện và giải quyết

vấn đề”. Phương pháp dạy học “ Phát hiện và giải quyết vấn đề ” là một
phương pháp DH tích cực. Nó phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của
HS. Phương pháp dạy học này phù hợp với tư tưởng hiện đại về đổi mới mục
tiêu, phù hợp với yêu cầu đổi mới của giáo dục nước nhà là xây dựng những
con người biết đặt và giải quyết vấn đề trong cuộc sống, phù hợp với hệ giá trị
chuẩn mực, những con người thực sự là động lực của phát triển bề vững và
nhanh chóng của đất nước. Chủ đề Nguyên hàm, Tích phân lớp 12 đối với HS


9
ở trường trung học phổ thông (THPT) được coi là một phần khó, chưa gây
được sự hứng thú trong học tập của HS và là một phần rất quan trọng vì nó
thường xun xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp, đề thi tuyển sinh vào các
trường Đại học, Cao đẳng và các trường Trung học chuyên nghiệp. HS với
tâm lí ngại và sợ học phần này dẫn tới hiệu quả của việc dạy và học không
cao. Để cải thiện tình hình nói trên, giáo viên (GV) cần phải có những biện
pháp tích cực trong đó việc thay đổi phương pháp DH theo hướng tích cực là
cấp thiết. Thay đổi phương pháp DH như thế nào là bài toán rất khó cần nhiều
thời gian và cơng sức tìm tịi của GV, tuy nhiên quan trọng hơn cả vẫn là sử
dụng phương pháp DH như thế nào để đạt được hiệu quả trong quá trình DH.
1.4 Rèn luyện năng lực giải tốn cũng như phương pháp DH PH và
GQVĐ có ý nghĩa và vai trò rất quan trọng trong việc DH tốn ở trường phổ
thơng. Đã có một số cơng trình nghiên cứu riêng rẽ về 2 vấn đề trên có thể kể
đến trong luận văn thạc sỹ Nguyễn Trần Lâm : “Góp phần phát triển năng lực
giải quyết vấn đề cho học sinh trung học phổ thông trong dạy học toán”.
Luận văn của thạc sỹ Nguyễn Thị Kim Duyên: ‘‘Rèn luyện năng lực giải bài
tập toán học cho học sinh trung học phổ thông qua phương pháp dạy học hợp
tác’’ đã đề cập đến việc rèn luyện năng lực giải bài tập tốn nhưng thơng qua
dạy học hợp tác. Tuy nhiên việc nghiên cứu chuyên sâu vào chủ đề nguyên
hàm, tích phân cịn chưa được nhiều GV quan tâm đến.

Với những lý do nêu trên chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn
là: ‘‘Rèn luyện năng lực giải toán theo định hướng phát hiện và giải quyết
vấn đề trong dạy học chủ đề nguyên hàm và tích phân ở lớp 12’’.
2. Mục đích nghiên cứu
Hệ thống hóa một số vấn đề lí luận và thực tiễn về năng lực giải toán,
năng lực GQVĐ và năng lực giải toán theo định hưóng PH và GQVĐ trong


10
DH tốn chủ đề ngun hàm, tích phân. Từ đó xây dựng các biện pháp sư
phạm phù hợp nhằm góp phần nâng cao chất lượng DH toán ở trường THPT.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
3.1 Tìm hiểu về phương pháp dạy học PH và GQVĐ trong mơn tốn.
3.2 Tìm hiểu lý luận về rèn luyện năng lực giải toán, tập trung vào việc
dạy học giải tốn ngun hàm, tích phân ở lớp 12 và thực trạng dạy học chủ
đề này ở trường phổ thông.
3.3 Đề xuất các biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện năng lực giải toán
chủ đề nguyên hàm, tích phân theo định hướng phương PH và GQVĐ.
3.4 Tiến hành thực nghiện sư phạm đối với phương án đề ra.
4. Phương pháp nghiên cứu
4.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận: tra cứu các tài liệu và văn bản có
liên quan đến đề tài, phân tích tổng hợp, phân loại, hệ thống hóa.
4.2 Phương pháp điều tra, tìm hiểu thực trạng việc sử dụng phương
pháp dạy học PH và GQVĐ vào chủ đề nguyên hàm, tích phân lớp 12 để rèn
luyện năng lực giải toán cho HS.
4.3 Phương pháp thực nghiệm
5. Giả thuyết khoa học
Nếu tiến hành vận dụng phương pháp DH PH và GQVĐ vào DH chủ
đề nguyên hàm, tích phân ở lớp 12 dựa trên những định hướng tư tưởng chủ
đạo nhất định thì sẽ giúp cho học sinh rèn luyện được năng lực giải tốn và

góp phần nâng cao hiệu quả dạy học chủ đề này.


11
6. Đóng góp của Luận văn
6.1 Trên cơ sở tổng hợp những vấn đề về lý luận của năng lực giải tốn,
các phương pháp DH tích cực (trong đó chú trọng phương pháp DH PH và
GQVĐ), Luận văn đưa ra được một số định hướng vận dụng phương pháp PH
và GQVĐ vào chủ đề nguyên hàm, tích phân nhằm bồi dưỡng năng lực giải
tốn, khích lệ, phát huy được những hoạt động tự chủ, tìm tịi sáng tạo giải
quyết vấn đề của HS trong quá trình chiếm lĩnh tri thức.
6.2 Xây dựng một số biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện cho HS năng
lực giải toán theo định hướng PH và GQVĐ vào giải bài tập nguyên hàm, tích
phân.
7. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tham khảo luận văn gồm có
3 chương:
Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn
1.1
1.2

Một số vấn đề về giải tốn ở trường phổ thơng
Năng lực, năng lực giải toán theo định hướng phát hiện và giải

1.3

quyết vấn đề
Vị trí và vai trị của chủ đề ngun hàm, tích phân trong chương

1.4

trình tốn phổ thơng
Một phần thực trạng việc rèn luyện năng lực giải tốn chủ đề

1.5

ngun hàm, tích phân cho học sinh trường phổ thông hiện nay
Kết luận chương 1

Chương 2 Các biện pháp sư phạm góp phần rèn luyệnnăng lực giải toán
theo định hướng phát hiện và giải quyết vấn đề
2.1 Biện pháp 1: Rèn luyện năng lực giải tốn qua việc hình thành kỹ
năng nhận dạng và thể hiện trong giải tốn ngun hàm, tích phân


12
2.2 Biện pháp 2: Bồi dưỡng tư duy thuật giải trong tính nguyên hàm,
tích phân
2.3 Biện pháp 3: Rèn luyện năng lực giải toán qua phát hiện và giải
quyết vấn đề
2.4 Biện pháp 4: Tăng cường ứng dụng công nghệ thơng tin trong dạy
học tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể trịn xoay
2.5 Kết luận chương 2
Chương 3 Thực nghiệm sư phạm
3.1 Mục đích thực nghiệm
3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm
3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm
3.4 Kết luận chương 3

13
Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1

Một số vấn đề về giải tốn ở trường phổ thơng
1.1.1 Vai trị của bài tập trong q trình dạy học

Bài tập tốn học có vai trị quan trọng trong mơn học Tốn. Thơng qua
giải bài tập, HS phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận
dạng và thể hiện định nghĩa, định lí, quy tắc hay phương pháp, những hoạt
động Tốn học phức hợp, những hoặc động trí tuệ phổ biến trong Tốn học,
những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ [21, tr. 97].
Cũng theo Nguyễn Bá Kim thì hoạt động của HS liên hệ mật thiết với mục
tiêu, nội dung, và phương pháp DH được thể hiện trên 3 bình diện:
Thứ nhất, trên bình diện mục tiêu DH, bài tập tốn học ở trường phổ
thơng là giá mang những hoạt động (đó là những hoạt động cơ sở làm nền
tảng cho những hoạt động khác) mà việc thực hiện các hoạt động đó thể hiện
mức độ đạt mục tiêu. Mặt khác, những bài tập cũng thực hiện những chức
năng khác nhau hướng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học mơn Tốn, cụ
thể là:
-

Hình thành, cũng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những khâu khác nhau trong

-

quá trình DH, kể cả kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn;
Phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những hoạt động tư duy, hình thành

-

những phẩm chất trí tuệ;
Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất đạo
đức của người lao động mới. [21,tr. 386]
Thứ hai, trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập toán học là giá
mang hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, một phương diện cài
đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã được
trình bày trong phần lý thuyết. [21,tr. 387]


14
Thứ ba, trên bình diện phương pháp tốn học, bài tập toán học là giá
mang hoạt động để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở
đó thực hiện mục tiêu dạy học khác. Khai thác tốt những bài tập như vậy sẽ
góp phần tổ chức cho HS học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác,
tích cực, chủ động và sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu.
[21, tr 387]
Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý khác
nhau về phương pháp toán học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm
việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra,... Đặc biệt là về mặt kiểm tra,
bài tập là phương tiện để đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm
việc độc lập và trình độ phát triển của HS,... Một bài tập cụ thể có thể nhắm
vào một hay nhiều dụng ý trên.
1.1.2 Chức năng phát triển bài tập toán trong dạy học giải bài tập
toán
Ở trường phổ thơng, dạy tốn là dạy hoạt động tốn học cho HS và
hình thức chủ yếu của hoạt động tốn học ở phổ thơng là hoạt động giải tốn.
Theo Nguyễn Bá Kim [21, tr.386] các bài tập tốn có các chức năng
sau:
-

Chức năng dạy học: Các bài tập nhằm hình thành, cũng cố cho HS những tri

-

thức, kỹ năng, kỹ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình DH.
Chức năng giáo dục: Các bài tập nhằm hình thành cho HS thế giới quan quy
vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đức của con

-

người lao động mới.
Chức năng phát triển: Các bài tập nhằm phát triển năng lực tư duy của HS,
đặc biệt rèn luyện các thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất của tư duy

-

khoa học.
Chức năng kiểm tra: Các bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy và học,
đánh giá khả năng độc lập học tốn và trình độ phát triển của HS.


15
Trong thực tế dạy học giải bài toán, các chức năng trên không bộc lộ một
cách riêng lẻ và tác rời nhau. Khi ta nói đến một chức năng này hay chức
năng khác của bài tập cụ thể ta hiểu là hàm ý nói về việc thực hiện chức năng
ấy được tiến hành một cách tường minh và công khai, còn các chức năng khác
được biểu hiện một cách ẩn tàng, nhưng đều hướng đến việc thực hiện nội
dung, mục đích DH.
Vì thế có thể nói rằng tổ chức việc dạy giải bài tập tốn (hoạt động giải

tốn) có tác dụng quyết định đối với chất lượng dạy học toán.
Trong phạm vi của Luận văn, chúng tôi chỉ giới thiệu cách khai thác chức
năng phát triển của bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư PH năng lực giải
toán cho HS. Qua đó khi học chủ đề nguyên hàm, tích phân HS có khả năng
phát triển những bài tốn đã học thành những bài toán tương tự hay bài tốn
tổng qt, từ đó HS có thể tự phân dạng hệ thống hóa bài tập một cách dễ
dàng từ đó nâng cao năng lực giải tốn.
Ví dụ 1: Xét bài tốn tìm ngun hàm

Với biến đổi

∫ sin

3

f ( x ) = sin 3 x

.

xdx = ∫ sin 2 x.sin xdx = ∫ (1 − cos 2 x)sin xdx

dàng giải với phép đổi biến số

t = cosx, dt = − sin xdx

đó thì HS cũng có thể giải được

∫ sin

5

. Khi đã giải được bài toán

∫ cos xdx ∫ cos xdx
3

xdx

,

bài tốn dễ

5

,

… một cách

tương tự. Từ đó PH ra dạng tổng quát của bài toán và cách giải tương ứng là:

∫ sin

2 n +1

∫ cos

xdx, n ∈ N *

với phép đổi biến
2 n +1

xdx

với phép đổi biến

t = cosx, dt = − sin xdx

t = s inx, dt = cos xdx

.

.


16
Những bài tập dạng như trên vừa giúp HS hệ thống hóa kiến thức vừa giúp
HS phát triển năng lực tư duy tương tự hóa, khái quát hóa.
Các con đường khai thác chức năng phát triển của bài tập toán:
-

Theo quan điểm Nguyễn Bá Kim “dạy học trong hoạt động và bằng hoạt
động” và dựa vào nội dung DH, việc khai thác chức năng phát triển của bài

-

toán cần được thực hiện bằng những con đường sau:
Thông qua DH giải bài tập toán, tăng cường rèn luyện cho HS những hoạt
động tốn học phức hợp. Đó là những hoạt động như chứng minh, giải bài

-

tốn bằng cách lập phương trình, giải tốn dựng hình, tìm tập hợp điểm,...
Thơng qua DH giải bài tập toán, tăng cường rèn luyện cho HS những hoạt
động như lật ngược vấn đề, xét tính giải được (có nghiệm, nghiệm duy nhất,
nhiều nghiệm), phân chia trường hợp, hoạt động tư duy hàm, mơ hình hóa và

-

thể hiện.
Thơng qua DH giải bài tập tốn, tăng cường rèn luyện cho HS những hoạt
động phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hóa, trừu tượng hóa, khái quát

-

hóa, đặc biệt hóa, cụ thể hóa,...
Thơng qua DH giải bài tập tốn, tăng cường rèn luyện cho HS những hoạt
động ngơn ngữ. Đó là những hoạt động được tiến hành khi HS được yêu cầu
phát biểu định nghĩa, định lý, mệnh đề tốn học, giải thích hoặc biến đổi một
mệnh đề tốn học.
1

I=

Ví dụ 2: Tính tích phân

∫

−1

2x +1

x2 + x + 1

dx

.

Nhìn vào bài tốn ta có thể nhận thấy rằng

(2 x + 1)dx

là vi phân của

cho nên ta có thể giải bài toán bằng cách đổi biến số
t = x2 + x + 1

.

x2 + x + 1

t = x2 + x + 1

hay


17
Khi nghĩ đến một bài tốn tương tự thì bài tốn cũng có thể giải với căn
1

I=

bậc 3, bậc 4 … suy ra bài toán tổng quát.

∫

−1

2x +1
n

x2 + x + 1

dx, n = 2,3,...

.

1.1.2 Các yêu cầu đối với lời giải
Các yêu cầu đối với lời giải bài toán là:
- Lập luận chặt chẽ. Đặc biệt là lời giải phải tuân thủ các yêu cầu sau:
Luận đề phải nhất quán;
Luận cứ phải đúng;
Luận chứng phải hợp lôgic;
Lời giải đầy đủ; u cầu này có nghĩa là lời giải khơng được bỏ sót một
trường hợp, một chi tiết cần thiết nào.
- Ngơn ngữ chính xác. Đây là một u cầu về giáo dục tiếng mẹ đẻ đặt ra
cho tất cả các bộ mơn. Việc dạy học mơn Tốn cũng phải tuân thủ yêu cầu
này.
- Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật. Yêu cầu này đặt ra đối với cả lời
văn, chữ viết, hình vẽ, cách sắp xếp các yếu tố (chữ số, hình, kí hiệu,…) trong
lời giải.
- Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lí nhất.[21,tr. 388]

Đối với bài tập ngun hàm, tích phân thì với những cách đổi biến số khác
nhau hay lựa chọn phương pháp tính khác nhau thì lời giải sẽ khó dễ ngắn dài
khác nhau. Vì vậy sau khi giải xong cần yêu cầu HS phân tích kĩ lời giải, các
cách giải để lựa chọn lời giải thích hợp.


18
1

I =∫

Ví dụ 3: Tính tích phân

0

x3
x2 + 1 + 1

dx

.

Bài tốn này có thể giải bằng hai cách đổi biến số:
2

t = x2 + 1 ⇒ I = ∫
1

Cách 1. Đổi biến

t − 1 dt
t +1 2

. Tới đây ta vẫn chưa thể tìm được

ngun ngay được, để tính được ta phải đổi biến số

u= t

một lần nữa  Lời

giải còn dài dòng.
Cách 2. Từ hai cách đổi biến trên ta có thể gộp lại thành phép đổi biến
2

t = 1 + x2 ⇒ t 2 = 1 + x2 ⇒ I =

∫
1

t 2 −1
.tdt =
t +1

2

∫ (t

2

− t ) dt

1

. Với cách giải này thì lời giải

ngắn gọn nhất đảm bảo yêu cầu ngắn gọn hợp lý.
1

I = ∫ x ln ( 1 + x 2 ) dx

Ví dụ 4: Xét bài tốn tính tích phân

0

Khi nhìn vào bài toán này tùy vào cảm nhận hay dự đoán của HS có thể
làm theo hai hướng:

Hướng 1: Vì hàm số sau dấu ngun hàm có chứa cả
tính tích phân bằng cách đổi biến số

t = 1 + x2

.

x

và

x2

nên ta có thể


19
Hướng 2: Vì hàm số sau dấu nguyên hàm chứa hai loại hàm khác nhau nên ta
có thể tính tích phân đã cho bằng cách tích phân từng phần với cách đặt
u = ln(1 + x 2 ), dv = xdx

.
Lời giải tương ứng với hai hướng:
t = 1 + x 2 ⇒ dt = 2 xdx ⇒ xdx =

Cách 1. Đặt

dt
2

, đổi cận với

x = 0 ⇒ t = 1, x = 1 ⇒ t = 2

2

I=

. Suy ra

phần ta đặt

1
ln tdt
2 ∫1

. Đây là bài toán cơ bản của phương pháp tích phân từng

dt

u = ln t
du =
⇒
t

dv = dt v = t


2

. Suy ra

1
1 t
1
2 ln 2 − 1
I = t.ln t |12 − ∫ dt = ln 2 − t |12 =
2
21t
2
2

.
2x

du =

u = ln(1 + x ) 
1 + x2
⇒

2
 dv = xdx
v = x

2
2

Cách 2. Đặt

1

Suy ra

x2
x2
ln 2
I = .ln(1 + x 2 ) |10 − ∫
.xdx =
− I1
2
2

1+ x
2
0

Phân tích tích phân

I1

ta thấy hàm số sau dấu ngun hàm chứa

theo có thể tính tích phân
⇒ dt = 2 xdx ⇒ xdx =
2

dt
2

.

, đổi cận

I1

bằng cách đổi biến số

x = 0 ⇒ t = 1, x = 1 ⇒ t = 2

2

t − 1 dt 1

1
1
1
. = ∫ (1 − )dt = (t − ln t ) |12 = (1 − ln 2)
t 2 21
t
2
2
1

I1 = ∫

x

.

suy ra

và

x2

nên

t = 1 + x2


20
I=

ln 2 1 ln 2 2 ln 2 − 1
− +
=
2 2 2
2

Vậy
.
Với hai cách giải trên thì lời giải cách 1 đơn giản ngắn gọn hơn.
1.1.3 Phương pháp chung để giải bài toán
Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của
Pôlya (1975) về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn
dạy học, có thể nêu lên phương pháp chung để giải bài tốn như sau:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài:
-

Phát biểu đề bài dưới những dạng thức đề bài để hiểu rõ nội dung bài toán;
Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh;
Có thể dùng cơng thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài.[21,
tr.387]
Để làm những việc đó thì GV có thể sử dụng các câu hỏi để HS tìm hiểu đề
bài chẳng hạn:
- Đâu là cái phải tìm, Cái đã cho? Cái phải tìm có thể thỏa mãn các điều

-

kiện có trước hay khơng? Hay chưa đủ? Hay thừa? Hay có mâu thuẫn?
Hay vẽ hình. Hãy sử dụng kí hiệu thích hợp.
Phân biệt các phần khác nhau của điều kiện. Có thể diễn tả các điều kiện đó
thành cơng thức hay khơng?

Bước 2: Tìm cách giải

-

Tìm tịi, PH cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đốn: biến đổi cái
đã cho, biến đổi cái phải tìm hay chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cái phải
tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ
tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài tốn
nào đó có liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù với dạng toán như
chứng minh phản chứng, quy nạp tốn học, tốn dựng hình, tốn quy tích

-

v.v,...
Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hóa
kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan, ...


21
-

Tìm tịi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn được một cách giải hợp

-

lí nhất.
Các câu hỏi GV có thể sử dụng để HS tìm lời giải là:
Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hay đã gặp bài toán này ở một dạng

-

hơi khác?
Hay xét kĩ cái chưa biết và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng cái

-

chưa biết hay có cái cho biết tương tự.
Bạn có biết một bài tốn nào có liên quan khơng? Có thể áp dụng một định lí

-

nào đó khơng?
Thấy được một bài tốn có liên quan mà bạn đã có lần giải rồi, có thể sử dụng
nó khơng? Có thể sử dụng kết quả của nó khơng? Hãy sử dụng phương pháp
giải bài tốn đó. Có cần phải đưa thêm một số yếu tố phụ thì mới áp dụng

-

được bài tốn đó hay khơng?
Có thể phát biểu bài tốn một cách khác hay khơng? Một cách khác nữa?

-

Quay về những định nghĩa.
Nếu bạn chưa giải được bài tốn đã đề ra thì thử giải một bài tốn có liên
quan và dễ hơn hay khơng? Một bài tốn tổng quát hơn? Một trường hợp
riêng? Một bài toán tương tự? Bạn có thể giải một phần bài tốn hay không?
Hay giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia. Khi đó cái cần tìm được xác
định đến một chừng mực nào đó, nó biến đổi như thế nào? Bạn có thể nghĩ ra
nhưng điều kiện khác có thể giúp bạn xác định được cái phải tìm hay khơng?

Có thể thay đổi cái phải tìm hay cái đã cho, hay cả hai nếu cần thiết, sao cho

-

cái phải tìm mới và cái đã cho mới được gần nhau hơn không?
Bạn đã sử dụng mọi cái đã cho hay chưa? Đã sử dụng hết các điều kiện hay

-

chưa? Đã để ý một khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?
Bạn có thể kiểm tra lại kết quả? Có thể kiểm tra từng bước, thấy mỗi bước

-

đều đúng? Bạn có thể kiểm tra lại tồn bộ q trình giải bài tốn hay khơng?
Có thể tìm được kết quả một cách khác khơng? Có thể thấy trực tiếp ngay kết

-

quả khơng?
Nếu tìm được nhiều cách giải thì hãy so sánh các cách giải đó để tìm ra lời
giải ngắn gọn và hợp lí nhất.
Bước 3: Trình bày lời giải


22
Từ cách đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình
gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó.
Để trình bày lời giải thích hợp nhất HS cần chú ý:
Nắm lại tồn bộ cách giải đã tìm ra trong quá trình suy nghĩ nêu ở bước

-

-

2.
Trình bày lại lời giải sau khi đã lược bỏ những yếu tố dự đoán, phát hiện,
những yếu tố lệch lạc nhất thời, và đã điều chỉnh những chỗ cần thiết.
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

-

Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.
Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.
GV có thể sử dụng câu hỏi: Bạn có thể sử dụng kết quả hay phương pháp đó
cho một bài tốn tương tự, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào
khác hay khơng? [21, tr.393-395].
2

I =∫
1

dx
x. x 2 + 1

Ví dụ 4: Phân tích tìm lời giải bài tốn tính tích phân:
.
Bước 1. Tìm hiểu đề bài.
Hàm số sau dấu tích phân có chứa căn thức và khơng thể tính ngun hàm
ngay theo công thức được. Cần biến đổi hàm số hoặc áp dụng phương pháp tính

tích phân.
Bước 2. Tìm lời giải.
Bài toán giống bài toán nào? Hay với những bài toán chứa căn thức ta hay
làm như thế nào?
2

∫x
Bài toán có phần giống với bài tốn
hơn do

x

1

1 + x 2 dx

. Nhưng bài tốn của ta khó

nằm dưới mẫu chứ khơng nằm trên tử. Đối với bài tốn có chứa căn

thức ta hay đổi biến số bằng căn thức.
Dự đoán cách giải:
Nếu giải theo phương pháp đổi biến số thì ta sẽ đổi biến như thế nào?


23
dx

Dự đốn là đặt

t = 1+ x

2

. Nếu ta có thể biến đổi

ta có thể tìm được ngun hàm của

f (t )

x 1 + x2

về dạng

f (t )dt

mà

thì bài tốn giải được theo cách này.

Bước này có thể hiểu là thiết lập mối quan hệ của những lượng chưa biết với ẩn.
Thực hiện biến đổi

t = 1 + x 2 ⇒ t 2 = 1 + x 2 ⇒ 2tdt = 2 xdx ⇒ tdt = xdx

gặp khó khăn vì ta chưa có

xdx

. Vì vậy ta phải biểu diễn

x

theo

t

. Tới đây ta
từ

t = 1 + x2

tdt
5

I=

x = t 2 −1

∫

2

t 2 −1 =
t 2 − 1.t

5

∫t
2

dt
−1

2

suy ra
. Tóm lại ta đưa bài tốn về dạng
.
Tới đây ta có một bài tốn mới nên phải lặp lại q trình gồm 4 bước của Pơlya.
Với câu hỏi bài tốn này giống với bài tốn nào đã làm? Ta có thể biến đổi đưa
về bài tốn đã biết đó hay khơng?
1
1
=
t − 1 (t − 1)(t + 1)
2

Ta có
dx

. Nếu mẫu là bậc 1 thì ta có thể áp dụng cơng thức

1

∫ ax + b = a ln ax + b + C

. Từ đó dự đốn biến đổi bài tốn để sử dụng công thức

trên.

Như vậy vấn đề đặt ra là làm cách nào biến đổi hàm số dưới dấu tích phân về
dạng có mẫu là bậc 1.
GQVĐ: Có thể biến đổi như vậy bằng hai cách như sau:


24
Cách 1: Dự đoán để đưa mẫu về bậc 1 thì tử phải tạo ra một lượng bậc 1 để rồi
đơn giản cho tử số tức là tạo ra các nhân tử
1
1 = [(t + 1) − (t − 1)]
2

1
1 1
1 
= 
−
÷
t −1 2  t −1 t +1 

t − 1, t + 1

suy ra cách biến đổi

2

,

.

Cách 2: Để tạo ra một đa thức bậc hai ta có thể nhân hai biểu thức bậc 1 với
nhau, cịn để tạo ra một phân thức có mẫu bậc hai ta cũng có thể nhân hai phân
thức có mẫu bậc 1 hoặc cộng hai phân thức có mẫu bậc 1. Với bài toán này ta
chọn cách cộng hai phân thức bậc 1 vì ta có ngun hàm của tổng và khơng có
ngun hàm của tích. Như vậy để giải quyết vấn đề ta phải tìm hai số

cho

a
b
1
+
=
t − 1 t + 1 (t − 1)(t + 1)

suy ra

Sử dụng đồng nhất thức ta được

( a + b)t + a − b
1
=
(t − 1)(t + 1)
(t − 1)(t + 1)

1

a=
a + b = 0 
2

⇒

a − b = 1
b = − 1

2

. Suy ra

,

x = 1 ⇒ t = 2, x = 2 ⇒ t = 5

1
1 1
1 
= 
−
÷
t −1 2  t −1 t + 1
2

t = 1 + x 2 ⇒ t 2 = 1 + x 2 ⇒ 2tdt = 2 xdx ⇒ tdt = xdx x = t 2 − 1

Đổi cận

sao

∀t ∈ [ 2; 5]

với

Bước 3. Trình bày lời giải.

Đặt

a, b

. Bài tốn trở thành

.

.


25
tdt
5

I=

t 2 −1 =
t 2 − 1.t

∫

2

=

5

dt
∫ t 2 −1 =
2

5

5

1 (t + 1) − (t − 1)
1  1
1 
1
∫ 2 (t + 1).(t − 1) dt = 2 ∫  t − 1 − t + 1 ÷dt = 2 ( ln t − 1 − ln t + 1 ) |
2
2

5
2

1 t − 1 5 1 ( 5 − 1).( 2 + 1)
ln
| = ln
2 t + 1 2 2 ( 5 + 1)( 2 − 1)

Bước 4. Nghiên cứu sâu lời giải.
Ứng dụng của lời giải: Bài toán này cho ta một kinh nghiệm để giải tích phân
β

∫ ax

của những hàm chứa căn thức và cách giải dạng toán
thức

ax 2 + bx + c

2

α

dx
+ bx + c

trong đó tam

có hai nghiệm phân biệt.

Bài tốn tương tự, mở rộng trong bài tốn trên thì ứng với mỗi cách
chọn

x

là một hàm sẽ cho ta một bài toán tương tự:
2

Chẳng hạn chọn

x = t +1

I =∫
1

ta được

2

dx
( x + 1). ( x + 1) + 1
2

=∫
1

dx
( x + 1) x 2 + 2 x + 2

.

1.2 Năng lực, năng lực giải toán theo định hướng phát hiện và giải
quyết vấn đề
1.2.1 Năng lực
Năng lực là một vấn đề khá trừu tượng của Tâm lý học. Khái niệm này cho
đến ngày nay vẫn có nhiều cách tiếp cận và cách diễn đạt khác nhau, chẳng
hạn:
- Theo Nguyễn Huy Tú [42, tr.11]: “…Năng lực tự nhiên là loại năng lực
được nảy sinh trên cơ sở những tư chất bẩm sinh di truyền, không cần đến tác