Áp dụng mô hình toán học để giải bài toán quy hoạch cụ thể

Chươngư4
áp dụng các mô hình toán học để
giải bài toán qui hoạch

4.1. Khái niệm về bài toán qui
hoạch
4.2. Qui hoạch tuyến tính
4.3. Qui hoạch phi tuyến
1


4.1. KHÁI NiỆM VỀ BÀI TOÁN QUI HOẠCH
1. Bài toán qui hoạch tổng quát
2. Phân loại bài toán qui hoạch

2


4.1. KHÁI NiỆM VỀ BÀI TOÁN QUI HOẠCH
1.Bài toán qui hoạch tổng quát
Xác định tập giá trị các biến: X = {x1, x2, … , xn}
Sao cho hàm f(X) → min /max (j=1,2,…n)
đồng thời thỏa mãn các điều kiện:




gi(X) (≤;=;≥) bi (i = 1,2,…,m); x ∈ X ⊂ R n ( j = 1, 2,..., n)
j
được gọi là một bài toán qui hoạch.
Hàm f(X) gọi là hàm mục tiêu.

Các hàm gi(X); (i = 1,2,…,m) được gọi là các ràng buộc.

3


4.1. KHÁI NiỆM VỀ BÀI TOÁN QUI HOẠCH
 Tập hợp D = {x j ∈ X;g i (X)(≤; =; ≥)b i }
(i = 1…m; j = 1…n) gọi là miền ràng buộc.
 Mỗi điểm X = {x1, x2, … , xn}€ D gọi là 1 phương án (PA).
 Một PA có X*€ D đạt cực đại hay cực tiểu của hàm mục
tiêu.
*
f
(X
) ≤ f (X), ∀X ∈ D đối với bài toán min
 Cụ thể:
f (X* ) ≥ f (X), ∀X ∈ D đối với bài toán max
được gọi là lời giải tối ưu.
 Khi đó giá trị f(X*) được gọi là giá trị tối ưu hóa của bài
toán qui hoạch.

4


4.1. KHÁI NiỆM VỀ BÀI TOÁN QUI HOẠCH
2. Phân loại bài toán qui hoạch
1, Một bài toán qui hoạch được gọi là bài toán qui
hoạch tuyến tính nếu hàm mục tiêu f(X) và tất cả
các hàm ràng buộc gi(X); i = 1,2,…,m là tuyến tính:
n

f (X) = ∑ c j x j → min(max)
j=1
n

g i (X) = ∑ a ij x j (≤; =; ≥)b i , i = 1 ÷ m
j=1

Trong đó: cj, aij, bi là các hằng số.
5


4.1. KHÁI NiỆM VỀ BÀI TOÁN QUI HOẠCH
2, Là bài toán qui hoạch tham số nếu các hệ số trong biểu
thức hàm mục tiêu và các ràng buộc phụ thuộc tham số
3, Là bài toán qui hoạch động nếu đối tượng xét là các
quá trình có nhiều giai đoạn nói chung hay các quá
trình phát triển theo thời gian nói riêng.
4, Là bài toán qui hoạch phi tuyến nếu như hoặc f(X)
hoặc có ít nhất 1 trong các hàm gi(X) là phi tuyến.
5, Là bài toán qui hoạch rời rạc nếu miền ràng buộc D là
tập rời rạc.
6, Là bài toán qui hoạch đa mục tiêu nếu trên cùng 1
miền ràng buộc ta xét đồng thời các hàm mục tiêu khác
nhau.
6


4.2. QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH

Ví dụ về bài toán
QHTT
2. Dạng tổng quát QHTT
3. Bài toán vận tải
4. Sử dụng ExcelSolver
giải bài toán QH
1.

7


4.2. QUI HOCH TUYN TNH
1. Vớ d v bi toỏn QHTT
Một nhà máy điện có thể dùng 4 loại than để sản xuất
điện. Biết lợng điện năng yêu cầu hàng năm của nhà máy
là A[MWh]. Suất tiêu hao than của loại than thứ i là qi
[kg/MWh](i=1,2,3,4). Giá thành sản xuất điện năng của
loại than i là ci [đ/MWh](i=1,2,3,4). Lợng than loại i cung
cấp hàng năm để sản xuất điện không đợc vợt quá Qi ;
Tổng lợng than của cả 4 loại cung cấp hàng năm để sản
xuất điện không đợc vợt quá Q . Cần xác định lợng điện
năng đợc sản xuất hàng năm từ từng loại than để đạt cực
tiểu về chi phí sản xuất điện năng.

8


4.2. QUI HOCH TUYN TNH
Lời giải
Gọi lợng điện năng đợc sản xuất hàng năm từ loại than thứ i

là xi[MWh]; i=1,2,3,4, thì bài toán có thể đợc trình bày nh
sau :
Xác định X={ x1, x2, x3, x4 } sao cho:
f(X) = c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 min
Với các ràng buộc:
x1 + x 2 + x 3 + x 4 = A
q1x1 + q2x2 + q3x3 + q4x4 Q
q1x1 Q1
q2x2 Q2
q3x3 Q3
q4x4 Q4
xi 0 (i=1,2,3,4)
9


4.2. QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH
2. Dạng tổng quát
Tìm X = {xj} j = 1÷n thỏa mãn đồng thời các điều kiện
n
sau:
f (X) = ∑ c j x j → min(max)
1,
j=1
n

2,

g i (X) = ∑ a ij x j (≤; =; ≥)b i

i =1÷ m

j=1

Trong đó: f(X) là hàm mục tiêu;
Xj là các ẩn;
Cj, aij, bi là những hằng số tự do.
10


4.2. QUI HOCH TUYN TNH
3. Bi toỏn vn ti

Bản chất của bài toán vận tải là tìm phơng án tối u để
vận tải hàng hóa từ một số nơi phát đến một số nơi nhận.
Chỉ tiêu tối u ở đây thờng là cực tiểu chi phí tổng về
vận tải. Bài toán có thể mô tả nh sau: có m địa điểm
phát , với các lợng hàng hoá tơng ứng a1, a2,. . ., am và n
địa điểm nhận, với nhu cầu tơng ứng b1, b2, . . ., bn. Cần
xác định phơng án vận tải sao cho tổng chi phí là cực
tiểu, khi biết giá thành cớc phí đơn vị Cij vận tải trên đoạn
đờng từ nơi phát i đến nơi nhận j.
Ký hiệu xij là số lợng hàng cần vận tải từ nơi phát i đến
nơi nhận j, khi đó điều kiện của bài toán vận tải đợc mô
tả trong bảng

11


4.2. QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH
a1 ..................................

X11

X12

b1

Xmn

Xm1
Xm2
b2

am

X1n

.................................... bn

Mô tả bài toán
12


N¬i ph¸t

N¬i nhËn
B1

A1

B2

c11
X11

c12

...

c21
X21

Bn

...

X12

A2

Dung lîng ai
c1n

a1

c2n

a2

cmn

am

X1n
c22

...
X2n

X22
...

Am

cm1
Xm1

cm2

...

Xm2

Xmn

m

∑a = ∑b
i =1

Dung lîng b

b

b

...

b

n

i

j=1

j
13


4.2. QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH
Bài toán vận tải được phát biểu dưới dạng toán học như sau:
Xác định các giá trị xij : i = 1, 2, ..., m ; j = 1, 2, ..., n sao cho:
với các ràng buộc:

m

n

i =1

j=1

f (X) = ∑∑ cij x j → min

 n x = a ;i = 1 ÷ m
và
: xi ij ≥ 0
ij
∑
j=1
 m (i = 1,2,..., m ; j = 1,2,..., n )
∑ x ij = b j ; j = 1 ÷ n
 i =1
- Ngoài ra trong trường hợp đơn giản thường giả thiết là tổng
dung lượng hàng phát đi cân bằng với tổng dung lượng nơi
nhận, nghĩa là:
m

n

∑a = ∑b
i =1

i

j=1

j
14

4.2. QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH
Ta xét ví dụ: Có hai nơi phát A1, A2 với các lượng hàng
tương ứng a1 = 200; a2 = 300 và 3 nơi nhận với nhu cầu
tương ứng b1 = 150; b2 = 250; b3 = 100. Cước phí vận tải
cij được ghi ở góc phải phía trên trong từng ngăn ở bảng
sau:

15


4.2. QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH
Nơi phát

Nơi nhận
B1

A1
A2
bi

ai

B2
5

0

B3

3

100
2

2

200

6

300

100
4

150

150

0

150

250

100

500

Lời giải : x12 = 100 ; x13 =100 ;
x21 = 150 ; x22 = 150.
Khi đó: F(X) = 100.3 + 100.2 + 150.2 + 150.4 = 1 400.

16


4.2. QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH
4. Excel solver giải bài toán QH
 
f (X1, X 2 …… . X 6) = 1.2 X1 – X 2 + X 3 +1.5 X 4 + X
5 - X 6 → Min
Các RB:
X1 + 2X 2 + X 4 + X 5 - X 6
= 9
3 X1 + 4X2 - 4X3 + 2 X 6
→ 6
X1 + 2X 3 + X 5 + 2X 6
= 10
X1, X 2, X 3 ,......, X 6
≥
0

 

17


Giao diện ExcelSolver

18


Các bước tính:
B1) Nạp số liệu, tính hàm f và các RB
* A4:F4 ghi chú tên các biến x1,…,x6;
A5:F5 ghi giá trị các biến ( bước đầu gán tùy chọn).
* Hàng 7 ghi chú hệ số hmt
A8:F8 ghi giá trị các hệ số biến trong hmt
* Hàng 10 ghi chú hệ số các RB
A11:F13 ghi giá trị các hệ số hàm mục tiêu
* H4 ghi chú hàm f
H5 tính giá trị hàm =SUMPRODUCT($A$5:$F$5,A8:F8)
* H10:I10 ghi chú VT,VP
I11:I13 ghi giá trị các RB
H11:H13 tính giá trị VT các RB theo số liệu đã nạp, sử dụng hàm

=SUMPRODUCT($A$5:$F$5,A11:F11) cho H11
và kéo rê cho H12, H13.

19


Các bước tính:
B2)

20


4.3. QUI HOẠCH PHI TUYẾN

Chỉ cần hoặc f(X) hoặc có ít nhất 1 trong các hàm ràng
buộc gi(X) là phi tuyến thì bài toán qui hoạch tổng quát
sẽ là bài toán qui hoạch phi tuyến. Để giải bài toán qui
hoạch phi tuyến người ta thường áp dụng một trong các
phương pháp là tuyến tính hóa, đưa về bài toán qui
hoạch phi tuyến không ràng buộc, giải trực tiếp, qui
hoạch động,…

21


1. Phương pháp tuyến tính hóa
Xác định tập giá trị các biến: X = {x1, x2,…, xn}
sao cho hàm f(xj) → max (min); j = 1, 2,…, n
Đồng thời thỏa mãn các điều kiện:
hi(X) = 0 (i = 1,2,…,m1)
gi(X) ≥ 0 (i = 1,2,…,m2)
n
Trong đó, trong trường xhợp
tổng
các hàm f(x), hi(x), gi(x)
∈X
⊂ Rquát
j

đều
hàmcác
phihàm
tuyến.
Khailàtriển

trên theo chuỗi Taylor và chỉ lấy đến hàm
bậc nhất:
f (X) = f (X ( k ) ) + ∑ f '(X ( k ) )(x i − x i( k ) ) → min

(k)
'
(k)
(k)
h
(X)
=
h
(X
)
+
h
(X
)(x
−
x
)=0
 i
∑ xi
i
i
i
g (X) = g (X ( k ) ) + g ' (X ( k ) )(x − x ( k ) ) ≥ 0
∑ xi
i
i

i
 i
22


1. Phương pháp tuyến tính hóa
Các bước lặp của phương pháp
Bước 1: Chọn tập nghiệm ban đầu X(0).
+ Tính các giá trị f(X(0)), h(X(0)), g(X(0))
+ Lấy các đạo hàm f(X), h(X), g(X) theo các biến và tính giá trị của
chúng theo X(0), f’(X(0)), h’(X(0)), g’(X(0)).
+ Lập bài toán qui hoạch tuyến tính
Bước 2: Giải bài toán qui hoạch tuyến tính được X khác ban đầu
+ Chọn vecto δ tùy ý
+ So sánh giữa các thành phần thứ i của hai vecto X(0) và X vưa tính
đươc.
- Nếu x i(1) > x i(0) thì xác định được x (1) = x (0) + δ(1)
i
i
(1)
(0)
(1)
- Nếu x i < x i thì xác định được x i = x i(0) − δ(1)
Trong đó: δ(1) là độ dài bước lặp thứ 1 (0 < δ(1) < 1)
Ở những bước lặp khác ta có:
Điều kiện tối ưu là khi nào δ ≤ ε thì coi như bài toán hội tụ theo tiêu
chuẩn đã đề ra.
23

2. Đưa về qui hoạch phi tuyến không ràng buộc
1) Phương pháp Lagrange và định lý Kuhn-Tucker
Phương pháp Lagrange là phương pháp kinh điển giải bài
toán qui hoạch phi tuyến khi các ràng buộc có dạng đẳng thức
và bất đẳng thức, để xác định cực trị có điều kiện (cực trị
vướng) của hàm nhiều biến và khi hàm đó liên tục cùng với
đạo hàm riêng bậc nhất của nó.
A, Bài toán Lagrange dạng chính tắc
Trước hết ta xét bài toán dạng chính tắc:
Xác định X = {x1, x2,…, xn} sao cho:
F(x1, x2,…, xn) → min
Với các ràng buộc:

hi(X) = 0 (i = 1, 2,…, m)
24


2. Đưa về qui hoạch phi tuyến không ràng buộc
Đối ngẫu Lagrange ở đây là bài toán sau:
Xác định X = {x1, x2,…, xn} sao cho:
L(x1, x2,…, xn; λ1, λ2,…,λm) = f(x1, x2,…, xn)+

m

∑ λ h (x , x ,..., x
i =1

i

i

1

2

n

)→min

Trong đó L là hàm Lagrange còn λ là nhân tử Lagrange. Hệ phương trình
Lagrange được thành lập trên cơ sở lấy đạo hàm riêng của hàm L theo xj
và λi và cho chúng bằngm0 như sau:
∂h (X)
∂L ∂f (X)
=
+ ∑ λi i
=0
( j = 1,..., n )
∂x j
∂x j
∂x j
i =1
∂L
= h i (x1 , x 2 ,..., x n ) = 0
( i = 1,..., m )
∂λ j
X* = {x1* , x *2 ,..., x *n }
f{x1* , x *2 ,..., x *n }
Nếu ở λđiểm
hàm (x * , x * ,..., x * , λđạt

trịλ*thì
tồn tại
*
* cực
*
={λ1* , λ*2 ,..., λ*m }
,
λ
,...,
)
n
1
2
m
vecto
sao cho điểm 1 2
là lời
giải của hệ. Để xác định cực đại hoặc cực tiểu phải khảo sát giá trị đạo 25