Bài tập về bất đẳng thức có đáp án

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

50 Bài tập về bất đẳng thức
Bài 1: Cho a ≥ 3 , tìm giá trị nhỏ nhất của S = a +
Giải: S = a +
2

1

=

a

8a
9

+(

a

9

+

1

a

)≥

24

9

+

a.1
9 a

=

1
a

10
3
1

Bài 2: Cho a ≥ 2 , tìm giá trị nhỏ nhất của S = a +
Giải: S = a +

a2

1

a

2

=
+

6a
8

+(

a
8

+

a
8

1
12
a a
12 3 9
)≥
+ 33 . . =
+ =
1
2
2
a
8
8 8 a
8 4 4

Bài 3: Cho a, b > 0 và a + b ≤ 1 , tìm giá trị nhỏ nhất
của

1
1
15
Giải: S = ab + = (ab +
) +
≥ 2ab1 16ab +
ab
16ab 16ab
Bài 4: Cho a, b, c> 0 và a + b + c ≤
Tìm giá trị nhỏ nhất của S =

S = ab +
15
 a + b 2

16 
 2 

3
2

a2  1
+
b2

b2  1
+
c2

c2  1

a2

Giải:
Cách 1:

Cách 2:
S =
1

a2  1
+
b2

b2  1
+
c2

c2  1
a2

Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư

1
ab
=

17
4

2

2

(1 + 4 )(a
+

2

2

1
) ≥ (1.a + 4.
12
)⇒
2
b
b

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
1
4
≥
(a + )
a2  1
b2
b
17

Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
1

4
(b + );
c
17

Tương tự
b2  1
≥
c2

c2  1 ≥ 1 (c + 4 )
a2
a
17

Do đó:

≥

S

1
17

(a + b + c +

≥

4

a

+

4

b
9

4
+ )

1

(a + b + c + 36
a + b + c)
17

c

1  (a + b + c
=

135
)
+

≥ 3 17
+

4(a + b + c) 4(a + b + c)
2
17 

Bài 5: Cho x, y, z là ba số thực dương và x + y + z ≤ 1 . Chứng minh rằng:
x2  1
+
y2

y2  1
+
z2

z2  1
≥ 82
x2
1

Giải:
(1.x + 9.
+

1

y

2

2

2

) ≤ (1 + 9 )(x

2

y

2

)⇒

x2  1 ≥
y2

1

(x +

82
z 2  1 ≥ 1 (z + 9 )
x2
x
82

9

)

y

1
≥
(y+
y 2  1 9);
z2
z
82
1
9 9 9
1
S ≥ (x + y + z + + + )
81
(x + y + z
82
x + y + z)
≥
+
x y z
82
1
= 1  (x + y + z
80 
)
+
+


≥
x + y + z x + y + z 82
82 


TT :

Bài 6: Cho a, b, c > 0 và a + 2b + 3c ≥ 20
3 9 4
Tìm giá trị nhỏ nhất của S = a + b + c + + +
a 2b c
Giải: Dự đoán a =2, b = 3, c = 4
12 18 16
12  
18  
16 

4S = 4a + 4b + 4c +
+
+
= a + 2b + 3c + 3a +
+ 2b +
+ c+
≥




a bc
a

b
c
20 + 3.2.2 + 2.2.3 + 2.4 = 52 ⇒ S ≥ 13


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
1 1

 
 

Bài 7: Cho x, y, z > 0 và + + = 4
x y z
1

Tìm giá trị lớn nhất của P
=

1

1
1
+
+
2x + y + z x + 2 y + z x + y + 2z


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
Giải:
Ta có

1
x

+

4

1

1 1
; + ≥

4

⇒

1

+

1

+

1

+

1

4

≥

4

+

16

≥

1

⇒

1 1

+

2

+

1

≥
x+ y

y

y + z

y z

x

z TT :
1

2x +z y + ≤ 1 2 + 1 + 1
 

16
x; y z



y

y

x + y y + z x+2y + z

z

x+2y+

1
1 1 1 2 

x +2zy + ≤ 16
+x y + z




14 4 4
S ≤ 16  +x y+ z = 1
Bài 8:
Chứng minh rằng với mọi x ∈ R , ta có

 12 x

x

 15

 20

x

+
+



 
  
5
4

     3

x

x

≥3 +4 +5

x

Giải:
x
x
x
x
x  20 x
x  20 x
 12
 15   12 x . 15x
 15 ≥ 2.5 ;
 12 ≥ 2.4x
= 2.3 ;
+
≥ 2  

+
+

  


 


  
5
4


 5  4 
 3  4
 3   5

Cộng các vế tương ứng => đpcm.
Bài 9:
x

y

z

Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 6 . Chứng minh rằng 8 + 8 + 8 ≥ 4
Giải:
Dự đoán x=y=z = 2 và 3 8x.8x = 3 64x = 4x nên:
x

x

2

3

x

x

y

y

2

3

y

y

z

z

2

3

z

2

x

8 + 8 + 8 ≥ 3 8 .8 .8 = 12.4 ;
2

y

8 + 8 + 8 ≥ 3 8 .8 .8 = 12.4 ;
z

2

8 + 8 + 8 ≥ 3 8 .8 .8 = 12.4
x

≤

y

z

3

x

y

z

3

z
2

2

2

8 + 8 + 8 ≥ 3 8 .8 .8 = 3 8 .8 .8 = 192
Cộng các kết quả trên => đpcm.
Bài 10:
Cho x, y, z> 0 và xyz = 1. Hãy chứng minh rằng
1  x3  y 3
xy

+

1  y3  z3
yz

+

1  z 3  x3
zx

≥ 33

x+ 1

+4

y +1

+4

z +1


16  x y


z


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
Giải:
x3 + y3 ≥ xy ( x + y ) ⇒ 1+ x3 + y3 ≥ xyz + xy ( x + y ) = xy ( x + y + z ) ≥ 3xy 3 xyz = 3xy
1  x3  y 3

1  y3  z3
= 3xy = 3 ;
xy
xy
yz

xy


1
1
1 

=
+

3 xy
+
yz
zx 


S

=

31
x≥2 y32 z 2

3yz

=3
yz
yz

;

1  z 3  x3

=

zx

3zx

=3
zx
zx

=3

Bài 11:
Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
( x − y ) (1− xy )
biểu thức P =
(1+ x )2 (1+ y )2
Giải:
 x + y +1+ xy 2
2



( x + y ) (1+ xy )

 x  y  1 xy 
P =
1  x 2 1  y 2

≤

≤

(1+ x )2 (1+ y

)2

−1

1

1

=⇒
≤P≤
4
4
4

( x + y +1+ xy
)2

Khi cho x=0 và y= 1 thì P = -1/4
Khi cho x=1 và y = 0 thì P = 1/4
KL: Khi dấu = xảy ra.
Bài 12:
a 3 b3 c 3
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: Giải:
+
≥ ab + bc + ca b
c a
a3

b3

c3

2
2
2 2
( ab + bc + ac )2
a4 b4 c4 (a + b + c )
Cách 1:
ac+b c + a = ab + bc + ca ≥ ab + bc + ac ≥ ab + bc + ac = ab + bc +
3

3

2

b
3

a

3

b

+
+
c
b c a
Bài 13:

3

2

+ ab ≥ 2a ;
b

Cách 2:
a

+ bc ≥ 2b ;
c
c

+ ca ≥ 2a

2

a

3
2

2

2

≥ 2(a + b + c ) − ab − bc − ac ≥ ab + bc + ac

2

3x + 4 2 + y

Cho x,y > 0 và x + y ≥ 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của A =

4x

+

y

2

3


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
Giải:
Giải: Dự đoán x = y = 2
2
3
3x + 4 2 + y
 1 x  2 y y  x+ y  9
3x 1 2
A =
+
=
+ +
+y= + +
+ +  + 

≥

2
2
4x
y
4 x y
 x 4  y2 4 4   2  2



VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
Bài 14: Cho x, y > 0 và x+y = 1. Chứng minh rằng P

1
1
=
+
≥ 4 3+ 2
3
3
x + y xy

Giải: Ta có

( x + y )3
3

= x3 + y 3 + 3xy(x+y) ⇒ x3 + y 3 + 3xy=1
3

x +y +
3xy

P=

3

x +y

3

3

+
+

1 =2
−
1+
x

=4

xy

Bài 15: Cho x, y, z >

Giải:

3
x 3+ ≥ 4 + 2
3xy
3
y
3
x + +
3
xy
y

3

x + y + 3xy

1
0 và
1
1 = 2 . Chứng minh
1+ x + 1+ + 1+
rằng
y
z

1
1 − 1+
=
1+ z
1−
y

xz

y
1
1 = 1+
z
+1−
+
≥2
1+
1+ y
1+ z
y
z

1 x  1 z 

1
TT :
≥ 2
1+
y

xyz ≤

1
8

yz

1 y  1 z 
;

1
1+ z

xy

≥2

1 x  1 y 

Nhân các vế của 3 BĐT => đpcm

S

Bài 16: Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất

x
= + y
z
x +1 y +1 +
z +1

của Giải:
=

S

x

x +1

 1 1
1 
9
9 3
=3−
+
+
≤ 3−
=3− =
+
z

y +1 z +1
x+ y+z +3
4 4
x +1 y +1 z +1

+ y





Bài 17:
4a

5b

+

3c

2

≥ 48

a −1 b −1 c −1

4 ( a − 1) +
= 4 (a
4a
4
=
+1)
a −1
a −1
2

2

2

2

+

Cho a, b, c > 1. Chứng minh rằng:

Giải:

2

5b
= 5 ( b −1)
b −1
+

5

+

b −1

4
a −1
2

= 4 (a

−1)

+

4

+ 8 ≥ 8 + 8 = 16
a −1

+10 ≥ 20; c −1 = 3 ( c −1) +
3c


3

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

c −1

+ 6 ≥ 12⇒ dpcm

Bài 18:
Cho a, b, c > 0, chứng ming rằng:
1

1

+
a b
c

+

1

1
1 
1
≥3

+
+

 a + 2b b + 2c c + 2a 

Giải:
1
a

+

1
b

+

1
b

≥

9

1

; +

1

a +≥ 2b b c

+

1

9

c

b + 2c

;

1

+

1

c a

+
a

1

≥

9

c + 2a

cộng ba bất đẳng thức =>đpcm


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
Bài 19:
Với a, b, c > 0 chứng minh rằng:
1
4 9 36
a +b +c a≥ + b + c
Giải:
1
a

+

4
b

+

9
c

≥

(1+ 2 + 3)

2

a+b + c

=

36
a+b+c

Bài 20:
Cho a, b, c, d > 0 chứng minh rằng:
1 1 4 16
64
a +b +c +d a≥ + b + c + d
Giải:
1

+

1

+

4

a b c
Bài 21:

≥

16

16
16
64
;
+
≥
a+b+c a+b+c d a+b+c+d
4

Với a, b, c > 0 chứng minh rằng:

+

5

+

3

 +
≥4 3

2

+

1 

Cần nhớ:

 a  b  c 2

a 2b2
c2
Giải:

xyzx  y  z
1
a

+

1

≥

b

a

4

⇒

3

a + b a

+

3
b

≥

3

1 1
; +

a≥
+b

b c



 a + b b + c c + a

b
c

4

⇒

2

b + c b

+

2
c

≥

8

;

b+c

1

+
c a

1

≥

4

c+a

Bài 22:
Với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác , p là nửa chu vi tam giác đó.
1
Chứng minh rằng

1
1
1 1 1
≥ 2 + + 
+
+
p − a p − b p−
 ab c
c
Giải:
1
1
1
2
2
2
+
+
=
+
+
p − a p − b p − c −a + b + c a − b + c a + b − c
1
1
1
1
1
1
1 1 1
=

+
+
+
≥ 2 + + 
+
+
 ab c
−a + b + c a − b + c a + b − −a + b + c a − b + c a + b −
c
c


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
Bài 23:
2

2

2

P =x + y + z
y + z z + x x+y

Cho x, y, z> 0 và x + y + x ≥ 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất
của
Giải:
x2

y2

z22

)

(x+y+z

x+ y + z 4

Cách1: P =
+
+
≥
=
y + z z + x x+
2( x+y+ z)
y
Cách
2:
x

2

y + z
y
+
≥ x;

2

2

=

2

= 2.

2

z + x
z
+x+y
+
≥ y;
y + z 4
z + x 4
x + y 4 ≥z
x+y+z x+y+z 4
⇒P≥x+y+x−
=
= = 2.
2
2
2
Bài 24:
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x+2y+3z =18. Chứng minh rằng
2 y + 3z + 5 3z + x + 5 x + 2 y + 5 51
+
+
≥

1+
1+ 2
1+ 3z
7
x
y
Giải:
2 y + 3z + 5 3z + x + 5 x + 2 y + 5
+ 1+ 2
+ 1+ 3z
1+
x
y
2 y + 3z + 5
3z + x + 5
x+2y+5
+ 1 + 1+ 2
+ 1 + 1+ 3z
+1− 3
1+
x
y

1
1
1
= ( x + 2 y + 3z +6 )
+
+
− 3 ≥ 24.

1+ x 1+
1+
3z

2
x
+
2
y
+
3z + 3
y
=

= 24.

9
21

−3=

51



9

−3



7

Bài 25:
Chứng minh bất đẳng thức:
2

2

a + b +1 ≥ ab + a + b
Giải:
Nhân hai vế với 2, đưa về tổng cuuả ba bình phương.
Bài 26:
Chứng minh rằng nếu a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có p là nửa chu vi thì
pa
+pb +pc
≤3p


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
Bài 23:
Giải:
Bupa

nhi
+pb

+pc

-a

 21
 2 )( p  a  p  b  p  c)
≤ (12 1

ta
= 3(3 p  2 p)

có:
=3p


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
Bài 27:
Cho hai số a, b thỏa mãn: a ≥ 1;b ≥ 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng A = a +

Giải:
a+
b

1

≥ 2;b +

a

1

=

a



15b

b

+
1  15.4
1 17
21
+ ≥
+ 2. =
⇒A≥
16  16
16
4 4
4
b



4

4

1

+b+
1

b

Bài 28:
3

3

Chứng minh rằng a + b ≥ a b + ab

Giải:
 a 2 2 + b 2 2  (12 +12 ) ≥ a 2 + b 2 2 = a 2 + b 2 a 2 + b 2 ≥ 2ab a 2 + b 2 => a 4 + b 4 ≥ a 3b
( )3 ( )
(
) (
)(
)
(
)
+ ab


Bài 29:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
2

(x + y +1)
(Với x; y là các số thực dương).
A =
+ xy + y + x
xy + y + x

(x + y
2
+1)
Giải:

= a; a > 0 ⇒ A = a +

(x + y
2
+1)

Đặt

xy + y + x
1 8a
a 1
8
A=a+ =
+ ( + ) ≥ .3 + a . 1
9 a
2.
a 9
9 a 9

1

Có

a
=

8
3

+

2
3

=

10

⇒A≥

3

10
3

Bài 30:
Cho ba số thực a,b, c đôi một phân biệt.
Chứng minh

a2
b2
c2
2+
2+
2 ≥ 2

(b − c) (c − a) (a − b)

Giải:

a

.
b

+

b

.

+

c

.

c
a
(b − c) (c − a) (c − a) (a − b) (a − b) (b − c)
a
b
c 2
VT=
+
+

≥0

= −1


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
Bài 27:



 (b − c) (c − a) (a − b) 

(Không cần chỉ ra dấu = xảy ra hoặ nếu cần cho a= 1,b=0 => c=-1 thì xảy ra dấu =)
Bài 31:
Cho các số dương a; b; c thoả mãn a + b + c ≤ 3. Chứng ming rằng
1
2009
2
a +b + +
ab
+
bc +
2
c
ca
2

≥ 670

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
Giải:
1
2

2009

+
2

2

a + b + c ab + bc + ca
1
1
1
2007
2
= 2
+
+
+
a +b +
ab + bc + ca ab + bc + ca ab + bc +
2
c
ca

≥

9
(a + b +
c )2

2007
(a + b +
c )2
3

+

Bài 32:

≥ 670

Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a + b + c = 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

=

2

2

+

P a

2

+

b

+ ab + bc + ca

c

2

2

a b +2 b c +
ca

Giải:
Bài 33:

3(a2 + b2 + c2) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2) = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2
Mà a3 + ab2 ≥2a2b ;b3 + bc2 ≥2b2c;c3 + ca2 ≥2c2a Suy ra 3(a2 + b2 + c2) ≥ 3(a2b + b2c + c2a) > 0
2

2

2

Suy ra P ≥ a + b + c +

ab + bc + ca
2

2

a +b + c

2

2

2

⇒P≥a +b +c +

9 − (a 2 + b 2 + c 2)

2

2

2

2

2(a + b + c )

t = a2 + b2 + c2, với t ≥3.

9 − t t 9 t 1
= + + − ≥3 3−1 =4 ⇒P≥4
2 2

2t
2 2t 2 2 +

Suy ra P ≥ t +

a=b=c=1

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
1
P =
1 1
+
16x 4 y+ z
Giải:
 1
1 1 1
1 1  y
x   z x   z y  21
+ +4 =y (z x + y + z )  +16x 4+ y z=  +16x 4+y  + 16x+z  + 4 y+z  16
P= 16x
y
x
1
z
x 1
z
y
+
≥ có =khi y=2x;
+ ≥ khi z=4x;

+ ≥ 1 khi z=2y =>P ≥ 49/16
16x 4 y 4
16x z 2
4 y z
Min P = 49/16 với x = 1/7; y = 2/7; z = 4/7


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
Bài 34:
Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn: 4

x

+

5
≥ 23
y
6
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B =

G 8x +
iả + 18y +
i:

2 3

6
7 
2

B
=
8x
+
+
18y
+
=
8x
+
+

2 4 5
18y +
+
+
≥ 8 + 12 + 23
= 43
x


y
xy
x

y



 

 

1 1
Dấu bằng xảy ra khi ( x; y ) =  1; 1 
.Vậy Min B là 43 khi ( x; y ) =
;


2 3






Bài 35
Cho x, y. z là ba số thực thuộc đoạn [1;2]
và có tổng không vượt quá 5. Chứng minh
rằng x2 + y2 + z2 ≤ 9
Giải:
1 ≤ x ≤ 2 ⇒ x − 1 ≥ 0 và x − 2 ≤ 0 ⇒ (x −
1)(x − 2) ≤ 0
2

⇒ x ≤ 3x − 2

Tươ y 2 ≤ z 2 ≤ 3z − 2
ng 3y − 2
tự và
⇒ x2 + y2 + z2 ≤ 3( x + y +z) – 6 ≤ 3. 5

–6=9
16

Bài 36:
Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư

7
x
y


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
Bài 34:
Cho a, b, c là2
các số thuộc


1.a
 2
9
thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + +
81 1 + 2 1
1 . ≤
a
c2 = 6. Chứng minh rằng
+


[−1; 2]

≥
4


a


+

4 b
a2  1

b2 97


b
+

⇒
b

1
6





2




c



4b

c2  1
a2

97

0

+
97



4a

4c




.

G
i
ả
i
:

( a +1 )( a − 2) ≤ 0 ⇔ a2 − a − 2 ≤ 0;b2 −
b − 2 ≤ 0; c2 − c − 2 ≤ 0
2

2

2

⇒a+b+c≥a +b +c −6=0
Bài 37:
Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a + b +
c ≤ 2 . Chứng minh rằng:
a2  +1
b+2

b2  1 97
≥c2 2

;



cộng các vế
lại

4 
9
c+
≥

b

≥

c2  1
a2

Giải:

17

a
+



≥9
4
;


b2  1
c2

9 

Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư








VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
Bài 38:
Cho tam giác có ba cạnh lần lượt là a,b,c và chu vi là 2p. Chứng minh rằng
p
p
p
≥9
p − a+ p − b+ p − c
Giải:
p
1
p
1
1
9
9
≥ 9 hay
+
+
p − a p − b p−

p − a+ p − b+ p − c≥ p − a + p − b + p − c= p
c
p

Bài 39:
Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 6. Chứng minh rằng:
2

2

2

3(a + b + c ) + 2abc ≥ 52
Giải:
8
abc ≥ (−a + b + c)(a − b + c)(a + b − c) = (6 − 2a) ( 6 − 2b )( 6 − 2c) ⇔ abc ≥ −24 + (ab + bc + ac)
3
2
2) 
16  36 − 2
8 2
2
2
⇔ 2abc ≥ −48 +
+b +
⇔ (a + b + c ) + 2abc ≥ 48 (1)
(a
c



3
2
3


2
2
2
+b +
( a − 2 )2 + ( b − 2 )2 + ( c − 2 )2 ≥ 0 c
≥ 4 (2)
(1)and(2) ⇒ dpcm
a
⇔
3

2

2

2

Có chứng minh được 3(a + b + c ) + 2abc < 18 hay không?
Bài 40:
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P = 4(a3 + b3 + c3 ) + 15abc .
Giải:
2

2

2

Có a ≥ a − (b − c) = (a − b + c)(a + b − c)
(1) ,
2

2

2

2

2

b ≥ b − (c − a) = (b − c + a)(b + c (2)
− a)

2

c ≥ c − (a − b) = (c − a + b)(c + a −
(3) . Dấu ‘=’ xảy ra ⇔ a = b = c
b)
Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên các vế của (1), (2), (3) đều dương. Nhân vế với vế của (1),
(2), (3) ta có: abc ≥ (a + b − c)(b + c − a)(c + a − b) (*)
Từ a + b + c = nên (*) ⇔ abc ≥(2−2a)(2−2b)(2−2c) ⇔ 8 −8(a + b + c) +8(ab + bc + ca) −9abc ≤
2
0
⇔ 8 + 9abc − 8(ab + bc + ca) ≥ 0 ⇔ 9abc − 8(ab + bc +
ca) ≥ −8

(*)


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
Bài 38:
3
3
3
3
Ta có a + b + c = (a + b + c) − 3(a + b + c)(ab + bc + ca) + 3abc = 8 − 6(ab + bc + ca) + 3abc


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
Từ đó 4(a3 + b3 + c3 ) +15abc = 27abc − 24(ab + bc + ca) + 32 = 3 9abc −8(ab + bc + ca) + 32
[
]
(**)
3

3

3

Áp dụng (*) vào (**) cho ta 4(a + b + c ) +15abc ≥ 3.(−8) + 32 = 8
2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = .
3
2
Từ đó giá trị nhỏ nhất của P là 8 đạt được khi và chỉ khi a = b = c =

3
Bài 41:
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng
2
1
3
3
3
≤ a + b + c + 3abc <
.9
4
Giải:
3

3

3

*P = a + b + c + 3abc
3

3

3

2

2

2

Tacó a + b + c − 3abc = (a + b + c)(a + b + c − ab − bc − ac)
3

3

3

2

2

2

⇔ a + b + c − 3abc = (a + b + c − ab − bc − ac) (1)
có abc ≥ (−a + b + c)(a − b + c)(a + b − c) = (1− 2a)(1− 2b)(1− 2c) =
−2 8
−1+ 4(ab + bc + ca) − 8abc ⇔ 6abc ≥
+ (ab + bc + (2)
ca)

3

3

2 5
(1)and(2) ⇒ a3 + b3 + c3 + 3abc ≥ a2 + b2 + c2 − + (ab + bc + ca)
3 3
2
2

2
1 2
1
1− a + b + c
2
2
mà ab + bc + ca =
⇒P≥ a +b +c +
2
6
6
2 
12 
12
1 1 1 2
2
2
2 1
1 +

b−
+
c−
≥0⇔a +b +c ≥ ⇒P≥ . + =


a−
3
6 3 6 9


 
 
3
3
3

 
 


(

3

3

3

3

3

3

)

(

)

*P = a + b + c + 3abc
abc ≥ (−a + b + c)(a − b + c)(a + b − c) = (1− 2a)(1− 2b)(1− 2c) = −1+ 4(ab + bc + ca) − 8abc
>0
1
(3)
⇒ ab + bc + ca) − 2abc >
4

2

2

2

P = a + b + c + 3abc = (a + b + c)(a + b + c − ab − bc − ac) + 6abc


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
2
= a + b + c − ab − bc − ac + 6abc = ( a + b + c ) − 3 ( ab + bc + ca) +
6abc
1 1
= 1− 3 ( ab + bc + ca − 2abc) < 1− 3. =
4 4
2

2

2

Bài 42:
Cho ba số dưỡng,y,z thỏa mãn x+y+z =6 . Chứng minh rằng:
2

2

2

x + y + z − xy − yz − zx + xyz ≥ 8
Giải:
Chứng minh được
xyz ≥ ( −x + y + z )

( x−y+z) ( x+y−z)

= (6 − 2x)(6 − 2 y)(6 − 2z) = 216 − 72(x + y + z) + 24(xy + yz + zx) − 8xyz
8
⇔ xyz ≥ −24 + (xy + yz + zx) (1)
3
mà

( x + y + z )2
2

2

= 9 ⇔ x 2 + y 2 + z 2 + 2xy + 2 yz + 2xz = 9

2

⇔ x + y + z − xy − yz − xz = 36 − 3xy − 3yz − 3xz (2)
8
2
2
2
Nên xyz + x + y + z − xy − yz − xz+ ≥ −24 + (xy + yz + zx)+ 36 − 3xy − 3yz − 3xz
3
1
2
2
2
⇔ xyz + x + y + z − xy − yz − xz+ ≥ 12 − (xy + yz + zx) mà ( x + y + z )2 ≥ 3(xy + yz + zx)
3
36
1 ( x+y+z
2
2
2
= 12 −
=8
⇒ xyz + x + y + z − xy − yz − xz+ ≥ 12 2
)
−
.
3
3
9
Bài 43:
Cho a ≥ 1342;b ≥ 1342 . Chứng minh rằng a2 + b2 + ab ≥ 2013(a + b ) . Dấu đẳng thức xảy

ra khi nào?
Giải:
Ta sẽ sử dụng ba kết quả sau:

( a −1342)2 + (b −1342)2 ≥ 0;(a −1342)(b −1342) ≥ 0; a −1342 + b −1342 ≥ 0
Thật vậy:

( a −1342 )2 + ( b −1342 )2 ≥ 0 ⇔ a 2 + b2 − 2.1342. ( a + b ) + 2.13422 ≥ 0 (1)
(2)
( a −1342)(b −1342) ≥ 0 ⇔ ab −1342a −1342b +13422 ≥ 0
⇒ a2 + b2 − 2.1342.(a + b ) + 2.13422 + ab −1342a −1342b +13422 ≥ 0
⇔ a2 + b2 + ab ≥ 3.1342.(a + b ) − 3.13422 = 2.2013.(a + b ) − 3.13422
= 2013.(a + b ) + 2013.(a + b ) − 2.2013.1342 = 2013.(a + b ) + 2013.(a + b −1342 −1342) ≥
2013.(a + b )
Bài 44:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = ( x −1)4 + ( x − 3)4 + 6 ( x −1)2 ( x − 3)2


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
Giải:
Cách 1:

Cách 2:
A = ( x −1)4 + ( x − 3)4 + 6 ( x −1)2 ( x − 3)2
A = ( x 2 + ( x −
2 + 4 ( x −1) 2 ( x − 3) 2
−1)
3) 2 



A =  2x − 8x +10  + 4 ( x − 4x + 3)
2

2

2

2

A =  2(x − 2) + 2  + 4 ( (x − 2) −1)
2

2

4

2

2

2

4

2

A = 4(x − 2) + 8(x − 2) + 4 + 4(x − 2) − 8(x − 2) + 4
4

A = 8(x − 2) + 8 ≥ 8
Bài 45:
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng:
ab
bc
ca
1
c +1 + a +1 + b +1≤ 4
Giải:

Bài 46
Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz = 1. Chứng minh rằng:
3
3
1
1+ x + y
1
+ 1+ y3 + z3


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
+

Giải:

1
3
3 ≤ 1 1+ z
+x

x + y ≥ 2xy ⇒ ( x + y )
2

2

⇒ 1+
x

3

+y

3

(x

≥ xy ( x + y + z

2

+y

2

) ≥ 2xy ( x + y ) ⇒ x
1

)⇒

1+ x3

3

+ y ≥ xy ( x + y )
3

1
≤
+ y3 xy ( x + y + z )

1
z
1
x
1
y
⇒ 1+ x3 + y3 ≤
3
≤ x + y + ; 1+ z3 + x3 ≤ x + y + ⇒ dpcm
x + y + ; 1+
y
+
3
z
z
z
z
Bài 47
Cho a,b là các số thực dương. Chứng minh rằng:

a+b
≥ b + 2b a
( a + b )2 +
2a
2
Giải:

a+b

1
1 
1
= (a + b) a + b +
= ( a + b) a +
+ b+
(a + b )2 +
( a + b) =
+ 2b
ab 2a
b
a
≥2





2
2
4 

4 


Bài 48
Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện:
1
1
1
+
≥1
3 +
3
1+ 8a
1+
1+ 8c
3

Giải:
1

8b

1

=

( 2a +1) ( 4a 2 − 2a

1+
3

8a

2

≥

1

⇒ VT ≥
2a

2

Bài 49

1

1
;
2b +1
2

1+
3
8c

2

1
1

9
+
+
≥
=1
2
2
2
2
2
+1 2b +1 2c +1 2a +1+ 2b +1+ 2c +1
3

Giải:
Cách 1:
3

3

4

4

4

(2a
)

2

2

+b +c

b
c
+b
c ≥
+
+ =
+
a
b c a ab bc ca ab + bc + ca
Cách 2
a

3

2

1
≥ 2c2 +1

Với a,b,c là ba số thực dương . Chứng minh rằng:
a

3

1

=

2a +1+ 4a − 2a +1 4a + 2 2a +1
2

+1)

1
; 1+
3
8b

1

≥

2

=

3

3

3

3

2
2

2
+b
≥a +b +c
+
c
b c a

2

(a

2

2

+b +c

2

)( a

2

2

+b +c

2

)

2

=

2

≥a +b +c
ab + bc + ca

2