Đa tạp quán tính đối với các phương trình vi phân có phần tuyến tính là toán tử quạt

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

BÙI XUÂN QUANG

ĐA TẠP QUÁN TÍNH
ĐỐI VỚI CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
CÓ PHẦN TUYẾN TÍNH LÀ TOÁN TỬ QUẠT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

BÙI XUÂN QUANG

ĐA TẠP QUÁN TÍNH
ĐỐI VỚI CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
CÓ PHẦN TUYẾN TÍNH LÀ TOÁN TỬ QUẠT

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số:

60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. NGUYỄN THIỆU HUY

Thái Nguyên - 2015


i

Mục lục

Lời cam đoan

iii

Tóm tắt nội dung

iv

Lời cảm ơn

v

Danh sách kí hiệu

vi

Mở đầu

1

1

Toán tử quạt, Không gian hàm chấp nhận được và Đa tạp quán tính

7

1.1

Toán tử quạt - Nửa nhóm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.1

Toán tử quạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.2

Lũy thừa bậc phân số của toán tử quạt . . . . . . . . . . . .

14

1.1.3

Đánh giá nhị phân của nửa nhóm giải tích . . . . . . . . . .

15

1.2

Hàm Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.3

Không gian hàm chấp nhận được . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.4

Đa tạp quán tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.5

Kết luận Chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2

Đa tạp quán tính đối với các phương trình tương ứng với
toán tử tự liên hợp có giải thức compact

25

2.1

Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.2

Đa tạp quán tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.3

Áp dụng vào mô hình Fisher-Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . .

34

2.4

Kết luận Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36


ii
3

Đa tạp quán tính đối với các phương trình tương ứng với

toán tử quạt có kẽ hở phổ

37

3.1

Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.2

Đa tạp quán tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

3.3

Kết luận Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

Kết luận và Đề nghị

50

Danh mục các công trình khoa học liên quan đến luận văn

51

Tài liệu tham khảo

52

Chỉ mục

55


iii

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan những kết quả nghiên cứu viết trong luận văn là của tôi. Các
kết quả trong luận văn là mới và chưa từng được ai công bố trong bất cứ một công
trình nào khác mà tôi biết.

Thái Nguyên, ngày 01 tháng 4 năm 2015
Học viên

Bùi Xuân Quang


iv

Tóm tắt nội dung

Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của các
phương trình tiến hóa thông qua sự tồn tại của một đa tạp quán tính. Cụ thể, sử dụng
phương pháp Lyapunov-Perron và các đánh giá nhị phân kết hợp với tính chấp nhận
được của không gian hàm, chúng tôi chứng minh sự tồn tại của đa tạp quán tính đối

với các phương trình tiến hóa nửa tuyến tính có dạng
du(t)
+ Au(t) = f (t, u(t)), t > s,
dt

u(s) = us , s ∈ R,

trong đó toán tử đạo hàm riêng tuyến tính −A là toán tử quạt trong một không gian
Banach có kẽ hở phổ đủ lớn sinh ra nửa nhóm giải tích và số hạng phi tuyến f thỏa
mãn điều kiện ϕ-Lipschitz, tức là f (t, u) − f (t, v)

ϕ(t) Aθ (u − v) , với ϕ

thuộc vào một không gian hàm chấp nhận được.

Từ khóa. Phương pháp Lyapunov-Perron, đa tạp quán tính, phương trình parabolic
nửa tuyến tính, không gian hàm chấp nhận được, toán tử quạt, nửa nhóm giải tích.


v

Lời cảm ơn
Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái
Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Thiệu Huy (Viện
Toán ứng dụng và Tin học - Đại học Bách Khoa Hà Nội). Tác giả xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc đến người hướng dẫn khoa học của mình, người đã đặt bài toán, truyền
cảm hứng, tận tình chỉ bảo tác giả nghiên cứu và dẫn dắt tác giả đến một hướng
nghiên cứu rất thời sự trong lĩnh vực Phương trình vi phân & Hệ động lực.
Nhân dịp này, tác giả xin gửi những lời cảm ơn đặc biệt đến Ban tổ chức và các
thành viên của Seminar “Asymptotic Behavior of Solutions to Differential Equations

and Applications” do PGS.TS. Nguyễn Thiệu Huy điều hành tại Đại học Bách Khoa
Hà Nội vì đã tạo ra cho tác giả một môi trường học thuật nghiêm túc, sôi động và
giải đáp nhiều thắc mắc về kiến thức chuyên môn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán Trường Đại học Hải Phòng và các anh chị đồng nghiệp trong Khoa vì đã tạo nhiều
điều kiện thuận lợi để tác giả học tập và nghiên cứu. Tác giả trân trọng gửi lời
cảm ơn đến các cán bộ giảng dạy của Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái
Nguyên, Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, Trường
ĐHKHTN - ĐHQG Hà Nội đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt quá
trình học tập.
Cuối cùng, tác giả xin dành những lời cảm ơn đặc biệt nhất đến bố mẹ, gia đình
đã luôn bên cạnh và động viên để tác giả hoàn thành luận văn này.


vi

Danh sách kí hiệu
C(Ω)

không gian các hàm số liên tục trên Ω

C k (Ω)

không gian các hàm số khả vi liên tục cấp k trên Ω

X →Y

phép nhúng

Re z, arg z

phần thực và argument của số phức z

ut (t, x), uxx (t, x)

đạo hàm riêng của hàm số u(t, x)

dx(t)
dt ,

đạo hàm các bậc của hàm số x(t)

x(t),
˙
x¨(t)

D (A)

miền xác định của toán tử A

Aθ

lũy thừa bậc phân số toán tử A

Xθ := D (Aθ )

miền xác định của lũy thừa bậc phân số Aθ

ρ(A), σ(A)

tập giải thức và phổ của toán tử A

R(λ, A)

giải thức của toán tử A

L1,loc (R)

không gian các hàm số khả tích địa phương trên R

{e−tA }t

0

nửa nhóm sinh bởi toán tử −A

ω0

cận tăng trưởng của nửa nhóm {e−tA }t

(σ, ω)

toán tử quạt kiểu (σ, ω)

s(A)

biên phổ của toán tử A

G(t, τ )

hàm Green

P X, ker P

không gian ảnh và hạch của X qua phép chiếu P

u (·)

quỹ đạo cảm sinh

distX θ

nửa khoảng cách Hausdorff sinh bởi chuẩn của X θ

Bρ

hình cầu bán kính ρ trong một không gian Banach

L (X)

không gian các toán tử tuyến tính bị chặn trên X

0


1

Mở đầu
Xét bài toán truyền nhiệt nửa tuyến tính trên thanh kim loại có độ dài hữu hạn




u (t, x) = uxx (t, x) + f (u(t, x)), t > 0, 0 < x < π,

 t
(1)
u(t, 0) = u(t, π) = 0,
t 0,



 u(0, x) = u (x),
0 < x < π.
0

Để có thể sử dụng những lý thuyết của Toán học hiện đại, ta sẽ chuyển bài toán
trên thành phương trình toán tử trong một không gian trừu tượng. Để làm điều đó ta
giới thiệu không gian Hilbert X = L2 [0, π] và đặt
u(t, ·) = U (t),

f (u(t, ·)) = F (U (t)),

t

0.

Khi đó bài toán (1) được viết lại thành phương trình tiến hóa

 dU (t) = BU (t) + F (U (t)), t > 0,
dt


U (0) = u0

(2)

với B là toán tử đạo hàm riêng trong X xác định bởi
D (B) := ϕ ∈ X : ϕ và ϕ˙ là liên tục tuyệt đối, ϕ˙ ∈ X, ϕ(0) = ϕ(π) = 0 ,

Bϕ := ϕ.
¨
Trong không gian Hilbert X với tích vô hướng
π

ϕ, ψ =

ϕ(x)ψ(x)dx

với mọi ϕ, ψ ∈ X,

0

toán tử tuyến tính không giới nội A := −B như vậy là xác định dương, tự liên hợp,
có phổ rời rạc. Một cách tổng quát, bài toán Cauchy trừu tượng

 du(t) + Au(t) = f (t, u(t)), t > s,
dt

u(s) = us , s ∈ R,

(3)

2
với A là toán tử không giới nội trong một không gian Hilbert tách được vô hạn chiều,
xác định dương, tự liên hợp, có giải thức compact và f là một toán tử phi tuyến, là
mô hình của nhiều bài toán thực tế. Chẳng hạn nó là mô hình của quá trình truyền
nhiệt (như phân tích ở trên), quá trình phản ứng-khuếch tán (xem [12]), hay mô hình
Fisher-Kolmogorov mô tả sự lan truyền lớp gene trội trong quần thể sinh thái (xem
[27, 28]),...
Việc xét các phương trình dưới dạng trừu tượng trong các không gian hàm tổng
quát cho phép sử dụng những công cụ hiện đại để tìm hiểu những vấn đề mang tính
bản chất của nghiệm. Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình này
khi thời gian đủ lớn là một việc làm rất quan trọng. Nó cho phép hiểu sâu sắc hơn
của các quá trình biến đổi vật chất theo thời gian, từ đó có thể đưa ra những ước
lượng và đánh giá quy mô của các hệ thống trong tương lai. Một nhánh nghiên cứu
đang rất sôi động và thời sự là nghiên cứu dáng điệu nghiệm thông qua sự tồn tại
của một đa tạp khả vi, lý do là vì nó cho ta biết một bức tranh hình học tổng thể
về dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình tiến hóa với nhiễu phi tuyến. Tìm
điều kiện để phương trình này có đa tạp tích phân (chẳng hạn, đa tạp ổn định, không
ổn định hay đa tạp trung tâm) là một trong các vấn đề trọng tâm của hướng nghiên
cứu này (lịch sử vấn đề và các bước phát triển có thể tìm hiểu ở các công trình
[10, 11, 15, 16, 17, 18, 19] trong đó Nguyễn Thiệu Huy và các cộng sự của mình đã
đạt được những kết quả hiện đại đối với nhiều lớp phương trình nửa tuyến tính tổng
quát trong không gian hàm chấp nhận được với các điều kiện rất tổng quát).
Trong lớp các đa tạp không ổn định, đa tạp quán tính là một công cụ lý tưởng để
nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình tiến hóa. Khái niệm đa tạp
quán tính được giới thiệu năm 1985 bởi Foias C., Sell G. R., Temam R. [7] trong một
cố gắng để giảm bớt các nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình
Navier-Stokes đến một đa tạp Lipschitz hữu hạn chiều. Kể từ đó, đa tạp quán tính
đối với phương trình tiến hóa đã được nghiên cứu một cách hệ thống trong nhiều
công trình (xem [4, 5, 24, 31, 32] và các tài liệu tham khảo trong đó). Đặc tính quan

3
trọng của đa tạp quán tính là nó hút cấp mũ tất cả các nghiệm của phương trình tiến
hóa dưới các điều kiện được xét. Điều này cho phép áp dụng nguyên lý rút gọn để
nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình đạo hàm riêng bằng cách
xác định các cấu trúc của nó thông qua nghiệm hạn chế lên đa tạp quán tính, những
nghiệm này thực chất là nghiệm của các phương trình vi phân thường rút gọn nhờ
vào tính hữu hạn chiều.
Sự tồn tại của đa tạp quán tính được chứng minh cho nhiều lớp phương trình
tiến hóa quan trọng như lớp các phương trình đạo hàm riêng tiêu hao (xem [5]),
phương trình phản ứng-khuếch tán (xem [20]), các phương trình nửa tuyến tính tổng
quát (xem [4]), phương trình nửa tuyến tính tổng quát với các điều kiện rất tổng
quát (xem [12]) và một lớp các phương trình tiến hóa chứa trễ hữu hạn trong không
gian hàm chấp nhận được (xem [1]). Ngoài ra, sự tồn tại của một loại đa tạp quán
tính kiểu mới đã được Nguyễn Thiệu Huy chứng minh trong [13], đó là đa tạp quán
tính chấp nhận được (admissibly inertial manifold) được cấu thành bởi các quỹ đạo
nghiệm thuộc vào một không gian hàm chấp nhận được.
Điều kiện phổ biến cho sự tồn tại của đa tạp quán tính là điều kiện kẽ hở phổ
trong sự phân phối của các giá trị riêng của toán tử tự liên hợp A với giải thức
compact và tính liên tục Lipschitz đều của số hạng phi tuyến, tức là f thỏa mãn
điều kiện f (t, x) − f (t, y)

q x − y với hằng số Lipschitz q không phụ thuộc

vào thời gian t. Tuy nhiên, đối với các phương trình nảy sinh từ các quá trình phản
ứng-khuếch tán phức tạp thì hệ số Lipschitz của số hạng phi tuyến có thể phụ thuộc
thời gian (xem [12]), và điều kiện kẽ hở phổ hạn chế như vậy có thể không được đáp
ứng. Do đó, chúng ta cần cố gắng để mở rộng các điều kiện của toán tử A và số hạng
phi tuyến f để mô tả chính xác hơn các quá trình như vậy.

Năm 2012, trong [12], Nguyễn Thiệu Huy sử dụng phương pháp LyapunovPerron và các đánh giá nhị phân kết hợp với tính chấp nhận được của không gian
hàm để có được một điều kiện đủ mới cho sự tồn tại của đa tạp quán tính đó là
sự đủ lớn của khoảng cách giữa hai giá trị riêng kế tiếp nhau của toán tử xác định


4
dương A và tính liên tục ϕ-Lipschitz của số hạng phi tuyến f (t, x), tức là f thỏa
mãn f (t, x) − f (t, y)

ϕ(t) Aθ (x − y) với ϕ là một hàm thực dương và thuộc

vào một không gian hàm chấp nhận được sao cho chuẩn supt∈R

t
t−1 ϕ(τ )dτ

là đủ

nhỏ.
Để mở rộng kết quả trong [12], chúng ta sẽ xem xét bài toán (2) dưới một khía
cạnh khác. Chú ý rằng, tập giải thức của toán tử B có tính chất
ρ(B) ⊃ Σ = λ ∈ C : λ = 0, | arg λ| < θ, với θ >

π
2

(4)

và giải thức thỏa mãn đánh giá
(λI − B)−1

L (X)

= R(λ, B)

L (X)

M
|λ|

với mọi λ ∈ Σ.

(5)

Những nhận xét này cho phép xét một lớp rất rộng các phương trình có dạng như
phương trình (3) mà toán tử tuyến tính tác động thỏa mãn hai điều kiện (4) và (5)
trên một không gian Banach, những toán tử như vậy được gọi là toán tử quạt (xem
Định nghĩa 1.1 dưới đây).
Toán tử quạt và nửa nhóm giải tích là các công cụ cơ bản trong nghiên cứu các
bài toán parabolic trừu tượng. Nó xuất hiện rất nhiều trong ứng dụng, chẳng hạn
trong động lực học chất lỏng (xem [8, 14]) hay các mô hình sinh thái (xem [27, 28]).
Do đó, nghiên cứu dáng điệu của hệ động lực sinh ra bởi các phương trình vi phân
có phần tuyến tính là toán tử quạt thông qua sự tồn tại của một đa tạp quán tính là
một việc làm nhiều ý nghĩa, là cầu nối đến các ứng dụng đa dạng.
Trong luận văn này, chúng tôi sẽ mở rộng các kết quả của Nguyễn Thiệu Huy
[12] cho các phương trình tiến hóa mà phần tuyến tính là toán tử quạt. Một cách
chính xác, bài toán được xét là trường hợp toán tử tuyến tính −A là toán tử quạt có
một tập con cô lập của phổ của nó là đủ xa với phần còn lại (xem Giả thiết 1 dưới
đây). Khoảng cách đủ lớn giữa hai phần phổ của toán tử −A cho phép kết hợp các
đánh giá nhị phân (biểu diễn bởi phổ của −A) với tính chấp nhận được của không

gian hàm (biểu diễn bởi tính chất ϕ-Lipschitz của số hạng phi tuyến f ) để thiết lập


5
các điều kiện đủ cho sự tồn tại của một đa tạp quán tính mà không còn hữu hạn
chiều nữa.
Phương pháp được sử dụng trong luận văn là xây dựng các không gian hàm có
trọng (hoặc đổi tỉ xích) để có được một số đánh giá nhị phân và sau đó áp dụng các
kỹ thuật trong [11] (xem thêm [9, 12]) của việc sử dụng tính chấp nhận được của
không gian hàm để xây dựng nghiệm của phương trình Lyapunov-Perron mà nó sẽ
được sử dụng để thiếp lập sự tồn tại của đa tạp quán tính.
Kết quả chính của luận văn được viết thành một bài báo nghiên cứu [1] trong
Danh mục các công trình khoa học liên quan đến luận văn và đã được báo cáo tại
Seminar “Asymptotic Behavior of Solutions to Differential Equations and Applications”, Viện Toán ứng dụng và Tin học - Đại học Bách Khoa Hà Nội, Seminar Khoa
Toán - Trường Đại học Hải Phòng.
Ngoài các phần Mở đầu, Kết luận, Danh mục các công trình khoa học liên quan
đến luận văn, luận văn được chia thành ba chương như sau:
• Chương 1. Toán tử quạt, Không gian hàm chấp nhận được và Đa tạp quán
tính. Trình bày kiến thức cơ sở cho luận văn để phục vụ việc chứng minh các
kết quả chính ở Chương 3, bao gồm một số chuẩn bị về toán tử quạt, lý thuyết
nửa nhóm giải tích và các không gian hàm chấp nhận được. Chúng tôi cũng
đưa ra định nghĩa của đa tạp quán tính và nhận xét ý nghĩa của nó trong việc
nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân.
• Chương 2. Đa tạp quán tính đối với các phương trình tương ứng với toán tử tự
liên hợp có giải thức compact. Trình bày lược đồ chứng minh các kết quả đạt
được bởi Nguyễn Thiệu Huy (xem [12]) về sự tồn tại của đa tạp quán tính đối
với các phương trình nửa tuyến tính

du(t)
dt

+ Au(t) = f (t, u(t)) trong đó A là

toán tử tự liên hợp có giải thức compact và số hạng phi tuyến thỏa mãn điều
kiện ϕ-Lipschitz, với ϕ thuộc vào một không gian hàm chấp nhận được. Sau
đó các kết quả này được áp dụng để nghiên cứu mô hình Fisher-Kolmogorov


6
mô tả sự lan truyền của lớp gene trội trong quần thể sinh thái.
• Chương 3. Đa tạp quán tính đối với các phương trình tương ứng với toán tử
quạt có kẽ hở phổ. Chương này là phần chính của luận văn, trình bày kết quả
mở rộng bài báo [12] về sự tồn tại của đa tạp quán tính đối với phương trình
nửa tuyến tính

du(t)
dt

+ Au(t) = f (t, u(t)) trong đó −A là toán tử quạt có kẽ

hở phổ đủ lớn sinh ra nửa nhóm giải tích và số hạng phi tuyến thỏa mãn điều
kiện ϕ-Lipschitz, với ϕ thuộc vào một không gian hàm chấp nhận được.
Dù đã nghiêm túc nghiên cứu và rất cố gắng thực hiện luận văn, nhưng với trình
độ hạn chế cùng nhiều lý do khác, luận văn chắc chắn không tránh khỏi những thiếu
sót. Kính mong sự góp ý của các Thầy Cô, các bạn và các anh chị đồng nghiệp để
luận văn này hoàn chỉnh và nhiều ý nghĩa hơn.

Thái Nguyên, ngày 01 tháng 4 năm 2015
Bùi Xuân Quang
Học viên Cao học Toán lớp B, khóa 06/2013-06/2015

Chuyên ngành Toán ứng dụng
Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên
Email:


7

Chương 1

Toán tử quạt, Không gian hàm chấp nhận được
và Đa tạp quán tính
Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị cho luận văn,
bao gồm toán tử quạt, nửa nhóm giải tích, hàm Green và không gian hàm chấp nhận
được trên đường thẳng thực. Chúng tôi cũng trình bày khái niệm đã tạp quán tính
và nêu lên ý nghĩa của nó. Một số kết quả chuẩn bị liên quan đến đánh giá nhị phân
tương ứng với sự phân rã phổ của toán tử quạt và đánh giá của hàm Green được
chứng minh chi tiết để sử dụng trong chứng minh kết quả chính sau này.

1.1
1.1.1

Toán tử quạt - Nửa nhóm giải tích
Toán tử quạt

Trước hết, chúng tôi nhắc lại một vài vấn đề về toán tử giới nội cùng các mệnh
đề liên quan (phần này chúng tôi tham khảo [22]).
Xét bài toán Cauchy trong không gian Banach tổng quát

 du(t) = Bu(t), t > 0,
dt


u(0) = x ∈ X,

(1.1)

trong đó B : D (B) → X là toán tử tuyến tính.
Giả sử B ∈ L (X). Trước hết ta sẽ xác định nghiệm của (1.1) như là tổng của
một chuỗi lũy thừa.


8
Mệnh đề 1.1. Cho B ∈ L (X). Khi đó chuỗi
+∞ k

t Bk
k!

k=0

(1.2)

hội tụ trong L (X), đều trên một tập con bị chặn của R. Đặt
+∞ k

u(t) :=
k=0

t Bkx
,
k!

t ∈ R.

(1.3)

Khi đó, hạn chế của u trên [0, +∞) là nghiệm duy nhất của bài toán Cauchy (1.1).
Phép chứng minh của mệnh đề này có thể tham khảo trong [22]. Từ phép chứng
minh này, với mỗi toán tử giới nội B thì chuỗi lũy thừa
+∞ k
tB

e

:=
k=0

t Bk
k!

(1.4)

hội tụ trong L (X) với mỗi t ∈ R. Nếu B không giới nội, miền xác định của B k
có thể trở nên nhỏ hơn và nhỏ hơn khi k tăng, và ngay cả với x ∈
nó cũng không đảm bảo chuỗi

+∞ tk B k x
k=0 k!

k∈N D (B

k

)

hội tụ. Ví dụ như chọn X = C[0, 1],

D (B k ) = C 1 [0, 1], Bf = f . Vì thế, ta phải tìm một biểu diễn nghiệm của (1.1) nếu

muốn mở rộng tới trường hợp không giới nội. Ta xét mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.2. Cho B ∈ L (X) và giả sử γ ⊂ C là một đường tròn với tâm O và
bán kính r > B . Khi đó
etB =

1
2πi

etλ R(λ, B)dλ,

t ∈ R.

γ

Chứng minh. Từ (1.4) và
+∞

R(λ, B) =
k=0

Bk
,

λk+1

|λ| > B ,

ta có
1
2πi

1
e R(λ, B)dλ =
2πi
γ

+∞

tλ

n=0

tn
n!

λn R(λ, B)dλ
γ

(1.5)


9
1

=
2πi
=

1
2πi

+∞

+∞

tn
n!

n

λ

γ
n=0
+∞ n +∞
n=0

t
n!

k=0

Bk

Bk
dλ
λk+1
λn−k−1 dλ

γ

k=0

= etB ,
do tích phân trong chuỗi cuối cùng bằng 2πi nếu n = k và bằng 0 trong các trường
hợp khác.
Cuối cùng trong phần này là việc thiết lập công thức biến thiên hằng số tổng
quát, đó là nghiệm của bài toán Cauchy không thuần nhất

 du(t) = Bu(t) + F (t), 0 t
dt

u(0) = x,

T,

(1.6)

trong đó B ∈ L (X), x ∈ X, F ∈ C([0, T ], X) và T > 0.
Mệnh đề 1.3. Bài toán Cauchy (1.6) có nghiệm duy nhất trong [0, T ] xác định bởi
công thức
t
tB

e(t−s)B F (s)ds,

u(t) = e x +

t ∈ [0, T ].

(1.7)

0

Trong luận văn này, chúng tôi xét một lớp các phương trình có phần tuyến tính
là toán tử quạt. Một cách chính xác, toán tử quạt được định nghĩa sau đây:
Định nghĩa 1.1. Giả sử X là một không gian Banach. Một toán tử tuyến tính
B : X ⊃ D (B) → X được gọi là một toán tử quạt kiểu (σ, ω) nếu nó thỏa mãn
các điều kiện sau đây:
(1) B là toán tử tuyến tính đóng và có tập xác định trù mật;
(2) Tồn tại các số thực ω ∈ R, σ ∈ 0, π2 và M

1 sao cho

π
ρ(B) ⊃ Sσ+ π2 ,ω := z ∈ C : | arg(z − ω)| < σ + , z = ω
2
(tập hợp Sσ+ π2 ,ω gọi là quạt) và giải thức của toán tử B thỏa mãn đánh giá
R(λ, B)

M
|λ − ω|

với mọi λ ∈ Sσ+ π2 ,ω .

(1.8)


10
Những nghiên cứu hệ thống về toán tử quạt và những áp dụng của chúng vào
phương trình đạo hàm riêng có thể tìm thấy trong các sách chuyên khảo [2, 6, 23,
29, 31].
Ở đây, toán tử quạt được định nghĩa như trong [23] (xem thêm [6]). Chú ý rằng,
định nghĩa toán tử quạt trong [2, 31] khác với định nghĩa trong [23]. Theo đó, toán
tử B được gọi là toán tử quạt theo nghĩa trong [2, 31] nếu toán tử −B là toán tử quạt
theo định nghĩa này.
Trở lại với toán tử quạt, sau đây là một số nhận xét liên quan đến nó mà mục đích
chính là để dẫn đến khái niệm nửa nhóm giải tích, là một nửa nhóm toán tử sinh bởi
một toán tử quạt.
Với mọi t > 0, điều kiện (2) của Định nghĩa 1.1 cho phép xác định xác định một
toán tử tuyến tính giới nội etB trên X. Với r > 0, η ∈

π
2,θ

, với θ := σ + π2 , giả sử

γr,η là đường cong
{λ ∈ C : | arg λ| = η, |λ|

r} ∪ {λ ∈ C : | arg λ|

η, |λ| = r}

định hướng ngược chiều kim đồng hồ.
Đặt
etB :=

1
2πi

e0B x := x,

etλ R(λ, B)dλ,

t > 0.

(1.9)

γr ,η+ω

(1.10)

x ∈ X.

thì ta có bổ đề quan trọng sau:
Bổ đề 1.1. Nếu B là toán tử quạt thì tích phân (1.9) là xác định đúng đắn, độc lập
với r > 0 và η ∈

π
2,θ

.

Những tính chất chính của etB với t > 0 được tổng kết trong định lí sau đây:
Định lí 1.1. Cho B là toán tử quạt và etB xác định bởi (1.9). Khi đó các phát biểu
sau là đúng
(1) etB x ∈ D (B k ) với mọi t > 0, x ∈ X, k ∈ N. Nếu có x ∈ D (B k ) thì
B k etB x = etB B k x,

t

0.


11
(2) etB esB = e(t+s)B với mọi t, s

0.

(3) Tồn tại dãy hằng số M0 , M1 , M2 , . . . sao cho
etB

L (X)

M0 eωt ,

tk (B − ωI)k etB

(1.11)

t > 0,
Mk eωt ,

L (X)

t > 0,

(1.12)

với ω xác định trong Định nghĩa 1.1.
Trong trường hợp riêng, từ bất đẳng thức (1.12), với mỗi ε > 0 và k ∈ N, tồn
tại Ck,ε > 0 thỏa mãn
tk B k etB

L (X)

Ck,ε e(ω+ε)t ,

t > 0.

(1.13)

(4) Ánh xạ t → etA thuộc không gian C ∞ ((0, +∞), L (X)) và đẳng thức
dk tB
e = B k etB ,
dtk

t>0

(1.14)

xảy ra với mọi k ∈ N. Hơn nữa, nó có một thác triển giải tích ezA tới quạt
Sθ− π2 ,0 và với z = ρeiα ∈ Sθ− π2 ,0 , θ ∈

ezB =

1
2πi

π
2,θ

− α , đẳng thức sau xảy ra

eλz R(λ, B)dλ.

(1.15)

γr,θ +ω

Ta nhận xét rằng phát biểu (2) trong Định lí 1.1 nói rằng họ các toán tử etA thỏa
mãn luật nửa nhóm, tính chất đại số gắn liền với khái niệm mũ. Phát biểu (4) nói
rằng e(·)B là một thác triển giải tích tới một quạt. Do đó, một cách tự nhiên, ta đưa
ra định nghĩa sau đây:
Định nghĩa 1.2. Giả sử B là một toán tử quạt. Ánh xạ
T : [0, +∞) → L (X)
t

→

etB

được gọi là nửa nhóm giải tích sinh bởi toán tử B trong không gian X.

12
Nhận xét 1.1. Chú ý rằng, định nghĩa về toán tử sinh của một nửa nhóm toán tử
được định nghĩa một cách tổng quát như sau (chi tiết có thể tham khảo [6]): Ta gọi
toán tử sinh của nửa nhóm {T (t)}t

0

là toán tử tuyến tính B : D (B) ⊂ X → X

được định nghĩa bởi
x ∈ X sao cho giới hạn lim+

D (B) :=

t→0

Bx := lim+
t→0

T (t)x − x
,
t

T (t)x − x
tồn tại trong X ,
t

x ∈ D (B).

Đối với nửa nhóm giải tích {etB }t

0,

cận tăng trưởng của nó là số

ω0 := inf γ ∈ R : tồn tại M > 0 sao cho etB

M eγt , t

0 .

Đối với toán tử B, biên phổ của nó là số
s(B) := sup Re λ : λ ∈ σ(B) .
Rõ ràng là s(B)

ω với ω xác định trong Định nghĩa 1.1.

Tiếp theo, ta xét một công thức quan trọng biểu diễn giải thức R(λ, B) như sau.
Mệnh đề 1.4. Giả sử B : D (B) ⊂ X → X là một toán tử quạt. Với mỗi λ ∈ C mà
Re λ > ω ta có
+∞

e−λt etB dt.

R(λ, B) =

(1.16)

0

Tính chất liên tục của nửa nhóm các toán tử tuyến tính là rất quan trọng. Ta có
định nghĩa cổ điển sau đây.
Định nghĩa 1.3. Cho {T (t)}t

0

là họ các toán tử giới nội trên X. Nếu T (0) = I và

T (t + s) = T (t)T (s) với mọi t, s
X thì {T (t)}t

0

0 và hàm t → T (t)x là liên tục từ [0, +∞) tới

được gọi là nửa nhóm liên tục mạnh.

Sau đây là một số ví dụ tiêu biểu về toán tử quạt.
Ví dụ 1.1 (Toán tử đạo hàm riêng cấp hai trên R). Nhắc lại khái niệm căn bậc hai
√
của số phức (ở đây, quy ước kí hiệu căn bậc hai của số phức z là z) như sau: Cho


13
λ ∈ C, khi đó

√

1

iθ

λ = |λ| 2 e 2 nếu arg λ = θ ∈ (−π, π]. Do đó, Re

√

λ > 0 nếu

λ ∈ C \ (−∞, 0].
Bây giờ ta định nghĩa toán tử đạo hàm riêng trong Lp (R) với 1

p < +∞ và

trong Cb (R), với miền xác định cực đại như sau:
D (Ap ) = W 2,p (R) ⊂ Lp (R),

Ap u = u ,

D (A∞ ) = Cb2 (R),

A∞ u = u .

1

p < +∞;

Ta xác định tập phổ của Ap và đánh giá chuẩn của giải thức của nó. Với mọi
1

p

+∞, tập phổ của Ap là nửa đường thẳng (−∞, 0]. Nếu λ = |λ|eiθ với

|θ| < π thì ta có đánh giá
R(λ, A)

L (Lp (R))

1
|λ| cos

θ
2

.

Ví dụ 1.2 (Toán tử đạo hàm riêng cấp hai trên khoảng bị chặn với điều kiện biên
Dirichlet). Không mất tính tổng quát, ta cố định I = (0, 1) và xét toán tử đạo hàm
riêng trên Lp (0, 1) với 1

p < +∞

D (Ap ) := {u ∈ W 2,p (0, 1) : u(0) = u(1) = 0} ⊂ Lp (0, 1),

Ap u = u ,
tương tự trên C[0, 1],
D (A∞ ) = {u ∈ C 2 [0, 1] : u(0) = u(1) = 0}

A∞ u = u .

Khi đó, các toán tử Ap : D (Ap ) → Lp (0, 1) với 1
D (A∞ ) → C([0, 1]) là toán tử quạt, với ω = 0 và θ ∈

p < +∞ và toán tử A∞ :
π
2,π

.

Trong luận văn này, khi chứng minh sự tồn tại của đa tạp quán tính, ta sẽ sử dụng
một lớp cụ thể các toán tử quạt và giả thiết như sau đây:
Giả thiết 1. Giả sử A là một toán tử tuyến tính đóng trên một không gian Banach
X thỏa mãn −A là toán tử quạt kiểu (σ, ω) với σ ∈ 0, π2 và ω < 0. Giả sử rằng


14
phổ σ(−A) thỏa mãn điều kiện phân rã phổ
σ(−A) = σ− (−A) ∪ σ+ (−A) ⊂ C−
với ω− < ω+ < ω < 0, trong đó
ω− := sup{Re λ : λ ∈ σ− (−A)},

ω+ := inf{Re λ : λ ∈ σ+ (−A)}

(1.17)

và σ+ (−A) là tập hợp compact.
Dưới Giả thiết 1 ta có thể chọn các số ω1 và ω2 thỏa mãn
(1.18)

ω− < ω1 < ω2 < ω+ < 0.

Gọi P là phép chiếu phổ (được gọi là phép chiếu Riesz) liên quan đến σ+ (−A),
xác định bởi
P =
trong đó

+

1
2πi

(1.19)

R(λ, −A)dλ
+

là một đường cong chính quy đóng chứa trong ρ(−A), bao quanh phần

phổ σ+ (−A) và định hướng ngược chiều kim đồng hồ.
Như đã biết, toán tử quạt −A sinh ra một nửa nhóm giải tích (xem, chẳng hạn,
[6, 23, 29]). Kí hiệu nửa nhóm giải tích này là {e−tA }t
giao hoán với toán tử chiếu P với mọi t

0.

Dễ thấy rằng, toán tử e−tA

0.

Do hạn chế của toán tử −A lên không gian ảnh P X là một toán tử giới nội,

nên hạn chế {e−tA P }t

0

của nửa nhóm {e−tA }t

0

lên P X có thể mở rộng lên toàn

đường thẳng R. Do đó, ta có một nhóm {e−tA P }t∈R .

1.1.2

Lũy thừa bậc phân số của toán tử quạt

Do (ω, ∞) ⊂ ρ(−A) với ω < 0, ta có (−∞, 0] ⊂ (−∞, −ω) ⊂ ρ(A). Ngoài ra,
R(λ, A) = − R(−λ, −A)
với mọi λ < −ω (do đó, với mọi λ

M
−λ − ω

0). Vì vậy, toán tử A là dương theo nghĩa của

[2] (xem thêm [23, 31]). Vì thế, với θ > 0, có thể xác định toán tử
A−θ =

1
Γ(θ)

+∞

tθ−1 e−tA dt,
0


15
với Γ là hàm Gamma.
Lũy thừa bậc phân số của toán tử A có thể được xác định bởi
Aθ := (A−θ )−1

với θ > 0.

(1.20)

Như thường lệ, quy ước A0 = I (toán tử đồng nhất) cho trường hợp θ = 0. Ngoài
ra, kí hiệu Xθ := D (Aθ ) được trang bị chuẩn
x

Xθ

với mọi x ∈ Xθ và 0

:= Aθ x

θ < 1.

Các nghiên cứu chi tiết về lũy thừa bậc phân số có thể tìm trong [23, 29, 31].

1.1.3

Đánh giá nhị phân của nửa nhóm giải tích

Bây giờ, ta sẽ phát biểu và chứng minh một số tính chất, được gọi là đánh giá
nhị phân của nửa nhóm giải tích {e−tA }t

0.

Mệnh đề 1.5. Giả sử ω1 < ω2 < 0 là các số thực được chọn như trong (1.18). Với
θ > 0 ta có các đánh giá nhị phân sau đây:
e−tA P

M1 e−ω2 |t|

với mọi t ∈ R,

(1.21)

Aθ e−tA P

M2 e−ω2 |t|

với mọi t ∈ R,

(1.22)

e−tA (I − P )

M e ω1 t

N ω1 t
e
tθ

Aθ e−tA (I − P )

với mọi t ≥ 0,

(1.23)

với mọi t > 0.

(1.24)

Chứng minh. Kí hiệu −A+ := −A|P X là hạn chế của −A lên P X. Khi đó −A+ là
một toán tử giới nội với phổ σ(−A+ ) = σ+ (−A). Ngoài ra, toán tử −A+ sinh
ra nhóm {e−tA+ }t∈R = {e−tA P }t∈R . Sử dụng Phép tính hàm Dunford đối với
{e−tA+ }t∈R ta có
e−tA+ =

1
2πi

etλ R(λ, −A+ )dλ.
+

Do đó
e−tA+

=

1
2πi

etλ R(λ, −A+ )dλ
+


16
e−ω2 |t|
2π

R(λ, −A+ ) |dλ|
+

M1 e−ω2 |t|
trong đó |

+

với M1 :=

| +|
sup R(λ, −A+ ) ,
2π λ∈ +

| là độ dài của đường cong chính quy

+

. Do đó bất đẳng thức (1.21)

được chứng minh.
Bất đẳng thức (1.22) được suy ra từ đánh giá
Aθ e−tA P = Aθ+ e−tA+

Aθ+

e−tA+

Aθ+ M1 e−ω2 |t| .

Đặt M2 := Aθ+ M1 thì khẳng định được chứng minh.
Tiếp theo, kí hiệu −A− là hạn chế của −A lên không gian hạch ker P . Khi đó,
−A− là một toán tử quạt với phổ σ(−A− ) = σ− (−A). Và toán tử −A− sinh ra một
nửa nhóm giải tích {e−tA− }t

0

= {e−tA (I − P )}t

0

với biên phổ (và do đó là cận

tăng trưởng) nhỏ hơn ω1 .
Do vậy, các bất đẳng thức (1.23) và (1.24) được suy ra từ lý thuyết tổng quát về
nửa nhóm giải tích (xem, chẳng hạn, [23, 29], [31, Theorem 37.5, Chapter 3]).
Phép chứng minh của mệnh đề được kết thúc.

1.2

Hàm Green

Giả sử A thỏa mãn Giả thiết 1, ta định nghĩa hàm Green như sau:


e−(t−τ )A [I − P ] với mọi t > τ,
G(t, τ ) =

−e−(t−τ )A P
với mọi t τ.

(1.25)

Có thể thấy rằng G(t, τ ) ánh xạ X vào không gian lũy thừa bậc phân số Xθ . Ngoài
ra, bởi các đánh giá nhị phân (xem Mệnh đề 1.5) ta có một đánh giá quan trọng đối
với hàm Green, được phát biểu trong mệnh đề sau đây:
Mệnh đề 1.6. Với Aθ là lũy thừa bậc phân số của toán tử A được định nghĩa trong
(1.20), G(t, τ ) là hàm Green, ta có đánh giá
eγ(t−τ ) Aθ G(t, τ )

K(t, τ )e−α|t−τ |

với mọi t, τ ∈ R

(1.26)


17

trong đó

γ := −






N
(t − τ )θ

ω2 + ω1
ω2 − ω1
, α :=
và K(t, τ ) :=

2
2

M2

if t > τ,
if t

(1.27)

τ

với ω1 và ω2 được chọn như trong (1.18).

Chứng minh. Xét trường hợp thứ nhất t > τ , khi đó theo định nghĩa của hàm Green
và đánh giá nhị phân (1.24) ta có
eγ(t−τ ) Aθ G(t, τ )

Xét trường hợp thứ hai t

eγ(t−τ ) Aθ e−(t−τ )A (I − P )
N
eω1 (t−τ )
eγ(t−τ ) ·
θ
(t − τ )
N
e(γ+ω1 )(t−τ )
θ
(t − τ )
N
e−α(t−τ ) .
=
(t − τ )θ
=

τ , khi đó theo định nghĩa của hàm Green và đánh giá

nhị phân (1.22) ta có
eγ(t−τ ) Aθ G(t, τ )

=

eγ(t−τ ) Aθ [−e−(t−τ )A P ]

=

eγ(t−τ ) Aθ e−(t−τ )A P
eγ(t−τ ) · M2 e+ω2 (t−τ )
M2 e(γ+ω2 )(t−τ )

= M2 e+α(t−τ ) .
Tóm lại, đánh giá (1.26) được chứng minh.

1.3

Không gian hàm chấp nhận được

Trong mục này, chúng ta nhắc lại một số khái niệm về không gian hàm, các ứng
dụng cụ thể có thể tham khảo trong [25, 30].
Kí hiệu B và λ lần lượt là đại số Borel và độ đo Lebesgue trên đường thẳng thực
R. Không gian L1,loc (R) những hàm số nhận giá trị thực khả tích địa phương trên R