Bài giảng giải tích nhiều biến

GIẢI TÍCH NHIỀU BIẾN SỐ
Bài 2
PGS. TS. NGUYỄN XUÂN THẢO
§ 18.7. HỆ TOẠ ĐỘ TRỤ, HỆ TOẠ ĐỘ CẦU
• Các dạng toán cơ bản

• Hệ toạ độ trụ
• Hệ toạ độ cầu
Ngoài hệ toạ độ vuông góc quen thuộc, chúng ta sẽ làm
quen với hai hệ toạ độ khác trong không gian ba chiều giúp
ích cho việc giải quyết các bài toán đặc biệt là: Hệ toạ độ
trụ và hệ toạ độ cầu.
1. Hệ toạ độ trụ
• P(x, y, z) trong toạ độ vuông góc
• x = rcosθ, y = rsinθ, z = z, 0 ≤ θ ≤ 2π ; θ = (OP, Ox)
y
• Có r2 = x2 + y2, tanθ = , z = z
x
Hình 18.39
• (r ; θ ; z)
Ví dụ 1. Tìm toạ độ trụ của các điểm P2 biết toạ độ vuông góc tương ứng của chúng
là (2 3 ; 2 ; 5).
• Đối với P2 có r = 12 + 4 = 4
1
π
• tanθ =
⇒θ =
6
3
•z=5
π



; 5 .
• Toạ độ trụ là  4 ;
6


Ví dụ 2. Mô tả các mặt cong
a) r(2cosθ + 5sinθ) + 3z = 0
b) r + z = 3
a) • Có x = rcosθ, y = rsinθ
• 2x + 5y + 3z = 0 là phương trình mặt phẳng.
b) • Giao của mặt phẳng r + z = 3 với mặt phẳng x = 0 là đường thẳng y + z = 3.
• Giao của mặt phẳng r + z = 3 với mặt phẳng y = 0 là đường thẳng x + z = 3.
• Phương trình khuyết θ nên mặt cong đối xứng với trục Oz.
• Mặt cong là mặt nón được tạo thành khi quay đường thẳng y + z = 3 quanh trục Oz.
Ví dụ 3. Tìm phương trình trong hệ toạ độ trụ cho:
a) Mặt cầu x2 + y2 + 2z2 = 4
b) Hyperbol paraboloid z = x2 – y2.
a) • x = rcosθ, y = rsinθ, 0 ≤ θ ≤ 2π ; z = z.
• r2 cos2θ + y2sin2θ + 2z2 = 4
• r2 + 2z2 = 4.
b) • z = (rcosθ)2 – (rsinθ)2
1


• z = r2cos2θ
Chú ý. Trong vật lý, hệ toạ độ trụ đặc biệt thuận lợi trong các bài toán có trục đối
xứng. Có hai lớp bài toán quan trọng: Một liên quan tới dòng nhiệt trong thanh trụ
rắn, một là dao động của màng tròn như màng trống.

2. Hệ toạ độ cầu
• P(x, y, z)
• x = ρsinφ cosθ , y = ρsinφ sinθ, z = ρcosφ,
• 0 ≤ φ ≤ π, 0 ≤ θ ≤ 2π, φ = (OP, Oz), θ = (OP', Ox).
• x2 + y2 + z2 = ρ2sin2φ cos2θ + ρ2sin2φ sin2θ + ρ2 cos2φ = ρ2sin2φ + ρ2cos2φ = ρ2.
x2 + y 2
sin φ
ρ sin φ
• tan φ =
=
=
cos φ ρ cos φ
z
y
• tanθ = .
x
• (ρ, φ, θ)
Ví dụ 1. Tìm phương trình trong hệ toạ độ cầu của hình cầu
x2 + y2 + z2 – 2az = 0, a > 0
• x=ρsinφ cosθ, y = ρ sinφ sinθ, z = ρ cosθ
• ρ2 – 2aρ cosθ = 0
• ρ(ρ – 2a cosθ) = 0 ⇔ ρ = 0 hoặc ρ = 2acosθ ⇔ ρ = 2acosθ
là phương trình mặt cầu bán kính a và tiếp xúc với mặt phẳng
Oxy tại gốc toạ độ.
x 2 + y 2 + ( z – a)2 = a2
Ví dụ 2. a) Tìm toạ độ cầu cho điểm P 2 ; 2 ; 2 3

(

)

 π

b) Tìm toạ độ vuông góc của điểm có toạ độ cầu sau  6 ; ; π 
 2

a) • ρ2 =

2

2

( ) ( ) (
2

+

2

+ 2 3

)

2

= 16

•ρ=4
2

( ) ( )
2

• tanφ =

•φ=

2 3

2

2

=

1
3

π
6

• tanθ =
•θ=

+

y
=1
x

π
4

 π π
• P 4 ; ; 
 6 4
2

Hình 18.41


b) • x = 6sin

• y = 6sin

π
2

• z = 6cos

π
2

cosπ = – 6

sinπ = 0

π

=0

2
• P( – 6 ; 0 ; 0).
Ví dụ 3 Mô tả mặt cong sau biết phương trình trong toạ độ cầu của nó là ρ = 2a sinφ.
• Ta biết mặt cong tròn xoay quanh trục Oz (vì khuyết θ).
• Trong mặt phẳng yOz, phương trình ρ = 2a sinφ biểu diễn
đường tròn bán kính a vì ρ2 = 2aρ sinφ
• ρ2cos2φ + ρ2sin2φ = 2aρ sinφ
• z2 + y2 = 2ay
• z2 + (y – a)2 = a2
• Quay đường tròn nói trên quanh trục Oz, được mặt
Hình 18.42
xuyến
3. Các dạng toán cơ bản
1. Tìm toạ độ trụ của điểm có toạ độ vuông góc
• 1(tr. 55). c) ( 3 ; 3 ; 2 )
+) z = 2, x = 3, y = 3
+) r = x 2 + y 2 = 2 3
y
1
π
+) tanθ = =
⇒θ=
x
6
3
π


+)  2 3 ;
; 2

6


2. Tìm toạ độ cầu của điểm có toạ độ vuông góc sau
• 3(tr. 55). a) (1; 1; 6 )

+) x = 1, y = 1, z =

6

+) r = x 2 + y 2 + z 2 = 2 2
y
π
+) tanθ = = 1 ⇒ θ =
x
4
x2 + y 2
2
1
π
+) tan φ =
=
=
⇒φ=
z
6
6
3
π π


+)  2 2 ;
; 
6 4

3. Tìm phương trình toạ độ trụ của các mặt cong có phương trình trong toạ độ
vuông góc cho trước
3


• 5(tr. 56). x2 + y2 + z2 = 16 (mặt cầu)
+) x = ρ cosθ, y = ρ sinθ, z = z
+) ρ2 + z2 = 16
• 7(tr. 56). x2 + y2 = z2 (mặt nón)
+) x = ρ cosθ, y = ρ sinθ, z = z
+) ρ2 = z2
• 9(tr. 56). x2 + y2 − 2y = 0 (mặt trụ)
+) x = ρ cosθ, y = ρ sinθ, z = z
+) ρ2 − 2ρ sinθ = 0 ⇒ ρ = 2sinθ
4. Tìm phương trình toạ độ cầu cho các mặt cong có phương trình trong toạ
độ vuông góc cho trước
• 13(tr. 56). x2 + y2 + z2 = 16 (hình cầu)
+) x = ρ sinφ cosθ , y = ρ sinφ sinθ, z = cosφ
+) ρ2 sin2φ cos2θ + ρ2 sin2φ sin2θ + ρ2 cos2φ = 16
+) ρ2 = 16
+) ρ = 4
• 15(tr. 56). x2 + y2 + z2 − 6z = 0 (mặt cầu)
+) x = ρ sinφ cosθ , y = ρ sinφ sinθ, z = cosφ
+) ρ2 − 6ρ cosφ = 0
+) ρ = 6cosφ
• 17(tr. 56). z = 4 − x2 − y2

+) x = ρ sinφ cosθ , y = ρ sinφ sinθ, z = cosφ
+) ρ cosθ = 4 − ρ2sin2φ
+) ρ cosθ + ρ2sin2φ = 4

§ 19.1. Hàm nhiều biến, đạo hàm riêng, vi phân
Hàm nhiều biến số
Các dạng toán cơ bản
Liên tục
I. Hàm nhiều biến số
1. Định nghĩa. Hàm hai biến số z = f(x, y) là ánh xạ:
f : D ⊂ »×» → »

( x, y )

→ z = f ( x, y )

Nghĩa là, mọi (x, y) ⊂ D có tương ứng duy nhất với một số thực z ∈ ».

Ví dụ 1. z = x2 + y2 là hàm hai biến số
Ví dụ 2. z2 = a2 – x2 – y2, a > 0 không phải là hàm hai biến số vì x = y =
a
2
Định nghĩa. Hàm ba biến số u = f(x, y, z) là ánh xạ
trị tương ứng là z = ±

4

a
có hai giá
2

f:

D ⊂ »×»×» → »

( x ;y ;z)

→ u = f ( x, y , z )
Việc biểu diễn hàm ba biến gặp khó khăn vì khi đó phải cần đến không gian 4 chiều.
Định nghĩa. • Miền xác định của hàm z = f(x, y) là {(x, y) ∈ »×»: z = f(x, y)}
• Miền giá trị của hàm z = f(x, y) là {z∈»: z = f(x, y), (x, y) ∈ MXĐ}.

Ví dụ 3. z = x2 + 4y2
• MXĐ: »2
• MGT: z ≥ 0.

Ví dụ 4. z = 9 − x 2 − y 2
• MXĐ: x2 + y2 ≤ 9
• MGT: z ≥ 0
Ví dụ 5. z = ln(x2 + y2 – 4)
• MXĐ: x2 + y2 > 4
• MGT: »
1

Ví dụ 6. z =


y2 
2

ln  1 − x −

2 

y2
y2
y2
2
2
2
• MXĐ: 1 − x −
> 0 và 1 − x −
≠1 ⇔ x +
< 1 bỏ đi điểm (0 ; 0).
2
2
2
• MGT: ∀z ≠ 0.
2. Liên tục
Định nghĩa. Hàm số z = f(x, y) được gọi là liên tục tại (x0 ; y0) thuộc MXĐ ⇔ ∀ ε > 0
bé tuỳ ý, ∃ δ(ε) > 0: ∀ (x ; y) ∈ MXĐ sao cho ( x − x0 )2 + ( y − y 0 )2 < δ (ε ) thì có
|f(x, y) – f(x0, y0)| < ε
Hàm số được gọi là liên tục nếu như liên tục tại mọi điểm thuộc MXĐ
Ví dụ 7. z = xy
• MXĐ: » 2
• ( x0 ; y 0 ) ∈ » 2 có
|xy – x0y0| = |xy – xy0 + xy0 – x0y0| =|x(y – y0) + y0(x – x0)|
≤ |x||y – y0| + |y0||x – x0| ≤ |c||y – y0| + |y0||x – x0|, |x| < c
ε 
 ε

• Chọn δ(ε) = min 
; 
 2 y 0 2c 
• xy − x0 y 0 < c

ε
2c

+ y0

ε
2 y0

=

ε
2

+

Chú ý. f(x, y) liên tục tại (x0, y0) ⇔

ε
2

=ε
lim

( x , y ) → ( x0 , y 0 )

5

f ( x, y ) = f ( x0 , y 0 )


 xy

Ví dụ 8. f ( x, y ) =  x 2 + y 2
0

Xét tính liên tục tại điểm (0 ; 0).
• (0 ; 0) thuộc MXĐ

( x ; y ) ≠ (0 ; 0)
( x ; y ) = (0 ; 0)

x2
1
• Chọn x = y có lim f ( x, y ) = lim 2 =
x = y →0
x →0 2 x
2
• f(0, 0) = 0
• f(0, 0) ≠ lim f ( x, y )
x = y →0

• không liên tục tại (0 ; 0).
3. Hàm n biến số (n ≥ 3)
a) Hàm ba biến w = f(x, y, z)
• Đồ thị có dạng như mặt cong ba chiều trong không gian bốn chiều

• Miền xác định D nằm trong “mặt phẳng toạ độ” ba chiều chứa tất cả các điểm có
dạng (x, y, z, 0)
b) Hàm n biến w = f(x1, x2, ..., xn), n ≥ 4
• Đồ thị có dạng như mặt cong n chiều trong không gian (n + 1) chiều.
Các dạng toán cơ bản
1. Tìm MXĐ của các hàm số sau
• 3(tr. 61). f = xy
+) x ≥ 0, y ≥ 0 hoặc x ≤ 0, y ≤ 0
+) Góc phần tư thứ 1 và thứ 3
• 5(tr. 62). f = ln(y − 3x)
+) y > 3x
+) Phía trên đường thẳng y = 3x
• 9(tr. 62). f = 16 − x 2 − y 2 − z 2
+) x2 + y2 + z2 ≤ 16
+) Hình cầu tâm (0 ; 0 ; 0) bán kính R = 4
xy

, ( x, y ) ≠ ( 0, 0 )
 2
2
• 13(tr. 62). CMR f ( x, y ) =  x + y

( x, y ) = ( 0, 0 )
0
liên tục tại gốc toạ độ
+) x = r cosθ, y = r sinθ
r cos θ sinθ , r ≠ 0
+) f ( r , θ ) = 
r =0
0

là hàm liên tục
6


§ 19.2. Hàm nhiều biến, đạo hàm riêng, vi phân
f ( x +∆x ) − f ( x )
∆x →0
∆x
• Có cách nào vận dụng kỹ thuật trên để nghiên cứu hàm hai biến số?
• Cho hàm hai biến z = f(x, y), ta xét f(x, y0) với y0 cố định và xét
f ( x0 + ∆x,y 0 ) − f ( x0 , y 0 )
∆x
f ( x0 + ∆x, y 0 ) − f ( x0 , y 0 ) d
• Ta có lim
= f ( x, y 0 )
∆x →0
∆x
dx
x = x0
1. Đạo hàm riêng cấp 1
∂z
f ( x0 + ∆x, y 0 ) − f ( x0 , y 0 )
a) Định nghĩa. zx ( x0 , y 0 ) ≡ ( x0 , y 0 ) = lim
∆x→0
∂x
∆x
3
2 3
2
Ví dụ 1. z(x, y) = x – 3x y + y , tính zx ( x0 , y 0 )

d
d 3
=
= (3 x 2 − 6 xy 03 ) x =x0 = 3 x02 − 6 x0 y 03 .
zx ( x0 , y 0 ) = z( x, y 0 )
( x − 3 x 2 y 03 + y 02 )
dx
dx
x = x0
x = x0
• Ta đã biết đối với hàm một biến y = f(x) có định nghĩa y ′( x ) = lim

Ví dụ 2. z( x, y ) = xe xy 2 . Tính zx (2,3)
d
zx (2,3) = ( xe9 x ) = (e9 x + 9 xe9 x ) x=2 =e18 + 18e18 = 19e18.
dx
x =2
f ( x0 , y 0 + ∆y ) − f ( x0 , y 0 ) d
Tương tự ta có lim
= f ( x0 , y )
∆y →0
∆y
dy
y =y 0
∂z
f ( x0 , y 0 + ∆y ) − f ( x0 , y 0 )
( x0 , y 0 ) = lim
∆y →0
∂y
∆y

2
3
Ví dụ 3. z(x, y) = 3x – 6xy , tính zy (3,2) .
d
d
zy (3,2) = z(3, y ) = (27 −18 y 3 ) = −54 y 2 y =2 = −216 .
dy
dy
y =2
y =2

Định nghĩa. zy ( x0 , y 0 ) ≡

Ví dụ 4. z( x,y ) = xe xy 2 , tính zy ( x0 ,y 0 )
2
d
d
= ( x0e x0 y 2 )
= x0 (2yx0 )e x0 y 2 y =y0 = 2 x02 y 0e x0 y 0 .
zy ( x0 ,y 0 ) = z( x0 ,y )
dy
dy
y =y 0
y =y 0
Ví dụ 5. z(x, y) = xy, tính zx (2,3) và zy (2,3)
d
d 3
+) zx (2,3) = z( x,3) =
( x ) =3x2|x = 2 = 12
dx

dx
x =2
x =2
d
d y
=
+) zy (2,3) = z(2, y )
2
= 2y ln2 y =3 = 8ln2.
dy
dy y =3
y =3
Có thể mở rộng kết quả như trên cho hàm số với số lượng biến bất kỳ.
Ví dụ 6. w(x, y, z, u, v) = xy2 + 2x3 + xyz + zu + tan(uv). Tính các đạo hàm riêng.

7


∂w
∂w
∂w
∂w
∂w
= y 2 + 6 x 2 + yz ;
= 2 xy + xz ;
= xy + u ;
= z + v sec 2 (uv ) ;
= u sec 2 (uv ) .
∂y
∂x

∂z
∂u
∂v
Chú ý
dy
• Đối với hàm một biến số y = y(x) chúng ta có thể hợp pháp hoá
là phân số.
dx
• Không thể vận dụng chú ý trên cho hàm nhiều biến, tức là không thể hợp pháp
∂z
là phân số.
hoá
∂x
Ví dụ 7. Định luật khí lí tưởng nói rằng số lượng khí đã có, áp suất P, thể tích V,
nhiệt độ tuyệt đối T được liên hệ với nhau bởi phương trình PV = nRT, ở đó n là số
lượng phân tử gam khí ở điều kiện lí tưởng, R là hằng số.
nRT ∂P
nRT
P=
;
=− 2 .
V
∂V
V
nRT ∂V nR
V=
;
=
.
P

∂T P
PV ∂T V
T=
;
=
.
nR ∂P nR
∂P ∂V ∂T  nRT  nR V
nRT
. . =  − 2 . .
=−
= −1
∂V ∂T ∂P  V  P nR
PV
Trong khi nếu vận dụng kết quả tương tự như đối với hàm một biến số thì sẽ có
∂P ∂V ∂T
. . =1.
∂V ∂T ∂P
∂z
•
( x0 ,y 0 ) = tanα , α là góc tạo bởi tiếp tuyến của đường
∂x
cong z(x, y0) tại x = x0 với chiều dương trục Ox.
∂z
• Tương tự có
( x0 ,y 0 ) = tan β , β là góc tạo bởi tiếp
∂y
tuyến của đường cong z(x0, y) tại y = y0 với chiều
dương trục Oy.
Hình 19.5

b) Tính chất
∂
∂
∂
•
Tuyến tính:
(α .u( x, y ) + β .u( x, y )) =α . u( x, y ) + β . v ( x, y ) .
∂x
∂x
∂x
∂
∂
∂
•
u ( x, y ).v ( x, y )) = v ( x, y ) u ( x, y ) + u ( x, y ) v ( x, y ) .
(
∂x
∂x
∂x
∂
∂
v
x
,
y
u
x
,
y
−

u
x
,
y
v ( x, y )
(
)
(
)
(
)
∂ u ( x, y )
∂
x
∂
x
•
=
.
∂x v ( x, y )
v 2 ( x, y )
2. Các dạng toán cơ bản
8


1. Tính các đạo hàm riêng

∂z ∂z
,
∂x ∂y

2y 2
• 3(tr. 68). z =
3x + 1
∂z
−3
+)
= 2y 2
∂x
( 3 x + 1)2
∂z
4y
=
+)
∂y 3 x + 1
• 5(tr. 68). z = x2siny
∂z
= 2 x sin y
+)
∂x
∂z
+)
= x 2 cos y
∂y
• 7(tr. 68). z = x tan2y + y tan3x
∂z
+)
= tan 2y + 3 y sec 2 3 x
∂x
∂z

+)
= x.2sec 2 2y + tan3 x
∂y
• 9(tr. 68). z = cos(3x − y)
∂z
+)
= −3 sin ( 3 x − y )
∂x
∂z
+)
= sin ( 3 x − y )
∂y
• 11(tr. 68). z = ex siny
∂z
+)
= e x sin y
∂x
∂z
+)
= e x cos y
∂y
• 13(tr. 68). z = ey lnx2
∂z
2x 2
= ey . 2 = ey
+)
∂x
x
x
∂z

+)
= e y ln x 2
∂y

9


GIẢI TÍCH NHIỀU BIẾN SỐ
Bài 3
PGS. TS. NGUYỄN XUÂN THẢO
§ 4. Hàm nhiều biến, đạo hàm riêng, vi phân (19.2) (tiếp theo)
2. Đạo hàm riêng cấp cao
a) Đạo hàm riêng cấp hai. z = z(x, y)
Định nghĩa
∂ 2z ∂  ∂ 
∂ 2z
∂  ∂z 
∂ 2 z ∂  ∂z 
∂ 2z
∂  ∂z 
zxx ≡ 2 =  z  ; zyy ≡ 2 =   ; zyx ≡
=  .
=   ; zxy ≡
∂y ∂x ∂y  ∂x 
∂x ∂x  ∂x 
∂y ∂y  ∂y 
∂x∂y ∂x  ∂y 
Thứ tự các đạo hàm riêng không phải luôn luôn tạo nên sự khác biệt, chẳng hạn
xét ví dụ sau: z(x, y) = x3e5y + ysin2x
• zx = 3 x 2e5 y + 2y cos2 x

• zy = 5 x 3e5 y + sin2 x
• zxy =15 x 2e5 y + 2cos2 x
• zyx =15 x 2e5 y + 2cos2 x
Nhận thấy zxy = zyx

Định lý. Cho z = f(x, y) có fxy , fyx xác định trong lân cận (x0, y0) và liên tục tại
(x0, y0), khi đó ta có fxy ( x0 ,y 0 ) = fyx ( x0 ,y 0 ) .
Chứng minh. (xem trang 380).
b) Các đạo hàm riêng cấp lớn hơn 2. Cho hàm w = f(x, y, z), tương tự ta có định nghĩa
∂ 3f
∂  ∂ 2f  ∂  ∂  ∂f  
= 
=
  = fzyx
∂x∂y ∂z ∂x  ∂y ∂z  ∂x  ∂y  ∂z  
∂ 4f
∂  ∂ 3f  ∂  ∂  ∂ 2f  
=
=

 = fxxyz
∂z∂y ∂x 2 ∂z  ∂y ∂x 2  ∂z  ∂y  ∂x 2  
Nếu các đạo hàm riêng này liên tục thì luôn đổi được thứ tự mà không thay đổi kết quả.
IV. Số gia và vi phân. Bổ đề cơ bản
∆y
a) Cho hàm số f(x) khả vi tại x0, ta có f ′ ( x0 ) = lim
với ∆y = f(x0 + ∆x) − f(x0)
∆ x →0 ∆ x
∆y
= f ′ ( x0 ) + ε với lim ε = 0 .

∆ x →0
∆x
Ta có ∆y = f′(x0)∆x + ε∆x
Có thể phát triển tương tự kết quả trên cho hàm hai biến?
b) Cho hàm hai biến số z = f(x, y) có fx ( x0 , y 0 ) , fy ( x0 , y 0 ) , có hay không biểu diễn sau?

∆z = f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) – f(x0, y0) = fx ( x0 , y 0 ) ∆ x + fy ( x0 , y 0 ) ∆y + ε1∆ x + ε 2∆y
ở đó ε1 và ε2 → 0 khi ∆x và ∆y → 0.


Ta dẫn ra dưới đây một vài ví dụ chứng tỏ biểu diễn trên.
Ví dụ 1. z = x + 2y, xét tại (x0, y0) tuỳ ý có
• zx ( x0 , y 0 ) = 1; zy ( x0 , y 0 ) = 2
• ∆z = z(x0 + ∆x, y0 + ∆y) – z(x0, y0) = x0 + ∆x + 2(y0 + ∆y) – x0 – 2y0
=∆x + 2∆y = 1.∆x + 2.∆y = zx ( x0 , y 0 ) ∆ x + zy ( x0 , y 0 ) ∆ y + 0.∆ x + 0.∆ y
Rõ ràng thoả mãn ε1 = 0 = ε2 → 0 khi ∆x và ∆y → 0.
Ví dụ 2. z = x2 – y, tại (1, 2)
• zx (1, 2 ) = 2 x (1, 2) = 2 ; zy (1, 2 ) = −1
• ∆z = z(1 + ∆x, 2 + ∆y) – z(1, 2) = (1 + ∆x)2 – (2 + ∆y) – (1 – 2)
=2∆x – ∆y + (∆x)2 = zx (1, 2 ) ∆ x + zy (1, 2 ) ∆ y + ∆ x.∆ x + 0.∆ y
Rõ ràng ε1 = ∆x, ε2 = 0 → 0 khi ∆x và ∆y → 0.
Ví dụ 3. z = xy tại (2, 1).
d
d
• zx ( 2, 1) =
z ( 2, y )
=2
z ( x, 1)
= 1 ; zy =
dx

dy
x =2
y =1
• ∆z = z(2 + ∆x, 1 + ∆y) – z(2, 1) = (2 + ∆x)(1 + ∆y) – 2.1
= ∆x + 2∆y + ∆x.∆y = zx ( 2,1) ∆ x + zy ( 2,1) ∆ y + ∆ x.∆ y .
Thấy ngay ε1 = ∆x, ε2 = 0 → 0 khi ∆x và ∆y → 0.
Ví dụ 4. z = 3x + |y|. Tính (nếu có) các đạo hàm riêng cấp một tại điểm (1, 0).
• zx (1, 0 ) = 3. ;
• ∃ zy (1, 0 ) vì
z (1, 0 + ∆ y ) − z (1, 0 )
3 + ∆y − 3
= lim
∆ y →0
∆ y →0
∆y
∆y

lim

∆ y 1,
=
= lim
∆ y →0 ∆ y
−1,

∆y → 0+
∆y → 0−

Hàm z không thể có biểu diễn như trên.
c) Bổ đề cơ bản. Hàm z = f(x, y) có các đạo hàm

riêng cấp một xác định trong lân cận của điểm (x0, y0)
và liên tục tại (x0, y0), khi đó luôn có
∆z = fx ( x0 , y 0 ) ∆ x + fy ( x0 , y 0 ) ∆ y + ε1∆ x + ε 2∆ y

ở đó ε1 và ε2 → 0 khi ∆x và ∆y → 0.
d) Định nghĩa. Hàm số z = f(x, y) có các đạo hàm
riêng cấp một trong lân cận điểm (x0, y0) và liên tục
tại (x0, y0) thì ta bảo hàm z khả vi tại (x0, y0) và có vi
phân là dz = fx ( x0 , y 0 ) dx + fy ( x0 , y 0 ) dy

Hình C.13


2

Ví dụ 5. Cho z = e xy , tính dz(2, 3)
zx ( 2, 3 ) = y 2e xy

2

zy ( 2, 3 ) = 2 xye xy

( 2, 3 )

= 9e18

2

( 2, 3 )

= 12e18

dz(2, 3) = 9e18dx + 12e18dy.

Ví dụ 6. z = ln(1 + x2 +y2), tính dz(3, 1)
2x
6
zx ( 3, 1) =
= ;
2
2
1 + x + y ( 3, 1) 11
zy ( 3, 1) =
dz(3, 1) =

2y
1+ x2 + y 2

=
( 3, 1)

2
.
11

6
2
dx + d y .
11
11

Chú ý
1. Khi hàm z = f(x, y) khả vi tại (x0, y0) thì dz là sự thay đổi theo z dọc theo mặt
phẳng này.
2. Hàm z = f(x, y) khả vi tại (x0, y0) ⇒ z = f(x, y) liên tục tại (x0, y0).
3. Công thức tính gần đúng:
f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) ≈ f(x0, y0) + df(x0, y0).
Ví dụ 7. Tính gần đúng (1,01)2.99.
• z = xy
• x0 = 1, y0 = 3, ∆x = 0,01, ∆y = − 0,01.
• z(1, 3) = 1
d 3
• zx (1, 3 ) =
x
= 3x 2
=3
x =1
dx x =1
• zy (1, 3 ) =
• (1,01)

2,99

d y
1
dy

=0
y =3

= z(1 + 0,01)(3 – 0,01) ≈ 1 + 3. 0,01 + 0. (− 0,01) ≈ 1,03.

4. Tương tự có thể xét các vi phân cấp cao của hàm z=f(x, y):
d2z = d(dz), d3z = d(d2z), ...


Các dạng toán cơ bản
1. Tính các đạo hàm riêng
• 15(tr. 68). w = x2y5z7
∂w
+)
= 2 xy 5z 7
∂x
∂w
+)
= 5 x 2 y 4 z7
∂y
∂w
= 7 x 2y 5z6
+)
∂z
y
• 17(tr. 68). w = x ln
z
∂w
y
= ln
+)
∂x
z

1
∂w
x
+)
=x z =
y y
∂y
z
y
− 2
∂w
x
= x. z = −
+)
y
∂z
z
z
• 25(tr. 69). Chứng minh rằng
+)

∂z
1
=
∂x x + 5 y

+)

∂ 2z
5

=−
∂y ∂x
( x + 5 y )2

+)

∂z
5
=
∂y x + 5 y

∂ 2z
∂ 2z
=
, ở đó z = ln(x + 5y)
∂y ∂x ∂x ∂y

∂ 2z
5
∂ 2z
+)
=−
=
∂x ∂y
( x + 5y )2 ∂y ∂x

2. Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc
19. Cho mặt cong: z = 2x2 + y2
a) Mặt phẳng y = 3 cắt mặt cong theo đường cong. Tìm phương trình
đường thẳng tiếp xúc với đường cong tại x = 2.

b) Mặt phẳng x = 2 cắt mặt cong theo đường cong. Tìm phương trình
đường thẳng tiếp xúc với đường cong tại y = 3.
 y = 3
a) +) Giao tuyến: 
2
z = 2 x + 9
+) Hệ số góc của tiếp tuyến tại x = 2 là
∂z
= 4x (2 ; 3) = 8
k=
∂x ( 2 ; 3 )
y = 3
y = 3
+) Phương trình tiếp tuyến cần tìm: 
hay 
z = 8 x + 1
z = 8 ( x − 2 ) + 17
 x = 2
b) +) Giao tuyến: 
2
z = 8 + y
∂z
+) Hệ số góc tiếp tuyến tại y = 3 là k =
= 2y ( 2 ; 3 ) = 6
∂y ( 2 ; 3 )
x = 2
x = 2
hay 

+) Phương trình tiếp tuyến là 
z = 6 y − 1
z = 6 ( y − 3 ) + 17
3. Kiểm tra hàm số thoả mãn các phương trình đạo hàm riêng
x
∂z
∂z
• 21(69). b) Hàm z =
thoả mãn phương trình x
+y
=0
x+y
∂x
∂y
∂z x + y − x
y
+)
=
=
2
∂x ( x + y )
( x + y )2

+)

∂z
x
=−
∂y
( x + y )2

+) x

∂z
∂z
xy
xy
+y
=
−
=0
∂x
∂y ( x + y )2 ( x + y )2

• 29(tr. 69). a) Hàm f(x, y) = ln(x2 + y2), thoả mãn phương trình Laplace
∂ 2f

∂ 2f

=0
∂x 2 ∂y 2
∂f
2x
+)
= 2
∂x x + y 2

+)

+

∂ 2f
∂x 2

= 2.

x 2 + y 2 − 2x 2

(x

2

+y

2 2

)

=

2( y 2 − x2 )

( x2 + y 2 )

2


+)
+)

∂f
2y
= 2
∂y x + y 2
∂ 2f
∂y 2

∂ 2f
∂x 2

= 2.

∂ 2f

+

∂y 2

x 2 + y 2 − 2y 2

(x

2

+y

2 2

)

=

2 ( x2 − y 2 )

( x2 + y 2 )

= 0.

d) f ( x, y ) = tan−1

y
x

y
∂f
x 2 = −y
+)
=
2
∂x
x2 + y 2
y
1+  
x
−

+)

∂ 2f
∂x 2

= −y.

−2 x

( x2 + y 2 )

2

=

2 xy

( x2 + y 2 )

2

1
∂f
x
x
+)
=
=
2
∂y
x2 + y 2
y
1+  
x

+)

+)

∂ 2f
∂y

2

∂ 2f
∂x 2

= x.

+

−2 y
2 2

( x2 + y )

∂ 2f
∂y 2

= 0.

=−

2 xy

( x2 + y 2 )

2

2


§ 5. Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cong (19.3.)
Mặt phẳng tiếp xúc
Dạng toán cơ bản
Pháp tuyến
1. Mặt cong trong không gian ba chiều
z = f(x, y) (hoặc F(x, y, z) = 0).
Mặt phẳng y = y0 giao với mặt cong là đường cong
C1: z = f(x, y0)
fx ( x0 , y 0 ) là độ dốc của đường thẳng tiếp xúc với

đường cong C1: z = f(x, y0) tại điểm P0(x0, y0, z0)
Tương tự fy ( x0 , y 0 ) là độ dốc của đường thẳng tiếp
xúc với đường cong C2: z = f(x0, y) tại điểm P0(x0, y0, z0).

Hình 19.6
2. Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cong
Ngay cả khi hai đường cong C1, C2 đủ trơn để nó
có các đường thẳng tiếp xúc tại P0(x0, y0, z0) thì
cũng chưa chắc chắn có mặt phẳng tiếp xúc tại P0.
Hai đường thẳng tiếp xúc trên tạo thành mặt phẳng
tiếp xúc của mặt cong đã cho tại P0(x0, y0, z0) nếu
mặt cong đủ trơn tại lân cận P0(x0, y0, z0).

Có mặt cong không có mặt phẳng tiếp xúc, ví dụ
z = x2 + y 2 .

Hình 19.7
Vì không có đường thẳng tiếp xúc nào với mặt cong tại gốc toạ độ
Định nghĩa. Mặt phẳng T chứa điểm P0(x0, y0, z0) tiếp xúc với mặt cong tại
P0(x0, y0, z0) ⇔ P tiến đến P0(x0, y0, z0) dọc theo mặt cong thì góc giữa đoạn thẳng
P0P và mặt phẳng T tiến đến 0
3. Phương trình pháp tuyến và mặt phẳng tiếp xúc
P0(x0, y0, z0) thuộc mặt cong
Phương trình mặt phẳng chứa P0(x0, y0, z0) là a(x – x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0
Véc tơ chỉ phương của tiếp tuyến của đường cong C1: z = f(x, y0) là
V1 = i + 0 j + fx ( x0 , y 0 ) k
Véc tơ chỉ phương của tiếp tuyến của đường cong C2: z = f(x0, y) là
V2 = 0i + j + fy ( x0 , y 0 ) k


i

j

k

Véc tơ pháp tuyến là N = V2×V1 = 0 1 fy ( x0 , y 0 ) = fx ( x0 , y 0 ) i + fy ( x0 , y 0 ) j − k
1 0 fx ( x0 , y 0 )
Phương trình mặt phẳng tiếp xúc là fx ( x0, y0 )( x − x0 ) + fy ( x0, y0 )( y − y0 ) − ( z − z0 ) = 0
Phương trình pháp tuyến tại P0(x0, y0, z0) là

x − x0 y − y 0 z − z0
=

=
fx ( P0 ) fy ( P0 )
−1

Ví dụ 1. Tìm mặt phẳng tiếp xúc với mặt cong z = 2xy3 – 5x2 tại điểm (3 ; 2 ; 3)
Điểm (3 ; 2 ; 3) thuộc mặt cong
zx = 2y 3 − 10 x ; zx ( 3, 2 ) = −14 ; zy = 6 xy 2 ; zy ( 3, 2 ) = 72
Mặt phẳng tiếp xúc cần tìm là z – 3 = –14(x – 3) + 72(y – 2).
Ví dụ 2. Tìm mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu x2 + y2 + z2 = 14 tại điểm (1, 2, 3).
z = ± 14 − x 2 − y 2
(1, 2, 3) thuộc nửa mặt cầu z = 14 − x 2 − y 2
−x
1
zx =
; zx (1, 2 ) = −
3
14 − x 2 − y 2
−y
2
zy =
; zy (1, 2 ) = − .
3
14 − x 2 − y 2
1
2
Mặt phẳng tiếp xúc cần tìm là z – 3 = − (x – 1) – (y – 2).
3
3
Chú ý. Đối với mặt cong có phương trình khó hoặc không thể giải ra đối với z, có
thể coi z là hàm ẩn để tính các đạo hàm riêng, xem ví dụ 3 trang 73.

Dạng toán cơ bản: Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cong
• 1(tr. 74). z = (x2 + y2)2, tại P(1, 2, 25).
+) P thuộc mặt cong
2
∂z
∂z
+)
= 4x ( x 2 + y 2 ) ,
= 4y ( x 2 + y 2 )
∂y
∂x
∂z ∂z
∂z
∂z
+)
,
liên tục và có
(1, 2 ) = 20 , (1, 2 ) = 40
∂x ∂y
∂y
∂x
+) Tiếp diện tại P là z − 25 = 20(x − 1) + 40(y − 2) ⇔ 20x + 40y − z − 75 = 0
• 3(tr. 74). z = sinx + sin2y + sin3(x + y), P(0 ; 0 ; 0).
+) P thuộc mặt cong
∂z
∂z
+)
= cos x + 3cos 3 ( x + y ) ,
= 2cos 2y + 3 cos3 ( x + y ) liên tục và có

∂y
∂x


∂z
∂z
( 0 , 0 ) = 4, ( 0 , 0 ) = 5
∂x
∂y

+) Tiếp diện tại P là z − 0 = 4(x − 0) + 5(y − 0) hay 4x + 5y − z = 0
• 5(tr. 74). z = x2 − 2y2 tại P(3, 2, 1)
+) P thuộc mặt cong
∂z
∂z
∂z
∂z
+)
= 2x ,
= −4 y liên tục và có
( 3, 2) = 6 , ( 3, 2 ) = −8
∂y
∂y
∂x
∂x
+) Tiếp diện tại P là
z − 1 = 6(x − 3) − 8(y − 2) hay 6x − 8y − z − 1 = 0
2
• 9(tr. 74). xy + yz2 + zx2 = 25, P(1, 2, 3)
+) P thuộc mặt cong

+) Đạo hàm theo x:
y 2 + 2yz

∂z
∂z
∂z
y2
+ x2
=0 ⇒
=− 2
∂x
∂x
∂x
x + 2yz

∂z
10
(1, 2 ) = −
∂x
13
+) Đạo hàm theo y:

Do z(1, 2) = 3 ⇒

2 xy + z 2 + 2yz

∂z
∂z
+ x2
=0

∂y
∂y

∂z
−2 xy + z 2
∂z
⇒
=− 2
, do đó
(1, 2) = −1
∂y
∂x
x + 2yz
∂z ∂z
,
liên tục trong lân cận điểm (1, 2)
∂x ∂y
10
+) Tiếp diện tại P là z − 3 = − ( x − 1) − 1( y − 2 ) hay 10x + 13y + 13z − 75 = 0
13
• 11(tr. 74). Cho P0(x0 , y0 , z0), z0 > 0 là điểm trên mặt cầu x2 + y2 + z2 = a2
Chứng minh rằng mặt phẳng tiếp xúc tại P0 vuông góc với véctơ bán kính
tại đó.
∂z
∂z
x
+) 2 x + 2z.
=0 ⇒
=−
∂x

∂x
z
∂z
∂z
y
+) 2y + 2z
=0 ⇒
=−
∂y
∂y
z
∂z ∂z
+)
,
liên tục tại (x0, y0)
∂x ∂y
+) Vectơ pháp của mặt phẳng tiếp xúc là

+)


x
y
∂z
 ∂z
n =  ( x0 , y 0 ) ,
( x0, y 0 ) , − 1 =  − 0 , − 0 , − 1
∂y
z0
 ∂x

  z0


+) Vectơ bán kính: OP0 = ( x0 , y 0, z0 )
+) m và OP0 cùng phương ⇒ tiếp diện vuông góc với vectơ bán kính.
Ghi nhớ. Tuần sau học các mục 19.5, 19.6 và C. 16


GIẢI TÍCH NHIỀU BIẾN SỐ
Bài 4
PGS. TS. NGUYỄN XUÂN THẢO
§ 6. Trường vô hướng, đạo hàm theo hướng, gradient
• Trường vô hướng
• Gradient
• Đạo hàm theo hướng (mục 19.5)
• Dạng toán cơ bản
1. Trường vô hướng. Cho một trường vô hướng trong miền Ω ⊂ » 3 , là cho một
hàm vô hướng w = f(x, y, z) xác định trên miền Ω.
Ví dụ 1. Sự phân bố nhiệt độ trong vật thể tạo nên một trường vô hướng trong vật
thể ấy vì mỗi điểm của vật thể đều có một nhiệt độ biểu thị bằng một số.
Những trường vô hướng mà giá trị của w không phụ thuộc vào thời gian được gọi là
trường dừng.
2. Đạo hàm theo hướng
Cho hàm số w = f(x, y, z) xác định trên Ω ⊂ » 3 , P ∈ Ω, tốc
độ biến thiên của hàm f(x, y, z) khi P di chuyển theo hướng
∂f ∂f ∂f
dương của các trục Ox, Oy, Oz lần lượt là
,
,
.

∂x ∂y ∂z
Khi P biến thiên không theo hướng các trục toạ độ thì tốc
độ biến thiên của hàm f(x, y, z) sẽ như thế nào?
Cho P(x, y, z), R = xi + yj + zk là véc tơ chỉ vị trí của
P(x, y, z), hướng đang xét được xác định bởi véc tơ đơn
vị u
Hình 19.10
∆f
Đặt ∆s = |∆R|, khi đó
là tốc độ biến thiên trung bình của hàm f khi di chuyển từ
∆s
điểm P đến điểm Q, PQ cùng hướng với u.
Định nghĩa. Đạo hàm của hàm f tại điểm P theo hướng u (Đạo hàm theo hướng
df
∆f
của hàm f) là
= lim
ds ∆s→0 ∆s
df
Định nghĩa trên đã rõ ràng, nhưng sẽ tính
như thế nào?
ds
Dựa vào bổ đề cơ bản ta có
df ∂f dx ∂f dy ∂f dz  ∂f
dR
∂f
∂f 
= . + . + . =  i+
u=
.

j + k .u ,
ds ∂x ds ∂y ds ∂z ds  ∂x ∂y ∂z 
ds
Ví dụ 2. u = x + y + z, tính đạo hàm tại P(0 ; 1 ; 2) theo hướng PQ , ở đó Q = (1 ; 2 ; 1).
∂u
∂u ∂u
=1= =
∂x
∂y ∂z
1


 ∂u   ∂u 
 ∂u 
  = 1=   =  
 ∂x P
 ∂y P  ∂z P
1
 1
PQ = (1; 1; −1) , PQ = 3 , do đó u = 
;
;
3
3

 ∂u 
du   ∂u 
 ∂u  

=    i +   j +   k u = ( i + j + k ) 

ds   ∂x P  ∂y P  ∂z P 


−1 

3
1
1
1   1
1
1  1
.
i+
j−
k  =
+
−
=
3
3
3   3
3
3 3

Ví dụ 3. u = xyz, tính đạo hàm tại P(5 ; 1 ; 2) theo hướng PQ , ở đó Q = (7 ; –1 ; 3).
∂u
∂u
∂u
= yz ,
= xz ,

= xy
∂y
∂x
∂z
 ∂u 
 ∂u 
 ∂u 
  = 2,   =10,   = 5
 ∂x P
 ∂z P
 ∂y P
 2 −2 1 
PQ = (2 ; − 2 ; 1) , PQ = 3 , u =  ;
; 
3 3 3

 ∂u 
du   ∂u 
 ∂u   2 2 1 
=    i +   j +   k  i − j + k 
ds   ∂x P  ∂y P  ∂z P  3 3 3 
 2 2 1  4 20 5 11
= (2i +10 j + 5k ) i − j + k  = − + = − .
3
3 3 3  3 3 3
Chú ý
• Đạo hàm theo hướng của hàm nhiều biến không chỉ phụ thuộc vào điểm P mà
còn phụ thuộc vào hướng u
• Đạo hàm theo hướng của hàm nhiều biến là một số
Định lý. Hàm u(x, y, z) khả vi tại P0(x0, y0, z0) thì tại đó nó có đạo hàm theo mọi

hướng tại P0
3. Gradient
a) Định nghĩa. Cho hàm w = f(x, y, z) khi đó gradient của hàm f được định nghĩa
∂f
∂f
∂f
như sau: gradf = i +
j+ k
∂x ∂y ∂z
Chú ý
• gradf là véc tơ
df
•
= (gradf )u
ds
df
•
= gradf cosθ , ở đó θ là góc giữa gradf và u.
ds

Hình 19.11
2


b) Các tính chất
df
1.
= (gradf )u (xem hình 19.11)
ds
2. Hướng của véc tơ gradf là hướng mà hàm f tăng nhanh nhất.

3. Độ dài của véc tơ gradf là tốc độ tăng lớn nhất của f.
df
Ví dụ 4. Cho f(x, y, z) = x2 – y + z2, tìm đạo hàm theo hướng
tại điểm P(1 ; 2 ; 1)
ds
theo hướng của véc tơ 4i – 2j + 4k.
gradf = 2xi – j + 2zk
gradf(P) = 2i – j + 2k
1
2 1 2
u=
( 4i − 2 j + 4 k ) = i − j + k
3 3 3
16 + 4 +16
df
2 1 2  4 1 4
= (gradf (P ))u = (2i − j + 2k ) i − j + k  = + + = 3 .
ds P
3 3 3  3 3 3
Ví dụ 5. Nhiệt độ của không khí tại các điểm trong không gian được xác định bởi
hàm f(x, y, z) = x2 – y + z2. Một con muỗi đậu tại điểm P(1 ; 2 ; 1), để được mát
nhanh nhất, nó phải bay theo hướng nào?
Theo ví dụ 4, có gradf(P) = 2i – j + 2k.
Từ tính chất 2 có hướng của gradf là hướng mà theo đó nhiệt độ tăng nhanh nhất.
Để được mát nhanh nhất, con muỗi nên bay ngược hướng với gradf(P) tức là bay
theo hướng: – gradf(P) = – 2i + j – 2k.
4. gradf(P0) là pháp tuyến của mặt mức của hàm f tại điểm P0.
Chú ý
• Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng tiếp xúc tại P0 là
 ∂f 

 ∂f 
 ∂f 
N = gradf (P0 ) =   i +   j +   k
 ∂x P0  ∂y P0  ∂z P0
• Nếu N ≠ 0 thì phương trình tiếp diện của mặt mức tại P0 là
 ∂f 
 ∂f 
 ∂f 
(
x
−
x
)
+
y
−
y
+
(
)
0
0
 ∂x 
  ( z − z0 ) = 0
 ∂y 
 P0
 ∂z P0
 P0
• Phương trình mặt phẳng tiếp xúc trong mục 19.3 chỉ là trường hợp riêng, khi
f(x, y, z) = g(x, y) – z.

Ví dụ 6. Tìm phương trình tiếp diện của mặt xy2z3 = 12 tại điểm P(3 ; – 2 ; 1).
Điểm P(3 ; –2 ; 1) thuộc mặt cong đã cho.
gradf = y2z3i + 2xyz3j + 3xy2z2k
gradf(P) = 4i – 12j + 36k
Hàm u = xy2z3 khả vi tại P(3 ; – 2 ; 1).
Phương trình tiếp diện là
3


4(x – 3) – 12(y + 2) + 36(z – 1) = 0
x – 3 – 3(y + 2) + 9(z – 1) = 0.
Chú ý
• Đạo hàm theo hướng và gradient được sử dụng chủ yếu trong hình học và vật
lý trong không gian ba chiều. Tương tự cũng nhận được các kết quả này trong
không gian hai chiều.
• Có thể viết gradient của hàm f dưới dạng toán tử
∂
∂ 
 ∂
gradf =  i + j + k f =∇f ,
∂z 
 ∂x ∂y

ở đó toán tử delta (đọc là "del")
∂
∂ 
 ∂
∇ =i + j +k 
∂z 
 ∂x ∂y

3. Các dạng toán cơ bản
1. Tính gradient
• 1(tr. 82). Tính gradient của hàm f tại P.
a) f(x, y, z) = xy + xz + yz, P (−1, 3, 5).
+) grad f = (y + z)i + (x + z)j + (x + y)k
+) (gradf)(P) = 8i + 4j + 2k
c) f(x, y, z) = ln(x2 + y2 + z2), P = (1 ; 2 ; −2)
2x
2y
2z
+) grad f = 2
i
+
j
+
k
2
2
2
2
2
2
2
2
x +y +z
x +y +z
x +y +z
2
4
4

+) (gradf)(P) = i + j − k
9
9
9
2. Đạo hàm theo hướng
• 2(tr. 82). Tìm đạo hàm theo hướng của f tại P theo hướng vectơ đưa ra.
a) f(x, y, z) = xy2 + x2z + yz, P = (1 ; 1 ; 2), theo hướng i + 2j − k
df ( )
i + 2j − k
+)
P = ( grad f ) ( P ) .
ds
1 + 22 + 1
i + 2j − k
+) ( y 2 + 2 xz ) i + ( 2 xy 2 + z ) j + ( x 2 + y ) k  .
P
6
i + 2j − k
+) = ( 5i + 4 j + 2k ) .
6
5 + 8 − 2 11
+) =
=
6
6
d) f(x, y, z) = xyez + yzex , P = (1 ; 0 ; 0), theo hướng P đến Q(2 ; 2 ; 1)
4


+) Vectơ PQ = (1; 2 ; 1)

+)

df ( )
i + 2j + k
P = grad f ( P ) .
ds
1 + 22 + 1

i + 2j + k
+) = ( ye z + yze x ) i + ( xe z + ze x ) j + ( xye z + ye x ) k  ( P ) .
6
i + 2j + k
2
=
+) = j .
6
6
• 3(tr. 83). Tính giá trị lớn nhất của đạo hàm theo hướng của f tại P và hướng mà
đạo hàm theo hướng đại giá trị lớn nhất.
a) f(x, y, z) = sinxy + cosyz, P = (−3 ; 0 ; 7)
+) gradf = i(y cosxy) + j(x cosxy − z sinyz) − k.y sinyz
+) gradf(P) = −3j
df ( )
P = |gradf(P)| = 3.
+) GTLN của
ds
df
+) Hướng của
đạt GTLN là −j
ds

3. Dạng hỗn hợp
• 5(tr. 83). Tìm vectơ đơn vị pháp tuyến của mặt xyz = 4 tại điểm P(2 ; −2 ; −1)
+) Là mặt mức của hàm f(x, y, z) = xyz
+) gradf = yz.i + xz.j + xy.k
+) N = gradf(P) = 2i − 2j − 4k.
2i − 2 j − 4k
i − j − 2k
+) Vectơ pháp tuyến đơn vị tại P là
hay
24
6
• 7(tr. 83). Giả sử nhiệt độ T tại điểm P(x, y, z) được xác định bởi T = 2x2 − y2 + 4z2.
Tìm tốc độ biến thiên của T tại (1 ; −2 ; 1) theo hướng của vectơ 4i − j + 2k. Theo
hướng nào T tăng nhanh nhất tại điểm này? Tốc độ tăng lớn nhất là bao nhiêu?
+) gradT = 4x.i − 2y.j + 8z.k
+) (gradT)(P) = 4i + 4j + 8k
4i − j + 2k
+) vectơ đơn vị: u =
21
+) Tốc độ biến thiên của T tại P theo hướng 4i − j + 2k là
df ( )
16 − 4 + 16
28
P = ( gradT ) ( P ) .u =
=
ds
21
21
+) Hướng tăng nhanh nhất tại P trùng với hướng của gradT là i + j + 2k
+) Tốc độ tăng lớn nhất là |gradT(P)| =

42 + 4 2 + 82 = 4 6
5


• 9(tr. 83). Chứng minh rằng tiếp diện của mặt bậc hai ax2 + by2 + cz2 = d tại P0(x0 ;
y0 ; z0) có phương trình là ax0x + by0y + cz0z = d
+) Mặt bậc hai là mặt mức của hàm f(x, y, z) = ax2 + by2 + cz2
+) gradf = 2ax.i + 2by.j + 2cz.k
+) gradf(P) = 2ax0.i + 2by0.j + 2cz0.k
+) Vectơ pháp tuyến tại P0 là N = 2ax0i + 2by0j + 2cz0k
+) Phương trình tiếp diện tại P0 là
2ax0(x − x0) + 2by0(y − y0) + 2cz0(z − z0) = 0 ⇔ ax0x + by0y + cz0z = d

§ 7. Quy tắc dây chuyền. Đạo hàm dưới dấu tích phân
• Quy tắc dây chuyền (mục 19.6)
• Đạo hàm dưới dấu tích phân (mục C. 16)
• Dạng toán cơ bản

1. Quy tắc dây chuyền đối với đạo hàm riêng. Quy tắc dây chuyền đối với hàm
dw df dx
một biến số chính là đạo hàm của hàm hợp: w = f(x), x = g(t) khi đó
= .
dt dx dt
a) Quy tắc dây chuyền của hàm hai biến w = f(x, y), x = g(t), y = h(t), w có các đạo
hàm riêng cấp một liên tục, các hàm x, y khả vi liên tục.
dw ∂w dx ∂w dy
=
. +
.

dt ∂x dt ∂y dt
dw
Ví dụ 1. w = 3x2 + 2xy – y2, ở đó x = cost, y = sint, tìm
.
dt
∂w
∂w
dx
dy
= − sint ,
= cost
= 6 x + 2y ,
= 2 x − 2y ;
∂x
∂y
dt
dt
dw
= (6 x + 2y )( − sint ) + (2 x − 2y )cost
dt
= (6cost + 2sint)(– sint) + (2cost – 2sint)cost
= 2cos2t – 2sin2t – 8sintcost = 2cos2t – 4sin2t
Có thể thay x = cost, y = sint vào w rồi tính đạo hàm.
Chú ý
• Có thể mở rộng kết quả trên khi w = f(x, y, z), x = x(t), y = y(t), z = z(t), ta có
dw ∂f dx ∂f dy ∂f dz
= . + . + . , ở đó w có các đạo hàm riêng liên tục, các hàm x,
dt ∂x dt ∂y dt ∂z dt
y, z khả vi liên tục.

6