Bài giảng giải tích một biến

Tin s: Nguyn Hu Th

Bi ging Mụn Toỏn 1

Hàm số một biến và giới hạn

Bài số 1:

I. Hàm số một biến số
1. Định nghĩa hàm số .
Cho 2 tập hợp D và E: D ằ, E ằ , tơng ứng f : D E cho tơng ứng mỗi phần
tử x D với một phần tử duy nhất y E đợc gọi là một hàm số một biến số thực.
+ Tập D đợc gọi là miền xác định, kí hiệu Df của hàm số f
+ Tập f(X) đợc gọi là miền giá trị, kí hiệu Rf của hàm số f
+ xDf : biến số độc lập ( hay đối số)
+ f(x) Rf: biến số phụ thuộc ( hay hàm số)
+ Cách viết: f : D E
x

hoặc x

f ( x) hoặc y = f ( x)

y = f ( x)

{

}

2. Đồ thị của hàm số: G f = ( x, f ( x) x D

+ Cách nhận biết đồ thị: Một đờng cong trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đồ thị của một
hàm số nếu và chỉ nếu đờng thẳng cùng phơng với Oy cắt đờng cong đó tại nhiều nhất
một điểm.

Đồ thị hàm số

Không là đồ thị hàm số

1


Tin s: Nguyn Hu Th

Bi ging Mụn Toỏn 1

II. Giới hạn hàm số
1. Ví dụ: Xét hàm số y = f ( x) = x 2 x + 2 . Ta lập bảng các giá trị của hàm số tại những
điểm x gần x0 = 2 .
+ Nhận xét : khi x x0 = 2 thì các giá trị của hàm số f ( x) 4 , và ta nói rằng hàm số
có giới hạn bằng 4 khi x x0 = 2 .

+ Chú ý: Hàm số y = f ( x) có thể không xác định tại x0 = a , tuy nhiên nó phải xác
định tại những điểm thuộc lân cận của điểm đó.

Chẳng hạn: xét hàm số y = f ( x) =

x 1
, hàm số không xác định tại x0 = 1 , tuy nhiên
x2 1

theo bảng giá trị dới đây ta nhận thấy khi x 1 thì giá trị của hàm số dần tới 0,5.

2


Tin s: Nguyn Hu Th

Bi ging Mụn Toỏn 1

2. Định nghĩa giới hạn hàm số
Định nghĩa 1: Ta nói hàm số

f(x) có giới hạn L (hữu hạn) khi x x0 và viết

lim f ( x) = L nếu với bất kì d y { xn } mà xn x0 thì lim f ( xn ) = L .

x x0

n

Định nghĩa 2: Theo ngôn ngữ -
lim f ( x) = L > 0, > 0 : x x0 < f ( x) L <

x x0

Chú ý: Trong khi tìm giới hạn ta quan tâm đến x dần tới x0 chứ không phải xét khi
x = x0 .

Ví dụ : Cho f(x) = C, với C là hằng số. Chứng minh rằng lim = C
x x0

Thật vậy, cho trớc > 0, vì f(x) = C, x
với bất kì > 0: x x0 < , luôn có

Ví dụ : Cho f(x) = x. Chứng minh

f ( x) C = C C = 0 <

lim f ( x) = x0

x x0

Thật vậy, cho trớc > 0, chọn =
với x x0 < f ( x) x0 = x x0 < . (ĐPCM)

Định nghĩa 3
a)
b)
c)
d)

lim f ( x) = L > 0, A > 0 : x > A f ( x) L <

x +

lim f ( x) = L > 0, A > 0 : x < A f ( x) L <

x

lim f ( x) = + E > 0, > 0 : x x0 < f ( x) > E

x x0

lim f ( x) = E > 0, > 0 : x x0 < f ( x) < E

x x0

( với A đủ lớn và E đủ lớn)

1
=0
x + x

Ví dụ : Chứng minh rằng lim
Thật vậy, > 0 , chọn N >

1



luôn có: x > N thì f ( x) 0 =

3

1
1
0 = < .
x
x

Tin s: Nguyn Hu Th

Bi ging Mụn Toỏn 1

3. Tính chất của giới hạn hàm số
Định lí : Cho lim f ( x ) = L1 , lim g ( x ) = L2 ; L1 , L2 hữu hạn . Khi đó:
xa

xa

a ) lim( f ( x) g ( x)) = L1 L2
xa

b) lim(Cf ( x)) = CL1 , (C = const )
xa

c) lim( f ( x).g ( x)) = L1.L2
xa

d ) lim
xa

f ( x) L1
= , ( L2 0)
g ( x) L2

Nhận xét
a) Cho Pn(x) = a0 + a1x + +anxn thì lim Pn ( x ) = Pn ( x0 )
x x0

b) Cho R ( x ) =

Pn ( x0 )
a0 + a1 x + ... + an x n Pn ( x)
, (Qm ( x0 ) 0)
=
thì lim R( x) =
m
x x0
Qm ( x0 )
b0 + b1 x + ... + bm x
Qm ( x)

c) Khi L1 = , L2 = ta nhận đợc các giới hạn dạng vô định và Định lí nói chung
không còn đúng.
Ví dụ: Ta có

(

)

lim x 2 2 x x + 1 = lim( x 2 ) lim(2 x x ) + lim(1)
x4

x 4

x4

x 4

= 16 2.4.2 + 1 = 1
Ví dụ: Ta có

( x3 x + 3) 13 1 + 3
x3 x + 3 lim
x1
lim 2
=
= 2
= 3 .
x1
x 2
1 2
lim ( x 2 2 )
x1

Định lí: Giả sử hàm số f(x), g(x) và h(x) thoả m n bất đẳng thức: f ( x) g ( x) h( x),
trong lân cận của x0 . Khi đó: nếu lim f ( x ) = lim h ( x ) = L thì lim g ( x ) = L
x x0

x x0

x x0

Định lí : Cho f(x) là hàm số xác định, tăng (giảm) trên D; khi đó nếu f(x) bị chặn trên
nghĩâ là M : f ( x) M , x D (bị chặn dới nghĩa là m : f ( x ) m, x D) thì

lim f ( x) = L .
x +

( x )

4


Tin s: Nguyn Hu Th

Bi ging Mụn Toỏn 1

Vấn đề: Khi giới hạn có dạng vô định thì sẽ tìm đợc giá trị của giới hạn theo cách nào?
GiảI quyết: Ta sẽ tìm cách biến đổi để khử dạng vô định.

4. Một số ví dụ về khử dạng vô định
Ví dụ : Tính lim
x 1

xn 1
xm 1

(Dạng

0
)
0

x n 1 ( x 1)(1 + x + ... + x n 1 ) 1 + x + ... + x n 1
=
=
Ta có: m
x 1 ( x 1)(1 + x + ... + x m 1 ) 1 + x + ... + x m1

xn 1
1 + x + ... + x n 1 n
= lim
= .
Vậy lim m
x 1 x 1
x 1 1 + x + ... + x m 1
m

1 x 1
x

Ví dụ : Tính lim
x 0

Ta có:

0
)
0

(Dạng

1 x 1
1
1
1 x 1
1 + x 1
1

lim
= lim
=
=
=
x 0
x 0 1 x + 1
x
2
x
x( 1 x + 1)
1 x +1
3

Ví dụ : Tính lim
x 0

1+ x 5 1+ x
x

(Dạng

0
)
0

Ta có:
3
3 1+ x 1 5 1 + x 1
1+ x 5 1+ x

1 + x 1 + 1 5 1 + x
lim
= lim
= lim


x 0
x 0
x 0
x
x
x
x


3



1 + x 1
1 + x 1

= lim

2
4
3
2
x 0
3

5
3
5
5
5

x( (1 + x) + 1 + x + 1) x( (1 + x) + (1 + x) + (1 + x) + 1 + x + 1)
1 1 2
= =
3 5 15

(áp dụng hằng đẳng thức an 1 = ( a-1)( 1 + a + + an-1 ))
Ví dụ : Tính lim

x +

x+ x
x +1

( Dạng


)


5


Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

Bài giảng Môn Toán 1

Ta cã: lim

x →+∞

x+ x
= lim
x →+∞
x +1

VÝ dô : TÝnh lim

x →+∞

x →+∞

x+ x − x

)

( D¹ng ∞ − ∞ )

x+ x −x

x+ x − x =

Ta cã:

→ lim

(

1
1
1
x
= 1 (v×
→ 0 khi x → +∞ vµ → 0 khi x → +∞ )
x
1
x
1+
x

1+

x+ x + x

(

)

x + x − x = lim

x →+∞

x

=

=

x+ x + x

1
1
1+
+1
x

1
1
=
2
1
1+
+1
x



3
2 
−

 1− x 1− 3 x 

VÝ dô : TÝnh lim 
x →1

( D¹ng ∞ − ∞ )

§Æt x = y 6 . Khi ®ã:

3
2
3
2
3(1 + y ) − 2(1 + y + y 2 )
1+ 2y
−
=
−
=
=
3
2
2
3
(1 − y )(1 + y )(1 + y + y ) (1 + y )(1 + y + y 2 )
1− x 1− x 1− y 1− y

 1
2 
1+ 2 y
 3
→ lim 
−
= lim 

=


2
3
x →1 1 −
x 1 − x  x →1  (1 + y )(1 + y + y )  2


sin x
=1
x→0
x

Giíi h¹n ®iÓn h×nh: lim

tgx
 sin x 1 
= lim 
⋅
 = 1.1 = 1
x →0 x
x→0
 x cos x 

VÝ dô : lim

2

1 − cos x

= lim
x→0
x→0
x2

VÝ dô : lim

x
x

sin 

1
2 = lim
2 =1


2
x
2 x →0  x 
2
 2 

2sin 2

sin mx
m m
 sin mx nx m 
= lim 
⋅

⋅  = 1.1. =
x →0 sin nx
x →0
n n
 mx sin nx n 

VÝ dô : lim

6


Tin s: Nguyn Hu Th

Bi ging Mụn Toỏn 1

Ví dụ : lim
x0

1 cos x.cos 2 x
(1 cos x ) cos 2 x + 1 cos 2 x
= lim
x

0
1 cos x
1 cos x

( áp dụng hằng đẳng thức 1- ab = (1-a)b + 1- b)

1 cos 2 x

x2
1
= lim cos 2 x + lim
4
= 1+ 4 = 3

2
x 0
x 0
1 cos x
2
(2 x)
x

1
1
Giới hạn điển hình: lim 1 + = lim (1 + x ) x = e
x
x 0
x


x2

x2 1

1
Ví dụ : xlim
(
Dạng

vô
định
)


2
+ x + 1


2 x 2

x +1 x 2 +1
2 x2


lim

2 2
1
x+ x 2 +1

2


= lim 1 2
=
e
=
e
=

x +
e2
x + 1



2

Ví dụ : lim(1 + sin x )

1
x

( Dạng vô định

x0


= lim (1 + sin x )
x 0


1
sin x

sin x
x

=e

sin x
x0 x
lim

1 )
1

3
= e1 = e . Vậy lim cos x = e 2 .
x 0 cos 2 x
x2





III. Vô cùng bé, vô cùng lớn
1. Định nghĩa: + Hàm số f(x) đợc gọi là một vô cùng bé (VCB) khi x x0 nếu

lim f ( x ) = 0 .

x x0

+ Hàm số f(x) đợc gọi là một vô cùng lớn (VCL) khi x x0 nếu lim f ( x ) = .
x x0

Nhận xét:
i) Nếu f(x) là một VCB khi x x0 thì

1
là một VCL khi x x0.
f ( x)

ii) x0 ở đây có thể là hữu hạn hoặc vô cùng.

7


Tin s: Nguyn Hu Th

Bi ging Mụn Toỏn 1

Ví dụ : y = sinx là 1 VCB khi x 0
y= cotx là 1 VCB khi x

y= 1- cosx là 1 VCB khi x 0



y= ln(1 + x) là 1 VCB khi x 0

2

1
là 1 VCB khi x

x2

y=

2. So sánh các vô cùng bé.
Giả sử f(x), g(x) đều là VCB khi x x0.
a) Nếu lim

f ( x)
0 thì f(x) là 1 VCB có bậc cao hơn g(x).
g ( x)

b) Nếu lim

f ( x)
= 1 f(x) và g(x) là 2 VCB tơng đơng, khi đó kí hiệu: f(x) g(x)
g ( x)

x x0

x 0

Ví dụ : sinx và 1- cosx là VCB khi x 0

x
1 cos x
2 =0
= lim
= lim
Ta có: lim

x 0
x 0
x
x x 0
x
sin x
2sin cos
cos
2
2
2
2sin 2

x
2

sin

Vậy 1- cosx là VCB có bậc cao hơn sinx khi x 0.

Ví dụ :

sinx x khi x 0 vì lim
x0

sin x
=1
x

e -1 x khi x 0 vì lim

x0
x

ex 1
=1
x

ln(1+x) x khi x 0 vì lim
x 0

ln(1 + x)
=1
x

3. Định lí : Nếu f(x) và g(x) là 2 VCB trong cùng một quá trình ( x x0 ) và trong quá
trình ấy thì f(x) f*(x), g(x) g*(x). Khi đó: lim

x x0

Ví dụ : Tính lim
x 0

f ( x)
f * ( x)
= lim *
.
g ( x) x x0 g ( x )

e2 x 1
.

ln(1 + sin 3x)

Ta có: e 2 x 1 2x khi x 0;

ln(1+sin3x) sin3x3x khi x 0

8


Tin s: Nguyn Hu Th

Bi ging Mụn Toỏn 1

e2 x 1
2x 2
= lim
= .
x 0 ln(1 + sin 3 x )
x0 3 x
3

Do đó : lim

1
1
1 cos x

= lim
Ví dụ: lim
.

x 0 sin x
tgx x0 sin x


1 cos x
1
= 1 ; sinx x khi x 0
Ta có: 1 - cosx x 2 khi x 0 vì lim
x 0
1 2
2
x
2

1 2
x
1
1
1
2

= lim x = 0
Từ đó: lim
= lim
x 0 sin x
x

0
x

0
tgx
x
2

Nhận xét:
Nếu lim f ( x) = L thì có thể viết: f(x) = L + (x), với (x) là 1 VCB khi x x0.
x x0

4. Các giới hạn cơ bản
Ta có một số giới hạn cơ bản sau:

log a (1 + x)
= log a e
x 0
x
a x 1
2) lim
= ln a
x 0
x
(1 + x)m 1
=m
3) lim
x 0
x

1) lim

ln(1 + x)
=1
x0
x

Từ (1) lim

Từ (2) lim
x 0

ex 1
= 1 và lim n( n a 1) = ln a .
x 0
x

Bài tập về nhà: 1-18 (tr.84), 18-61 (tr.87-88), 1-43 (tr.348-349)
Chuẩn bị cho Bài số 2: Giới hạn một phía. Hàm liên tục. Hàm số ngợc.

9


Tin s: Nguyn Hu Th

Bi ging Mụn Toỏn 1

Bài số 2
Giới hạn một phía. Hàm liên tục.
Hàm số ngợc của hàm sơ cấp

I. Giới hạn một phía.

a) Ví dụ: Xét L = lim
x 3

2x
,
x3


x < a

xa

x a


x < 3
thì 2 x 6 trong khi x 3 < 0 và x 3 0 .
x 3



- Nhận xét: Khi x 3

Nh vậy: L = lim
x 3

2x
= .
x 3

x > 3
thì 2 x 6 trong khi x 3 > 0 và x 3 0 .
x 3

+

- Nhận xét: Khi x 3

Nh vậy: L = lim
x 3

2x
= + .
x 3

Từ đó ta nhận thấy rằng: có những hàm số có giới hạn một phía.
b) Định nghĩa:
+ Ta nói hàm số f ( x ) có giới hạn trái là L tại x = a
khi và chỉ khi với > 0 nhỏ tùy ý, > 0 sao cho với
những điểm x thuộc lân cận trái của a thì ta phải có
f ( x) L < . Ký hiệu : lim f ( x) = L
xa

Lân cận trái của điểm a

+ Ta nói hàm số f ( x ) có giới hạn phải là L tại x = a
khi và chỉ khi với > 0 nhỏ tùy ý, > 0 sao cho với
những điểm x thuộc lân cận phải của a thì ta phải có
f ( x) L < . Ký hiệu:

lim f ( x) = L

x a+

Lân cận phải của điểm a

1


Tin s: Nguyn Hu Th

Bi ging Mụn Toỏn 1

lim f ( x )
x a

f ( x)
f ( x) = L khi và chỉ khi xlim
c) Định lý: Tồn tại lim
.
+
xa
a
lim f ( x ) = lim+ f ( x ) = L
xa
xa

Ví dụ: Ta có : lim e

1

x 1

= 0 , trong khi đó lim+ e

x 1

x 1

1
x 1

= + , do đó không tồn tại giới hạn

khi x 1 .
Ví dụ: Xét hàm số :
x, x < 0

f ( x ) = 3 x , 0 x < 3

2
( x 3) , x > 3

lim f ( x ) = lim (3 x ) = 3 .

+ Ta có lim f ( x) = lim x = 0 ,
x0

x 0+

x0

x 0

lim+ f ( x ) = lim+ ( x 3) 2 = 0 .

lim f ( x) = lim (3 x) = 0 ,

x 3

x 3

x 3

x 3

+ Nh vậy hàm số không có giới hạn khi x 0 và
Ví dụ: Tìm a, b để hàm số sau có giới hạn khi x


2

lim f ( x ) = 0 .
x 3

:



2 sin x, x 2

f ( x ) = a sin x + b, < x <
2
2



cos x, x 2

+ Nhận xét: về hai phía của x =


2

hàm số đợc xác định bởi các công thức khác

nhau, do đó hàm số sẽ có giới hạn khi x

2


2

khi và chỉ khi


Tin s: Nguyn Hu Th

Bi ging Mụn Toỏn 1

lim f ( x) = lim + f ( x)
lim ( 2 sin x) = lim + ( a sin x + b)



x
x
x 2
x 2
2
2


f ( x) = lim+ f ( x )
( a sin x + b) = lim+ (cos x)
lim
lim




x
x
x 2
x 2
2
2
2 = a + b

a = 1



a + b = 0
b = 1
+ Vậy: Hàm số có giới hạn khi x


2

nếu a = 1, b = 1.

II. Tính liên tục của hàm số
1. Định nghĩa
Định nghĩa 1: Hàm số f(x) liên tục tại điểm x0 nếu lim f ( x ) = f ( x0 ) .
x x0

Hàm số y=f(x) liên tục trên miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc miền D.
Chú ý: Từ Định nghĩa 1 ta thấy: Hàm số y=f(x) liên
tục tại x0 đòi hỏi thỏa m n 3 điều kiện sau:
+ x0 thuộc TXĐ của hàm số
+ Tồn tại lim f ( x )
x x0

+ lim f ( x ) = f ( x0 ) .
x x0

f ( x) = f ( x0 ) .
Định nghĩa 2: Hàm số f(x) đợc gọi là liên tục trái tại x0 nếu xlim

x
0

f ( x) = f ( x0 ) .
Hàm số f(x) đợc gọi là liên tục phải tại x0 nếu xlim
x+
0

Hàm số y=f(x) liên tục tại x0 khi và chỉ khi nó vừa liên tục trái vừa liên tục phải tại x0 .
Ví dụ:
Hàm số y = 3 x3 5 x + 1 liên tục tại mọi điểm x0 thuộc tập xác định.
x2 x 2
, x2

Xét hàm số f ( x) = x 2
, ta có
a , x = 2

3


Tin s: Nguyn Hu Th

Bi ging Mụn Toỏn 1

lim f ( x) = lim
x2

x2

x2 x 2
( x 2)( x + 1)
= lim
= lim( x + 1) = 3 , trong khi f (2) = a . Do đó,
x

2
x 2
x2
x2

hàm số sẽ liên tục tại x = 2 nếu a = 3 , hàm số không liên tục tại x = 2 nếu a 3 .
Ví dụ: Xét hàm số
x2 4
, x<2

x

2

f ( x) = ax 2 bx + 3 , 2 x < 3
2 x a + b, x 3


Xác định a, b sao cho hàm số liên tục trên ằ .
Giải: + Dễ thấy hàm số xác định trên ằ
+ Hàm số liên tục trên miền (, 2) (2,3) (3, +)
+ Do đó hàm số sẽ liên tục trên ằ khi và chỉ khi nó liên tục tại x = 2 và x = 3 , tức là

khi và chỉ khi

x2 4
lim f ( x) = lim+ f ( x) = f (2)
lim
ax 2 bx + 3 ) = f (2)
(
x 2 x 2 = xlim
+
x2
x2
2


lim
f
(
x
)
=
lim
f
(
x
)
=
f
(3)
2
x 3
lim ( ax bx + 3 ) = lim ( 2 x a + b ) = f (3)

x 3+
x 3+
x 3
1

a=
lim ( x + 2) = lim ( ax 2 bx + 3) = f (2)

4a 2b = 1
x 2

x 2+
2


.

2
10

4
=
3
1
a
b

+
=

+
=
ax
bx
3
lim
2
x
a
b
f
(3)

(
)
(
)
xlim

b=
3
x 3 +

2

Nh vậy, hàm số đ cho liên tục trên ằ nếu a = b =

1
.
2

Định nghĩa 3: Cho hàm số f(x) xác định trong một lân cận của x0 (có thể không xác định
tại x0). Ta nói rằng f(x) gián đoạn tại x0 nếu hàm số f(x) không liên tục tại điểm đó và khi
đó x0 đợc gọi là điểm gián đoạn của hàm số f(x).
Từ Định nghĩa 3 suy ra: x0 là điểm gián đoạn của f(x) nếu xảy ra 1 trong 3 trờng hợp
sau:

4


Tin s: Nguyn Hu Th

Bi ging Mụn Toỏn 1

x0 D f
i)
, tức là hàm số f(x) không xác định tại x0
( x0 , x0 + ) \ x0 D f
nhng nó xác định tại những điểm rất gần với x0 .
ii) x0 Df nhng lim f ( x) f ( x0 )
x x0

iii) x0 Df nhng không tồn tại giới hạn khi x x0 .

Trên hình vẽ, các điểm gián đoạn là x = 4, 2, 2, 4, 6,8 .
Định nghĩa 4: Cho x0 là điểm gián đoạn của f(x). Khi đó:
1) Điểm x0 đợc gọi là điểm gián đoạn loại 1 nếu:
+ Hoặc tồn tại lim f ( x) nhng lim f ( x) f ( x0 ) : trong tờng hợp này ta gọi x0
x x0

x x0

là điểm gián đoạn bỏ đợc.
+ Hoặc tồn tại lim f ( x) và lim+ f ( x) nhng lim f ( x) lim+ f ( x) .
x xo

x x0

x xo

x xo

2) Những điểm gián đoạn không phải loại 1 đợc gọi là điểm gián đoạn loại 2.

Ví dụ:
1) f(x) =

1
gián đoạn tại x = a theo i) , và là điểm gián đoạn loại 2.
xa

2) Xét hàm số f ( x) =

sin x
.
x

Ta có : x = 0 là điểm gián đoạn của hàm số theo i); Mặt khác:
lim f ( x) = lim

x 0

x 0

sin x
sin x
= 1 và lim+ f ( x) = lim+
= 1 , nên x = 0 là điểm gián đoạn loại 1
x 0
x 0
x
x

của hàm số đ cho.

5


Tin s: Nguyn Hu Th

Bi ging Mụn Toỏn 1

Định lí :
1) Cho f(x) và g(x) là hai hàm số liênt ục trong (a, b). Khi đó:
a) f ( x) g ( x) là hàm liên tục trong (a, b)
b) f(x).g(x) là hàm liên tục trong (a, b)
c)

f ( x)
là hàm liên tục trong (a, b), trừ những điểm làm g(x) = 0.

g ( x)

2) Nếu g ( x) liên tục tại x = a và f ( x) liên tục tại g (b) thì hàm hợp f g liên tục tại

x = a . (Để ý: ( f g ) ( x) = f ( g ( x) ) .

Nhận xét:
1) Các đa thức, các phân thức hữu tỉ, các hàm số lợng giác, hàm số mũ, hàm số logarit
liên tục trên miền xác định.
2) Hàm số y = f ( x) liên tục trên (a, b) thì đồ thị của nó là một đờng cong trơn (không
bị g y, không bị đứt đoạn).

Định lý: Nếu f ( x) là hàm số liên tục tại b và lim g ( x) = b thì lim f ( g ( x)) = f (b) , nói
x a

(

cách khác: khi đó ta có lim f ( g ( x)) = f lim g ( x)
x a

xa

x a

)

2. Các tính chất của hàm liên tục
a. Định lí về giá trị trung gian 1: Cho f(x) là một hàm số xác định, liên tục trongt
khoảng I=(, ). Cho a, b I: a < b và f(a).f(b) < 0. Khi đó: c( a,b): f(c) = 0.

Ví dụ : Chứng minh rằng phơng trình sau có ít nhất một nghiệm trong khoảg (0,3):
x3 x 1 = 0

(1)

Giải: Đặt f(x) = x3 x 1: là hàm xác định và liên tục trên (0, 3) .
Nhận thấy: f(1) = -1 < 0, f(2) = 5 > 0 f(1).f(2) < 0, theo Định lý
x0[1,2]: f(x0) = 0 x0 chính là nghiệm của phơng trình (1)

Vậy phơng trình x3 x 1 = 0 có ít nhất một nghiệm trong (0, 3)

6


Tin s: Nguyn Hu Th

Bi ging Mụn Toỏn 1

b. Định lý giá trị trung gian 2: Cho f(x) là hàm số xác định, liên tục trong [a,b]. Khi đó
f(x) lấy ít nhất một lần mọi giá trị nằm giữa f(a) và f(b). Nói cách khác nếu f ( x) liên tục
trong đoạn [a,b] và cho N là là một số nằm giữa f(a) và f(b), ở đó f (a ) f (b) ; khi đó sẽ
tồn tại c (a, b) : f (c) = N .

Ví dụ : Xét hàm số f(x) = sinx. Ta có: f(x) = sinx liên tục trên R.



Xét trong 0, , có f(0) = 0, f ( ) =1. Do vậy với 0 < r < 1 thì phơng trình sinx = r có
2
2

ít nhất một nghiệm x0 0, .
2

c. Định lí Weierstrass: Cho f(x) là hàm số xác định, liên tục trong khoảng đóng giới nội
[a,b]. Khi đó tập I = {f(x)/ x[a,b]} là giới nội. Hơn nữa: c, d [a, b]: M = sup f(x)=
f(d); m =inf f(x) = f(c), x[a,b] f(x) thoả m n : m f ( x ) M , x ( a , b )

III. Hàm số ngợc
1. nh ngha : Cho hm s :
Y

f :X

y = f ( x)
Nu tng ng ngc : Y X sao cho y x | y = f ( x) cng l mt hm s thỡ ta núi
rng hm s y = f ( x) cú hm s ngc
x

f 1 : Y
y



X
x = f 1 ( y )



7

Tin s: Nguyn Hu Th

Bi ging Mụn Toỏn 1

Cú hm s ngc f 1 ( x)

Khụng cú hm s ngc

2. Cụng thc hm s ngc : Xột hm s :
f :X Y
x
y = f ( x)
Xột phng trỡnh Nn x : f ( x) = y (*)
Nu vi mi y Y phng trỡnh (*) cú duy nht mt nghim
y = f ( x) cú hm s ngc :
f 1 : Y
y




x X thỡ hm s

X
x = f 1 ( y )

trong ú x = f 1 ( y ) chớnh l cụng thc nghim duy nht ca phng trỡnh (*).

3 iu kin tn ti hm s ngc
a. Khỏi nim : Hm s y = f ( x) c gi l hm mt mt nu vi x1 x2 thỡ ta cú
f ( x1 ) f ( x2 ) .

Không là hàm một một
Nhận xét : + Hàm y = f ( x) là hàm một một trên một miền nào đó thì một đờng thẳng
cùng phơng với trục hoành sẽ cắt đồ thị của hàm số trên miền đó nhiều nhất tại một điểm.
+ Một hàm số đơn điệu là hàm một một.
b. Điều kiện : Nếu y = f ( x) là hàm số một một có TXĐ là X và MGT là Y . Khi đó tồn
tại hàm ngợc f 1 với MXĐ là Y và TXĐ là X , hơn nữa y = f ( x) x = f 1 ( y ) .

8


Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

Bài giảng Môn Toán 1

Chú ý : : + Nếu y = f ( x) có hàm ngược f −1 thì
+ f −1 ( f ( x) ) = x, ∀x ∈ X .

+ f ( f −1 ( y ) ) = y, ∀y ∈ Y
c. Đồ thị : Nếu y = f ( x) có hàm số ngược y = f −1 ( x) thì
đồ thị của hai hàm số đó sẽ đối xứng nhau qua đường phân
giác thứ nhất y = x .

4. Hàm ngược của một số hàm sơ cấp
a) Hàm số:

f : »+ → »+

x

y = f ( x) = x

có hàm số

ngược là y = x 2 .

b) Hàm số ngược của hàm y = sin x :
Nếu xét hàm số :
sin : [ −π / 2, π / 2] →

[ −1,1]

→

x

y = sin x

Khi đó tồn tại hàm số ngược :
sin −1 : [ −1,1] →

[ −π / 2,π / 2]
→ x = sin −1 y

y

Ký hiệu khác : sin −1 x = arcsin x .
Chú ý : a = sin −1 b = arcsin b chính là số đo góc mà sin a = b .

π 1
π
1
1
Ví dụ 1: sin = ⇔ = sin −1 = arcsin .
6 2
6
2
2
1
Ví dụ 2: Giải phương trình sin x =
3

9


Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

Bài giảng Môn Toán 1

Ta viết nghiệm :

x = sin −1 (1/ 3) + k 2π
x = π − sin −1 (1/ 3) + k 2π

c) Hàm ngược của hàm cosine : Tương tự, nếu xét
cos : [ 0, π ] →
x →

[ −1,1]

y = cos x

Khi đó sẽ tồn tại hàm ngược : y = cos −1 x .

d. Hàm ngược của hàm tang
Xét hàm số :
 π π
tan :  − ,  → ( −∞, ∞)
 2 2
x
→ y = tan x
 π π
khi đó tồn tại hàm số ngược tan −1 : ( −∞, + ∞) →  − , 
 2 2
−1
Chú ý : a = tan b chính là số đo của góc mà tan a = b .
Đồ thị của hàm y = tg – 1x là đường đậm nét ở hình 9.19.

e. Hàm ngược của hàm cotang : Khi xét
cotan : ( 0, π ) → (−∞, ∞ )
x

→

Hình 9.19

y = cot x
−1

Tương tự: Hàm y = arccot x = ( cot ) ( x)

Đọc trước các Mục: 2.1, 2.2,2.3, 2.4 (tr. 62…) ; 3.1, 3.2, 3.3, 3.4 (tr.89…) ; 5.2 (tr.160..)
ChuNn bị cho Bài số 3
Đạo hàm và vi phân của hàm một biến số

10


Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

Bài giảng Môn Toán 1

Bài số 3

KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM. CÁC CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM.
ĐẠO HÀM HÀM HỢP, HÀM ẨN. VI PHÂN.
I. BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN VÀ KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM

Hình 2.3. Ý tưởng của Fermat

1. Khái niệm tiếp tuyến : Xét đường cong y = f(x) với P là một điểm cố định trên đường cong
này . Gọi Q là điểm thứ hai gần P trên đường cong, ta vẽ cát tuyến PQ. Khi đó, tiếp tuyến tại P là
vị trí giới hạn của cát tuyến, khi Q trượt dọc theo đường cong đến P.
2. Tính độ dốc tiếp tuyến

Hình 2.4

Cho P = (x0, y0) là điểm cố định bất kỳ trên parabol y = x2. Ta sẽ tính độ dốc của tiếp tuyến
của parabol này tại điểm P.
+ Đầu tiên, ta chọn điểm thứ hai Q = (x1, y1) trên đường cong, gần với P.

y − y0
+ Vẽ cát tuyến PQ , độ dốc của cát tuyến : msec = độ dốc PQ = 1
(1)
x1 − x0
+ Cho Q trượt đến điểm cố định P dọc theo đường cong , khi đó x1 tiến dần đến x0 và cát tuyến
đổi phương và tiến đến một vị trí giới hạn là tiếp tuyến tại điểm P.
+ Dễ thấyrằng độ dốc m của tiếp tuyến sẽ là giá trị giới hạn của độ dốc msec của cát tuyến:

m = lim msec = lim
Q→P

x1 → x0

y1 − y0
x1 − x0

(2)

+ Vì P và Q đều nằm trên đường cong, ta có y 0 = x 02 và y1 = x12 , từ (1) có thể được viết

msec =

y1 − y 0 x12 − x02
=
x1 − x0
x1 − x0

1

(3)

Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

Bài giảng Môn Toán 1

và (2) trở thành :

m = lim

x → x0

y1 − y 0
= lim ( x1 + x0 )
x1 − x 0 x→ x0

Tức là : m = 2x0 là độ dốc tiếp tuyến của đường cong y = x2 tại điểm (x0, y0).

m=

2

y

(1, 1)
m
=
1

 1 1

− , 
 2 4
x

Hình 2.5
Khi biến độc lập x thay đổi từ giá trị ban đầu x0 đến giá trị thứ hai x1 . Ký hiệu chuNn đối
với sự thay đổi này là ∆x (đọc là ‘‘delta x’’) :
∆x = x1 - x0

(5)

x1 = x0 + ∆x

hay là:

(6)

+ Độ dốc của cát tuyến ở trên có thể được viết dưới dạng:

msec =

x12 − x02 ( x0 + ∆x) 2 − x02
=
x1 − x0
∆x

(7)

+ Rút gọn kết quả, sẽ có :
(x0 + ∆x)2 - x02 = x02 + 2x0∆x + (∆x)2 - x02

= 2x0∆x + (∆x)2 = ∆x(2x0 + ∆x)
+ Vì vậy : msec = 2x0 + ∆x
+ Lúc này : x1→x0 tương đương với ∆x→0, và khi đó ta nhận được kết quả như trước.

m = lim ( 2 x0 + ∆x) = 2 x 0 ,
∆x → 0

Tổng quát : đối với đồ thị của hàm bất kỳ y = f(x) .
+ Đầu tiên, ta tính độ dốc của cát tuyến qua 2 điểm P và Q ứng với x0 và x0 + ∆x,

msec =

f ( x 0 + ∆x) − f ( x0 )
∆x
y = f(x)
y
Q

f(x 0 +∆x) - f(x 0)
P
∆x

x0

Hình 2.6

2

x0 + ∆x

x


Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

Bài giảng Môn Toán 1

+ Sau đó, ta tìm giới hạn (nếu tồn tại) của msec khi ∆x tiến đến 0 để nhận được độ dốc của tiếp
tuyến của đường cong tại điểm P :

f ( x 0 + ∆x) − f ( x0 )
∆x
+ Giá trị của giới hạn này thường được ký hiệu là f’(x0), đọc là ‘‘f ph y tại x0’’ để nhấn mạnh
sự phụ thuộc của nó vào cả x0 và hàm f(x):
m = lim

∆x → 0

f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 )
∆x → 0
∆x
2
+ Ví dụ : Nếu f(x) = x , thì f’(x) = 2x0 .
f ' ( x 0 ) = lim

(8)

● Ví dụ 2. Tính f’(x0) nếu f(x) = 2x2 - 3x.
Giải: + Ta có :
f(x0 + ∆x) - f(x0) = [2(x0 + ∆x)2 - 3(x0 + ∆x)] - [2 x02 - 3x0]

= 2 x02 + 4x0∆x + 2(∆x)2 - 3 x0 - 3∆x - 2 x02 + 3x0
= 4x0∆x + 2(∆x)2 - 3∆x
= ∆x(4x0 + 2∆x - 3)
+ Do đó

f ( x 0 + ∆x) − f ( x0 )
= 4 x0 + 2∆x − 3
∆x
và

f ' ( x 0 ) = lim ( 4 x0 + 2∆x − 3) = 4x0 - 3
∆x → 0

Chú ý : Những lập luận trên đúng với giả thiết là đường cong
thực sự có một tiếp tuyến xác định ở điểm P.
+ Có đường cong không có tiếp tuyến tại một điểm nào đó(hình
2.7).
+ Khi tồn tại một tiếp tuyến, rõ ràng là cát tuyến PQ cần phải tiến
đến cùng vị trí giới hạn khi Q tiến đến P từ bên phải hoặc từ bên
trái : tương ứng với ∆x tiến dần tới 0 theo cả hai phía.
+ Trên thực tế ta gặp nhiều bài toán (chằng hạn bài toán tính vận
tốc tức thời cuả một chuyển động) mà mô hình toán học của nó
trong quá trinh tính toán dẫn đến việc cần tính giới hạn dạng :
f ( x 0 +∆x) − f ( x0 )
lim
,
∆x → 0
∆x
Và đó là những lý do dẫn đến sự ra đời của phép toán đạo hàm của hàm số.
3. Định nghĩa về đạo hàm

a. Định nghĩa:
Cho hàm y = f(x), đạo hàm của nó f’(x) là một hàm số mới có giá trị tại điểm x được xác định
bởi:
f ( x + ∆x) − f ( x)
f '( x) = lim
(1)
∆x → 0
∆x
+ Nếu giới hạn tồn tại với x = a, thì hàm số y = f(x) được gọi là khả vi tại a.
+ Hàm khả vi là một hàm khả vi tại mọi điểm trong tập xác định của nó.

3


Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

Bài giảng Môn Toán 1

● Chú ý : f’(x) là độ dốc của tiếp tuyến của đường cong y = f(x) tại P.
dy
+ Nếu y = f ( x) thì
còn được gọi là suất biến đổi của y theo x .
dx
dy
+ Nếu y = f (t ) mô tả một chuyển động thì
= v(t ) là vận tốc của chuyển động đó, và
dt
dy
khi đó
= v(t ) = f '(t ) được gọi là tốc độ .

dt
b. Quy tắc tìm đạo hàm tại một điểm :
● Bước 1. Tìm số gia f(x + ∆x) - f(x) đối với hàm được xét và nếu có thể rút gọn nó để đưa ∆x
thành một thừa số.
● Bước 2. Chia cho ∆x để tìm tỷ số

f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 )
∆x
● Bước 3. Tính giới hạn của tỷ số trên khi ∆x→0.
Nếu giới hạn đó tồn tại thì đó chính là đạo hàm của hàm số tại điểm cần tìm :
f ( x + ∆x) − f ( x)
f '( x) = lim
∆x → 0
∆x
Ví dụ 1. Tìm f’(x) nếu f(x) = x3.
Bước 1.

f ( x + ∆x) − f ( x) = ( x + ∆x) 3
= x 3 + 3 x 2 ∆x + 3 x(∆x) 2 + (∆x) 3 − x 3
= 3x 2 ∆x + 3 x(∆x) 2 + (∆x) 3
= ∆x[(3 x 2 + 3 x∆x + (∆x) 2 ]
Bước 2.

f ( x 0 + ∆x) − f ( x0 )
= 3 x 2 + 3 x∆x + ( ∆x) 2
∆x
Bước 3.

f ' ( x ) = lim [3 x 2 + 3 x∆x + (∆x) 2 = 3 x 2
∆x → 0

Ví dụ 2. Tìm f’(x) nếu f(x) =

1
x

Bước 1:

1
1
−
x + ∆x x
x − ( x + ∆x)
− ∆x
=
=
x ( x + ∆x )
x( x + ∆x)

f ( x + ∆x) − f ( x) =

Bước 2.

f ( x 0 + ∆x) − f ( x0 )
−1
=
∆x
x( x + ∆x)
Bước 3.

4


Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

Bài giảng Môn Toán 1

f ' ( x) = lim

∆x → 0

−1
1
=− 2
x( x + ∆x)
x

Nhận xét : Ta có thể nói về đồ thị của hàm y = f(x) = 1/x.
+ Đầu tiên, dễ thấy f’(x) = - 1/x2 là âm với mọi x≠0 và đây là độ dốc của tiếp tuyến, vậy tất cả
các tiếp tuyến phải đi xuống theo chiều trái qua phải.
+ Khi x gần điểm 0 thì f’(x) sẽ rất lớn, điều đó có nghĩa rằng các đường tiếp tuyến này rất dốc.
+ Khi x lớn thì f’(x) lại nhỏ nên các tiếp tuyến này sẽ gần như nằm ngang.
Như vậy : đạo hàm có thể cho ta biết nhiều điều về tính chất của hàm số và các tính chất trên đồ
thị của nó.
Ví dụ 3. Tìm f’(x) nếu f(x) =
Bước 1.

x

f ( x + ∆x) − f ( x) = x + ∆x − x

Bước 2.

f ( x 0 + ∆x) − f ( x0 )
=
∆x

x + ∆x − x
∆x

f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 )
=
∆x

x + ∆x − x
x + ∆x + x
.
∆x
x + ∆x + x
( x + ∆x ) − x
1
=
=
∆x ( x + ∆x + x )
x + ∆x + x

Bước 3.

f ' ( x) = lim

∆x → 0

1
x + ∆x + x

=

1
x+ x

1

=

2 x

, với ∀x > 0 .

c. Một số chú ý về ký hiệu:
+ Ta thường viết dạo hàm của hàm số tại một điểm bất kỳ trong miền đang xét là:

df ( x)
dx

d
f ( x)
dx

và

Ở cách viết thứ hai này, ký hiệu

d
được coi là một phép toán mà khi tác động vào hàm f(x) sẽ
dx

có đạo hàm f’(x) :
+ Nếu ta muốn viết giá trị số của đạo hàm tại một điểm cụ thể x = 3, do không thể thay giá trị
dy
này vào x trong
như đã làm được với ký hiệu f’(x), mà phải sử dụng một vài ký hiệu :
dx

 dy 
 
 dx  x =3

hoặc

dy
dx

,

hoặc f’(3) .

x =3

Chú ý: + Nếu hàm số y = f ( x) liên tục tại điểm x thì :

lim ∆y = 0

∆x → 0

+ Một hàm khả vi tại một điểm thì liên tục tại điểm đó vì:
∆y
∆y  
dy

lim ∆y = lim
⋅ ∆x =  lim
lim ∆x  = ⋅ 0 = 0 .
∆x →0
∆x →0 ∆x
∆x →0 ∆x   ∆x → 0

dx


+ Một hàm có thể liên tục tại một điểm mà không khả vi tại điểm đó.
5


Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

Bài giảng Môn Toán 1

+ Một hàm số không liên tục tại x0 thì sẽ không khả vi tại điểm đó.
II. MỘT SỐ QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
1. Các phép toán cơ bản về đạo hàm

1. Đạo hàm của hàm hằng: f ( x) = c ⇒
2 Đạo hàm của đối số: f ( x) = x ⇒

f '( x) = 0 .

f '( x) = 1

3. Giả sử f(x), g(x) có đạo hàm trong (a, b). Khi đó f(x) + g(x) , f(x).g(x), Cf(x) ( C=const),

f (x)
cũng có đạo hàm trong (a, b) và:
g( x )

( f ( x ) + g( x ) ) ' = f '( x ) + g '( x )
ii ) ( f ( x ).g( x ) ) ' = f '( x ).g( x ) + f ( x ).g '( x )
iii ) ( Cf ( x ) ) ' = Cf '( x )
i)

 f ( x) 
f '( x ).g( x ) − f ( x ).g '( x )
iv) 
; ( g( x ) ≠ 0 )
' =
g
(
x
)
g2 (x)



Ví dụ 1. + Ta có :

d 3 4
d
d
( x ⋅ x ) = x3 ⋅ x 4 + x 4 ⋅ x 3
dx
dx
dx
3
3
4
2
6
= x ⋅ 4 x + x ⋅ 3x = 7 x
+ Ta có: y = (x3 - 4x)(3x4 + 2) :
dy
d
d
= ( x 3 − x 4 ) (3x 4 + 2) + (3x 4 + 2) ( x 3 − 4 x )
dx
dx
dx
3
3
4
2
= ( x − 4 x )(12 x ) + (3x + 2)(3x − 4)
= 12 x 6 − 48x 4 + 9 x 6 − 12 x 4 + 6 x 2 − 8

= 21x 6 − 60x 4 + 6 x 2 − 8

Ví dụ 2. Tính đạo hàm thương y = (3x2 - 2)/(x2 + 1).
Giải: Ta có

dy ( x 2 + 1)(3x 2 − 2) '− (3 x 2 − 2)( x 2 + 1) '
=
dx
( x 2 + 1)2
=

( x 2 + 1)(6 x) − (3x 2 − 2)(2 x)
( x 2 + 1)2

=

6 x3 + 6 x − 6 x3 + 4 x
10 x
= 2
2
2
( x + 1)
( x + 1)2

● Ta có:

6