Điểm bất động của ánh xạ k lipschitz đều

Khóa luận tốt nghiệp

MỞ ĐẦU

Lý thuyết điểm bất động là một trong những lĩnh vực quan trọng của
Giải tích hàm phi tuyến. Nhiều bài toán quan trọng trong toán học nói riêng
và khoa học kĩ thuật nói chung dẫn đến việc nghiên cứu sự tồn tại điểm bất
động của các ánh xạ. Chính vì vậy mà Lý thuyết điểm bất động được nhiều
nhà toán học trên thế giới quan tâm.
Lý thuyết điểm bất động phát triển theo hai hướng chính:
Hướng thứ nhất nghiên cứu điểm bất động của các ánh xạ dạng co
trong các không gian mêtric.
Hướng thứ hai nghiên cứu điểm bất động của các ánh xạ compact
trong các không gian tôpô.
Vào đầu những năm 60 của thế kỉ XX, một hướng mới có thể xem
như hướng trung gian của hai hướng trên đã xuất hiện trong Lý thuyết điểm
bất động. Đó là việc nghiên cứu điểm bất động của các ánh xạ không giãn
trong các không gian Banach.
Tiếp tục nghiên cứu xu hướng mới này, trong vài thập kỉ gần đây
người ta chú ý nhiều đến ánh xạ Lipschitz đều. Có thể kể đến ba kết quả
mang tính chất mở đường, đó là các kết quả của Goebel-Kirk (1973),
Lifschitz (1975) và Casini-Maluta (1985).
Mục đích của khóa luận là hệ thống lại một số kết quả của các bài
báo về các điều kiện để đảm bảo sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ k 
Nguyễn Thị Kim Dung – k35C Toán 
 

 

1 

Khóa luận tốt nghiệp

Lipschitz đều T : M  M , trong đó M là một tập hợp trong không gian
Banach X . Đó là điều kiện của không gian X , tập hợp M và hệ số
lipschitz k .
Nội dung khóa luận chia làm 3 chương:
Chương 1: Nhắc lại một số kiến thức cơ bản làm công cụ nghiên cứu
ở chương sau như: khái niệm không gian lồi đều , ánh xạ không giãn, ánh
xạ Lipschitz đều.
Chương 2: Giới thiệu và mở rộng kết quả của Goebel-Kirk và của
Lipschitz.
Phần đầu chương là hai Định lý về sự tồn tại điểm bất động của nửa nhóm
ánh xạ k  Lipschitz đều và của ánh xạ k  Lipschitz đều trong không gian
Banach X với điều kiện đăc trưng lồi của X là  0  x   1 và k   0  X  ,

trong đó  0  X  được xác định bởi modul lồi của X .
Tiếp theo là định lý của Lifschitz (1975) và một kết quả mở rộng của định
lý này ra nửa nhóm của Đỗ Hồng Tân (2000).
Chương 3: Giới thiệu Định lý Casini-Maluta về sự tồn tại điểm bất
động của ánh xạ k  Lipschitz đều trong không gian Banach với cấu trúc
chuẩn tắc.
Khóa luận này được hoàn thành tại khoa Toán dưới sự hướng dẫn của
thầy Phùng Đức Thắng. Em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc về sự giúp đỡ và chỉ
bảo tận tình của thầy trong quá trình em làm khóa luận này.

Nguyễn Thị Kim Dung – k35C Toán 
 

 

2 


Khóa luận tốt nghiệp

Em xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo khoa toán, ban chủ nhiệm
khoa Toán cùng các thầy cô giáo đã quan tâm giúp đỡ em trong suốt thời
gian học tập tại trường ĐHSP Hà Nội 2.

Xuân Hòa, ngày 9 tháng 5 năm 2013
Sinh viên

Nguyễn Thị Kim Dung

Nguyễn Thị Kim Dung – k35C Toán 
 

 

3 


Khóa luận tốt nghiệp

Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1. KHÔNG GIAN LỒI ĐỀU
Trong giáo trình Giải tích hàm, ta đã biết : không gian Hilbert là
trường hợp riêng của không gian Banach với hai tính chất quan trọng :

- Mọi không gian Hilbert đều phản xạ.
- Mọi tập hợp lồi, đóng trong không gian Hilbert đều chứa một điểm
gần nhất đối với một điểm bất kì cho trước của không gian.
Trong số các không gian Banach, có một lớp đặc biệt chứa lớp các
không gian Hilbert mà vẫn giữ được hai tính chất trên, đó là các không gian
Banach lồi đều do Clarkson đề xuất năm 1936.
Đến năm 1965, hai nhà toán học Browder và Gohde đã độc lập chứng
minh được một định lý quan trọng về sự tồn tại điểm bất động cho ánh xạ
không giãn trong lớp không gian này. Đó là lí do chúng tôi dung mục này
để giới thiệu những khái niệm của không gian lồi đều cần sử dụng trong
chương sau.
Định nghĩa 1.1.1. Không gian Banach  X , .



được gọi là lồi đều nếu

  0,      0 sao cho: x, y  X , x  1, y  1, x  y   ta có:
x y
 1    .
2

Nguyễn Thị Kim Dung – k35C Toán 
 

 

(1)

4 

Khóa luận tốt nghiệp

Nói cách khác, với hai điểm khác nhau bất kỳ x, y thuộc hình cầu đơn vị,
điểm

x y
phải có khoảng cách dương đến biên của hình cầu đó, mà
2

khoảng cách này chỉ phụ thuộc vào khoảng cách của x và y , chứ không
phụ thuộc vào vị trí của chúng (tính đều). Tính lồi đều thường được kí hiệu
là UC (uniformly convex).
Chú ý. Điều kiện 1 có thể thay bởi:
x  d, y  d, x  y  



x y
 d 1      
2

với d  0 tùy ý.
Ví dụ 1.1.1.

- Không gian  2 với chuẩn x 2  x12  x22 là không gian lồi đều.
- Không gian  2 với chuẩn: x 1  x1  x2 và x



 max  x1 , x2



là các không gian lồi đều (ở đây x   x1 , x2    2 ).

- Tổng quát hơn, l p và Lp  a, b  với 1  p   là lồi đều, còn với p  1
và p   là không lồi đều.
- Dễ kiểm tra được rằng không gian C  a, b  là không lồi đều. Để tiện
trình bày, ta kiểm tra đối với không gian C  0,1.
Thật vậy, ta xét hai hàm sau trên  0,1 :

Nguyễn Thị Kim Dung – k35C Toán 
 

 

5 


Khóa luận tốt nghiệp

x  t   1, t   0,1 ,
và

 1
t  0, 
 1,


 2
y t   
2t  2, t   1 ,1 .


 2 
x, y  C  0,1

Rõ ràng

x  1, y  1, x  y  1

và có

nhưng

x y
 1. Suy ra với mọi   0, không tồn tại      0 sao cho với
2
x, y  C  0,1 mà

x y
 1    .
2

x  1, y  1, x  y   thì

Do đó C  0,1 là không lồi đều.
Ví dụ 1.1.2. Mọi không gian Hilbert là lồi đều.

Thật vậy, giả sử x  1, y  1, x  y   , thì từ đẳng thức hình bình hành
ta suy ra:
2

2

2

2

x  y  2 x  2 y  x  y  2 22



1
2
2
x  y 1
4
4

2
2
x y
 1
 1  1  1 

2
4
4



Nguyễn Thị Kim Dung – k35C Toán 
 

 


.



6 


Khóa luận tốt nghiệp

Vì vậy, với   0, ta đặt      1  1 

2
4

thì hiển nhiên      0 và

x y
 1    .
2

Do đó, mọi không gian Hilbert là lồi đều.

1.2. ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN
Nguyên lý ánh xạ co phát biểu cho các ánh xạ co. Nguyên lý đó
không áp dụng được cho một lớp ánh xạ rộng hơn như ta sẽ thấy dưới đây.
Định nghĩa 1.2.1. Cho X là một không gian mêtric, ánh xạ T : X  X

được gọi là không giãn (nonexpansive) nếu :
d Tx , Ty   d  x, y  , x, y  X .

Định nghĩa 2.1.2. Tập D  X được gọi là có tính chất điểm bất động đối

với ánh xạ không giãn từ D vào D đều có điểm bất động trong D.
Chú ý:

- Một không gian Banach không nhất thiết có tính chất điểm bất động
đôi với ánh xạ không giãn (Phản ví dụ: X  , Tx  x  1 là ánh xạ không
giãn nhưng không có tính chất điểm bất động ).
- Một tập hợp lồi, đóng, bị chặn trong một không gian Banach không
nhất thiết có tính chất điểm bất động đối với ánh xạ không giãn.
Thật vậy, xét c0 là không gian các dãy hội tụ về 0 với chuẩn x  sup xn .
n

Nguyễn Thị Kim Dung – k35C Toán 
 

 

7 


Khóa luận tốt nghiệp

Đặt D   x  c0 : x  1 là hình cầu đơn vị đóng trong c0 . Ta xét ánh xạ

T : D  D như sau: Với mỗi x   x1, x2 ,..., xn ,...  D, ta đặt:
Tx  1, x1 , x2 ,..., xn ,... .
Hiển nhiên Tx  D. Hơn nữa T là ánh xạ không giãn vì:
Tx  Ty  sup xn  yn  x  y .
n

Giả sử tồn tại điểm bất động x* trong D , tức là Tx*  x*. Thế thì:

 x , x ,..., x ,...  1, x , x ,..., x ,....
*
1

*
2

*
n

*
1

*
2

*
n

Từ đó suy ra x1*  1, x2*  x1*  1,..., tức là ta có xn*  1 , n   . Hiển nhiên
x*  c0 . Vậy T không có điểm bất động trong c0 .
Vấn đề đặt ra là: Cần điều kiện gì trên không gian Banach X để mọi
tập hợp lồi, đóng, bị chặn trong nó đều có tính chất điểm bất động đối với
ánh xạ không giãn?
Câu trả lời tổng quát cho câu hỏi trên được Brouwer và Gohde độc
lập đưa ra năm 1965.
Định lý 1.2.1. (Brouwer-Gohde)

Cho X là không gian Banach lồi đều, M là tập hợp lồi, đóng, bị
chặn trong X T : M  M là ánh xạ không giãn. Khi đó tập hợp các điểm
bất động của T , ký hiệu là Fix T  , không rỗng, lồi và đóng.

Nguyễn Thị Kim Dung – k35C Toán 
 

 

8 


Khóa luận tốt nghiệp

1.3. ÁNH XẠ LIPSCHITZ ĐỀU
Định nghĩa 1.3.1. Giả sử X là không gian Banach, T : X  X là một ánh

xạ. T được gọi là ánh xạ Lipschitz nếu tồn tại hằng số k  0 sao cho:
d Tx, Ty   kd  x, y  , x, y  X .
Ví dụ sau đây chứng tỏ Định lý Browder – Gohde không còn đúng
cho ánh xạ Lipschitz với k  1 .

Giả sử B là hình cầu đơn vị đóng trong l 2 ,    0,1 . Với mỗi

x   x1 , x2 ,...  l 2 , ta đặt:





Tx   1  x  , x1 , x2 ,... .
Thế thì T  B   B . Thật vậy, với x  1  ta có:
Tx   2 1  x
2



2

 x  1  x
2



2

 x

(do    0,1)

2

 1  2 x  2 x  1  2 x 1  x   1
2

(do x  1)

Suy ra T  B   B .
Bây giờ ta sẽ chứng minh T là ánh xạ Lipschitz với hệ số 1   .
Thật vậy:
Tx  Ty   2  x  y
2



2

2

2

 x y 2 x y  x y

   2  1 x  y     1 x  y
2

2

2

2

 Tx  Ty     1 x  y

Nguyễn Thị Kim Dung – k35C Toán 
 

 

9 


Khóa luận tốt nghiệp

Vậy T là ánh xạ Lipschitz với hệ số   1 .
Cuối cùng ta chứng minh T không có điểm bất động trong B . Giả sử
ngược lại: Tồn tại x*   x1* , x2* , x3*...  B sao cho x*  Tx* , khi đó ta có:

 x , x ,...   1 
*
1



*
2



x* , x1* , x2* ,...





Suy ra xi*   1  x* , i  1,2,...
Vì vậy:
Nếu x*  1  xi*  0, i  1,2,...  x*  0 ;
Nếu x*  1  xi*  const  0, i  1,2,...  x*  l 2 .
Cả hai trường hợp trên đều gặp mâu thuẫn. Do đó T không có điểm bất
động trong B .
Từ ví dụ trên ta rút ra kết luận sau : Dù l 2 là không gian Hilbert tức
là có nhiều tính chất tốt, nhưng hệ số Lipschitz bằng 1   (với   0 tùy ý)
thì hình cầu đơn vị đóng cũng không có tính chất điểm bất động đối với ánh
xạ loại này.
Mặt khác nếu T : K  K (với K là một tập hợp nào đó trong không
gian Banach X ) là ánh xạ không giãn thì ta luôn có:
T n x  T n y  T n1 x  T n1 y  ...  x  y , n  * .

Nguyễn Thị Kim Dung – k35C Toán 
 

 

10 


Khóa luận tốt nghiệp

Điều này gợi ý cho ta xét các ánh xạ thỏa mãn điều kiện:
T n x  T n y  k x  y , x, y  K , n  * , với k  1 .
Trường hợp đặc biệt, với n  1 ta có:

Tx  Ty  k x  y , x, y  X , tức là T là ánh xạ Lipschitz với k  1.
Định nghĩa 1.3.2. Ánh xạ T : K  K được gọi là ánh xạ Lipschitz đều

(chính xác hơn ánh xạ k  Lipschitz đều) nếu tồn tại số k  0 sao cho :
T n x  T n y  k x  y , x, y  K , n  * .
Như vậy, nếu T không giãn thì với k  1 và với mọi n  * ta luôn có :
T n x  T n y  x  y  k x  y , x, y  X , n  * .

Do đó lớp các ánh xạ k  Lipschitz đều với k  1 là lớp trung gian
giữa lớp các ánh xạ không giãn và lớp các ánh xạ Lipschitz.
Ta biết rằng nếu không gian Banach X có một số tính chất tốt nào đó
(chẳng hạn lồi đều) và K là tập hợp lồi, đóng, bị chặn trong X ,
T : K  K là ánh xạ không giãn thì T có điểm bất động trong K .
Đối với ánh xạ Lipschitz, tập hợp K như trên có thể không có tính
chất điểm bất động như ví dụ đã chỉ ra.
Vấn đề đặt ra là : Đối với ánh xạ Lipschitz đều với k  1 và đủ gần 1
thì các tập lồi. đóng, bị chặn có tính chất điểm bất động hay không ?

Nguyễn Thị Kim Dung – k35C Toán 
 

 

11 


Khóa luận tốt nghiệp

Cho đến nay thì đã có ba loại cận trên cho k để nếu k nhỏ hơn cân trên đó
thì ánh xạ k  Lipschitz đều có điểm bất động. Cận trên thứ nhất do

Goebel-Kirk nêu ra năm 1973, cận trên thứ hai do Lifschitz nêu ra năm
1975, cận trên thứ ba do Casini-Maluta nêu ra năm 1985. Các kết quả chính
liên quan đến 3 loại cận trên này sẽ được lần lượt trình bày ở các chương
sau.

Nguyễn Thị Kim Dung – k35C Toán 
 

 

12 


Khóa luận tốt nghiệp

Chương 2. ĐIỀU KIỆN GOEBEL – KIRK – THELE
VÀ MỞ RỘNG ĐIỀU KIỆN LIPSCHITZ

2.1. ĐỊNH LÝ GOEBEL – KIRK – THELE
Định lý 2.1.1. (Goebe, Kirk). Cho C là một tập hợp lồi đóng, bị chặn

trong không gian Banach X với  0  x   1 . Khi đó mọi ánh xạ k 
Lipschitz đều từ C vào C đều có điểm bất động nếu k   0 với  0 là
nghiệm của phương trình:


 1 

 1   X     1 .
  


Định nghĩa 2.1.1. Cho A là một nửa nhóm, X là một không gian Banach

và U là một tập con khác rỗng trong X . Khi đó một họ ánh xạ
  T :   A trong đó T : U  U được gọi là một nửa nhóm Lipschitz

trên U nếu thỏa mãn các điều kiện sau :
i)

T  x   T .T  x  với  ,   A và x U .

ii)

Với mỗi   A tồn tại k  0 sao cho
T  x   T  y   k x  y , x, y U .

Một nửa nhóm S được gọi là khả nghịch trái nếu bất kì hai ideal phải của
S đều có giao khác rỗng. Khi đó  S ,   và một định hướng với quan hệ hai
ngôi được định nghĩa bởi:

a  b  a  aS  b  bS .

Nguyễn Thị Kim Dung – k35C Toán 
 

 

13 

Khóa luận tốt nghiệp

Định nghĩa 2.1.2. Một nửa nhóm Lipschitz trên U

được gọi là một

k  Lipschitz đều nếu k  k ,   A nghĩa là tồn tại một số k  0 sao
cho:
T  x   T  y   k x  y , x, y U ,   A .
Định nghĩa 2.1.3. Cho U là một tập hợp con của không gian Banach X .

xét nửa nhóm  các ánh xạ T : U  U . Giả sử  là khả nghịch trái, tức
là hai ideal phải bất kỳ của  đều có giao khác rỗng.
Khi đó với T   ta gọi là chuẩn Lipschitz của T đối với U và kí
hiệu là T

L

có giá trị xác định bởi:
T

L

 Tx  Ty
 sup 
: x, y  U , x 

x
y



y .


Nhận xét.

Bất đẳng thức :

1
x  y  1      trong định nghĩa 1.1.1 có thể viết
2

lại thành:
1

x y
    .
2

Điều này chứng tỏ     không xác định duy nhất bởi  vì nó có thể thay
thế bằng số nhỏ hơn và số lớn nhất có thể được chính là 1 

Nguyễn Thị Kim Dung – k35C Toán 
 

 

x y
.

2

14 


Khóa luận tốt nghiệp

Vì vậy, để đo tính lồi của không gian Banach người ta đưa ra định nghĩa
sau.
Định nghĩa 3.1.4.

Modul lồi của không gian Banach X là hàm

 X :  0;2   0;1 xác định bởi:


 X     inf 1 


x y

: x, y  X , x  1, y  1, x  y    .
2


Ta có kết quả sau đây :
- Hàm  X tăng ngặt trên đoạn  0 ,2 và liên tục trên  0;2  , hơn nữa:
x  d, y  d, x  y   

x y 

  
 1   X    .d
2
 d 


 *

- Không gian Banach lồi đều khi và chỉ khi  X     0 với mọi   0 .
Thật vậy :
Giả sử X là không gian lồi đều suy ra   0,      0 sao cho
x, y  X mà x  1, y  1, x  y   ta có:

x y
x y
 1          1 
.
2
2
Do đó:


 X     inf 1 


x y

: x, y  BX , x  y     0 .
2


Trong đó BX là hình cầu đơn vị đóng trong X .
Nguyễn Thị Kim Dung – k35C Toán 
 

 

15 


Khóa luận tốt nghiệp

Ngược lại, theo định nghĩa của  X    thì x, y  BX , x  y   , ta
có :

 X    1 

x y
.
2

Khi đó chỉ cần chọn       X    ta sẽ có:

x y
 1     .
2
Vậy X là không gian lồi đều.
Định nghĩa 2.1.5. Đặc trưng lồi của không gian Banach được ký hiệu là:

 0   0  X   sup    o;2 :  X     0 .

Ta có một số kết quả sau :
- Không gian Banach X là lồi đều khi và chỉ khi  0  x   0 .
Thật vậy:

 0  X   0  sup    o;2 :  X     0  0 .
Vì   X  là hàm không giảm, nhận giá trị trong  0,1 và  X  0   0 , suy ra

 X     0,   0 . Điều này tương đương với X là lồi đều.
- Nếu  0  2 thì không gian Banach X là không vuông đều và đẳng
cấu với không gian lồi đều, do đó phản xạ.

Nguyễn Thị Kim Dung – k35C Toán 
 

 

16 


Khóa luận tốt nghiệp

Sau đây ta sẽ xét thêm một số tính chất của modul lồi của không gian
Banach sẽ được sử dụng sau này.
Với    0;2 ta định nghĩa:

f     sup  x  y : x  1, y  1, x  y    .
f     2 1   X     .

Thế thì:
Do đó :

1)

f liên tục trên  0,2 .

1

2)

f giảm nghiêm ngặt trên  0 ,2 .

 2

nếu    0 ,2 .

3) f 2     

 3

Thật vậy, giả sử    0 ,2 và lấy    0,1   X     . Chọn x, y

trong hình

cầu đơn vị của X thỏa mãn x  y   và

x y
 1   X     .
2
Khi đó:



2



x y
1 X
2

 x   y 

1X  x  y





 1   X 2 1   X      

Nguyễn Thị Kim Dung – k35C Toán 
 

 



17 


Khóa luận tốt nghiệp

Vì  là tùy ý nên:


2



 1   X 2 1   X    



 4

Đặt:

t  2 1   X     

t
 1   X   .
2

Thay vào  4  ta được:



  t  
 1   X  2     1   X t  .
2
  2  2

Do đó, vì  X    là hàm đồng biến trên đoạn  0 ,2 nên:

  2 1   X  t     X      X  2 1   X  t    .
Từ đây ta suy ra :



1   X     1   X 2 1   X  t  



 5

Thay   t và  4  ta được :

t
 1   X 2 1   X  t  
2





 6

Từ  5  và  6  ta suy ra :





1   X     1   X 2 1   X  t   

Nguyễn Thị Kim Dung – k35C Toán 
 

 

t
 1   X   ,
2

18 


Khóa luận tốt nghiệp

Vì vậy:

t
 1   X 2 1   X  t   .
2





Vì t có thể giả thiết là một giá trị bất kì nào đó thuộc đoạn  0 ,2 nên ta có
thể kết luận:


2





 1   X 2 1   X  t   ,    0 ,2





   2 1   X 2 1   X  t    ,    0 ,2


   2 1   X  f      ,    0 ,2
   f 2    ,    0 ,2.
Ta có điều phải chứng minh.
4) f 2     f  2  nếu    0,  0 

7

Thật vậy, theo định nghĩa của đặc trưng lồi và vì  X là hàm không giảm,
nhận giá trị trong đoạn  0,1 nên:

 X     0,    0,  0  .
Do đó:
f 2     f  f      f  2 1   X       f  2  .

Vì vậy f 2     f  2  ,    0,  0  . ( điều phải chứng minh)

Nguyễn Thị Kim Dung – k35C Toán 
 

 

19 


Khóa luận tốt nghiệp

5) Nếu  0  1thì từ tính liên tục của f suy ra tồn tại r    0 ,1 thỏa
mãn f  r   2r . Vậy nếu 1  k 

1
1
thì từ  r   0 và do  2  ta có:
k
r

2
1
f    f  r   2r  .
k
k
Sử dụng  2  và  3 ta có:
2
 o 
k

2
1 1
f   f 2 
k
k k

Do đó:
 1
2
kf    1 với k  1,  .
 r
k

(7)





6) Chú ý rằng từ  4  : cho   2 , ta có  X 2 1   X  2   0 . Do
đó:





 0  2 1   X  2    X  2   1 

0

2

.

Vì bất đẳng thức ngược lại đạt được khi    0 nên ta có:

 X  2   1 

0
2

hay lim  X     1 
 2

0
2

.

Điều này chỉ ra rằng:
lim f      0

 2

Nguyễn Thị Kim Dung – k35C Toán 
 

 

(8)

20 


Khóa luận tốt nghiệp

Cuối cùng, chúng ta chú ý rằng ta sử dụng ký hiệu B  x,   , x  X ,   0 để
chỉ hình cầu đóng trong X :
B  x,     y  X : x  y    .
Định lý 2.1.2. (Goebel-Kirk-Thele [8])

Giả sử K là tập con không rỗng, lồi, đóng, bị chặn trong không gian
Banach X với  0   0  X   1 . Khi đó tồn tại hằng số   1 (phụ thuộc vào
X ) sao cho nếu   T :   A là nửa nhóm khả nghịch trái của các ánh
xạ T : U  U , K  U thỏa mãn:
i)

T

L

 k   với mọi T thuộc ideal phải J1   ;

Với mỗi   0, dist T  x  , K    với mọi T thuộc idean phải J 2   ; thì
với một idean phải nào đó J   , tồn tại x0  K sao cho:

T  x0   x0 , T   .
Hơn nữa, nếu mọi ánh xạ của  liên tục thì:
T  x0   x0 , T   .
Chứng minh.

Chọn  

1
trong mục 5). Với   A, y  K ta đặt:
r
  T .T : T   ,   y   T .T  y  : T   .

Nguyễn Thị Kim Dung – k35C Toán 
 

 

21 


Khóa luận tốt nghiệp

Cố định y  K , đặt :

Ry    0 :   y   B  x,   với   A, x  K  .
Thế thì Ry   vì nó chứa đường kính của K . Do đó, ta đặt:

0  0  y   inf Ry .
Và với   0 ta đặt:



C     B T  y  , 0     .
 A  T 


Khi đó C   với mỗi   0 , và từ tính khả nghịch trái của  kéo theo họ



  B T  y  , 0    :   A được định hướng bởi quan hệ bao hàm, do
T 

đó C là lồi. Vì X là không gian phản xạ, các tập hợp C     0  lập thành
một họ các tập hợp compact yếu với tính giao hữu hạn, vì thế tồn tại điểm

z  z  y   K sao cho:





z C   C  K .
 0

Chú ý rằng nếu 0  0 thì kết quả của Định lý được khẳng định vì với   0
ta có thể chọn   A sao cho  là Lipschitz đều với hằng số Lipschitz k
và đồng thời:
z  T  y    , T   .

Nguyễn Thị Kim Dung – k35C Toán 
 

 

22 


Khóa luận tốt nghiệp

Do đó:

z  T  z  z  T 2  y  T 2  y  T  z
   k T  y   z   1  k  , T   .
Vậy chúng ta có thể giả sử 0  0 hoặc d  z   0 , trong đó với mỗi điểm

w  K thì:





d  w   inf sup w  T  w  : T   .
 A

Vì trường hợp d  w   0 sẽ được xử lý ở phần cuối, nên ta có thể giả sử

d  z   0 và lấy   0 thỏa mãn   d  z  . Bây giờ chọn   A sao cho:
z  T  z   d  z   
dist T  z  , K    , và T

L

k.

10 

(chú ý rằng hai sự lựa chọn sau là đúng với mọi T trong một ideal phải J
nào đó và vì với mỗi   A,   z   B  z , d  z     , nên tồn tại T  J dể
sự lựa chọn thứ nhất là đúng).
Theo định nghĩa của o :   A sao cho:
z  T  y   o   , T  

Vì T T  T với   A . Nhờ tính khả nghịch trái của  nên tồn tại:   A
sao cho T     . Nếu T   thì tồn tại T   sao cho T  T T , do
đó:

Nguyễn Thị Kim Dung – k35C Toán 
 

 

23 


Khóa luận tốt nghiệp

T  z   T  y   T  z   T T T  y 

 k z  T T  y   k  o   

11

Từ T   nên T   do đó:
z  T  y   o  

Đặt m 

(12)

z  T  z 
. Do 10  , 11 , 12  và tính chất * của modul lồi nên:
2
1
m  T  y   k  o    . f
2

 d  z   

 , T  



k


o



(13)

Hơn nữa, vì z  K và dist T  z  , K    nên tồn tại m  K sao cho
m  m   . Vì vậy:
1

m  T  y   k  o    . f
2

 d  z   

   , T  



k


o



(14)

Suy ra   y  chứa trong hình cầu tâm m, bán kính:
1
k  o   . f
2
Do đó:

 d  z   

   .

k





o


 d z   
  

k




o



1
2

o  k  o    . f 

Cho   0 ta có:

Nguyễn Thị Kim Dung – k35C Toán 
 

 

24 


Khóa luận tốt nghiệp

1
2

 d  z 

 k o 

o  k o . f 
Trong đó :
 d  z 
f
   lim
 k  o   0

 d  z   
f
 k      
o



Điều này kéo theo:
 d  z  k
f
  .

 k o  2
Từ đây

d  z
k
 2, vì nếu ngược lại theo  9  ta có:  o  lim f   
 2
k o
2

Điều này mâu thuẫn với

Vậy f liên tục tại

1
 o .
k

d  z
 d  z  k
và ta có f 
 .
k o
 k o  2

Xét hai trường hợp có thể xảy ra:
a) Nếu

d z
  o thì do  3 :

k o

 d  z 
d  z
 f 2

k o
 k o 
Điều này kéo theo:

2
d  z   kf   .o
k

Nguyễn Thị Kim Dung – k35C Toán 
 

2
f 
k

 

(15)

25