Hàm đặc trưng hàm sinh mômen và ứng dụng

Khóa luận tốt nghiệp

trường đại học sư phạm hà nội 2
khoa toán
*********

Nguyễn thị thảo nguyên

Hàm Đặc trưng - hàm sinh
mômen Và ứng dụng
Khóa luận tốt nghiệp đại học
Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Hà Nội – 2010
Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán

1


Khóa luận tốt nghiệp

Trường đại học sư phạm hà nội 2
khoa toán
*********

Nguyễn thị thảo nguyên

Hàm Đặc trưng - hàm sinh
mômen Và ứng dụng

Khóa luận tốt nghiệp đại học

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Người hướng dẫn khoa học
Ths. Nguyễn trung dũng

Hà Nội – 2010

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán

2


Khóa luận tốt nghiệp

Lời cảm ơn
Khóa luận tốt nghiệp được hoàn thành là kết quả của quá trình học tập, tích
lũy kinh nghiệm, là sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của ThS. Nguyễn Trung
Dũng.
Em xin tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến thầy. Đồng thời em
xin chân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa và đặc biệt là các thầy cô
trong tổ toán ứng dụng đã tạo điều kiện giúp đỡ, đóng góp ý kiến cho em trong
suốt thời gian học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp.
Em xin trân thành cảm ơn.

Sinh viên
Nguyễn Thị Thảo Nguyên

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán

3

Khóa luận tốt nghiệp
Lời cam đoan
Khóa luận của em được hoàn hành nhờ sự nỗ lực cố gắng của bản thân,
cùng sự chỉ bảo tận tình của ThS. Nguyễn Trung Dũng, những ý kiến đóng góp
của các thầy cô trong tổ, trong khoa và các bạn trong nhóm.
Em xin cam đoan với hội đồng chấm khóa luận tốt nghiệp đề tài này em tự
nghiên cứu, tìm hiểu và trích dẫn trung thực từ các tài liệu tham khảo. Những nội
dung này chưa được công bố trong bất kì khóa luận nào.

Sinh viên
Nguyễn Thị Thảo Nguyên

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán

4


Khóa luận tốt nghiệp
Mục Lục

1.1

Lời nói đầu

1

Nội dung
Chương 1. Hàm đặc trưng và hàm sinh mômen

2

Hàm đặc trưng

2

1.1.1 Định nghĩa

2

1.1.2 Tính chất

4

1.1.2 Hàm đặc trưng của một số biến ngẫu nhiên

9

1.2

12

Hàm sinh mômen

1.2.1 Định nghĩa

12

1.2.2 Tính chất của hàm sinh mômen

13

1.2.3 Hàm sinh mômen của một số biến ngẫu nhiên thường gặp

15

1.2.4 Lũy thừa hàm sinh mômen của một số biến ngẫu nhiên

17

1.1.5 Hàm sinh mômen của vectơ ngẫu nhiên

17

2.1

Chương 2. ứng dụng của hàm đặc trưng và hàm sinh mômen

21

ứng dụng của hàm đặc trưng

21

2.1.1 Tìm hàm phân phối của biến ngẫu nhiên

21

2.1.2 Tính kì vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên

22

2.1.3 Phân phối của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập

25

2.2

ứng dụng của hàm sinh mômen

28

2.2.1 Tìm phân phối của hàm các biến ngẫu nhiên

28

2.2.2 Tính kì vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên

31

2.2.3 Chứng minh sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên

32

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán

5

Khóa luận tốt nghiệp
Lời nói đầu
Toán ứng dụng là một ngành toán học có ý nghĩa rất to lớn và chiếm một
vị trí quan trọng. Nó là cầu nối để đưa những kết quả được nghiên cứu trên lí
thuyết của đại số, giải tích, hình học… vào ứng dụng trong các ngành khoa học
khác và thực tế cuộc sống.
Nói đến toán học ứng dụng không thể không nói đến toàn bộ môn xác suất
– thống kê, nó là công cụ để giải quyết các vấn đề chuyên môn của nhiều lĩnh
vực như kinh tế, sinh học, tâm lí – xã hội… Do đó, bộ môn này được đưa vào
giảng dạy hầu hết các trường đại học, cao đẳng.
Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về bộ môn xác suất – thống kê em
đã chọn đề tài “Hàm đặc trưng – hàm sinh mômen và ứng dụng”.
Khóa luận bao gồm hai chương
Chương 1. Hàm đặc trưng và hàm sinh mômen
Chương 2. ứng dụng

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán

6


Khóa luận tốt nghiệp
Chương 1. Hàm đặc trưng và hàm sinh mômen
1.1 Hàm đặc trưng
1.1.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.1 Cho hai biến ngẫu nhiên cùng xác định trên không gian xác
suất (  , A, P) và tồn tại EX, EY . Khi đó biến ngẫu nhiên X  iY có kì vọng và
được xác định bởi

E X  iY  EX  iEY ,

i

2

 1.

Định nghĩa 1.2 Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X kí hiệu là φ X t  được
xác định bởi
φ X t   EeitX .

Bổ đề 1.1 Cho g1 x và g2 x là các hàm thực không âm xác định trên . Khi
đó với mỗi dãy số thực xn  sao cho g1 xn   g2 xn  n  1,2,... và



 g x   
2

n1

n



thì

 g x    .
1

n1

n

Bổ đề 1.2 Cho g1 x và g2 x là các hàm thực không âm xác định trên

sao

cho g1 x  g2 x x .
Khi đó nếu trên mỗi đoạn a, b hữu hạn bất kì g1 x khả tích và



 g xdx  
2




thì

 g xdx <  .
1



Bổ đề 1.3 Cho g x  là hàm số xác định trên
nếu



và xn  là dãy số thực. Khi đó



 gx     thì  gx    .
n1

n

n1

n

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán

7


Khóa luận tốt nghiệp

Bổ đề 1.4 Cho g x  là hàm xác định trên

b

sao cho  g xdx tồn tại với a, b 
a

a  b . Khi đó nếu





 gx dx  

thì



 gxdx   .



Nhận xét Từ các bổ đề 1.1 đến 1.4 cho chúng ta sự tồn tại của hàm đặc trưng

φ X t  .
Thật vậy
φ X t   EeitX  EcostX   i sintX   E costX   iE sintX 

Ta phải chỉ ra

EcostX    ,
E sintX    .

Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc có hàm xác suất pX x thì

E costX    cos( tx ).px x ,

E sintX    sin( tx ).px x

x

x

Ta có cos( tx ).pX x  pX x x
mà

 p x  1     cos( tx ) p x  
X

X

x

x

  cos( tx ).px x  
x

 EcostX     tồn tại E costX .
Lập luận tương tự ta cũng chỉ ra được sự tồn tại của E sintX  .
Do đó tồn tại hàm đặc trưng φ X t  trong trường hợp X là biến ngẫu nhiên rời
rạc.
Tương tự ta chỉ ra được sự tồn tại hàm đặc trưng φ X t  với X là biến ngẫu nhiên
liên tục.
Định nghĩa 1.3 Hàm đặc trưng của vectơ ngẫu nhiên X   X1 , X2 ,...., Xn  được kí
hiệu là φX t1 ,t2 ,..., tn  và được xác định bởi

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán

8


Khóa luận tốt nghiệp

n

 itk Xk

φ X t1 ,t2 ,..., tn   φ X , X ,..., X t1 , t2 , ..., tn   Ee

k 1

1

2

n

( t1 ,t2 ,..., tn 

1.1.2 Tính chất
Định lí 1.1 Cho φ X t  là hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X . Khi đó ta có
1. φ X 0  1.
2. φ X t   1.
3. φ X là liên tục.
4. φ Xd t   eitd φ X t  với d là hằng số.
5. φcX t   φ X ct

với c là hằng số.

6. φ cX d t   eitd φ X ct với c, d là hằng số.

dn
7.
φ X t 
dt

 in E  X n 

n  1,2,3... nếu E Xn   .

t 0

Chứng minh
1. φ x t   EeitX . Do đó φ X 0  Eei 0 X  E1  1.
2. φ X t   EeitX  E eitX  E1

vì eitX  1.

3. φ X t  h  φ X t   Eei t h X  eitX   EeitX eihX  1

 E eitX eihX  1  E eihX  1
 lim φ X  t  h   φ X  t   lim E ethX  1  E lim ethX  1   0
h0
h0
 h0


 φ X liên tục .

4. φ Xd t   Eeit  Xd   EeitX eitd   eitd EeitX  eitd φ X t  .
5. φ cX t   Eeit ( cX )  Eei ct X  φ X ct .
6. φ cXd t   Eeit cXd   Eeitd eictX   eitd .EeictX  eitd φ X ct.
Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán

9


Khóa luận tốt nghiệp

dn
dn
  n itX 
itX
φ X t   n Ee  E n e   Ei n X neitX .
n
dt
dt
 t


7. Ta có

n
φt   i n EX n  .
n
t
t 0

Với t = 0 thì

Cho φ  X , X ,...,X  t1 ,t2 ,..., tn  là hàm đặc trưng của vectơ ngẫu nhiên

Định lí 1.2

1

n

X   X1 , X2 ,...... Xn  khi đó ta có :
1. φ  X , X ,...,X  0, 0,..., 0  1.
1

n

2. φ X , X ,....,X t1 ,t2 ,..., tn   1.
1

n

3. φ  X , X ,....,X  t1 ,t2 ,..., tn  là liên tục.
1

n

n

 itdk

4. φ  X  d , X  d ,...,X  d  t1 , t2 , ..., t n   e

φ X , X ,...,X t1 , t2 , ..., tn  , di ,i  1, n là các hằng số.

k 1

1

2

2

n

n

1

2

n

5. φ c X ,c X ,...,c X  t1 , t2 ,..., tn   φ X , X ,...,X c1t1 , c2t2 , ..., cntn  , ci ,i  1,n là các hằng số.
1 1

2 2

n

1

n

2

n

n

 itdk

6. φc X d ,c X d ,...,c X d  t1 , t2 , ..., tn   e

k 1

1 1

1

2 2

2

n n

n

φX , X ,...,X c1 X1 , c2 X2 , ..., cn Xn 
1

2

n

ci ,di ,i  1,n là các hằng số.
7. Nếu E Xj   thì

k
φ  X ,...,X  t1 , ..., tn 
 i k EXjk , j  1, n .
k
t j
t t ...t  0
1

n

1

2

n

Định lí được chứng minh tương tự như Định lí 1.1.
Định lí 1.3 Nếu X1 , X2 ,..., Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối
thì

φ

t    φ t  .
n

n

 Xi

i 1

Xi

(1.1)

i 1

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán

10


Khóa luận tốt nghiệp
Chứng minh
Ta chứng minh bằng phương pháp qui nạp như sau:
+ Với i  2 ta có φ X  X t   Eeit  X  X  
1

1

2

2

Do X1 , X2 độc lập nên suy ra φ X  X t   EeitX EeitX   φ X t φ X t 
1

1

2

2

1

2

+ Giả sử (1.1) đúng với i  n  1 tức

φ

n1

n1

 Xi

t    φ t  .
X1

i 1

i 1

Ta cần chứng minh (1.1) đúng với i  n .
Ta có

φ

n

 Xi

t   φ

i 1

n1

 Xi  Xn

t   φ

i 1

n1

n1

 Xi

t .φ t    φ t .φ t   φ t .
Xn

n1

n

Xi

Xn

i 1

Xi

i 1

Định lí 1.4 (Công thức ngược)
Cho biến ngẫu nhiên X với hàm mật độ xác suất f  x  và hàm đặc trưng φt  .
Khi đó
+ Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị phân biệt x j  j  1 ta có

f x j   lim

1 T itx
e φt dt
T 0
2T T

( j  1) .

j

+ Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì
1 T 1  e ith itx
f  x  lim lim
e φt dt .

h 0 T
2π  T ith


Đặc biệt, nếu

 φt  dt   ( f bị chặn và liên tục) thì f x 



1  itx
 e φt dt .
2π 

Chứng minh
+ Theo định lí 1.1 thì φt  là hàm liên tục và e

 itx j

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán

là liên tục

11

Khóa luận tốt nghiệp

T

itx j

e

 tồn tại

φt dt T  0 .

T

1 T itx
1   itx
Ta có
e
e φt dt =
2T  
2T T
j

j

1 T
it  x  x 

f xk  dt

k e f xk  dt  2T  k e

T
itxk

k

j

1 T it  x  x 
  f xk 
e
dt .
2T T
k
k

T

it  xk  x j

+ I  e
T



j

dt =  cos t xk  x j dt  i  sin t xk  x j dt =  cos t xk  x j dt (vì
T

T

T

T

T

T

hàm sin là hàm lẻ).
T

it  xk  x j 

 I  e
T

dt =  cos t xk  x j dt .
T

T

Nếu xk  x j thì I  2T .

1
Nếu xk  x j thì I   cos t xk  x j dt 
xk  x j
T

T





 d sin t( x

k

 xj )

T

sin Txk  x j   sin Txk  x j  2 sin Txk  x j 

xk  x j
xk  x j

1
1

itx
e φt dt   sin Txk  x j 

2T T
 T( x  x )
k
j


Mặt khác

T

T

nÕu

xk  x j

j

nÕu xk  x j

.

sin Txk  x j 
1

.
T( xk  x j )
xk  x j

sin Txk  x j 
 0.
T
T( xk  x j )

Do đó với xk  x j thì lim

1
1 T it  x  x 
e
dt


T 
2T T
0

Vì vậy ta có lim

k

j

nÕu xk  x j
nÕu

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán

xk  x j

.

(1.2)

12

Khóa luận tốt nghiệp

Thay (1.2) vào biểu thức

1 T itx
1 T it  x  x 





f
x
e
dt khi cho T  
e
φ
t
dt
k
k
2T T
2T T
j

k

j

ta được

1 T it  x  x 
1 T it x  x 
1 T itx
dt
dt  lim  f xk 
lim
e φt dt  lim  f  xk 
e
e
T
T 
T 0
2T T
2T T
2T T
x x k
x x k
k

j

k

j

k

k

j

 f x j   0  f x j .

j

( j  1)



 φt  dt  

Đặc biệt, nếu

j



( f bị chặn và liên tục) tức tồn tại



e

tix

φt dt



x  sao cho


tix
 e φt dt  lim

 0  T



e

tix

φt dt .



  ity

Te φt dt  Te e f ydy dt
T

Nhưng



T

tix



tix

T 



it  y x 
 e f ydydt 

 T 

Giả sử y  x thì

T

it  y x 

e

dt 

T









f  y
  etix φt dt  2 lim
T  

 T it  y x  


f
y
 Te dt dy .


2 sin Ty  x
y x

sin Ty  x 
dy
y x



z  sin z

dz
Đặt Ty  x  z   etix φt dt  2 lim  f  x  

T
T z
 


 2 f xπ  2πf x .

Bằng cách lấy giới hạn dưới dấu tích phân, sử dụng tính liên tục của f và


sin z
1  itx
 z dz  π ta có f x  2π e φt dt .


Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán

13


Khóa luận tốt nghiệp
Trong trường hợp X là biến ngẫu nhiên liên tục khẳng định được chứng minh
tương tự bằng cách thay dấu tổng của chuỗi bởi dấu tổng tích phân và sử dụng
các kết quả của chuyển giới hạn qua dấu tích phân.
( định lí được chứng minh)
Địng lí 1.5 (Sự duy nhất )
Có sự tương ứng 1-1 giữa hàm đặc trưng và hàm mật độ xác suất của biến ngẫu
nhiên.
Định lí 1.6 Cho vectơ ngẫu nhiên X   X1 , X2 ,..., Xn  với hàm mật độ xác suất
đồng thời f  x  và hàm đặc trưng là φt  khi đó ta có các khẳng định:

+ Nếu X là vectơ ngẫu nhiên rời rạc thì

f X , X ,...,X
1

2

n

 1 
x1 , x2 ,..., xn   lim
 
T
 2T 

n T

T

T

T

 ...  e

it1x1 , ...,itn xn

φX ,...,X t1 ,. ..., tn dt1 ....dtn
1

n

+ Nếu X là vectơ ngẫu nhiên liên tục thì

f X ,...,X
1

k

k

 1  eit h   it x
 1 
e
x1 ,..., xn   lim
lim   ...   
φX ,...,X t1 , ..., tn dt1 ....dtn
h0 T
 2T  T T j 1  it j h 
n T

T

j

n

j

j

j 1

1

n

Định lí 1.7 Có sự tương ứng 1-1 giữa hàm đặc trưng của vectơ ngẫu nhiên

X với hàm mật độ xác suất đồng thời của nó.
1.1.3 Hàm đặc trưng của một số biến ngẫu nhiên
Tính chất 1.1
Cho X ~ Bn, p thì φ X t    peit  q , với q  1  p .
n

Chứng minh

X ~ Bn, p  φ X t    e C p q
n

x 0

itx

x
n

x

n x

  Cnx  peit  qn x   peit  q
n

x

n

x 0

Đặc biệt nếu n  1 thì ta nói X có phân phối Bernoulli B1, p và

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán

14


Khóa luận tốt nghiệp
φ X t    pet  q, q  1  p .

Tính chất 1.2
Cho X ~ Poiλ  thì φ X t   eλe λ .
it

Chứnh minh


λx
λeit 
λ

φ X t    e e
e 
 eλ eλe  eλe λ .
x!
x!
x0
x0
x



λ

itx

it

it

Tính chất 1.3
Cho X ~ N μ,σ 2  thì φ X t   eitμ σ t / 2  . Đặc biệt, nếu X ~ N  0,1 thì
2 2

φ X t   e t

2

/2

.

Chứng minh
Nếu X ~ N μ,σ 2  thì

 X  μ  ~ N 0, 1 . Như vậy
σ

φ  Xμ  / σ t   φ  X / σ μ / σ  t   e itμ / σ φ X t / μ 

và

φ X t / μ   eitμ / σ φ  Xμ  / σ t  .

Bây giờ ta đi tìm hàm đặc trưng của Y ~ N 0, 1 với biến ngẫu nhiên Y ta có

1  itY Y / 2
1  Y 2itY / 2
φ Y t  
dy
 e e dy  2π e
2π 
2

=

1 t
e
2π

 φ X t / σ   eitμ / σ e t

2

2


/2

 Yit 2 / 2

e

2

dy  et

2

/2

.


/2

ta thay t / σ bởi t  φ X t   eitμ σ t / 2  .
2 2

Tính chất 1.4
Cho X có phân phối Gamma với tham số α và β khi đó φ X t   1  i βt  .

α

Chứng minh
φ X t  

1  itx α 1  x / β
1  α 1  x 1iβt  / β
e
x
e
dx

x e
dx
α β α 0
α β α 0

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán

15


Khóa luận tốt nghiệp

Đặt x1  i βt   y ta có x 

y
,
1  i βt

dx 

dy
,
1  i βt

y  0,   .

Vì vậy biểu thức trên trở thành

1
α β α



1
dy
1  α1  y / β
α
α
α 1  y / β
0 1  i βt α1 y e 1  i βt  1  i βt  α β α 0 y e dy  1  i βt  .

Với α  r / 2, β  2 chúng ta có lượng tương ứng với χ 2r và với α  1,β  1 / λ
chúng ta có lượng tương ứng cho phân phối mũ âm với các hàm đặc trưng tương
ứng là
1

φ X t   1  2it 

r / 2

λ
 it 
và φ X t    1   
.
λ
λ  it


Tính chất 1.5
Cho X là phân phối Côsi với tham số μ  0 và σ  1 khi đó φ X t   e t .
Chứng minh
Ta có


φ X t    eitx


1 1
1  costx 
i  sintx 
2  costx 
dx

dx

dx

dx

π 1  x2
π  1  x2
π  1  x2
π 0 1  x2
sintx 
dx  0 ).
2
 1  x


( vì 
Từ sintx  là hàm lẻ và costx  là hàm chẵn . Hơn nữa

costx 
π
 1  x dx  2 e



t

2

0

Do đó

φ X t   e t .

Tính chất 1.6

Cho X   X1 , X2 ,..., Xk  có phân phối đa thức tức là

P X1  x1 ,..., Xk  xk  

n!
p1x ... pkx thì φ X ,...,X t1 ,..., tk   p1eit  ...  pkeit
x1!...xk !
1

k

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán

1

1

n

k



n

.

16

Khóa luận tốt nghiệp
Chứng minh

φ X ,...,X t1 ,..., tk  
1

n

eit x ...it x



n!
p1eit
x1!...xk !

1 1

k k

x1 ,...,xk



n!
p1x ... pkx
x1!...xk !



x1 ,...,xn

1

1

k

 ...p e 

itk xk

x1

k

 p1eit  ...  pk eit
1

k

.
n

1.2 Hàm sinh mômen
1.2.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.4 Cho biến ngẫu nhiên X . Nếu tồn tại h  0 sao cho t   h, h
tồn tại EetX thì hàm số
M X t   EetX

được gọi là hàm sinh mômen của biến ngẫu nhiên X .
Nhận xét Thuật ngữ hàm sinh mômen xuất phát từ các mômen cấp r của X , có
thể được tính từ MX t  .
Thật vậy, sử dụng khai triển Taylor cho hàm ex ta có

  tX i
M X t   Ee   E 
 i 0 i !
tX

  ti
   .EXi 
 i 1 i !

t 2 EX2 
 1  tE X 
 ...
2!

(1.3)

Với t  0 ta có MX 0  1.
Từ điều kiện tồn tại của MX t  ta đạo hàm hai vế của (1.3) đối với t thì được

t2
M' X t   E X  tEX   EX3   ...
2!
2

(1.4)

Cho t  0 ta được M' X 0  E X .
Đạo hàm hai vế của (1.4) đối với t ta được

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán

17


Khóa luận tốt nghiệp
M" X t   EX2   t .EX3   ...

Cho t  0 ta có M' ' X 0  EX2  .
Tiếp tục quá trình này ta tìm được
M X r  0  EX r  .

Định nghĩa 1.5 Cho X1 , X2 ,..., Xn là các biến ngẫu nhiên. Khi đó nếu tồn tại
n

 ti Xi

h  0 sao cho Ee

tồn tại với mọi ti  h, i  1, n thì hàm số

i 1

n

 ti Xi

M X , X ,...,X t1 ,t2 ,..., tn   Ee

i 1

1

2

n

được gọi là hàm sinh mômen đồng thời của các biến ngẫu nhiên X1 , X2 ,..., Xn .
Nhận xét
+ Ta có
M X , X ,..,X 0, 0, ..., ti ,0, ..., 0  Eet X   M X t .
i

1

2

i

n

i i

+ Nếu X1 , X2 ,..., Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập thì
M X , X ,...,X t1 ,t2 ,..., tn   Eet X t X ...t X   Eet X et X ... et X
1 1

1

2

2 2

n n

1 1

2 2

n n

n



 Eet X Eet X ... Eet X    M X ti  .
n

1 1

n n

2 2

i 1

i

1.2.2 Tính chất của hàm sinh mômen
+ Cho biến ngẫu nhiên X . Nếu Mx t  tồn tại thì φ X t   MX it  .
+ Cho vectơ ngẫu nhiên X   X1 , X2 ,..., Xn  . Nếu MX , X ,...,X t1 ,t2 ,..., tn  tồn tại thì
1

2

n

φ X , X ,...,X t1 ,t2 ,..., tn   MX , X ,...,X it1 ,it 2 ,..., it n  .
1

2

n

1

2

n

Do đó hàm sinh mômen cũng có một số tính chất tương tự như của hàm đặc
trưng.
Định lí 1.8

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán

18


Khóa luận tốt nghiệp
Cho biến ngẫu nhiên X có hàm sinh mômen là MX t  . Khi đó biến ngẫu nhiên

Y  aX  b với a, b là các hằng số thực có hàm sinh mômen là
MY t   etb M X at .

Chứng minh
Ta có

MY t   EetY   Eet  aXb   etb EeatX   etb M X at  điều phải chứng

minh.
Định lí 1.9 Cho X,Y là các biến ngẫu nhiên độc lập với hàm sinh mômen lần
lượt là MX t , MY t  . Thì Z ·aX  bY với a,b là các hằng số thực có hàm sinh
mômen là

MZ t   MX atMY bt .
Chứng minh
Ta có M Z t   EetZ   Ee aXbY   Ee at  X e btY .
Do X,Y là các biến ngẫu nhiên độc lập nên suy ra
M Z t   Ee at  X Ee btY   M X atMY bt .

Định lí 1.10
Cho X1 , X2 ,..., Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập với các hàm sinh mômen tương
ứng là M X t  , i  1,2,..., n . Đặt Z   ai Xi với các a1 , a2 ,..., an là các hằng số
n

i

i 1

thực. Khi đó

t    M a t  .
n

MZ

i 1

Xi

i

Chứng minh
n

Ta có M Z t   Ee  Ee

t

tZ

 ai Xi
i 1

n

 ai tXi

Ee

i 1

  Eea tX   M X ai t  .
n

n

i

i 1

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán

i

i 1

i

19


Khóa luận tốt nghiệp
1.2.3 Hàm sinh mômen của một số biến ngẫu nhiên thường gặp
Tính chất 1.7

Nếu X tuân theo phân phối nhị thức Bn, p với tham số n, p ( n  *) thì
M X t    pet  q )n , q  1  p .

Chứng minh
Ta có M X t   EetX   etkCnk pk qnk   Cnk et p qk   pet  q
n

n

k 0

k 0

k

q  1  p .

n

Tính chất 1.8
Nếu X tuân theo phân phối Poiλ  thì
M X t   eλ e 1 .
t

Chứng minh
Ta có


λ k eλ
λet 

λ
M X t   Ee   e
e 
 eλ eλe  eλ e 1 .
k!
k!
k 0
k 0
tX



k

t

kt

t

Tính chất 1.9
Nếu X tuân theo phân phối chuẩn tắc N 0,1 thì
t2
2

M X t   e .

Nếu X tuân theo phân phối chuẩn N μ,σ 2  thì
M X t   e

tμ

σ 2t 2
2

.

Chứng minh
+ X tuân theo phân phối chuẩn tắc N 0,1
Ta có M X t   Ee 
tX








1 tx x2
1 tx t2 x2 2t
e e dx  
e e e e dx
2π
 2π
2

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán

2

2

2

20


Khóa luận tốt nghiệp

t 
t
1 21t  x  t2
1 21t  x 
2
e
e dx  e 
e
dx  e 2 .
2π
 2π





2

n





2

2

2

+ X tuân theo phân phối chuẩn N μ,σ 2 
Ta có

M X t   Ee 
tX














tμ

e

 x μ 
x
xμ μ
σ t
σ t




1
1
tx
tx
2σ
2σ
σ
2
2
ee
dx  
e e e e e e2σ
2
2
2πσ
 2μσ
2

2 2

2

2 2

2

2 2

2

σ 2t 2
2

2 2

2

1
σ t
xσ t μ  tμ  σ 2t

tμ 
1
2σ
e
e
dx  e 2
2

2πσ
2

2







2

2
2

dx

1
xσ t μ 

1
2σ
e
dx
2πσ2
2

2

2

.

Tính chất 1.10
Nếu X tuân theo phân phối mũ Exp λ  thì
M X t  

λ
.
λt

Chứng minh
Ta có




0

0

M X t   EetX    etX λeλx dx   λe λt  x dx 

λ   λt  x
λ
.
e
dx 


λt 0
λt

Tính chất 1.11
Nếu X tuân theo phân phối Gamma Gr ,μ  thì
λ

 r 
M X t   
 .
r t
Chứng minh
Ta có



r λ λ1 rx
r λ λ1  r t  x
M X t   Ee    e
x e dx  
x e
dx .
λ 
0
0 λ 
tX

tx

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán

21


Khóa luận tốt nghiệp


Trong đó λ    x λ1e x dx   1 λ  1λ  2...1
λ

0

Bằng cách tích phân từng phần λ lần ta thu được
λ

 r 
M X t   
 .
r t
Tính chất 1.12
Nếu X tuân theo phân phối đều Ua, b thì

et
eb  ea .
M X t  
t b  a
Chứng minh


1

et
eb  ea .
dx 
Ta có M X t   Ee    e
b a
t b  a
0
tx

tx

Chú ý Với biến ngẫu nhiên X chúng ta cũng tìm được luỹ thừa của hàm sinh
mômen. Luỹ thừa của hàm sinh mômen được kí hiệu là η X và được xác định bởi
η X t   Et X , t 

nếu tồn tại Et X  .

1.2.4 Luỹ thừa hàm sinh mômen của một số biến ngẫu nhiên
a.Nếu X ~ Bn, p thì η X t    pt  q ,t  , q  1  p .Thật vậy
n

η X t    t x Cnx p x qn x   Cnx  pt qn x   pt  q
n

n

x 0

x 0

x

n

q  1  p .

b.Nếu X ~ Poiλ  thì η X t   eλt λ , t  . Thật vậy

λt   eλ eλt  eλt λ , t  .
λx
λ
η X t    t e
e 
x!
x!
x0
x 0


x

x

λ

1.2.5 Hàm sinh mômen của vectơ ngẫu nhiên
a. Nếu các biến ngẫu nhiên X1 , X2 ,..., Xk có phân phối đa thức với các tham số n

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán

22


Khóa luận tốt nghiệp
và p1 , p2 ,..., pk thì M X ,...,X t1 , ..., tk   p1et  ...  pk et
1

1

M X ,...,X t1 ,..., tk   Eet X ...t X   et X ...t X
1 1

1

k

k

k

k

1 1

k



k

k

n

j

 , j  1,k . Thật vậy

n!
p1x ... pkx
x1!...xk !

k

1

n!
p1et
x1!...xk !

1

= p1et  ...  pket
1

 ,t

 ....p e 

tk xk

x1

n

k



n

t j  , j  1, k .

b. Nếu hai biến ngẫu nhiên X1 , X2 có phân phối chuẩn hai chiều với tham số

μ1, μ 2 ,σ12 ,σ22 và ρ thì ta có hàm sinh mômen của chúng là
1


M X , X t1 ,t2   exp μ1t1  μ 2tt  σ12t12  2ρσ1σ 2t1t2  σ 22t22  ,t1 ,t2  .
2


1

2

Thật vậy
Ta có hàm mật độ xác suất của X1 , X2 được xác định bởi
2

2




1
x1  μ 1 x2  μ 2 x2  μ 2 
 1  x1  μ 1 
  2ρ
f  x1 , x2  
exp  
.

 
2
σ
σ
σ
σ
2πσ1σ 2 1  ρ 2



1
1
2
2
 



Đặt x  x1 , x2 ' μ  μ1 ,μ 2 ' , Xj , j  1,k .
Khi đó   σ σ 1  ρ
2
1

2
2

2



1  σ2
và   
   ρσ 1σ 2
2

1

 ρσ 1σ 2 
.

σ12


Do đó

 ρσ 1σ 2  x  μ 1 
 σ 22

1

x  μ '  x  μ   x1  μ1, x2  μ 2 
2
 x  μ 


ρσ
σ
σ
2


1 2
1
1





1
2
2
σ 22 x1  μ 1   2ρσ 1σ 2 x1  μ1 x2  μ 2   σ12 x2  μ 2 
2 2
2
σ1 σ 2 1  ρ 

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán


23


Khóa luận tốt nghiệp

1

1  ρ2

2
 x  μ  2
 x1  μ 1  x2  μ 2   x2  μ 2  
1
1
  2ρ

  
  .

 σ1  σ 2   σ 2  
 σ1 

Do đó hàm mật độ xác suất được viết dưới dạng ma trận như sau

f  x 

1
 1


exp  x  μ '  1 x  μ  .
1/ 2
2π 
 2


trong đó μ là vectơ kì vọng và  là ma trận hiệp phương sai của X   X1 , X2 ' .
Với t  t1 ,t2 ' ta có

M X t   Eet' X  R expt' x f xdx 
2

1
1/ 2
2π 



2

R

1


exp t' x  x  μ '  1 x  μ  dx
2



(1.5)

Các số mũ có thể viết như sau

1

 1
1
 μ' t  t' t   2μ' t  t' t  2t' x   x  μ '  x  μ .
2

 2
Ta thấy '   , 1 '   1 , x' t  t' x,μ' t  t' μ , x'  1μ  μ'  1 x .

(1.6)

Do đó ta có
2μ' t  t' t  2t' x  x  μ '  1 x  μ   x  μ  t '  1 x  μ  t  . (1.7)

Từ (1.6) và (1.7) ta có hàm sinh mômen trong (1.5) trở thành

1

 1
M X t   exp μ' t  t' t 
1/ 2
2

 2π 



2

R

 1

exp  x  μ  t '  1 x  μ  t  dx
 2


1


 M X t   exp μ' t  t' t  .
2


 σ12
Mặt khác t' t  t1 , t2 
 ρσ 1σ 2

ρσ 1σ 2  t1 
   σ12t12  2ρσ 1σ 2t1t2  σ 22t22 .
2
 t
σ2
 2 

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán

24


Khóa luận tốt nghiệp




 M X1 , X2 t1 , t2   exp μ 1t1  μ 2tt 


1 22
σ1 t1  2ρσ1σ 2t1t2  σ 22t22  ,t1 ,t2  .
2


c. Cho vectơ ngẫu nhiên V   X,Y với hàm mật độ xác suất đồng thời

2e x y
f X ,Y  x , y  
0
Thì

M X ,Y t ,u 

0 x  y
nÕutr¸i l¹i

.

2
(với u  1,t  u  2 ).
1  u2  t  u

Thật vậy ta có

M X ,Y t , u  Ee

tX uY

 y

 e

tx uy

2e x y dxdy

0 0



2
2
1  ey1t  ey1udy 
(với u  1,t  u  2 ).
1  t 2  t  u
0 1 t



Ta có hàm sinh mômen của các biến ngẫu nhiên X và Y là
M x t   M X ,Y t , 0 
MY u  M X ,Y 0,u 

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán

2
.
2 t

2
.
u  3u  2
2

25