Phương pháp tọa độ và các ứng dụng

LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Năng Tâm đã tận tình giúp
đỡ em trong suốt thời gian em thực hiện đề tài.
Xin chân thành các thầy, các cô trong tổ Hình học - Khoa toán,
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội II đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ em hoàn
thành đề tài này.
Xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã tạo mọi điều kiện thuận
lợi cho em trong quá trình thực hiện đề tài.
Em xin chân thành cảm ơn.

Xuân Hòa, ngày 05 tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Đinh Thị Ly

1


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan khóa luận là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Trong khi nghiên cứu, tôi đã thừa kế những thành quả nghiên cứu của
các nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự chân trọng và biết ơn.
Những kết quả nêu trong khóa luận chưa được công bố trên bất kì
công trình nào khác.

Xuân Hòa, ngày 05 tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Đinh Thị Ly

2


LỜI NÓI ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Toán học có vai trò quan trọng trong đời sống thực tiễn, cũng như
trong nghiên cứu khoa học. Toán học là cơ sở nền tảng để nghiên cứu các
môn khoa học khác. Trong quá trình học tập, em được nghiên cứu về
chuyên nghành hình học. Đây là môn học có tính chặt chẽ, tính lôgic, tính
trừu tượng hóa cao độ nên nó là môn học tương đối khó. Với mỗi bài tập
hình học lại có thể có nhiều phương pháp giải khác nhau: phương pháp tọa
độ, phương pháp vectơ, phương pháp tổng hợp....
Việc sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán cung cấp cho học sinh
cách nhìn mới, kiến thức mới về toán học hiện đại. Giúp cho các em thấy
được mối quan hệ 1-1 giữa đại số và hình học nhằm phát triển tư duy toàn
diện cho học sinh. Phương pháp tọa độ không chỉ giúp chúng ta giải quyết
các bài toán quỹ tích khó hoặc các bài toán chứng minh mà ta không giải
được bằng suy luận, cứu cánh ta mỗi khi bí, hiệu quả trong khi còn ít thời
gian vì dù tính toán có hơi phức tạp nhưng ta không cần nghĩ nhiều.
Bắt nguồn từ lòng say mê của bản thân và được sự giúp đỡ chỉ bảo
của thầy Nguyễn Năng Tâm em chọn đề tài PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VÀ
ỨNG DỤNG để làm khóa luận tốt nghiệp của mình.

3


2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về phương pháp tọa độ và ứng dụng của phương pháp tọa
độ trong việc giải các bài toán sơ cấp và chứng minh một số định lí trong

hình học xạ ảnh.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu phương pháp tọa độ
- Nghiên cứu một số ứng dụng của phương pháp tọa độ
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng: phương pháp tọa độ và ứng dụng
- Phạm vi nghiên cứu: hình học afin, hình học Ơclit, hình học xạ ảnh
5. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận, tài liệu tham khảo.
- Phân tích, tổng hợp kiến thức phục vụ cho mục đích nghiên cứu
6. Cấu trúc
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận tốt nghiệp
gồm hai chương:
- Chương 1: Phương pháp tọa độ
- Chương 2: Một số ứng dụng giải toán bằng phương pháp tọa độ.

4


MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU .............................................................................................. 3
1. Lý do chọn đề tài .................................................................................. 3
2. Mục đích nghiên cứu ............................................................................ 4
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ........................................................................... 4
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu....................................................... 4
5. Phương pháp nghiên cứu..................................................................... 4
6. Cấu trúc................................................................................................. 4
CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ .................................................. 7
1.1. MỘT VÀI NÉT VỀ HỆ TỌA ĐỘ ................................................... 7
1.2. KHÔNG GIAN AFIN ....................................................................... 8

1.2.2. Mặt phẳng A 2 và không gian A 3 ................................................. 9
1.3.1. Định nghĩa ..................................................................................... 10
1.3.2. Một số tính chất trong ................................................................. 12
1.3.3 Một số công thức cơ bản trong hệ tọa độ Đêcac vuông góc ..... 13
1.4. KHÔNG GIAN XẠ ẢNH ............................................................... 18
1.4.1. Định nghĩa ................................................................................. 18
CHƯƠNG 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
VÀO GIẢI TOÁN ...................................................................................... 20
2.1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ............................................................ 20
2.2. MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC GIẢI BẰNG HỆ TỌA ĐỘ
AFIN ........................................................................................................ 21
2.2.1. Một số toán trong hình học phẳng.......................................... 21
2.2.2. Các bài toán trong không gian .................................................... 25

5


2.3. MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC GIẢI BẰNG HỆ TỌA ĐỘ
TRỰC CHUẨN....................................................................................... 31
2.3.1. Trong mặt phẳng ...................................................................... 31
2.3.2. Trong không gian ..................................................................... 39
2.4. ỨNG DỤNG CỦA MỤC TIÊU XẠ ẢNH ................................. 46
KẾT LUẬN ................................................................................................. 53
MỘT SỐ TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................ 54

6


CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

1.1. MỘT VÀI NÉT VỀ HỆ TỌA ĐỘ
Hệ tọa độ là tập hợp các điều kiện để xác định vị trí của một điểm
trên đường thẳng, trên mặt phẳng hay trong không gian.
Khái niệm về hệ tọa độ đầu tiên được đưa vào địa chất và thiên văn
để xác định vị trí trên mặt đất và trên bầu trời. Vào thế kỷ XIV, nhà toán
học người Pháp N.Oresme (1323-1382) sử dụng hệ tọa độ trên mặt phẳng
để dựng đồ thị. Ông dùng khái niệm kinh độ và vĩ độ ứng với khái niệm
tung độ và hoành độ của ta hiện nay.
Vào thế kỷ XVII nhờ các công trình của nhà toán học người Pháp
Descarter, người ta thấy rõ ý nghĩa của phương pháp tọa độ: cho phép
chuyển các bài toán hình học về ngôn ngữ giải tích và ngược lại cho phép
mô tả các kết quả khác nhau toán học giải tích bằng hình học. Ông đã mở ra
một thời kỳ mới cho toán học.
Tọa độ của một điểm là một bộ số được sắp thứ tự, đặc trưng cho vị
trí của một điểm trên đường thẳng, trên mặt phẳng hay trong không gian.
Tọa độ của một điểm luôn gắn liền với một hệ tọa độ xác định, bao
gồm gốc tọa độ và các trục tọa độ. Tùy theo tính chất của việc khảo sát đối
tượng này hay đối tượng khác mà người ta chọn các hệ tọa độ khác nhau.

7


1.2. KHÔNG GIAN AFIN
1.2.1. Định nghĩa
Định nghĩa Cho tập A   và không gian vectơ V n trên trường số K .
Giả sử có ánh xạ:  : A  A  V n thỏa mãn hai điều kiện:

i) Với bất kỳ M  A và bất kì v V n đều có duy nhất N  A sao cho:

 M , N   v

ii) Với bất kì M , N , P  A đều có:   M , N     N , P     M , P  .
Khi đó, bộ ba  A, ,V n  gọi là một không gian afin liên kết với V n bởi
ánh xạ liên kết  .


Kí hiệu: An  V n , An   A, ,V n  , MN    M , N  , M  An  M  A ,
 

v  An  v  V n .
Định nghĩa Trong không gian afin n chiều An , trên trường số K cho

 

 

điểm O và một cơ sở  e1 , e2 ,...., en  của An . Ta gọi bộ số O; e1 , e2 ,...., en 
là một hệ tọa độ afin của An .
Điểm O được gọi là gốc của hệ tọa độ.
 

Cơ sở  e1 , e2 ,...., en  gọi là cơ sở của hệ tọa độ.
Định nghĩa Trong không gian afin n chiều An với hệ tọa độ
 

O; e1, e2 ,...., en  cho điểm M bất kỳ. Khi đó có thể biểu thị




OM  x1.e1  x2 .e2  ....  xn .en . Thì bộ số  x1 , x2 ,...., xn  được gọi là tọa độ

afin của điểm M đối với hệ tọa độ đã cho.
Ký hiệu: M   x1 , x2 ,...., xn  hay M  x1 , x2 ,...., xn  .

8


Định nghĩa Trong không gian afin n chiều An với hệ tọa độ
 



O; e1, e2 ,...., en  cho vectơ v . Khi đó vectơ v được biểu thị duy nhất dưới
dạng:




v  v1.e1  v2 .e2  .....  vn .en


Bộ số  v1 , v2 ,...., vn  được gọi là tọa độ afin của vectơ v đối với


hệ tọa độ đã chọn. Ký hiệu: v   v1 , v2 ,.....vn  hay v  v1 , v2 ,.....vn  .

Nếu M  x1 , x2 ,...., xn  và N  y1 , y2 ,..., yn  thì MN  y1  x1 ,..., yn  xn  .

1.2.2. Mặt phẳng A 2 và không gian A 3
Mặt phẳng A 2
 

Hệ tọa độ afin bao gồm một điểm gốc O và hai vectơ cơ sở e1 , e2 .
 
Trong đó e1 , e2 khác vectơ không và không cùng phương.

x

y

O

Không gian A 3
  
Hệ tọa độ afin gồm một điểm gốc O và ba vectơ cơ sở e1 , e2 , e3 .
  
Trong đó e1 , e2 , e3 khác vectơ không và không đồng phẳng.

9


x
y

z

O

1.3. KHÔNG GIAN ƠCLIT
1.3.1. Định nghĩa
Định nghĩa Cho không gian vectơ thực V và một ánh xạ  :V  V  mà
 


ta ký hiệu   x , y  hoặc x. y . Nếu ánh xạ này thỏa mãn bốn điều kiện sau
thì ta gọi  là một hàm tích vô hướng trên V .
 
i) x. y  y.x
      
 x1  x2  . y  x1. y  x2 . y;
ii)   
 
x. y1  y2   x. y1  x. y2
 
  
iii)  kx  . y  k . x. y   x. ky 



iv) x.x  0 và x.x  0 thì x  0
     
(với mọi x , x1 , x2 , y , y1 , y2  V và mọi k  )

 
Số thực x. y được gọi là tích vô hướng của hai vectơ x , y .

Cặp E  V ,  được gọi là một không gian vectơ Ơclit.
Định nghĩa Không gian Ơclit là không gian afin liên kết với không gian
vectơ Ơclit hữu hạn chiều.

10

Không gian Ơclit sẽ được gọi là n chiều nếu không gian vectơ Ơclit
liên kết với nó có chiều bằng n . Kí hiệu: E n .
Định nghĩa Trong không gian Ơclit n
 

chiều

En

 n  1 .

Gọi



   e1 , e2 ,..., en  là một cơ sở trực chuẩn của E n , nghĩa là:
ìï 0 (i ¹ j )
r r
ï
ei .e j = í
ïï 1 (i = j )
ïî
 

và O là điểm cho trước thì tập hợp O;   hay O; e1 , e2 ,..., en  được gọi là

hệ tọa độ trực chuẩn hay hệ tọa độ Đêcác vuông góc.
Định nghĩa Trong không gian Ơclit n chiều E n  n  1 với hệ tọa độ
 



O; e1 , e2 ,..., en  cho vectơ v . Khi đó, luôn tồn tại duy nhất bộ số

 x1, x2 ,..., xn  sao cho:




v  x1.e1  x2 .e2  ...  xn .en


Bộ số  x1 , x2 ,..., xn  gọi là tọa độ của vectơ v đối với hệ tọa độ đã

cho.


Ký hiệu: v   x1 , x2 ,..., xn  hay v  x1 , x2 ,..., xn 

Định nghĩa Trong không gian Ơclit n chiều E n với hệ tọa độ

 

O; e1 , e2 ,..., en  cho điểm M bất kỳ. Tọa độ của vetơ OM được gọi là tọa
độ của điểm M đối với hệ tọa độ đó.

Như vậy, nếu OM  x1 , x2 ,..., xn  thì bộ số  x1 , x2 ,..., xn  được gọi là tọa độ
của điểm M .
Ký hiệu M   x1 , x2 ,..., xn  hay M  x1 , x2 ,..., xn 

11

1.3.2. Một số tính chất trong E

n

Trong E n cho hệ tọa độ Đêcác vuông góc, cho hai vectơ


x ( x1 , x2 ,..., xn ) và y  y1 , y2 ,..., yn  và số k  . Khi đó, ta có:
 
 x  y   x1  y1 , x2  y2 ,..., xn  yn 

 k .x   kx1 , kx2 ,..., kxn 

 x. y  x1. y1  x2 . y2  ...  xn . yn

 x 2  x12  x22  ...  xn2

 Khi đó: x  x12  x22  ...  xn2

 
x. y
x1. y1  x2 . y2  ...  xn . yn
 cos  x , y     
x.y
x12  x22  ...  xn2 . y12  y22  ...  yn2

 Cho hai điểm M ( x1 , x2 ,..., xn ) và N  y1 , y2 ,..., yn  .Khi đó,


tọa độ của vectơ: MN   y1  x1 , y2  x2 ,..., yn  xn  .
Đặc biệt, trong E 3 ta có:



#) Tích có hướng của u  x1 , y1 , z1  và v  x2 , y2 , z2  là w trong đó :
    y
w  u , v    1
 y2

z1 z1
,
z2 z2

x1 x1
,
x2 x2

y1 

y2 


Vectơ w này có tính chất:
   
+) w  u ; w  v
 


+) w  0  u  k .v




 
 
+) Khi u  k .v thì w  u . v .sin  u , v 
  
#) Ba vectơ u , v , w đồng phẳng khi và chỉ khi tích hỗn tạp của ba vectơ
  
  
bằng không. Tức là: D  u , v , w   u , v .w  0

12


1.3.3 Một số công thức cơ bản trong hệ tọa độ Đêcac vuông góc
1.3.3.1. Công thức tính khoảng cách
Khoảng cách giữa hai điểm
Trong

không

gian

En

cho

hai

điểm

M  x1 , x2 ,..., xn  và

N  y1 , y2 ,..., yn  . Khi đó khoảng cách giữa hai điểm M và N là độ dài

vectơ MN và được tính bởi công thức:

2
2
2
MN   y1  x1    y2  x2   ...   yn  xn 

Khoảng cách từ một điểm đến một siêu phẳng
Trong E n

 n  1

cho một mục tiêu trực chuẩn, một điểm

M 0  x10 , x20 ,..., xn0  và một siêu phẳng  có phương trình:
a1.x1  a2 .x2  ...  an .xn  a0  0

Khi đó, khoảng cách từ M 0  x10 , x20 ,..., xn0  đến  là:
d  M 0 ,  

a1.x10  a2 .x20  ...  an .xn0  a0
a12  a22  ...  an2

* Khi n  2 , đây là công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường

thẳng.
* Khi n  3 , đây là công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt
phẳng.
Khoảng cách giữa hai phẳng
 
Cho hai cái phẳng  và  của E n . Giả sử không gian vectơ   
 

có cơ sở  u1 , u2 ,..., un  thì với điểm bất kì A   , điểm bất kì B   , ta có:

13


 
 
Gr u1 , u2 ,..., un , AB
d  ,   
 

Gr  u1 , u2 ,..., un 





* Đặc biệt, khi n  3 thì  và  trở thành hai đường thẳng chéo nhau.
Trong không gian, muốn tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
ta có những cách sau:
Cách 1:Nếu biết độ dài đoạn vuông góc chung AB giữa hai đường
thẳng chéo nhau a và b thì: d  a, b   AB .

Cách 2:
Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng   chứa đường thẳng a và

 

b

Bước 2: Lấy một điểm M trên b và tính khoảng cách từ M tới  
d  a , b   d  M ,   

Cách 3: Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương u1 của đường thẳng a và một điểm
M 1  a1 , b1 , c1 

Bước 2: Tìm vectơ chỉ phương u2 của đường thẳng b và một điểm

M 2  a2 , b2 , c2 

Bước 3: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b
  
u
 1 , u2 .M 1M 2
theo công thức sau: d  a, b  
 
u1, u2 
1.3.3.2. Chia đoạn thẳng theo một tỷ số cho trước

14

Trong E n cho điểm M  x1 , x2 ,..., xn  chia đoạn thẳng M 1M 2 theo tỷ số k
y1  k .z1

x

1

1 k

 x  y2  k .z2


có nghĩa là: MM 1  k .MM 2 , khi đó:  2
1 k


 x  yn  k . z n
 n
1 k

Với M 1  y1 , y2 ,..., yn  và M 2  z1 , z2 ,, zn  .
Đặc biệt, khi k  1 thì M

là trung điểm của đoạn thẳng

M 1M 2 và tọa độ điểm M được xách định như sau:

y1  z1


 x1  2

 x  y2  z2
2
2

....................

 x  yn  z n
 n
2

1.3.3.3. Công thức tính góc
Góc giữa hai vectơ


Trong E n cho hai vectơ u và v khác vectơ không. Góc giữa hai

u .v


vectơ u và v là số  mà: 0     và cos    .
u .v

Góc giữa hai đường thẳng

15


Trong E n , cho hai đường thẳng a và b với vectơ chỉ phương lần




lượt là u và v . Góc giữa hai đường thẳng đó là số  mà: 0   
và
2

u .v
cos    .
u .v
Góc giữa hai siêu phẳng
Trong E n , cho hai siêu phẳng  và  có hai vectơ pháp tuyến lần




lượt là n và m . Góc giữa hai siêu phẳng đó là số  mà 0   
và
2

m.n
cos    .
m.n
Góc giữa đường thẳng và siêu phẳng
Trong E n , cho đường thẳng d và siêu phẳng  . Vectơ chỉ phương


của đường thẳng d là u và vectơ pháp tuyến của siêu phẳng  là n . Góc
giữa đường thẳng d và siêu phẳng  là số  mà : 0   


2

và


u .n
sin     .
u .n

1.3.3.4. Điều kiện thẳng hàng
Trong E n , điều kiện cần và đủ để ba điểm A  x1 , x2 ,..., xn  ,
B  y1 , y2 ,..., yn  và C  z1 , z2 ,..., zn  thẳng hàng là:


z x
z  x2
z  xn
AC  k . AB  1 1  2
  n
y1  x1 y2  x2
yn  xn

16


Đặc biệt, trong không gian cho bốn điểm A  x1 , y1 , z1  , B  x2 , y2 , z2  ,
C  x3 , y3 , z3  và D  x4 , y4 , z4  . Điều kiện cần và đủ để bốn điểm đó đồng

phẳng là:
x1

y1

z1 1

uuur uuur uuur
x2
é
ù
A
ê B , A C ú.A D = 0 
x3
ë
û
x4

y2

z2 1

y3

z3 1

y4

z4 1

0

1.3.3.5. Công thức tính diện tích tam giác, thể tích tứ diện
Trong mặt phẳng, diện tích tam giác có các đỉnh A (x 1, y 1 ), B (x 2, y 2 ),
C (x 3, y 3 ) được cho bởi công thức sau:

S VA BC

x1 y1 1
1
= . x2 y2 1
2
x3 y3 1

Trong không gian, cho ba điểm A (x 1, y 1, z 1 ), B (x 2, y 2, z 2 ) và
C (x 3, y 3, z 3 ) không thẳng hàng. Khi đó, diện tích tam giác VA BC được

tính bởi công thức:
S VA BC =

2

1
.
2

uuur uuur
é
ù
A

ê B,A C ú
ë
û

2

z - z1 x 2 - x1
x - x 1 y 2 - y1
1 y - y1 z 2 - z1
= . 2
+ 2
+ 2
z 3 - z1 x 3 - x1
x 3 - x 1 y 3 - y1
2 y 3 - y1 z 3 - z1

17

2


Trong không gian, thể tích tứ diện có các đỉnh A (x 1, y 1, z 1 ),
B (x 2, y 2, z 2 ), C (x 3, y 3, z 3 ), D (x 4, y 4, z 4 ) được tính theo công thức:

x1

V A BCD

uuur uuur uuur
1

= . D OA .OB ,OC
6

(

)

=

y1

z1 1

1 x2 y2 z2 1
6 x3 y3 z3 1
x4 y4 z4 1

1.4. KHÔNG GIAN XẠ ẢNH
1.4.1. Định nghĩa
Định nghĩa Cho một tập hợp P , một K không gian vectơ n + 1 chiều
V n + 1 và một song ánh p : éêV n + 1 ùú® P . Khi đó, bộ ba P , p,V n + 1 được gọi
ë
û

(

)

là không gian xạ ảnh n chiều trên trường K , liên kết với K không gian
vectơ V n + 1 sinh bởi song ánh p .

Ta ký hiệu: P n
Định nghĩa Cho không gian xạ ảnh P n liên kết với không gian vectơ
V n + 1 . Một tập hợp có thứ tự gồm n + 2 điểm của P n . {S 0, S 1,....., S n ; E }

được gọi là mục tiêu xạ ảnh nếu bất kỳ n + 1 điểm trong n + 2 điểm đó
đều độc lập.
 S i gọi là đỉnh của mục tiêu.
 E gọi là điểm đơn vị.

18


 m _ phẳng (m < n ) đi qua m + 1 đỉnh gọi là
m _ phẳng tọa độ.

 S i , S j (i ¹ j ) gọi là các trục tọa độ.
Định nghĩa Trong không gian xạ ảnh P n liên kết với V n + 1 , cho mục tiêu
r
xạ ảnh {S 0, S 1,....., S n ; E }có đại diện là cơ sở {ei } của V n + 1 . Với mỗi điểm
r
X bất kỳ của P n ta lấy vectơ x đại diện cho X . Khi đó, tọa độ
r
(x 0 : x 1 : ... : x n ) của đối với cơ sở {ei }cũng là tọa độ của X đối với mục

tiêu {S 0, S 1,....., S n ; E }.
Viết là: X = (x 0 : x 1 : ... : x n )
Trong chương này em đã giới thiệu một số kiến thức cơ bản về hệ tọa
độ. Đây là công cụ để giải các bài toán ở chương 2

19

CHƯƠNG 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG
PHÁP TỌA ĐỘ VÀO GIẢI TOÁN

Ở chương 2 em đưa ra một số ví dụ để minh họa cho ứng dụng của
phương pháp tọa độ.
2.1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
Phương pháp tọa độ là phương pháp giải toán bằng cách gắn bài toán
vào một hệ tọa độ thích hợp.
Các bước giải một bài toán bằng phương pháp tọa độ.
Bước 1: Chọn hệ tọa độ thích hợp, sao cho điểm gốc O và các trục
tọa độ trùng với các điểm đặc biệt, các đường đặc biệt thì
việc tính toán sẽ đơn giản ngắn gọn hơn.
Bước 2: Chuyển ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ tọa độ.
Bước 3: Sau đó bằng phương pháp tọa độ và các phép tính đại số
chúng ta thực hiện các yêu cầu của bài toán đặt ra.
Bước 4: Chuyển các ngôn ngữ tọa độ về ngôn ngữ hình học.

20


2.2. MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC GIẢI BẰNG HỆ TỌA ĐỘ
AFIN
2.2.1. Một số toán trong hình học phẳng
Bài toán 1: Cho tam giác VA BC .Từ một điểm P thay đổi trong mặt
phẳng kẻ các đường thẳng song song với CA , CB lần lượt cắt CB , CA
tại Q và R . Đường thẳng d

nối Q với trung điểm I của CA cắt

đường thẳng d ' nối R với trung điểm J của CB tại S . Chứng minh
rằng đường thẳng PS luôn đi qua điểm cố định.
Lời giải
d'

B
P
J

R

Q
S
I

C

A
d

Hình 1
uur uuur
Chọn hệ tọa độ afin C ;CA ,CB , ta có: C (0, 0), A (1, 0), B (0,1),

{

æ1 ö
÷, J
I çç , 0÷

÷
çè2 ÷
ø

}

æ 1 ö÷
çç0, ÷.
÷
çè 2 ø÷

21


Giả sử P (a, b) thì R (a, 0), Q (0, b)
Phương trình đường thẳng QI là:
x y
+ = 1
1 b
2

Phương trình đường thẳng R J là:
x y
+ = 1
1
a
2

Phương trình chùm đường thẳng tâm S xác định bởi hai đường thẳng QI
và R J có dạng:

æ
ö
æx
y
çç + 2.y ÷
m . çç2.x + - 1÷
+
n
.
÷
çè
çèa
÷
b
ø

ö
÷
1÷
= 0 (m 2 + n 2 ¹ 0)
÷
÷
ø

Đường thẳng PS thuộc chùm và đi qua điểm P (a, b) nên tọa độ (a, b) thỏa
mãn phương trình đường thẳng PS . Do đó ta có: m .a + n .b = 0
Chọn m = - b thì n = a , ta được phương trình đường thẳng PS là:
x - y + a (2.y - 1)- b (2.x - 1) = 0

Muốn cho đường thẳng này không phụ thuộc vào tọa độ (a, b) của P ta cần

ìï 2.y - 1 = 0
ïï
1
có: ïí 2.x - 1 = 0 Û x = y =
ïï
2
ïï x - y = 0
î

Vậy PS luôn đi qua điểm cố định là trung điểm M của A B .

22


Bài toán 2: Cho hình bình hành A BCD .Trên cạnh DC chọn điểm E sao
uuur
1 uuur
cho DE = .DC và trên cạnh BD chọn điểm F sao cho
n
uuur
1 uuur
DF =
.DB với n > 0 . Chứng minh A , F , E thẳng hàng.
n+1
Lời giải
uuur uuur
Chọn hệ tọa độ afin A ; A B , A D

{

}

D

E
C
F
B

A

Hình 2

æ1 ö
÷, J
Ta có: A (0, 0) , B (1, 0) , D (0,1) , C (1,1) , I çç , 0÷
÷
çè2 ÷
ø
uuur
1 uuur
Từ điều kiện: DE = .DC Þ
n

uuur
Từ điều kiện: DF =

æ1 ö
÷
E çç ,1÷

çèn ÷
÷
ø

1 uuur
.DB Þ
n+1

uuur æ 1
n
;
Khi đó AF = çç
çèn + 1 n +

æ 1 ö÷
çç0, ÷
÷
çè 2 ø÷

æ 1
n
F çç
,
çèn + 1 n +

uuur
ö÷
1
÷
và A E = ( ;1)

÷
n
1÷
ø

23

ö÷
÷
÷
1÷
ø


uuur
Þ AF =

n uuur
.AE
n+1
uuur uuur
Þ A E , A F là hai vecto cùng phương
Þ A , F , E thẳng hàng.

Bài toán 3: Cho tam giác VA BC .Hai điểm M , N lần lượt lấy trên các
uuur
uuur
uuur
uuur
cạnh A B và A C sao cho: MB = h .MA và NC = k .NA với h + k = - 1 .

Chứng minh rằng MN luôn đi qua điểm cố định.
Lời giải
C

N

M

B

A

Hình 3
uuur uuur
Chọn hệ tọa độ afin A ; A B , A C , ta có A (0, 0), B (1, 0), C (0,1)

{

}

theo giả thiết ta có:
uuur
uuur
MB = h .MA
uuur uuur
uuur
æ 1
ö
1 uuur
A M .MB

1- h
uuur =
÷
; 0÷
.A B Þ M çç
Û
Þ AM =
çè1 - h ø÷
÷
1
h
1
AM

24


æ 1 ö÷
÷
Tương tự ta tìm được N çç0;
çè 1 - k ÷
÷
ø

Đường thẳng MN có phương trình:
x
y
+
= 1
1

1
1- h
1- k
Û

(1 - h ).x + (1 - k ).y -

1= 0

Do đó h + k = - 1 nên h = - 1 - k
Thay vào phương trình đường thẳng MN ta có:
x + 2.y + h . (y - x )- 1 = 0

(1)

Muốn MN đi qua điểm cố định, ta buộc đẳng thức (1) không phụ thuộc
vào h . Từ đây ta suy ra:
ìï y - x = 0
ìï x = y
ï
Û ïí
Û
í
ïï x + 2y - 1 = 0
ïï 3y = 1
î
î

x = y=

1
3

æ1 1 ö
÷, đó chính là
Vậy điểm cố định mà đường thẳng MN đi qua là G çç , ÷
÷
çè3 3 ø÷

trọng tâm tam giác VA BC .
2.2.2. Các bài toán trong không gian
Bài toán 1: Cho ba tia không đồng phẳng Ox , Oy , Oz cùng xuất phát từ
điểm O trong không gian. Trên các tia đó lần lượt lấy các điểm A , B , C
thay đổi sao cho:

25