Một số cách chứng minh bổ đề farkas

LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày khóa luận, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy
ThS. Nguyễn Quốc Tuấn đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình
hoàn thiện khóa luận này.
Trong quá trình học tập, đặc biệt là trong suốt quá trình làm khóa luận tôi
đã nhận được sự động viên chỉ bảo, tạo điều kiện của các thầy cô tham gia giảng
dạy, công tác tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Qua đây, tôi xin được gửi
lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trong tổ Giải tích, khoa Toán trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn sự giúp đỡ, quan tâm, động viên của gia đình,
bạn bè trong suốt thời gian vừa qua.
Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Nguyễn Thị Thu Huyền


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp đại học chuyên nghành Toán với
đề tài “Một số cách chứng minh bổ đề Farkas’’ được hoàn thành bởi chính sự
nhận thức của bản thân, không trùng với bất cứ khóa luận nào đã có trước đó.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện khóa luận, tôi đã kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với lòng trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Nguyễn Thị Thu Huyền

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 1
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị ............................................................................ 4
1.1. Không gian vector định chuẩn ..................................................................... 4
1.1.1. Khái niệm không gian vector ....................................................................... 4
1.1.2. Vector độc lập tuyến tính, vector phụ thuộc tuyến tính ............................... 5
1.1.3. Khái niệm không gian định chuẩn ............................................................... 5
1.1.4. Sự hội tụ trong không gian định chuẩn ........................................................ 6
1.2. Toán tử tuyến tính ......................................................................................... 8
1.2.1. Định nghĩa .................................................................................................... 8
1.2.2. Điều kiện liên tục ......................................................................................... 8
1.2.3. Toán tử nghịch đảo....................................................................................... 9
1.3. Phiếm hàm tuyến tính ................................................................................. 10
1.3.1. Định nghĩa .................................................................................................. 10
1.3.2. Phiếm hàm song tuyến tính ........................................................................ 10
1.4. Không gian hillbert ..................................................................................... 11
1.4.1. Tích vô hướng ............................................................................................ 11
1.4.2. Bất đẳng thức Schwarz............................................................................... 11
1.4.3. Định nghĩa không gian Hilbert và ví dụ..................................................... 12
1.4.4. Tính trực giao, hình chiếu .......................................................................... 13
1.4.5. Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính trên không gian Hillbert......... 15
1.5. Tập lồi ........................................................................................................... 15
1.5.1. Định nghĩa và tính chất .............................................................................. 15
1.5.2. Bao lồi và bao lồi đóng .............................................................................. 17
1.5.3. Các định lý tách .......................................................................................... 17


1.6. Hệ phương trình tuyến tính ....................................................................... 19
Chương 2: Một số cách chứng minh bổ đề Farkas ......................................... 23

2.1. Bổ đề Farkas ................................................................................................ 23
2.2. Một số cách chứng minh bổ đề Farkas ..................................................... 24
2.2.1. Cách chứng minh thứ nhất ......................................................................... 25
2.2.2. Cách chứng minh thứ hai ........................................................................... 29
2.2.3. Cách chứng minh thứ ba ............................................................................ 31
2.2.4. Cách chứng minh thứ tư ............................................................................. 32
Chương 3: Ứng dụng của bổ đề Farkas ........................................................... 35
KẾT LUẬN ......................................................................................................... 37
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................. 38


MỞ ĐẦU
Như chúng ta đã biết, bổ đề Farkas được sử dụng rộng rãi trong Toán học.
Bổ đề được công bố lần đầu tiên năm 1898 ở Hungary, nhưng chỉ được biết đến
rộng rãi tại Đức năm 1902. Trong những thập niên vừa qua, bổ đề Farkas được mở
rộng và phát triển với nhiều biến thể và nhiều phương pháp chứng minh khác nhau.
Hiện nay, đã có một số sách chuyên đề viết về bổ đề Farkas và các ứng
dụng của nó trong Toán học cũng như trong thực tiễn đời sống và cũng đã có
một số sinh viên nghiên cứu và hoàn thành khóa luận tốt nghiệp đại học với đề
tài liên quan đến bổ đề Farkas. Với mục đích tìm hiểu sâu hơn nữa về bổ đề
Farkas, các biến thể của bổ đề Farkas, các phương pháp khác nhau để chứng
minh bổ đề Farkas và ứng dụng của bổ đề Farkas trong thực tế. Cũng là để tích
lũy kinh nghiệm cho bản thân phục vụ cho công tác học tập, giảng dạy sau này,
đồng thời giới thiệu cho các bạn sinh viên có cái nhìn tổng quan và sâu sắc hơn
về bổ đề Farkas và ứng dụng của bổ đề Farkas.
Vì những lý do trên cùng với sự góp ý động viên và tận tình giúp đỡ của
các thầy cô, đặc biệt là thầy ThS. Nguyễn Quốc Tuấn, với sự đam mê của bản
thân tôi đã mạnh dạn nghiên cứu đề tài
" Một số cách chứng minh bổ đề Farkas " .

Dựa trên những kết quả đã có và các tài liệu tham khảo có liên quan tới bổ
đề Farkas, trong khóa luận này, tôi đã nghiên cứu về bổ đề Farkas, các phương

1


pháp khác nhau để chứng minh bổ đề Farkas và ứng dụng của bổ đề Farkas trong
kinh tế.
Khóa luận của tôi gồm 3 chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Chương này hệ thống lại các khái niệm cơ bản cũng như các tính chất liên
quan đến không gian định chuẩn, không gian Hillbert, tập lồi, hệ phương trình
tuyến tính để chuẩn bị cho việc trình bày và giới thiệu về bổ đề Farkas cũng như
một số cách chứng minh bổ đề Farkas.
Chương 2. Một số cách chứng minh bổ đề Farkas
Chương này nghiên cứu về bổ đề Farkas, các biến thể của bổ đề Farkas và
các phương pháp khác nhau để chứng minh bổ đề Farkas. Chứng minh gốc của
Farkas đã được trình bày nhiều trong một số tài liệu chuyên nghành nên trong
khóa luận tôi đưa ra bốn cách chứng minh khác của bổ đề Farkas:
1) Chứng minh của C. G. Broyden đã được công bố năm 1988. Chứng
minh này được trình bày dựa trên một tính chất của ma trận trực
giao.
2) Chứng minh của A. Dax được công bố năm 1997. Chứng minh này
của Dax có thể xem như là chứng minh gián tiếp tính chất đóng của
tập lồi C :  Ax : x  0 .
3) Chứng minh của V. Chandru, C. Lassez, J. L. Lassez được công bố
năm 2004. Trong chứng minh này, tác giả đã sử dụng phương pháp
Fourier – Motzkin để loại trừ các biến trong các bất đẳng thức.

2

Phương pháp này có thể được xem như một trường hợp đặc biệt của
định lý loại trừ lượng hóa của Tarsky.
4) Chứng minh của D. Bartl được công bố năm 2008. Tác giả trình bày
chứng minh này thông qua chứng minh một bài toán tổng quát của
bổ đề Farkas.
Chương 3. Ứng dụng của bổ đề Farkas
Chương này nghiên cứu về ứng dụng của bổ đề Farkas trong việc giải bài
toán kinh tế.
Mặc dù khóa luận hoàn thành với sự cố gắng của bản thân, song do thời
gian có hạn và đây cũng là vấn đề mới đối với bản thân tôi, nên trong quá trình
viết cũng như quá trình in ấn khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi
kính mong các thầy, cô giáo và các bạn đóng góp ý kiến giúp tôi hoàn thành
khóa luận của mình.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong khoa Toán trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là thầy ThS. Nguyễn Quốc Tuấn đã tận tình
hướng dẫn và tạo điều kiện tốt nhất để tôi hoàn thành khóa luận.

3


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Không gian vector định chuẩn
1.1.1. Khái niệm không gian vector
Định nghĩa 1.1. Một tập X (mà các phần tử có thể là những đối tượng bất kỳ)
được gọi là một không gian vector (hay một không gian tuyến tính) nếu:
a) Ứng với mỗi cặp phần tử x, y của X ta có, theo một quy tắc nào đó,
một phần tử của X , gọi là tổng của x với y và được ký hiệu x  y ; ứng với

mỗi phần tử x của X và mỗi số thực  ta có, theo một quy tắc nào đó, một
phần tử của X gọi là tích của x với  , ký hiệu  x .
b) Các quy tắc nói trên thỏa mãn tám điều kiện (tiên đề) sau đây:
1) x  y  y  x ,  x, y  X , (tính giao hoán của phép cộng);
2) ( x  y )  z  x  ( y  z ) ,  x, y , z  X (tính kết hợp của phép cộng);
3) Tồn tại một phần tử 0 sao cho x  0  x ,  x  X (phần tử này gọi là
phần tử không);
4) Ứng với mỗi phần tử x thuộc X ta có một phần tử  x thuộc X sao
cho x  ( x)  0 (phần tử  x được gọi là phần tử đối của x );

4


5) 1. x  x , x  X ;
6)  (  x ) = (   ) x , x  X , (  ,  là những số bất kỳ);
7) (  +  ) x =  x +  x , x  X ;
8)  ( x  y ) =  x +  y , x, y  X .
Các phần tử của một không gian vector thường gọi là vector.
1.1.2. Vector độc lập tuyến tính, vector phụ thuộc tuyến tính
Một tổ hợp tuyến tính của các vector x1 , x2 ,..., xk thuộc X là một tổng có
dạng 1 x1   2 x2  ...   k xk . Các vector x1 , x2 ,..., xk gọi là độc lập tuyến tính nếu
bất cứ tổ hợp tuyến tính nào của các vector ấy mà đã bằng không thì phải có mọi
hệ số bằng không, nghĩa là 1 x1   2 x2  ...   k xk  0 nhất thiết phải kéo theo

1   2       k  0 .
Các vector x1 , x2 ,..., xk gọi là phụ thuộc tuyến tính, nếu chúng không độc
lập tuyến tính tức là tồn tại những số 1 , 2 ,..., k trong đó có ít nhất một số khác
0 , sao cho 1 x1   2 x2       k xk . Chẳng hạn, hai vector x và  x là phụ thuộc

tuyến tính vì 1. x  1. ( x)  0 . Nếu trong các vector x1 , x2 ,..., xk có một cái bằng

0 thì rõ ràng chúng là phụ thuộc tuyến tính.

1.1.3. Khái niệm không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.2. Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định
chuẩn) là không gian tuyến tính X trên
thực

cùng với một ánh xạ từ X vào tập số

, ký hiệu là  và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau đây:
1) x  0 ; x = 0  x  0 , x  X ;
2)  x   x , x  X ,   , (tính thuần nhất);

5


3) x  y  x  y , x, y  X (bất đẳng thức tam giác).
Số x gọi là chuẩn của vector x . Ta cũng ký hiệu không gian định chuẩn là X .
Các tiên đề 1) 2) 3) gọi là hệ tiên đề chuẩn.
1.1.4. Sự hội tụ trong không gian định chuẩn
Trong không gian định chuẩn ta có:
1) Dãy điểm  xn  của không gian định chuẩn X gọi là hội tụ tới điểm
x  X , nếu lim xn  x hay xn  x  n    .
n

2) Nếu xn  x0 thì xn  x0 nói khác đi chuẩn x là một hàm liên tục
của x .
3) Mọi dãy hội tụ đều bị chặn, tức là nếu xn hội tụ thì tồn tại K 
mọi n 



, với

xn  K .

4) Nếu xn  x0 , yn  y0 thì xn  yn  x0  y0 . Nếu xn  x0 ,  n   0 thì

 n xn   0 x0 . Nói khác đi, các phép toán x  y và  x là liên tục.
5) Dãy điểm  xn  trong không gian định chuẩn X gọi là dãy cơ bản
nếu lim xn  xm  0 .
m , n

6) Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach nếu mọi dãy cơ
bản trong X đều hội tụ.
Ví dụ 1.1. Đối với số thực bất kỳ x  , ta đặt
x  x .

(1.1)

Nhờ các tính chất về giá trị tuyệt đối của số thực, công thức (1.1) cho một
chuẩn trên

.

6


Không gian định chuẩn tương ứng ký hiệu là

1

1

. Dễ thấy

là không

gian Banach.
k

Ví dụ 1.2. Cho không gian vector k chiều
k

, trong đó

 {x  ( x1 , x2 ,..., xk ) : x j  ) .
k

Đối với vector bất kỳ x  ( x1 , x2 ,..., xk ) 
k

x

x 

2

ta đặt

.

(1.2)

j 1

Ta dễ thấy (1.2) xác định một chuẩn trên không gian



k

, 

k

. Hơn nữa,

 là không gian Banach.


Ví dụ 1.3. Cho không gian vector l2   x   xn  





:  xn    . Đối với
n 1


vector bất kỳ x  ( xn )  l2 ta đặt


x 

x

n

2

.

(1.3)

n 1

Ta dễ thấy (1.3) xác định một chuẩn trên không gian l2 . Hơn nữa,  l2 , 



là không gian Banach.
Ví dụ 1.4. Cho không gian vector
Đối với hàm số bất kỳ x  x  t  

 a ,b 

 a ,b 

là tập các hàm số liên tục trên  a, b  .

ta đặt

x  max x  t  .
a t b

7

(1.4)


Ta dễ thấy (1.4) xác định một chuẩn trên không gian



 a , b ,



 a , b .

Hơn nữa,

 là không gian Banach.

Nhận xét 1.1. Các chuẩn thỏa mãn (1.1), (1.2), (1.3), (1.4) là các chuẩn Euclide.

1.2. Toán tử tuyến tính
1.2.1. Định nghĩa

Định nghĩa 1.3. Cho hai không gian vector bất kỳ X và Y . Một ánh xạ A,
A : X  Y được gọi là một ánh xạ tuyến tính (hay toán tử tuyến tính) nếu:
1) A( x1  x2 )  Ax1  Ax2 với mọi x1 , x2  X ;
2) A( x)   Ax với mọi x  X và mọi số  .
1.2.2. Điều kiện liên tục
Định nghĩa 1.4. Ánh xạ A được gọi là liên tục tại điểm x0  X , nếu ta có
  0    ( x,  ) : x  X , x  x0   , Ax  Ax0   .

Ánh xạ A được gọi là liên tục (liên tục trên X ) nếu nó liên tục tại mọi
điểm thuộc X .
Nhận xét 1.2. Giả sử X , Y là hai không gian định chuẩn, một toán tử A từ X
vào Y được gọi là liên tục nếu xn  x0 luôn kéo theo Axn  Ax0 .
Định lý 1.1. Một toán tử tuyến tính A từ không gian định chuẩn X vào không
gian định chuẩn Y là liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn.
Định nghĩa 1.5. Giả sử X , Y là hai không gian định chuẩn. Ta gọi một toán tử
tuyến tính A : X  Y là bị chặn nếu có một hằng số K  0 thỏa mãn

8


A  x   K x , x  X .

Định nghĩa 1.6. Ta gọi chuẩn của toán tử tuyến tính A , ký hiệu A , là số





A : inf K  0 : A  x   K x , x  X .

(1.5)

Định lý 1.2. Ta có
A  sup
x 0

Ax
 sup Ax .
x
x 1

Hệ quả 1.1. Toán tử tuyến tính A bị chặn (liên tục) nếu tập các giá trị của nó
trên mặt cầu (tùy ý) bị chặn. (Mặt cầu tâm x0 , bán kính  , ký hiệu S ( x0 , ) , là
tập các x sao cho x  x0   .)
1.2.3. Toán tử nghịch đảo
Định nghĩa 1.7. Giả sử A là toán tử tuyến tính đi từ không gian vector X vào
không gian vector Y . Ta nói A khả nghịch nếu có một toán tử B đi từ Y vào
X sao cho

AB  I x , BA  I y .

Ta gọi B là toán tử nghịch đảo của A , ký hiệu A1 .
Nhận xét 1.3. Giả sử A là toán tử tuyến tính đi từ không gian định chuẩn X vào
không gian không gian định chuẩn Y . Xét phương trình
Ax  y .

(1.6)

Toán tử A có nghịch đảo khi và chỉ khi Ker A  {0} , tức là phương trình Ax  0
chỉ có một nghiệm duy nhất x  0 .

Định lý 1.3. Nếu một toán tử tuyến tính liên tục A : X  Y có nghịch đảo A1
liên tục thì
Ax  m x , x  X ,

9

(1.7)


với mọi số m 

1
. Ngược lại, nếu có m  0 nghiệm đúng thì A1 tồn tại, liên
1
A

tục và có A1 

1
.
m

1.3. Phiếm hàm tuyến tính
1.3.1. Định nghĩa
Định nghĩa 1.8. Cho một không gian định chuẩn X . Một hàm số f xác định
trên X và lấy trị là số thực gọi là một phiếm hàm trên X . Phiếm hàm đó gọi là
tuyến tính nếu:
1) f ( x1  x2 )  f ( x1 )  f ( x2 ) với mọi x1 , x2  X ;
2) f ( x)   f ( x) với mọi x  X và mọi số   .
Định nghĩa 1.9. Không gian gồm tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X

được gọi là không gian liên hợp (hay không gian đối ngẫu) của X , ký hiệu X * .
Nhận xét 1.4. Không gian X  cùng với  được xác định trong (1.5) lập thành
một không gian định chuẩn.
1.3.2. Phiếm hàm song tuyến tính
Định nghĩa 1.10. Cho một không gian định chuẩn X . Một hàm số f xác định
trên X  X được gọi là một phiếm hàm song tuyến tính, nếu với mỗi x cố định
nó tuyến tính theo y và với mỗi y cố định nó tuyến tính theo x .

10


1.4. Không gian hillbert
1.4.1. Tích vô hướng
Định nghĩa 1.11. Cho X là không gian tuyến tính trên

. Ta gọi là tích vô

hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes X  X vào

, ký hiệu

 ,  thỏa mãn tiên đề:

1) x, y  y, x , x, y  X ;
2) x  y, z  x, z  y, z , x, y, z  X ;
3)  x, y   x, y , x, y  X ,  

;

4) x, x  0 , x  X nếu x  0 ; x, x  0 nếu x  0 .

Các phần tử của x, y, z ,... gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số x, y
gọi là tích vô hướng của hai nhân tử x và y , các tiên đề 1), 2), 3), 4) gọi là hệ
tiên đề tích vô hướng.
Nhận xét 1.5. Một số tính chất đơn giản của tích vô hướng:
1) 0, x  0, x  X vì 0, x  0.x, x  0. x, x  0 ;
2) x, y   x, y , x, y  X ,   ;
3) x, y  z  x, z  y, z , x, y, z  X .
1.4.2. Bất đẳng thức Schwarz
Định lý 1.4. Đối với mỗi x  X ta đặt
x 

11

x, x ,

(1.8)


khi đó, với mọi x, y  X ta có bất đẳng thức Schwarz
x, y  x y .

(1.9)

Hệ quả 1.2. Tích vô hướng ,  là một hàm liên tục theo hai biến đối với chuẩn
được xác định bởi (1.8).
Định nghĩa 1.12. Không gian tuyến tính trên trường số thực

cùng với một

tích vô hướng gọi là không gian tiền Hilbert.

1.4.3. Định nghĩa không gian Hilbert và ví dụ
Định nghĩa 1.13. Không gian tiền Hillbert  H , , 
H cùng với chuẩn x 

 là không gian Hillbert nếu

x, x , x  H là không gian Banach.

Ta gọi một không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là
không gian Hilbert con của không gian H .
Ví dụ 1.5. Ký hiệu
thuộc

k

k

là không gian vector thực k chiều. Với mọi x  ( xn )

, mọi y   yn  thuộc

k

ta đặt
k

x, y   xn yn .

(1.10)

n 1

Dễ dàng thấy hệ thức (1.10) thỏa mãn hệ tiên đề tích vô hướng. Chuẩn
sinh bởi tích vô hướng (1.10)
k

x 

x, x 

2
n

x

, x  ( xn ) 

k

n 1

trùng với chuẩn (1.2) đã biết trên không gian

k

nên không gian vector thực

cùng với tích vô hướng (1.10) là một không gian Hilbert.

12

k


1.4.4. Tính trực giao, hình chiếu
Trong không gian Hillbert, nhờ tích vô hướng, có thể định nghĩa khái
3

niệm trực giao giống như trong không gian

thông thường.

Định nghĩa 1.14. Ta nói hai vector x, y của một không gian Hillbert H trực
giao với nhau, ký hiệu x  y nếu x, y  0 .
Từ định nghĩa ấy có thể suy ra ngay các tính chất đơn giản sau:
1) Nếu x  y thì y  x . Ta có x  x khi và chỉ khi x  0 . Vector 0 trực
giao với mọi vector x ;
2) Nếu x  y1 , y2 ,..., yn thì x  1 y1   2 y2  ...   n yn ;
3) Nếu x  yn , yn  y (n  ) thì x  y ;
4) Nếu tập M trù mật trong H thì M  gồm một phần tử duy nhất là 0 ,
nghĩa là x  M kéo theo x  0 ;
2

2

5) Nếu x  y thì x  y  x  y

2

(định lý Pythagore).

Định lý 1.5. Giả sử M là một không gian con đóng của một không gian Hillbert
H . Khi đó, bất kỳ phần tử x nào của H cũng có thể biểu diễn một cách duy

nhất dưới dạng
x  y  z với y  M , z  M  ,

trong đó, phần tử y là phần tử của M gần x nhất (hay còn gọi là hình chiếu
của x trên M ), tức là x  y  x  u với mọi u  M .
Định nghĩa 1.15. Một hệ  en  các phần tử của không gian Hillbert H gọi là hệ
trực chuẩn nếu (ei , e j )   ij trong đó  ij là kí hiệu Kronecker, (tức  ij  1 với

13


i  j và  ij  0 với i  j ), ( i  1,2,... ), ( j  1, 2,...) . Như vậy, một hệ trực chuẩn

là một hệ trực giao (các phần tử của nó trực giao từng đôi một) và chuẩn hóa
ei  1 với mọi i ( i  1,2,... ).

Khi  en  là một hệ trực chuẩn thì với mọi x  H số i  x, ei , được gọi
là hệ số Fourier (hay khai triển Fourier) của x theo hệ  en  . Ta có thể chứng
minh dễ dàng các tính chất sau đây:
1)





2

 2  x (bất đẳng thức Bessel);
i 1 i

2) Chuỗi







 e hội tụ và x   i 1i ei  en với mọi n .

i 1 i i

Định nghĩa 1.16. Một hệ trực chuẩn  en  gọi là đầy đủ khi chỉ duy nhất vector 0
mới trực giao với tất cả các phần tử của hệ, nghĩa là
x  en (n  1, 2,...)  x  0 .

Định lý 1.6. Cho  en  là một hệ trực chuẩn,  n  x, en là các hệ số Fourier của
x đối với en . Các mệnh đề sau đây tương đương:

1)  en  là hệ trực chuẩn đầy đủ;


2) x   i 1i ei , x  H ;
2



3) x   i 1i2 , x  H (điều kiện đóng);
n

4) x, y   i 1ii , x, y  H (i là hệ số Fourier của y đối với ei );
5) Hệ  en  tuyến tính trù mật trong H , nghĩa là họ các tổ hợp tuyến tính
của các en (bao tuyến tính của hệ  en  ) trù mật trong H .

14


Định lý 1.7 (Riesz – Fischer). Cho một hệ trực chuẩn đầy đủ  en  trong không
gian Hillbert H . Nếu một dãy i  thỏa mãn




2
i

 ,

(1.11)

i 1

thì có một vector duy nhất x  H nhận các i (i  1, 2,...) làm hệ số Fourier và


2



x   i ei , x   i2 .
i 1

(1.12)

i 1

1.4.5. Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính trên không gian Hillbert
Định lý 1.8 (F. Riesz). Với mỗi vector a cố định thuộc một không gian Hillbert
H , hệ thức

(1.13)

f ( x )  a, x

xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên không gian H với
f  a .

(1.14)

Ngược lại, bất kỳ phiếm hàm tuyến tính liên tục f nào trên một không
gian Hillbert H cũng đều có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng (1.13).

1.5. Tập lồi
1.5.1. Định nghĩa và tính chất
Giả sử X là không gian tuyến tính,

là tập các số thực

Định nghĩa 1.17. Tập A  X được gọi là tập lồi, nếu
x1 , x2  A,   ,0    1   x1  (1   ) x2  A .

15


Nhận xét 1.6. Theo định nghĩa, tập  được xem là tập lồi.
Định nghĩa 1.18. Giả sử A  X ; x1 , x2  A . Đoạn nối x1 , x2 được định nghĩa
[ x1 , x2 ]  {x  A : x   x1  (1   ) x2 ,0    1}.

Nhận xét 1.7. Tập A là tập lồi nếu mọi x1 , x2  A thì [ x1 , x2 ]  A .
Ví dụ 1.6. Các nửa không gian là tập lồi; các tam giác và các hình tròn trong mặt
phẳng là các tập lồi; hình cầu đơn vị trong không gian Banach là các tập lồi, …
Mệnh đề 1.1. Giả sử A  X (  I ) là các tập lồi, với I là tập chỉ số bất kỳ.
Khi đó, tập A   A cũng là tập lồi.
 I

Từ định nghĩa 1.17 ta nhận được các mệnh đề 1.2, 1.3, 1.4
Mệnh đề 1.2. Giả sử tập Ai  X là tập lồi, i 

( i  1,2,.., m ). Khi đó, tập

1 A1  ...  m Am là tập lồi.
Mệnh đề 1.3. Giả sử X i là không gian tuyến tính, tập Ai là tập lồi, Ai  X i
( i  1,2,.., m ). Khi đó, tích Descartes A1  ...  Am là tập lồi trong X 1  ...  X m .
Mệnh đề 1.4. Giả sử X , Y là các không gian tuyến tính, T : X  Y là toán tử
tuyến tính. Khi đó
1) Nếu A là tập lồi trong X thì T ( A) là tập lồi trong Y ;

2) Nếu B là tập lồi trong Y thì nghịch ảnh T 1 ( B ) của B là tập lồi.
Định nghĩa 1.19. Vector x  X gọi là tổ hợp lồi của các vector x1 , x2 ,..., xm  X
m

nếu tồn tại i  0 (i  1,..., m),

m



i

i 1

 1, sao cho x   i xi .
i 1

16


Định lý 1.9. Giả sử A là tập lồi, A  X , x1 , x2 ,..., xm  A . Khi đó, tập A chứa
tất cả các tổ hợp lồi của các x1 , x2 ,..., xm .
1.5.2. Bao lồi và bao lồi đóng
Định nghĩa 1.20. Giả sử A là tập lồi, A  X . Khi đó, giao của tất cả các tập lồi
chứa A được gọi là bao lồi của tập A , ký hiệu là co A .
Định lý 1.10. Tập co A trùng với tập tất cả các tổ hợp lồi của A .
Hệ quả 1.3. Tập A là lồi khi và chỉ khi A chứa tất cả các tổ hợp lồi của A .
Định nghĩa 1.21. Giả sử A là tập lồi, A  X . Khi đó, giao của tất cả các tập lồi
đóng chứa A được gọi là bao lồi đóng của tập A , ký hiệu là co A .
Mệnh đề 1.5. Giả sử A là tập lồi, A  X . Khi đó:

1) Phần trong int A và bao đóng A của A là các tập lồi;
2) Nếu x1  int A , x2  A thì [ x1 , x2 )  {  x1  (1   ) x2 : 0    1}  int A .
Nhận xét 1.8. Nếu int A   thì A  int A , int A  int A .
Định lý 1.11. Bao lồi đóng của tập A trùng với bao đóng của bao lồi của A , hay
co A  coA .

1.5.3. Các định lý tách
Định nghĩa 1.22. Không gian vector tôpô có một cơ sở gồm những lân cận lồi của
điểm gốc được gọi là không gian vector lồi địa phương (không gian lồi địa phương).
Định nghĩa 1.23. Cho các tập A và B nằm trong không gian lồi địa phương X . Ta
nói phiếm hàm tuyến tính liên tục x*  0 tách A và B nếu tồn tại số  sao cho
x , y    x , x , x  A, y  B .

Nếu (1.15) có dạng

17

(1.15)


x , y    x , x , x  A, y  B ,

thì ta nói x tách ngặt (tách chặt) A và B .
Định lý 1.12 (định lý tách thứ nhất). Giả sử A, B là hai tập lồi trong không
gian lồi địa phương X , A  B   , int A   . Khi đó, tồn tại phiếm hàm tuyến
tính x  X  , x  0 , tách hai tập A và B .
Hệ quả 1.4. Giả sử A, B là các tập lồi trong không gian lồi địa phương X ,
int A   . Khi đó, hai tập A và B tách được khi và chỉ khi  int A   B   .

Định lý 1.13 (định lý tách thứ hai). Giả sử A là không gian con lồi đóng trong

không gian lồi địa phương X và x0  A . Khi đó, tồn tại x  0 thuộc X  tách
ngặt tập A và x0 .
1


Ví dụ 1.7. Hai tập A   x, y   : y  , x  0  , B   x, y  
x



tách nhưng không tách chặt.

Hình 1.

18

2

: y  0 là


1.6. Hệ phương trình tuyến tính
Định nghĩa 1.24. Cho trường số thực
(i  1, m, j  1, n) thuộc trường

. Một bảng gồm m  n phần tử aij

có dạng
 a11 a12
a

 21 a22
 ... ...

 am1 am 2

... a1n 
... a2 n 
,
... ... 

... amn 

(1.16)

được gọi là một ma trận cấp m  n . Mỗi phần tử aij (i  1, m, j  1, n) được gọi là
một thành phần thứ i, j (dòng i , cột j ) của ma trận. Vector dòng

 ai1

ai 2 ... ain 

được gọi là dòng thứ i của ma trận. Vector cột
 a1 j 
a 
 2j 
 ... 
 
 amj 

được gọi là cột thứ j của ma trận.

Ta thường ký hiệu ma trận bởi các chữ A, B,... Ma trận (1.16) có thể được
ký hiệu đơn giản bởi A   aij 

mn

. Ta cũng nói ma trận A là ma trận có m dòng,

n cột. Khi m  n thì ma trận A   aij 

nn

và được ký hiệu đơn giản là A   aij  .
n

19

được gọi là một ma trận vuông cấp n


Ta gọi ma trận
1
0
In  
0

0

0 ... 0 
1 ... 0 
0 ... 0 


0 ... 1 

là ma trận đơn vị cấp n.
Tập hợp tất cả các ma trận cấp m  n với các phần tử thuộc trường số thực
được ký hiệu là Mat  m  n,

.

Định nghĩa 1.25. Ma trận

B   a ji 

mn

 a11
a
  12
 ...

 a1n

a21 ... am1 
a22 ... am 2 
,
... ... ... 

a2 n ... amn 

(1.17)

được gọi là ma trận chuyển vị của (1.16), ký hiệu B  At . Rõ ràng, At nhận được
bằng cách đổi các dòng của ma trận A thành cột.
Định nghĩa 1.26. Cho ma trận A   aij  . Khi đó, nếu At  A thì ta nói A là ma
n

trận đối xứng; nếu At   A thì ta nói A là ma trận phản đối xứng (hay ma trận
phản xứng).
Ví dụ 1.8.
 1 2 3
Ma trận A   2 4 5  là ma trận đối xứng;
 3 5 0


 0 1 2 
Ma trận B   1 0 3  là ma trận phản xứng.
 2 3 0 



20


Nhận xét 1.9. Nếu B là ma trận phản xứng thì các phần tử trên đường chéo
chính của B đều bằng 0 .
Định nghĩa 1.27. Một hệ phương trình của n ẩn x1 , x2 ,..., xn có dạng
 a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1
 a x  a x  ...  a x  b
 21 1 22 2
2n n

2
,

...............................................

am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm

(1.18)

trong đó các aij , bi (i  1, m, j  1, n) là các phần tử cho trước thuộc trường số thực
được gọi là một hệ phương trình tuyến tính trên trường số thực

. Các

aij (i  1, m, j  1, n) được gọi là các hệ số của ẩn, các bi (i  1, m) được gọi là các

hệ số tự do.
Ma trận
 a11 a12
a
a22
A   aij    21
mn
 ... ...

 am1 am 2

... a1n 
... a2 n 
... ... 


... amn 

được gọi là ma trận các hệ số của phương trình (1.18).
Định nghĩa 1.28. Giả sử X và X  là những không gian vector Euclide. Ta gọi
ánh xạ f : X  X  là một ánh xạ tuyến tính trực giao nếu nó là một ánh xạ tuyến
tính và bảo toàn tích vô hướng, nghĩa là ta có
f  x  , f  y   x, y

21

x, y  X .