Số phức và các phép biến đổi đồng dạng

Khoá luận tốt nghiệp

Lời cảm ơn

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy giáo, cô giáo trong khoa
Toán đã tạo cơ hội cho em làm khoá luận này.
Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Đinh Văn Thuỷ,
người trực tiếp hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc giúp đỡ em hoàn thành khoá
luận này.
Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng do thời gian làm khóa luận hạn chế
nên không tránh khỏi thiếu sót, em rất mong được sự giúp đỡ của quí thày cô
và các bạn đọc để khoá luận được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2010
Tác giả

Phùng Thị Ngọc

1

K32E Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Lời cam đoan
Em xin cam đoan kết quả nghiên cứu trong đề tài này đích thực là của
em. Đề tài nghiên cứu của em không trùng với kết quả nghiên cứu của các tác
giả khác.
Nếu có gì không trung thực, em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2010
Tác giả

Phùng Thị Ngọc

2

K32E Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Mục lục
Trang
Lời nói đầu …………………………………………………………………..1
A. Mở đầu…………………………………………………………………….3
1. Lý do chọn đề tài……………………………………………………3
2. Nhiệm vụ nghiên cứu……………………………………………......3
3. Phương pháp nghiên cứu………………………………………...…..3
B. Nội dung…………………………………………………………………...4
Chương 1. Cơ sở lý thuyết………………………………………...4
1. Sơ lược về số phức………………………………………………………4
1.1. Định nghĩa số phức………………………………………………..4
1.2. Dạng đại số của số phức…………………………………………...6
1.3. Dạng lượng giác của số phức……………………………………6
1.4. Đường thẳng trong mặt phẳng phức…………………………….....9
1.5. ánh xạ afin, biến đổi afin…………………………………..…….11
2. Phép biến đổi đồng dạng trong mặt phẳng phức………………………13
2.1. Phép vị tự………………………………………………………13

2.2. Phép đồng dạng…………………………………………………..16
Chương 2. ứng dụng phép đồng dạng vào giải toán bằng công cụ số
phức………………………………………..………………………………..26
1. Những bài toán áp dụng……………………………………….…..…….26
2. Bài tập luyện tập…………………………………………………...…….41
3. Hướng dẫn giải bài tập luyện tập………………………………...……..42
Tài liệu tham khảo………………………………………………………….48
Kết luận……………………………………………………………...……...49

Phùng Thị Ngọc

3

K32E Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Lời nói đầu
Số phức, từ khi ra đời, đã thúc đẩy toán học tiến lên và giải quyết được
một số vấn đề về khoa học và kỹ thuật. Chẳng hạn, ứng dụng số phức thể hiện
trong đại số là mọi phương trình bậc hai đều có nghiệm, trong hình học, số
phức cũng có những ứng dụng quan trọng. Nó tỏ ra hữu ích đối với lớp các
bài toán về phép biến hình trong mặt phẳng.
Trong khuôn khổ khoá luận này em xin giới thiệu việc áp dụng số phức
nghiên cứu về biến đổi đồng dạng và áp dụng nó để giải quyết một số bài toán
hình học.
Nội dung của luận văn này bao gồm hai chương:
Chương 1. Cơ sở lý thuyết
Chương này gồm hai phần nhằm trang bị những kiến thức cơ bản về số

phức và phép đồng dạng trong mặt phẳng phức để áp dụng giải toán.
1. Sơ lược về số phức
Phần này trình bày về lý thuyết cơ bản về số phức và mối liên hệ giữa
lý thuyết số phức và hình học.
2. Phép biến đổi đồng dạng trong mặt phẳng phức
Phần này giới thiệu về phép vị tự, phép biến đổi đồng dạng gồm định
nghĩa, tính chất và các kiến thức liên quan, phần này là kiến thức trọng tâm để
áp dụng cho các bài toán trong chương tiếp theo.
Chương 2. ứng dụng phép đồng dạng vào giải toán bằng công cụ số phức
Chương này đưa ra các bài toán áp dụng số phức trong phép biến đổi
đồng dạng gồm các nhận xét nêu ra được sự hữu ích khi sử dụng số phức, sau
đó là bài tập luyện tập có hướng dẫn lời giải .

Phùng Thị Ngọc

4

K32E Toán


Khoá luận tốt nghiệp
Luận văn này được hoàn thành nhờ sự động viên, hướng dẫn, chỉ bảo
tận tình của thầy giáo Đinh Văn Thuỷ và những đóng góp quý báu của các
thầy cô giáo trong tổ Hình học.
Qua đây, em gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong tổ
Hình học,đặc biệt là thầy Đinh Văn Thuỷ đã giúp em hoàn thành tốt luận văn
tốt nghiệp này.

Phùng Thị Ngọc

5

K32E Toán


Khoá luận tốt nghiệp

A. Mở ĐầU
1. Lý do chọn đề tài
Trong việc giải toán, sử dụng nhiều phương pháp khác nhau giúp cho
việc hiểu bài toán một cách thấu đáo cặn kẽ. Sử dụng số phức để giải toán
hình học phẳng là một phương pháp mới và tỏ ra hữu ích .
Sử dụng số phức nghiên cứu về phép biến hình trong mặt phẳng là một
phương pháp cần thiết, giúp học sinh diễn đạt bài toán theo nhiều hướng khác
nhau, thoát li được những ảnh hưởng không có lợi do trực giác.Trong khuôn
khổ bài khoá luận này em tiếp cận sâu về lý thuyết và các bài toán về phép
đồng dạng trong mặt phẳng dùng công cụ số phức. Đó là lý do mà em chọn đề
tài:
“Số pHức và các phép biến đổi đồng dạng”.
2. Nhiệm vụ nghiên cứu
1. Hệ thống các kiến thức cơ bản về số phức.
2. Nghiên cứu các kiến thức về biến đổi đồng dạng bằng công cụ số
phức.
3. Đưa ra bài toán áp dụng.
3. Phương pháp nghiên cứu
1. Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo và các tài liệu khác có
liên quan.
2. Suy luận để áp dụng cộng cụ số phức trong biến đổi đồng dạng.
3. Đưa ra các bài tâp và giải.

Phùng Thị Ngọc

6

K32E Toán


Khoá luận tốt nghiệp

b. nội dung
Chương 1. cơ sở lý thuyết
1. sơ lược về số phức
1.1. Định nghĩa số phức
a) Định nghĩa
Tập hợp các số phức, kí hiệu là  là tập hợp  2 các cặp (có thứ tự) số
thực với các phép toán cộng và nhân xác định bởi:

 x, y    ,     x   , y    ,
 x, y . ,     x.  y. , x.  y.  .
Vậy số phức z thuộc  là cặp số thực  x, y  ; viết z   x, y  .
x là phần thực của z , kí hiệu Re z ;
y là phần ảo của z , kí hiệu Im z ;

Số phức mà phần ảo bằng 0 là số thực, số phức mà phần ảo bằng 0 là số
thuần ảo.
0=(0,0): Phần tử không.
1=(1,0): Đơn vị.
i =(0,1): Đơn vị ảo.

Phép cộng và phép nhân các số phức dạng  x,0  ; x   cũng giống như

phép cộng và phép nhân các số thực x :

 x,0    x' ,0    x  x ' ,0 
 x,0 . x' ,0    x.x' ,0 .
Từ đó có thể đồng nhất tập hợp  các số thực x với tập hợp con của 
gồm các phần tử  x,0  ; viết x   x,0  .

Phùng Thị Ngọc

7

K32E Toán


Khoá luận tốt nghiệp
b) Tính chất của phép cộng, nhân số phức
- Với mọi z1 , z2 , z3  :
. z1  z2  z2  z1 ( giao hoán )
.  z1  z2   z3  z1   z2  z3  ( kết hợp )
.  z1  0    0  z1   z1
. Cho z1 thuộc  , có duy nhất  z1 thuộc  sao cho
z1    z1   0 suy ra z2  z1  z2    z1  .

-Với mọi z1 , z2 , z3 , z4  :
. z1.z2  z2 .z1 (giao hoán )
.  z1.z2  .z3  z1  z2 . z3  (kết hợp )
. 1.z1  z1.1  z1 (tức 1 là phần tử đơn vị của phép nhân ).
- Tính chất phân phối của phép cộng và phép nhân
Với mọi z1 , z2 , z3  thì
.  z1  z2 .z3  z1.z3  z2 .z3 ,

. z1. z2  z3   z1.z2  z1.z3
z.z...z
- Với z  ; n  * : z n  
n

c) Số phức liên hợp
Cho số phức z  x  iy,  x, y    thì z  x  iy gọi là số phức liên hợp của
z.

Ta có :

z  z  2Re z
z  z  2i Im z

Vậy z là số thực khi và chỉ khi z  z và là số thuần ảo
Khi và chỉ khi z   z .
* Với mọi z, w  :

Phùng Thị Ngọc

8

K32E Toán


Khoá luận tốt nghiệp
zz
zw zw
z.w  z.w

1.2. Dạng đại số của số phức
Kí hiệu số phức  0,1  là i , gọi là đơn vị ảo, với y  ta có:
yi   y,0  0,1   0, y .
iy   0,1 y,0    0, y .
z   x, y    x,0    0, y   x  iy  x  yi.

Vậy mỗi số phức z có thể viết dưới dạng z   x, y  ( x, y   ), gọi là
dạng đại số của số phức z .

1.3. Dạng lượng giác của số phức
a) Biểu diễn hình học số phức
Lấy hệ tọa độ đề các vuông góc Oxy trong mặt phẳng, kí hiệu E thì mỗi
điểm M của E xác định bởi tọa độ  x, y  trong hệ tọa độ đó. Ngược lại, với
mỗi cặp số thực ( x, y) đều tương ứng với một điểm M của E.
Ta đồng nhất M ( x, y) với số phức z  x  iy và gọi z là tọa vị của điểm
M đối với hệ tọa độ đó. Viết M ( z) và gọi E (với hệ toa độ Oxy ) là mặt

phẳng phức, đồng nhất M với tọa vị của nó, tức đồng nhất E với  .
 Điểm thuộc Ox có tọa vị thực, Ox gọi là trục thực.
 Điểm thuộc Oy có tọa vị thuàn ảo, Oy gọi là trục ảo
 Điểm E(1) thuộc Ox , gọi là điểm đơn vị.


 Mỗi điểm M E xác định vectơ OM gọi là bán
kính vectơ của M .


Nói M có tọa vị z thì cũng nói OM có tọa vị z


viết OM ( z ) .

Phùng Thị Ngọc

9

K32E Toán


Khoá luận tốt nghiệp




 

Với OM ( z ), OP(w) thì OM  OP  z  w  ;

kOM  kz  , k   .

y

Ta có: kz   k  0i . x  iy   kx  kyi .

M'
P

Hai phép toán trên có ý nghĩa hình học như sau:
Trong mặt phẳng phức E:


- Cho u ( w) thì ánh xạ f : E  E
M ( z)  f (M )( z  w)

là phép tịnh tiến Tu theo vectơ u ( w) .

M(z)
O

E(1)

x

- Cho k   , k  0 thì ánh xạ g : E  E
M ( z)  g (M )(kz)

là phép vị tự tâm O , hệ số vị tự k kí hiệu V  O, k 
- Cho k  1 , g : M ( z)  M ' (z) , là phép đối xứng tâm O , kí hiệu: ĐO
b) Dạng lượng giác của số phức
Cho số phức z  0 , gọi điểm M có tọa vị z trong mặt phẳng phức.
Điểm M hoàn toàn xác định bởi
+ Độ dài đoạn thẳng OM tức z .
+  Ox, OM  : góc định hướng tạo bởi tia Ox (tia đầu), tia Oy (tia
cuối).

y

Số đo  (đo bằng rađian) của góc  Ox, OM 
xác định sai khác một k 2 , k Z;

M

 :argumen của z , kí hiệu arg z .

Vậy số phức z  0 hoàn toàn xác định bởi
z và arg z(k 2 , k Z) .

Viết z  x  iy thì
O

Phùng Thị Ngọc

10

x

K32E Toán


Khoá luận tốt nghiệp
 z  x 2  y 2

  arg z
x
cos  
;sin  
x2  y 2

y
x2  y 2

Ta có :
z  z  cos   i sin   , : arg z

Đó là dạng lượng giác của số phức z  0 .
c) Nhân số phức dưới dạng lượng giác
Với z  z  cos  i sin  
w  w  cos  i sin 

Ta có :
zw  z w  cos   i sin   cos  i sin 
zw  z w  cos  cos  sin  sin cos  sin  sin  cos 
zw  z w  cos      i sin     
zw  z w
arg( zw)  arg z  arg w  2k , k  Z

y

M'

Trong E cho số phức w  0 ; P có tọa vị w ;
điểm M tựy ý cú tọa vị z .

P

Xét f (M ) có tọa vị zw . ta được ánh xạ :
M

f :E  E
M  f (M ); f (O)  O.

O

x

E(1)

 Khi w  1 thì với M  O thì
Of ( M )  OM

 Ox, Of (M )   (Ox, OM )  (Ox, OP)

Suy ra f là phép quay tâm O , góc quay  Ox, OP  số đo   arg w .

Phùng Thị Ngọc

11

K32E Toán


Khoá luận tốt nghiệp
 Khi w  0 thì
Of ( M )  w OM



 Ox, Of (M )    Ox, OM    Ox, OP 

Suy ra f là tích của phép vị tự tâm O, tỉ số vị tự w với phép quay tâm O

, góc quay  Ox, OP  ,số đo   arg w .
Kí hiệu E(1) : điểm đơn vị ; O, E , M không thẳnghàng và P khác O ,tam
giác OPf (M ) đồng dạng thuận với tam giác OEM , tỉ số đồng dạng w .
Tương tự tam giác OMf (M ) đồng dạng thuận với tam giác OEP , tỉ số
đồng dạng z .
Ví dụ : Cho hai điểm phân biệt A, B có tọa vị theo thứ tự là  ,  . Tìm tọa
vị điểm C sao cho ABC là một nửa của tam giác đều cạnh AC.
Lời giải :



AC có được do quay AB quanh A , góc quay số đo  , rồi vị tự với tỉ số
3

1
cos



C

2

3

Gọi tọa vị C của là  . Suy ra:



    2  cos  i sin      

3
3




1
3
     2  i
    
2
2







A

B

   1  i 3   i 3 .

1.4. Đường thẳng trong mặt phẳng phức
a) Phương trình đường thẳng

Phùng Thị Ngọc

12

K32E Toán


Khoá luận tốt nghiệp


Đường thẳng qua điểm M 0  z0  , vectơ chỉ phương u (u ) có phương trình
:

 z  z0 , u   0 hay

z  z0 





u
z  z0 .
u

Mọi đường thẳng có thể xác định bởi phương trình
z   z   ,   1,     0

(1)

hay
 z   z    0;    ;  

(2)

Trong đó (1) là phương trình chính tắc của đường thẳng
(2) là phương trình tổng quát của đường thẳng.
b)Tỉ số đơn
Tỉ số đơn của bộ ba điểm phân biệt M 0 , M1 , M 2 trong mặt phẳng phức,
có tọa vị theo thứ tự là zo , z1 , z2 xác định bởi:

 M 0 , M1 , M 2    z0 , z1, z2  

z 2  z0
.
z2  z1

* Chú ý:
  M 0 , M1 , M 2  là một số phức mà w 
  M 0 , M1 , M 2   k    arg

M 2M 0
.
M 2 M1

z2  z0
 k , k  Z
z2  z1

 
 góc M 2 M 1 , M 2 M 0 có số đo k , k Z .





 
 M 2 M1 , M 2 M 0 cùng phương.


 Ba điểm M 0 , M1 , M 2 cùng thuộc một đường thẳng, M 0 M 2  kM1M 2 .
 M 2 thuộc đường thẳng M 0 M 1 và chia M 0 M 1 theo tỉ số k .

Đường thẳng  đi qua M 0 , M1 và một điểm M ( M 0 , M1 ) .
Ta có một song ánh :

Phùng Thị Ngọc

13

K32E Toán


Khoá luận tốt nghiệp
f :  \ M 0 , M1   \ 0,1

M   M 0 , M1 , M 2 

 z0 , z1 , z2   

  z0 , z1 , z2    z0 , z1 , z2 

z  z0  z  z 0 


z  z1  z  z1 
z  z0
z  z0


 z  z0    z  z1   z  z0    z  z1 




z  z0
z  z0

z1  z0 z1  z0

 z  z0 

z1  z0
 z  z0 
z1  z0

Là một phương trình đường thẳng .

1.5. ánh xạ afin, biến đổi afin
a) ánh xạ afin
* Định nghĩa
Trong mặt phẳng phức E, cho ba số phức  ,  ,  .ánh xạ afin là ánh xạ

f : E  E biến điểm M có tọa vị z thành điểm M '  f (M ) có tọa vị z ' xác

định bởi :
z'   z   z  

*Tính chất
Hai ánh xạ afin f1 xác định bởi : z  1 z  1 z   1
f 2 xác định bởi : z   2 z   2 z   2

- Tích hai ánh xạ afin là một ánh xạ afin.
Xét f 2 . f1 xác định bởi



 

 

z   21  2 1 z   2 1   21 z   2 1   2  1   2



- Hai ánh xạ afin f1  f 2  1   2 ; 1   2 ; 1   2 .

Phùng Thị Ngọc

14

K32E Toán

Khoá luận tốt nghiệp
f1  f 2  1 z   1 z   1   2 z   2 z   2 , z  

Cho lần lượt z  0,1, i thì có được 1   2 ; 1   2 ; 1   2 .
Điều ngược lại là hiển nhiên .
b) Biến đổi afin
* Định nghĩa
ánh xạ afin là một song ánh khi và chỉ khi    , được gọi là một
biến đổi afin .
* Tính chất
- ánh xạ ngược của một biến đổi afin là một biến đổi afin
- Biến đổi afin bảo toàn hướng của một tam giác thì bảo tồn hướng của
mọi tam giác, điều này xảy ra khi và chi khi    .
- Biến đổi afin đảo hướng của một tam giác thì đảo hướng của mọi tam
giác, điều này xảy ra khi và chỉ khi    .
Định lý 1.1. (Định lí cơ bản của biến đổi afin của  )
Mọi song ánh f : E  E bảo tồn tính chất thẳng hàng của các điểm là
một biến đổi afin.
Định lý 1.2. Biến đổi afin f : E  E luôn bảo tồn tỉ số đơn của bộ ba điểm
thẳng hàng.
Chứng minh. f xác định bởi z  z '   z   z   ; M 0 , M1 , M 2 có tọa vị
z0 , z1 , z2 ; f ( M 0 ), f ( M1 ), f ( M 2 ) có tọa vị z '0 , z '1 , z '2 thì

 M 0 , M1, M 2   k  

 z2  z0  k ( z1  z0 )
 z '2  z '0  k  z '2  z '1 
  f (M 0 ), f (M 1 ), f ( M 2 )   k   .

Định lý 1.3. Cho ba điểm M 0 , M1 , M 2 có tọa vị theo thứ tự z0 , z1 , z2 thì có một
và chỉ một ánh xạ afin f của mặt phẳng phứcmà f (O)  M 0 ; f ( E )  M1;

Phùng Thị Ngọc

15

K32E Toán


Khoá luận tốt nghiệp
f ( I )  M 2 ;  có tọa vị 1, I có tọa vị i .

2. Biến đổi đồng dạng trong mặt phẳng phức
2.1. Phép vị tự
a) Định nghĩa
Biến đổi của mặt phẳng phức với hệ tọa độ Oxy , xác định bởi công
thức
z '  kz ,  k   \ 0 , là phép vị tự tâm O, hệ số vị tự k .

Phép vị tự tâm J (với tọa vị z 0 ) đối với hệ tọa độ Oxy , hệ số vị tự k ,là
biến đổi xác định bởi:

z '  z0  k  z  z0  ; k  \ 0 .

Kí hiệu là VJ ,k .
* Nhận xét :
+ VJ ,1 là phép đối xứng ĐJ .
+ VJ ,1 là biến đổi đồng nhất.
+Công thức của phép vị tự z '  z0  k ( z  z0 ); k  \ 0 , có thể viết dưới

dạng z '  kz  (1  k ) z0 .
Ngược lại, xét biến đổi của mặt phẳng phức : z '  kz   ; k  \ 0
Khi k  1, đó là phép tịnh tiến .
Khi k  1 , biến đổi có điểm bất động duy nhất J , tọa vị z 0 , z0 


1 k

và công thức trên có thể viết dưới dạng z '  z0  k ( z  z0 ) (là phép vị tự VJ ,k ).
b) Tính chất
Định lý 1.4. Phép vị tự VJ ,k là biến đổi afin bảo tồn hướng .
Thật vậy:
Phép vị tự VJ ,k xác định bởi :

Phùng Thị Ngọc

16

K32E Toán


Khoá luận tốt nghiệp
z  z '  kz  (1  k ) z0 ,(k   | 0)

Vì k  0 nên là biến đổi afin bảo tồn hướng .
Định lý 1.5. Nếu phép vị tự VJ ,k biến hai điểm A, B lần lượt thành hai điểm


A' , B' thì A' B '  k AB .

Chứng minh. Trong mặt phẳng phức  , gọi A, B có tọa vị lần lượt là  ,  và
A' , B' thứ tự là ảnh của A, B qua VJ ,k

Khi đó: A' có tọa vị là k (  z0 )  z0 .
B ' có tọa vị là k    z0   z0 .

 A' B'  k    z0     z0  


 A' B'  k AB

Hệ quả 1.1. Nếu phép vị tự VJ ,k biến A thành A' , biến B thành B ' thì đường
thẳng AB và đường thẳng A' B ' song song hoặc trùng nhau và A' B'  k AB .
Hệ quả 1.2. Phép vị tự biến một tam giác thành tam giác đồng dạng với nó.
Định lý 1.6. Phép vị tự VJ ,k bảo tồn số đo của góc định hướng.
Chứng minh. Xét góc định hướng  Ox, Oy  ; O có tọa vị z0 .
VJ ,k : O  O'
Ox  O ' x '
Oy  O ' y '

Trên tia Ox, Oy lần lượt lấy A, B có tọa vị thứ tự là
Gọi A' , B' lần lượt là ảnh của A, B qua VJ ,k , có tọa vị theo thứ tự là





Cần chứng minh : O ' A' , O ' B '   OA, OB   k 2 ,  k  Z 
Ta có :

Phùng Thị Ngọc

17

K32E Toán


Khoá luận tốt nghiệp





O ' A' , O ' B '  arg

z ' 2  z '0
z '1  z '0

 OA, OB   arg zz  zz
2

0

1

0

z ' 2  z ' 0 z 2  z0

z '1  z '0 z1  z0

Ta có :

z ' 2  z '0
z z
arg '
 arg 2 0
'
z1  z 0
z1  z0





Do đó : O ' A' , O ' B '   OA, OB   k , k  Z .
Suy ra :

 O x , O y   Ox, Oy   k , k  Z .
' '

'

'

c) Tích của hai phép vị tự
* Tích của biến đổi f xác định bởi z '  kz   với biến đổi g xác định bởi
z '  lz   là biến đổi g  f xác định bởi :
z '  klz  l    .

V 

1

J ,k

V
J,

và Tv   T v .
1

1
k

Do đó :
*Tập hợp các phép tịnh tiến và vị tự trong mặt phẳng làm thành một nhóm
các biến đổi của mặt phẳng (nhóm này không giao hoán).
* Tập hợp các phép vị tự cùng tâm làm thành một nhóm giao hoán .
* Xét hai phép vị tự :
VJ1 ,k1 : z '  k1 z  1  k1  z0 ,  k1   | 0

VJ 2 ,k2 : z '  k2 z  1  k2  z0 ,  k2   | 0

Suy ra VJ

2 , k2

 VJ1 ,k1 xác định bởi :

z '  k2  k1 z  1  k1  z0   1  k2  z0
z '  k1k2 z  1  k1  k2 z0  1  k2  z0

Phùng Thị Ngọc

18

K32E Toán


Khoá luận tốt nghiệp
là phép vị tự tâm z 0 tỉ số k1k 2 .
+ Tích của VJ ,k và V 1 là một phép tịnh tiến .
I,

k

+ Tích của VJ ,k ,  k  1 với phép tịnh tiến Tu là phép vị tự hệ số vị tự k .
. Tu  VJ ,k có công thức z  z '  kz  1  k  z0  u là phép vị tự tâm có tọa vị .
. VJ ,k  Tu có công thức z  z '  k  z  u   1  k  z0 là phép vị tự tâm I có tọa
vị z0 

k
u .
1 k

2.2. Biến đổi đồng dạng
Xét biến đổi f của mặt phẳng phức  ; có số k  0 để



f ( A) f ( B)  k AB , mọi điểm A, B 

Gọi g là phép vị tự hệ số vị tự

1
thì g  f bảo tồn độ dài của mọi đoạn
k

thẳng nên h  g  f là một phép dời hình
Khi đó : f  g 1  h tức f là tích của một phép dời hình với một phép
vị tự hệ số vị tự k .
Ngược lại, mọi tích của một phép dời hình với một phép vị tự hệ số k1
(hay tích của một phép vị tự hệ số k1 với một phép dời hình) là một biến đổi
afin của  mà độ dài đoạn thẳng ảnh gấp k  k1 lần độ dài đoạn thẳng cho
trước Các biến đổi như thế của  gọi là biến đổi đồng dạng hệ số k  0 của
mặt phẳng .
Trong mặt phẳng phức  . Xét phép vị tự VJ ,k
z  z '  kz  (1  k ) z0 ,  k   | 0 .

Biến đổi h1 của mặt phẳng phức xác định bởi công thức
z  z'   z   ;   1

Phùng Thị Ngọc

19

K32E Toán


Khoá luận tốt nghiệp

là biến đổi đẳng cự loại một (bảo tồn hướng) .
Biến đổi h2 của mặt phẳng phức xác định bởi công thức
z  z'   z   ;   1

là một phép dời hình loại hai (đảo hướng) .
Khi đó ta có :
Tích VJ ,k  h1 là biến đổi đồng dạng bảo tồn hướng xác định bởi công
z  z '   kz   (1  k ) z0  

thức :

z  z '   z   ;  ,    ,  0 

hay

với    k ;    (1  k ) z0  
Tích VJ ,k  h2 là biến đổi đồng dạng đảo hướng xác định bởi công thức
z  z '   k z   (1  k ) z0  

z  z '   z   ,  ,    ,  0  .

hay

với    k ;    (1  k ) z0   .
Từ đó ta đi đến định nghĩa :
a) Định nghĩa
Biến đổi của mặt phẳng phức xác định bởi công thức
z  z '   z   ,(  0)

(1)

hoặc z  z '   z   ,   0

(2)

gọi là biến đổi đồng dạng .
Các biến đổi đồng dạng có hệ số đồng dạng là  .
* Biến đổi đồng dạng xác định bởi (1) bảo tồn hướng của mặt phẳng
gọi là biến đổi đồng dạng loại một .
* Biến đổi đồng dạng xác định bởi (2) đảo hướng của mặt phẳng gọi là
biến dổi đồng dạng loại hai.
b)Tính chất

Phùng Thị Ngọc

20

K32E Toán


Khoá luận tốt nghiệp
Biến đổi đồng dạng là một biến đổi afin nên nó bảo toàn tính chất thẳng
Do đó, phép biến đổi đồng dạng biến một đường thẳng thành một đường
thẳng, biến một tia thành một tia, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng
có độ dài được nhân lên với hệ số (tỉ số) đồng dạng.
Biến đổi đồng dạng là một biến đổi bảo giác: biến đổi đồng dạng loại
một bảo tồn số đo của góc định hướng, biến đổi đồng dạng loại hai biến góc
có số đo  thành góc có số đo  .
Định lý 1.7. Biến đổi đồng dạng loại một f bảo tồn tỉ số đơn của ba điểm
phân biệt (không nhất thiết thẳng hàng)

Chứng minh. Giả sử P, Q, R là ba điểm phân biệt tuỳ ý của mặt phẳng
Ta chứng minh  P, Q, R    f ( P), f (Q), f ( R)
f : biến đổi đồng dạng loại một xác định bởi:
z '   z   ,  0
P, Q, R có tọa vị theo thứ tự là z0 , z1 , z2 .

 f ( P), f (Q), f ( R) 

z ' 2  z ' 0  ( z 2  z0 ) z 2  z0


  P , Q, R 
z ' 2  z '1  ( z2  z1 ) z2  z1

Định lý 1.8. Biến đổi đồng dạng loại hai g biến tỉ số đơn của ba điểm phân
biệt tuỳ ý thành số phức liên hợp của tỉ số đơn của ba điểm ảnh
Chứng minh. Biến đổi đồng dạng loại hai xác định bởi :
z  z '   z   ,(  0)

Khi đó :

 f ( P), f (Q), f ( R) 

z ' 2  z ' 0  z 2  z 0  z 2  z0 


   P , Q, R 
z '2  z '1  z2  z1  z2  z1 

Định lý 1.9. Song ánh của mặt phẳng lên chính nó bảo tồn tỉ số đơn của ba

điểm phân biệt tuỳ ý là một biến đổi đồng dạng loại một.

Phùng Thị Ngọc

21

K32E Toán


Khoá luận tốt nghiệp
Qua song ánh g của mặt phẳng, tỉ đơn của ba điểm phân biệt tuỳ ý
bằng số phức liên hợp của tỉ số đơn của ba điểm ảnh thì g là một biến đổi
đồng dạng loại hai.
Chứng minh. Lấy A( z1 ), B( z2 ) phân biệt cố định và f ( A)( z '1 ), f ( B)( z '2 ) thì với
mọi điểm M ( z) khác A, B , điểm f (M )( z ' ) phải thoả mãn :
z '2  z '
z z
 2
'
'
z 2  z 1 z2  z1

nên z ' 

z '2  z '1
z '  z '1
z  z '2  2
z2
z2  z1
z2  z1

Từ đó f xác định bởi z  z '   z   ;  0 , tức f là biến đổi đồng
dạng loại một.
Tương tự qua song ánh g thì z ' phải thoả mãn :
z ' 2  z '  z2  z 


z '2  z '1  z2  z1 
z ' 2  z '0
z '2  z '1
'
zz2 
z2
Suy ra : z 
z2  z1
z2  z1
'

hay

z '   z   ,   0 

Song ánh g xác định bởi z '   z   ,(  0) tức g là biến đổi đồng dạng
loại hai .
Hệ quả 1.2. Phép đồng dạng biến một tam giác thành tam giác đồng dạng với
nó.
Định lý 1.10. Biến đổi đồng dạng hệ số k biến đương tròn bán kính R thành
đường tròn bán kính kR .
Chứng minh. Suy trực tiếp từ định nghĩa.
Ngược lại, ta có định lý:

Định lý 1.11. Biến đổi afin biến đường tròn thành đường tròn là biến đổi
đồng dạng.
Chứng minh.

Phùng Thị Ngọc

22

K32E Toán


Khoá luận tốt nghiệp
Biến đổi f của mặt phẳng phức xác định bởi:
z  z'   z   z   ,   



Với M ( z) cách M 0 ( z0 ) khoảng R  0 viết z  z0  Rei thì f (M ) cách
f ( M 0 ) khoảng R'  0 có nghĩa là :

 z   z     z0   z0   



   z  z0    z  z 0



 R  ei   ei
 R'

Suy ra
 ei   ei 

R'
0
R





  ei   ei   e  i   e  i 
   e 2i   e 2i
   e 2i   e 2i

R'
R
.
R'
     
R

R' 
         0,(*)
R


Đẳng thức (*) đúng với mọi    suy ra :
   0



R'





0


R

Suy ra :
  0


R'





R

hoặc

  0



R'




R

Vậy biến đổi có dạng :
 2 R' 
z   z   ;   
R

'

Phùng Thị Ngọc

23

K32E Toán


Khoá luận tốt nghiệp
 2 R' 
hoặc z   z   ;    
R

'

Do đó f là biến đổi đồng dạng loại một hoặc loại hai.
Định lý 1.12. Nếu f là một song ánh của mặt phẳng lên chính nó mà biến

mọi đường tròn thành đường tròn thì f là một biến đổi đồng dạng .
Chứng minh. Thật vậy, ta chỉ cần chứng minh rằng:
Nếu A, B, C là ba điểm phân biệt thẳng hàng thì A' , B' , C ' cũng thẳng
hàng, A'  f ( A); B'  f ( B); C '  f (C) .
Khi đó f là biến đổi đồng dạng .
Xét f : P, Q, R  P' , Q' , R' ; P, Q, R : ba điểm phân biệt,
Ta có: P' , Q' , R' thẳng hàng thì P, Q, R thẳng hàng vì nếu ngược lại, có đường
tròn (C) qua P, Q, R suy ra P' , Q' , R' phải thuộc đường tròn f ((C)) (vô lý) .
Xét f : P, Q, R  P' , Q' , R' ; P, Q, R :ba điểm phân biệt thuộc đường thẳng d
mà P' , Q' , R' không thẳng hàng thì mọi M thuộc đường thẳng P 'Q ' , tacó
M  f 1 (M ' ) phải thuộc đường thẳng PQ (tức đương thẳng d ) ,(theo nhận

xét trên) .
Tương tự N thuộc đường thẳng Q ' R ' hoặc P ' R ' đều có tạo ảnh
N  f 1 ( N ' ) thuộc đường thẳng d .Khi đó f không là một song ánh .

Vậy f : A, B, C  A' , B' , C ' , nếu A, B, C là ba điểm phân biệt thẳng hàng thì
A' , B' , C ' cũng thẳng hàng nên là f một phép biến đổi đồng dạng .

c) Sự xác định phép đồng dạng
Định lý 1.13. (Định lý về sự xác định phép biến đổi đồng dạng ) .
Cho cặp điểm phân biệt A, B và cặp điểm phân biệt A' , B' thì có một và chỉ
một biến đổi đồng dạng loại một f và có một và chỉ một biến đổi đồng dạng
loại hai g biến A thành A' và biến B thành B ' .

Phùng Thị Ngọc

24

K32E Toán

Khoá luận tốt nghiệp
Chứng minh. Giả sử A, B, A' , B' có tọa vị thứ tự là z1 , z2 , z '1 , z '2 .
Biến đổi f cần tìm xác định bởi:
z  z '   z   ,(  0)

phải thỏa mãn z '1   z1   ; z '2   z2  
z '1  z '2
;   z '1   z1
Từ đó :  
z2  z1

Biến đổi g cần tìm xác định bởi:
z  z '   z   ;  0

phải thoả mãn z '1   z1   ; z '2   z2  
Từ đó :  

z '2  z '1
;   z '1   z1 .
z2  z1

d) Hai hình đồng dạng
Hai hình H và H’gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng dạng
Z biến hình này thành hình kia: Z (H)=H’.

e) Điểm bất động và dạng chính tắc của phép biến đổi đồng dạng

* Điểm bất động

Định lý 1.14. Mỗi biến đổi đồng dạng khác dời hình có một và chỉ một điểm
bất động .
Chứng minh. Thật vậy, nếu biến đổi đồng dạng loại một f xác định bởi :
z  z'   z   ;   1

Khi đó: điểm bất động có tọa vị z0 


1

(   1 thì f là phép đồng dạng khác tịnh tiến).
Gọi g là biến đổi đồng dạng loại hai xác định bởi:
z  z'   z   ;   1

Phùng Thị Ngọc

25

K32E Toán