Một số phương pháp lặp giải gần đúng các phương trình và hệ phương trình

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng

LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian nghiên cứu cùng với sự hướng dẫn tận tình của
thầy giáo TS Nguyễn Văn Hùng, khóa luận của em đã được hoàn thành.
Qua đây, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS
Nguyễn Văn Hùng – người đã trực tiếp hướng dẫn và đóng góp nhiều ý
kiến quý báu trong thời gian em thực hiện khóa luận này.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy, các cô giáo trong khoa Toán
đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do hạn chế về thời gian và
kiến thức nên chắc chắn khóa luận không tránh khỏi những thiết sót. Em
rất mong nhận được sự giúp đỡ, đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn
sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn.

Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên

Nguyễn Thị Ngân

SV: Nguyễn Thị Ngân

K35D – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng
LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp của em hoàn thành dưới sự hướng dẫn
của thầy giáo TS Nguyễn Văn Hùng cùng với sự cố gắng của bản thân.
Trong quá trình nghiên cứu em có tham khảo một số tài liệu của một số
tác giả (đã nêu trong mục tài liệu tham khảo).
Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận này là kết quả
nghiên cứu của bản thân, không trùng với kết quả của tác giả khác. Nếu
sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên

Nguyễn Thị Ngân

SV: Nguyễn Thị Ngân

K35D – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng
MỤC LỤC

PHẦN I: MỞ ĐẦU ................................................................................ 1
PHẦN II: NỘI DUNG............................................................................ 2
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................ 2
1.1. Số gần đúng và sai số .................................................................. 2
1.1.1. Số gần đúng .......................................................................... 2
1.1.2. Sai số thu gọn ....................................................................... 3
1.1.3. Cách viết các số gần đúng .................................................... 3

1.1.4. Sai số tính toán ..................................................................... 4
1.1.5. Sự ổn định của quá trình tính: .............................................. 6
1.2. Bài toán ngược của sai số: ........................................................... 6
1.3. Tìm nghiệm thực gần đúng của phương trình f (x) = 0 ................. 7
1.4. Một số khái niệm cơ bản của giải tích hàm .................................. 8
1.4.1. Không gian Metric ................................................................ 8
1.4.2. Không gian Banach: ............................................................. 9
CHƯƠNG 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI GẦN ĐÚNG CÁC
PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH..................................... 11
2.1. Một số phương pháp lặp trong giải phương trình phi tuyến: ...... 11
2.1.1. Phương pháp chia đôi: ...................................................... 11
2.1.2. Phương pháp lặp đơn: ........................................................ 13
2.1.3. Phương pháp dây cung: ...................................................... 14
2.1.4. Phương pháp Newton: ........................................................ 16
2.2. Một số phương pháp lặp trong giải hệ phương trình phi tuyến:.. 18
2.2.1. Phương pháp Newton: ........................................................ 18
2.2.2. Phương pháp lặp: ............................................................... 21
2.3. Một số phương pháp lặp trong giải hệ đại số tuyến tính ............. 24
2.3.1. Chuẩn vecto và sự hội tụ của dãy vecto .............................. 24
SV: Nguyễn Thị Ngân

K35D – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng

2.3.2. Phương pháp lặp đơn (lặp cổ điển)..................................... 26
2.3.3. Phương pháp lặp Seidel ...................................................... 31

2.4. Phương pháp lặp trong giải phương trình vi phân thường: ......... 35
CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG .................................................................. 37
KẾT LUẬN.......................................................................................... 59
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................... 60

SV: Nguyễn Thị Ngân

K35D – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng
MỞ ĐẦU

Giải tích số là một ngành Toán học quan tâm đến các kết quả biểu
diễn bằng số; công việc của nó nhằm chuyển đổi các lời giải toán học
chính xác về dạng các công thức đơn giản sao cho các công thức này có
thể tính được bằng các phép tính cơ bản của số học, hoặc tìm các lời giải
gần đúng khi không thể tìm lời giải chính xác sao cho sự khác biệt giữa
hai lời giải là nhỏ nhất. Do đó, có thể nói đây là một ngành kết hợp giữa
hai ngành Toán học và Máy tính.
Để có lời giải gần đúng cho bất kỳ bài toán nào cũng đòi hỏi phải
có các dữ kiện bài toán và sau đó là xây dựng mô hình bài toán. Tiếp
theo là công việc tìm thuật toán hữu hiệu nhất và cuối cùng viết chương
trình để máy tính tính toán cho ta kết quả gần đúng. Khi giải bài toán
thực tế ta đều phải làm việc trực tiếp hoặc gián tiếp với các số liệu ban
đầu. Chính vì vậy, không tránh khỏi các sai số, tuy rất nhỏ nhưng ảnh
hưởng trực tiếp đến kết quả tính toán. Vì vậy cần sử dụng các thuật toán
hữu hiệu để giảm thiểu sự sai số đồng thời tiện lợi cho việc lập trình tiết

kiệm số lượng các phép tính, thời gian tính toán. Việc sử dụng các
phương pháp lặp có ý nghĩa lý thuyết và ứng dụng rất lớn trong việc tìm
nghiệm gần đúng các phương trình phi tuyến, hệ phương trình phi tuyến,
trong hệ đại số tuyến tính, trong phương trình vi phân thường,… khi
không thể tìm ra nghiệm đúng của các phương trình và hệ phương trình
vừa nêu.
Vì thế em đã chọn đề tài cho khóa luận của mình là “Một số
phương pháp lặp giải gần đúng các phương trình và hệ phương trình”
Khóa luận được chia làm 3 phần:
Phần I: Mở đầu
Phần II: Nội dung

SV: Nguyễn Thị Ngân

1

K35D – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng

Phần III: Kết luận
NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Số gần đúng và sai số
1.1.1. Số gần đúng
Ta nói rằng a là một số gần đúng của a* nếu như a không sai khác

a* nhiều, hiệu số ∆a = a* - a là sai số thực sự của a, nếu ∆a > 0 thì a là
giá trị gần đúng thiếu, còn nếu ∆a < 0 thì a là giá trị gần đúng thừa của
a*. Vì rằng a* chưa biết, chỉ biết a nên đại lượng ∆ chưa thể xác định, tuy
nhiên có thể thấy tồn tại ∆a > 0 thỏa mãn điều kiện: a *  a  a
Khi đó: ∆a được gọi là sai số tuyệt đối của a

a 


là sai số tương đối của a
a

Rõ ràng ∆a, a càng nhỏ càng tốt.
Hai số gần đúng a của a* và b của b* có cùng sai số tuyệt đối ∆a =
∆b, số nào có giá trị lớn tuyệt đối lớn hơn thì sẽ chính xác hơn.
Chẳng hạn a = 100, b = 1, ∆a = ∆b = 0,01 khi đó số a*  [99,99;
100,01], b* [0,99; 1,01], tức là số a sẽ chính xác hơn số b so với giá trị
đúng của nó.
Đại lượng nào sẽ phản ánh độ sai số của một số, hay nói cách khác
độ chính xác của phép tính được phản ánh qua đại lượng nào. Ở ví dụ
trên, nếu a càng lớn thì khoảng xác định của a* càng rộng, vì vậy tỉ số

a 


có thể đặc trưng cho độ chính xác của một phép đo tính toán,
a

a được gọi là sai số tương đối của số a.

SV: Nguyễn Thị Ngân

2

K35D – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng

1.1.2. Sai số thu gọn
Trong quá trính tính toán, số gần đúng a của a* đôi khi là số thập
phân vô hạn các số sau dấu phẩy, hoặc hữu hạn nhưng số lượng các chữ
số sau dấu phẩy rất lớn buộc chúng ta phải ngắt bớt một số chữ số sau
dấu phẩy. Việc ngắt bớt đó được gọi là thu gọn số a để được số a ngắn
gọn hơn và gần đúng số a. Qui tắc thu gọn một số a như sau: Giả sử số a





= , a1 a2 ...ai ...an , trong đó A là phần trị nguyên, aj j  1, n là các chữ
số  {0, 1, 2, …., 9} sau dấu phẩy (phần thập phân). Muốn làm tròn số
a từ số a với i chữ số sau dấu phẩy ta làm như sau: giữ nguyên A, a1, a2,

…, ai-1 xét ai+1:
- Nếu ai+1  5 thì a = , a1 a 2 ...ai 1 ai
- Nếu ai+1 > 5 thì a = , a1a2 ...ai 1ai' với ai’= ai +1
Ví dụ: Cho số a* = , a = 3,141592. Khi đó số thu gọn của a là:

Số thu gọn sau dấu phẩy 2 chữ số: a = 3,14.
Số thu gọn sau dấu phẩy 3 chữ số: a = 3,141.
Số thu gọn sau dấu phẩy 4 chữ số: a = 3,1416.
Đặt: a = a  a , a được gọi là sai số thu gọn của số a.
1.1.3. Cách viết các số gần đúng
Để có thể hình dung ra được số đúng a*, người ta thường biểu diễn
qua khoảng xác định của nó. Cụ thể là viết gần đúng a kèm theo sai số
  a 
, a   .
(tương đối hoặc tuyệt đối) a


a



Khi đó số đúng a* là số nằm trong khoảng a  a  a *  a  a,
a  a  a *  a  a .

a = 120  2%  được hiểu là: 120 – 2%.120 < a < 120 + 2%.120.

SV: Nguyễn Thị Ngân

3

K35D – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng

1.1.4. Sai số tính toán
Các số dùng để tính toán vốn đã là các số gần đúng (có sai số),
còn xuất hiện thêm sai số của kết quả. Sai số này được gọi là sai số tính
toán.
Trong đề tài này, tập trung nghiên cứu các giá trị gần đúng liên
quan đến sai số tính toán.
Giả sử cần tính giá trị đầu ra y với các giá trị đầu vào là x1, x2,
......,xn. Mọi liên hệ giữa đầu vào và đầu ra được xác định bởi
y*= f ( x1* , x2* ,...., xn* ) ở đây y*, x1* , x2* ,...., xn* là các giá trị đúng của giá trị
hàm và các biến tương ứng. Thực tiễn, không thể xác định được y*,
x1* , x 2* ,...., xn* mà chỉ xác định được giá trị gần đúng tương ứng của nó với

các sai số tương ứng ∆y, ∆xi.
Sai số giá trị ∆y của y = f (x1, x2, ......,xn) được gọi là sai số tính
toán.
Giả sử y = f (x1, x2, ......,xn) là hàm khả vi, liên tục theo các biến xi.
Theo giải tích, ta có:
y – y* = f  x1 , x 2 ,....., x n  - f ( x1* , x 2* ,...., x n* ) =

n

 f x .x
i 1

'
xi

i

 xi* 

trong đó: x là điểm nằm giữa các điểm (x1, x2, ......,xn) và
n
*
( x1* , x2* ,...., x n* ), có nghĩa là, ta có: y  y 


i 1

n

Đặt  y 



i 1

f x'  x . x i
i

f x'  x .  x i
i

∆y là cận trên của y  y * vì vậy có thể xem ∆y là sai số của y so
với y*
Mặt khác sai số của y là:

SV: Nguyễn Thị Ngân

4

K35D – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng

'
n
y n f x  x 

y   
.xi   ln f  x .xi   ln y
i 1 xi
y i 1 f  x 
i

a. Sai số của một tổng
y = x1 + x2 + ......+ xn
'
Ta có: y x  1 ,
i

i  1, n
n

Nên sai số của y là  y 

n

 1 . x

i

i 1



 x

i

i 1

Sai số tuyệt đối của một tổng bằng tổng các sai số tuyệt đối của
các số hạng.
Sai số tương đối y 

y
đặc trưng cho tính chính xác của phép
y

đo. Nếu y rất nhỏ thì sai số tương đối sẽ rất lớn và như vậy tính chính
xác của phép đo không đảm bảo. Vì vậy trong tính toán gần đúng phải
tránh các công thức đưa đến việc tính hiệu của 2 số gần nhau.
b. Sai số của tích
y = x1 x2...... xn

Ta có: ln y  ln x1  ...  ln xn
Sai số tương đối của một tích bằng tổng các sai số tương đối của
các thừa số thành phần.
Ví dụ: y = x*z, trong đó x = 3,45 + 0,01 và z = 12,432 + 0,002. Hãy tính
sai số của y.
Giải:
Ta có  x 

0,01
0,02
 0,29%, z 
 0,016%
3,45
12,432

Vậy:  y   x   z  0,306%
c. Sai số của y = ln x

SV: Nguyễn Thị Ngân

5

K35D – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp
Ta có: ln x  
'

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng

1
x
 y 
 x
x
x

Sai số tuyệt đối của y bằng sai số tương đối của x.

d. Sai số của thương:
y

x1 x2 .....x p
x p 1 x p  2 ....x n
p

Ta có: ln y   ln xi 
i 1

n

 ln x , mặt khác sai số của lnxi là  xi
i

i  p 1

n

  y    xi
i 1

1.1.5. Sự ổn định của quá trình tính:
Để tính một đại lượng có khi phải tính nhiều lần lặp đi lặp lại.
Quá trình tính gọi là ổn định nếu sai số tính toán (quy tròn số) tích lũy lại
không tăng ra vô hạn. Nếu quá trình tính sai số đó tăng ra vô hạn thì ta
nói quá trình tính là không ổn định.
Để khắc phục điều đó thường người ta giả sử sai số chỉ xảy ra ở
một bước tính. Xem giá trị mới đó là đúng, tính bước kế tiếp. Nếu tích
lũy một số bước thấy sai số tăng đáng kể thì xem như quá trình tính
không ổn định (đây là vấn đề khó, cần nghiên cứu tiếp về sau).
1.2. Bài toán ngược của sai số:
Giả sử cần tính y = f (x1, x2, ......,xn) với sai số y  a . Hãy xác
định các xi
Theo biểu thức tổng quát của sai số tính toán, ta phải có:
n

y  
i 1

SV: Nguyễn Thị Ngân

f
xi  a.
xi

6

K35D – SP Toán

Khóa luận tốt nghiệp

Giả sử rằng

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng

f
xi  const (i = 1, 2,...,n)
xi

Khi đó nếu xi 

(1.2.1)

a
thì bất đẳng thức y  a được thỏa mãn.
f
n
xi

Điều kiện (1.2.1) thường được gọi là nguyên lý ảnh hưởng đều.
Ví dụ: Một hình trụ có chiều cao h = 3m, bán kính đáy R = 2m, hỏi rằng
lấy h, R, số π như thế nào thì thể tích V của hình trụ được tính chính
xác đến 0,1m3.
Giải:
Ta có: V = πR2h, từ đó:
Nếu ta lấy:  
h 

V

V
V
 R 2 h,
 2Rh,
 R 2 ,

R
h

0,1
0,1
 0,003 , R 
 0,001 ,
3.4.3
3.6.2

0,1
 0,003 thì yêu cầu của bài toán là thỏa mãn.
3. .4

Vậy chọn R  0,001 ,   0,003 , h  0,003 sẽ thu được thể
tích V chính xác đến 0,1m3
1.3. Tìm nghiệm thực gần đúng của phương trình f (x) = 0
Trong kỹ thuật, ta thường gặp bài toán: Tìm nghiệm thực của
phương trình f (x) = 0 (đại số hoặc siêu việt)
Ta đã biết: Nếu phương trình có dạng
f (x) = ax + b = 0 (a  0) thì x  

b
a

f (x) = ax2 + bx + c = 0 (a  0) thì x1, 2 

b 
2a

Đối với phương trình dạng đa thức bậc lớn hơn hoặc bằng 3 hay
các loại phương trình khác, hầu như không có khả năng tìm được nghiệm

SV: Nguyễn Thị Ngân

7

K35D – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng

đúng mà chỉ có gần đúng.
Hơn thế nữa trong toán học tính toán ta phải làm việc với số, trong
dạng số thập phân. Nên dù tìm được nghiệm đúng trong dạng số thập
phân vô hạn ta phải quy tròn số và như vậy cũng là nghiệm gần đúng.
Để đạt được mục đích trên thì quá trình tìm nghiệm gần đúng thực
của phương trình ta phải tiến hành theo các bước sau:
i) Chọn nghiệm gần đúng đầu tiên x0 mà ta gọi là xấp xỉ đầu.
ii) Từ xấp xỉ đầu x0, tìm thuật toán để sửa dần nghiệm, được các xấp
xỉ mới gần với nghiệm hơn.
iii) Đánh giá sai số của nghiệm gần đúng tìm được với nghiệm đúng

của phương trình.
1.4. Một số khái niệm cơ bản của giải tích hàm
1.4.1. Không gian Metric
Ta kí hiệu R là tập các số thực, Q là tập các số hữu tỉ, Z là tập các
số nguyên, N là tập các số tự nhiên.
Định nghĩa 1.1: Xét một tập hợp X cùng ánh xạ d: X  X  R
thỏa mãn các điều kiện:
a) d  x , y   0 ,  x , y  
b) d  x , y   0  x  y
c) d  x , y   d  y , x ,  x , y  
d) d  x, y   d  x, z   d  z, y , x, y, z  
Khi đó tập hợp X cùng với d là một không gian metric và ánh xạ d
được gọi là hàm khoảng cách.
Xét tập con M của X, khi đó M cùng với d hạn chế trên M là không
gian metric con của không gian metric X.
Định nghĩa 1.2: Cho dãy các phần tử xn  X, n  N và phần tử
x*X. Khi đó x* được gọi là giới hạn của dãy {xn}n N nếu

SV: Nguyễn Thị Ngân

8

K35D – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng

lim

d x n , x    0 và kí hiệu lim xn  x 
n
n 
Định nghĩa 1.3: Không gian metric X thỏa mãn điều kiện mỗi dãy
Cauchy đều có một điểm giới hạn a  X được gọi là không gian metric
đủ.
Định lí 1.1: (Nguyên lí ánh xạ co). Giả sử X là không gian metric
đủ và ánh xạ T: X  X thỏa mãn điều kiện :
d (Tx, Ty)  . d (x, y)
với hằng số 0   < 1 và x, y  X. Khi đó tồn tại duy nhất phần
tử x*X sao cho x* = Tx*, hơn nữa với x0  X thì dãy {xn}n N xác định
bởi
xk+1 = Txk, k  N, là hội tụ đến x*, đồng thời ta có ước lượng:

n
d xn , x  
d  x1 , x0 
1


1.4.2. Không gian Banach:
Định nghĩa 1.4: Giả sử X là một không gian tuyến tính trên R.
Ánh xạ . : X  R xác định trên X, lấy giá trị trên tập số thực:
x  R, x  X , thỏa mãn các điều kiện:

a) x  0, x  X
b) x  0  x  0
c) x  y  x  y , x, y  X
d) x   . x ,   R, x  X
được gọi là một chuẩn trên X

Không gian tuyến tính X cùng với chuẩn . được gọi là một không
gian tuyến tính định chuẩn.
Trong không gian tuyến tính định chuẩn X ta có thể định nghĩa
hàm khoảng cách d như sau:
SV: Nguyễn Thị Ngân

9

K35D – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng
d ( x, y )  x  y

Khi đó dễ thấy X là một không gian metric với khoảng cách d nêu
trên.
Nếu với metric đó, X là không gian đủ thì X được gọi là không
gian Banach.
Định nghĩa 1.5: Giả sử X là một không gian tuyến tính trên R và
. 1 , . 2 là hai chuẩn cùng xác định trên X. Khi đó hai chuẩn này được gọi

là tương đương nếu như tồn tại hai số m, M > 0 sao cho:
m x 1  x 2   x 1 , x   .

Định nghĩa 1.6 : Giả sử X, Y là hai không gian tuyến tính định
chuẩn và T: X  Y là một toán tử tuyến tính. Nếu tồn tại giá trị hữu hạn:
T  sup
0  x X

Tx
x

 

thì toán tử T được gọi là bị chặn (hay giới nội) và số T được gọi là
chuẩn của toán tử T.

SV: Nguyễn Thị Ngân

10

K35D – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI GẦN ĐÚNG CÁC
PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

2.1. Một số phương pháp lặp trong giải phương trình phi tuyến
2.1.1. Phương pháp chia đôi:
a. Nội dung phương pháp:
Giả sử phương trình f (x)=0 (2.1.1) có nghiệm x* duy nhất trên
đoạn
[a, b] và f (a). f (b) < 0. Bây giờ lấy c 

ab
và tính f (c), nếu f (c) = 0
2

thì ta có ngay x* là nghiệm đúng của phương trình (2.1.1).
Nếu f (c)  0, thì ta gọi [a1, b1] là một trong hai đoạn [a, c], [c, b]
mà ở đó f (a1). f (b1) < 0. Lại lấy c1 

a1  b1
và tính f (c1), nếu f (c1) = 0
2

thì quá trình kết thúc, x* = c1. Nếu f (c1)  0 thì ta gọi [a2 , b2] là một
trong hai đoạn [a1, c1], [c1, b1] mà ở đó f (a2). f (b2) < 0, quá trình cứ tiếp
tục như vậy, ta có dãy đoạn [an , bn], nN*.
b. Sự hội tụ của phương pháp.
Nếu ta thực hiện liên tiếp thao tác chia đôi đoạn [a, b] như trên, thì
hoặc là tại bước thứ n, ta có f (cn)=0, lúc đó x* = cn, (trường hợp này ít
xảy ra), hoặc là ta nhận đươc dãy vô hạn các đoạn nhỏ n = [an , bn] đóng
lồng nhau, thắt lại, với bn  a n 

1
(b  a), n   *
n
2

Theo cách dựng ta có: f (an). f (bn) < 0, (2.1.2)
lim a n  lim bn  x *
n 

n 

Hơn nữa khi n   thì từ (2.1.2) có [f(x*)]2  0, vậy x* là nghiệm của
phương trình (2.1.1).

SV: Nguyễn Thị Ngân

11

K35D – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng

c. Sai số
Nói chung, khi dừng lại ở bước thứ n thì ta có:
1
(b  a)
2n

bn  an 

Vậy ta có thể lấy nghiệm gần đúng là: c 
Sai số mắc phải khi đó là:

an  bn
2

1
(b  a )
2 n 1

Nhận xét: Phương pháp chia đôi có ưu điểm là đơn giản, dễ lập
trình trên máy tính tuy nhiên tốc độ hội tụ chậm.
Ví dụ 1: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình sau nhờ phương pháp
chia đôi trên đoạn [1, 2]: x3 - x - 1 = 0
Giải:
Gọi f(x) = x3 - x - 1 thì f (1) = - 1; f (2) = 5, áp dụng liên tiếp
phương pháp chia đôi ta có kết quả ở bảng sau:
n

an

bn

a n  bn
2

f (cn)

bn - an

0

1

2

1,5

0,875

1

1

1

1,5

1,25

-0,29688

0,5

2

1,25

1,5

1,375

0,22461

0,25

3

1,25

1,375

1,3125

-0,05151

0,125

4

1,3125

1,375

1,34375

0,08261

0,0625

5

1,3125

1,34375

1,32813

0,01458

0,03125

6

1,3125

1,34375

1,32032

cn 

0,01562

Dừng ở bước 6, lấy nghiệm gần đúng là x = 1,32032, sai số 0,008

SV: Nguyễn Thị Ngân

12

K35D – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng

2.1.2. Phương pháp lặp đơn:
a. Nội dung phương pháp:
Để giải phương trình (2.1.1), ta đưa nó về dạng: x =  (x) (2.1.3)
Với một xấp xỉ ban đầu x0  [a, b] cho trước, ta xây dựng dãy {xn}
nhờ hệ thức: xk+1 =  (xk), k  0. (2.1.4)
Nếu dãy {xn} hội tụ đến nghiệm x* của (2.1.3) thì ta nói rằng đã
giải gần đúng phương trình (2.1.1) nhờ phương pháp lặp đơn.
b. Định lý hội tụ:
Định lý 2.1: Giả sử rằng hàm số y =  (x) thỏa mãn các điều kiện:
1.   x    x '   L x  x ' , với mọi x và x' thuộc đoạn [ - r,  + r]
và với hằng số L < 1,
2.  x     1  L r ,
thì dãy {xn} xây dựng bởi hệ thức (2.1.4) hội tụ đến nghiệm x* của
phương trình (2.1.1) và ta có ước lượng:
x n  x *  Ln x0  x * ,

(2.1.5)

Ln
xn  x 
x0  x1 .
(1  L)

(2.1.6)

*

Nhận xét: Phương trình lặp đơn (2.1.4) có tính chất tự điều chỉnh,
nghĩa là nếu tại một vài bước tính toán trung gian ta mắc phải sai số thì

dãy {xn} vẫn hội tụ đến x*; tất nhiên chỉ là một vài bước và sai số mắc
phải sao cho xk không vượt ra ngoài [ - r,  + r].
Ví dụ 2: Tìm nghiệm dương lớn nhất của phương trình: x3 + x - 1000 =
0
Giải:
Đặt f (x) = x3 + x - 1000 thì ta thấy f (9).f (10) < 0, vậy phương
trình trên có nghiệm x* (9, 10).
Ta đưa phương trình trên về dạng x =  (x) như sau:
SV: Nguyễn Thị Ngân

13

K35D – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng

a) x = 1000 - x3, vậy 1(x) = 1000 - x3
b) x 

1000  x
1000  x
, vậy  2 ( x) 
2
x
x2

c) x  3 1000  x , vậy  3 ( x)  3 1000  x

Rõ ràng, trường hợp thứ ba, 3 1000  x sẽ có

 3' ( x )  

 3' ( x) 

1
3.3 1000  x 

2

nhận giá trị rất nhỏ trên [9;10],

1
 L.
300

Chọn x0 = 10, sẽ tính được x3  9,9667 với độ chính xác 10-4, ta
có thể coi x*  x3.
2.1.3. Phương pháp dây cung:
Trong mục này, ta xét lại phương trình (2.1.1): f  x   0
Giả sử rằng hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn

a, b

và

f a  f b   0 .

Giả sử rằng f  x  có đạo hàm đến cấp 2 liên tục và ta có f x   0

trên a, b (nếu như f  x   0 thì ta chuyển (2.1.1) về dạng:  f  x   0 ,
lúc đó  f  x   0 trên đoạn a, b ). Khi đó đồ thị y  f  x  nằm phía
dưới dây cung AB với Aa; f a , Bb; f b  .
* Trường hợp 1: Nếu như f a   0 , ta xây dựng dãy xn  theo hệ
thức:
 x0  b

f ( xn)

x

x

( x n  a)
n

1
n

f ( x n )  f (a)


(2.1.7)

Khi đó ta sẽ có dãy {xn} đơn điệu giảm, bị chặn và:
a  x   ...  xn 1  xn  ...  x0

SV: Nguyễn Thị Ngân

14

K35D – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng

* Trường hợp 2: Nếu như f a   0 , ta xây dựng dãy xn  theo hệ
thức:
 x0  a

f ( xn )

 x n 1  x n  f (b)  f ( x ) (b  x n )
n


(2.1.8)

Khi đó, dãy {xn} đơn điệu tăng, bị chặn và:
x0  x1  ...  xn  xn 1  ...  x   b

Ý nghĩa hình học của hai dãy xn  được xây dựng bởi (2.1.7) và
(2.1.8) nêu ở trên sẽ được mô tả tương ứng trên các hình vẽ 1 và 2 dưới
đây và chính điều đó giải thích cho tên gọi của phương pháp.
y

y

B

A

x1
a

a x1

x0

x*

x*

x
B

A

Hình 1

b

A1
Hình 2

Giả sử rằng hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn a, b  và dãy xn   a, b,
f  x  giữ nguyên một dấu và ngoài ra có:

0  m  f ' ( x)  M  .
Khi đó, có thể chứng minh được ước lượng sai số sau:
xn  x * 

SV: Nguyễn Thị Ngân

M m
x n  x n 1
m

15

K35D – SP Toán

x


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng

Ví dụ 3: Tìm nghiệm dương của phương trình sau đây nhờ phương pháp
dây cung với độ chính xác đến  = 0,002: x 3  0,2 x 2  0,2 x  1,2  0 .
Giải:
Đặt f x   x 3  0,2 x 2  0,2 x  1,2 .
Khi đó có f 1  0,6  0; f 1,5  1,425  0 nên có x   1; 1,5 ,
Mặt khác f  x   3x 2  0,4 x  0,2  0 trên (1; 1,5)
và f  x   6 x  0,4  0 ,  x  (1; 1,5).
Với x0  1 , áp dụng (2.1.8) ta có:
x1  x0 

f  x0 
 0,6
b  x0   1 
1,5  1 =1,15,
f b   f  x0 
1,425   0,6

x2  x1 

f  x1 
b  x1   1,190,
f b   f  x1 

x3  x 2 

f  x2 
b  x2   1,198,
f b   f  x2 

…
Để ý rằng nghiệm đúng của phương trình trên là x  1,2 ; vậy x3 là
nghiệm gần đúng chấp nhận được.
2.1.4. Phương pháp Newton:
Trong mục này, ta xét lại phương trình (2.1.1): f  x   0
Giả sử rằng ta đã tách được một nghiệm x   a, b , đồng thời
f  x , f x  liên tục, không đổi dấu trên đoạn a, b . Khi đó, với x0 là

xấp xỉ ban đầu được chọn, ta xây dựng dãy xn  theo công thức:
x n 1  x n 

f x n 
f  x n 

(2.1.9)

Ta có thể chứng minh được rằng với một số điều kiện thích hợp
thì phương pháp Newton (2.1.9) hội tụ, chẳng hạn như điều kiện sau:

SV: Nguyễn Thị Ngân

16

K35D – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng

Định lý 2.2: Nếu f a  f b   0 , f  x  và f x  khác không và
không đổi dấu trên a, b. Giả sử x0  a, b , sao cho f  x0  f  x0   0 , khi
đó dãy  xn  , xây dựng bởi (2.1.9), hội tụ đến nghiệm x  của phương
trình (2.1.1).
Ví dụ 4: Xét phương trình: x 4  3 x 2  75 x  10.000  0 . Hãy tính nghiệm
âm của phương trình đã cho với độ chính xác: 10-3
Giải:
Nhận xét: Ta có f  10   1050, f  11  3453 ( với f  x  là biểu
thức vế trái của phương trình đã cho).
Ta có f  x   4 x 3  6 x  75  0

và f  x   12 x 2  6  0 , với mọi x   11,10 . Lấy x0  11 thì
ta có:
f xn 
f x n 

n

xn

f xn 

f  xn 

0

-11

3453

-5183

0,7

1

-10,3

134,3

-4234

3,03

2

-10,27

37,8

-4196

0,009

3

-10,261

0,2



Nhận thấy f  10,261  0 và f  10,260   0 , cho nên có:
x    10,261; 10,260 chính xác đến 10-3

Nhận xét: Nếu việc tính toán f  x  tại mỗi x là phức tạp và ngoài
ra có thể thấy f  x  không thay đổi độ lớn thì người ta thay dãy xấp xỉ
(2.1.9) ở trên nhờ dãy dưới đây: (phương pháp này thường được gọi là
phương pháp Newton cải tiến)

SV: Nguyễn Thị Ngân

17

K35D – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng
x n 1  x n 

f xn 
, n  0.
f x 0 

(2.1.10)

Ưu điểm nổi bật của phương pháp Newton cải tiến là chỉ phải tính
nghịch đảo của đạo hàm f  x  tại x0 cho mọi bước.
2.2. Một số phương pháp lặp trong giải hệ phương trình phi tuyến:
Để cách trình bày được đơn giản ta chỉ xét hệ gồm hai phương
trình, hai ẩn số:
 f  x, y   0

 g  x, y   0

(2.2.1)

Phương pháp và kết quả có thể suy rộng cho hệ gồm n phương
trình, n ẩn.

2.2.1. Phương pháp Newton:
Bằng cách nào đó (chẳng hạn phương pháp đồ thị) ta biết một cặp
nghiệm xấp xỉ là M0 (x0, y0) của hệ (2.2.1) nhưng chưa chính xác. Xuất
phát từ cặp đó đi tìm cặp M1 (x1, y1) chính xác hơn.
Ta đặt x1 = x0 + h0, y1 = y0 + k0
Với giả thiết f (x, y) và g (x, y) là những hàm số khả vi đến cấp cần
thiết.
Bằng khai triển Taylor của hàm f và g tại điểm (x0, y0):

f
f
 k0
 ....
 f  x0  h0 , y 0  k 0   f  x0 , y0   h0

x

y




 g  x  h , y  k   g x , y   h g  k g  ....
0
0
0
0
0
0
0

 0
x 
y 

0

0

0

0

(2.2.2)

Với h0, k0 đủ bé; trong (2.2.2) bỏ qua các số hạng từ h02 , k 02 trở đi,
và xem f(M1)  0, g(M1)  0.
Thay dấu "" bởi dấu "=" ta được hệ phương trình để xác định h0
và k0 và ta có M1 (x0 + h0, y0 + k0) gần với nghiệm hơn

SV: Nguyễn Thị Ngân

18

K35D – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng

 f x'  x0 , y 0 .h0  f y'  0 .k 0   f  0 
 '
'
 g x  x0 , y 0 .h0  g y  0 .k 0   g  0 

(2.2.3)

Nếu định thức Jacobi
f
x

J 0  J  0  

g
x

0

f
y

0

g
y

0

0

0

Thì hệ (2.2.3) tồn tại duy nhất nghiệm và ta được:
f  0  f y'  0 
1
h0  
J ( 0 ) g  0  g y'  0 

k0  

(2.2.4)

f x'  0  f  0 
1
J ( 0 ) g x'  0  g  0 

Và ta có nghiệm gần đúng tốt hơn, đó là:
x1 = x0 + h0, y1 = y0 + k0
Nếu điểm M1 (x1, y1) chưa đạt mong muốn, ta thực hiện lặp lại quá
trình trên như đối với điểm M0 (x0, y0)
Quá trình lặp được thực hiện như sau:
xn+1 = xn + hn, yn+1 = yn + kn

(2.2.5)

Trong đó:
f  n  f y'  n 
1
hn  
J ( n ) g  n  g y'  n 

(2.2.6)

f x'  n  f  n 
1
kn  
J ( n ) g x'  n  g  n 

n = 0, 1, 2,….
Người ta đã chứng minh được rằng: Nếu nghiệm gần đúng ban
đầu M0(x0,y0) đủ gần với nghiệm đúng của hệ (2.2.1) thì nghiệm gần

SV: Nguyễn Thị Ngân

19

K35D – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng

đúng xác định theo (2.2.5) sẽ hội tụ tới nghiệm đúng (x*, y*) của (2.2.1)
khi n  
Ở đây ta không nghiên cứu sự hội tụ vì quá phức tạp
Ví dụ 5: Tìm các nghiệm thực gần đúng của hệ:
 x  3 lg x  y 2  0
 2
2 x  xy  5 x  1  0

Giải:
Ta vẽ các đường cong:
f (x, y) = x + 3lg x – y2
g (x, y) = 2x2 – xy – 5x + 1
y
2
1
1
O

2
3

4

x

Ta thấy có 2 giao điểm có tọa độ xấp xỉ là (1,4; -1,4) và (3,4; 2,2)
Ta đi tìm nghiệm gần đúng ở lân cận điểm M0 (3,4; 2,2)
Ta có
f
3
 1
;
x
x ln 10

f
 2 y;

y

g
 4 x  y  5;
x

g
  x;
y

SV: Nguyễn Thị Ngân

20

K35D – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng

f  0   f 3,4;2,2  0,1545;
g  0   0,3600
f
x
g
x

f
y

 1,383 ,
0

g
y

 6,400
0

 4,400
0

 3,400
0

Theo (2.2.6) ta suy ra: h0 = 0,089; k0 = 0,063
Ta có điểm M1(x1, y1),
x1 = x0 + h0 = 3,489,
y1 = y0 + k0 = 2,263
Lặp lại đối với điểm M1 (x1, y1), ta được h1 = - 0,0016; k1 = 0,0014
Và có điểm M2 (x2, y2),
x2 = x1 + h1 = 3,4875,
y2 = y1 + k1 = 2,2616
Tiếp tục sẽ đạt độ chính xác cao hơn
2.2.2. Phương pháp lặp:
a. Nội dung phương pháp lặp:
Từ hệ phương trình (2.2.1) ta viết lại trong dạng:
 x  F ( x, y )


 y  G ( x, y )

(2.2.7)

Chọn điểm M0 (x0, y0) bất kỳ làm xấp xỉ đầu và tính:
 x1  F ( x 0 , y 0 )
;

y

G
(
x
,
y
)
0
0
 1

 x 2  F ( x 1 , y1 )
;......

y

G
(
x
,
y

)
1
1
 2

 xn  F ( x n 1 , y n 1 )
Ta được: 
; n  1,2,...
y

G
(
x
,
y
)
 n
n 1
n 1

(2.2.8)

gọi là quá trình lặp

SV: Nguyễn Thị Ngân

21

K35D – SP Toán